陕西高考理科数学试题及答案

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2018年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．

12i 12i +=- A ．43i 55-- B ．43i 55

-+ C ．34i 55-- D ．34i 55-+ 2．已知集合(){}

223A x y x y x y =

+∈∈Z Z ，≤，，，则A 中元素的个数为 A ．9 B ．8 C ．5 D ．4 3．函数()2

e e x x

f x x --=的图像大致为 4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1?=-a b ，则(2)?-=a a b

A ．4

B ．3

C ．2

D ．0

5．双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>

A ．y =

B ．y =

C ．y x =

D ．y x =

6．在ABC △中，cos 2C =1BC =，5AC =，则AB =

A ．

B

C

D ．7．为计算11111123499100

S =-

+-++-…，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入 A ．1i i =+

B ．2i i =+

C ．3i i =+

D ．4i i =+ 8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是

A ．112

B ．114

C ．115

D ．

118

9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA 1AD 与1DB 所成角的余弦值为

A ．15

B

C

D 10．若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是

A ．π4

B ．π2

C ．3π4

D ．π

11．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则

A ．50-

B ．0

C ．2

D ．50

12．已知1F ，2F 是椭圆22

221(0)x y C a b a b

+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率

的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=?，则C 的离心率为 A ． 23 B ．12 C ．13 D ．14

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为__________．

14．若,x y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥??-+≥??-≤?

，，， 则z x y =+的最大值为__________．

15．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________．

16．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为

78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB △的

面积为，则该圆锥的侧面积为__________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考

生都必须作答。第22、23为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）

记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．

（1）求{}n a 的通项公式；

（2）求n S ，并求n S 的最小值．

18．（12分）

下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000

年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1217，

，…，）建立模型①：?30.413.5y t =-+；根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为127，，

…，）建立模型②：?9917.5y t =+． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠并说明理由．学科*网

19．（12分）

设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．

（1）求l 的方程；

（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．

20．（12分）

如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．

（1）证明：PO ⊥平面ABC ；

（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30?，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．

21．（12分）

已知函数2()e x f x ax =-．

（1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥；

（2）若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a ．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x θy θ=??=?

，（θ为参数），直线l 的参数方程为 1cos 2sin x t αy t α

=+??=+?，（t 为参数）． （1）求C 和l 的直角坐标方程；

（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．

23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）

设函数()5|||2|f x x a x =-+--．

（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；

（2）若()1f x ≤，求a 的取值范围．

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参考答案:

一、选择题

二、填空题

13.2y x = 15.12- 16.

三、解答题

17. (12分)

解：（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-.

由17a =-得d =2.

所以{}n a 的通项公式为29n a n =-.

（2）由（1）得228(4)16n S n n n =-=--.

所以当n =4时,n S 取得最小值,最小值为16.

18.(12分)

解：（1）利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

?30.413.519226.1y

=-+?=(亿元). 利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

?9917.59256.5y

=+?=(亿元).

（2）利用模型②得到的预测值更可靠.

理由如下：

（ⅰ）从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线30.413.5y t =-+上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年

至2016年的数据建立的线性模型?9917.5y

t =+可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.学.科网

（ⅱ）从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠. 以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.

19.(12分)

解：（1）由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->.

设1221(,),(,)A y x y x B ，

由2(1),4y k x y x

=-??=?得2222(24)0k x k x k -++=. 2

16160k ?=+>，故122224k x k x ++=. 所以1222

44||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=. 由题设知22

448k k +=，解得1k =-（舍去），1k =. 因此l 的方程为1y x =-.

（2）由（1）得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+. 设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则

00220005,(1)(1)16.2

y x y x x =-+???-++=+??解得003,2x y =??=?或0011,6.x y =??=-? 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22

(11)(6)144x y -++=.

20.(12分)

解：（1）因为4AP CP AC ===，O 为AC 的中点，所以OP AC ⊥

，且OP = 连结OB .

因为AB BC AC ==，所以ABC △为等腰直角三角形， 且OB AC ⊥，122

OB AC ==. 由222OP OB PB +=知PO OB ⊥.

由,OP OB OP AC ⊥⊥知PO ⊥平面ABC .

（2）如图，以O 为坐标原点，OB uu u r 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -.

由已知得(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),O B A C P AP -=u u u r 取平面PAC 的法

向量(2,0,0)OB =u u u r .

设(,2,0)(02)M a a a -<≤，则(,4,0)AM a a =-u u u r .

设平面PAM 的法向量为(,,)x y z =n .

由0,0AP AM ?=?=uu u r uuu r n n

得20(4)0

y ax a y ?+=??+-=??

，可取,)a a =--n ，

所以cos ,OB =uu u r n .

由已知得|cos ,|OB =uu u r n .

2.解得4a =-（舍去），43

a =.

所以4()3=-n .

又(0,2,PC =-u u u r

，所以cos ,PC =uu u r n . 所以PC 与平面PAM

21．（12分）

【解析】（1）当1a =时，()1f x ≥等价于2(1)e 10x x -+-≤．

设函数2()(1)e 1x g x x -=+-，则22()(21)e (1)e x x g'x x x x --=--+=--． 当1x ≠时，()0g'x <，所以()g x 在(0,)+∞单调递减．

而(0)0g =，故当0x ≥时，()0g x ≤，即()1f x ≥．

（2）设函数2()1e x

h x ax -=-． ()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点．

（i ）当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点；

（ii ）当0a >时，()(2)e x h'x ax x -=-．

当(0,2)x ∈时，()0h'x <；当(2,)x ∈+∞时，()0h'x >．

所以()h x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增．

故24(2)1e

a h =-是()h x 在[0,)+∞的最小值．学&科网 ①若(2)0h >，即2

e 4

a <，()h x 在(0,)+∞没有零点； ②若(2)0h =，即2

e 4

a =，()h x 在(0,)+∞只有一个零点； ③若(2)0h <，即2

e 4

a >，由于(0)1h =，所以()h x 在(0,2)有一个零点， 由（1）知，当0x >时，2

e x x >，所以33342241616161(4)11110e (e )(2)a a a a a h a a a =-=->-=->． 故()h x 在(2,4)a 有一个零点，因此()h x 在(0,)+∞有两个零点．

综上，()f x 在(0,)+∞只有一个零点时，2

e 4

a =． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

【解析】（1）曲线C 的直角坐标方程为22

1416

x y +=． 当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=?+-，

当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．

（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程

22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=．①

因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120t t +=． 又由①得1224(2cos sin )13cos t t ααα

++=-+，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2k α==-．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

【解析】（1）当1a =时，24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-??=-<≤??-+>?

可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤．

（2）()1f x ≤等价于|||2|4x a x ++-≥．

而|||2||2|x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于|2|4a +≥． 由|2|4a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞U ．