2006年陕西高考理科数学卷及解答

2005年普通高等学校招生全国统一考试（贵州）

理科数学（必修+选修II ）

本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.

第I 卷

参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么

P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么

P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）

如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率

P n (k)=C k n P k (1－P)

n －k

一、选择题：

（1）已知α为第三象限角，则

2

α

所在的象限是 （A ）第一或第二象限 （B ）第二或第三象限

（C ）第一或第三象限 （D ）第二或第四象限

（2）已知过点A(-2，m)和B(m ，4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m 的值为

（A ）0 （B ）-8 （C ）2 （D ）10 （3）在8

(1)

(1)

x x -+的展开式中

5

x

的系数是

（A ）-14 （B ）14 （C ）-28 （D ）28

(4)设三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA 1、CC 1上的点，且PA=QC 1，则四棱锥B-APQC 的体积为

（A ）16V （B ）14V （C ）13

V （D ）12

V

（5）___________)3

41

2331(22

1=+--+-→x x x x im l x (A) 21- (B) 21 (C) 6

1- (D) 61

(6)若ln 2ln 3ln 5

,,235

a b c ===,则 (A)a

(7)设02x π≤≤,且1sin 2sin cos x x x -=-,则

(A) 0x π≤≤ (B)

74

4x π

π≤≤

(C) 544x ππ≤≤ (D) 322

x ππ

≤≤

球的表面积公式

S=42

R π

其中R 表示球的半径， 球的体积公式

V=3

3

4R π， 其中R 表示球的半径

(8)

2

2sin 21cos 2cos 2cos α

ααα

?=+

(A) tan α (B) tan 2α (C) 1 (D)

12

（9）已知双曲线2

2

12

y x

-

=的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ?=

则点M

到x 轴的距离为

（A ）

43 （B ）53 （C ）233

（D ）3 （10）设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2

为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 （A ）

2

2

（B ）212- （C ）22- （D ）21-

（11）不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有

（A ）3个 （B ）4个 （C ）6个 （D ）7个

（12）计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表： 16进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10进制 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

例如，用十六进制表示：E+D=1B ，则A ×B=

（A ）6E （B ）72 （C ）5F （D ）B0

第Ⅱ卷

二．填空题（16分）

（13）已知复数i Z 230+=,复数Z 满足Z=3Z+0Z ,则复数Z=_________________

（14）已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-

，且A 、B 、C 三点共线，则k=

（15）高l 为平面上过(0,1)的直线, l 的斜率等可能地取22,3,2

5,0,25,3,22-

--,用ξ表示坐标原点到l 的距离,由随机变量ξ的数学期望E ξ=___________

（16）已知在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P 是AB 上的点，则点P 到AC 、

BC 的距离乘积的最大值是 三.解答题：

(17) (本小题满分12分)

设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125， （Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；

（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率.

（18）(本小题满分12分)

在四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD ． （Ⅰ）证明AB ⊥平面VAD ．

（Ⅱ）求面VAD 与面VDB 所成的二面角的大小．

(19)在ABC ?,内角A 、B 、C 的对边分别为a,b,c.已知a,b,c 成等比数列，且cosB=4

3. ①求cotA+cotB 的值。 ②设2

3

=

?→

→

BC BA ，求a + c 的值。

（20）(本小题满分12分) 在等差数列2

4

1

{},0,n

d a a a a ≠在等差数列中公差与的等差中项,是

已知数列

1

2

1

3

,,,,n k k k a a a a

a 成等比数列,求数列{}n k 的通项n k

(21) (本小题满分14分) 设1212

(

,),(,)A B y y x x 两点在抛物线2

2y x =上，l 是AB 的垂直平分线，

（Ⅰ）当且仅当12

x x

+取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论；

（Ⅱ）当1

2

1,3x x

==-时，求直线l 的方程.

（22）已知函数]1,0[,27

4)(2∈--=

x x

x x f ①求)(x f 的单调区间和值域。

②设1≥a ,函数]1,0[,23)(3

∈--=x a ax x x g ,若对于任意]1,0[1∈x ，总存在]1,0[0∈x ，

使得)()(10x f x g =成立，求a 的取值范围。

2005年高考理科数学（贵州）参考答案

一.DBBCA ，CCBCD ，BA

D C

B

A

V

二.13、i 231-

，14、23

-，15、74

，16、3

三.解答题：

（17）解：（Ⅰ）记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件A 、B 、C ，……1分 则A 、B 、C 相互独立， 由题意得：

P （AB ）=P （A ）P （B ）=0.05 P （AC ）=P （A ）P （C ）=0.1

P （BC ）=P （B ）P （C ）=0.125…………………………………………………………4分 解得：P （A ）=0.2；P （B ）=0.25；P （C ）=0.5

所以, 甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是0.2、0.25、0.5……6分 （Ⅱ）∵A 、B 、C 相互独立，∴A B C 、、相互独立，……………………………………7分 ∴甲、乙、丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾的概率为

()()()()0.80.750.50.3P A B C P A P B P C ??==??=……………………………10分

∴这个小时内至少有一台需要照顾的概率为1()10.30.7p P A B C =-??=-=……12分

（18）证明：（Ⅰ）作AD 的中点O ，则VO ⊥底面ABCD ．…………………………1分

建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为1，…………………………2分

则A （12，0，0），B （12，1，0），C （-12

，1，0），

D （-

12，0，0），V （0，0，32

）， ∴13(0,1,0),(1,0,0),(,0,)22

AB AD AV ===- ………………………………3分

由(0,1,0)(1,0,0)0AB AD AB AD ?=?=?⊥

……………………………………4分

13

(0,1,0)(,0,)022

AB AV AB AV ?=?-=?⊥ ……………………………………5分

又AB ∩AV=A

∴AB ⊥平面VAD …………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得(0,1,0)AB =

是面VAD 的法向量………………………………7分

Z Y

X

O

D

C B

A V

设(1,,)n y z =

是面VDB 的法向量，则

11303(1,,)(,1,)0(1,1,)223

30(1,,)(1,1,0)03x n VB y z n z n BD y z =-????=?--=???

???=-???=-?=?????--=??

……9分 ∴3(0,1,0)(1,1,

)

213cos ,721

13

AB n ?-<>=

=-?

，……………………………………11分

又由题意知，面VAD 与面VDB 所成的二面角，所以其大小为21

arccos

7

…………12分 （19）（I ）由cosB=

43得4

7

)43(1sin 2=-=B ， 于是

B A B A tan 1

tan 1cot cot +

=

+

C A A

C A C C C A A sin sin sin cos cos sin sin cos sin cos +=+=

=77

4

sin 1sin sin sin )sin(2

2===+B B B B C A (II)由23=?→→BC BA 得2,2,4

3cos ,23cos 2

====?b ca B B ca 即可得由

由余弦定理 B ac c a b cos 2222?-+=得5cos 22

22=?-=+B ac b c a ∴a+c=3 （20）解：由题意得：2

2

1

4

a a a

=……………………………………………………1分

即

2

1

1

(3)1()d d a a a =++……………………………………………………………3分

又0,d ≠∴1

d a

=…………………………………………………………………………4分

又

1

2

1

3,,,,n k k k a a a a

a 成等比数列,

∴该数列的公比为3

1

33d

q d

a a

=

=

=，……………………………………………………6分 所以1

13

n n k a a +=?…………………………………………………………………………8分

又

1

1(1)n

k n

n d a a k

k a =+-=…………………………………………………………10分

∴

1

3

n n k +=

所以数列{

}n k 的通项为1

3

n n k +=…………………………………………………………12分

（21）解：（Ⅰ）∵抛物线2

2

y x

=，即

2

2y x

=

，∴1

4

p =， ∴焦点为1(0,)8

F ………………………………………………………………1分 （1）直线l 的斜率不存在时，显然有

1

2

x x

+=0………………………………3分

（2）直线l 的斜率存在时，设为k ， 截距为b

即直线l ：y=kx+b 由已知得：

1212

12122

21k b k y y x x y y x x ?++?=?+??

-?=-?

-?

……………………………………………………5分 22121

222

12122212222k b k x x x x x x x x ?++=?+?

?

??-?=-?-?

221

21212212k b k x x x x x x +?+=?+????

?+=-??

………………………………………………7分 22

12104

b x x ?+=-+≥

14

b ?≥

即l 的斜率存在时，不可能经过焦点1(0,)8

F ……………………………………8分 所以当且仅当1

2

x x

+=0时，直线l 经过抛物线的焦点F …………………………9分

（Ⅱ）当

1

2

1,3x x

==-时，

直线l 的斜率显然存在，设为l ：y=kx+b ………………………………10分 则由（Ⅰ）得：

221

21212212k b k x x x x x x +?+=?+???

?+=-??

12

10212

2k b k x x +??+=????

?-=-??………………………………………………11分 14414

k b ?=?????=??………………………………………………………………13分

所以直线l 的方程为141

44

y x =+，即4410x y -+=………………14分

(22)解：(I)对函数)(x f 求导，得

2

22)

2()

72)(12()2(7164)`(x x x x x x x f ----=--+-= 令0)`(=x f 解得 21=

x 或2

7=x 当x 变化时。)`(x f ，)(x f 的变化情况如下表：

x

0 (0,

21

) 2

1 ()

1,2

1 1 )`(x f

_ 0 + )(x f

2

7-

-4

-3

所以，当)2

1,0(∈x 时， )(x f 是减函数；当)1,2

1(∈x 时，)(x f 是增函数。 当)1,0(∈x 时，)(x f 的值域为[-4，-3]。

（II ）对函数)(x g 求导，得图表 1

)(3)`(22a x x g -=

当,1≥a )1,0(∈x 时，0)1(3)`(2≤-

因此当)1,0(∈x 时。)(x g 为减函数，从而当]1,0[∈x 时有 )]0(),1([)(g g x g ∈

又a g a a a g 2)0(,2,321[)1(2-=---=,即当]1,0[∈x 时有 ]2,321[)(2a a a x g ---∈

任给]1,0[1∈x ，]3,4[)(1--∈x f ，存在]1,0[0∈x ，使得)()(10x f x g =，则

]3,4[]2,321[2--?---a a a

即???-≥--≤--3

243212a a a 解得23≤a

又1≥a ，所以a 的取值范围为2

31≤

≤a