《诱导公式(二)》教案
三角函数的诱导公式2公开课教案
四、布置作业
tan(nπ+ )=tan
过程精简 自带符号 2.思考 2: 利用角 的三角函数值，你还能得到哪些角的三角的函数值？
公式五：
sin( ) cos 2 cos( ) sin 2 sin( ) cos 2 cos( ) sin 2
教 学 过 程
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
公式四：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
它们的记忆口诀是：把 看成锐角，函数名不变，符号看象限。 作业讲评
公开课教案
授课教师： 授课课题 授课时间：2015 年月日 1.3 三角函数的诱导公式（2） 1、 通过对诱导公式一、二的统一，培养学生的观察力、分析归纳能力； 2、 经历诱导公式五、六的推导过程，体会数学知识的“发现”过程。能初 步应用公式解决一些简单的问题； 3、领会数学中转化思想的广泛性，了解诱导公式就是具有一定关系的几何 特征关系的代数表示，从而对诱导公式能够达到属性结合的认识高度。 诱导公式五、六的推导探究，诱导公式的应用 发现终边与角 的终边关于直线 y x 对称的角与 之间的数量关系 一、 回顾旧知 复习：我们已经学习了哪些诱导公式？ 师引导学生一起回顾三角函数的诱导公式一到公式四，这几个公式分 别体现了角 与角 、 、 之间的关系： 公式一： 公式二： 公式三：
sin(2 k ) sin cos(2 k ) cos tan(2 k ) tan
授课班级：班
《诱导公式(二)》教案
1.2.4诱导公式（二）一、学习目标1．通过本节内容的教学，使学生掌握α+π1)k +2(，α2π+角的正弦、余弦和正切的诱导公式及其探求思路，并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦和正切值的求解、简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明；2．通过公式的应用，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力；二、教学重点、难点重点：四组诱导公式及这四组诱导公式的综合运用.难点：公式(四)的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透. 三、教学方法先由学生自己看书，在此基础上，可以通过讲授再现概念，通过练习理解概念，完成教学.+-=-=x x9017)cos(9017)sin17 480︒)+cos(-330︒)5.3.2同角三角比的关系（2）诱导公式【教学目标】1．通过本节课的教学，使学生掌握五组诱导公式的推导方法和记忆方法．2．在理解、记忆五组诱导公式的基础上，会运用这些公式求解任意角的三角函数的值，并会进行一般的三角关系式的化简和证明．3．加深理解化归思想，培养学生观察问题、解决问题、抽象概括问题的能力，并注意完善学生的基本数学思想和数学意识．【教学重点】五组诱导公式的记忆、理解、运用。
【教学难点】五组诱导公式的推导教学过程：【情景引入】与6π终边相同角α的集合如何表示？αsin 与6sin π具有怎样的数量关系？与β终边相同角α的集合如何表示？αsin 与βsin 具有怎样的数量关系？βα,其它的五个三角比数量关系又如何呢？【问题探究】诱导公式一：文字叙述：终边相同的角的同一个三角函数的值相等．sin(k·360°＋α)=sinα，cos(k·360°＋α)=cosα， tan(k·360°＋α)=tanα，cot(k·360°＋α)=cotα．(k ∈Z )试求出sin 2016°的值．由公式一：sin 2016°=sin(5×360°×216°)＝sin 216° 问题二：如何求出进一步sin 216°的值诱导公式二：①同名函数关系；②符号规律：右边符号与180°＋α角所在象限(第三象限)角的原三角函数值的符号相同． sin(180°＋α)=－sinα， cos(180°＋α)=－cosα，tan(180°＋α)=tanα， cot(180°＋α)=cot α．诱导公式三：①同名函数关系；②符号规律是：右边符号与－α所在的第四象限角的原三角函数值的符号相同．sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα， tan(－α)＝tanα， cot(－α)＝－cotα．诱导公式四：sin(180)sin αα-=；cos(180)cos αα-=-． t sin(180)sin αα-=；cos(180)cos αα-=-（1）请学生自行仿上节课的推导方法得出它们的关系。
1.3 三角函数的诱导公式(二) 教案+习题
§1.3 三角函数的诱导公式(二)学习目标 1.掌握诱导公式五、六的推导(难点).2.能够应用三角函数的诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题(重点)．预习教材P26完成下面问题： 知识点 诱导公式五、六 1．诱导公式五、六2．公式五和公式六的语言概括(1)函数名称：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值．(2)符号：函数值前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．(3)作用：利用诱导公式五或六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化． 【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)诱导公式五、六中的角α只能是锐角．( )(2)诱导公式五、六与诱导公式一～四的区别在于函数名称要改变．( ) (3)sin(k π2－α)＝±cos α.( )提示 (1)×，诱导公式五、六中的角α是任意角． (2)√，由诱导公式一～六可知其正确．(3)×，当k ＝2时，sin(k π2－α)＝sin(π－α)＝sin α．题型一 利用诱导公式化简、求值【例1】 (1)已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，π2≤α≤3π2，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋2π3的值； 解 ∵α＋2π3＝⎝⎛⎭⎫α＋π6＋π2，∴sin(α＋2π3)＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6＋π2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35． (2)化简：sin (2π＋α)cos (π－α)cos (π2－α)cos (7π2－α)cos (π－α)sin (3π－α)sin (－π＋α)sin (5π2＋α)．解 原式＝sin α·(－cos α)·sin α·(－sin α)(－cos α)·sin α·(－sin α)·cos α＝tan α．规律方法 求值问题中角的转化方法 任意负角的三角函数――→用公式一或三任意正角的三角函数――→用公式一0～2π的角的三角函数――→用公式二或四、或五或六锐角三角函数【训练1】 已知cos(π6－α)＝23，求下列各式的值：(1)sin(π3＋α)；(2)sin(α－2π3)．解 (1)sin(π3＋α)＝sin[π2－(π6－α)]＝cos(π6－α)＝23．(2)sin(α－2π3)＝sin[－π2－(π6－α)]＝－sin[π2＋(π6－α)] ＝－cos(π6－α)＝－23．题型二 利用诱导公式证明恒等式【例2】 求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝－tan α．证明 左边＝tan (－α)·sin (－α)·cos (－α)sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α＝(－tan α)·(－sin α)·cos αsin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边．∴原等式成立．规律方法 证明等式的常用方法利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有： (1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简． (2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．(3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异． 【训练2】 求证：2sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2－11－2sin 2(π＋θ)＝tan (9π＋θ)＋1tan (π＋θ)－1． 证明 左边＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ·(－sin θ)－11－2sin 2θ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2θ ＝(sin θ＋cos θ)2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ． 右边＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ．∴左边＝右边，故原等式成立.【例3】 已知cos α＝－45，且α为第三象限角．(1)求sin α的值；(2)求f (α)＝tan (π－α)·sin (π－α)·sin (π2－α)cos (π＋α)的值．解 (1)因为α为第三象限角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－35．(2)f (α)＝(－tan α)·sin α·cos α－cos α＝tan α·sin α＝sin αcos α·sin α ＝sin 2αcos α＝(－35)2×(－54)＝－920． 【迁移1】 本例条件不变，求f (α) ＝sin (5π－α)cos (7π2－α)tan (－π＋α)－tan (－19π－α)sin (－α)的值．解 f (α)＝sin α·(－sin α)·tan αtan α·(－sin α)＝sin α＝－35．【迁移2】 本例条件中“cos α＝－45”改为“α的终边与单位圆交于点P (m ，154)”，“第三象限”改为“第二象限”，试求sin (α－π2)sin (π＋α)－sin (3π2－α)＋1的值．解 由题意知m 2＋(154)2＝1， 解得m 2＝116，因为α为第二象限角，故m <0， 所以m ＝－14，所以sin α＝154，cos α＝－14． 原式＝－cos α(－sin α)－(－cos α)＋1＝14－154－14＋1＝－3＋156．规律方法 用诱导公式化简求值的方法(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．(2)对于π±α和π2±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名．课堂达标1．sin 165°等于( ) A ．－sin 15° B ．cos 15° C ．sin 75°D ．cos 75°解析 sin 165°＝sin(90°＋75°)＝cos 75°． 答案 D2．已知sin(α＋π4)＝13，则cos(π4－α)的值为( )A ．223B ．－223C ．13D ．－13解析 cos(π4－α)＝cos[π2－(α＋π4)]＝sin(α＋π4)＝13．答案 C3．代数式sin 2(A ＋45°)＋sin 2(A －45°)的化简结果是________． 解析 原式＝sin 2(A ＋45°)＋sin 2(45°－A ) ＝sin 2(A ＋45°)＋cos 2(A ＋45°)＝1． 答案 14．若cos α＝15，且α是第四象限角，则cos(α＋5π2)＝________．解析 由题意得sin α＝－1－cos 2α＝－265，所以cos(α＋5π2)＝－sin α＝265．答案2655．已知sin(5π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫52π－θ＝72，求sin 4⎝⎛⎭⎫π2－θ＋cos 4⎝⎛⎭⎫32π＋θ的值． 解 ∵sin(5π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫52π－θ ＝sin(π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ ＝sin θ＋cos θ＝72，∴sin θcos θ＝12[(sin θ＋cos θ)2－1]＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫722－1＝38， ∴sin 4⎝⎛⎭⎫π2－θ＋cos 4⎝⎛⎭⎫32π＋θ＝cos 4θ＋sin 4θ ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ ＝1－2×⎝⎛⎭⎫382＝2332．课堂小结1．学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式．当k 为偶数时，得α的同名函数值；当k 为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号．2．诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系，并具有一定的规律性，“奇变偶不变，符号看象限”，是记住这些公式的有效方法．3．诱导公式是三角变换的基本公式，其中角α可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通．基础过关1．已知sin α＝14，则cos(α＋π2)＝( )A ．14B ．－14C ．154D ．－154解析 cos(α＋π2)＝－sin α＝－14．答案 B2．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是( ) A ．－23aB ．－32aC ．23aD ．32a解析 由条件得－sin α－sin α＝－a ，故sin α＝a2，原式＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32a ．答案 B3．已知cos(π2＋φ)＝32，且|φ|<π2，则tan φ等于( )A ．－33B ．33C ．－ 3D ． 3解析 由cos(π2＋φ)＝－sin φ＝32，得sin φ＝－32，又∵|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴tan φ＝－3．答案 C4．若sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋7π12)＝________．解析 cos(α＋7π12)＝cos[π2＋(α＋π12)]＝－sin(α＋π12)＝－13．答案 －135．化简sin ⎝⎛⎭⎫15π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫α－π2sin ⎝⎛⎭⎫9π2－αcos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝________．解析 原式＝sin (32π＋α)·cos (π2－α)sin (π2－α)sin α＝(－cos α)·sin αcos α·sin α＝－1．答案 －16．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，且α为第三象限角，求 sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2·sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α·tan 2(2π－α)·tan (π－α)cos ⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α的值．解 因为5x 2－7x －6＝0的两根为x ＝2或x ＝－35，所以sin α＝－35，又因为α为第三象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45.所以tan α＝34．故原式＝(－cos α)·(－cos α)·tan 2α·(－tan α)sin α·(－sin α)＝tan α＝34．7．设tan ⎝⎛⎭⎫α＋8π7＝m ． 求证：sin ⎝⎛⎭⎫α＋15π7＋3cos ⎝⎛⎭⎫α－13π7sin ⎝⎛⎭⎫－α＋20π7－cos ⎝⎛⎭⎫α＋22π7＝m ＋3m ＋1．证明 左边＝sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫α＋8π7＋3cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋8π7－3πsin ⎣⎡⎦⎤4π－⎝⎛⎭⎫α＋8π7－cos ⎣⎡⎦⎤2π＋⎝⎛⎭⎫α＋8π7＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋8π7－3cos ⎝⎛⎭⎫α＋8π7－sin ⎝⎛⎭⎫α＋8π7－cos ⎝⎛⎭⎫α＋8π7＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋8π7＋3tan ⎝⎛⎭⎫α＋8π7＋1＝m ＋3m ＋1＝右边． ∴原等式成立．能力提升8．若f (sin x )＝3－cos 2x ，则f (cos x )等于( ) A ．3－cos 2x B ．3－sin 2x C ．3＋cos 2xD ．3＋sin 2x解析 f (cos x )＝f (sin(π2－x ))＝3－cos 2(π2－x )＝3－cos(π－2x )＝3＋cos 2x ．答案 C9．α为锐角，2tan(π－α)－3cos ⎝⎛⎭⎫π2＋β＝－5，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α＝( ) A ．355B ．377C ．31010D ．13解析 由条件可知－2tan α＋3sin β＝－5①，tan α－6sin β＝1②， ①式×2＋②式可得tan α＝3， 即sin α＝3cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，α为锐角， 故可解得sin α＝31010．答案 C10．已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin (π2－α)－2cos (π2＋α)－sin (－α)＋cos (π＋α)＝________．解析 ∵tan(3π＋α)＝2，∴tan α＝2， ∴原式＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝22－1＝2． 答案 211．定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝90°，则称θ与φ“广义互余”．已知sin(π＋α)＝－14，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是________(填上所有符合的序号)．①sin β＝154；②cos(π＋β)＝14；③tan β＝15； ④tan β＝155． 解析 ∵sin(π＋α)＝－sin α， ∴sin α＝14，若α＋β＝90°，则β＝90°－α，故sin β＝sin(90°－α)＝cos α＝±154，故①满足； ③中tan β＝15，即sin β＝15cos β，又sin 2β＋cos 2β＝1，故sin β＝±154，即③满足，而②④不满足． 答案 ①③12．是否存在角α，β，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式 ⎩⎪⎨⎪⎧sin (3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－β，3cos (－α)＝－2cos (π＋β)同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．解 由条件，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2， ③ 又因为sin 2α＋cos 2α＝1，④由③④得sin 2α＝12，即sin α＝±22，因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4． 当α＝π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知符合．当α＝－π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知不符合．综上所述，存在α＝π4，β＝π6满足条件．13．(选做题)已知sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝60169，且π4<α<π2，求sin α与cos α的值． 解 sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α＝－cos α， cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π2＋α＝－sin α． ∴sin α·cos α＝60169，即2sin α·cos α＝120169.① 又∵sin 2α＋cos 2α＝1，②①＋②得(sin α＋cos α)2＝289169，②－①得(sin α－cos α)2＝49169．又∵α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴sin α>cos α>0， 即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0， ∴sin α＋cos α＝1713，③ sin α－cos α＝713，④③＋④得sin α＝1213，③－④得cos α＝513．。
《诱导公式(第二课时)》示范公开课教学设计【高中数学人教版】
《诱导公式（第二课时）》教学设计1．借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（2π±α的正弦、余弦、正切）；通过经历诱导公式的探究过程，积累应用类比、转化、数形结合等方法研究三角函数性质的经验，发展直观想象素养．2．初步应用诱导公式解决问题，积累解题经验，发展数学运算素养．教学重点：利用圆的对称性探究诱导公式，运用诱导公式进行简单三角函数式的求值、化简与恒等式的证明．教学难点：诱导公式的有效识记和应用．PPT 课件．资源引用：【知识点解析】诱导公式五和六的认识 【知识点解析】5.3 诱导公式知识导图（一）新知探究引导语：通过上一节课的研究，我们知道了将圆的对称性代数化就得到了诱导公式，这些都是三角函数的对称性．本节课沿着上一节课的思路继续进行．问题1：通过圆关于原点、x 轴、y 轴对称，我们得到了诱导公式二、三、四，你还能找到一些特殊的直线对称，或者两次对称，类比前面的方法，写出相应的问题，并解决吗？试一试．预设的师生活动：教师根据学生完成情况，挑选如下内容进行展示．其他拓展内容视情况而定，可以展示，也可以由学生课下交流．预设答案：（1）提出问题：如图1，点P 1关于直线y ＝x 的对称点◆ 教学过程◆ 课前准备◆ 教学重难点 ◆◆ 教学目标图2P 5，以OP 5为终边的角β与角α有什么关系？角β与角α的三角函数值之间有什么关系？解：如图1，以OP 5为终边的角β都是与角2π－α终边相同的角，即β=2k π＋(2π－α)（k ∈Z ）．因此，只要探求角2π－α与α的三角函数值之间的关系即可． 设P 5（x 5，y 5），由于P 5是点P 1关于直线y ＝x 的对称点，可以证明：x 5＝y 1，y 5＝x 1． 根据三角函数的定义，得sin （2π－α）＝y 5，cos （2π－α）＝x 5． 从而得 公式五 （2）提出问题：如图2，点P 1关于直线y ＝x 的对称点P 5，再作P 5关于y 轴的对称点P 6，又能得到什么结论？以OP 6为终边的角β与角α有什么关系？角β与角α的三角函数值之间有什么关系？解：接上一题．如图2，以OP 6为终边的角β都是与角2π＋α终边相同的角，即β=2k π＋(2π＋α)（k ∈Z ）．因此，只要探求角2π＋α与α的三角函数值之间的关系即可． 设P 6（x 6，y 6），由于P 6是点P 5关于y 轴的对称点，因此有：x 6＝－x 5，y 6＝y 5． 根据三角函数的定义，得sin （2π＋α）＝y 6，cos （2π＋α）＝x 6． 从而得 公式六 （3）提出问题：如图3，点P 1关于x 轴的对称点是P 7，再作P 7关于直线y ＝x 的对称点P 6，又能得到什么结论？以OP 6为终边的角β与角α有什么关系？角β与角α的三角函sin （2π＋α）＝cos α， cos （2π＋α）＝－sin α． sin （2π－α）＝cos α， cos （2π－α）＝sin α．图4数值之间有什么关系？解：略．★资源名称：【知识点解析】诱导公式五和六的认识★使用说明：本资源展现“诱导公式五和六的认识”，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．适合教师课堂进行展示．注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用． 追问：除了上面的两次对称关系，角2π＋α的终边与角α的终边还具有怎样的对称性？据此你将如何证明公式六？预设的师生活动：如果有学生提前想到了就延续前面的展示活动，如果学生没有想到，则由教师提出这个追问，促进学生思考．预设答案：角α的终边旋转2π角，就得到角2π＋α的终边． 如图4，由两个三角形全等易得点P 8与P 1坐标间关系，进一步可得公式六． 设计意图：通过设置问题1，一方面，使学生更加深入地了解圆具有丰富的对称性，另一方面，让他们通过类比，不断地利用数形结合的思想方法，提高自己提出问题、分析问题、解决问题的能力，发展逻辑推理、几何直观等核心素养．问题2：回顾利用公式一～公式四，把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，并且建立了流程图的求解程序，那么公式五或公式六的作用是什么？可能在哪个环节用到这两组公式？预设的师生活动：在学生思考展示的基础上互相交流，并完善．预设答案：利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化．如图5所示可以在变成锐角的过程中发生作用．公式一～六都叫做诱导公式(induction formula)．设计意图：基于前述的求解程序，进行理性思考，完善求解程序，帮助学生提升运算素养．例3 证明：（1）sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-α2π3＝－cos α；（2）cos ⎪⎭⎫⎝⎛+α2π3＝sin α． 例4 化简：()()()()()⎪⎭⎫⎝⎛+----⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-αααααααα2π9sin πsin π3sin πcos 2π11cos 2πcos πcos π2sin ． 追问：观察题目中的角，对比诱导公式，根据图4，应该怎样化简转化为公式的形式？ 预设的师生活动：学生更具问题的引导，独立思考，并求解．学生展示时紧扣图4进行． 预设答案：例3 证明：（1）sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-α2π3＝sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+α2ππ＝－sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-α2π＝－cos α； （2）cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+α2π3＝cos ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++α2ππ＝－cos ⎪⎭⎫⎝⎛+α2π＝sin α． 例4 解：原式＝()()()()()()[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++---⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---αααααααα2ππ4sin πsin πsin cos 2ππ5cos sin cos sin图5＝()()[]⎪⎭⎫⎝⎛+---⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---ααααααα2πsin sin sin cos 2πcos cos sin 2＝－sin αcos α＝－tan α．设计意图：引导学生理性思考，有序解题，完善求解程序，提升数学运算素养． 例5 已知sin （53°－α）＝15，且－270°＜α＜－90°，求sin （37°＋α）的值．追问：观察题目中的角，它们有怎样的关系？和哪个诱导公式接近？能不能通过换元，使得已知角与所求角之间关系更加明了？由此你确定的求解思路是怎样的？预设的师生活动：让学生通过观察，自己思考并回答． 预设答案：分析：注意到（53°－α）+（37°＋α）=90°，如果设β＝53°－α，γ= 37°＋α，那么β+γ=90°，由此可利用诱导公式和已知条件解决问题．解：设β＝53°－α，γ＝37°＋α，那么β＋γ＝90°，从而γ＝90°－β．于是sin γ＝sin （90°－β）＝cos β．因为－270°＜α＜－90°，所以143°＜β＜323°． 由sin β＝51＞0，得143°＜β＜180°． 所以cos β＝－1－sin 2θ＝－2511⎪⎭⎫⎝⎛-＝－562．所以sin （37°＋α）＝sin γ＝－562． 设计意图：引导学生学会观察分析，进行理性思考，学会有序求解，提升数学运算素养． （二）归纳小结问题3：教师引导学生回顾本单元学习内容，并回答下面问题：（1）你学到了哪些基本知识，它们的作用是什么？能解决什么问题？求解的程序是什么？（2）我们已经知道诱导公式是三角函数的性质，是圆的对称性的代数化，据此，你觉得怎样记忆到目前为止学过的这6组诱导公式？此外，仅仅观察6组诱导公式的形式特征，你还能怎样记忆这些公式？（3）能不能画一个结构图来反映本节课的研究思路及内容？预设的师生活动：以学生的独立思考，展示交流，互相补充为主．教师予以及时的点拨．★资源名称：【知识点解析】5.3 诱导公式知识导图★使用说明：本资源给出了本节知识结构框图，针对本节内容进行知识点梳理，有助于理解和掌握本节的知识结构．适合教师课堂进行展示．注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．预设答案：（1）本单元学习了三角函数的基本性质——诱导公式；这些诱导公式体现了三角函数的对称性，在求三角函数值时，它们还具有转化作用，另外，还可以实现正弦与余弦的相互转化；求解程序略．基本的思想是：负角变正角，大角变小角．（2）只要了解了诱导公式是通过哪个对称变化得到的，这种变化中点的坐标的关系是怎样的，就可以记住公式，而且还可以进一步推广公式．（3）通过观察发现，如果是一个角加2π的奇数倍，那么变换后会改变三角函数的名字；如果是一个角加2π的偶数倍，那么变换后会不改变三角函数的名字．设计意图：梳理小结，一方面帮助学生进一步明确求解的程序．另一方面，通过帮助学生梳理借助于单位圆记忆公式的过程，进一步认识诱导公式的本质．第三，通过观察形式，分析特点，总结记忆方法，从另一个角度认知诱导公式，进行抽象概括．（三）布置作业 教科书习题5.3． （四）目标检测设计 计算或化简： （1）cos665π； （2）sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-π431； （3）tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-π326； （4）cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ25； （5）sin ⎪⎭⎫⎝⎛-απ211＝－cos α．预设答案：（1）－23；（2）22；（3）3；（4）sin α；（5）－cos α． 设计意图：检测学生对基本知识和技能的掌握情况．。
BCA教学案--1.2.4 诱导公式(二)
重点
诱导公式四、五的推导及应用.
难点
应用导公式一至五解决简单的求值、化简与证明问题．
B案
反思提升
使用说明: 1.认真阅读课本P31-32页,做好预习笔记；
2.完成自学园地里的题目,用红色笔做好疑难标记,准备讨论。
13．是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．
自我回顾总结:课后利用今天的自主时间对课堂内容进行回顾和反思。
要求:力求全面掌握知识内容，明确知识体系，并标注和记录疑难问题，独立完成作业。
2.将自学中遇到的问题同桌交流,用红色笔做好疑难标记;
3.小组交流,总结自己小组的看法和观点,组长做好记录,准备展示和点评;
4.小组内解决不了的或者新生成的疑难问题通过卡片交流或直接提出来,作为全班
展示的内容.
【当堂检测】
1．已知sin＝，则cos的值为
A.－B.C.D.－
2．已知sin(α－180°)－sin(270°－α)＝m，则sin(180°＋α)·sin(270°＋α)用m表示为A.B.C.D．－
将自学中遇到的问题同桌交流用红色笔做好青州二中高一数学bca课堂教学设计探究点二利用诱导公式化简与证明
高一数学BCA课堂教学案
主备人审核人使用时间2017 .12编号
课题
课型
学习目标
1、知识与技能:掌握诱导公式四、五的推导,能应用解决简单的求值、化简与证明问题．
2、过程与方法:对诱导公式一至五，能作综合归纳，体会出五组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力．
《诱导公式(二)》教案
1.2.4诱导公式（二）一、学习目标1．通过本节内容的教学，使学生掌握α+π1)k +2(，α2π+角的正弦、余弦和正切的诱导公式及其探求思路，并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦和正切值的求解、简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明；2．通过公式的应用，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力；二、教学重点、难点重点：四组诱导公式及这四组诱导公式的综合运用.难点：公式(四)的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透. 三、教学方法先由学生自己看书，在此基础上，可以通过讲授再现概念，通过练习理解概念，完成教学.+-=-=x x9017)cos(9017)sin17 480︒)+cos(-330︒)5.3.2同角三角比的关系（2）诱导公式【教学目标】1．通过本节课的教学，使学生掌握五组诱导公式的推导方法和记忆方法．2．在理解、记忆五组诱导公式的基础上，会运用这些公式求解任意角的三角函数的值，并会进行一般的三角关系式的化简和证明．3．加深理解化归思想，培养学生观察问题、解决问题、抽象概括问题的能力，并注意完善学生的基本数学思想和数学意识．【教学重点】五组诱导公式的记忆、理解、运用。
【教学难点】五组诱导公式的推导教学过程：【情景引入】与6π终边相同角α的集合如何表示？αsin 与6sin π具有怎样的数量关系？与β终边相同角α的集合如何表示？αsin 与βsin 具有怎样的数量关系？βα,其它的五个三角比数量关系又如何呢？【问题探究】诱导公式一：文字叙述：终边相同的角的同一个三角函数的值相等．sin(k·360°＋α)=sinα，cos(k·360°＋α)=cosα， tan(k·360°＋α)=tanα，cot(k·360°＋α)=cotα．(k ∈Z )试求出sin 2016°的值．由公式一：sin 2016°=sin(5×360°×216°)＝sin 216° 问题二：如何求出进一步sin 216°的值诱导公式二：①同名函数关系；②符号规律：右边符号与180°＋α角所在象限(第三象限)角的原三角函数值的符号相同． sin(180°＋α)=－sinα， cos(180°＋α)=－cosα，tan(180°＋α)=tanα， cot(180°＋α)=cot α．诱导公式三：①同名函数关系；②符号规律是：右边符号与－α所在的第四象限角的原三角函数值的符号相同．sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα， tan(－α)＝tanα， cot(－α)＝－cotα．诱导公式四：sin(180)sin αα-=；cos(180)cos αα-=-． t sin(180)sin αα-=；cos(180)cos αα-=-（1）请学生自行仿上节课的推导方法得出它们的关系。
诱导公式二教学设计方案
一、教学目标1. 知识与技能目标：- 理解并掌握诱导公式二的基本概念和推导过程。
- 能够熟练运用诱导公式二进行三角函数值的化简和计算。
2. 过程与方法目标：- 通过观察、实验、分析等活动，培养学生发现和归纳数学规律的能力。
- 通过小组合作，提高学生沟通交流和团队协作的能力。
3. 情感态度与价值观目标：- 培养学生对数学学习的兴趣，增强学习数学的自信心。
- 通过探究数学规律的过程，培养学生的严谨态度和科学精神。
二、教学重难点1. 教学重点：- 诱导公式二的推导过程。
- 诱导公式二在三角函数化简中的应用。
2. 教学难点：- 诱导公式二的灵活运用。
- 在实际计算中识别和应用合适的诱导公式。
三、教学准备1. 教学材料：- 三角函数图表- 黑板或投影仪- 教学课件- 学生练习题2. 学生准备：- 复习三角函数的基本概念和性质。
- 准备好笔记本和笔。
四、教学过程（一）导入新课1. 回顾三角函数的基本性质，引导学生思考如何化简复杂的三角函数表达式。
2. 提出诱导公式二的概念，引导学生思考其推导过程。
（二）新课讲解1. 诱导公式二的推导：- 通过观察正弦、余弦、正切函数的周期性，引导学生发现规律。
- 利用正弦、余弦函数的周期性，推导出诱导公式二。
2. 诱导公式二的应用：- 通过例题讲解，展示诱导公式二在三角函数化简中的应用。
- 强调在应用诱导公式二时，要注意角度的转换和符号的处理。
（三）课堂练习1. 小组合作练习：- 学生分组，共同完成练习题，巩固所学知识。
- 教师巡视指导，解答学生疑问。
2. 个体练习：- 学生独立完成练习题，巩固对诱导公式二的掌握。
（四）课堂小结1. 回顾本节课所学内容，强调诱导公式二的重要性和应用方法。
2. 鼓励学生在课后继续练习，加深对诱导公式二的理解。
五、教学反思1. 课堂气氛是否活跃，学生参与度如何。
2. 教学方法是否有效，是否达到了教学目标。
3. 学生对诱导公式二的掌握程度如何，是否需要调整教学策略。
诱导公式2教学设计
编写时间：2020年4 月 17日 第二学期 总第 课时 编写人：马安山 课 题诱导公式（二） 授课班级 高一( 17) 授课时间 2020年 月 日学习目标 1.借助单位圆的对称关系推导诱导公式 2.能正确运用诱导公式求任意角的三角函数值及三角函数式的化简和证明教学重点 发现并证明诱导公式并运用．教学难点 诱导公式的发现．课 型 新 课主要教学方法 思考、交流、讨论和概括． 教学模式 合作探究，归纳总结 教学手段与教具 智慧黑板．教 学 过 程 设 计各环节教学反思 一、问题探究并应用 问题一：如何把任一角的三角函数的求值问题转化为0º—360º间三角函数的求值问题？（师生活动：学生完成，教师补充）1.已知任意角α的终边与单位圆相交于P （x ，y ），求P 关于x 轴，y 轴，原点对称的三个点的坐标.2.如果角α的终边与角β的终边关于原点对称，那么α与β的三角函数值之间各有什么关系？3.如果角α的终边与角β的终边关于x 轴对称，那么α与β的三角函数值之间各有什么关系？4.如果角α的终边与角β的终边关于y 轴对称，那么α与β的三角函数值之间各有什么关系？XXK]问题二：你能利用上述诱导公式求下列函数的值吗？(师生活动：学生完成，教师讲解）例题1：利用公式求下列三角函数值()0225cos 1 ()311sin 2π()⎪⎭⎫ ⎝⎛-316sin 3π ()()02040cos 4- 例题2：化简：()()()()αααα--•--+•+0000180cos 180sin 360sin 180cos变式训练：已知cos(6π+α)=33,求cos(65π-α)的值 问题三：对角απαπ±±2,23的三角函数的研究，你能得出什么结论？若角α的终边与角β的终边关于直线y=x 对称则角α的正弦与角β的余弦函数值之间有何关系？角απ-2的终边与角α的终边是否关于直线y=x 对称？（让学生在做题的过程中总结规律）1.利用已推导出的公式，推导 )2tan(),2cos(),2sin(απαπαπ+++ 2.利用前面学过的公式，推导 )23tan(),23cos(),23sin(απαπαπ+++ 问题四：你能概括上述诱导公式五、六吗？能否根据公式化简三角函数值？例题3：证明：()ααπcos 23sin 1-=⎪⎭⎫ ⎝⎛- ()ααπsin 23cos 2-=⎪⎭⎫ ⎝⎛- 例题4、化简()()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+----⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-απαπαπαπαπαπαπαπ29sin sin 3sin cos 211cos 2cos cos 2sin 二、变式训练：1.化简（1）()()()00180sin cos 180sin ---+ααα ;（2）()()()πααπα--+-tan 2cos sin 3; （3）()()αππααππα-•-•⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-2cos 2sin 25sin 2cos ; （4）()()()ααα-+--sin 360tan cos 02 ; 2.对于诱导公式中的角α，下列说法正确的是（ ）A ．α一定是锐角B ．0≤α＜2πC ．α一定是正角D ．α是使公式有意义的任意角3.若(),2,53cos παππα<≤=+则()πα2sin --的值是 （ ） A ． 53 B ． 53- C ． 54 D ． 54-4.已知()()()()29cos sin 4cos sin 3=+---++απαααπ，求αtan 。
《诱导公式二》教案(新)
§5.5三角函数的诱导公式(二)教学目标：（一）知识目标理解并掌握三角函数诱导公式二～四的推导过程及应用。
（二）能力目标通过诱导公式的推导，培养学生的创新能力；通过类比、归纳思维的训练，培养学生把未知转化为已知的能力。
（三）情感目标通过诱导公式的引导、发现，让学生感受数学探索的成就感，激发学生的学习热情及兴趣，让学生养成善于观察、思考、发现的好习惯。
教学重点：诱导公式三~四的推导过程及灵活运用。
教学难点：如何引导学生从单位圆的对称性和任意角终边的对称性中，发现问题，解决问题．以及推导过程中数形关系的转换，符号的判定。
教学方法：启发诱导式教学课时安排：1课时教学过程：[复习提问]问题1：任意角α的正弦、余弦、正切是怎样定义的？问题2：2kπ＋α（k∈Z）与α的三角函数之间的关系是什么？（公式一）问题3：－α的三角函数与α的三角函数有什么关系？（公式二）归纳：利用公式一，可将任意角的三角函数值，转化为00～3600范围内的三角函数值.公式二可将负角三角函数值，转化为正角的三角函数值，其中锐角的三角函数可以查表计算：[新课引入]问题4：而对于900～3600范围内的三角函数值，如何转化为锐角的三角函数值，是我们本节课研究和解决的问题。
[新课讲授]知识探究（一）：π＋α的诱导公式思考1：210°角的三角函数怎样求？210°角与30°角有何内在联系？12 210°=180°+30°思考2：若α为锐角，则（180°，270°）范围内的角可以怎样表示？180°+α思考3：对于任意给定的一个角α，角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？思考4：设角α的终边与单位圆交于点P （x ，y ），则角π＋α的终边与单位圆的交点坐标如何？思考5：根据三角函数定义，sin （π＋α） 、cos （π＋α）、tan （π＋α）的值分别是什么？ sin(π＋α)=-ycos(π＋α)=-xtan(π＋α)= y / x思考6：对比sin α，cos α，tan α的值，π＋α的三角函数与α的三角函数有什么关系？公式三：思考7：该公式有什么特点，如何记忆？知识探究（二）：π-α的诱导公式：思考1：利用π－α＝π＋(－α)，结合公式二、三，你能得到什么结论？公式四：思考2：如何根据三角函数定义推导公式四？思考3：公式三、四有什么特点，如何记忆？思考4：公式一～四都叫做诱导公式，他们分别反映了2k π＋α（k ∈Z ），π＋α，－α，π－α的三角函数与α的三角函数之间的关系，你能概括一下这四组公式的共同特点和规律吗？理论升华 整体建构ααπααπααπtan )tan(cos )cos(sin )sin(=+-=+-=+ααπααπααπtan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=-sin(2π)sin cos(2π)cos tan(2π)tan k k k αααααα+=+=+=sin πsin cos πcos tan πtan αααααα-=-=--=-（）（）（）sin(π+)sin cos(π+)cos tan(π+)tan αααααα=-=-=sin()sin cos()cos tan()tan αααααα-=--=-=-3以上公式统称为诱导公式（或简化公式）．这些公式的正负号可以用口诀：“函数名不变，符号看象限”来记忆．利用它们可以把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数巩固知识 典型例题例3 求下列各三角函数值： (1) 9cos4π；(2) 8tan 3π；(3) cos930°；(4) sin 690 运用知识 强化练习练习5.5.3求下列各三角函数值（1）tan 225︒ （2）sin 660︒ （3）cos 495︒（4）11πtan3 （5）17πsin 3（6）7πcos()6-． [归纳小结] 1.诱导公式都是恒等式，即在等式有意义时恒成立.2.以诱导公式一～四为基础，还可以产生一些派生公式，如sin （2π－α）=－sin α， sin （3π－α）=sin α等.3.利用诱导公式一～四，可以求任意角的三角函数，其基本思路是：(1) 任意负角的任意三角函数 , (2) 任意正角的三角函数,(3) 0～2π的角的三角函数, (4) 锐角的三角函数.[布置作业 继续探究](1)阅读:教材章节5.5。
《诱导公式》第2课时参考教案
《诱导公式》第二课时诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭角的三角函数值问题．诱导公式中的公式五的推导过程，使学生学会用联系的观点，把单位圆的性质与三角函数联系起来，体现了数学的数形结合和归纳转化思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式，而公式六的推导过程，使学生能用已有公式二至五，运用角的变换进行演绎推演，使培养学生逻辑推理、数学运算核心素养落到实处．1．在诱导公式二至四推导方法的基础上，启发学生探索发现诱导公式五并能借助公式推演得到公式六；2．借助单位圆中的对称关系及三角函数定义的应用，培养学生形数结合，归纳转化的思想方法；同时借助公式的结构特点培养学生从未知到已知、复杂到简单的化归思想；3．通过对公式的推导过程，以及通过理解并掌握正弦、余弦、正切的诱导公式，并能应用这些公式解决一些求值、化简、证明等问题， 培养学生逻辑推理、数学运算素养．教学重点： 诱导公式五、六的推导探究，诱导公式的应用；教学难点： 发现终边与角α的终边关于直线y x =对称的角与α之间的数量关系．1． 教学问题： （1）如何把角α终边关于直线y x =对称的角的终边几何对称关系与角的数量关系对应起来是一个教学问题，处理这个问题主要利用信息技术，引导学生归纳不同象限角的情况，再以第一象限角为例发现角的关系，此过程强调归纳转化思想和逻辑推理素养；（2）应用诱导公式解决相关三角函数值的求解、化简、证明等是一个教学问题，处理这个问题主要是引导学生在理解公式的基础上适量典型例题的推演．◆教材分析 ◆教学目标 ◆教学重难点◆ ◆课前准备◆2． 教学支持条件（1）诱导公式一至四推导方法和公式本身是本节诱导公式的重要基础和铺垫．（2）充分利用“智慧课堂”教学系统，及时了解学生思维信息，根据学生的思维状态生成教学过程，充分利用智慧课堂的作业平台，及时反馈检测信息．【问题1】上节课学习了三角函数的诱导公式二到公式四，大家还记得是哪几个公式吗？【设计意图】复习回顾三角函数的诱导公式二到公式四，让学生进一步体会这几个公式分别体现了πα+，α-，πα-与角α之间的关系：【预设师生活动】（1）引导学生回想公式记忆规律，同时上传公式二至四；（2）引导学生回想公式推导方法，同时上传单位圆几何图示（两个角的终边特殊的对称关系：1）终边关于原点对称；2）终边关于x 轴对称；3）终边关于y 轴对称）【问题2】能画出角α关于直线y x =对称的角的终边吗？与角α关于直线y x =对称的角怎样表示？这两个角的终边上点12P ,P 的坐标具有什么关系？【设计意图】 在问题1的基础上，提出问题，调动学生探索问题的积极性．让学生经历由几何直观发现数量关系的学习过程，体验如何把角的终边具有的特定位置关系转化为三角函数值之间的关系．【预设师生活动】（1）引导学生探究：角α在不同象限关于直线y x =对称的角的终边情况；归纳讨论出角α关于直线y x =对称的角的终边是2πα-；要求学生作图上传展示角α在第一象限的情况，并共同得出点12P ,P 的坐标的关系．（2）引导学生思考：角α关于直线y x =对称的角的终边是2πα-上点P,P '的坐标关系已知，角α与2πα-的三角函数值有什么关系？学生拍照上传解答过程与结论．◆教学过程设1(,)P x y ，则2(,)Py x ，有三角函数的定义得： 得诱导公式五： 【问题3】能否用已有公式得出2πα+的正弦、余弦与α的正弦、余弦之间的关系式？能否用公式五的方法推导出以上关系式？【设计意图】引导学生从公式的适用条件（任意角）出发，根据角的结构特点，构造特殊性解决问题，体会演绎推理的过程，培养了逻辑推理素养；另外两个角的终边看成两次对称，再利用点的坐标关系得出三角函数值的关系，进一步体会形数结合思想．【预设师生活动】（1）学生讨论并将推演结果上传（可能不同作法）：（公式六）2）引导学生尝试把角2πα+与角α终边看成两次对称，研究点的坐标关系推导出公式六，学生上传推导过程和方法．角α终边与单位圆交点(,)P x y ，则2πα-终边与单位圆交点1(,)P y x ，又2πα+的终边与2πα-的终边关于y 轴对称，故2πα+终边与单位圆交点2(,)P y x -，于是sin()2cos()2tan()2x y x y παπαπα-=-=-=sin()sin[()]sin()cos 222cos()cos[()]sin()cos 222πππαπαααπππαπααα+=--=-=+=--=--=-sin cos tan yxy x ααα===sin()cos ;2cos()sin ;2tan()cot 2πααπααπαα-=-=-=（公式六）【问题4】你能总结公式五与六的记忆规律吗？你能概况公式五与六的研究思路吗？【设计意图】引导学生学习概括，逐步养成自我总结规律，反思数学思想方法的习惯．【预设师生活动】学生讨论概括，教师再总结：上面的公式五与六也称为三角函数的诱导公式；记忆规律： 2πα±的三角函数值，等于α的互余函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．概括：函数名变余，符号看象限．【问题5】 诱导公式的应用研究例1（1）求证：33sin()cos ;cos()sin 22ππαααα-=--=- （2）化简：11sin(2)cos()cos()cos()229cos()sin(3)sin()sin()2πππαπαααππαπαπαα-++-----+ 【设计意图】这是三角函数值的证明与化简，需要综合运用公式的题目类型，让学生熟悉公式，通过练习加深印象，逐步达到准确、熟练、灵活应用．【预设师生活动】学生演练并上传结果，同时讨论归纳应用诱导公式的注意事项．例2 已知f （α）＝sin （α－3π）cos （2π－α）sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos （－π－α）sin （－π－α）． （1）化简f （α）；（2）若α是第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f （α）的值． 【设计意图】这是综合运用诱导公式和同角公式的题目类型，让学生熟悉公式，通过练习加深印象，逐步达到熟练、正确地应用．【预设师生活动】学生演练并上传结果，同时讨论归纳方法：sin()cos 2cos()sin 2x y πααπαα+==+=-=-[解] （1）f （α）＝sin （α－3π）cos （2π－α）sin （－α＋3π2）cos （－π－α）sin （－π－α）＝（－sin α）·cos α·（－cos α）（－cos α）·sin α＝－cos α． （2）因为cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝－sin α，所以sin α＝－15， 又α是第三象限角，所以cos α＝－1－⎝⎛⎭⎫－152＝－256． 所以f （α）＝256． 【问题6】 课堂小结，提高认识【设计意图】引导学生对本课内容进行归纳小结，同时对六个诱导公式进一步概括．【预设师生活动】引导学生从知识方法、思维思想进行总结，学生讨论，共同归纳：（1）诱导公式一～六揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系．（2）这六组诱导公式可归纳为“k ·90°±α（k ∈Z ）”的三角函数值与α的三角函数值之间的关系．当k 为偶数时得角α的同名三角函数值，当k 为奇数时得角α的互余三角函数值．然后在前面加上一个把角α看成锐角时原三角函数值的符号．可简记为“奇变偶不变，符号看象限”．（3）简述数学的化归思想：数形结合，由特殊到一般，化未知为已知等思想方法． 习题检测【检测1】课本对应习题．【检测2】请完成本节对应的同步练习．。
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1.2.4诱导公式（二）一、学习目标1．通过本节内容的教学，使学生掌握α+π1)k +2(，α2π+角的正弦、余弦和正切的诱导公式及其探求思路，并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦和正切值的求解、简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明；2．通过公式的应用，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力；二、教学重点、难点重点：四组诱导公式及这四组诱导公式的综合运用.难点：公式(四)的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透. 三、教学方法先由学生自己看书，在此基础上，可以通过讲授再现概念，通过练习理解概念，完成教学.5.3.2同角三角比的关系（2）诱导公式【教学目标】1．通过本节课的教学，使学生掌握五组诱导公式的推导方法和记忆方法．2．在理解、记忆五组诱导公式的基础上，会运用这些公式求解任意角的三角函数的值，并会进行一般的三角关系式的化简和证明．3．加深理解化归思想，培养学生观察问题、解决问题、抽象概括问题的能力，并注意完善学生的基本数学思想和数学意识．【教学重点】五组诱导公式的记忆、理解、运用。
【教学难点】五组诱导公式的推导教学过程：【情景引入】与6π终边相同角α的集合如何表示？αsin 与6sin π具有怎样的数量关系？与β终边相同角α的集合如何表示？αsin 与βsin 具有怎样的数量关系？βα,其它的五个三角比数量关系又如何呢？【问题探究】诱导公式一：文字叙述：终边相同的角的同一个三角函数的值相等．sin(k·360°＋α)=sinα，cos(k·360°＋α)=cosα， tan(k·360°＋α)=tanα，cot(k·360°＋α)=cotα．(k ∈Z )试求出sin 2016°的值．由公式一：sin 2016°=sin(5×360°×216°)＝sin 216° 问题二：如何求出进一步sin 216°的值诱导公式二：①同名函数关系；②符号规律：右边符号与180°＋α角所在象限(第三象限)角的原三角函数值的符号相同． sin(180°＋α)=－sinα， cos(180°＋α)=－cosα，tan(180°＋α)=tanα， cot(180°＋α)=cot α．诱导公式三：①同名函数关系；②符号规律是：右边符号与－α所在的第四象限角的原三角函数值的符号相同．sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα， tan(－α)＝tanα， cot(－α)＝－cotα．诱导公式四：sin(180)sin αα-=o ；cos(180)cos αα-=-o ． t sin(180)sin αα-=o ；cos(180)cos αα-=-o（1）请学生自行仿上节课的推导方法得出它们的关系。
（2）启发学生讨论：能否根据诱公式一、二、三推导出它们的关系。
[推导过程]sin(180)sin[180()]sin()sin αααα-=+-=--=o o；cos(180)cos[180()]cos()cos αααα-=+-=--=-o o ； sin(360)sin[360()]sin()sin αααα-=+-=-=-o o ；cos(360)cos[360()]cos()cos αααα-=+-=-=o o ．[结论]诱导公式四：诱导公式五：sin(360)sin αα-=-o；cos(360)cos αα-=o ．说明：①公式二中的α指任意角；②在角度制和弧度制下，公式都成立； ③公式特点：函数名不变，符号看象限；五组公式可概括如下：360(),,180,360k k Z αααα+⋅∈-±-ooo的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。
说明：（1）要化的角的形式为180k α⋅±o （k 为常整数）；（2）记忆方法：“函数名不变，符号看象限”；（3）利用五组诱导公式就可以将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数。
其化简方向仍为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”。
【公式应用】【属性】高一（下），同角三角比关系，诱导公式，解答题，易，计算能力 【题目】求下列三角函数值：（1）11sin 6π；（2）17sin()3π-．【关键收索字】诱导公式求值【解答】解：（1）111sinsin(2)sin()sin 66662πππππ=-=-=-=-；（2）17sin()sin(6)sin 333ππππ-=-+==【属性】高一（下），同角三角比关系，同角三角比应用，解答题，中，计算能力 【题目】化简：sin(180)sin()tan(360)tan(180)cos()cos(180)αααααα-++--+++-+-o o o o；【关键收索字】诱导公式化简求值【解答】 原式sin sin tan tan 1tan cos cos tan αααααααα--==-=-+-．【课堂反馈】【属性】高一（下），同角三角比关系，同角三角比应用，解答题，中，计算能力 【题目】计算sin120cos330sin(690)cos(660)tan 675cot 765⋅+--++oooooo．【关键收索字】诱导公式化简求值 【解答】原式sin(18060)cos(36030)sin(720690)cos(720660)=-⋅-+--ooooooootan(675720)cot(765720)+-+-o o o osin 60cos30sin 30cos 60tan(45)cot 45=++-+o o o o o o3311tan 4512222=⨯+⨯-+o 3111144=+-+=．【课堂小结】1、诱导公式二、三可由单位圆中的三角函数线来导出，即寻求180°＋α（或－α）与α的同名三角函数值之间的关系，公式四、五可由公式一、二、三推导.2、五组诱导公式的形式及记忆口诀“函数名不变，符号看象限”；3、求任意角的三角函数值的一般步骤：利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，即：【作业布置】【属性】高一（下），同角三角比关系，同角三角比应用，解答题，中，计算能力 【题目】已知：tan 3α=，求2cos()3sin()4cos()sin(2)παπααπα--+-+-的值。
【关键收索字】诱导公式化简求值 【解答】∵tan 3α=， ∴原式2cos 3sin 23tan 74cos sin 4tan αααααα-+-+===--．【属性】高一（下），同角三角比关系，同角三角比应用，解答题，中，计算能力 【题目】已知：1tan()2πα+=-，求sin(7)cos(5)απαπ-+的值。
【关键收索字】诱导公式化简求值 【解答】1tan()tan 2παα+==-，原式222sin cos tan 2sin cos sin cos 1tan 5αααααααα====-++．【属性】高一（下），同角三角比关系，同角三角比应用，解答题，中，计算能力【题目】 已知3sin 5α=-，且α是第四象限角，求tan [cos(3)sin(5)]απαπα--+的值。
【关键收索字】诱导公式化简求值 【解答】tan [cos(3)sin(5)]απαπα--+tan [cos()sin()]απαπα=--+tan (cos sin )ααα=-+tan sin tan cos αααα=-sin (tan 1)αα=-由已知得：43cos ,tan 54αα==-， ∴原式2120=．【属性】高一（下），同角三角比关系，同角三角比应用，选择题，中，计算能力 【题目】设的值为（）A．B．C．－1D．1【关键收索字】诱导公式化简求值【解答】答案：A【属性】高一（下），同角三角比关系，诱导公式，解答题，易，计算能力【题目】求下列三角函数值：计算【关键收索字】诱导公式求值【解答】【属性】高一（下），同角三角比关系，诱导公式，证明题，中，计算能力分析问题能力【题目】已知A、B、C为△ABC的三个内角，求证：（1）cos（2A＋B＋C）=－cosA；（2）【关键收索字】诱导公式化简证明【解答】∵A、B、C是△ABC的三个内角，∴A＋B＋C=π.（1）cos（2A＋B＋C）=cos（π＋A）=－cosA；（2）【属性】高一（下），同角三角比关系，诱导公式，证明题，难，分析问题探究问题能力【题目】已知函数f(x)=asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f(1997)=－1，则f(1998)=（）A．－1B．0C．1D．2【关键收索字】诱导公式化简【解答】答案：Cf(1997)=asin(1997π＋α)＋bcos(1997π＋β)=－asinα－bcosβ，f(1998)=asin(1998π＋α)＋bcos(1998π＋β)=asinα＋bcosβ，两式相加，有f(1997)＋f(1998)=0，∴f(1998)=1，故选C.【属性】高一（下），同角三角比关系，诱导公式，证明题，中，分析问题探究问题能力【题目】若，则α的取值范围是__________.【关键收索字】诱导公式化简，取值范围分析：采取逆向思维的方法，先用诱导公式和同角基本关系式将式子化简，再对比左右两边，得出α的取值范围.解答：原式变形为【属性】高一（下），同角三角比关系，诱导公式，计算题，中，分析问题探究问题能力【题目】化简，【关键收索字】诱导公式化简，分类讨论分析：为能应用诱导公式，需对整数n的奇偶性进行讨论.解答：当n为偶数时，设n=2k(k∈Z),原式=；当n为奇数时，设n=2k＋1（k∈Z），原式故原式=2tanα.【属性】高一（下），同角三角比关系，诱导公式，计算题，中，分析问题探究问题能力【题目】化简（1）tan1°·tan2°·tan3°·…·tan88°·tan89°（2）2－sin221°－cos221°＋sin417°＋sin217°cos217°＋cos217°【关键收索字】诱导公式化简，分析：对90°的偶数倍的诱导公式应能熟练掌握和运用，而对于90°的奇数倍的诱导公式若能加以探索和掌握，则更能在解题时得心应手.解答：（1）∵tanα=cot(90°－α)，且tanα·cotα=1∴原式=tan1°·tan2°·tan3°·…·tan44°·tan45°·cot46°·…·cot1°=1·1·…·tan45°=tan45°=1（2）原式=2－(sin221°＋cos221°)＋sin217°(sin217°＋cos217°)＋cos217°=2－1＋sin217°＋cos217°=2【属性】高一（下），同角三角比关系，诱导公式，计算题，中，分析问题探究问题能力【题目】o o o o的值．求sin(1200)cos1290cos(1020)sin(1050)-+--【关键收索字】诱导公式化简，角的置换分析：利用诱导公式进行“导角”．o o o o解：原式sin1200cos1290cos1020sin1050=--sin(3360120)cos(3360210)cos(2360300)sin(2360330)=-⨯+⨯+-⨯+⨯+o o o o o o o o sin120cos210cos300sin330=--o o o osin(18060)cos(18030)cos(36060)sin(36030)=--+---o o o o o o o osin 60cos30cos60sin30=+o o o o11122+⨯=． 【属性】高一（下），同角三角比关系，诱导公式，计算题，中，分析问题探究问题能力【题目】已知sin(3π)α+=，求cos(π)cos(2π)cos [cos(π)1]cos cos(π)cos(2π)ααααααα+-++-++-的值． 【关键收索字】诱导公式化简，角的置换分析：通过已知条件产生α的一个三角函数值是解题的关键，因此，要用诱导公式进行“导值”．解：由sin(3π)sin αα+=-，13=-，得1sin 3α=． 原式22cos cos 11218cos (cos 1)cos cos 1cos 1cos sin ααααααααα-=+=+==---++-． 【属性】高一（下），同角三角比关系，诱导公式，计算题，证明，分析问题探究问题能力【题目】 设8πtan 7a α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求证：15π13πsin 3cos 37720π22π1sin cos 77a a αααα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=+⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【关键收索字】诱导公式化简，角的置换 用诱导公式从8πtan +7α⎛⎫ ⎪⎝⎭中产生tan α的值是不可能的，因此，欲完成论证，必 须将已知中的角8π7α+进行整体处理． 证明：设8π7αθ+=，则tan a θ=． 左边sin(π)3cos(3π)sin 3cos tan 33sin(4π)cos(2π)sin cos tan 11a a θθθθθθθθθθ++---++=====--+--++右边． 故结论成立．【题目资源】【属性】高一（下），同角三角比关系，诱导公式，解答题，易，计算能力【题目】求下列三角函数值：（1）11sin6π；（2）17sin()3π-．【关键收索字】诱导公式求值【解答】解：（1）111sinsin(2)sin()sin 66662πππππ=-=-=-=-；（2）17sin()sin(6)sin 3332ππππ-=-+==．【属性】高一（下），同角三角比关系，同角三角比应用，解答题，中，计算能力【题目】 化简：sin(180)sin()tan(360)tan(180)cos()cos(180)αααααα-++--+++-+-o o o o ；【关键收索字】诱导公式化简求值【解答】 原式sin sin tan tan 1tan cos cos tan αααααααα--==-=-+-．【属性】高一（下），同角三角比关系，同角三角比应用，解答题，中，计算能力【题目】计算sin120cos330sin(690)cos(660)tan 675cot 765⋅+--++o o o o o o ．【关键收索字】诱导公式化简求值【解答】原式sin(18060)cos(36030)sin(720690)cos(720660)=-⋅-+--o o o o o o o o tan(675720)cot(765720)+-+-o o o osin 60cos30sin 30cos 60tan(45)cot 45=++-+o o o o o o11tan 45122=+⨯-+o 3111144=+-+=． 【属性】高一（下），同角三角比关系，同角三角比应用，解答题，中，计算能力【题目】已知：tan 3α=，求2cos()3sin()4cos()sin(2)παπααπα--+-+-的值。