四川省绵阳市2021届高三第二次诊断性考试理科数学试题(含答案解析)
高三数学第二次诊断考试试题理(扫描版)(2021学年)
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四川省绵阳市2018届高三数学第二次诊断考试试题理(扫描版)绵阳市高2015级第二次诊断性考试数学（理工类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共６0分．DＢＢCA ＣＤＤCA BＤ二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.1３．93 14．—5 1５.1１６．①③④16题提示:③设｜B Ｍ｜=|BO |=m ，|ＣＮ|=|C Ｏ｜＝n ,由①得|ＰM |=|PN ｜=9.由题知圆Ｅ与x 轴相切，于是圆Ｅ：ｘ2+(y —2）2=４是△PBC 的内切圆,根据公式S △PBC =)(21c b a r ++(其中ｒ为内切圆半径,a ,ｂ,c 为△P ＢC 的边长)得:21｜B Ｃ|•y 0＝21×2×2（|PM ｜+｜BO ｜+|CO |）,即21(ｍ＋n )×9=２（９+m +n ),解得536=+n m ，故S △P ＢC 5162953621=⨯⨯=．④同③可得21(m +n )•y ０=２(y ０+m +n )， 解得4400-=+y y n m ， 故S △PBC ]8)4(16)4[(24421)(21000200+-+-⋅=-⋅=+=y y y y y n m ≥32．三、解答题：本大题共6小题,共７0分.17．解：(Ⅰ)已知C B A tan 31tan 21tan ==,∴ ｔan Ｂ＝2tan A ,tan C =3ｔan Ａ, 在△ABC 中,tan A =-tan （Ｂ+C )=AAA CBC B 2tan 61tan 3tan 2tan tan 1tan tan -+-=-+-，………3分 解得tan 2A ＝1，即ta ｎA =-1，或tan A =1．……………………………………4分 若t ａｎA =-1,可得ｔanB ＝—2,则A ,B 均为钝角,不合题意． ……………5分 故ｔａn A ＝１,得Ａ=4π．…………………………………………………………6分（Ⅱ)由tan A =1,得tan B ＝2,ｔan C =3，可得sin Ｂ=2ｃｏｓB ,sin C =3cos C ， ……………………………………………7分 结合s ｉｎ2B ＋c ｏｓ2B =1，sin 2C +cos ２C =1， 可得s ｉｎB =52,s ｉn C ＝103， （负值已舍) ……………………………………9分在△ABC 中，由BbA a sin sin =，得b =a a a A B 51022252sin sin ==, …………11分于是Ｓ△ABC =21ab sin C =253103510221a a a =⨯⨯，∴ 253a =15，解得ａ=5．………………………………………………………12分1８.解：（Ⅰ)根据题意得：a =40，ｂ=15，c ＝20，d =25,∴ 879.7249.845554060)20152540(10022>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K , ……………………………４分 ∴ 在犯错误的概率不超过０。
2021年1月15日四川省高2018级2021届绵阳二诊理科数学试题及参考答案附答题卡
绵阳市高中2018级第二次诊断性考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1—5 DADCB 6—10 CCCAB 11—12 DA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．-i 14．0.8 15．3 16．②④三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（1）证明：∵211(2)n n n n a a a a ++=+，∴2211112(2)()0n n n n n n n n a a a a a a a a ++++−−=−+=．又数列{a n }各项均为正数，∴10n n a a ++>，∴120n n a a +−=，即12n na a +=． …………………………………………………4分 数列{a n }是首项a 1=1，公比为2的等比数列．∴数列{a n }的通项公式为12n n a −=． …………………………………………6分（2）∵1(1)1221112n nn n a q S q −−===−−−， ∴S 2n =22n -1， ………………………………………………………………… 8分 ∵S 2n >1609n a ， ∴29(21)802n n −>⨯，即(921)(29)0n n ⨯+−>，∴290n −>，又*n N ∈ ，∴正整数n 的最小值为4． …………………………………………………12分18．解：（1）由题意得，1=(23456)45x ⨯++++=，1=(35 6.5810.5) 6.65y ⨯++++=，……………………2分1()()18n i i i xx y y =−−=∑，21()10n i i x x =−=∑，……………………………………4分1.8b =， 6.6 1.840.6a y bx =−=−⨯=−， ………………………………………5分∴y 关于x 的线性回归方程 1.8.6ˆ0yx =−． ……………………………………6分（2）由（1）所得回归方程计算2月至7月份预测生产量依次为3，4.8，6.6，8.4，10.2，12．可得，其中“甲级月”有3个，“乙级月”有3个．……………………… 9分 记6个月中随机抽取2个月均为“乙级月”为事件A ，∴P(A )=232631155C C ==．…………………………………………………………12分 19．解：（1）在△APC 中， 30PAC ∠=，AC =，由余弦定理得CP 2=AP 2+AC 2-2AP ×AC ×cos ∠PAC ，即CP 2=AP 2+3-AP ×cos30°， ……………………………………………2分 又AP +CP =2，联立解得AP =1，CP =1． ………………………………………………………4分 ∴∠APC =120°． ……………………………………………………………………6分 （2）∵∠APC =120°，∴∠APB =60°．∵cos B =∴sin B = ……………………………………………………………………8分 在△APB 中，由正弦定理sin sin AB AP APB B=∠，∴AB = …………………………………………………………………………10分 在△APB 中，由余弦定理2222cos AB AP PB AP PB APB =+−⋅⋅∠，得7=1+PB 2-2PBcos60°，即PB 2-PB -6=0，解得BP =3．∴△APB的面积为11sin 1322AP BP APB ⨯⨯∠=⨯⨯=12分 20．解：（1）由21()()2g x f x mx =+=(22)4ln m x x +−，x >0， 得4(22)4(1)2()(22)=2m x m x g x m x x x+−+−'=+−=⋅． ……………………………2分 ①当1≤m −时，(1)2()20=≤m x g x x+−'⨯， 此时g (x )在(0)，+∞上单调递减， g (x )在(0)，+∞上不可能有两个零点，故1≤m −不合题意. ……………………4分②当m>-1时，f(x)在区间2(0)1，m+上单调递减，在区间2()1，+m∞+上单调递增．……………………………5分要使得函数g(x)在(0)，+∞上有两个零点，则22()44ln011gm m=−<++，解得2e1em−−<<．综上，实数m的范围是2e1em−−<<．………………………………………6分（2）4(2)(2)()(22)mx xf x m mxx x−−'=+−−=−，x>0．①当0<m<1时，函数f(x)在2(2)，m上单调递增，在(0，2)，2()，+m∞上单调递减，当44xm>+时，函数f(x)在2()，+m∞上单调递减．∴14()(22)4ln(4)02f x x m mx x fm=+−−<+<,∴f(x)≥0，在x>0恒成立不成立，即0<m<1不合题意.……………………8分②当m≥1时，函数f(x)在2(2)，m上单调递增，函数f(x)在2(0)，m，(2)，+∞上单调递减，当442xm>+>时，f(x)在(2)，+∞上单调递减，∴14()(22)4ln(4)02f x x m mx x fm=+−−<+<,∴f(x)≥0在x>0恒成立不成立，即m≥1不合题意.………………………………………………………………10分③当m≤0时，函数f(x)在(0，2)上单调递减,在(2)，+∞上单调递增，∴要使得f(x)≥0的充要条件是f(2)≥0，解得m≥2ln2-2，∴2ln2-2≤m≤0．综上所述，实数m的范围是[2ln2-2，0].……………………………………12分21．解：（1）由题意得425)25(21p p x A +=+=，25||p DF −=．……………………2分 由抛物线的定义可知2||p x AF A +=， 则由AF DF =，解得2=p ．∴抛物线C 的方程为x y 42=．…………………………………………………5分（2）设直线l 1的方程为m kx y +=， 则5(55)(5)(0)2k m G k m E P m ++，，，，，． ∴以DG 为直径的圆E ：2225(5)(5)()24k m k m x y ++−+−=， 即22(5)(5)0x y k m y −+−+=． …………………………………………………7分联立24y x y kx m ⎧=⎨=+⎩，，消去y 整理得0)42(222=+−+m x km x k ． ……………8分 ∵l 1与曲线C 相切，∴04)42(222=−−=∆m k km ，化简得1=km ． …………………………………………………………………9分 设直线l 2与的方程为y tx m =+，H (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)．联立22(5)(5)0y tx m x y k m y =+⎧⎨−+−+=⎩，，消去y ，整理得22(1)(510)2550t x tm kt x km ++−−+−=， ∴12222015521km x x t t ⋅=−=++． …………………………………………………11分∵1PH =，2PQ =， ∴22122(1)(1)20120PH PQ t x x t t ⋅=+⋅=+⋅=+， 即|PH |•|PQ |为定值20．……………………………………………………………12分22．解：（1）∵曲线C 1的直角坐标方程为(x -2)2+y 2=6，∴曲线C 1的极坐标方程为24cos 20ρρθ−−=． …………………………………4分 将曲线C 2的参数方程消参得x 2-y 2=4(x ≥2)，∴曲线C 2的极坐标方程为2cos 24(cos 2)ρθρθ=≥． ……………………………5分（2）曲线C 1的极坐标方程为24cos 20-ρρθ−=，将直线l ：()22=ππθαα−<<，ρ∈R 代入上式，得24cos 20ρα−−=，∴124cos ρρα+=，1220ρρ=−<． ………………………………………………7分设1OA ρ=，2OB ρ=．∴12||||AB ρρ=−=∵曲线C 2的极坐标方程为2cos 24(cos 2)ρθρθ=≥，设点()C ρα，，∴||OC =∵||||AB OC =， ……………………………………………………………………9分 ∴24cos 28cos250αα+−=， 解得1cos22α=． ∵22ππα−<<， ∴66或-ππαα==． …………………………………………………………………10分23．解：（1）当x ≥3时，f (x )=x -3+x -2=2x -5．由f (x )<3，得x <4，综合得3≤x <4．当2<x <3时，f (x )=3- x +x -2=1．由f (x )<3，得1<3恒成立，综合得2<x <3．当x ≤2时，f (x )=3- x +2-x =5-2x ．由f (x )<3，得x >1，综合得1<x ≤2．综上，不等式f (x )<3的解集为(1，4)． ……………………………………………5分 （2）证明：∵()32(3)(2)1f x x x x x −+−−−−==≥，(当且仅当2≤x ≤3时，取“=”)∴函数f (x )的最小值为1，即m =1．∴ab +bc +ac =abc ．∴ab +bc +ac =()ab bc ac a b c abc ++⨯++）（c b a cb a ++⋅++=()111 3()()()b ac b c a a b b c a c=++++++ ≥3+2+2+2=9．(当且仅当a =b =c 时取“=”)∴9ab bc ca ++≥． ………………………………………………………………10分。
第二关 以解析几何中与椭圆相关的综合问题为解答题-(原卷版)
压轴解答题第二关 以解析几何中与椭圆相关的综合问题【名师综述】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系．类型一 中点问题典例1已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率13e =，焦距为2．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点()0,2Q 作斜率为()0k k ≠的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，若x 轴上的一点E 满足AE BE =，试求出点E 的横坐标的取值范围．【来源】河南省温县第一高级中学2021-2022学年高三上学期1月月考文科数学试题【举一反三】已知椭圆C ：()222210y x a b a b+=>>的焦距与椭圆2213x y +=的焦距相等，且C 经过抛物线()212y x =- （1）求C 的方程；（2）若直线y kx m =+与C 相交于A ，B 两点，且A ，B 关于直线l ：10x ty ++=对称，O 为C 的对称中心，且AOB 的面积为103，求k 的值． 类型二 垂直问题典例2 已知椭圆1C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为22，1C 的长轴是圆2C ：222x y +=的直径.（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆1C 的左焦点F 作两条相互垂直的直线1l ，2l ，其中1l 交椭圆1C 于P ，Q 两点，2l 交圆2C 于M ，N 两点，求四边形PMQN 面积的最小值.【来源】广东省肇庆市2021届高三二模数学试题【举一反三】已知椭圆222:1(1)x C y a a+=>，离心率63e =．直线:1l x my =+与x 轴交于点A ，与椭圆C 相交于,E F 两点．自点,E F 分别向直线3x =作垂线，垂足分别为11,E F ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程及焦点坐标；（Ⅱ）记1AEE ，11AE F ，1AFF 的面积分别为1S ，2S ，3S ，试证明1322S S S 为定值． 类型三 面积问题典例3如图，已知椭圆221:12x y Γ+=和抛物线22:3x y Γ=，斜率为正的直线l 与y 轴及椭圆1Γ依次交于P 、A 、B 三点，且线段AB 的中点C 在抛物线2Γ上．(1)求点P 的纵坐标的取值范围；(2)设D 是抛物线2Γ上一点，且位于椭圆1Γ的左上方，求点D 的横坐标的取值范围，使得PCD 的面积存在最大值．【来源】浙江省2022届高三水球高考命题研究组方向性测试Ⅴ数学试题【举一反三】已知椭圆C ：22221(x y a b a b+=>>0)的右焦点F 与右准线l ：x ＝4的距离为2．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线():0m y kx t t =+≠与椭圆C 相交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与直线m 及x 轴和y 轴分别相交于点D ，E ，G ，直线GF 与右准线l 相交于点H ．记AEGF ，ADGH 的面积分别为S 1，S 2，求12S S 的值．【来源】江苏省苏州中学等四校2021-2022学年高三下学期期初联合检测数学试题类型四 范围与定值问题典例4已知椭圆C ：()2222 1x y a b c a b +=>>2()2,1P ．(1)求C 的方程；(2)若A ，B 是C 上两点，直线AB 与曲线222x y +=相切，求AB 的取值范围． 【来源】重庆市2022届高三下学期开学考试数学试题【举一反三】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为(2,0)F ，过点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2． （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆内一点P （0，t ），斜率为k 的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，设直线OM ，ON （O 为坐标原点）的斜率分别为k 1，k 2，若对任意k ，存在实数λ，使得12k k k λ+=，求实数λ的取值范围． 【来源】江苏省扬州大学附中2021届高三下学期2月检测数学试题典例5 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点与短轴的两个端点组成的三角形是等腰直角三角形，点(10,1)P 是椭圆C 上一点． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设(,)R s t 是椭圆C 上的一动点，由原点O 向22()()4x s y t -+-=引两条切线，分别交椭圆C 于点P ，Q ，若直线,OP OQ 的斜率均存在，并分别记为12,k k ，求证：12k k ⋅为定值． 【来源】云南省昭通市2022届高三期末数学（理）试题【举一反三】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过两点33,2M ⎭，242N ⎝⎭. (1)求椭圆C 的方程：(2)A 、B 分别为椭圆C 的左、右顶点，点P 为圆224x y +=上的动点（P 不在坐标轴上），P A 与PB 分别与椭圆C 交E 、F 两点，直线EF 交x 轴于H 点，请问点P 的横坐标与点H 的横坐标之积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由.【来源】江西省景德镇市2022届高三第二次质检数学（理）试题【精选名校模拟】1．已知椭圆2222C :1(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，直线1:22l y x =-+与椭圆C 有且仅有一个公共点A ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程及A 点坐标；（Ⅱ）设直线l 与x 轴交于点B ．过点B 的直线与C 交于E ，F 两点，记点A 在x 轴上的投影为G ，T 为BG 的中点，直线AE ，AF 与x 轴分别交于M ，N 两点．试探究||||TM TN ⋅是否为定值?若为定值，求出此定值；否则，请说明理由．【来源】湖南省长沙市第一中学、广东省深圳实验学校2021届高三下学期联考数学试题2．如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点(0,2)A ，右焦点为(c,0)F ，直线AF 交椭圆于B点，且满足||2||AF FB =， 33||2AB =．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线(0)y kx k =>与椭圆相交于,C D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值． 【来源】黑龙江省漠河市高级中学2020-2021学年高三上学期第三次摸底考试文科数学试题3．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，离心率3e = 4.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点F 的直线l 与椭圆交于M ，N 两点（非长轴端点），MO 的延长线与椭圆交于P 点，求PMN 面积的最大值，并求此时直线l 的方程.【来源】天津市十二区县重点学校2021届高三下学期毕业班联考（一）数学试题4．已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的左､右焦点分别为1F ，2F 3G 是椭圆上一点，12GF F △的周长为643+.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l ：y kx m =+与椭圆C 交于A ，B 两点，且四边形OAGB 为平行四边形，求证：OAGB 的面积为定值.【来源】陕西省宝鸡市2021届高三下学期高考模拟检测（二）文科数学试题5．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率22e =，过右焦点(),0F c 的直线y x c =-与椭圆交于A ，B 两点，A 在第一象限，且2AF =．（1）求椭圆C 的方程；（2）在x 轴上是否存在点M ，满足对于过点F 的任一直线l 与椭圆C 的两个交点P ，Q ，都有MP MQ ⋅为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．【来源】河南省济源（平顶山许昌市）2021届高三第二次质量检测理科数学试题6．已知椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，并且经过()03P ，点．（1）求椭圆C 的方程；（2）设过点P 的直线与x 轴交于N 点，与椭圆的另一个交点为B ，点B 关于x 轴的对称点为B '，直线PB '交x 轴于点M ，求证：OM ON ⋅为定值． 【来源】北京平谷区2021届高三数学一模试题7．已知经过原点O 的直线与离心率为22的椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>交于A ，B 两点，1F 、2F 是椭圆C 的左、右焦点，且12AF F △面积的最大值为1.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图所示，设点P 是椭圆C 上异于左右顶点的任意一点，过点Р的椭圆C 的切线与2x =-交于点M .记直线1PF 的斜率为1k ，直线2MF 的斜率为2k ，证明：12k k ⋅为定值，并求出该定值. 【来源】广西南宁市2021届高三一模数学（文）试题8．设O 是坐标原点，以1F 、2F 为焦点的椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长为2，以12F F 为直径的圆和C 恰好有两个交点. （1）求C 的方程；（2）P 是C 外的一点，过P 的直线1l 、2l 均与C 相切，且1l 、2l 的斜率之积为112m m ⎛⎫-≤≤-⎪⎝⎭，记u 为PO 的最小值，求u 的取值范围.【来源】广东省深圳市2021届高三一模数学试题9．已知点(1,0)A ，点B 是圆221:(1)16O x y ++=上的动点，线段AB 的垂直平分线与1BO 相交于点C ，点C 的轨迹为曲线E . （1）求E 的方程（2）过点1O 作倾斜角互补的两条直线12,l l ，若直线1l 与曲线E 交于,M N 两点，直线2l 与圆1O 交于,P Q 两点，当,,,M N P Q 四点构成四边形，且四边形 MPNQ 的面积为831l 的方程. 【来源】广东省广州市2021届高三一模数学试题10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率是12，椭圆C 过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知12,F F 是椭圆C 的左、右焦点，过点2F 的直线l （不过坐标原点）与椭圆C 交于,A B 两点，求11F A F B ⋅ 的取值范围.【来源】东北三省三校（哈师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学 ）2020-2021学年高三下学期第一次联合模拟考试文科数学试题11．已知椭圆2222:1x y C a b+=7，离心率为12，过椭圆左焦点1F 作不与x 轴重合的直线与椭圆C 相交于M ，N 两点，直线m 的方程为：2x a =-，过点M 作ME 垂直于直线m 交直线m 于点E ．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)①求证线段EN 必过定点P ，并求定点P 的坐标； ②点O 为坐标原点，求OEN 面积的最大值．【来源】广东省广州市执信中学2022届高三下学期二月月考数学试题12．已知()12,0A -，()22,0A 分别为椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右顶点，点31,2H ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上．过点1,02D ⎛⎫⎪⎝⎭的直线交椭圆于两点P ，Q （P ，Q 与顶点1A ，2A 不重合），且直线1A P 与2A Q ，1A Q 与2A P 分别交于点M ，N ． (1)求椭圆C 的方程(2)设直线1A P 的斜率为1k ，直线1A Q 的斜率为2k ． ①证明：12k k ⋅为定值； ②求DMN 面积的最小值．【来源】山东省潍坊市2021-2022学年高三上学期期末数学试题13．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为F ，点A ，B 分别为右顶点和上顶点，点O 为坐标原点，11e OF OA FA+=，OAB 2，其中e 为E 的离心率． (1)求椭圆E 的方程；(2)过点O 异于坐标轴的直线与E 交于M ，N 两点，射线AM ，AN 分别与圆22:4C x y +=交于P ，Q 两点，记直线MN 和直线PQ 的斜率分别为1k ，2k ，问12k k 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【来源】四川省绵阳市2021-2022学年高三上学期第二次诊断性考试理科数学试题14．已知点M 是椭圆C ：()222210y x a b a b +=>>上一点，1F ，2F 分别为椭圆C 的上、下焦点，124F F =，当1290F MF ∠=︒，12F MF △的面积为5.(1)求椭圆C 的方程：(2)设过点2F 的直线l 和椭圆C 交于两点A ，B ，是否存在直线l ，使得2OAF 与1OBF △（O 是坐标原点）的面积比值为5：7.若存在，求出直线l 的方程：若不存在，说明理由.【来源】江西省赣州市2022届高三上学期期末数学（文）试题15．已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>过点3P⎛⎝⎭3(1)求椭圆C的方程；(2)在y轴上是否存在点M，过点M的直线l交椭圆C于A，B两点，O为坐标原点，使得三角形AOB的面积1tan2=-∠S AOB若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.【来源】江西省赣州市2022届高三上学期期末数学（理）试题。
四川省绵阳市2021届高三上学期第二次诊断性考试文科数学试题含答案
绵阳市高中2018级第二次诊断性考试文科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1—5 DADBA 6—10 CCCDB 11—12 AB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．-i 14．2 151 16． [1，2)三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（1）由已知得，1=(23456)45x ⨯++++=， 1=(35 6.5810.5) 6.65y ⨯++++=， ………………………2分 1()()18n i i i x x y y =−−=∑，21()10ni i x x =−=∑， ………………………………………6分 ∴ 1.8b =， 6.6 1.840.6a y bx =−=−⨯=−， ……………………………………7分∴y 关于x 的线性回归方程 1.8.6ˆ0yx =−． ……………………………………8分 （2）由（1）可得7月份回归方程预测的生产量为1.870.6ˆ12y=⨯−=．……………………………………………………………11分 ∴该年7月份所得回归方程预测的生产量与实际市场需求量的误差为 1.5万件． …………………………………………………………………………………12分18．解：（1）∵数列{a n }是单调递增的等比数列，且1517a a +=，a 2a 4=16， ∴a 1a 5=a 2a 4=16，设{a n }的公比为q (q >1)． ………………………………………………………2分 由15151716，，a a a a +=⎧⎨=⎩设a 1，a 5为方程x 2-17x +16=0的两根，且a 1<a 5， 解得15116.，a a =⎧⎨=⎩ ……………………………………………………………………4分 又a 5=a 1q 4，∴q=2，∴数列{a n }的通项公式为12n n a −=． …………………………………………6分（2）∵1(1)1221112n nn n a q S q −−===−−−， ∴S 2n =22n -1， ………………………………………………………………… 8分 ∵S 2n >1609n a ， ∴29(21)802n n −>⨯，即(921)(29)0n n ⨯+−>，∴290n −>，又*n N ∈ ，∴正整数n 的最小值为4． …………………………………………………12分 19．解：（1）在△APC 中，由余弦定理得2222cos PC AP AC AP AC PAC =+−⋅⋅⋅∠，将30PAC ∠=，AC =，AP =1代入上式得213301PC =+−=，即PC =1．…………………………………………3分 又AP =1，∠PAC =30°，∴∠APC =120°． ……………………………………………………………………6分 （2）∵∠APC =120°，∴∠APB =60°．∵cos B =sin B = ……………………………………………………8分 在△APB 中，由正弦定理sin sin AB AP APB B=∠，∴AB = …………………………………………………………………………10分 在△APB 中，由余弦定理2222cos AB AP PB AP PB APB =+−⋅⋅∠，得7=1+PB 2-2PBcos60°，即PB 2-PB -6=0，解得BP =3．∴△APB 的面积为11sin 1322AP BP APB ⨯⨯∠=⨯⨯=12分 20．解：（1）由()0FA FB AB +⋅=可知，△AFB 是以AB 为底的等腰三角形．由A 在抛物线C 上得px 40=， 由抛物线定义得24||P PAF +=．………………………………………………………4分 又22p BF =+，AF BF =，解得2=p ． ∴抛物线C 的方程为x y 42=． ……………………………………………………6分（2）由（1）知(2(10)，，A F ，设直线l 的方程为x =my -2，21()4，y M y ，22()4，y N y ． 联立242，，y x x my ⎧=⎨=−⎩ 消x 得y 2-4my +8=0，有根与系数的关系得124y y m +=，128y y =． ……………………………………8分 直线MF 的方程为)2(224221−+=−x y y ， ∴2222(22222216111+−=++−=y y y y P ）． 同理可得2222(2222+−=y y y Q ）． ……………………………………………………10分 ∴|8)(228)(22||)22)(22()22)(22(|||||||122121212112−−+−−+=−+−+==y y y y y y y y y y y y y y BQ PB Q P 1||1221=−−=y y y y ． ………………………………………………………………………12分 21．解：(1)∵()(22)n f x m mx x'=+−−， ∴由题意得(2)(22)202n f m m '=+−−=， 解得n =4． ……………………………………………………………………………4分（2）4(2)(2)()(22)mx x f x m mx x x−−'=+−−=−，x >0． ①当0<m <1时，函数f (x )在2(2)，m上单调递增， 在(0，2)，2()，+m∞上单调递减， 当44x m >+时，函数f (x )在2()，+m∞上单调递减． ∴14()(22)4ln (4)02f x x m mx x f m=+−−<+<, ∴f (x )≥0，在x >0恒成立不成立，即0<m <1不合题意. ………………………………………………………………8分②当m ≥1时，函数f (x )在2(2)，m上单调递增， 函数f (x )在2(0)，m，(2)，+∞上单调递减， 当442x m>+>时，f (x )在(2)，+∞上单调递减， ∴14()(22)4ln (4)02f x x m mx x f m=+−−<+<, ∴f (x )≥0在x >0恒成立不成立，即m ≥1不合题意. …………………………………………………………………10分 ③当m ≤0时，函数f (x )在(0，2)上单调递减,在(2)，+∞上单调递增， ∴要使得f (x )≥0的充要条件是f (2)≥0，解得m ≥2ln2-2，∴2ln2-2≤m ≤0．综上所述，实数m 的范围是[2ln2-2，0]. …………………………………12分22．解：（1）∵曲线C 1的直角坐标方程为(x -2)2+y 2=6，∴曲线C 1的极坐标方程为24cos 20ρρθ−−=． …………………………………4分 将曲线C 2的参数方程消参得x 2-y 2=4(x ≥2)，∴曲线C 2的极坐标方程为2cos 24(cos 2)ρθρθ=≥． ……………………………5分（2）曲线C 1的极坐标方程为24cos 20-ρρθ−=，将直线l ：()22=ππθαα−<<，ρ∈R 代入上式得24cos 20ρα−−=，∴124cos ρρα+=，1220ρρ=−<． ………………………………………………7分 设1OA ρ=，2OB ρ=．∴12||||AB ρρ=−=∵曲线C 2的极坐标方程为2cos 24(cos 2)ρθρθ=≥，设点()C ρα，，∴||OC =∵||||AB OC =， ……………………………………………………………………9分 ∴24cos 28cos250αα+−=， 解得1cos22α=． ∵22ππα−<<， ∴66或-ππαα==． ……………………………………………10分23．解：（1）当x ≥3时，f (x )=x -3+x -2=2x -5．由f (x )<3，得x <4，综合得3≤x <4．当2<x <3时，f (x )=3- x +x -2=1．由f (x )<3，得1<3恒成立，综合得2<x <3．当x ≤2时，f (x )=3- x +2-x =5-2x ．由f (x )<3，得x >1，综合得1<x ≤2．综上，不等式f (x )<3的解集为(1，4)． ……………………………………………5分 （2）证明：∵()32(3)(2)1f x x x x x −+−−−−==≥，(当且仅当2≤x ≤3时，取“=”)∴函数f (x )的最小值为1，即m =1．∴ab +bc +ac =abc ．∴ab +bc +ac =()ab bc ac a b c abc ++⨯++）（c b a cb a ++⋅++=()111 3()()()b ac b c a a b b c a c =++++++ ≥3+2+2+2=9．(当且仅当a =b =c 时取“=”)∴9ab bc ca ++≥． ………………………………………………………………10分。
2021年四川绵阳高三二模理科数学试卷-学生用卷
2021年四川绵阳高三二模理科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第1题5分设集合A ={x ∈N|−1⩽x ⩽1}，B ={x|log 2x <1}，则A ∩B =（ ）．A. [−1,1)B. (0,1)C. {−1,1}D. {1}2、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第2题5分2021年四川绵阳高三二模文科第2题5分已知直线l 1:ax +2y +1=0，直线l 2:2x +ay +1=0，若l 1⊥l 2，则a =（ ）．A. 0B. 2C. ±2D. 43、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第3题5分2021年四川绵阳高三二模文科第3题5分已知平面向量a →=(1,√3)，b →=(2,λ)，其中λ>0，若|a →−b →|=2，则a →⋅b →=（ ）．A. 2B. 2√3C. 4√3D. 84、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第4题5分二项式(2x −√x )6的展开式中，常数项为（ ）． A. −60 B. −40 C. 60 D. 1205、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第5题5分2021年四川绵阳高三二模文科第4题5分已知函数f (x )=x 3+sinx +2，若f (m )=3，则f (−m )=（ ）．A. 2B. 1C. 0D. −16、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第6题5分已知曲线y=e x（e为自然对数的底数）与x轴、y轴及直线x=a(a>0)围成的封闭图形的面积为e n−1．现采用随机模拟的方法向右图中矩形OABC内随机投入400个点，其中恰有255个点落在图中阴影部分内，若OA=1，则由此次模拟实验可以估计出e的值约为（）．A. 2.718B. 2.737C. 2.759D. 2.7857、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第7题5分2021年四川绵阳高三二模文科第7题5分已知命题p:若数列{a n}和{b n}都是等差数列，则{ra n+sb n}(r,s∈R)也是等差数列；命题q:∀x∈)(k∈Z)，都有sinx<cosx，则下列命题是真命题的是（）．(2kπ,2kπ+π2A. ¬p∧qB. p∧qC. p∨qD. ¬p∨q8、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第8题5分对全班45名同学的数学成绩进行统计，得到平均数为80，方差为25，现发现数据收集时有两个错误，其中一个95分记录成了75分，另一个60分记录成了80分．纠正数据后重新计算，得到平均数为x，方差为s2，则（）．A. x=80，s2<25B. x=80，s2=25C. x=80，s2>25D. x<80，s2>259、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第9题5分已知双曲线E:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0))的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为其渐近线上一点，若△PF 1F 2是顶角为2π3的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）．A. √72B. 2C. √3D. √510、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第10题5分2021年四川绵阳高三二模文科第10题5分若函数f(x)=x 3−(a 2+3)x 2+2ax +3在x =2处取得极小值，则实数a 的取值范围是（ ）． A. (−∞,−6) B. (−∞,6) C. (6,+∞) D. (−6,+∞)11、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第11题5分已知正实数x ，y 满足lnx y >lgy x ，则（ ）． A. lnx >ln(y +1) B. ln(x +1)<lgy C. 3x <2y−1D. 2x−y >112、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第12题5分已知点O 为坐标原点，|OP |=2√2，点B ，点C 为圆x 2+y 2=12上的动点，且以BC 为直径的圆过点P ，则△OBC 面积的最小值为（ ）．A. 2B. 4C. 6D. √2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第13题5分2021年四川绵阳高三二模文科第13题5分2020~2021学年四川成都金牛区成都市实验外国语学校高二下学期开学考试理科第13题5分2019~2020学年四川南充高二下学期期末文科第13题5分若复数z满足z(1+i)=1−i，则z=．14、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第14题5分已知某科技公司员工发表论文获奖的概率都为p，且各员工发表论文是否获奖相互独立．若X为该公司的6名员工发表论文获奖的人数，D(X)=0.96，E(X)>2，则p为．15、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第15题5分已知F(1,0)为椭圆E：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点，过E的下顶点B和F的直线与E的另一交点为A，若4BF→=5FA→，则a=.16、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第16题5分关于函数f(x)=sin2x+2cos2x，下列说法正确的序号是．①函数f(x)的一条对称轴为x=3π8；②若f(x1)=f(x2)=1，则x1−x2=kπ2(k∈Z)；③函数f(x)关于(−π8,0)成中心对称；④设[a,b]⊆[0,π]，对任意x1，x2∈[a,b]，若f(x1)>f(x2)，则有x1>x2，那么b−a的最大值为3π8．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第17题12分已知各项均为正数的数列{a n }满足a 1=1， a n+12=a n (a n+1+2a n )．(1) 证明：数列{a n }为等比数列，并求通项公式．(2) 若数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2n >1609a n ，求n 的最小值．18、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第18题12分某食品厂2020年2月至6月的某款果味饮料生产产量（单位：万瓶）的数据如下表：(1) 根据以上数据，求y 关于x 的线性回归方程y ^=b ^x +a ^． (2) 当统计数据中，某月实际生产产量与所得回归方程预测的生产产量的误差在[−0.1,0.1]内时，称该月为“甲级月”，否则称该月为“乙级月”．将所得回归方程预测的7月生产产量视作该月的实际生产产量，现从该年2月至7月中随机抽取2个月，求这2个月均为“乙级月”的概率． 附：参考公式：b ^=∑(x i −x )n i=1(y i −y )∑(x i −x )2n i=1，a =y −b ^x ．19、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第19题12分如图，在△ABC 中，点P 在边BC 上，∠PAC =30°，AC =√3，AP +PC =2．(1) 求∠APC ．(2) 若cosB =5√714，求△APB 的面积．20、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第20题12分已知函数f(x)=(2m +2)x −4lnx −12mx 2(m ∈R)．(1) 若函数g(x)=f(x)+12mx 2有两个零点，求m 的取值范围．(2) 若f(x)⩾0，求m的取值范围．21、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第21题12分已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点A在第一象限内且为抛物线C上一点，点D(5,0)，当直线AD的倾斜角为2π3时，△ADF恰为等边三角形．(1) 求C的方程．(2) 过y轴上一点P作抛物线C的切线l1交直线x=5于G，以DG为直径作圆E，过点P作直线l2交圆E 于H，Q两点，试问：|PH|⋅|PQ|是否为定值？并说明理由．四、选考题（本大题共2小题，每小题10分，选做1小题，共10分）选修4-4：坐标与参数方程22、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第22题10分在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为(x−2)2+y2=6，曲线C2的参数方程为{x=t2+1t2y=t2−1t2（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ=α(−π2<α<π2,ρ∈R)．(1) 求曲线C1与C2的极坐标方程．(2) 已知直线l与曲线C1交于A，B两点，与曲线C2交于点C，若|AB|:|OC|=√5:√2，求α的值．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第23题10分已知函数f(x)=|x−3|+|x−2|．(1) 求不等式f(x)<3的解集．(2) 记函数f(x)的最小值为m，a>0，b>0，c>0，a+b+c=mabc，证明：ab+bc+ac⩾9．1 、【答案】 D;2 、【答案】 A;3 、【答案】 D;4 、【答案】 C;5 、【答案】 B;6 、【答案】 C;7 、【答案】 C;8 、【答案】 C;9 、【答案】 A;10 、【答案】 B;11 、【答案】 D;12 、【答案】 A;13 、【答案】−i;14 、【答案】0.8;15 、【答案】3;16 、【答案】②④;17 、【答案】 (1) 通项公式为a n=2n−1；证明见解析．;(2) 4．;18 、【答案】 (1) y^=1.8x−0.6．;(2) 1．5;19 、【答案】 (1) 120°．;(2) 3√34．;20 、【答案】 (1) −1<m<2−ee．;(2) [2ln2−2,0]．;21 、【答案】 (1) y2=4x．;(2) |PH|⋅|PQ|为定值20，理由见解析．;22 、【答案】 (1) C1的极坐标方程为ρ2−4ρcosθ−2=0．C2的极坐标方程为ρ2cos2θ=4(ρcosθ⩾2)．;(2) π6或−π6．;23 、【答案】 (1) (1,4)．;(2) 证明见解析．;。
2021年四川绵阳高三二模理科数学试卷(详解)
【答案】（ 1 ） （2）
． ．
【解析】（ 1 ）由
，
得
．
①
时，
，
此时 在 在
上单调递减， 上不可能有两个零点，故
不合题意．
②
时， 在区间
上单调递减，
在区间
上单调递增．
要使得函数 在
上有两个零点，
则
，解得
．
综上，实数 的范围是
（2）
①当
时，函数 在
．
，
．
上单调递增，
在，
上单调递减，
当
时，函数 在
上单调递减．
内随机投入 个点，其中恰有 个点落在
图中阴影部分内，若
，则由此次模拟实验可以估计出 的值约为（ ）．
y
O
x
A.
B.
C.
D.
【答案】 C
【解析】 ∵
与
交于点 ，
∴
，
∵四边形
是长方形，
，
∴，
∴
，阴影面积
，
，
∵向矩形
投 个点有 个在阴影内，
∴
，
∴
，
∴
，
故选 ．
7. 已知命题 若数列 A.
和 都是等差数列，则
B.
C.
【答案】 C 【解析】 二项式
的通项公式为
令
，得 ，
则常数项为
．
故选 ．
D. ，
5. 已知函数 A.
，若 B.
，则 C.
【答案】 B
【解析】 由
令 易得
， ，
， 为奇函数，
， ，
（ ）． D.
． 故选 ．
6. 已知曲线
四川省绵阳市高中2021届高三数学第二次诊断性测试试题 理(含解析)
四川省绵阳市高中2021届高三数学第二次诊断性测试(cèshì)试题理（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名(xìngmíng)、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应(duìyìng)题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试(kǎoshì)结束后，将答题卡交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有(zhǐyǒu)一项是符合题目要求的.1.设全集，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先确定集合的元素，再由补集定义求解．【详解】由题意，∴．故选：D．【点睛】本题考查补集的运算，解题时需确定集合的元素后才能进行集合的运算．本题还考查了指数函数的单调性．2.已知为虚数单位，复数满足，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由除法计算出复数z．【详解(xiánɡ jiě)】由题意．故选：A．【点睛】本题考查(kǎochá)复数的除法运算，属于基础题．3.已知两个(liǎnɡ ɡè)力，作用于平面内某静止物体的同一点(yī diǎn)上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力，则（）A. B. C. D.【答案(dá àn)】A【解析】【分析】F.根据力的平衡条件下,合力为,即可根据向量的坐标运算求得3【详解】根据力的合成可知因为物体保持静止,即合力为0,则即故选:A【点睛】本题考查了向量的运算在物理中的简单应用,静止状态的条件应用,属于基础题. 4.甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】可用列举法写出三人选择景点的各种情形．然后计数后可概率．【详解】两景点用1，2表示，三人选择景点的各种情形为：甲1乙1丙1 ，甲1乙1丙2 ，甲1乙2丙1 ，甲2乙1丙1 ，甲2乙2丙1 ，甲2乙1丙2 ，甲1乙2丙2 ，甲2乙2丙2 共8种，其中三人去同一景点的有甲1乙1丙1 和甲2乙2丙2两种，所以概率为．故选：B．【点睛】本题考查古典概型，解题时可用列举法写出所有(suǒyǒu)的基本事件．5.已知为任意(rènyì)角，则“”是“”的（）A. 充分(chōngfèn)不必要条件B. 必要(bìyào)不充分条件C. 充要条件D. 既不充分(chōngfèn)也不必要【答案】B【解析】【分析】说明命题1cos23α=3sin3α=和3sin3α=⇒1cos23α=是否为真即可．【详解】，则，因此“1cos23α=”是“3sin3α=”的必要不充分条件．故选：B．【点睛】本题考查充分必要条件的判断，只要命题为真，则是的充分条件，q 是p的必要条件．6.若的展开式中各项系数的和为1，则该展开式中含项的系数为（）A. -80B. -10C. 10D. 80【答案】A【解析】【分析】根据二项式定理展开式的各项系数和为1,即可得参数的值.由二项展开式的通项即可求得3x项的系数.【详解】因为51axx⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为1令代入可得,解得即二项式为展开式中含3x的项为所以(suǒyǐ)展开式中含3x项的系数(xìshù)为故选:A【点睛】本题考查(kǎochá)了二项定理展开式的简单应用,指定(zhǐdìng)项系数的求法,属于(shǔyú)基础题.7.已知某产品的销售额与广告费用之间的关系如下表：x（单位：万元）0 1 2 3 4y（单位：万元）10 15 30 35若根据表中的数据用最小二乘法求得y对x的回归直线方程为，则下列说法中错误的是（）A. 产品的销售额与广告费用成正相关B. 该回归直线过点C. 当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元D. m的值是20【答案】C【解析】【分析】根据回归直线方程中x系数为正，说明两者是正相关，求出后，再由回归方程求出，然后再求得m，同样利用回归方程可计算出时的预估值．【详解】因为回归直线方程中x系数为 6.5＞0，因此，产品的销售额与广告费用成正相关，A正确；又，∴，回归直线一定过点，B正确；x 时，，说明(shuōmíng)广告费用为10万元时，销售额估计为74 10万元，不是一定为74万元，C错误；由，得，D正确(zhèngquè)．故选：C．【点睛】本题考查回归(huíguī)直线方程，回归直线方程中x系数的正负说明两变量间正负相关性，回归直线(zhíxiàn)一定过中心点，回归直线方程(fāngchéng)中计算的值是预估值，不是确定值．8.双曲线的右焦点为，过F作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于，两点，若四边形（为坐标原点）的面积为，则双曲线的离心率为（）A. B. 2 C. D. 3【答案】B【解析】【分析】把四边形OAFB面积用表示出来，它等于bc，变形后可求得离心率．【详解】由题意，渐近线方程，不妨设方程为，由，得，即，同理，∴，由题意，∴．故选：B．【点睛】本题考查求双曲线的离心率．求离心率关键是找到关于,,a b c的一个等式，本题中四边形OAFB的面积是bc就是这个等式，因此只要按部就班地求出其面积即可得．9.小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏，规则是：3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分.现3人共进行了4次游戏，记小明4次游戏得分之和为，则X的期望为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案(dá àn)】C【解析(jiě xī)】【分析(fēnxī)】根据(gēnjù)古典概型概率求法,列举出现的所有(suǒyǒu)可能.由离散型随机变量的概率求法,可得小明得分的对应的概率与分布列,即可求出得分之和的期望.【详解】进行“手心手背”游戏,3人出现的所有可能情况如下所示:(心,心,心), (心,心,背),(心,背,心),(背,心,心)(心,背,背),(背,心,背),(背,背,心),(背,背,背)则小明得1分的概率为,得0分的概率为1 4进行4次游戏,小明得分共有5种情况:0分,1分,2分,3分,4分由独立重复试验的概率计算公式可得:则得分情况的分布列如下表所示:X1234P则X 的期望(qīwàng)故选:C【点睛】本题考查(kǎochá)了离散型随机变量的概率分布及期望的求法,属于(shǔyú)基础题. 10.已知圆：，点M ，在圆C 上，平面(píngmiàn)上一动点满足(mǎnzú)且，则的最大值为（ ） A. 4 B.C. 6D.【答案】D 【解析】 【分析】根据几何意义可知动点P 位于以为直径的圆上,由正弦定理即可求得PC 的最大值.【详解】圆C ：2268110x y x y +---= 化成标准方程可得所以圆C 的半径为因为点M ,N 在圆C 上,动点P 满足PM PN =且PM PN ⊥ 所以P 位于以MN 为直径的圆上,位置关系如下图所示:则,即在三角形中,由正弦定理可得代入可得则因为(yīn wèi)所以(suǒyǐ)PC 的最大值为62 故选:D【点睛】本题考查(kǎochá)了圆的一般方程与标准方程的转化,圆的几何(jǐ hé)性质,正弦定理(dìnglǐ)的简单应用,属于中档题. 11.已知为偶函数，且当时，，则满足不等式的实数m 的取值范围为（ ）A. B. C.D. ()2,+∞【答案】A 【解析】 【分析】由偶函数性质把不等式()()212log log 21f m f m f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭化为，由导数确定函数在上的单调性，利用单调性解不等式．【详解】∵()f x 是偶函数，∴，则不等式()()212log log 21f m f m f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭可化为，即2(log )(1)f m f <，0x ≥时，，，令，则，∴是上的增函数，∴当时，，∴0x ≥时，，∴()f x 在[0,)+∞上是增函数，∴由2(log )(1)f m f <得，即，．故选：A ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调(dāndiào)性，考查解对数不等式．此各种类型不等式的解法是：本题这种类型的不等式有两种，一种是奇函数，不等式为，转化(zhuǎnhuà)为，一种(yī zhǒnɡ)是偶函数，不等式为，转化(zh uǎnhuà)为，然后由单调性去函数(hánshù)符号“”．12.函数在区间上恰有一个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A.B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据函数零点存在定理可求得a 的取值范围.并根据区间10,a⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个零点,分析可知当时函数有两个零点,不符合要求,即可求得最终a 的取值范围.【详解】函数()()()221log 2a a f x ax x =--+在区间10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个零点,则,由二次函数的图像与对数函数的图像可知,函数零点至多有两个.且因为恰有一个零点,所以满足且与在10,a⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不同时成立.解不等式()()110log 2log 3a a --≤可得当3a =时,函数(hánshù),区间(qū jiān)为且满足(mǎnzú),,所以(suǒyǐ)在内有一个(yī ɡè)零点, 为一个零点.故由题意可知,不符合要求综上可知, a 的取值范围为[)2,3 故选:D【点睛】本题考查了函数零点存在定理的综合应用,根据零点个数求参数的取值范围.需要判断零点个数及检验参数是否符合题目要求,属于难题. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.直线：与直线平行，则实数a 的值是______.【答案】2. 【解析】 【分析】由两直线平行的条件判断． 【详解】由题意，解得2a =． 故答案为：2．【点睛】本题考查两直线平行的充要条件，两直线和平行，条件是必要条件，不是充分条件，还必须有或，但在时，两直线平行的充要条件是．14.法国数学家布丰提出一种计算圆周率的方法——随机投针法，受其启发，我们设计如下实验来估计π的值：先请200名同学每人随机写下一个横、纵坐标都小于1的正实数对,x y的个数m；最后再根据统计数m来估计；再统计两数的平方和小于1的数对()π的值.已知某同学一次试验统计出，则其试验估计π为______.【答案(dá àn)】3.12【解析(jiě xī)】【分析(fēnxī)】,x y构成(gòuchéng)第一象限内的一个正方形, 横、纵坐标都小于1的正实数(shìshù)对(),x y为单位圆在第一象限的部分.由几何概型概率的计算公式,两数的平方和小于1的数对()及试验所得结果,即可估计π的值.,x y构成第一象限内的一个正方形,【详解】横、纵坐标都小于1的正实数对(),x y为单位圆在第一象限的部分.其关系如下图所示:两数的平方和小于1的数对()则阴影部分与正方形面积的比值为由几何概型概率计算公式可知解得故答案为:【点睛】本题考查了几何概型概率的求法,根据题意得各部分的关系是解决问题的关键,属于基础题.f x在区间上的零15.函数的图象如图所示，则()点之和为______.【答案(dá àn)】.【解析(jiě xī)】 【分析(fēnxī)】先求出周期(zhōuqī)，确定，再由点确定(quèdìng)，得函数解析式，然后可求出上的所有零点．【详解】由题意，∴，又且，∴，∴．由得，，，在[,]-ππ内有：，它们的和为23π． 【点睛】本题考查三角函数的零点，由三角函数图象求出函数解析式，然后解方程得出零点，就可确定在已知范围内的零点．本题也可用对称性求解，由函数周期是π，区间[,]-ππ含有两个周期，而区间端点不是函数零点，因此()f x 在[,]-ππ上有4个零点，它们关于直线对称，由此可得4个零点的和．16.过点的直线l 与抛物线C ：交于A ，B 两点（A 在M ，B 之间），F 是抛物线C 的焦点，点N 满足：，则与的面积之和的最小值是______. 【答案】8 【解析】 【分析】根据直线l 过点()1,0M -,设出直线l 的方程.联立抛物线后可表示出A 、B 两点的纵坐标,利用5NA AF =可表示出点N 的纵坐标.由三角形面积公式可表示出ABF ∆与AMN ∆的面积之和.对表达式求导,根据导数即可求得面积和的最小值. 【详解】根据题意,画出抛物线及直线方程如下图所示:因为(yīn wèi)直线l 过点()1,0M - 设直线(zhíxiàn)的方程为则,化简可得因为有两个(liǎnɡ ɡè)不同交点,则,解得或不妨(bùfáng)设1t >, 则解方程可得因为(yīn wèi)5NA AF =,则所以所以则,(1t >)令则令解得当时, ,所以(suǒyǐ)在内单调(dāndiào)递减当时, ,所以(suǒyǐ)()f t在内单调(dāndiào)递增即当54t=时()f t取得(qǔdé)最小值.所以故答案为:【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系,抛物线中三角形面积的求法,利用导数求函数的最值的应用,综合性强,属于难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.每年的4月23日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查.该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生（其中男生45名），统计了每个学生一个月的阅读时间，其阅读时间（小时）的频率分布直方图如图所示：（1）求样本学生一个月阅读时间t的中位数m.（2）已知样本中阅读时间低于m的女生有30名，请根据题目信息完成下面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.列联表22男女总计总计附表：015 0.10 0.052.072 2.7063.841其中(qízhōng)：.【答案(dá àn)】（1）；（2）不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读(yuèdú)与性别有关.【解析(jiě xī)】【分析(fēnxī)】（1）频率为0.5对应的点的横坐标为中位数；（2）100名学生中男生45名，女生55名，由频率分布直方图知，阅读时长大于等于m的人数为50人，小于m的也有50人，阅读时间低于m的女生有30名，这样可得列联表中的K，对照附表可得结论．各数，得列联表，依据公式计算2【详解】（1）由题意得，直方图中第一组，第二组的频率之和为.所以阅读时间的中位数.（2）由题意得，男生人数为45人，因此女生人数为55人，由频率分布直方图知，阅读时长大于等于m的人数为人，故列联表补充如下：男女总计≥25 25 50t mt m20 30 50<总计45 55 100 2K的观测(guāncè)值，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为(rènwéi)阅读与性别有关.【点睛】本题考查频率分布直方图，考查独立性检验．正确认识频率分布直方图是解题(jiě tí)基础．18.已知等差数列(děnɡ chā shù liè)的前项和为，且满足(mǎnzú)，.各项均为正数的等比数列满足，.（1）求和；（2）求和：.【答案】(1) .. (2)【解析】【分析】（1）根据等差数列与等比数列的通项公式,可得方程组,解方程组即可求得数列{}n a与数列{}b的通项公式.n（2）根据等比数列{}n b的前n项和公式,可先求得的通项公式,进而根据分组求得即可求得.【详解】（1）设等差数列{}n a的公差为,等比数列{}n b的公比为q.由题意,得,解得,∴23n a n =-∵等比数列(děnɡ bǐ shù liè){}n b 的各项均为正数(zhèngshù)由解得或（舍）∴（2）由（1）得,.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列(děnɡ bǐ shù liè)通项公式的求法,等比数列(děnɡ bǐ shù liè)前n 项和公式的简单(jiǎndān)应用,属于基础题. 19.在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，，.已知.（1）求A ； （2）若为边上一点，且，，求.【答案】（1）；（2）12. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理把角的关系转化为边的关系，再由余弦定理可求得A ； （2）把ABC ∆的面积用两种方法表示建立与三角形各边的关系，由23BC AD =，即即代入可得，再代入余弦定理中可求得，从而可得，于是得sin B 的值．【详解】（1）在ABC ∆中，由正弦定理得，即.由余弦定理(yú xián dìnɡ lǐ)得，结合(jiéhé)，可知(kě zhī)23A π=. （2）在ABC ∆中，，即.由已知23BC AD =，可得23a AD =.在ABC ∆中，由余弦定理(yú xián dìnɡ lǐ)得，即，整理(zhěnglǐ)得，即b c =，∴.∴.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，第（2）问解题关键是把三角形面积用两种方法表示而建立等式：．20.已知椭圆C ：，直线l 交椭圆C 于A ，B 两点.（1）若点满足（O 为坐标原点），求弦的长；（2）若直线l 的斜率不为0且过点，M 为点A 关于x 轴的对称点，点满足，求n 的值.【答案】(1) (2)【解析】 【分析】（1）设出A ,B 两点的坐标,结合关系式0OA OB OP ++=,即可得线段AB 的中点坐标.利用点差法可求得直线AB 的斜率,根据点斜式求得直线AB 的方程.再结合弦长公式即可求得弦AB 的长;（2）设出直线(zhíxiàn)AB 的方程,根据(gēnjù)M 的坐标及MN NB λ=可知(kě zhī).由两点的斜率(xiélǜ)公式,可得,将A ,B 两点的坐标代入直线方程(fāngchéng)后,整理代入n 的表达式,联立圆的方程,即可得关于y 的方程.进而用韦达定理求得n 的值即可. 【详解】（1）设,由0OA OB OP ++=,且点()1,1P -,得,.①∴线段AB 的中点坐标为,其在椭圆内由两式相减得,整理得,即.将①代入,得.∴直线AB 方程为,即.联立消去x 得,由韦达定理得121y y +=-,.∴.（2）设直线AB 的方程为,由题意得,由已知MN NB λ=,可知M ,N ,B 三点共线,即MN MB k k =. ∴,即,解得()121121y x x n x y y -=++.将,,代入得.②联立消去x 得由韦达定理(dìnglǐ)得,.③将③代入②得到(dé dào)1n =【点睛】本题考查了直线与椭圆(tuǒyuán)的位置关系,点差法在求直线(zhíxiàn)方程中的应用,弦长公式(gōngshì)的用法,综合性较强,属于难题. 21.已知函数，其中.（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若，记函数()f x 的两个极值点为，（其中），当的最大值为时，求实数a 的取值范围.【答案】(1) 当时,()f x 在上单调递增；当时,()f x 在和上单调递增,在上单调递减. (2) [)3,+∞ 【解析】 【分析】（1）先求得()f x 的导函数,并令.通过对判别式及a 的讨论,即可判断单调性.（2）根据（1）可知当22a >,()f x 有两极值点1x ,2x ,且两个极值点为的两根.进而可得两个极值点间的关系.利用作差法可得()()21f x f x -的表达式,并令,及.进而通过求导得的单调性,进而根据最大值可求得t 的值.解得1x ,2x 的值.即可得a 的取值范围.【详解(xiánɡ jiě)】（1）.令()22g x x ax =-+,则.①当或,即22a ≤时,得恒成立(chénglì),∴()f x 在()0,∞+上单调(dāndiào)递增.②当,即22a >时,由,得或；由,得.∴函数(hánshù)()f x 在280,2a a ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭和28,2a a ⎛⎫+++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调(dāndiào)递增, 在2288,22a a a a ⎛⎫--+-⎪ ⎪⎝⎭上单调递减. 综上所述,当22a ≤时,()f x 在()0,∞+上单调递增；当22a >时,()f x 在280,2a a ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭和28,2a a ⎛⎫+++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增, 在2288,22a a a a ⎛⎫--+-⎪ ⎪⎝⎭上单调递减. （2）由（1）得当22a >,()f x 有两极值点1x ,2x （其中21x x >）. 由（1）得1x ,2x 为()220x a g x x =-+=的两根,于是,.∴.令()211x t t x =>,则()()()2112ln f x f x h t t t t-==-+. ∵,∴()h t 在上单调(dāndiào)递减.由已知的最大值为32ln 22-, 而.∴.设t 的取值集合(jíhé)为,则只要(zhǐyào)满足且T 中的最小元素(yuán sù)为2的T 集合(jíhé)均符合题意. 又,易知在[)2,+∞上单调递增,结合22a >,可得a 与t 是一一对应关系. 而当2t =,即时,联合122x x =, 解得,,进而可得3a =.∴实数a 的取值范围为[)3,+∞.【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性中的综合应用,分类讨论判断函数的单调区间,构造函数法判断函数的单调性及参数的取值范围,综合性强,是高考的常考点和难点,属于难题. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系中，曲线参数方程为（，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 经过点，曲线的直角坐标方程为.（1）求曲线(qūxiàn)1C 的普通(pǔtōng)方程，曲线2C 的极坐标方程(fāngchéng)；（2）若，是曲线(qūxiàn)2C 上两点，当时，求的取值范围(fànwéi).【答案】（1），；（2）.【解析】 【分析】 （1）由消元后得普通方程，由代入直角坐标方程可得极坐标方程； （2）直接把两点的极坐标代入曲线2C 的极坐标方程，得，这样2211OAOB+就可转化为三角函数式，利用三角函数知识可得取值范围． 【详解】（1）将1C 的参数方程化为普通方程为.由，，得点2,3P π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为，代入1C ，得，∴曲线1C 的普通方程为()2213x y -+=.2C 可化为，即，∴曲线2C 的极坐标方程为2cos 21ρθ=. （2）将点()1,A ρα，代入曲线2C 的极坐标方程，得，，∴.由已知0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得，于是(yúshì).所以(suǒyǐ)2211OAOB +的取值范围(fànwéi)是3,32⎛⎤⎥ ⎝⎦. 【点睛】本题考查(kǎochá)极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查参数方程与普通方程的互化．消元法和公式法是解决此类问题的常用方法． 23.已知关于(guānyú)x 的不等式，其中.（1）当时，求不等式的解集；（2）若该不等式对恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）用分类讨论的方法去绝对值符号后再解不等式，最后要合并（求并集）； （2）设，同样用分类讨论去绝对值符号化函数为分段函数，求得()f x 最大值，解相应不等式可得a 的范围．【详解】（1）由4a =时，.原不等式化为，当时，，解得，综合得4x≥；当时，，解得，综合得；当时，，解得，综合(zōnghé)得1x≤-.∴不等式的解集为2|43x x x⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或.（2）设函数(hánshù)，画图可知(kě zhī)，函数()f x的最大值为.由，解得24a<≤.【点睛】本题考查(kǎochá)解含绝对值的不等式，解题方法是根据绝对值定义去掉绝对值符号，用分类讨论的方法分段解不等式．内容总结。
2021届绵阳二诊数学理答案
n +1 n n +1 i 绵阳市高中 2021 级第二次诊断性考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．1—5 DADCB 6—10 CCCAB 11—12 DA二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13．-i 14．0.8 15．3 16．②④三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．17．解：（1）证明：∵ a 2 = a n (a n +1 + 2a n ) ，2 n +1 - a n a n +1 - 2a 2 = (a - 2a n )(a n +1 + a n ) = 0 ．又数列{a n }各项均为正数，∴ a n +1 + a n > 0 ，∴ a n +1 - 2a n = 0 ，即 a n +1 = 2 ． ………………………………………………… 4 分 a n数列{a n }是首项 a 1 =1，公比为 2 的等比数列．∴数列{a n }的通项公式为 a n = 2n -1 ． ………………………………………… 6 分 a 1 (1 - q n ) 1 - 2nn （2）∵ S n = 1 - q = = 2 1 - 2 - 1，∴S 2 n =22n -1， ………………………………………………………………… 8 分 ∵S 2 n > 160 a ， 9 n∴ 9(22n -1) > 80 ⨯ 2n ，即 (9 ⨯ 2n +1)(2n - 9) > 0 ，∴ 2n - 9 > 0 ，又 n ∈ N * ，∴正整数 n 的最小值为 4． …………………………………………………12 分18．解：（1）由题意得， x = 1 ⨯ (2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 4 ， 5y = 1 ⨯ (3 + 5 + 6.5 + 8 +10.5) = 6.6 ， … … … … … … … … 2 分 5nn ∑(xi - x )( y i i =1- y ) = 18 ， ∑(x - x )2 = 10 ， … … … … … … … … … … … … … … 4 分 i =1b = 1.8 ， a = y - bx = 6.6 -1.8⨯ 4 = -0.6 ， ……………………………………… 5 分 ∴y 关于 x 的线性回归方程 y ˆ = 1.8x - 0.6 ． …………………………………… 6 分∴ a3 7 6 （2）由（1）所得回归方程计算 2 月至 7 月份预测生产量依次为3，4.8，6.6，8.4，10.2，12．可得，其中“甲级月”有 3 个，“乙级月”有 3 个．……………………… 9 分记 6 个月中随机抽取 2 个月均为“乙级月”为事件 A ，C 2 3 1 ∴P(A )= 3 = = ．…………………………………………………… ……12 分2 15 519．解：（1）在△APC 中， ∠PAC = ， AC = ，由余弦定理得 CP 2 =AP 2 +AC 2 -2AP ×AC ×cos ∠PAC ，即 CP 2 =AP 2+3- 2 又 AP +CP =2，AP ×cos30°， …………………………………………… 2 分 联立解得 AP =1，CP =1． ……………………………………………………… 4 分 ∴∠APC =120°． ……………………………………………………………………6 分 （2）∵∠APC =120°，∴∠APB =60°．∵ cos B = 5 7 ，14 ∴ sin B = 21 ． ……………………………………………………………………8 分14 在△APB 中，由正弦定理AB sin ∠APB = AP ， sin B ∴ AB = ． …………………………………………………………………………10 分在△APB 中，由余弦定理 AB 2 = AP 2 + PB 2 - 2AP ⋅ PB ⋅ cos ∠APB ，得 7=1+PB 2 -2PBcos60°，即 PB 2 -PB -6=0，解得 BP =3．∴△APB 的面积为 1 AP ⨯ BP ⨯ sin ∠APB = 1 ⨯1⨯ 3⨯ 3 =3 3 ．………………12 分2 2 2 4 20．解：（1）由 g (x ) = f (x ) + 1 mx 2 = (2m + 2)x - 4ln x ，x >0，2得 g '(x ) = (2m + 2) - 4 = (2m + 2)x - 4 =2 ⋅ (m +1)x - 2 ． ……………………………2 分x x x①当 m ≤-1 时， g '(x )=2 ⨯ (m +1)x - 2≤0 ，x此时 g (x )在 (0，+ ∞) 上单调递减，g (x )在 (0，+ ∞) 上不可能有两个零点，故 m ≤-1 不合题意. ……………………4 分3 C②当 m >-1 时，f (x )在区间 (0， 2 ) 上单调递减，m + 1在区间 ( 2 ，+∞) 上单调递增． ……………………………5 分m +1要使得函数 g (x )在 (0，+ ∞) 上有两个零点，则 g (2 ) = 4 - 4ln 2 < 0 ，解得 -1 < m < 2 - e ． m +1 m +1 e综上，实数 m 的范围是 -1 < m < 2 - e ． ……………………………………… 6 分e（2） f '(x ) = (2m + 2) - 4 - mx = - (mx - 2)(x - 2) ，x >0．x x ①当 0<m <1 时，函数 f (x )在 (2 2 ) 上单调递增， ， m在(0，2)， ( 2 ，+∞) 上单调递减，m当 x > 4 + 4 时，函数 f (x )在 ( 2 ，+∞) 上单调递减．m m∴ f (x ) = x (2m + 2 - 1 mx ) - 4 ln x < f (4 + 4 ) < 0 ,2 m∴f (x )≥0，在 x >0 恒成立不成立，即 0<m <1 不合题意. ……………………8 分②当 m ≥1 时，函数 f (x )在 ( 2 ，2) 上单调递增，m 函数 f (x )在 (0 2 ) ， (2，+ ∞) 上单调递减， ， m当 x > 4 + 4 > 2 时，f (x )在(2，+ ∞) 上单调递减， m∴ f (x ) = x (2m + 2 - 1 mx ) - 4 ln x < f (4 + 4 ) < 0 ,2 m∴f (x )≥0 在 x >0 恒成立不成立，即 m ≥1 不合题意. ………………………………………………………………10 分 ③当 m ≤0 时，函数 f (x )在(0，2)上单调递减,在 (2，+ ∞) 上单调递增， ∴要使得 f (x )≥0 的充要条件是 f (2)≥0，解得 m ≥2ln2-2，∴2ln2-2≤m ≤0．综上所述，实数 m 的范围是[2ln2-2，0]. …………………………………… 12 分， ⎩ ⎩1 2 21．解：（1）由题意得 x = 1 (5 + p ) = 5 + p ， | DF |= 5 - p ．……………………2 分A 2 2 2 4 2由抛物线的定义可知| AF |= x A + p，2 则由 AF = DF ，解得 p = 2 ．∴抛物线 C 的方程为 y 2 = 4x ．………………………………………………… 5 分（2）设直线 l 1 的方程为 y = kx + m ，则 G (5，5k + m ) ，E (5 5k + m ) ，P (0 ，m ) ． 2∴以 DG 为直径的圆 E ： (x - 5)2 + ( y - 5k + m )2 (5k + m )2= ， 2 4 即 (x - 5)2 + y 2 - (5k + m ) y = 0 ． ………………………………………………… 7 分⎧ y 2 = 4x ， 联立 ⎨ y = kx + m消去 y 整理得 k 2 x 2 + (2km - 4)x + m 2 = 0 ． ……………8 分∵l 1 与曲线 C 相切，∴ ∆ = (2km - 4)2 - 4k 2m 2 = 0 ，化简得 km =1． ………………………………………………………………… 9 分设直线 l 2 与的方程为 y = tx + m ，H (x 1 ，y 1 )，Q(x 2 ，y 2 )．⎧ y = tx + m ， 联立 ⎨(x - 5)2 + y 2 - (5k + m ) y = 0 消去 y ，整理得 (t 2 + 1)x 2 + (tm - 5kt - 10)x + 25 - 5km = 0 ，∴ x 1 ⋅ x 2 = 25 - 5km = t 2 +1 20 t 2 +1． ………………………………………………… 11 分 ∵ PH= 1 ， PQ =2 ，∴ PH ⋅ PQ = (t 2 +1) x ⋅ x = (t 2 +1) ⋅ 20 t 2 +1= 20 ， 即|PH |• |PQ |为定值 20．……………………………………………………………12 分22．解：（1）∵曲线 C 1 的直角坐标方程为(x -2)2+y 2=6，∴曲线 C 1 的极坐标方程为 ρ 2 - 4ρ cos θ - 2 = 0 ． …………………………………4 分将曲线 C 2 的参数方程消参得 x 2-y 2=4(x ≥2)，∴曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ 2 cos 2θ = 4(ρ cos θ≥2) ． ……………………………5 分16cos 2 α + 8 4 cos 2α 5 2 （2）曲线 C 1 的极坐标方程为 ρ 2 -4ρ cos θ - 2 = 0 ，将直线 l ： θ =α (- π < α < π ) ， ρ ∈ R 代入上式，得 ρ 2 - 4 cos α - 2 = 0 ， 2 2∴ ρ1 + ρ2 = 4 c os α ， ρ1ρ2 = -2 < 0 ． ………………………………………………7 分 设 OA = ρ ， OB = ρ ．∴|AB |=| ρ - ρ |= ．1 2 1 2∵曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ 2 cos 2θ = 4(ρ cos θ≥2) ，设点 C (ρ，α ) ，∴ | OC |=．∵ | AB | = ， ……………………………………………………………………9 分 | OC | ∴ 4cos 2 2α + 8cos 2α - 5 = 0 ， 解得 cos 2α = 1 ．2∵ - π < α < π ， 2 2∴ α = π 或α = - π ． …………………………………………………………………10 分 6 623．解：（1）当 x ≥3 时，f (x )=x -3+x -2=2x -5． 由 f (x )<3，得 x <4，综合得 3≤x <4．当 2<x <3 时，f (x )=3- x +x -2=1．由 f (x )<3，得 1<3 恒成立，综合得2<x <3． 当 x ≤2 时，f (x )=3- x +2-x =5-2x ．由 f (x )<3，得 x >1，综合得 1<x ≤2．综上，不等式 f (x )<3 的解集为(1，4)． ……………………………………………5 分 （2）证明：∵ f (x )= x - 3 + x - 2 ≥ (x - 3) - (x - 2) = 1，(当且仅当 2≤x ≤3 时，取“=”)∴函数 f (x )的最小值为 1，即 m =1．∴ab +bc +ac =abc ．∴ab +bc +ac = ab + bc + ac ⨯ (a + b + c ) =（ 1 + 1 + 1 ) ⋅ (a + b + c ）abc a b c= 3 + (b + a ) + ( c + b ) + ( c + a ) ≥3+2+2+2=9． a b b c a c(当且仅当 a =b =c 时取“=”)∴ ab + bc + ca ≥9 ． ………………………………………………………………10 分。
绵阳市高三第二次诊断性考试数学(理)试题含答案
保密 ★ 启用前 【考试时间：20XX 年1月26日15:00—17:00】绵阳市高中20XX 级第二次诊断性考试数 学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷1至2页，第II 卷3至4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置。
2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1+y -1=0的倾斜角是A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．计算：1+i+i 2+i 3+…+i 100（i 为虚数单位）的结果是A ．0B ．1C ．iD ．i+1 3．已知a 、b ∈R ，那么“ab <0”是“方程ax 2+by 2=1表示双曲线”的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．为了得到函数3sin(2)5y x π=+的图象，只需把函数3sin()5y x π=+图象上所有点的A ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 B ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变 D ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 5．一个正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）的三视图如右图所示，则这个正三棱柱的体积为 AB．C．D．6．若log a (a 2+1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是A ．(0，21)B ．(21，1)正视图侧视图俯视图C ．(0，1)D ．(0，1)∪(1，+∞)7．现有1位老师、2位男学生、3位女学生共6人站成一排照相，若男学生站两端，3位女学生中有且只有两位相邻，则不同排法的种数是 A ．12种B ．24种C ．36种D ．72种8．已知椭圆22221x y a b +=(a >b >0)的半焦距为c (c >0)，左焦点为F ，右顶点为A ，抛物线215()8y a c x =+与椭圆交于B 、C 两点，若四边形ABFC 是菱形，则椭圆的离心率是 A ．815B ．415C ．23D ．129．已知关于x 的一元二次方程x 2-2x +b -a +3=0，其中a 、b 为常数，点(a ，b )是区域Ω：0404a b ≤≤⎧⎨≤≤⎩，内的随机点．设该方程的两个实数根分别为x 1、x 2，则x 1、x 2满足0≤x 1≤1≤x 2的概率是 A ．332B ．316C ．532D ．91610．一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触．若小球上一点到这三个面的距离分别为4、5、5，则这只小球的半径是 A ．3或8B ．8或11C ．5或8D ．3或11第Ⅱ卷 （非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．《人再囧途之泰囧》首映结束，为了了解观众对该片的看法，决定从500名观众中抽取10%进行问卷调查，在这500名观众中男观众占40%，若按性别用分层抽样的方法抽取采访对象，则抽取的女观众人数为 人．12．右图表示的程序所输出的结果是.13．51(21)(1)x x+-的展开式的常数项是__________.（填写具体数字） 14．我们把离心率之差的绝对值小于12的两条双曲线称为“相近双曲线”．已知双曲线221412x y -=与双曲线221x y m n-=是“相近双曲线”，则nm的取值范围是 .15．已知函数()f x ，若对给定的三角形ABC ，它的三边的长a 、b 、c 均在函数()f x 的定义域内，都有()f a 、()f b 、()f c 也为某三角形的三边的长，则称()f x 是△ABC 的“三角形函数”．下面给出四个命题：①函数1()((0))f x x =∈+∞，是任意三角形的“三角形函数”；②若定义在(0)+∞，上的周期函数2()f x 的值域也是(0)+∞，，则2()f x 是任意三角形的“三角形函数”；③若函数33()3f x x x m =-+在区间2433（，）上是某三角形的“三角形函数”，则m 的取值范围是62+27∞（，）； ④若a 、b 、c 是锐角△ABC 的三边长，且a 、b 、c ∈N +，则24()+ln (0)f x x x x =>是△ABC 的“三角形函数”．以上命题正确的有 ．（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数f (x )=(sin x +cos x )2-2sin 2x ．（Ⅰ）求f (x )的单调递减区间；（Ⅱ）A 、B 、C 是△ABC 的三内角，其对应的三边分别为a 、b 、c ．若()8A f =，AB AC ⋅=12，a =，且b <c ，求b 、c 的长．17．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD =DC ，点E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于F ． （Ⅰ）求证：P A ∥平面EDB ； （Ⅱ）求证：PB ⊥平面EFD ； （Ⅲ）求二面角C -PB -D 的大小．18．（本小题满分12分）甲、乙两位同学练习三分球定点投篮，规定投中得三分，未投中得零分，甲每次投中的概率为13，乙每次投中的概率为14． （Ⅰ）求甲投篮三次恰好得三分的概率； （Ⅱ）假设甲投了一次篮，乙投了两次篮，设X 是甲这次投篮得分减去乙这两次投篮得分总和的差，求随机变量X 的分布列．19．（本小题满分12分）已知各项均不为零的数列{a n }的首项134a =，2a n +1a n =ka n -a n +1（n ∈N +，k 是不等于1的正常数）． （Ⅰ）试问数列12{}1n a k --是否成等比数列，请说明理由； （Ⅱ）当k =3时，比较a n 与3435n n ++的大小，请写出推理过程． 20．（本小题满分13分）动点M (x ，y )与定点F (1，0)的距离和它到直线l ：x =4的距离之比是常数12，O 为坐标原点．（Ⅰ）求动点M 的轨迹E 的方程，并说明轨迹E 是什么图形？（Ⅱ）已知圆C，是否存在圆C 的切线m ，使得m 与圆C 相切于点P ，与轨迹E 交于A 、B 两点，且使等式2AP PB OP ⋅=成立？若存在，求出m 的方程；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数f (x )=x ln x (x ∈(0，+∞))．D AB CPF E（Ⅰ）求(+1)()+1f xg x x x =-(x ∈(-1，+∞))的单调区间与极大值； （Ⅱ）任取两个不等的正数x 1、x 2，且x 1<x 2，若存在x 0>0使21021()()()f x f x f x x x -'=-成立，求证：x 1<x 0<x 2；（Ⅲ）已知数列{a n }满足a 1=1，1211(1)2n n n a a n+=++(n ∈N +)，求证：114n a e <（e 为自然对数的底数）．绵阳市高中20XX 级第二次诊断性考试数学(理)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．CBCAA BBDAD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．30 12．3013．-9 14．44[]215，∪521[]44， 15．①④ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：（Ⅰ）f (x )=1+sin2x -1+cos2xsin(2x+4π)， ∴ 当22k ππ+≤2x+4π≤322k ππ+时，f (x )单调递减， 解得8k ππ+≤x ≤58k ππ+， 即f (x )的单调递减区间为[8k ππ+，58k ππ+](k ∈Z )． ……………………6分 （Ⅱ）f (8Asin(4A +4πsin(4A +4π，∴4A +4π=3π或23π，即A=3π或53π（舍）．由AB AC ⋅=c ·b ·cos A =12，cos A =12，得bc =24．① 又cos A=222122b c a a bc +-==，，得b 2+c 2=52．∵ b 2+c 2+2bc =(b+c )2 =100，b >0，c >0， ∴ b+c=10，②联立①②，且b <c ，解得b =4，c =6． ………12分17．解：如图所示建立空间直角坐标系，设DC =1．（Ⅰ）连结AC ，交BD 于G ，连结EG ．依题意得A (1，0，0)，P (0，0，1)，E (0，12，12)．∵ 底面ABCD 是正方形，所以G 是此正方形的中心， 故点G 的坐标为(12，12，0)， 且11(101)(0)22PA EG =-=-，，，，，．∴ 2=，这表明P A //EG ．而EG ⊂平面EDB 且P A ⊄平面EDB ， ∴ P A //平面EDB ． ……………………………………………………………4分 （Ⅱ）依题意得B (1，1，0)，PB =(1，1，-1)．又11(0)22DE =，，， 故110022PB DE ⋅=+-=．∴DE PB ⊥．由已知PB EF ⊥，且E DE EF = ，∴ ⊥PB 平面EFD ．…………………………………………………………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知PB EF ⊥，PB DF ⊥，故EFD ∠是所求二面角的平面角． 设点F 的坐标为(x 0，y 0，z 0)，PF k PB =，则(x 0，y 0，z 0-1)=k (1，1，-1)，从而x 0=k ，y 0=k ，z 0=1-k ， ∵ PB FD ⋅=0，所以(1，1，-1)·(k ，k ，1-k )=0，解得13k =， ∴ 点F 的坐标为112()333，，，且111()366FE =--，，，112()333FD =---，，∴ 1cos 2||||FE FD EFD FE FD ⋅∠==，得3π=∠EFD ．∴ 二面角C -PB -D 的大小为3π．…………………………………………12分 18．解：（Ⅰ）甲投篮三次恰好得三分即1次投中2次不中，∵ 甲投篮三次中的次数x ～B (3，13)， ∴ P (x =1)=123114(1)339C ⋅⋅-=， 甲投篮三次恰好得三分的概率为49．…………………………………………4分 （Ⅱ）设甲投中的次数为m ，乙投中的次数为n ， ①当m =0，n =2时，X =-6，∴ P (X =-6)=222211()3424C ⋅⋅=． ②当m =1，n =2或m =0，n =1时，X =-3， ∴ P (X =-3)=2121121313()3434448C ⋅+⋅⋅⋅=． ③当m =1，n =1或m =0，n =0时，X =0，∴ P (X =0)=10222113231()344342C C ⋅⋅⋅+⋅⋅=． ④当m =1，n =0时，X =3，∴ P (X =3)=022139()3448C ⋅⋅=． ∴X 的分布列为…………………………………12分19．解：（Ⅰ）由 2a n +1a n =ka n -a n +1，可得11n a +=12n nka a +， ∴11n a +21k --=12n nka a +21k --=112()1n k a k --，首项为11242131a k k -=---． 若42031k -=-，即k=52时，数列12{}1n a k --为零数列，不成等比数列． 若42031k -≠-，即k>0，k ≠1且k ≠52时， 数列12{}1n a k --是以4231k --为首项，1k为公比的等比数列． ∴ 综上所述，当k=52时，数列12{}1n a k --不成等比数列；当k>0，k ≠1且k ≠52时，数列12{}1n a k --是等比数列．……………………………………6分 （Ⅱ）当k =3时，数列1{1}n a -是以13为首项，13为公比的等比数列． ∴ 111()3n n a -=，即a n =331nn +=1-131n +， ∴ a n -3435n n ++=1-131n +-(1-135n +)=135n +-131n +=334(35)(31)n nn n --++， 令F (x ) =3x -3x -4(x ≥1)，则()F x '=3x ln3-3≥(1)F '>0， ∴ F (x )在[1)+∞，上是增函数． 而F (1)=-4<0，F (2)=-1<0，F (3)=14>0， ∴ ①当n =1和n =2时， a n <3435n n ++； ②当n ≥3时，3n +1>3n +5，即135n +>131n +，此时a n >3435n n ++． ∴ 综上所述，当n =1和n =2时，a n <3435n n ++；当n ≥3时，a n >3435n n ++．…12分 20．解：12=，化简得：22143x y +=，即轨迹E 为焦点在x 轴上的椭圆． ………………5分（Ⅱ）设A (x 1，x 2)，B (x 2，y 2)．∵ OA OB ⋅=(OP PA +)۰(OP PB +)=2OP +OP PB ⋅+PA OP ⋅+PA PB ⋅， 由题知OP ⊥AB ，故OP PB ⋅=0，PA OP ⋅=0． ∴ OA OB ⋅=2OP +PA PB ⋅=2OP -AP PB ⋅=0． 假设满足条件的直线m 存在，①当直线m 的斜率不存在时，则m 的方程为x=代入椭圆22143x y +=，得y=． ∴ OA OB ⋅=x 1x 2+y 1y 2=-2-64≠0，这与OA OB ⋅=0矛盾，故此时m 不存在． ②当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为y =kx +b ， ∴|OP|==b 2=2k 2+2．联立22143x y +=与y =kx+b 得，(3+4k 2)x 2+8kbx +4b 2-12=0，∴ x 1+x 2=2348kb k-+，x 1x 2=2241234k b -+， y 1y 2=(kx 1+b )(kx 2+b )=k 2x 1x 2+kb (x 1+x 2)+b 2=22231234b k k+-， ∴OA OB ⋅=x 1x 2+y 1y 2=2241234k b -++22231234b k k+-=0． ∴ 7b 2-12k 2-12=0， 又∵ b 2=2k 2+2，∴ 2k 2+2=0，该方程无解，即此时直线m 也不存在．综上所述，不存在直线m 满足条件．………………………………………13分 21．解：（Ⅰ）由已知有(+1)()+1f xg x x x =-=ln(+1)x x -， 于是1()1=+11xg x x x '=--+． 故当x ∈(-1，0)时，()g x '>0；当x ∈(0，+∞)时，()g x '<0．所以g (x )的单调递增区间是(-1，0)，单调递减区间是(0，+∞)，g (x )的极大值是g (0)=0． ……………………………………………………………………4分 （Ⅱ）因为()ln +1f x x '=，所以0ln +1x =2121()()f x f x x x --，于是02ln ln x x -=21221()()ln 1f x f x x x x ----=2211221ln ln ln 1x x x x x x x ----=121121ln ln 1x x x x x x ---=2121ln11x x x x --，令21x x =t (t >1)，ln ln 1()111t t t h t t t -+-=--=， 因为10t ->，只需证明ln +10t t -<．令ln +1t t t ϕ=-（)，则110t tϕ'=-<()，∴ t ϕ()在(1+)t ∈∞，递减，所以10t ϕϕ<()()=， 于是h (t )<0，即02ln ln x x <，故02x x <．仿此可证10x x <，故102x x x <<．……………………………………………10分 （Ⅲ）因为11a =，1211(1)2n n n n a a a n +=++>，所以{}n a 单调递增，n a ≥1． 于是1222111111(1)(1)=(1)222n n n n n n n n a a a a a n n n +=++≤++++， 所以1211ln ln ln(1)2n n n a a n +≤+++． （*） 由（Ⅰ）知当x >0时，ln 1+x ()<x ． 所以（*）式变为1211ln ln 2n n n a a n +<++． 即11211ln ln 2(1)k k k a a k ---<+-(k ∈N ，k ≥2)， 令k =2，3，…，n ，这n -1个式子相加得1121222111111ln ln +++)[]22212(1)n n a a n --<++++-（1221111111)[]2122334(2)(1)n n n -<++++++⨯⨯--(-=1111111111)[1()()()]24233421n n n -+++-+-++---(- =111111)1)2421n n -+++--(-( 1111111=4214n n --<--， 即11111ln ln 44n a a <+=，所以114n a e <．……………………………………14分。
四川省绵阳市2021届高三上学期第二次诊断性测试 文科数学答案
将直线 l： = (− ) ， R 代入上式得 2 − 4cos − 2 = 0 ，
2
2
∴ 1 + 2 = 4cos ， 12 = −2 0 ． ………………………………………………7 分
设 OA = 1 ， OB = 2 ．
∴|AB |=| 1 − 2 |= 16cos2 + 8 ． ∵曲线 C2 的极坐标方程为 2 cos 2 = 4( cos≥2) ，
15． 2 −1
16． [1，2)
17．解：（1）由已知得， x= 1 (2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 4 ， 5
y= 1 (3 + 5 + 6.5 + 8 +10.5) = 6.6 ， ………………………2 分 5
n
n
(xi − x)( yi − y) = 18 ， (xi − x)2 = 10 ， ………………………………………6 分
∴该年 7 月份所得回归方程预测的生产量与实际市场需求量的误差为 1.5 万 件． …………………………………………………………………………………12 分
18．解：（1）∵数列{an}是单调递增的等比数列，且 a1 + a5 = 17 ，a2a4=16，
∴a1a5=a2a4=16，
设{an}的公比为 q(q>1)． ………………………………………………………2 分
文科数学答案 第5页（共 5 页）
函数 f(x)在 (0，2 ) ， (2，+ ) 上单调递减， m
当 x 4 + 4 2 时，f(x)在 (2，+ ) 上单调递减， m
∴ f (x) = x(2m + 2 − 1 mx) − 4 ln x f (4 + 4 ) 0 ,