2019-2020学年北京人大附中八年级(上)期中数学试卷-含详细解析
2019-2020学年北京人大附中八年级（上）期中数学试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列倡导节约的图案中是轴对称图形的是()A. B.C. D.2.分式1有意义，x的取值范围是()x+2A. x≠2B. x≠−2C. x=2D. x=−23.在下列运算中，正确的是()A. a3⋅a4=a12B. (ab2)3=a6b6C. (a3)4=a7D. a4÷a3=a4.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是()A. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D. 以上均不正确5.如图，AB=AC=5，DB=DC，若∠ABC为60°，则BE长为()A. 5B. 3C. 2.5D. 26.如图，△ABC中，点D在BC边上，将点D分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，并连接AE、AF.根据图中标示的角度，可得∠EAF的度数为()A. 108B. 115C. 122D. 1307.如图(一)，在边长为a的正方形中，挖掉一个边长为b的小正方形(a>b)，把余下的部分剪成一个矩形(如图(二))，通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，则这个等式是()A. (a+b)2=a2+2ab+b2B. a2−b2=(a+b)(a−b)C. (a−b)2=a2−2ab+b2D. (a+2b)(a−b)=a2+ab−2b28.如图，AD是△ABC的角平分线，作AD的垂直平分线EF交BC的延长线于F.下列结论不一定成立的是()A. AF=DFB. ∠BAF=∠ACFC. BF⊥ACD. S△ABD：S△ACD=AB：AC9.已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+c2=2b(a+c−b)，则此三角形是()A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 无法确定10.在坐标系xOy中，已知点A(3,1)关于x轴、y轴的对称点分别为P、Q.若坐标轴上的点M恰使△MAP、△MAQ均为等腰三角形，则满足条件的点有()A. 4个B. 5个C. 8个D. 9个二、填空题（本大题共9小题，共18.0分）11.分式x−1的值为0，则x的值是______．x12.(a−2)0=1，则a的取值范围为______．)2018=______．13.计算32019×(1314.若(x+1)(kx−2)的展开式中不含有x的一次项，则k的值是______．15.如图：△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为______．16.已知m+n=5，mn=2，则m3n−2m2n2+mn3的值为______．17.在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∠CBE=30°，若以C为圆心，CB长为半径画圆交BE延长线于F，且EF=6，则BF=______．18.如图等腰△ABC中，AB=AC，M为其底角平分线的交点，将△BCM沿CM折叠，使B点恰好落在AC边上的点D处，若DA=DM，则∠ABC的度数为______．19.在等边△ABC中，M、N、P分别是边AB、BC、CA上的点(不与端点重合)，对于任意等边△ABC，下面四个结论中：①存在无数个△MNP是等腰三角形；②存在无数个△MNP是等边三角形；③存在无数个△MNP是等腰直角三角形；④存在一个△MNP在所有△MNP中面积最小．所有正确结论的序号是______．三、解答题（本大题共9小题，共52.0分）20.分解因式：(1)3ma2−3mb2(2)4ax2−4ax+a21.计算：(1)x(1−x)+(x−2)(x+3)(2)(a+5b)(a−5b)−(a+2b)222.先化简，再求值：(5x3+3x2−x)÷x+(x−1)2−7，其中6x2+x=1．23.下面是小康设计的“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知直线l及直线l外一点P．求作：直线l的垂线，使它经过点P．做法：如图，①以P为圆心，以大于P到直线l的距离的长度为半径画弧，交直线l于A、B两点；②连接PA、PB；③作∠APB的角平分线PQ．直线PQ即为所求．根据小康设计的尺规作图过程：(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)(2)完成下面的证明．证明：∵PA=______，PQ平分∠APB，∴PQ⊥l(______)(填推理的依据)24.如图，AC和BD相交于点O，且AB//DC，OA=OB．求证：OC=OD．25.阅读：在一次数学活动中，“揭秘”学习小组发现：53×57=302138×32=121684×86=722471×79=5609这组计算蕴含着简算规律：十位数字相同，个位数字和为10的两个两位数相乘，结果末两位的是个位数字的乘积前几位是十位数字与十位数字加一的乘积．小乐同学用所学知识做了如下解释：将相同的十位数字设为a，个位数字为b，d，则ab−⋅ad−=(10a+b)(10a+d)=100a2+10a(b+d)+bd，∵b+d=10∴原式=100a2+100a+bd=100a(a+1)+bd．(1)请你利用小组发现的规律计算：63×67=______；(2)小乐同学进一步思考，个位数字相同，十位数字之和为10的两个两位数相乘会不会也有简算规律呢？于是，小乐计算了35×75=2625，83×23=1909，48×68=3264，17×97=1649，但是还是没有发现规律，你能帮助小刘发现规律，并用所学知识解释吗？26.如图，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A=120°，∠C=60°，AB=17，AD=12．(1)求证：AD=DC；(2)求四边形ABCD的周长．27.等腰△ABC中，AB=AC，∠ACB>60°，点D为边AC上一点，满足BD=BC，点E与点B位于直线AC的同侧，△ADE是等边三角形．(1)①请在图1中将图形补充完整；②若点D与点E关于直线AB轴对称，∠ACB=______；(2)如图2所示，若∠ACB=80°，用等式表示线段BA、BD、BE之间的数量关系，并说明理由．28.在平面直角坐标系xOy中，我们称横纵坐标都是整数的点为整点，若坐标系内两个整点A(p,q)、B(m,n)(m≤n)满足关于x的多项式x2+px+q能够因式分解为(x+ m)(x+n)，则称点B是A的分解点．例如A(3,2)、B(1,2)满足x2+3x+2=(x+1)(x+2)，所以B是A的分解点．(1)在点A1(5,6)、A2(0,3)、A3(−2,0)中，请找出不存在分解点的点：______；(2)点P、Q在纵轴上(P在Q的上方)，点R在横轴上，且点P、Q、R都存在分解点，若△PQR面积为6，请直接写出满足条件的△PQR的个数及每个三角形的顶点坐标；(3)已知点D在第一象限内，D是C的分解点，请探究△OCD是否可能是等腰三角形？若可能请求出所有满足条件的点D的坐标；若不可能，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误；故选：B．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形定义．2.【答案】B【解析】解：根据题意得：x+2≠0，解得：x≠−2．故选：B．根据分式有意义的条件：分母不等于0，即可求解．本题主要考查了分式有意义的条件，正确理解条件是解题的关键．3.【答案】D【解析】解：A、底数不变指数相加，即a3⋅a4=a7，故A错误；B、积得乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即(ab2)3=a3b6，故B错误；C、底数不变指数相乘，即(a3)4=a12，故C错误；D、底数不变指数相减，即a4÷a3=a，故D正确；故选：D．根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘分别进行计算即可．此题主要考查了同底数幂的乘除法和幂的乘方、积的乘方，解题的关键是熟练掌握各计算法则．4.【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了基本作图，关键是掌握角平分线的作法，以及全等三角形的判定和性质，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，全等三角形的判定定理SSS.过两把直尺的交点C作CE⊥AO，CF⊥BO，根据题意可得CE=CF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB．【解答】解：(1)如图所示：过两把直尺的交点C作CE⊥AO，CF⊥BO，∵两把完全相同的长方形直尺，∴CE=CF，∴OP平分∠AOB(角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上)，故选A．5.【答案】C【解析】解：∵AB=AC，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，A在BC的垂直平分线上，∴BC=AB=5，∵DB=DC，∴点D在BC的垂直平分线上，∴AD垂直平分BC，BC=2.5．∴BE=12故选：C．BC．先证明△ABC是等边三角形，再证明AD是BC的垂直平分线，即可得出BE=12本题考查了等边三角形的判定与性质和线段的垂直平分线的性质定理的逆定理；证明AD是BC的垂直平分线是解题的关键．6.【答案】D【解析】解：连接AD，∵D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，∴∠EAB=∠BAD，∠FAC=∠CAD，∵∠B=61°，∠C=54°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=180°−61°−54°=65°，∴∠EAF=2∠BAC=130°，故选：D．连接AD，利用轴对称的性质解答即可．此题考查轴对称的性质，关键是利用轴对称的性质解答．7.【答案】B【解析】解：由题意可得：(a−b)(a+b)=a2−b2．故选：B．左图中阴影部分的面积=a2−b2，右图中矩形面积=(a+b)(a−b)，根据二者面积相等，即可解答．此题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．8.【答案】C【解析】解：A、∵EF是AD的垂直平分线，∴AF=DF，故选项A不符合题意；B、∵AF=DF，∴∠DAF=∠ADF，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，∵∠DAF=∠CAD+∠CAF，∠ADF=∠BAD+∠B，∴∠B=∠CAF，∵∠BAF=∠BAC+∠CAF，∠ACF=∠BAC+∠B，∴∠BAF=∠ACF，故选项B不符合题意；C、根据已知不能得出BF⊥AC，故选项C符合题意；D、∵AD是△ABC的角平分线，∴点D到AB和AC的距离相等，∴S△ABD：S△ACD=AB：AC，故选：C．根据线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质，三角形外角的性质即可得到结论．本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，三角形的面积，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．9.【答案】A【解析】解：∵a2+c2=2b(a+c−b)，∴a2+c2+b2+b2−2ba−2bc=0，∴(a−b)2+(b−c)2=0，∴a=b=c，∴△ABC是等边三角形，故选：A．将已知式子变形为a2+c2+b2+b2−2ba−2bc=0，再因式分解为(a−b)2+(b−c)2=0即可求解．本题考查因式分解的应用；理解题意，将已知式子进行合理的变形，再运用因式分解进行求解是解题的关键．10.【答案】B【解析】解：如图，AQ=AM1，AQ=AM5，AQ=AM2，QA=QM4，AM3=QM3，故坐标轴上的点M恰使△MAP、△MAQ均为等腰三角形，则满足条件的点有5个，故选：B．根据等腰三角形的性质即可得到结论．此题主要考查等腰三角形的性质和坐标与图形的性质，解答此题的关键是利用勾股定理求出OP的长，此题难度不大．11.【答案】1【解析】【分析】本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零．根据分式的值为零的条件得到x−1=0且x≠0，易得x=1．【解答】的值为0，解：∵分式x−1x∴x−1=0且x≠0，∴x=1．故答案为1．12.【答案】a≠2【解析】解：(a−2)0=1，∴a−2≠0，a≠2，故答案为a≠2．根据a0=1，(a≠0)，可得底数不为0，可得答案．本题考查了零指数幂，任何非0的0次幂都等于1．13.【答案】3)2018×3【解析】解：原式=(3×13=3．故答案为：3．直接利用积的乘方运算法则将原式变形得出答案．此题主要考查了积的乘方运算法则，正确将原式变形是解题关键．14.【答案】2【解析】解：(x+1)(kx−2)，=kx2−2x+kx−2，=kx2+(k−2)x−2，∵不含有x的一次项，∴k−2=0，解得：k=2．故答案为：2．根据多项式乘多项式的运算法则，展开后令x的一次项的系数为0，列式求解即可．本题考查了多项式乘多项式的运算法则，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．15.【答案】19cm【解析】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=CD，AC=2AE=6cm，又∵△ABD的周长=AB+BD+AD=13cm，∴AB+BD+CD=13cm，即AB+BC=13cm，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19cm．故答案为19cm．由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到AD=CD，AC=2AE，结合周长，进行线段的等量代换可得答案．此题主要考查了线段垂直平分线的性质(垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等)，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．16.【答案】34【解析】解：∵m+n=5，mn=2，∴m3n−2m2n2+mn3=mn(m2−2mn+n2)=mn[(m+n)2−4mn]=2×(52−4×2)=2×(25−8)=2×17=34，故答案为：34．根据m+n=5，mn=2和因式分解的方法，可以求得所求式子的值．本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法解答．17.【答案】9【解析】解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠ADB=90°，设BD=CD=x，则BC=2x，∴CF=BC=2x，∵∠CBE=30°，∴BE=2√33x，∵EF=6，∴BF=6+2√33x，过C作CH⊥BF于H，∴BF=2BH=2FH，∴BH=3+2√36x，CH=12BC=x，∵BH2+CH2=BC2，∴(3+2√36x)2+x2=(2x)2，解得：x=3√32(负值舍去)，∴BF=6+2√33x=9，故答案为：9．根据等腰三角形的性质得到BD=CD，∠ADB=90°，设BD=CD=x，则BC=2x，求得CF=BC=2x，根据直角三角形的性质得到BE=2√33x，求得BF=6+2√33x，过C作CH⊥BF于H，根据勾股定理即可得到结论．本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，含30°直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．18.【答案】72°【解析】解：∵M为其底角平分线的交点，∴AM平分∠BAC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，设∠A=2x，则∠DAM=x，∠MBC=∠MCB=45°−12x，∵DA=DM，∴∠DAM=∠DMA，由折叠的性质可得：∠MDC=∠MBC=45°−12x，则∠ADM=180°−∠MDC=135°+12x，在△ADM中，∠DAM+∠DMA+∠ADM=180°，即x+x+135°+12x=180°，解得：x=18°，则∠A=2x=36°．∴∠ABC=72°，故答案为：72°．根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，设∠A=2x，则∠DAM=x，∠MBC=∠MCB=45°−12x，根据折叠的性质得到∠MDC=∠MBC=45°−12x，根据三角形的内角和即可得到结论．本题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键熟练掌握三角形的内角和定理，难度一般．19.【答案】①②③【解析】解：如图1中，满足AM=BN=PC，可证△PMN是等边三角形，这样的三角形有无数个．如图2中，当NM=NP，∠MNP=90°时，△MNP是等腰直角三角形，这样的三角形有无数个．故①②③正确，△PNM的面积不存在最小值．故答案为①②③．利用图象法，画出图形判定即可解决问题．本题考查等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20.【答案】解：(1)原式=3m(a2−b2)=3m(a+b)(a−b)；(2)原式=a(4x2−4x+1)=a(2x−1)2．【解析】(1)原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；(2)原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．21.【答案】解：(1)原式=x−x2+x2+3x−2x−6=2x−6；(2)原式=a2−25b2−(a2+4b2+4ab)=a2−25b2−a2−4b2−4ab=−29b2−4ab．【解析】(1)直接利用整式的乘法运算法则化简，进而合并同类项即可；(2)直接利用乘法公式化简，进而合并得出答案．此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．22.【答案】解：原式=5x2+3x−1+x2−2x+1−7=6x2+x−7，当6x2+x=1时，原式=1−7=−6．【解析】直接利用整式的混合运算法则化简，进而把已知代入计算得出答案．此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．23.【答案】PB等腰三角形底边上的高线与顶角平分线互相重合【解析】解：(1)如图所示，直线PQ即为所求．(2)证明：∵PA=PB，PQ平分∠APB，∴PQ⊥l(等腰三角形底边上的高线与顶角平分线互相重合)．故答案为：PB，等腰三角形底边上的高线与顶角平分线互相重合．(1)根据角平分线的尺规作图可得；(2)利用等腰三角形的性质求解可得．本题主要考查作图−复杂作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图和等腰三角形的性质．24.【答案】证明：∵AO=BO，∴∠A=∠B，∵DC//AB，∴∠D=∠B，∠C=∠A，∴∠C=∠D，∴CO=DO．【解析】首先根据等边对等角可得∠A=∠B，再由DC//AB，可得∠D=∠B，∠C=∠A，进而得到∠C=∠D，根据等角对等边可得CO=DO．此题主要考查了等腰三角形的性质，关键是掌握等边对等角，等角对等边．25.【答案】4221【解析】解：(1)由规律得，63×67=100×6×(6+1)+3×7=4200+21=4221，故答案为：4221；(2)规律：个位数字相同，十位数字和为10的两个两位数相乘，结果末两位的是个位数字的平方(或乘积)，前几位是十位数字的乘积与与个位数字的和．理由：设将相同的个位数字设为m，十位数字分别为p，q，则p+q=10，∴pm−⋅qm−=(10p+m)(10q+m)=100pq+10pm+10qm+m2=100pq+10m(p+q)+m2=100pq+100m+m2=100(pq+m)+m2，即：个位数字相同，十位数字和为10的两个两位数相乘，结果末两位的是个位数字的平方(或乘积)，前几位是十位数字的乘积与与个位数字的和．(1)直接根据规律计算即可得出结论；(2)设将相同的个位数字设为m，十位数字分别为p，q，则p+q=10，进而得出pm−⋅qm−= 100(pq+m)+m2，即可得出结论．此题主要考查了数字问题，多项式乘以多项式，找出规律是解本题的关键．26.【答案】证明：(1)在BC上取一点E，使BE=AB，连结DE．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD．在△ABD 和△EBD 中，{AB =BE ∠ABD =∠EBD BD =BD∴△ABD≌△EBD(SAS)；∴DE =AD =12，∠BED =∠A ，AB =BE =17，∵∠A =120°，∴∠DEC =60°．∵∠C =60°，∴∠DEC =∠C ．∴DE =DC ，∴AD =DC ．(2)∵∠C =60°，DE =DC ，∴△DEC 为等边三角形∴EC =CD =AD ．∵AD =12，∴EC =CD =12，∴四边形ABCD 的周长=17+17+12+12+12=70．【解析】(1)在BC 上取一点E ，使BE =AB ，连结DE ，证得△ABD≌△EBD ，进一步得出∠BED =∠A ，利用等腰三角形的判定与性质与等量代换解决问题；(2)首先判定△DEC 为等边三角形，求得BC ，进一步结合(1)的结论解决问题．此题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形和等边三角形的判定与性质，结合图形，灵活解答．27.【答案】75°【解析】解：(1)①根据题意，补全图形如图1所示，②当点D 与点E 关于直线AB 轴对称时，∴AB ⊥DE ，∵△ADE 是等边三角形，∴∠DAE =60°，AD =AE ，∴∠BAC =12∠DAE =30°，∵AB=AC，(180°−∠BAC)=75°，∴∠ACB=12故答案为75°；(2)如图2，在BA上取一点F，使BF=BD，DE与AB的交点记作点H，∵△ADE是等边三角形，∴AD=ED，∠EAD=∠AED=60°，在△ABC中，AB=AC，∠ACB=80°，∴∠ABC=∠ACB=80°，∴∠BAC=180°−∠ACB−∠ABC=20°，∴∠BAE=∠DAE−∠BAC=40°，在△BCD中，BC=BD，∴∠BDC=∠ACB=80°，∴∠DBC=180°−∠ACB−∠BDC=20°，∴∠ABD=∠ABC−∠DBC=60°，∵BF=BD，∴△BDF是等边三角形，∵∠AED=∠ABD=60°，∠AHE=∠BHD，∴∠BDE=∠BAE=40°，∴∠BDF=60°，BD=FD=BF，∴∠ADF=180°−∠BDC−∠BDF=40°=∠ADF，∵DE=AD，∴△BDE≌△FDA(SAS)，∴FA=BE，∴BA=BF+FA=BD+BE．(1)①根据题意直接画出图形；②根据对称性判断出AB⊥DE，再判断出∠DAE=60°，进而求出∠BAC，即可得出结论；(2)先判断出∠ADF=∠EDB，进而判断出△BDE≌△FDA，即可得出结论．此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，对称性，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．28.【答案】A2【解析】解：(1)对于A1(3,2)，x2+3x+2=(x+1)(x+2)，故B 1(1,2)是A1的分解点．对于A3(−2,0)，x2−2x=x(x−2)，故B 3(0,−2是A3的分解点．点A2不存在分解点．故答案为A2．(2)∵P，Q在纵轴上，P，Q都存在分解点，∴P，Q的纵坐标只能是0，−1，−4，−16，当R1(1,0)时，∵△PQR的面积为6，∴PQ=12，∵P在Q的上方，∴P1(0,−4)，Q1(0,−16)，同法当R2(−1,0)时，可得P2(0,−4)，Q2(0,−16)，当R3(3,0)时，可得P3(0,0)，Q3(0,−4)，当R4(−3,0)时，可得P4(0,0)，Q4(0,−4)，当R5(4,0)时，可得P5(0,−1)，Q5(0,−4)，当R6(−4,0)时，可得P6(0,−1)，Q6(0,−4)，当R7(12,0)时，可得P7(0,0)，Q7(0,−1)，当R8(−12,0)时，可得P8(0,−4)，Q8(0,−1)，综上所述，△PQR的个数为8．(3)如图，设D(m,n)，则m，n是正整数，∵(x+m)(x+n)=x2+(m+n)x+mn且D为C的分解点，∴C(m+n,mn)．当m=1时，D(1,n)，C(n+1,n)，此时OC>OD>CD，不可能构成等腰三角形．当m≠1时，则m+n>m，mn>m，则点C必在直线x=m，y=n相交直线的右上角区域，此时OC>OD，OC>CD，若△OCD为等腰三角形，只可能OD=CD，如图，过C作CN⊥直线y=n，过点D作DM⊥x轴于M．在Rt△ODM和Rt△CDN中，DM=DN=n，若OD=CD，则Rt△ODM≌Rt△CDN(HL)，∴DM=CN，即m=mn−n，此式子可以化为(m−1)(n−1)=1，∵m，n为正整数，∴m=2，n=2，即D(2,2)，C(4,4)，此时O，C，D共线，△OCD不存在，综上所述，△OCD不可能为等腰三角形．(1)根据B是A的分解点的定义判断即可．(2)因为P，Q在纵轴上，P，Q都存在分解点，推出P，Q的纵坐标只能是0，−1，−4，−16，当R1(1,0)时，由△PQR的面积为6，推出PQ=12，由P在Q的上方，推出P1(0,−4)，Q1(0,−16)，同法可求其余各个点．(3)如图，设D(m,n)，则m，n是正整数，由题意(x+m)(x+n)=x2+(m+n)x+mn 且D为C的分解点，推出C(m+n,mn).分两种情形：①当m=1时，D(1,n)，C(n+1,n)，此时OC>OD>CD，不可能构成等腰三角形．②当m≠1时，可以证明O，C，D共线，不存在△OCD．本题属于三角形专题，考查了分解点的定义，三角形的面积，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．。
2019-2020海淀区人大附中初二上学期期中数学试卷.pdf
22222
如图
，中，和
为角平分线，且，求证：．
2△ABC BD CE AE =AD AB =AC 28.（1）如图，点在直线的右侧，求证：．
（2）【阅读材料】关于与的大小关系，教材中有一般性的论述．
实验与探究
三角形中边与角之间的不等关系
学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也打吗？
如图，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在上，点落在上的
点，折线交于点，则．
我们知道：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
如图，点是线段的垂直平分线上的一点，由线段的垂直平分线的性质可知，．由等腰三角形的性质进一步可以得到．
在此基础上，若平面上的一个点在直线的右侧，连接，．思考并解决：此时和，与的大小关系又是怎样呢？【运用学过的知识解决问题】
1A BC MN AB =AC ∠ABC =∠ACB P MN P B P C P B P C ∠P BC ∠P CB 2P MN P B >P C ∠P BC ∠P CB 1△ABC AB >AC △ABC AC AB C AB D BC E ∠C =∠ADE
（2）。
初二数学上册知识点：人大附中期中试题版_考点解析
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导读：现在不努力长大上人大，现在多努力孩子上人大附中，这一句话在人大附中里是一句默认的“潜规则”，虽然大家听过后一笑了之，可这也正说明了人大附中在人们心中的口碑好、水平高。
而此时，恰逢期中考试，查字典数学网小编末宝就为大家带来了人大附中去年的期中试卷，虽然不是最新的，但知识总是想通的，不介意的话大家就来练练手咯。
人大附中是一所口碑好的学校，教学进度会比较超前，所以他们这份期中考试试卷包含人教版八上后三章的内容，有轴对称，整式的乘除与因式分解以及分式，难度还可以，大家学的快的可以多练习一下哈!
查字典数学网小编末宝还贴心的为大家准备是带有解析版本的哦，如果你想挑战一下自己，就尽管私信小编末宝，末宝会给你份上无答案的试题版，让你越练越开心。
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北京市中国人民大学附属中学2019-2020学年八年级上学期期中数学试题(解析版)
人大附中 2019-2020 学年度第一学期初一年级数学期中练习一、选择题（本大题共30分，每小题3分）1.壮丽七十载，奋进新时代. 2019 年10 月1 日上午庆祝中华人民共和国成立70 周年大会在北京天安门广场隆重举行，超20 万军民以盛大的阅兵仪式和群众游行欢庆共和国70 华诞，其中20 万用科学计数法表示为（）A. 20×104B. 2×105C. 2×104D. 0.2×106【答案】B【解析】【分析】根据科学记数法的较大数的表示方法表示即可．【详解】解：20万=200 000=2×105．故选B．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2.二次三项式2x2﹣3x﹣1二次项系数，一次项系数，常数项分别是（）A. 2，﹣3，﹣1B. 2，3，1C. 2，3，﹣1D. 2，﹣3，1【答案】A【解析】【分析】根据单项式的系数定义和多项式项的概念得出即可．【详解】二次三项式2x2﹣3x﹣1二次项系数，一次项系数，常数项分别是2，﹣3，﹣1，故选A．【点睛】本题考查了多项式的有关概念，能熟记多项式的项和单项式的次数和系数定义的内容是解此题的关键．3.下列计算正确的是（）A. 5a－a = 4B. 3a + 2b = 5abC. 3a2b－3ab2= 0D. a－(2－b)= a－2+b 【答案】D【解析】【分析】根据合并同类项运算法则计算，判断即可．【详解】解：A. 5a－a = 4a，故错误；B. 3a + 2b，不能合并，故错误；C. 3a2b－3ab2，不能合并，故错误；D. a－(2－b)= a－2+b，正确.故选D.【点睛】本题考查的是合并同类项，掌握运算法则是解题的关键．4.下表是某地未来四天天气预报表：根据图中的信息可知这四天中温差最大的是A. 星期一B. 星期二C. 星期三D. 星期四【答案】C【解析】【分析】用最高温度减去最低温度，然后根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．【详解】解：A. 星期一：8-0-=8℃；B. 星期二：6-（-1）=7℃；C. 星期三：7-（-2）=9℃；D. 星期四：6-（-2）=8℃.故这四天温差最大的是星期三故选C.【点睛】本题考查了有理数的减法，熟记运算法则是解题的关键．5.若x =－1是关于x 的方程3x + 6 = t 的解，则t 的值为（）A. 3B. －3C. 9D. －9【答案】A【解析】【分析】把x =－1代入3x + 6 = t求出t即可.【详解】解：把x =－1代入3x + 6 = t得t=3故选A.【点睛】本题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．6.实数a ，b ，c ，d 在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A. a＞－4B. bd＞0C. b + c＞0D. | a |＞|b|【答案】D【解析】【分析】观察数轴，找出a、b、c、d四个数的大概范围，再逐一分析四个选项的正误，即可得出结论．【详解】解：A. 根据数轴可知a＜-4，故错误；B. ∵b＜-1，d=4∴bd<0，故错误；C. ∵-2<b ＜-1，0<c<1∴b + c <0，故错误；D. 54,21a b -<<--<<-Qa b ∴>，故正确.故选D.【点睛】本题考查了实数与数轴以及绝对值，观察数轴，逐一分析四个选项的正误是解题的关键． 7.历史上，数学家欧拉最先把关于 x 的多项式用记号 f (x )来表示，把 x 等于某数a 时的多项式的值用f (a )来表示，例如 x =－2 时，多项式 f (x )= x 2 +5x －6 的值记为 f (－2)，那么 f (－2)等于（ ）A. 8B. －12C. －20D. 0【答案】B【解析】【分析】把x=-2代入f （x ）计算即可确定出f （-2）的值．【详解】解：根据题意得：f （-2）= x 2 +5x －6=4-10-6=-12．故选B ．【点睛】本题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8.初一年级 14 个班举行了篮球联赛，规则如下：（1）每一个班都要和其他 13 个班打一场比赛，且每一场比赛一定分出胜负；（2）胜一场积 2 分，负一场积,1 分；（3）比赛结束后按照班级总积分高低颁发奖项. 若一个班已经完成了所有的比赛，胜m 场，则该班总积分为（ ）A. 2mB. 13－mC. m +13D. m +14 【答案】C【解析】【分析】根据胜一场积2分，负一场积1分，以及胜m 场，进而列出式子求出答案．【详解】解：由题意得：()21313+m m m +-=【点睛】本题考查了列代数式，读懂题意知道一共参加了13场比赛是解题的关键.9.已知当x =2 时，代数式ax3－bx +3的值为5，则当x =－2 时，ax3－bx +3的值为（）A. 5B. －5C. 1D. －1【答案】C【解析】【分析】把x=2代入代数式，使其值为5确定出8a-2b的值，再将x=-2 代入ax3－bx +3化简得-（8a-2b）+3，再代入计算即可求出值．【详解】解：根据题意得：8a-2b+3=5，即8a-2b=2，则当x=-2时，原式=-（8a+2b）+3=-2+3=1，故选C.【点睛】本题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10.已知| a| + a = 0，则化简|a－1| +|2a－3| 的结果是（）A. 2B. －2C. 3a－4D. 4－3a【答案】D【解析】【分析】根据| a| + a = 0，可知a≤0，继而判断出a-1，2a-3的符号，后去绝对值求解．【详解】解：∵|a|=-a，∴a≤0．则|a－1| +|2a－3| =-（a-1）-（2a-3）=4－3a．故选D．【点睛】本题考查绝对值的化简：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对二、填空题（本大题共 16 分，每小题 2 分）11.3的相反数是__________．【答案】-3【解析】【分析】此题依据相反数的概念求值．相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．【详解】解：相反数只是符号不同，故3的相反数为−3−3.【点睛】错因分析容易题.失分原因是：相反数与绝对值的概念混淆.12.比较大小：12-____13-（用“＞或=或＜”填空）．【答案】＜【解析】【分析】根据绝对值的性质即可求解.【详解】∵11 23＞∴12-＜13-故填：＜.【点睛】此题主要考查有理数的大小比较，解题的关键是熟知绝对值的性质.13.如果|m﹣3|+(n+2)2＝0，那么mn的值是_____．【答案】-6【解析】【分析】直接利用绝对值以及偶次方的性质得出m，n的值，进而得出答案．【详解】∵|m﹣3|+(n+2)2=0，∴m﹣3=0，n+2=0，解得：m=3，n=﹣2，故mn=﹣6，故答案为﹣6．【点睛】本题考查了非负数的性质，正确得出m，n的值是解题关键．14.请写出一个只含字母x 、y ，系数为3，次数为4 的单项式：_______________.【答案】3x3y【解析】【分析】根据单项式系数和次数的定义求解即可.【详解】解：根据单项式系数和次数的定义，一个含有字母x、y且系数为3，次数为4的单项式可以写为：3x3y．故答案为3x3y．【点睛】本题主要考查了单项式，要注意所写的单项式一定要符合单项式系数和次数的定义．15.测得一种树苗的高度与树苗生长的年数有关的数据如下表所示（树高原高100 cm）假设以后每年树苗的高度的变化规律与表中相同，请用含n（n 为正整数）的式子表示生长了n 年的树苗的高度为__________cm.【答案】100+5n【解析】【分析】从上表可以看出，树每年长高5厘米．所以生长了n 年的树苗的高度为100+5n.【详解】解：根据题意有：生长了n 年的树苗的高度为100+5n故答案为100+5n.【点睛】本题的关键是算出树每年长高多少厘米．通过观察，分析、归纳并发现其中的规律．16.下面的框图表示解方程3x + 20 = 4x－25 的流程：请写出移项的依据：__________.【答案】等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍是等式【解析】【分析】根据等式的性质求解即可．【详解】解：解方程3x+20=4x-25的流程．移项的依据是等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍是等式，故答案为等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍是等式【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解本题的关键．17.在数轴上，点O 为原点，点A、B分别表示数a 、2，将点A 向右平移1 个单位长度，得到点C，若CO=2BO，则a 的值为____________.【答案】-5或3【解析】【分析】根据CO=2BO可得点C表示的数为±4，据此即可求出a．【详解】解：∵CO=2BO，OB=2∴点C表示的数为±4，∴a=-4-1=-5或a=4-1=3．故答案为-5或3.【点睛】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．18.某电动汽车“行车数据”的两次记录如下表：（注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量，平均耗电量= 累计耗电量累计里程，剩余续航里程=剩余电量平均耗电量，表中数据可得，该车在两次记录时间段内行驶100 公里的耗电量约为__________度（结果精确到个位）【答案】16.6【解析】【分析】根据累计耗电量公式计算．【详解】解：4100×0.126-4000×0.125=516.6-500=16.6．故答案为16.6．【点睛】本题考查了函数模型的应用，属于基础题．三、解答题（本答题共54分，第19题16分，第20-23每题4分，第24-25题每题5分，第26-27题每题 6分）19.计算题：（1） (－8)－(－15)+(－9)－(－12)（2）－2.5×316(1)()53-÷-（3）－14 ÷[ (－4)2 ×311+3()22÷- （4）(3a －2b )+(4a －9b )【答案】（1）10；（2）3-4；（3）116；（4）711a b - 【解析】【分析】（1）减法转化为加法，再根据加减运算法则计算可得；（2）把小数化为分数然后除法转化为乘法然后去括号计算即可；（3）化除为乘然后先计算乘方与乘法，再根据加减法运算法则计算即可；（4）去括号然后合并同类项即可.【详解】解：（1）原式= =-8+15-9+12=-17+27=10； （2）原式=583---=2516⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3-4； （3）原式=()1-116-38=-1-16=2⎛⎫÷⨯⨯÷ ⎪⎝⎭116； （4）原式=3249=a b a b +－－711a b -故答案为（1）10；（2）3-4；（3）116；（4）711a b -. 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算与整式的加减运算，关键在于通过正确的去括号和合并同类项对整式进行化简，并熟练掌握有理数的混合运算顺序与运算法则．20.解方程： 3x +3 = 8－12x 【答案】x=13【解析】 【分析】原式移项，然后合并同类项再系数化为1即可. 【详解】解：3x +12x =8-3 解得：x=13 故答案x=13. 【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键. 21.先化简，再求值： 5x 2 + 2x －(4x 2－1)+ 2(x －3)，其中 x =－12【答案】2+45x x -，11-4【解析】 【分析】先去括号再合并同类项，最后代入求出即可．【详解】解：原式=225 24+16 2=x x x x ++－－2+45x x -把x =－12代入原式得：原式=21+415=22⎛⎫ ⎪⎝⨯-⎭11-4 故答案为2+45x x -，11-4. 【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，主要考查学生的计算和化简能力． 22.已知3x －y －2 = 0 ，求代数式5(3x －y )2－9x +3 y －13的值. 【答案】1【解析】【分析】根据3x－y－2 = 0得3x－y = 2，把3x－y = 2代入5(3x－y)2－9x +3 y－13化简求解即可. 【详解】解：Q3x－y－2 = 0∴3x－y = 2Q5(3x－y)2－9x +3 y－13=5(3x－y)2－3（3x-y）－135(3x－y)2－3（3x-y）－13=5×22-3×2-13=1故答案为1.【点睛】本题考查代数式化简求值计算，关键是根据已知式子进行解答．23.已知关于x 的方程(| k |－3)x2－(k－3)x + 2m+1= 0 是一元一次方程.（1）求k 的值；（2）若已知方程与方程3x = 4－5x 的解相同，求m 的值.【答案】（1）k=-3；（2）m=-2【解析】【分析】（1）根据一元一次方程的定义进行解答；（2）先解方程3x=4-5x，再把方程的解代入原方程可得m的值．【详解】解：（1）由题意得|k|-3=0，k-3≠0，∴k=-3；（2）3x=4-5x，3x+5x=4，x=1 2原方程：6x+2m+1=0，把x=12代入：3+2m+1=0，m=-2．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式和解一元一次方程，明确一元一次方程只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．24.在抗洪抢险中，人民解放军的冲锋舟沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A 地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天航行路程记录如下：（单位：千米）14，－9，18，－7，3，－6，10，－5，－13（1）通过计算说明B 地在A 地的何位置；（2）已知冲锋舟每千米耗油0.5 升，油箱容量为50 升，若冲锋舟在救援前将油箱加满，请问该冲锋舟在救援过程中是否还需要补充油？【答案】（1）B地在A地东5千米；（2）不需要【解析】【分析】（1）根据有理数的加法运算，可得答案；（2）根据行车的总路程以及每千米耗油，可得耗油量．【详解】解：（1）14-9+18-7+3-6+10-5-13=5，答：B地在A地东5千米；（2）不需要，（14+|-9|+18+|-7|+3+|-6|+10+|-5|+|-13|）×0.5=85×0.5=42.5（升），50-42.5=7.5（升），故途中不需要补充油．故答案为（1）B地在A地东5千米；（2）不需要.【点睛】本题考查了正数和负数，有理数的加法运算是解题关键．25.定义：任意两个数a 、b ，按规则c = a +b－ab 扩充得到一个新数c ，称所得的新数c 为“如意数”.（1）若a =2，b =－3，直接写出a 、b 的“如意数” c ；（2）若a =2，b = x2 +1，求a 、b 的“如意数” c ，并比较b 与c 的大小；（3）已知a=x2-1，且a 、b 的“如意数” c = x3 +3x2－1，则b = （用含x 的式子表示）【答案】（1）5；（2）b>c ；（3）x+2 【解析】 【分析】（1）根据“如意数”的定义即可判断； （2）根据“如意数”的定义即可判断；（3）根据“如意数”的定义，构建方程求出b 即可； 【详解】解：（1）根据题意有c=()2-3-2-3⨯=5； （2）根据题意有c=2+ x 2 +1-2×（x 2 +1）=- x 2 +1Q b = x 2 +1， x 2 ≥0∴b>c（3）由题意得x 3+3x 2-1=（x 2-1）b+（x 2-1）+b ， ∴x 2b=x 3+2x 2， ∵x ≠0， ∴b=x+2．故答案为（1）5；（2）b>c ；（3）x+2．【点睛】本题考查新定义下的实数运算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．26.小明学习了《有理数》后，对运算非常感兴趣，于是定义了一种新运算“△”规则如下：对于两个有理数m ， n ， m △ n =||2m n m n-++.（1）计算:1△（－2）= ；（2）判断这种新运算是否具有交换律，并说明理由；（3）若a 1 =| x －1| ， a 2 =| x －2|，求a 1△ a 2（用含 x 的式子表示）【答案】（1）1；（2）满足；（3）当x≥1.5时，a 1△ a 2= x-1；当x<1.5时，a 1△ a 2= 2-x. 【解析】【分析】（1）利用规定的运算方法代入求得数值即可；（2）把（1）中的数字位置调换，计算后进一步比较得出结论即可；（3）分情况讨论求出a1△a2即可.【详解】解：（1）1△（－2）=()()|1-2|1-22-++=1；（2）具有交换律，理由如下：把（1）中的数字位置调换有（－2）△1=()()|-2-1|-212++=1=1△（－2）∴满足交换律；（3）Q a1=| x－1| ，a2=| x－2|∴a1△ a2=|1-2|122x x x x--+-+-当x≥2时，a1△ a2=|1-2|122x x x x--+-+-=()|1-2|122x x x x--+-+-=x-1；当1≤x<2时，a1△a2=|1-2|122x x x x--+-+-=()|1-2|122x x x x--+-+-=|23|12-+x当1≤x<1.5时，a1△a2=|23|1321=222-+-+=-x xx当1.5≤x<2时，a1△a2=|23|1231=1 22-+-+=-x xx当x<1时，a1△a2=|1-2|122x x x x--+-+-=()|1-2|122x x x x--+-+-=2-x故答案为（1）1；（2）满足；（3）当x≥1.5时，a1△a2=x-1；当x<1.5时，a1△a2= 2-x.【点睛】本题考查了有理数的混合运算．定义新运算的题目要严格按照题中给出的计算法则计算．27.如图，设A 是由n×n 个有理数组成的n 行n 列的数表，其中a ij（i，j =1，2，3，，n ）表示位于第i 行第j 列的数，且a ij取值为1 或－1.a11a12a1na21a22a2na1na2n a nn对于数表A 给出如下定义：记x i 为数表A 的第i 行各数之积，y j为数表A 的第j 列各数之积.令S = (x1+x2++ xn )+(y1+ y2+ yn)，将S 称为数表A 的“积和”.（1）当n = 4 时，对如下数表A，求该数表的“积和” S 的值；11－1－1 1－111 1－1－11－1－111（2）是否存在一个3×3 的数表A，使得该数表的“积和” S =0 ？并说明理由；（3）当n =10 时，直接写出数表A 的“积和” S 的所有可能的取值.【答案】（1）0；（2）不存在；（3）16，12，8，0，-4，-8，-12，-16，-20【解析】【分析】（1）根据已知条件直接求解即可；（2）不存A∈S（3，3），使得S =0．可用反证法证明假设存在，得出矛盾，从而证明结论；（3）根据已知条件求出l（A）关于A∈S（n，n），（k=0，1，2，…，n）的关系式然后代入求值即可.【详解】解：由题意得：（1）S4= (x1+ x2+x3+ x4)+(y1+ y2+y3+ y4)=（1-1+1+1）+（-1-1+1-1）=0（2）不存在A∈S（3，3），使得S=0．证明如下：假设存在A∈S（3，3），使得S=0．因为x i（A）∈{1，-1}，y j（A）∈{1，-1}，（i，j=1，2，3），所以x1（A），…，x3（A）；y1（A），…，y3（A），这9个数中有3个1，3个-1．令M=x1（A）•…x3（A）y1（A）…y3（A）．一方面，由于这9个数中有3个1，3个-1，从而M=-1．①另一方面，x1（A）•…x3（A）表示数表中所有元素之积（记这9个实数之积为m）；y1（A）•…y9（A）也表示m，从而M=m2=1．②①、②相矛盾，从而不存在A∈S（3，3），使得S=l（A）=0．(3)（i）对数表A0：a ij（i，j=1，2，3，…，n），显然l（A0）=2n．将数表A0中的a11由1变为-1，得到数表A1，显然l（A1）=2n-4．将数表A1中的a22由1变为-1，得到数表A2，显然l（A2）=2n-8．依此类推，将数表A i-1中的a kk由1变为-1，得到数表A k．即数表A k满足：a11=a22=…=a kk=-1（1≤k≤n），其余a ij=1．∴r1（A）=r2（A）=…=r k（A）=-1，C1（A）=C2（A）=…=C k（A）=-1．∴l（A k）=2[（-1）×k+（n-k）]=2n-4k，其中k=1，2，…，n．当n =10 时，数表A 的“积和” S 的所有可能的取值为：16，12，8，0，-4，-8，-12，-16，-20.故答案为（1）0；（2）不存在；（3）16，12，8，0，-4，-8，-12，-16，-20.【点睛】本题考查新定义，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，考查反证法的运用，难度较大．。
每日一学：北京市北京市中国人民大学附属中学2019-2020学年八年级上学期数学期中考试试卷_压轴题解答
约为________度（结果精确到个位）
பைடு நூலகம்
~~ 第3题 ~~ (2020北京.八上期中) 已知| a| + a = 0，则化简 |a－1| +|2a－3| 的结果是（ ）
A . 2 B . －2 C . 3a－4 D . 4－3a
北 京 市 北 京 市 中 国 人 民 大 学 附 属 中 学 2019-2020学 年 八 年 级 上 学 期 数 学 期 中 考 试 试 卷 _压 轴 题 解 答
~~ 第1题 ~~
答案：
解析：
~~ 第2题 ~~
答案： 解析：
~~ 第3题 ~~
答案：D
解析：
1
1
－1
－1
1
－1
1
1
1
－1
－1
1
－1
－1
1
1
（2） 是否存在一个 3×3 的数表 A，使得该数表的“积和” S =0 ？并说明理由；
（3） 当n=10 时，直接写出数表 A 的“积和” S 的所有可能的取值.
考点： 定义新运算;
答案
~~ 第2题 ~~
(2020北京.八上期中) 某电动汽车“行车数据”的两次记录如下表：
a
a
a
a
a
a
M
M
M
a
a
a
对于数表 A 给出如下定义：记 xi 为数表 A 的第i 行各数之积，y j 为数表 A 的第 j 列各数之积.令S = (x1+ x2+L+ x )+(y1 + y2L+ y )，将S 称为数表 A 的“积和”.
（1） 当n= 4 时，对如下数表 A，求该数表的“积和” S 的值；
2019-2020北京人大附初二上册期中考试试卷数学(含解析).doc
北京人大附中初二上期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）．A ．B ．C ．D ．2．分式21a +有意义，则a 的取值范围是（ ）． A ．0a = B ．1a = C ．1a ≠- D ．0a ≠3．下列运算正确的是（ ）．A ．22a a a ⋅=B ．()326a a =C ．()33ab ab =D ．1025a a a ÷=4．点()2,1M -关于x 轴的对称点N 的坐标是（ ）． A ．(2,1)B ．(2,1)-C ．(2,1)--D ．(2,1)-5．下列各式从左到右的变形正确的是（ ）． A ．a b a ba b a b +-=-+ B ．11x x x y x y+--=-- C ．0.220.22a b a ba b a b++=++D ．122122x yx y x y x y --=++6．如图，在ABC △中，AB AC =，AD 是BC 边上的中线，点E 、F 、M 、N 是AD 上的四点，若ABC △的面积是16，则图中阴影部分的总面积是（ ）．A ．6B ．8C ．4D ．127．如图，Rt ABC △中90C ∠=︒，30A ∠=︒，12AB =，CD AB ⊥与点D ，则BD =（ ）．A ．5B ．4C ．3D ．2DAN MFE DCBA8．如图，在ABC △中，AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ∥交AC 于点E ，若7DE =，5CE =，则AC =（ ）．A ．11B ．12C ．13D ．149．将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后再最后折叠的纸片沿虚线剪去右上方的小三角形，将纸片展开，得到的图形是（ ）．A． B．C． D．10．计算()()23ax b x +-的结果是323927x x x +--，则222a ab b ++的值是（ ）． A ．9 B ．16C ．25D ．36二、填空题（每空2分，共20分）11．若分式2x x-的值为零，那么x 的值为__________．12．比较大小：332__________223．13．已知5a b +=，2215a b -=，则a b -的值是__________．14．如图，从边长为1a +的正方形纸片中剪去一个边长为1a -的正方形()1a >，剩余部分沿虚线剪开，再拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是__________．EDCBA15．现规定一种运算：2a b a ab*=-，则()1x x*+所表示的代数式是__________．16．计算()()232x k x-+的结果中不含x项，则k的值是__________．17．如图，已知三角形纸片ABC，AB AC=，50A∠=︒，将其折叠，使点A与点B重合，折痕为ED，点E、D分别在AB、AC上，则DBC∠的度数是__________．(A)EDCBACBA18．如图，在ABC△中，AB AC<，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，8AC=，ABE△的周长为14，则AB的长是__________．ED CBA19．如图，直角三角形纸片ABC中，D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交于点1P；设1P D的中点为1D，第2次将纸片折叠，使点A与点1D重合，折痕与AD交于2P；设21P D的中点为2D，第3次将纸片折叠，使点A与点2D重合，折痕与AD交于点3P；…；设12n nP D--的中点为1nD-，第n次将纸片折叠，使点A与点1nD-重合，折痕与AD交于()2nP n>，若5AD=，则2AP的长为__________，nAP的长为__________．第3次折叠第2次折叠第1次折叠P1P3D2D1DCBAP2D1DCBADCBA三、解答题：（每小题4分，共28分）20．计算：（1）()()22x y x y xy x+-+÷；（2）()()233x y y x y-+-．21．分解因式：（1）39a b ab -；（2）221632x y xy y -+．22．画出ABC △关于直线MN 的对称的图形．M N CBA23．（1）已知2a b -=，求()24a b b -+的值；（2）先化简，再求值：()()()212111x x x --+++，其中234x x -=．四、解答题（每小题4分，共12分）24．如图，AB AC =，ABD ACE ∠=∠，BD 与CE 交于点O ． 求证：OB OC =．OEDCBA25．列方程解应用题：一个长方形鱼池的长比宽多2米，如果鱼池的长和宽分别增加3米，那么这个鱼池的面积将增加39平方米，问这个鱼池原来的宽是多少米？26．如图，ABC △中，AD 平分BAC ∠，CD AD ⊥与点D ，2ACD B ∠=∠，若8CD =，26AB =，求AC 的长．DCBA五、解答题：（每小题5分，共10分）27．阅读理解应用：选取二次三项式2x bx c ++中的二次项2x 和一次项bx ，再配上一个常数24b ，可以把2x bxc ++变形为2224b b x c ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭，这种变形的过程叫配方法．例如：()()()2222281812441415x x x x x x x -+=-+=-⋅⋅++=--；根据上述材料，解决下面问题：（1）若代数式2610xx ++可化为()2x a b++，则a b +的值是__________．（2）设()()22M x x =-+，()()211N x x =++，比较M 与N 的 ；（3）若236292m m -+是完全平方数，求正整数m 的值． 28．已知：在ABC △中，AB AC =，BAC α∠=，点D 是线段AB 的垂直平分线上一点，连接AD 、BD 、CD ．（1）当60α=︒且D 在线段AB 上时，ACD ∠的大小为__________（直接写出结论）； （2）如图，当100α=︒，20ABD ∠=︒时，求ACD ∠的大小；（3）若点D 在ABC △内部，当ABD ∠的度数是__________时，ACD ∠的大小与（2）中的结果相同，请直接写出结论．DCBA北京人大附中初二上期中数学试卷答案一．选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 AC B CD B C B A B二．填空题1112 13 14 15 16 17 18 192<3 4ax -4315︒ 6158；121532n n --⨯三．解答题20．（1）()()22x y x y xy x +-+÷2222x y y =-+ 22x y =+．（2）()()233x y y x y -+- 222963x y xy xy y =+-+- 293x xy =-．21．（1）39a b ab - 2(9)ab a =-(3)(3)ab a a =-+．（2）221632x y xy y -+ 22(816)y x x =-+22(4)y x =-．22．作图如下：23．（1）()24a b b -+224a b b =--()()4a b a b b =-+-∵2a b -=，∴原式2()4224a b b a b =+-=-=． （2）()()()212111x x x --+++ 22231121x x x x =-+++++33x x =-+．∵234x x -=， ∴原式437=+=．24．证明：连结BC ， ∵AB AC =， ∴ABC ACB ∠=∠． 又∵ABD ACE ∠=∠，1ABC ABD ∠=∠-∠， 2ACB ADE ∠=∠-∠，∴12∠=∠．∴OB OC =．25．解：设鱼池原来的宽为x 米，则原长为2x +米．由题意得， (3)(5)(2)39x x x x ++-+=，解方程得4x =．答：鱼池原来的宽为4米．26．解：如图，延长CD 交AB 于点E ． ∵AD 平分BAC ∠, ∴12∠=∠． ∵CD AD ⊥，∴90ADE ADC ∠=∠=︒． ∵在ADE △和ADC △中， 12AD ADADE ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴ADE △≌ADC △（ASA ）． ∴8DE CD ==．AEC ACD ∠=∠．又∵2ACD B ∠=∠,AED B ECB ∠=∠+∠．∴B ECB ∠=∠． ∴16BE CE ==，∴10AC AE AB BE ==-=．27．解：（1）4 （2）N M >． N M -(21)(1)(2)(2)x x x x =++--+ 222314x x x =++-+ 235x x =++21O EDCB A21EDCBA2311()24x =++∵23()02x +≥，∴0N M ->． 故N M >．（3）236292m m -+ 2(18)32m =--．∵若236292m m -+是完全平方数， ∴2236292m m n -+=（n 为正整数）． ∴22(18)32m n --=． ∴(18)(18)32m n m n ---+=．由题意得1818m n p m n q --=⎧⎨-+=⎩，其中p ，q 奇偶性相同，且32p q ⋅=．∴182p qm +=+． 解得27m =，24，12，9． 28．（1）30︒． （2）30ACD ∠=︒．如图，作20EAD ∠=︒，并截取AE AB =． 在BAD △和EAD △中， AB AE BAD EAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴BAD △≌EAD △． ∴ED BD =．∵D 在线段AB 的垂直平分线上， ∴AD BD =． ∴ED AD =．∵100BAC ∠=︒，∴100202060EAC ∠=︒-︒-︒=︒． 又AE AB AC ==， ∴EAC △是等边三角形． ∴EA EC =．在DAC △和DEC △中， AC EC AD ED CD CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴DAC △≌DEC △． 故1302ACD ECD ACE ∠=∠==︒． （3）602α-︒．EDCBADA作DAE BAD ∠=∠，并截取AE AB =．同（2）证明，可得AE AB AC ==，DAC △≌DEC △． 假设30DAC ∠=︒，则260ACE DCA ∠=∠=︒． 可得EAC △为等边三角形． ∴60EAC ∠=︒． ∴602BAD DAE α-︒∠=∠=．北京人大附中初二上期中数学试卷部分解析一．选择题1．【答案】A【解析】由轴对称图形的定义知A 不是轴对称图形．故选A ．2．【答案】C【解析】1a ≠-时分式21a +有意义．故选C ．3．【答案】B【解析】()326a a =．故选B ．4．【答案】C【解析】点()2,1M -关于x 轴的对称点N 的坐标(2,1)--．故选C ．5．【答案】D 【解析】122122x yx yx y x y--=++正确．故选D ．6．【答案】B【解析】阴影部分的总面积是三角形面积的一半，故阴影部分的总面积是8．故选B ．7．【答案】C【解析】Rt ABC △中90C ∠=︒，30A ∠=︒，12AB =， ∴162BC AB ==．在Rt BDC △中，60B ∠=︒， ∴132BD BC ==． 故选C ．8．【答案】B【解析】AD 是BAC ∠的平分线，∴BAD CAD ∠=∠．∵DE AB ∥，∴BAD ADE ∠=∠．∴CAD ADE ∠=∠，∴7AE DE ==．∴12AC AE CE =+=．故选B ．9．【答案】A【解析】将图形展开后为A 图．故选A ．10．【答案】B【解析】另1x =，则原式2()(2)1392732a b =+⨯-=+--=-， ∴2()16a b +=．故选B ．二、填空题11．【答案】2【解析】x 的值为2时，分式2x x -的值为零．故答案为2．12．【答案】<【解析】333112(2)=，222113(3)=，∵3223<，∴332223<．故答案为<．13．【答案】3【解析】22()()5()15a b a b a b a b -=-+=-=，故3a b -=．故答案为3．14．【答案】4a【解析】矩形面积为22(1)(1)4a a a +--=．故答案为4a ．15．【答案】x -【解析】由题知()21(1)x x x x x x *+=-+=-．故答案为x -．16．【答案】43【解析】()()2223264326(43)2x k x x x kx k x k x k -+=+--=+--． ∵不含x 项，∴430k -=，解得43k =． 故答案为43．17．【答案】15︒【解析】AB AC =，50A ∠=︒，则18050652ABC ︒-︒∠==︒．由折叠的性质知50ABD A ∠=∠=︒，∴15DBC ABC ABD ∠=∠-∠=︒．故答案为15︒．18．【答案】6【解析】由垂直平分线的性质知BE CE =，∴8AE BE AE EC +=+=，∴1486AB =-=．故答案为6．19．【答案】158；534nn ⨯ 【解析】134AD AD =，2134AD AD =，……，134n n AD AD -=， ∴534nn n AD ⨯=． 又12125332n n n n AP AD --⨯==． ∴2158AP =,121532n n n AP --⨯=． 故答案为158，121532n n --⨯。
2019-2020学年北京八中八年级(上)期中数学试卷
2019-2020学年北京八中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）下面四幅画分别是体育运动长鼓舞，武术，举重、摔跤抽象出来的简笔画，其中是轴对称图形的是()A．B．C．D．2．（3分）计算25-的结果是()A．10-B．25-C．125D．125-3．（3分）如图，ABC DEC∆≅∆，70A∠=︒，60ACB∠=︒，则E∠的度数为()A．70︒B．50︒C．60︒D．30︒4．（3分）下列各式从左到右的变形是因式分解的是()A．()a b c ab ac-=-B．2223(1)2x x x-+=-+ C．24(2)(2)x x x-=+-D．2(1)(2)32x x x x++=++5．（3分）下列分式中，是最简分式的是()A．2xxB．242xx y-C．22x yx y-+D．23x-6．（3分）如图，用尺规作图作AOC AOB∠=∠的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，那么第二步的作图痕迹②的作法是()A．以点F为圆心，OE长为半径画弧B ．以点F 为圆心，EF 长为半径画弧C ．以点E 为圆心，OE 长为半径画弧D ．以点E 为圆心，EF 长为半径画弧7．（3分）若1x =-，则下列分式值为0的是( )A ．2x xB ．1x x +C ．1x x-D ．21x x-8．（3分）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在( )A ．ABC ∆的三条中线的交点B ．ABC ∆三边的中垂线的交点C ．ABC ∆三条角平分线的交点D ．ABC ∆三条高所在直线的交点9．（3分）下列各式从左到右的变形正确的是( ) A ．1x yx y-+=-- B ．11x x y y +=+C ．11x x y y =++ D ．22233()x x y y-=10．（3分）已知：如图，在长方形ABCD 中，4AB =，6AD =．延长BC 到点E ，使2CE =，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC CD DA --向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为( )秒时．ABP ∆和DCE ∆全等．A ．1B ．1或3C ．1或7D ．3或7二、填空题（11～13每题2分，其他每题3分，共21分） 11．（2分）（1）分式132x x +-有意义的条件是 ． （2）分式211x x --的值为0的条件是 ．12．（2分）如图，点B 、A 、D 、E 在同一直线上，BD AE =，//BC EF ，要使ABC DEF ∆≅∆，则只需添加一个适当的条件是 ．（只填一个即可）13．（2分）某微生物的直径为0.000 005 035m ，用科学记数法表示该数为 ． 14．（3分）若关于x 的二次三项式2x kx b ++因式分解为(1)(3)x x --，则k b +的值为 ． 15．（3分）如果2210a a +-=，那么代数式24()2a a a a --的值是 ．16．（3分）如图的25⨯的正方形网格中，ABC ∆的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与ABC ∆成轴对称的格点三角形一共有 个，请在图中至少画一个满足题意的图形．（请画在答题纸的图形上）17．（3分）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下： 立方和公式：3322()()x y x y x xy y +=+-+； 立方差公式：3322()()x y x y x xy y -=-++；根据材料和已学知识，化简22332428x x x x x x ++---结果为 ；当3x =时分式的值为 ． 18．（3分）如图，点A ，C ，D ，E 在Rt MON ∆的边上，90MON ∠=︒，AE AB ⊥且AE AB =，BC CD ⊥且BC CD =，BH ON ⊥于点H ，DF ON ⊥于点F ，12OM =，6OE =，3BH =，4DF =，8FN =，图中阴影部分的面积为 ．三、解答题（共49分）19．（9分）分解因式： （1）26mx my -； （2）232x x -+；（3）229()()a x y b y x -+-． 20．（8分）计算：（1）2222424436x y x x x x xy-+⋅+++； （2）53(2)224m m m m -+-÷--． 21．（5分）解分式方程：2311xx x x +=--． 22．（4分）如图，AB AD =，AC AE =，BAE DAC ∠=∠．求证：C E ∠=∠．23．（5分）先化简：22211()a a a a a a---÷+，然后从1-，0，1，2中选一个你认为合适的a 值，代入求值．24．（6分）阅读下面材料，并补全证明过程：在学习“全等三角形”一章时，课本中介绍了一个平分角的仪器：老师倡议班上同学动手制作这个仪器，并思考平分角的仪器能否进行三等分角？同学们展开了研究，有的同学在二等分角的仪器基础上进行了拓展，设计制作了三等分角仪器，如图3．小易同学对制作等分角工具的数学活动非常感兴趣，他通过查阅资料，发现了一个工具——“勾尺”：“勾尺”的直角顶点为P ，“宽臂”的宽度PQ QR ==，勾尺的一边为MN ，且满足M ，N ，Q 三点共线（所以)PQ MN ⊥．小易自己制作了一把勾尺，通过实践探索发现：勾尺既可以把角二等分，也可以把角三等分，以下是他想到的两种二等分角的方法． 方法一：简要步骤：1．如图4，将勾尺OP 边与已知角BC 边重合，沿勾尺MN 边画直线EF ； 2．如图5，将勾尺OP 边与已知角BA 边重合，沿勾尺MN 边画直线GH ， 3．如图6，直线EF 与GH 交于点D ，作射线BD ；射线BD 即为ABC ∠的平分线． （1）证明过程：过点D 分别作DS BC ⊥于S ，DT BA ⊥于T ，勾尺宽臂的宽度相同， DS DT ∴=，BD ∴平分(ABC ∠ )．方法二：简要步骤：1．如图7移动勾尺到合适位置，使其顶点P 落在BC 边上，使勾尺的MN 边经过点B ，同时让点R 落在BA 边上；2．标记此时点Q 所在位置，作射线BQ ．射线BQ 是ABC ∠的平分线．证明过程： ；（2）您还有其他利用勾尺将已知角二等分的画法吗？请画出数学示意图并写出简要步骤．25．（6分）列方程解应用题：“绿色环保，健康出行”新能源汽车越来越占领汽车市场，以“北汽”和“北汽新能源500EV “为例，分别在某加油站和某充电站加油和充电的电费均为300元，而续航里程之比则为1:4，经计算新能源汽车相比燃油车节约0.6元/公里．（1）分别求出燃油车和新能源汽车的续航单价（每公里费用）；（2）随着更多新能源车进入千家万户，有条件的小区及用户将享受0.48元/度的优惠专用电费，以新能源500EV 为例，充电55度可续航400公里，试计算每公里所需电费，并求出与燃油车相同里程下的所需费用（油电）百分比．26．（6分）如图，在ABC ∆中，已知45ABC ∠=︒，过点C 作CD AB ⊥于点D ，过点B 作BM AC ⊥于点M ，连接MD ，过点D 作DN MD ⊥，交BM 于点N ．（1）求证：DBN DCM ∆≅∆；（2）设CD 与BM 相交于点E ，若点E 是CD 的中点，试探究线段NE 、ME 、CM 之间的数量关系，并证明你的结论．附加题27．（5分）将44⨯的棋盘沿格线划分成两个全等图形，参考图例补全另外几种．28．（6分）一张边长为a 的大正方形卡片和三张边长为b 的小正方形卡片1()2a b a <<如图1，取出两张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图2，再重新用三张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图3．已知图3中的阴影部分的面积比图2中的阴影部分的面积大29ab -，则小正方形卡片的面积是 ．29．（9分）已知，如图1，A 在x 轴负半轴上，(0,4)B -、点(6,4)E -在射线BA 上． （1）求证：点A 为BE 的中点；（2）在y 轴正半轴上有一点F ，使45FEA ∠=︒，求点F 的坐标；（3）如图2，点M 、N 分别在x 轴正半轴、y 轴正半轴上，MN NB MA ==，点I 为MON ∆的内角平分线的交点，AI 、BI 分别交y 轴正半轴、x 轴正半轴于P 、Q 两点，IH ON ⊥于H ，求证：2OP PQ OQ HI ++=．参考答案一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）下面四幅画分别是体育运动长鼓舞，武术，举重、摔跤抽象出来的简笔画，其中是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：A 、不是轴对称图形，故错误；B 、不是轴对称图形，故错误；C 、是轴对称图形，故正确；D 、不是轴对称图形，故错误．故选：C ．2．（3分）计算25-的结果是( ) A ．10- B ．25- C ．125D ．125-【解答】解：22115525-==． 故选：C ．3．（3分）如图，ABC DEC ∆≅∆，70A ∠=︒，60ACB ∠=︒，则E ∠的度数为( )A ．70︒B ．50︒C ．60︒D ．30︒【解答】解：70A ∠=︒，60ACB ∠=︒， 50B ∴∠=︒， ABC DEC ∆≅∆， 50E B ∴∠=∠=︒，故选：B ．4．（3分）下列各式从左到右的变形是因式分解的是( )A ．()a b c ab ac -=-B ．2223(1)2x x x -+=-+C ．24(2)(2)x x x -=+-D ．2(1)(2)32x x x x ++=++【解答】解：A 、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；B 、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；C 、是因式分解，故本选项正确；D 、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；故选：C ．5．（3分）下列分式中，是最简分式的是( )A ．2x xB ．242x x y -C ．22x y x y-+D ．23x - 【解答】解：A 、2x x x=，不是最简分式，不符合题意；B 、2422x xx y x y=--，不是最简分式，不符合题意； C 、22x y x y x y-=-+，不是最简分式，不符合题意； D 、23x -，是最简分式，符合题意； 故选：D ．6．（3分）如图，用尺规作图作AOC AOB ∠=∠的第一步是以点O 为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA 、OB 于点E 、F ，那么第二步的作图痕迹②的作法是( )A ．以点F 为圆心，OE 长为半径画弧B ．以点F 为圆心，EF 长为半径画弧C ．以点E 为圆心，OE 长为半径画弧D ．以点E 为圆心，EF 长为半径画弧【解答】解：用尺规作图作AOC AOB ∠=∠的第一步是以点O 为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA 、OB 于点E 、F ，第二步的作图痕迹②的作法是以点E 为圆心，EF 长为半径画弧． 故选：D ．7．（3分）若1x =-，则下列分式值为0的是( )A ．2x xB ．1x x +C ．1x x-D ．21x x-【解答】解：当1x =-时，211101x x --==-．故选：D ．8．（3分）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在( )A ．ABC ∆的三条中线的交点B ．ABC ∆三边的中垂线的交点C ．ABC ∆三条角平分线的交点D ．ABC ∆三条高所在直线的交点【解答】解：凉亭到草坪三条边的距离相等，∴凉亭选择ABC ∆三条角平分线的交点．故选：C ．9．（3分）下列各式从左到右的变形正确的是( ) A ．1x yx y-+=-- B ．11x x y y +=+C ．11x x y y =++ D ．22233()x x y y-=【解答】解：（B ）分子分母同时加1，左右两边不一定相等，故B 错误； （C ）原式已为最简分式，故C 错误； （D ）原式229x y=，故D 错误；故选：A ．10．（3分）已知：如图，在长方形ABCD 中，4AB =，6AD =．延长BC 到点E ，使2CE =，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC CD DA --向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为( )秒时．ABP ∆和DCE ∆全等．A．1B．1或3C．1或7D．3或7【解答】解：因为AB CD=，若90ABP DCE∠=∠=︒，2BP CE==，根据SAS证得ABP DCE∆≅∆，由题意得：22BP t==，所以1t=，因为AB CD=，若90BAP DCE∠=∠=︒，2AP CE==，根据SAS证得BAP DCE∆≅∆，由题意得：1622AP t=-=，解得7t=．所以，当t的值为1或7秒时．ABP∆和DCE∆全等．故选：C．二、填空题（11～13每题2分，其他每题3分，共21分）11．（2分）（1）分式132xx+-有意义的条件是23x≠．（2）分式211xx--的值为0的条件是．【解答】解：（1）分式132xx+-有意义的条件是：23x≠．故答案为：23x≠；（2）分式211xx--的值为0的条件是：210x-=，10x-≠，解得：1x=-．故答案为：1x=-．12．（2分）如图，点B、A、D、E在同一直线上，BD AE=，//BC EF，要使ABC DEF∆≅∆，则只需添加一个适当的条件是BC EF=或BAC EDF∠=∠．（只填一个即可）【解答】解：若添加BC EF =， //BC EF ，B E ∴∠=∠， BD AE =，BD AD AE AD ∴-=-，即BA ED =，在ABC ∆和DEF ∆中， BC EF B E BA ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABC DEF SAS ∴∆≅∆；若添加BAC EDF ∠=∠， //BC EF ，B E ∴∠=∠， BD AE =，BD AD AE AD ∴-=-，即BA ED =，在ABC ∆和DEF ∆中， B E BA EDBAC EDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ABC DEF ASA ∴∆≅∆，故答案为：BC EF =或BAC EDF ∠=∠13．（2分）某微生物的直径为0.000 005 035m ，用科学记数法表示该数为 65.03510-⨯ ． 【解答】解：0.000 005 6035 5.03510-=⨯， 故答案为：65.03510-⨯．14．（3分）若关于x 的二次三项式2x kx b ++因式分解为(1)(3)x x --，则k b +的值为 1- ．【解答】解：由题意得：22(1)(3)43x kx b x x x x ++=--=-+， 4k ∴=-，3b =，则431k b +=-+=-． 故答案为：1-15．（3分）如果2210a a +-=，那么代数式24()2a a a a --的值是 1 ．【解答】解：24()2a a a a --2242a a a a -=- 2(2)(2)2a a a a a +-=- (2)a a =+ 22a a =+， 2210a a +-=， 221a a ∴+=，∴原式1=，故答案为：1．16．（3分）如图的25⨯的正方形网格中，ABC ∆的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与ABC ∆成轴对称的格点三角形一共有 4 个，请在图中至少画一个满足题意的图形．（请画在答题纸的图形上）【解答】解：如图所示：都是符合题意的图形． 故在网格中与ABC ∆成轴对称的格点三角形一共有4个， 故答案为：4．17．（3分）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：立方和公式：3322()()x y x y x xy y +=+-+； 立方差公式：3322()()x y x y x xy y -=-++；根据材料和已学知识，化简22332428x x x x x x ++---结果为 22x - ；当3x =时分式的值为 ．【解答】原式22324(2)(2)(24)x x x x x x x x ++=---++ 3122x x =--- 22x =-， 把3x =代入原式22325=+． 故答案为：22x -，25． 18．（3分）如图，点A ，C ，D ，E 在Rt MON ∆的边上，90MON ∠=︒，AE AB ⊥且AE AB =，BC CD ⊥且BC CD =，BH ON ⊥于点H ，DF ON ⊥于点F ，12OM =，6OE =，3BH =，4DF =，8FN =，图中阴影部分的面积为 50 ．【解答】解：90EAO BAH ∠+∠=︒，90EAO AEO ∠+∠=︒， BAH AEO ∴∠=∠，在AEO ∆和BAH ∆中， 90AEO BAHO BHA AE AB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ()AEO BAH AAS ∴∆≅∆，同理()BCH CDF AAS ∆≅∆，3AO BG ∴==，6AH EO ==，4CH DF ==，3BH CF ==， 梯形DEOF 的面积1()802EF DH FH =+⋅=，192AEO ABH S S AF AE ∆∆==⋅=， 162BCH CDF S S CH DH ∆∆==⋅=，∴图中实线所围成的图形的面积80292650S =-⨯-⨯=，故答案为：50． 三、解答题（共49分） 19．（9分）分解因式： （1）26mx my -； （2）232x x -+；（3）229()()a x y b y x -+-． 【解答】解：（1）原式2(3)m x y =-；（2）原式(1)(2)x x =--；（3）原式229()()a x y b x y =---22()(9)x y a b =-- ()(3)(3)x y a b a b =-+-．20．（8分）计算：（1）2222424436x y x x x x xy-+⋅+++； （2）53(2)224m m m m -+-÷--． 【解答】解：（1）原式2(2)(2)2(2)3(2)x y x y x x x x y -++=⋅++ 23(2)x yx x -=+；（2）原式252(2)()123m m x m +-=-⋅-- 2452(2)23m m m m ---=⋅-- 2(3)(3)3m m m -+=- 26m =+．21．（5分）解分式方程：2311xx x x +=--． 【解答】解：去分母得：223x x x +-=， 解得：3x =，经检验3x =是分式方程的解．22．（4分）如图，AB AD =，AC AE =，BAE DAC ∠=∠．求证：C E ∠=∠．【解答】证明：BAE DAC ∠=∠ BAE CAE DAC CAE ∴∠+∠=∠+∠CAB EAD ∴∠=∠，且AB AD =，AC AE =()ABC ADE SAS ∴∆≅∆ C E ∴∠=∠23．（5分）先化简：22211()a a a a a a---÷+，然后从1-，0，1，2中选一个你认为合适的a 值，代入求值．【解答】解：原式222211a a a a a a-+-=÷+ 2(1)(1)(1)(1)a a a a a a -+=-+ 1a =-，当2a =时，原式1121a =-=-=-．24．（6分）阅读下面材料，并补全证明过程：在学习“全等三角形”一章时，课本中介绍了一个平分角的仪器：老师倡议班上同学动手制作这个仪器，并思考平分角的仪器能否进行三等分角？同学们展开了研究，有的同学在二等分角的仪器基础上进行了拓展，设计制作了三等分角仪器，如图3．小易同学对制作等分角工具的数学活动非常感兴趣，他通过查阅资料，发现了一个工具——“勾尺”：“勾尺”的直角顶点为P ，“宽臂”的宽度PQ QR ==，勾尺的一边为MN ，且满足M ，N ，Q 三点共线（所以)PQ MN ⊥．小易自己制作了一把勾尺，通过实践探索发现：勾尺既可以把角二等分，也可以把角三等分，以下是他想到的两种二等分角的方法． 方法一：简要步骤：1．如图4，将勾尺OP 边与已知角BC 边重合，沿勾尺MN 边画直线EF ； 2．如图5，将勾尺OP 边与已知角BA 边重合，沿勾尺MN 边画直线GH ， 3．如图6，直线EF 与GH 交于点D ，作射线BD ；射线BD 即为ABC ∠的平分线． （1）证明过程：过点D 分别作DS BC ⊥于S ，DT BA ⊥于T ， 勾尺宽臂的宽度相同， DS DT ∴=，BD ∴平分(ABC ∠ 到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上 )．方法二：简要步骤：1．如图7移动勾尺到合适位置，使其顶点P 落在BC 边上，使勾尺的MN 边经过点B ，同时让点R 落在BA 边上；2．标记此时点Q 所在位置，作射线BQ ．射线BQ 是ABC ∠的平分线．证明过程： ；（2）您还有其他利用勾尺将已知角二等分的画法吗？请画出数学示意图并写出简要步骤．【解答】解：（1）方法一：如图6中，过点D 分别作DS BC ⊥于S ，DT BA ⊥于T ，勾尺宽臂的宽度相同，DS DT∴=，∴平分ABCBD∠（到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上）．故答案为：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上．方法二：如图8中，=，⊥，PQ QRBQ PR∴=，BR BPQBR QBP∴∠=∠，∴平分ABCBQ∠．（2）如图9中，利用“勾尺”分别在BC，BA上截取BM BN OP==，==，BH BG PR连接NH，GM交于点O，作射线BO，则BO平分ABC∠．GB BH=，∠=∠，BM BN=，GBM HBN∴∆≅∆，()GBM HBN SAS∴∠=∠，BMG BAH=，=，BG BHBN BM∴=，NG MH∠=∠，NOG MOH∴∆≅∆，NOG MOH AAS()∴=，OG OHBO BO =，()BOG BOH SSS ∴∆≅∆，GBO HBO ∴∠=∠，BO ∴平分ABC ∠．25．（6分）列方程解应用题：“绿色环保，健康出行”新能源汽车越来越占领汽车市场，以“北汽”和“北汽新能源500EV “为例，分别在某加油站和某充电站加油和充电的电费均为300元，而续航里程之比则为1:4，经计算新能源汽车相比燃油车节约0.6元/公里．（1）分别求出燃油车和新能源汽车的续航单价（每公里费用）；（2）随着更多新能源车进入千家万户，有条件的小区及用户将享受0.48元/度的优惠专用电费，以新能源500EV 为例，充电55度可续航400公里，试计算每公里所需电费，并求出与燃油车相同里程下的所需费用（油电）百分比．【解答】解：（1）设燃油车的续航里程为x 公里，则新能源汽车的续航里程为4x 公里， 由题意得：3003000.64x x-=， 解得：375x =，经检验，375x =是原方程的解，则燃油车的续航单价为：3003750.8÷=（元/公里），新能源汽车的续航单价为：300\(4375)0.2÷⨯=（元/公里），答：燃油车的续航单价为0.8元/公里，新能源汽车的续航单价为0.2元/公里；（2）新能源500EV 续航400公里所需费用为：0.485526.4⨯=（元)，∴新能源500EV 每公里所需电费为：26.44000.066÷=（元)，则0.0660.88.25%÷=，答：新能源500EV 每公里所需电费为0.066元，与燃油车相同里程下的所需费用（油电）百分比为8.25%．26．（6分）如图，在ABC ∆中，已知45ABC ∠=︒，过点C 作CD AB ⊥于点D ，过点B 作BM AC ⊥于点M ，连接MD ，过点D 作DN MD ⊥，交BM 于点N ．（1）求证：DBN DCM ∆≅∆；（2）设CD 与BM 相交于点E ，若点E 是CD 的中点，试探究线段NE 、ME 、CM 之间的数量关系，并证明你的结论．【解答】（1）证明：45ABC ∠=︒，CD AB ⊥，45ABC DCB ∴∠=∠=︒，BD DC ∴=，90BDC MDN ∠=∠=︒，BDN CDM ∴∠=∠，CD AB ⊥，BM AC ⊥，90ABM A ACD ∴∠=︒-∠=∠，在DBN ∆和DCM ∆中，BDN CDM BD DCDBN DCM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()DBN DCM ASA ∴∆≅∆．（2）结论：NE ME CM -=．证明：由（1）DBN DCM ∆≅∆ 可得DM DN =．作DF MN ⊥于点F ，又ND MD ⊥，DF FN ∴=，在DEF ∆和CEM ∆中，DEF CEM DFE CME DE EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DEF CEM AAS ∴∆≅∆，ME EF ∴=，CM DF =，CM DF FN NE FE NE ME ∴===-=-．易证CME BDE ∆∆∽， ∴2CM BD EM DE==，2CM EM∴=，3NE EM=，::1:2:3EM CM NE∴=．综上所述，CM NE ME=-，::1:2:3EM CM NE=．附加题27．（5分）将44⨯的棋盘沿格线划分成两个全等图形，参考图例补全另外几种．【解答】解：如图所示，（答案不唯一）28．（6分）一张边长为a的大正方形卡片和三张边长为b的小正方形卡片1()2a b a<<如图1，取出两张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图2，再重新用三张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图3．已知图3中的阴影部分的面积比图2中的阴影部分的面积大29ab-，则小正方形卡片的面积是3．【解答】解：由图可得，图2中阴影部分的面积是：2(2)b a -，图3中阴影部分的面积是：()()a b a b --， 则2()()(2)29a b a b b a ab ----=-，化简，得23b =，故答案为：3．29．（9分）已知，如图1，A 在x 轴负半轴上，(0,4)B -、点(6,4)E -在射线BA 上．（1）求证：点A 为BE 的中点；（2）在y 轴正半轴上有一点F ，使45FEA ∠=︒，求点F 的坐标；（3）如图2，点M 、N 分别在x 轴正半轴、y 轴正半轴上，MN NB MA ==，点I 为MON ∆的内角平分线的交点，AI 、BI 分别交y 轴正半轴、x 轴正半轴于P 、Q 两点，IH ON ⊥于H ，求证：2OP PQ OQ HI ++=．【解答】（1）证明：过E 点作EG x ⊥轴于G ， (0,4)B -，(6,4)E -，4OB EG ∴==，在AEG ∆和ABO ∆中，90EAG BAO EGA BOA EG BO ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()AEG ABO AAS ∴∆≅∆，AE AB ∴=，∴点A 为BE 的中点；（2）解：过A 作AD AE ⊥交EF 的延长线于D ，过D 作DK x ⊥轴于K ，如图11-所示： 则90EGA DAE AKD ∠=∠=∠=︒，90GAE AEG GAE DAK ∴∠+∠=∠+∠=︒，AEG DAK ∴∠=∠，45FEA ∠=︒，ADE ∴∆是等腰直角三角形，AE AD ∴=，在AEG ∆和DAK ∆中，EGA AKD AEG DAK AE DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AEG DAK AAS ∴∆≅∆，EG AK ∴=，AG DK =，(0,4)B -，(6,4)E -，(3,0)A ∴-，6OG =，4EG =，3OA ∴=，3AG DK ==，4AK EG ==，1OK AK OA ∴=-=，(1,3)D ∴，设(0,)F y ，梯形EGKD 的面积=梯形EGOF 的面积+梯形FOKD 的面积， ∴111(34)(34)(4)6(3)1222y y ⨯+⨯+=⨯+⨯+⨯+⨯， 解得：227y =， ∴点F 的坐标为22(0,)7；（3）证明：如图2，连接MI 、NI ， I 为MON ∆内角平分线交点，NI ∴平分MNO ∠，MI 平分OMN ∠，在MIN ∆和MIA ∆中，MN MA NMI AMI MI MI =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MIN MIA SAS ∴∆≅∆，MIN MIA ∴∠=∠，同理可得，MIN NIB ∠=∠， NI 平分MNO ∠，MI 平分OMN ∠，90MON ∠=︒， 135MIN ∴∠=︒，135MIN MIA NIB ∴∠=∠=∠=︒，135336045AIB ∴∠=︒⨯-︒=︒，连接OI ，过I 作IS OM ⊥于S ，IH ON ⊥，OI 平分MON ∠，IH IS OH OS ∴===，90HIS ∠=︒，45HIP QIS ∠+∠=︒， 在SM 上截取SC HP =，连接CI ，在HIP ∆和SIC ∆中，IH IS IHP ISC HP SC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()HIP SIC SAS ∴∆≅∆，IP IC ∴=，HIP SIC ∠=∠，45QIC QIP ∴∠=︒=∠，在QIP ∆和QIC ∆中，IP IC QIP QIC QI QI =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()QIP QIC SAS ∴∆≅∆，PQ QC QS HP∴==+，∴++=+++=+=．2OP PQ OQ OP PH OQ OS OH OS HI。
2019-2020北京第八中学初二上册期中考试试卷数学(含解析).docx
北京第八中学初二上期中数学试卷一、选择题1．下列图形中，是轴对称图形的是 （ ）．A ．B ．C ．D ．2．下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）．A ．()a x y ax ay +=+B ．244(4)4x x x x -+=-+C ．21055(21)x x x x -=-D ．2163(4)(4)3x x x x x -+=+-+3．下列运算中，正确的是（ ）．A ．222235x x x +=B ．236x x x ⋅=C ．238()x x =D ．222()x y x y +=+4．已知：如图，D 、E 分别在AB 、AC 上，若AB AC =，AD AE =，60A ∠=︒，35B ∠=︒，则B D C ∠的度数是（ ）．A ．95︒B ．90︒C ．85︒D ．80︒5．如图，OP 平分MON ∠，PA ON ⊥于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点，若2PA =，则PQ 的最小值为（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．46．下列各式中，正确的是（ ）．A ．3355x x y y --=-B ．a b a b c c +-+-=C ．a a b a a b -=--D ．a b a b c c ---=-7．如图，已知ABC △的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和ABC △全等的图形是（ ）． A ．甲B ．乙C ．丙D ．乙与丙8．如图，把ABC △沿EF 对折，叠合后的图形如图所示．若60A ∠=︒，195∠=︒，则2∠的度数为（ ）． A ．24︒B ．25︒C ．30︒D ．35︒二、填空题9．当x __________时，分式11x-有意义．10．在解分式方程2231111x x x -=+--时，小兰的解法如下： 解：方程两边同乘以(1)(1)x x +-，得2(1)31x --=．① 2131x --=． ② 解得：52x =． 检验：52x =时，(1)(1)0x x +-≠， ③ 所以，原分式方程的解为52x =． ④如果假设基于上一步骤正确的前提下，你认为小兰在哪些步骤中出现了错误__________（只填序号）．11．如图，将ABC △绕点A 旋转到ADE △，75BAC ∠=︒，25DAC ∠=︒，则CAE ∠=__________．12．如图，已知AB BD ⊥，AB ED ∥，AB ED =，要说明ABC △≌EDC △，若以“SAS ”为依据，还要添加的条件为__________．若添加条件AC EC =，则可以用__________判定全等．13．如图，在ABC △中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ．若ADC ∆的周长为16，12AB =，则ABC △的周长为__________．14．若关于x 的二次三项式2+x kx b +因式分解为(1)(3)x x --，则+k b 的值为__________．15．计算：321(3)()x x y ---÷=__________．16．在平面直角坐标系中，已知点(1,2)A ，(5,5)B ，(5,2)C ，存在点E ，使ACE △和ACB △全等，写出所有满足条件的E 点的坐标__________．三、解答题17．因式分解：（1）256x x --（2）33312a b ab -18．因式分解：2269x x y -+-．19．计算：211(1)m m m-+÷．20．如图，点B ，E ，F ，C 在一条直线上，AB DC =，BE CF =，B C ∠=∠．求证：A D ∠=∠．21．已知2430x x --=，求代数式22(23)()()x x y x y y --+--的值．22．先化简，再对a 取一个适当的数，代入求值．221369324a a a a a a a +--+--+-÷．四、作图题（本题5分）23．电信部门要在．P 区域内．．．修建一座电视信号发射塔．如图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A 、B的距离必须相等，到两条高速公路m 和n 的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图中标出它的位置．（要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论）五、解答题24．已知：ABC △中，AC BC ⊥，CE AB ⊥于E ，AF 平分CAB ∠交CE 于F ，过F 作FD BC ∥交AB于D ．求证：AC AD =．25．赵老师为了响应市政府“绿色出行”的号召，上下班由自驾车方式改为骑自行车方式．已知赵老师家距学校20千米，上下班高峰时段，自驾车的速度是自行车速度的2倍，骑自行车所用时间比自驾车所用时间多59小时．求自驾车速度和自行车速度各是多少？26．在ABC △中，（1）如图1，BP 为ABC ∆的角平分线，PM AB ⊥于M ，PN BC ⊥于N ，50AB =，60BC =，请补全图形，并直接写出ABP △与BPC △面积的比值．（2）如图2，分别以ABC ∆的边AB 、AC 为边向外作等边三角形ABD 和ACE ，CD 与BE 相交于点O ，求证：BE CD=．（3）在（2）的条件下判断AOD∠的数量关系，并加以证明．∠与AOE（注：可以直接应用等边三角形每个角为60︒）北京第八中学初二上期中数学试卷参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 B C A A B C D B二、填空题9．1x ≠10．①②11．50︒12．BC DC =，HL13．2814．1-15．27yx16．(1,5)、(1,1)-、(5,1)三、解答题17．因式分解解：（1）原式(+1)(6)x x =-（2）原式223()ab a b =-3(2)(2)ab a b a b =+-18．解：原式22(3)x y =--(3)(3)x y x y =-+--．19．解：原式1(1)(1)m m m m m ++-=÷1(1)(1)m mm m m +=⋅-+1-1m =．20．解：∵BE CF =，EF EF =，∴BF CE =，在ABF △和DCE △中，AB DCABF DCE BF CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABF △≌DCE △，∴A D ∠=∠．21．解：∵0342=--x x ，∴24360x x -+-=，∴(1)(3)6x x --=．22(23)()()x x y x y y --+--2222(23)x x y y =--+-22(23)x x =--(3)(33)x x =--3(1)(3)x x =--，将(1)(3)6x x --=代入上式，则22(23)()()3618x x y x y y --+--=⨯=．22．解：221369324a a a a a a a +--+--+-÷213(2)(2)32(3)a a a a a a a +-+-=-⨯-+-1233a a a a +-=---33a =-．令1a =，得原式33132==--．23．解：如图所示．线段AB 的中垂线与m 、n 的角平分线的交点就是所求的点．24．解：过F 点作FG AC ⊥交AC 于点G ，∵AF 平分CAB ∠，∴GAF EAF ∠=∠，在Rt AGF △和Rt AEF △中，AF AF GAF EAF=⎧⎨∠=∠⎩， ∴Rt AGF △≌Rt AEF △，∴AG AE =，FG FE =，∵DG 与CE 相交于点F ，∴CFG DFE ∠=∠，在Rt CFG △和Rt DFE △中，FG FECFG DFE =⎧⎨∠=∠⎩，∴Rt CFG △和Rt DFE △，∴CG DE =，∴AC AD =．25．解：设自行车速度为x 千米/时， 则2020529x x -=18x =．∴自行车的速度为18千米/时，自驾车的速度是36千米/时．26．解：（1）∵BP 平分ABC ∠，PM AB ⊥且PN AB ⊥，∴PM PN =， ∴1252ABP S AB PM PM =⋅=△，1302PBC S BC PN PN =⋅=△，∴:25:305:6ABP BPC S S ==△△．（2）∵等边ABD △和等边ACE △，∴AD AB =，AC AE =，60BAD CAE ∠=∠=︒，∵DAC BAC BAD ∠=∠+∠，BAE BAC CAE ∠=∠+∠，∴DAC BAE ∠=∠，在DAC △和BAE △中，AD ABDAC BAE AC AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DAC △≌BAE △，∴EB CD =．（3）∵AOE ∠是ABO △的外角，∴AOE BAO ABO ∠=∠+∠，∵AOD ∠是AOD △的内角，∴180120AOD ADO DAO ADO BAO ∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠，∵DAC △≌BAE △，∴ADC ABE ∠=∠，∴120AOD ABO BAO ∠=︒-∠-∠，∴120AOD AOE ∠=︒-∠，即120AOD AOE ∠+∠=︒．北京第八中学初二上期中数学试卷参考答案一、选择题1．【答案】B【解析】轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴。
2019-2020学年北京人大附中八年级(上)期中数学试卷 -(含答案解析)
2019-2020学年北京人大附中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列图案属于轴对称图案的是()A. B. C. D.2.若分式1有意义，则a的取值范围是()a−1A. a≠1B. a≠0C. a≠1且a≠0D. 一切实数3.下列运算中正确的是()A. x2÷x8=x−6B. a⋅a2=a2C. (a2)3=a5D. (3a)3=9a34.如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PD⊥OA，垂足为点D，PD=2，M为OP的中点，则点M到射线OB的距离为()A. 12B. 1C. √2D. 25.如图，AB=AC，BD=CD.若∠B=70°，则∠BAC=()A. 20°B. 30°C. 40°D. 50°6.如图，∠MON内有一点P，点P关于OM的对称点是G，点P关于ON的对称点是H，GH分别交OM，ON于点A，B.若∠MON=35°，则∠GOH的度数为()A. 60°B. 70°C. 80°D. 90°7.如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a>b)，把剩下部分拼成一个梯形(如图2)，利用这两幅图形面积，可以验证的公式是()A. a2+b2=(a+b)(a−b)B. a2−b2=(a+b)(a−b)C. (a+b)2=a2+2ab+b2D. (a−b)2=a2−2ab+b28.如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE⊥AD，垂足为O，CE交AB于E，则下列命题：①AE=AC，②CO=OE，③∠AEO=∠ACO，④∠B=∠ECB.其中正确的是()A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④9.已知△ABC的三边长a、b、c满足等式a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，那么△ABC是()A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 钝角三角形10.点A(−2,1)关于x轴的对称点Aˈ的坐标是()A. (−2,−1)B. (2,1)C. (−2,1)D. (2,−1)二、填空题（本大题共9小题，共18.0分）11.当x=_________时，分式2x−3的值为0．2x+312.计算：3−2−(−3)0=______ ．13.计算0.25100×4100=______ ．14.若(x−a)(x−5)的展开式中不含有x的一次项，则a=______．15.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AB=3，BC=5，则△ABD的周长是______．16.若m+n=6，mn=4，则m3n+2m2n2+mn3=__________．17.在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，BE平分∠ABD交AC于E，sinA=3，5BC=2√10.则AE=______．18.如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处．若AE=√3，则BC的长是______．19.如图，点D为等腰直角△ABC内一点，∠ACB=90°，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上一点，且CE=CA，给出以下结论：①DE平分∠BDC；②△BCE是等边三角形；③∠AEB=45°；④DE=AD+CD；正确的结论有______.(请填序号)三、解答题（本大题共9小题，共52.0分）20.(1)分解因式：−4x2+24xy−36y2；(2)分解因式：(2x+y)2−(x+2y)2．(3)分解因式：(p−4)(p+1)+621.计算：(x+1)2+x(x−2)−(x+1)(x−1)．22.计算：(1)(−3a)2⋅(a2)3÷a3(2)(x−3)(x+2)−(x−2)2(3)先化简，再求值：(a+b)(a−b)−(4a3b−8a2b2)÷4ab其中a=−2，b=−1．23.如图，∠AOB=60°，点P为射线OA上的一动点．过点P作PC⊥OB于点C.点D在∠AOB内，且满足∠APD=∠OPC，DP+PC=10．(1)当PC=6时，求点D到OB的距离；(2)在射线OA上是否存在一定点M，使得MD=MC？若存在，请用直尺(不带刻度)和圆规作出点M(不必写作法，但要保留作图痕迹)，并求OM的长；若不存在，说明理由．24.已知：如图，AD，BC相交于点O，OA=OD，AB//CD．求证：AB=CD．25.你能求出(x−1)(x99+x98+x97+⋯+x+1)的值吗⋅遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手.先计算下列各式的值： ①(x−1)(x+1)=; ②(x−1)(x2+x+1)=; ③(x−1)(x3+x2+x+1)=;由此我们可以得到(x−1)(x99+x98+⋯+x+1)=;请你利用上面的结论，完成下面两题的计算：(1)299+298+⋯+2+1;(2)(−3)50+(−3)49+⋯+(−3)+1．26.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且∠ABC=2∠C.求证：AB+BD=AC．27.已知：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为BC边中点．点M为线段BC上的一个动点(不与点C，点D重合)，连接AM，将线段AM绕点M顺时针旋转90°，得到线段ME，连接EC．(1)如图1，若点M在线段BD上．①依据题意补全图1；②求∠MCE的度数．(2)如图2，若点M在线段CD上，请你补全图形后，直接用等式表示线段AC、CE、CM之间的数量关系．28.已知：在平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为(3,0)，(0,4)，点C(t,0)是x轴上一动点，点M是BC的中点．(1)当点C和点A重合时，求OM的长；(2)若S△ACB=10，则t的值为______；(3)在(2)的条件下，直线AM交y轴于点N，求△ABN的面积．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：A、是轴对称图形，故此选项正确；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误；故选：A．根据轴对称图形的概念求解．此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．2.答案：A解析：解：若分式1有意义，则a−1≠0，即a≠1，a−1故选：A．分式有意义的条件是分母不等于零，据此可得．本题主要考查分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．3.答案：A解析：解：A、x2÷x8=x−6，故原题计算正确；B、a⋅a2=a3，故原题计算错误；C、(a2)3=a6，故原题计算错误；D、(3a)3=27a3，故原题计算错误；故选：A．根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘进行计算即可．此题主要考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方和积的乘方，关键是掌握各运算法则．4.答案：B解析：解：作PE⊥OB于E，MN⊥OB于N，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE=PD=2，∵PE⊥OB，MN⊥OB，∴PE//MN，又M为OP的中点，PE=1，即点M到射线OB的距离为1，∴MN=12故选：B．作PE⊥OB于E，MN⊥OB于N，根据角平分线的性质求出PE，根据三角形中位线定理计算即可．本题考查的是角平分线的性质、三角形中位线定理，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．解析：解：∵AB=AC，∴∠C=∠B=70°，∴∠BAC=180°−∠B−∠C=40°，故选C．根据等腰三角形的性质即可得到结论本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．6.答案：B解析：【分析】本题考查了轴对称的性质，熟记性质并确定出相等的角是解题的关键．连接OP，根据轴对称的性质可得∠GOM=∠MOP，∠PON=∠NOH，然后求出∠GOH=2∠MON，代入数据计算即可得解．【解答】解：如图，连接OP，∵P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，∴∠GOM=∠MOP，∠PON=∠NOH，∴∠GOH=∠GOM+∠MOP+∠PON+∠NOH=2∠MON，∵∠MON=35°，∴∠GOH=2×35°=70°．故选B．7.答案：B解析：【分析】本题主要考查了平方差公式的几何表示，表示出图形阴影部分面积是解题的关键．第一个图中的面积=a2−b2，第二个图中梯形的面积=(2a+2b)(a−b)÷2=(a+b)(a−b)，两图形阴影面积相等，据此即可解答．【解答】解：由题可得：第一个图中的面积=a2−b2，第二个图中梯形的面积=(2a+2b)(a−b)÷2=(a+b)(a−b)，∵两图形阴影面积相等，∴a2−b2=(a+b)(a−b)．故选B．8.答案：A解析：【分析】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的根据角平分线的性质及CE⊥AD判断出△AEO≌△ACO即可解答．【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD=∠CAD，∵CE⊥AD，∴∠AOE=∠AOC，∵AO=AO，∴△AEO≌△ACO．∴①AE=AC，②CO=OE，③∠AEO=∠ACO均正确，④无法判断．故选：A．9.答案：B解析：【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应用，是基础知识，较简单．a2+b2+c2+50=6a+8b+10c可变为(a−3)2+(b−4)2+(c−5)2=0，可知道a、b、c分别为3，4，5满足勾股定理，即可判断出三角形的形状．【解答】解：a2+b2+c2+50=6a+8b+10c变形为(a−3)2+(b−4)2+(c−5)2=0，解之得：a=3，b=4，c=5，符合勾股定理的逆定理，故选B．10.答案：A解析：【分析】本题考查了如下内容：关于x轴对称的两个点之间的坐标关系；关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数．本题比较容易，可直接利用平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点求得答案．【解答】解：两点若关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数．点A(−2,1)关于x轴的对称点A′的坐标是(−2,−1)．故选A．11.答案：32解析：【分析】本题主要考查的是分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件是解题的关键.分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．【解答】的值为0，解：∵分式2x−32x+3∴2x−3=0且2x+3≠0，．解得：x=32故答案为32．12.答案：−89解析：解：原式=19−1=−89幂的负整数指数幂的运算，先把底数化成其倒数，然后将负整指数幂当成正的进行计算，任何非0数的0次幂等于1．本题是考查含有零指数幂和负整数指数幂的运算，属较简单题目．13.答案：1解析：解：原式=(0.25×4)100=1．故答案为：1．直接利用积的乘方运算法则将原式变形求出答案．此题主要考查了积的乘方运算法则，正确将原式变形是解题关键．14.答案：−5解析：解：(x−a)(x−5)=x2−5x−ax+5a=x2+(−5−a)x+5a，∵(x−a)(x−5)的展开式中不含有x的一次项，∴−5−a=0，a=−5．故答案为：−5．根据多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项，根据已知得出−5−a=0，求出即可．本题考查了多项式乘以多项式法则，解一元一次方程等知识点的应用．15.答案：8解析：解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA=DC，∴△ABD的周长=AB+BD+DA=AB+BD+DC=AB+BC=8，故答案为：8．根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DC，根据三角形的周长公式计算即可．本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．16.答案：144解析：【分析】本题考查知识点是因式分解，属于基础题，解答本题的关键是能够灵活运用因式分解中的提取公因式法与公式法，掌握整体带入法，方可得出答案．题中m3n+2m2n2+mn3=mn(m2+2mn+n2)=mn(m+n)2，整体带入：mn、(m+n)的值即可得出答案．【解答】解：因为m3n+2m2n2+mn3=mn(m2+2mn+n2)=mn(m+n)2=4×62=144，所以答案为144．17.答案：5解析：【分析】根据已知条件设BD=3x，AB=5x，根据勾股定理得到AD=√AB2−BD2=4x，根据等腰三角形的性质得到AC=5x，求得CD=x，根据勾股定理列方程得到AD=8，设AE=m，则DE=8−m，过E作EF⊥AB于F，根据角平分线的性质得到EF=DE=8−m，根据三角函数的定义即可得到结论．本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．【解答】解：∵BD⊥AC于D，∴∠ADB=∠CDB=90°，∵sinA=35，∴设BD=3x，AB=5x，∴AD=√AB2−BD2=4x，∵AB=AC，∴AC=5x，∴CD=x，∵BD2+CD2=BC2，∴(3x)2+x2=(2√10)2，∴x=2，(负值舍去)，∴AD=8，设AE=m，则DE=8−m，过E作EF⊥AB于F，则∠AFE=90°，∵BE平分∠ABD，∴EF=DE=8−m，∵sinA=EFAE =35，∴8−mm =35，∴m=5，∴AE=5．故答案为：5．18.答案：√3解析：【分析】本题考查了等腰三角形的判断和性质、折叠的性质以及三角形内角和定理的运用，证明△BCE是等腰三角形是解题的关键．由折叠的性质可知AE=CE，再证明△BCE是等腰三角形即可得到BC=CE，问题得解．【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°，=72°，∴∠B=∠ACB=180°−36°2∵将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处，∴AE=CE，∠A=∠ECA=36°，∴∠CEB=72°，∴BC=CE=AE=√3，故答案为√3．19.答案：①②③④解析：解：①∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴∠BAC=∠ABC=45°，∵∠CAD=∠CBD=15°，∴∠BAD=∠ABD=45°−15°=30°，∴BD=AD，∴D在AB的垂直平分线上，∵AC=BC，∴C也在AB的垂直平分线上，即直线CD是AB的垂直平分线，∴∠ACD=∠BCD=45°，∴∠CDE=∠CAD+∠ACD=15°+45°=60°，∵∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°；∴∠CDE=∠BDE，即DE平分∠BDC；所以①正确；②∵CA=CB，CA=CE，∴CB=CE，∵∠CAD=∠AEC=15°，∴∠ACE=180°−15°−15°=150°，∵∠ACB=90°，∴∠BCE=150°−90°=60°，∴△BCE是等边三角形；所以②正确；③∵△BCE是等边三角形，∴∠BEC=60°，∵∠AEC=15°，∴∠AEB=60°−15°=45°，所以③正确；④在DE上取一点G，使DC=DG，连接CG，∵∠EDC=60°，∴△DCG是等边三角形，∴DC=DG=CG，∠DCG=60°，∴∠GCE=150°−60°−45°=45°，∴∠ACD=∠GCE=45°，∵AC=CE，∴△ACD≌△ECG，∴EG=AD，∴DE=EG+DG=AD+DC，所以④正确；正确的结论有：①②③④；故答案为：：①②③④．①先根据等腰直角三角形的性质及已知条件得出∠DAB=∠DBA=30°，则AD=BD，再证明CD是边AB的垂直平分线，得出∠ACD=∠BCD=45°，然后根据三角形外角的性质求出∠CDE=∠BDE= 60°即可；②先利用等角对等边证BC=CE，再推得∠BCE=60°可得结论；③利用差可求得结论：∠AEB=∠BEC−∠AEC；④截取DG=DC，证明△DCG是等边三角形，再证明△ACD≌△ECG，利用线段的和与等量代换可得结论．本题考查了等腰三角形、全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形、等边三角形等特殊三角形的性质和判定，熟练掌握有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形这一判定等边三角形的方法，在几何证明中经常运用，要熟练掌握．20.答案：解：(1)原式=−4(x2−6xy+9y2)=−4(x−3y)2；(2)原式=(2x+y+x+2y)(2x+y−x−2y)=3(x+y)(x−y)；(3)原式=p2−3p+2=(p−1)(p−2)．解析：(1)原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；(2)原式利用平方差公式分解即可；(3)原式整理后，利用十字相乘法分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．21.答案：解：(x+1)2+x(x−2)−(x+1)(x−1)=(x2+2x+1)+(x2−2x)−(x2−1)=x2+2x+1+x2−2x−x2+1=x2+2．解析：本题主要考查整式的混合运算.利用完全平方公式、单项式乘以单项式、单项式乘以多项式的运算法则进行运算，再合并同类项即可．22.答案：解：(1)(−3a)2⋅(a2)3÷a3=9a2⋅a6÷a3=9a5；(2)(x−3)(x+2)−(x−2)2=x2−x−6−(x2−4x+4)=3x−10；(3)(a+b)(a−b)−(4a3b−8a2b2)÷4ab=a2−b2−(a2−2ab)=2ab−b2，把a=−2，b=−1代入上式可得：原式=2×(−2)(−1)−(−1)2=3．解析：(1)直接利用积的乘方运算以及结合同底数幂的乘除运算法则化简求出答案；(2)直接利用多项式乘以多项式运算法则求出答案；(3)直接利用多项式乘以多项式运算法则以及多项式除以单项式运算法则化简，进而代入已知数据求出答案．此题主要考查了整式的混合运算−化简求值，正确掌握相关运算法则是解题关键．23.答案：解：(1)作DH⊥OB于H，PE⊥DH于E，如图1，∵DP+PC=10，PC=6，∴PD=4，∵∠AOB=60°，∴∠OPC=∠APD=30°，∴∠DPE=30°，PD=2，∴DE=12易得四边形PCHE为矩形，∴EH=PC=6，∴DH=DE+EH=2+6=8，即点D到OB的距离为8；(2)存在．如图2，延长CP到D′，使PD′=PD，则CD′=PC+PD=10，作CD′的垂直平分线交OA于M，则点M为所作；作MN⊥OB于N，如图2，则MN=12×10=5，在Rt△OMN中，ON=√33MN=5√33，∴OM=2ON=10√33．解析：本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了点到直线的距离和含30度的直角三角形三边的关系．(1)作DH⊥OB于H，PE⊥DH于E，如图1，先计算出PD=4，利用含30度的直角三角形三边的关系得到DE=12PD=2，易得四边形PCHE为矩形，然后计算DH即可；(2)如图2，延长CP到D′，使PD′=PD，则CD′=PC+PD=10，作CD′的垂直平分线交OA于M，利用∠D′PA=∠DPA=30°可判断点D、D′关于OA对称，所以MD′=MD，而MD′=MC，所以点M 满足MD=MC，作MN⊥OB于N，如图2，易得MN=5，根据含30度的直角三角形三边的关系求出ON、OM即可．24.答案：证明：∵AB//CD，∴∠B=∠C，∠A=∠D，∵在△AOB和△DOC中，{∠B=∠C ∠A=∠DOA=OD,∴△AOB≌△DOC(AAS)，∴AB=CD．解析：此题主要考查了全等三角形的判定与性质的知识，解答本题的关键是熟练掌握判定定理以及平行线的性质，此题基础题，比较简单．首先根据AB//CD，可得∠B=∠C，∠A=∠D，结合OA=OD，可知证明出△AOB≌△DOC，即可得到AB=CD．25.答案：解： ①x2−1; ②x3−1; ③x4−1;x100−1．(1)299+298+⋯+2+1=(2−1)×(299+298+⋯+2+1)=2100−1．(2)(−3)50+(−3)49+⋯+(−3)+1=−14×(−3−1)×[(−3)50+(−3)49+⋯+(−3)+1] =−14×[(−3)51−1]=351+1．4解析：【分析】此题考查了多项式乘多项式，弄清题中的规律是解本题的关键.直接利用规律填空．(1)将式子乘以(2−1)，利用题中的规律计算即可得到结果；×(−3−1)，利用(1)的结论即可得到所求式子的值．(2)将所求式子乘以−1426.答案：证明：在边AC上截取AP=AB，连接PD．∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠PAD．在△ABD和△APD中，∴△ABD≌△APD(SAS)．∴∠APD=∠B，PD=BD．∵∠B=2∠C，∴∠PDC=∠C．∴PD=PC．∴AB+BD=AP+PC=AC．解析：本题考查全等三角形的判定和性质，先在在边AC上截取AP=AB，连接PD.因为AD平分∠BAC 交BC于点D，利用角平分线的定义可知∠BAD=∠PAD，根据全等三角形的判定可知△ABD≌△APD，再根据全等三角形的性质得出对应角和对应边的相等关系，结合∠ABC=2∠C进一步可求证结果。
北京人大附中八年级上学期数学期中考试试卷(附答案)
答案: 2019-10-29 — 参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ACDDBCABD C 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8. 9. 由题可知 C 点为矩形纸片中间的点，剪掉的三角形一条边在 CD 上，另外两条边中的短边靠近中心，
长边靠外，可知 D 符合题意．
10.
11.(2, −1)
x3 − 10x2 − x + 2，直接写出 (4p − 2q − 1) (2m − n − 1) 的值
．
27. 已知：△ABC 中，AB = AC，点 D 是 BC 的中点，若 O 在 AD 上，连接 BO 并延长交 AC 于点 E．
(1) 如图 1，若 ∠BAC = 60◦，且 BE 是 △ABC 的高，用等式表示 OA 与 OD 的数量关
(1) 计算 3⋆ (−2) 的值是
；
(2) 若 x = 0⋆ (m2 + 2m + 1)，y = m⋆1，其中 m 为任意实数，比较 x，y 的大小．
25. 在 △ABC 中，AB = AC，点 D 在 AB 上．
(1) 如图 1，若 ∠ABC = 70◦，且 DA = DC，则 ∠BDC 的度数是
A. 12
B. 10
C. 8
D. 6
11. 点 M (2, 1) 关于 x 轴的对称点 N 的坐标是
．
12. 计算 (2 − π)0 =
．
13. 若分式 1 有意义，则 x 的取值范围是
．
3−x
14. 若 m − n = 2，m + n = 5，则 m2 − n2 的值为
．
15. 如图，已知射线 OM ．以 O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线 OM 交于点 A，再以点 A
2019-2020学年八年级上学期期中考试数学试卷附参考答案
2019-2020学年八年级上学期期中考试数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1．若分式的值不存在，则x的取值是（）A．x＝﹣2 B．x≠﹣2 C．x＝3 D．x≠32．若分式的值等于0，则x的取值是（）A．x＝0 B．x＝3 C．x＝﹣3 D．x＝3或x＝﹣3 3．下列式子变形，正确的是（）A．＝B．＝﹣C．＝D．＝4．下列分式中，是最简分式的是（）A．B．C．D．5．用科学记数法表示：0.00002018是（）A．2.018×10﹣5B．2.018×10﹣4C．201.8×10﹣7D．2018×10﹣56．计算：（）﹣3的结果是（）A．﹣B．C．D．﹣7．如图，图中三角形的个数共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个8．如图，CD是△ABC的角平分线，∠A＝30°，∠B＝66°，则∠BDC的度数是（）A．96°B．84°C．76°D．72°9．下列语句：①你叫什么名字；②负数的绝对值等于它的相反数；③相等的角是对顶角；④明天下雨吗？属于命题的是（）A．①②B．②③C．③④D．①②③④10．在△ABC和△DEF中，下列条件不能判断这两个三角形全等的是（）A．AB＝DE，AC＝DF，∠A＝∠D B．∠A＝∠D，∠B＝∠E，AB＝DEC．AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E D．AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF11．如图，∠CAB＝60°，CD垂直平分AB，垂足为点D，∠CAB的平分线交CD于点E，连接EB，则∠BEC的度数是（）A．120°B．110°C．100°D．90°12．如图，∠ADB＝∠ACB＝90°，AC与BD相交于点O，且OA＝OB，下列结论：①AD＝BC；②AC＝BD；③∠CDA＝∠DCB；④CD∥AB，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分13．若分式的值为0，则x的值是．14．分式，，的最简公分母是．15．若3x＝10，3y＝5，则3x﹣y＝．16．命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是．17．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝70°，EF是AC边的垂直平分线，垂足为E，交BC 于点F，则∠AFE的度数等于．18．已知ab＝1，m＝+，则﹣m2018的值等于．三、解答题：本大题共8小题，满分66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤19．先约分，再求值：，其中x＝﹣2，y＝﹣．20．计算：（1）•（2）÷（3）（）2（4）（）321．计算（1）（）3•（）2•（）2（2）（）4•（）3÷（）522．计算：（1）+﹣（2）﹣﹣23．如图，已知AB∥ED，CD∥BF，AE＝CF．求证：AB＝ED．24．如图，AB＝CD，AD＝BC，E、F分别是AC上的点，且AE＝CF（1）求证：AB∥CD；（2）求证：BE＝DF．25．如图，已知AD∥BC，点E是CD上一点，AE平分∠BAD，BF平分∠ABC，延长BE交AD 的延长线于点F（1）求证：△ABE≌△AFE；（2）若AD＝2，BC＝6，求AB的长．26．甲种污水处理器处理25吨的污水与乙种污水处理器处理35吨的污水所用的时间相同，已知乙种污水处理器每小时比甲种污水处理器多处理20吨的污水．（1）分别求甲、乙两种污水处理器的污水处理效率；（2）若某厂每天同时开甲、乙两种污水处理器处理污水共4小时，且甲、乙两种污水处理器处理污水每吨需要的费用分别30元和50元，问该厂每个月（以30天计）需要污水处理费多少？参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．若分式的值不存在，则x的取值是（）A．x＝﹣2 B．x≠﹣2 C．x＝3 D．x≠3【分析】直接利用分式有意义的条件得出x的值，进而得出答案．【解答】解：∵分式的值不存在，∴2x+4＝0，解得：x＝﹣2，则x的取值是：﹣2．2．若分式的值等于0，则x的取值是（）A．x＝0 B．x＝3 C．x＝﹣3 D．x＝3或x＝﹣3 【分析】直接利用分式的值为零则分子为零分母不为零，进而得出答案．【解答】解：∵分式的值等于0，∴|x|﹣3＝0，2x﹣6≠0，解得：x＝﹣3，故选：C．3．下列式子变形，正确的是（）A．＝B．＝﹣C．＝D．＝【分析】根据分式的基本性质解答．【解答】解：A、原式＝，故本选项错误；B、原式＝﹣，故本选项正确；C、原式＝，故本选项错误；D、原式＝，故本选项错误；故选：B．4．下列分式中，是最简分式的是（）A．B．C．D．【分析】根据最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分，判断的方法是把分子、分母分解因式，然后对每一选项进行整理，即可得出答案．【解答】解：A．＝，不符合题意；B．＝，不符合题意；C．＝，不符合题意；D．是最简分式，符合题意；5．用科学记数法表示：0.00002018是（）A．2.018×10﹣5B．2.018×10﹣4C．201.8×10﹣7D．2018×10﹣5【分析】根据科学记数法的形式选择即可．【解答】解：0.00002018＝2.018×10﹣5，故选：A．6．计算：（）﹣3的结果是（）A．﹣B．C．D．﹣【分析】先根据负整数指数幂的定义进行变形，再求出即可．【解答】解：（）﹣3＝（）3＝，故选：B．7．如图，图中三角形的个数共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【分析】根据三角形的定义，找出图中所有的三角形，数出其个数即可得出结论．【解答】解：图中是三角形的有：△AOC、△BOD、△AOB、△ABC、△ABD．故选：C．8．如图，CD是△ABC的角平分线，∠A＝30°，∠B＝66°，则∠BDC的度数是（）A．96°B．84°C．76°D．72°【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB的度数，再根据CD是△ABC的角平分线，即可求出∠ACD的度数；再根据三角形内角和外角的关系即可求出∠BDC的度数．【解答】解：∵∠A＝30°，∠B＝66°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣66°＝84°，∵CD是△ABC的角平分线，∴∠ACD＝∠ACB＝×84°＝42°．∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝30°+42°＝72°．故选：D．9．下列语句：①你叫什么名字；②负数的绝对值等于它的相反数；③相等的角是对顶角；④明天下雨吗？属于命题的是（）A．①②B．②③C．③④D．①②③④【分析】根据命题是判断性语句，可得答案．【解答】解：①你叫什么名字，没有作出判断，不是命题；②负数的绝对值等于它的相反数，正确，是命题；③相等的角是对顶角，正确，是命题；④明天下雨吗？是疑问句，不是命题，故选：B．10．在△ABC和△DEF中，下列条件不能判断这两个三角形全等的是（）A．AB＝DE，AC＝DF，∠A＝∠D B．∠A＝∠D，∠B＝∠E，AB＝DEC．AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E D．AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF【分析】根据题意画出图形，再由全等三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：如图所示，A、AB＝DE，AC＝DF，∠A＝∠D，符合SAS定理，∴△ABC≌△DEF，故本选项正确；B、∠A＝∠D，∠B＝∠E，AB＝DE，符合ASA定理，∴△ABC≌△DEF，故本选项正确；C、∵AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，不符合全等三角形的判定定理，故本选项错误；D、∵AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF，符合SSS定理，∴△ABC≌△EFD，故本选项正确．故选：C．11．如图，∠CAB＝60°，CD垂直平分AB，垂足为点D，∠CAB的平分线交CD于点E，连接EB，则∠BEC的度数是（）A．120°B．110°C．100°D．90°【分析】根据三角形的外角的性质可知：∠BEC＝∠B+∠EDB，想办法求出∠B，∠EDB即可解决问题；【解答】解：∵AE平分∠CAB，∠CAB＝60°，∴∠EAD＝∠CAB＝30°，∵CD垂直平分线段AB，∴EA＝EB，∠EDB＝90°，∴∠B＝∠EAD＝30°，∴∠BEC＝∠EDB+∠B＝90°+30°＝120°，故选：A．12．如图，∠ADB＝∠ACB＝90°，AC与BD相交于点O，且OA＝OB，下列结论：①AD＝BC；②AC＝BD；③∠CDA＝∠DCB；④CD∥AB，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由△ABC≌△BAD（AAS），推出AD＝BC，AC＝BD，故①②正确，再证明CO＝OD，可得∠CDA＝∠DCB，故③正确，由∠CDO＝∠OAB，可得CD∥AB，故④正确；【解答】解：∵OA＝OB，∴∠DAB＝∠CBA，∵∠ACB＝∠BDA＝90°，AB＝BA，∴△ABC≌△BAD（AAS），∴AD＝BC，AC＝BD，故①②正确，∵BC＝AD，BO＝AO，∴CO＝OD，∴∠CDA＝∠DCB，故③正确，∵∠COD＝∠AOB，∴∠CDO＝∠OAB，∴CD∥AB，故④正确，故选：D．二．填空题（共6小题）13．若分式的值为0，则x的值是0 ．【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．【解答】解：∵分式的值为0，∴x＝0．将x＝0代入x+1＝1≠0．当x＝0时，分式分式的值为0．故答案为：0．14．分式，，的最简公分母是12a2b2c．【分析】根据确定最简公分母的方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式确定；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．【解答】解：因为三分式中的常数项系数的最小公倍数是12，a的最高次幂是2，b的最高次幂是2，c的最高次幂是1，所以三分式的最简公分母是12a2b2c．故答案为：12a2b2c．15．若3x＝10，3y＝5，则3x﹣y＝ 2 ．【分析】先根据同底数幂的除法进行变形，再代入求出即可．【解答】解：∵3x＝10，3y＝5，∴3x﹣y＝3x÷3y＝10÷5＝2，故答案为：2．16．命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是两个角相等三角形是等腰三角形．【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．【解答】解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”．17．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝70°，EF是AC边的垂直平分线，垂足为E，交BC 于点F，则∠AFE的度数等于50°．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠CAB＝∠B＝70°，根据三角形的内角和得到∠C ＝180°﹣∠CAB﹣∠B＝40°，根据线段垂直平分线的性质得到CF＝AF，EF⊥AC，于是得到结论．【解答】解：∵AC＝BC，∠B＝70°，∴∠CAB＝∠B＝70°，∴∠C＝180°﹣∠CAB﹣∠B＝40°，∵EF是AC边的垂直平分线，∴CF＝AF，EF⊥AC，∴∠EAF＝∠C＝40°，∴∠AFE＝90°﹣40°＝50°，故答案为：50°．18．已知ab＝1，m＝+，则﹣m2018的值等于﹣1 ．【分析】先利用异分母分式的加减法法则，计算m的值，再求出﹣m2018的值．【解答】解：m＝+＝＝∵ab＝1，∴m＝＝1∴﹣m2018＝﹣12018＝﹣1故答案为：﹣1三．解答题（共8小题）19．先约分，再求值：，其中x＝﹣2，y＝﹣．【分析】先把分子分母因式分解，再约分得到原式＝，然后把x、y的值代入计算即可．【解答】解：原式＝＝，当x＝﹣2，y＝﹣时，原式＝＝．20．计算：（1）•（2）÷（3）（）2（4）（）3【分析】（1）先分解因式，再根据分式的乘法法则求出即可；（2）先把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则求出即可；（3）根据分式的乘方法则求出即可；（4）根据分式的乘方法则求出即可．【解答】解：（1）•＝•＝﹣2x（x+1）＝﹣2x2﹣2x；（2）原式＝•＝；（3）（）2＝；（4）（）3＝﹣＝﹣．21．计算（1）（）3•（）2•（）2（2）（）4•（）3÷（）5【分析】（1）先算乘方，再算乘法即可；（2）先算乘方，把除法变成乘法，再算乘法即可．【解答】解：（1）原式＝••＝；（2）原式＝••＝﹣．22．计算：（1）+﹣（2）﹣﹣【分析】（1）直接通分进而利用分时加减运算法则计算得出答案；（2）直接通分进而利用分时加减运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）+﹣＝+﹣＝；（2）﹣﹣＝﹣﹣＝＝﹣．23．如图，已知AB∥ED，CD∥BF，AE＝CF．求证：AB＝ED．【分析】根据平行线性质得到∠A＝∠DEC，∠C＝∠AFB，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】证明：∵AB∥ED，CD∥BF，∴∠A＝∠DEC，∠C＝∠AFB，∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE，在△ABF与△EDC中，∴△ABF≌△EDC，（ASA），∴AB＝ED．24．如图，AB＝CD，AD＝BC，E、F分别是AC上的点，且AE＝CF（1）求证：AB∥CD；（2）求证：BE＝DF．【分析】（1）由全等三角形的判定定理SSS证得△ABD≌△CDB，则该全等三角形的对应角相等，即∠ABD＝∠CDB，故AB∥CD；（2）欲证明BE＝DF，只需推知△ABE≌△CDF即可．【解答】证明：（1）在△ABD与△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（SSS），∴∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD；（2）由（1）知，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF，又AB＝CD，AE＝CF，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴BE＝DF．25．如图，已知AD∥BC，点E是CD上一点，AE平分∠BAD，BF平分∠ABC，延长BE交AD 的延长线于点F（1）求证：△ABE≌△AFE；（2）若AD＝2，BC＝6，求AB的长．【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠BAE＝∠EAF，∠ABF＝∠EBC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠EBC＝∠F，然后求出∠ABF＝∠F，再利用“角角边”证明△ABE 和△AFE全等即可；（2）根据全等三角形对应边相等可得BE＝FE，然后利用“角边角”证明△BCE和△FDE 全等，根据全等三角形对应边相等可得BC＝DF，然后根据AD+BC整理即可得证．【解答】证明：（1）∵AE、BE分别平分∠DAB、∠CBA，∴∠BAE＝∠EAF，∠ABF＝∠EBC，∵AD∥BC，∴∠EBC＝∠F，∠ABF＝∠F，在△ABE和△AFE中，，∴△ABE≌△AFE（AAS）；（2）∵△ABE≌△AFE，∴BE＝EF，在△BCE和△FDE中，，∴△BCE≌△FDE（ASA），∴BC＝DF，∴AD+BC＝AD+DF＝AF＝AB，即AD+BC＝AB．∵AD＝2，BC＝6，∴AB＝8．26．甲种污水处理器处理25吨的污水与乙种污水处理器处理35吨的污水所用的时间相同，已知乙种污水处理器每小时比甲种污水处理器多处理20吨的污水．（1）分别求甲、乙两种污水处理器的污水处理效率；（2）若某厂每天同时开甲、乙两种污水处理器处理污水共4小时，且甲、乙两种污水处理器处理污水每吨需要的费用分别30元和50元，问该厂每个月（以30天计）需要污水处理费多少？【分析】（1）首先设甲种污水处理器每小时处理污水x吨，则设乙种污水处理器每小时处理污水（x+20）吨，根据题意可得等量关系：甲种污水处理器处理25吨的污水＝乙种污水处理器处理35吨的污水所用时间，根据等量关系，列出方程，再解即可．（2）根据题意列出计算式解答即可．【解答】解：（1）设甲种污水处理器每小时处理污水x吨，由题意得，，解之得，x＝50，经检验，x＝50是原方程的解，所以x＝50，x+20＝70，答，甲种污水处理器每小时处理污水50吨，乙种污水处理器每小时处理污水70吨．（2）30×4×50×30+30×4×70×50＝180000+420000＝600000（元），答：该厂每个月（以30天计）需要污水处理费600000元．。