中考数学总复习中档题精选3
中考数学中档专题和压轴题整理
中档专题常考相似模型相交弦定理和勾股定理1.如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP＝QO，则的值为_________备注：1.设⊙O的半径为r，QO＝m，则QP＝m，QC＝r+m，QA＝r﹣m．2.用相交弦定理，求出QD中利用勾股定理求出m与r的关系，即用r表示出m，即可3.在ODQ表示出所求比值．垂径定理及推论2．如图，△ABC内接于⊙O，CD平分∠ACB交⊙O于D，过点D作PQ∥AB分别交CA、CB延长线于P、Q，连接BD．（1）求证：PQ是⊙O的切线；（垂径定理推论）（2）求证：BD2＝AC•BQ；（相似三角形的判定）（3）若AC、BQ的长是关于x的方程x2﹣mx+16＝0的两个实根，且tan∠PCD＝，求⊙O 的半径．（三角函数及垂径定理）备注1.欲证明PQ是⊙O切线，只要证明OD⊥PQ即可；2.连接AD，根据等腰三角形的判定得到AD＝BD，根据相似三角形的性质即可得到结论；3.根据题意得到AC•BQ＝16，得到BD＝4，由（1）知PQ是⊙O的切线，由切线的性质得到OD⊥PQ，根据平行线的性质得到OD⊥AB，根据三角函数的定义得到BE＝3DE，根据勾股定理得到BE＝，设OB＝OD＝R，根据勾股定理即可得到结论；K型相似3．如图所示，CD为⊙O的直径，AD、AB、BC分别与⊙O相切于点D、E、C（AD＜BC）．连接DE并延长与直线BC相交于点P，连接OB．已知DE•OB＝40，求AD•BC的值；备注：由DE•OB＝40可以想到比例式，由题意可以证明△DEC∽△OCB，由此得DE•OB＝OC•DC＝40，则OC＝2，再证△ADO∽△OCB即可；4．如图，点A是x轴非负半轴上的动点，点B坐标为（0，4），M是线段AB的中点，将点M绕点A顺时针方向旋转90°得到点C，过点C作x轴的垂线，垂足为F，过点B 作y轴的垂线与直线CF相交于点E，连接AC，BC，设点A的横坐标为t．当t为何值时，BC+CA取得最小值．备注：证明△ABO∽△CAF，根据勾股定理表示AC和BC的长，计算其和，根据二次根式的意义得出当t＝0时，值最小．直线与抛物线背景下的相似三角形5.如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知A、B两点的坐标分别为（﹣4，0）、（4，0），C（m，0）是线段AB上一动点（与A、B两点不重合），抛物线l1：y＝x2+b1x+c1（a＞0）经过点A、C，顶点为D，抛物线l2：y＝x2+b2x+c2（a＞0）经过点C、B，顶点为E，直线AD、BE相交于F．∠AFB＝90°，求m的值；备注：过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，易证△ADG～△EBH，根据相似三角形对应边比例相等即可解题；6.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与抛物线交于A、B两点，点A 在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C．P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），若点P在直线AB上方，连接OP交AB于点D，求的最大值；备注：作PF∥BO交AB于点F，证△PFD∽△OBD，得比例线段，则PF取最大值时，求得的最大值；解直角三角形7.如图，P为正方形ABCD边BC上任一点，BG⊥AP于点G，在AP的延长线上取点E，使AG＝GE，连接BE、CE，作DM⊥AG于M．若△BCE是等边三角形，连DE，△ADE 的面积为25，求BG长．备注：过点A作AF⊥BE，垂足为F．由（1）可知AG＝MD＝GE，然后依据三角形ADE 的面积为25可求得DM的长，然后再证明∠ABF＝30°，设AB＝BE＝a，则FB＝a，EF＝（+2）a，在Rt△AFE中，依据勾股定理可得到4a2＝100（2﹣），即AB2＝100（2﹣），最后，在Rt△ABG中，依据勾股定理求解即可．8.已知：如图，在正方形ABCD内取一点P，连结P A、PB、PD，将△PDA绕点A顺时针旋转90°得△EBA，连EP．若P A＝2，PB＝2，PD＝2．下列结论：①EB⊥EP；②点B到直线AE的距离为；③S△APD+S△APB＝1+；④S正方形ABCD＝16+4．其中正确结论的序号是．销售利润问题某水果店以4元/千克的价格购进一批水果，由于销售状况良好，该店又再次购进同一种水果，第二次进货价格比第一次每千克便宜了0.5元，所购水果重量恰好是第一次购进水果重量的2倍，这样该水果店两次购进水果共花去了2200元．（1）该水果店两次分别购买了多少元的水果？（2）在销售中，尽管两次进货的价格不同，但水果店仍以相同的价格售出，若第一次购进的水果有3%的损耗，第二次购进的水果有5%的损耗，该水果店希望售完这些水果获利不低于1244元，则该水果每千克售价至少为多少元？购买分配类问题湖南洞庭湖区盛产稻谷和棉花，销往全国各地，湖边某货运码头，有稻谷和棉花共3000吨，其中稻谷比棉花多500吨．（1）求稻谷和棉花各是多少吨；（2）现有甲、乙两种不同型号的集装箱共58个，将这批稻谷和棉花运往外地，已知稻谷35吨和棉花15吨可装满一个甲型集装箱；稻谷25吨和棉花35吨可装满一个乙型集装箱．在58个集装箱全部使用的情况下，共有几种方案安排使用甲、乙两种集装箱？（3）在（2）的情况下，甲种集装箱每箱收费1000元，乙种集装箱每箱收费1200元，乙种集装箱老板想扩大市场，提出惠民措施：每箱可优惠m元（m＜250）．问怎么安排集装箱这批货物总运输费最少？二次函数应用（分段函数，分类讨论）“姹紫嫣红苗木种植基地”尝试用单价随天数而变化的销售模式销售某种果苗，利用30天时间销售一种成本为10元/株的果苗，售后经过统计得到此果苗，单价在第x天（x为整数）销售的相关信息，如图表所示：销售量n（株）n＝﹣x+50销售单价m（元/株）当1≤x≤20时，m＝当21≤x≤30时，m＝10+（1）①请将表中当1≤x≤20时，m与x间关系式补充完整；②计算第几天该果苗单价为25元/株？（2）求该基地销售这种果苗30天里每天所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式；（3）“吃水不忘挖井人”，为回馈本地居民，基地负责人决定将这30天中，其中获利最多的那天的利润全部捐出，进行“精准扶贫”．试问：基地负责人这次为“精准扶贫”捐赠多少钱？压轴专题直线与抛物线相交（面积问题）1.若抛物线L：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与直线l：y＝ax+b满足a2+b2＝2a（2c ﹣b），则称此直线l与该抛物线L具有“支干”关系．此时，直线l叫做抛物线L的“支线”，抛物线L叫做直线l的“干线”，已知“干线”y＝ax2+bx+c与它的“支线”交于点P，与它的“支线”的平行线l′：y＝ax+4a+b交于点A，B，记△ABP得面积为S，试问：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．的值是定值．理由如下：解：不妨设a＞0，如图所示，y＝ax2+bx+c与它的“支线”交y轴于C，直线y＝ax+4a+b与y轴交于点D，A（x1，y1），B（x2，y2），由，消去y得到ax2+（b﹣a）x+c﹣4a﹣b＝0，∴x1+x2＝，x1x2＝，∴|x1﹣x2|＝＝＝，把a2+b2＝2a（2c﹣b）代入上式化简得到|x1﹣x2|＝4，∵AB∥PC，∴S＝S△P AB＝S△CAB＝S△CDB﹣S△CDA═•CD•|B x﹣A x|＝•|4a|•4＝8•|a|，∴＝8，的值是定值．直线与圆（抛物线为背景）2．如图，抛物线y＝2x2﹣8x+6与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y＝2x+m与直线BC交于点P，与抛物线交于点M、N，若以点P为圆心、MN为半径的圆恰与x轴相切，求m的值．备注：抛物线解析式为y＝2x2﹣8x+6，则C（0，6），易得直线BC的解析式为y＝﹣2x+6，解方程组得P（，），设M（x1，2x1+m），N（x2，2x2+m），作PH⊥x轴于H，如图，x1、x2为方程2x2﹣8x+6＝2x+m的两根，则x1+x2＝5，x1x2＝，利用完全平方公式变形得到MN＝＝，接着利用切线的性质得||＝，然后解方程即可得到m的值．3.含参的计算（分类讨论）我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．已知：如图2，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是“等对角四边形”，其中A（﹣2，0）、C（2，0）、B（﹣1，﹣），点D在y轴上，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过点A、D，且当﹣2≤x≤2时，函数y＝ax2+bx+c取最大值为3，求二次项系数a的值．备注：由条件可得出∠ADC＝∠ABC＝90°，求得D（0，2），代入A，D两点的坐标，可求出抛物线的解析式为y＝ax2+（2a+1）x+2，分两种情况考虑：在x＝2时，函数y＝ax2+（2a+1）x+2取得最大值为3，可求得a＝﹣，当﹣2≤x≤2时，在顶点处取得最大值，可求出a＝﹣1﹣．4.如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知A、B两点的坐标分别为（﹣4，0）、（4，0），C（m，0）是线段AB上一动点（与A、B两点不重合），抛物线l1：y＝ax2+b1x+c1（a＞0）经过点A、C，顶点为D，抛物线l2：y＝ax2+b2x+c2（a＞0）经过点C、B，顶点为E，直线AD、BE相交于F．如图2，连接DC、EC，记△DAC的面积为S1，△ECB的面积为S2，△F AB的面积为S，问是否存在点C使得2S1•S2＝a•S，若存在，请求出C的坐标；若不存在，请说明理由．备注：1.构建一次函数，利用方程组求出点F坐标，再根据2S1•S2＝a•S，构建方程求出m 即可解决问题；2.参考答案设L1：y＝a（x+4）（x﹣m）＝ax2+（4﹣m）ax﹣4ma，L2：y＝a（x﹣4）（x﹣m）＝ax2﹣（4+m）ax+4ma，∴D（，﹣a），E（，﹣a），∴直线AF的解析式为y＝﹣x﹣2a（m+4），直线BF的解析式为y＝﹣x+2a（m﹣4），由，解得，∴F（﹣m，），∵2S1•S2＝a•S，∴2××（m+4）×a××（4﹣m）×＝a××8×[﹣a]，整理得：（m2﹣16）2＝64，∴m2﹣16＝±8，解得m＝±2或±2（舍弃），∴C（2，0）或（﹣2，0）；数形结合5．如图，抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是___________________备注：首先求出点A和点B的坐标，然后求出C2解析式，分别求出直线y＝x+m与抛物线C2相切时m的值以及直线y＝x+m过点B时m的值，结合图形即可得到答案．6.已知直线y1＝x，y2＝x+1，y3＝﹣x+5的图象如图所示，若无论x取何值，y总取y1，y2，y3中的最小值，则y的最大值为．备注：y始终取三个函数的最小值，y最大值即求三个函数的公共部分的最大值．要先画出函数的图象根据数形结合解题。
中考数学 中档题突破 专项训练六 新函数的图象及其性质探究题
4
m
x；由周长为 m，得 2(x＋y)＝m，即 y＝－x＋2.满足要求的(x，y)应是两
个函数图象在第________象限内交点的坐标．
(2)画出函数图象 4
函数 y＝x(x>0)的图象如图所示，而函数 y＝－x ＋m2的图象可由直线 y＝－x 平移得到．请在同一 直角坐标系中直接画出直线 y＝－x.
2．(2021·荆州)小爱同学学习二次函数后，对函数 y＝－(|x|－1)2进行 了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图所示的函数图象．请 根据函数图象，回答下列问题： (1)观察探究： ①写出该函数的一条性质：__________________________________； ②方程－(|x|－1)2＝－1 的解为：________； ③若方程－(|x|－1)2＝a 有四个实数根，则 a 的取值范围是_______．
4 y＝x和
m y＝－x＋2，整理得
x2－12mx＋4＝0，Δ＝14m2－4×4≥0
时，两个函数有交点，解得 m≥8(负值舍去)．故答案为：m≥8.
(2)延伸思考： 将函数 y＝－(|x|－1)2的图象经过怎样的平移可得到 函数 y1＝－(|x－2|－1)2＋3 的图象？写出平移过程， 并直接写出当 2＜y1≤3 时，自变量 x 的取值范围．
解： (1)①图象关于 y 轴对称；当 x＝－1 或 x＝1 时，y 有最大值，最大 值为 0；当 x<－1 或 0<x<1 时，y 随 x 增大而增大；当 x> 1 或－1< x<0 时，y 随 x 增大而减小等．(填一条即可) ②x1＝－2；x2＝0；x3＝2.③－1<a<0.
(2)函数图象如图所示，函数的性质如下： (写出其中一条即可) ①当 x＜3 时，y 随 x 的增加而减少； 当 x＞3 时，y 随 x 的增加而增加． ②当 x＝3 时，函数 y 取得最小值 1. (3)x<0 或 x>4.
初三数学中档题试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象开口向上，且顶点坐标为（1，-2），则下列选项中，正确的是：A. a<0，b<0，c<0B. a>0，b>0，c>0C. a<0，b>0，c>0D. a>0，b<0，c>02. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，且AD=6cm，AB=8cm，则BC的长度为：A. 10cmB. 12cmC. 14cmD. 16cm3. 已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点（2，-3）和（-1，5），则下列选项中，正确的是：A. k=2，b=-1B. k=2，b=1C. k=-2，b=-1D. k=-2，b=14. 若a，b，c是等差数列的连续三项，且a+b+c=18，则b的值为：A. 6B. 7C. 8D. 95. 在直角坐标系中，点P（2，3）关于直线y=x的对称点为Q，则Q的坐标为：A. （3，2）B. （2，3）C. （-3，-2）D. （-2，-3）6. 已知等比数列{an}的首项a1=3，公比q=2，则前n项和Sn为：A. 3(2^n - 1)B. 3(2^n + 1)C. 3(2^n - 2)D. 3(2^n + 2)7. 若x^2+px+q=0的判别式Δ=0，则方程的根的情况是：A. 两个实数根B. 两个相等的实数根C. 两个虚数根D. 无解8. 在平面直角坐标系中，点A（-1，2），B（3，-4），则线段AB的中点坐标为：A. （1，-1）B. （1，2）C. （-1，-1）D. （-1，2）9. 若sinα=1/2，且α为锐角，则cosα的值为：A. √3/2B. √3/4C. 1/2D. 1/410. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，且∠BAC=40°，则∠B的度数为：A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°二、填空题（每题5分，共50分）1. 已知函数y=2x-3，若x=4，则y=______。
备战2023年杭州中考数学真题分类汇编(5年中考1年模拟)9填空中档题含详解
专题09填空中档题1．（2022•杭州）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB 的高度，把标杆DE 直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是8.72BC m =， 2.18EF m =．已知B ，C ，E ，F 在同一直线上，AB BC ⊥，DE EF ⊥， 2.47DE m =，则AB =m ．2．（2022•杭州）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为(0)x x >，则x =（用百分数表示）．3．（2021•杭州）现有甲、乙两种糖果的单价与千克数如下表所示．甲种糖果乙种糖果单价（元/千克）3020千克数23将这2千克甲种糖果和3千克乙种糖果混合成5千克什锦糖果，若商家用加权平均数来确定什锦糖果的单价，则这5千克什锦糖果的单价为元/千克．4．（2021•杭州）如图，在直角坐标系中，以点(3,1)A 为端点的四条射线AB ，AC ，AD ，AE 分别过点(1,1)B ，点(1,3)C ，点(4,4)D ，点(5,2)E ，则BAC∠DAE ∠（填“>”、“=”、“<”中的一个）．5．（2020•杭州）如图，已知AB 是O 的直径，BC 与O 相切于点B ，连接AC ，OC ．若1sin 3BAC ∠=，则tan BOC ∠=．6．（2020•杭州）一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球（只有编号不同），编号分别为1，2，3，5．从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是．7．（2019•杭州）在直角三角形ABC 中，若2AB AC =，则cos C =．8．（2019•杭州）某函数满足当自变量1x =时，函数值0y =，当自变量0x =时，函数值1y =，写出一个满足条件的函数表达式．9．（2018•杭州）如图，AB 是O 的直径，点C 是半径OA 的中点，过点C 作DE AB ⊥，交O 于D ，E 两点，过点D 作直径DF ，连接AF ，则DFA ∠=．10．（2018•杭州）某日上午，甲，乙两车先后从A 地出发沿同一条公路匀速前往B 地，甲车8点出发，如图是其行驶路程s （千米）随行驶时间t （小时）变化的图象．乙车9点出发，若要在10点至11点之间（含10点和11点）追上甲车，则乙车的速度v （单位：千米/小时）的范围是．11．（2022•上城区一模）如图为《北京2022年冬残奥会会徽》纪念邮票，其规格为边长14.92毫米的正八边形，则正八边形的内角和为．12．（2022•上城区一模）如图1一次又一次对开，按图2叠放，可以发现，这些叠放起来的矩形的右上顶点与左下顶点在同一直线上．若以图2最大矩形的左下顶点为原点，以宽和长所在直线分别为x轴和y轴，则这组矩形的右上顶点所在直线的函数表达式为．13．（2022•拱墅区一模）如图是一个可以自由转动的两色转盘，其中白色扇形和红色扇形的圆心角分别为120︒和240︒．若让转盘自由转动一次，则指针落在白色区域的概率是．若让转盘自由转动两次，则指针一次落在白色区域，另一次落在红色区域的概率是．14．（2022•拱墅区一模）如图，AB是O的切线，C为切点．若的直径，点P是AB延长线上的一点，PC是OPA=，18sinP=．则PC=．315．（2022•西湖区一模）直角坐标系中的四个点：(1,2)D，则AOBC，(8,1)B，(4,3)A，(3,2)∠（填∠COD “>”、“=”、“<”中的一个）．16．（2022•西湖区一模）如图，点A，B分别表示数3x-+，x，则x的取值范围为．17．（2022•钱塘区一模）在Rt ABC=，则tan A=．AB AC∆中，90C∠=︒．若3518．（2022•钱塘区一模）已知点P 是O 外一点，PA ，PB 分别与O 相切于点A ，B ，连结OA ，OB ．若O 的半径为3，劣弧AB 的长为2π，则P ∠的度数为．19．（2022•淳安县一模）如图，O 的半径是3，点P 是弦AB 延长线上的一点，连接OP ，若4OP =，30APO ∠=︒，则弦AB 的长为．20．（2022•淳安县一模）如图，在每个小正方形边长都为1的55⨯网格中，有四个点A ，B ，C ，D ，以其中任意三点为顶点的三角形的外接圆半径长是．21．（2022•富阳区一模）甲、乙、丙、丁四人围坐在一张方桌周围（共四个座位），甲、乙两人坐在相对位置的概率是．22．（2022•富阳区一模）商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价()b b a >以及常数(01)k k 确定实际销售价格为()c a k b a =+-，这里的k 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数k 恰好使得b ac ac a b c--=--，据此可得，最佳乐观系数k 的值等于．23．（2022•临安区一模）在等腰ABC ∆中，AB AC =，40A ∠=︒，以BC 边的中点O 为圆心12BC 长为半径画圆，该圆分别交AB ，AC 边于点D ，E ，P 是圆上一动点（与点D ，E 不重合），连接PD ，PE ，则DPE ∠=．24．（2022•临安区一模）杭州市将在2022年举办亚运会，为加强学校体育工作，某学校决定购买一批篮球和足球共100个．已知篮球和足球的单价分别为120元和90元．根据需求，篮球购买的数量不少于40个．学校可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10260元，则有种购买方案．25．（2022•钱塘区二模）如图，点B 在x 轴正半轴上，点A 在第一象限，AO AB =，函数(0)ky x x=>的图象分别交AO ，AB 于点C ，D ，若3OC =，1BD =，则OA 的长为；当OD AB ⊥时，k 的值为．26．（2022•钱塘区二模）如图，在ABCD 中，点E 、F 分别为AD 、DC 的中点，BF CD ⊥，已知8BF =，5EF =，则ABCD 的周长为．27．（2022•西湖区校级一模）已知，O 的直径10CD =，弦8AB =，AB CD ⊥，垂足为M ，则DM 的长为．28．（2022•西湖区校级一模）如图，在O 中，2OA =，45C ∠=︒，则图中阴影部分的面积为．29．（2022•萧山区校级一模）如图，在ABC ∆中，1sin 4B =，1tan 2C =，4AB =，则AC 的长为．30．（2022•萧山区校级一模）已知反比例函数的表达式为12my x+=，1(A x ，1)y 和2(B x ，2)y 是反比例函数图象上两点，若120x x <<时，12y y <，则m 的取值范围是．31．（2022•萧山区一模）已知圆锥的底面半径为3，侧面积为15π，则这个圆锥的高为．32．（2022•萧山区一模）已知1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是一次函数(1)2(1)y a x a =+-≠-图象上不同的两点．（1）若12122()y y x x -=-，则a =；（2）若1212()()0x x y y --<，则a 的取值范围是．33．（2022•滨江区一模）在ABC ∆中，40B ∠=︒，34C ∠=︒，以B 为圆心，以BA 长为半径画弧，交BC 边于点D ，连接AD ，则DAC ∠=度．34．（2022•滨江区一模）有两辆车按1，2编号，洪、杨两位老师可任意选坐一辆车，则两位老师同坐2号车的概率为．35．（2022•上城区二模）已知方程230x x m -+=有两个实数根，则m 所取的值可以是．（填一个即可）36．（2022•上城区二模）已知点A 和点B 为平面直角坐标系内两点，且点A 的坐标为(1,1)，将点A 向右平移3个单位至点B ，则线段AB 上任意一点的坐标可表示为．37．（2022•余杭区一模）如图，已知//AB CD ，若25C ∠=︒，16F ∠=︒，则A ∠的度数为．38．（2022•余杭区一模）定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有a b ab a b =++⊗，例如23232311=⨯++=⊗．若y 关于x 的函数(1)(1)y kx x =+-⊗的图象与x 轴仅有一个公共点，则实数k 的值为．39．（2022•富阳区二模）如图，正方形ABCD 的边长为8，以点A 为圆心，AD 长为半径画圆弧DE 得到扇形DAE （阴影部分，点E 在对角线AC 上）．若扇形DAE 正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径是．40．（2022•富阳区二模）如图，直线y kx b =+经过点(1,3)A -，5(2B -，0)两点，则不等式组03kx b x <+<-的解集为．41．（2022•西湖区校级模拟）如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，B 为切点．若8AB =，3tan 4BAC ∠=，则BC 的长为．42．（2022•西湖区校级模拟）如图，已知(0,4)A -、(3,4)B -，C 为第四象限内一点且70AOC ∠=︒，若20CAB ∠=︒，则OCA ∠=．43．（2022•富阳区一模）如图，线段AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为H ，点M 是 CBD 上任意一点，2AH =，4CH =，则cos CMD ∠的值为．44．（2022•富阳区一模）已知二次函数22(1)20221y a x ax =+-+的图象经过1(,)m y 、2(1,)m y +、3(2,)m y +，则13y y +22y （选择“>”“<”“=”填空）．45．（2022•西湖区校级二模）如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD 是BC 边上的中线，在AD 上取一点E ，连结CE ，使得AE CE =，若20ECD ∠=︒，则B ∠=．46．（2022•西湖区校级二模）已知点1(2,)A m y +，2(2,)B m y -在反比例函数21k y x+=的图象上，且21y y <．则m的取值范围为．47．（2022•西湖区校级模拟）每天登录“学习强国”App 进行学习，在获得积分的同时，还可获得“点点通”收入奖励，李老师最近一周每日“点点通”收入明细如表：星期一二三四五六日收入15212727213021则这组数据的众数是，中位数是．48．（2022•西湖区校级模拟）如图，表示垂直于地面的两根电线杆的主视图，线段AB 和线段CD 表示两根电线杆，线段AD 和BC 表示两根拉紧的铁丝，AD 和BC 交于点P ．测量得4AB =米，点P 距地面的高度为3米，则CD 的长为米．49．（2022•下城区校级二模）某路口红绿灯的时间设置为：红灯30秒，绿灯27秒，黄灯3秒．当人或车随意经过该路口时，遇到红灯的概率是．50．（2022•下城区校级二模）如图，已知AB 是O 的直径，P 为O 外BA 延长线上一点，PC 切O 于C ．若1PA =，5PB =，则PC 的值为．51．（2022•杭州模拟）如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，O 的半径为4， AC 的长为2π，则ABC ∠的大小是．52．（2022•杭州模拟）如图所示的电路中，当随机闭合开关1S 、2S 、3S 中的两个时，能够让灯泡发光的概率为．53．（2022•江干区校级模拟）圆柱的侧面展开图是一个相邻的两边长分别为4，2π的长方形，则圆柱体的体积为．54．（2022•江干区校级模拟）如图，在O 中，弦1AB =，点C 在AB 上移动，连接OC ，过点C 作CD OC ⊥交O 于点D ，则CD 的最大值为．55．（2022•拱墅区模拟）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有cm．56．（2022•拱墅区模拟）A、B两地相距20km，甲乙两人沿同一条路线从A地到B地，甲先出发，匀速行驶，甲出发1小时后乙再出发，乙以2/km h的速度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶，结果比甲提前到达，甲、乙两人离开A地的距离()t h的关系如图所示，则乙出发小时后追上甲．s km与时间()专题09填空中档题1．（2022•杭州）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB 的高度，把标杆DE 直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是8.72BC m =， 2.18EF m =．已知B ，C ，E ，F 在同一直线上，AB BC ⊥，DE EF ⊥， 2.47DE m =，则AB =m ．【答案】9.88【详解】 同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是8.72BC m =， 2.18EF m =．//AC DF ∴，ACB DFE ∴∠=∠，AB BC ⊥ ，DE EF ⊥，90ABC DEF ∴∠=∠=︒，Rt ABC ∴∆∽△Rt DEF ∆，∴AB BC DE EF =，即8.722.47 2.18AB =，解得9.88AB =，∴旗杆的高度为9.88m ．故答案为：9.88．2．（2022•杭州）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为(0)x x >，则x =（用百分数表示）．【答案】30%【详解】新注册用户数的年平均增长率为(0)x x >，依题意得：2100(1)169x +=，解得：10.3x =，2 2.3x =-（不合题意，舍去）．0.330%=，∴新注册用户数的年平均增长率为30%．故答案为：30%．3．（2021•杭州）现有甲、乙两种糖果的单价与千克数如下表所示．甲种糖果乙种糖果单价（元/千克）3020千克数23将这2千克甲种糖果和3千克乙种糖果混合成5千克什锦糖果，若商家用加权平均数来确定什锦糖果的单价，则这5千克什锦糖果的单价为元/千克．【答案】24【详解】这5千克什锦糖果的单价为：(302203)524⨯+⨯÷=（元/千克）．故答案为：24．4．（2021•杭州）如图，在直角坐标系中，以点(3,1)A 为端点的四条射线AB ，AC ，AD ，AE 分别过点(1,1)B ，点(1,3)C ，点(4,4)D ，点(5,2)E ，则BAC∠DAE ∠（填“>”、“=”、“<”中的一个）．【答案】=【详解】连接DE ，由上图可知2AB =，2BC =，ABC ∴∆是等腰直角三角形，45BAC ∴∠=︒，又AE ==同理可得DE ==AD ==则在ADE ∆中，有222AE DE AD +=，ADE ∴∆是等腰直角三角形，45DAE ∴∠=︒，BAC DAE ∴∠=∠，故答案为：=．5．（2020•杭州）如图，已知AB 是O 的直径，BC 与O 相切于点B ，连接AC ，OC ．若1sin 3BAC ∠=，则tan BOC ∠=．【答案】22【详解】AB 是O 的直径，BC 与O 相切于点B ，AB BC ∴⊥，90ABC ∴∠=︒，1sin 3BC BAC AC ∠== ，∴设BC x =，3AC x =，AB ∴===，12OB AB ∴==，tanBC BOC OB ∴∠===，故答案为：22．6．（2020•杭州）一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球（只有编号不同），编号分别为1，2，3，5．从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是．【答案】58【详解】根据题意画图如下：共有16种等情况数，其中两次摸出的球的编号之和为偶数的有10种，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是105168=．故答案为：58．7．（2019•杭州）在直角三角形ABC 中，若2AB AC =，则cos C =．【答案】32或255【详解】若90B ∠=︒，设AB x =，则2AC x =，所以BC ==，所以cos 22BC C AC x ===；若90A ∠=︒，设AB x =，则2AC x =，所以BC ==，所以cos5AC C BC ===；综上所述，cos C 的值为32或255．故答案为2或5．8．（2019•杭州）某函数满足当自变量1x =时，函数值0y =，当自变量0x =时，函数值1y =，写出一个满足条件的函数表达式．【答案】1y x =-+（答案不唯一）【详解】设该函数的解析式为y kx b =+，函数满足当自变量1x =时，函数值0y =，当自变量0x =时，函数值1y =，∴01k b b +=⎧⎨=⎩解得：11k b =-⎧⎨=⎩，所以函数的解析式为1y x =-+，故答案为：1y x =-+（答案不唯一）．9．（2018•杭州）如图，AB 是O 的直径，点C 是半径OA 的中点，过点C 作DE AB ⊥，交O 于D ，E 两点，过点D 作直径DF ，连接AF ，则DFA ∠=．【答案】30︒【详解】 点C 是半径OA 的中点，12OC OD ∴=，DE AB ⊥ ，30CDO ∴∠=︒，60DOA ∴∠=︒，30DFA ∴∠=︒，故答案为：30︒．10．（2018•杭州）某日上午，甲，乙两车先后从A 地出发沿同一条公路匀速前往B 地，甲车8点出发，如图是其行驶路程s （千米）随行驶时间t （小时）变化的图象．乙车9点出发，若要在10点至11点之间（含10点和11点）追上甲车，则乙车的速度v （单位：千米/小时）的范围是．【答案】6080v 【详解】根据图象可得，甲车的速度为120340÷=（千米/时）．由题意，得2402340v v ⨯⎧⎨⨯⎩，解得6080v ．故答案为：6080v．11．（2022•上城区一模）如图为《北京2022年冬残奥会会徽》纪念邮票，其规格为边长14.92毫米的正八边形，则正八边形的内角和为．【答案】1080︒【详解】(82)1801080-⨯︒=︒．故答案为：1080︒．12．（2022•上城区一模）如图1一次又一次对开，按图2叠放，可以发现，这些叠放起来的矩形的右上顶点与左下顶点在同一直线上．若以图2最大矩形的左下顶点为原点，以宽和长所在直线分别为x 轴和y 轴，则这组矩形的右上顶点所在直线的函数表达式为．【答案】2y x=【详解】设标准纸的宽为12，则第一次对开后，A 的坐标为1(2，22，第二次对开后，B 的坐标为1(4，24，这些叠放起来的矩形的右上顶点与左下顶点在同一直线上，∴设这条直线的解析式为y kx b =+，把A 、B 的坐标代入得1222124k b k b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得20k b ⎧⎪⎨=⎪⎩，∴直线的函数表达式为2y x =．故答案为：2y =．13．（2022•拱墅区一模）如图是一个可以自由转动的两色转盘，其中白色扇形和红色扇形的圆心角分别为120︒和240︒．若让转盘自由转动一次，则指针落在白色区域的概率是．若让转盘自由转动两次，则指针一次落在白色区域，另一次落在红色区域的概率是．【答案】13，49【详解】由图得：白色扇形的圆心角为120︒，故若让转盘自由转动一次，则指针落在白色区域的概率是：12013603=，则转动一次，指针落在红色区域的概率是：12133-=，故若让转盘自由转动两次，则指针一次落在白色区域，另一次落在红色区域的概率是：1242339⨯⨯=．故答案为：13，49．14．（2022•拱墅区一模）如图，AB 是O 的直径，点P 是AB 延长线上的一点，PC 是O 的切线，C 为切点．若8PA =，1sin 3P =．则PC =．【答案】42【详解】连接OC ，PC 是O 的切线，OC PC ∴⊥，在Rt OCP ∆中，1sin 3OC P OP ==，则33OP OC OA ==，8PA = ，2OC ∴=，6OP =，22226242PC OP OC ∴=--=，故答案为：4215．（2022•西湖区一模）直角坐标系中的四个点：(1,2)A ，(3,2)B ，(4,3)C ，(8,1)D ，则AOB ∠COD ∠（填“>”、“=”、“<”中的一个）．【答案】=【详解】(1,2)A ，(3,2)B ，(4,3)C ，(8,1)D ，OA ∴=，OB =5OC =，OD =，2AB =，CD =，∴OA OB ABOC OD CD==，AOB COD ∴∆∆∽，AOB COD ∴∠=∠，故答案为：=．16．（2022•西湖区一模）如图，点A ，B 分别表示数3x -+，x ，则x 的取值范围为．【答案】322x <<【详解】由题意得，203x x x <⎧⎨<-+<⎩，解得322x <<．故答案为：322x <<．17．（2022•钱塘区一模）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒．若35AB AC =，则tan A =．【答案】43【详解】35AB AC = ，∴35AC AB =，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒．设3AC k =，则5AB k =，由勾股定理得，4BC k ==，4tan 3BC A AC ∴==，故答案为：43．18．（2022•钱塘区一模）已知点P 是O 外一点，PA ，PB 分别与O 相切于点A ，B ，连结OA ，OB ．若O 的半径为3，劣弧AB 的长为2π，则P ∠的度数为．【答案】60︒【详解】设劣弧AB 所对的圆心角度数为n ，根据题意可得：32180n ππ⨯=︒，120n =︒，PA ，PB 是O 的切线，90OAP OBP ∴∠=∠=︒，360909012060P ∴∠=︒-︒-︒-︒=︒．故答案为60︒．19．（2022•淳安县一模）如图，O 的半径是3，点P 是弦AB 延长线上的一点，连接OP ，若4OP =，30APO ∠=︒，则弦AB 的长为．【答案】【详解】连接OB ，过O 作OC AB ⊥于C ，则90OCP ∠=︒，4OP = ，30APO ∠=︒，122OC OP ∴==，在Rt OCB ∆中，由勾股定理得：BC ==，OC AB ⊥ ，OC 过O ，2AB BC ∴==，故答案为：．20．（2022•淳安县一模）如图，在每个小正方形边长都为1的55⨯网格中，有四个点A，B，C，D，以其中任意三点为顶点的三角形的外接圆半径长是．【答案】【详解】连接BC，CD，作BC，CD的垂直平分线，两直线相交于O，则O为BCD∆的外接圆的圆心，OB为外接圆的半径，由勾股定理得OB==．21．（2022•富阳区一模）甲、乙、丙、丁四人围坐在一张方桌周围（共四个座位），甲、乙两人坐在相对位置的概率是．【答案】1 3【详解】画树状图如图：共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人坐在相对位置的结果有4种，∴甲、乙两人坐在相对位置的概率为：41 123=，故答案为：1 3．22．（2022•富阳区一模）商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价()b b a>以及常数(01)k k确定实际销售价格为()c a k b a=+-，这里的k被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数k 恰好使得b a c ac a b c--=--，据此可得，最佳乐观系数k 的值等于．【详解】()c a k b a -=- ，()()b c b a k b a -=---，b ac ac a b c--=--，222[()]()()k b a b a k b a ∴-=---，210k k ∴+-=，解得152k -±=，01k << ，k ∴=．23．（2022•临安区一模）在等腰ABC ∆中，AB AC =，40A ∠=︒，以BC 边的中点O 为圆心12BC 长为半径画圆，该圆分别交AB ，AC 边于点D ，E ，P 是圆上一动点（与点D ，E 不重合），连接PD ，PE ，则DPE ∠=．【答案】130︒或50︒【详解】连接OD ，OE ，40A ∠=︒ ，AB AC =，1(18040)702B C ∴∠=∠=︒-︒=︒，OD OB OC OE === ，70ODB B C OEC ∴∠=∠=∠=∠=︒，40BOD COE ∴∠=∠=︒，100DOE ∴∠=︒，当点P 在优弧DBE 上时，11502DP E DOE ∠=∠=︒，当点P 在劣弧DE 上时，21180130DP E DP E ∠=︒-∠=︒，130DPE ∴∠=︒或50︒，故答案为：130︒或50︒．24．（2022•临安区一模）杭州市将在2022年举办亚运会，为加强学校体育工作，某学校决定购买一批篮球和足球共100个．已知篮球和足球的单价分别为120元和90元．根据需求，篮球购买的数量不少于40个．学校可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10260元，则有种购买方案．【答案】3【详解】设购买篮球x 个，则购买足球(100)x -个，依题意得：4012090(100)10260x x x ⎧⎨+-⎩ ，解得：4042x．又x 为正整数，x ∴可以为40，41，42，∴共有3种购买方案．故答案为：3．25．（2022•钱塘区二模）如图，点B 在x 轴正半轴上，点A 在第一象限，AO AB =，函数(0)k y x x =>的图象分别交AO ，AB 于点C ，D ，若3OC =，1BD =，则OA 的长为；当OD AB ⊥时，k 的值为．【答案】5；2710【详解】如图，过点C 作CE OB ⊥于E ，过点D 作DF OB ⊥于F ，过点A 作AG OB ⊥于点G ，设OB m =，////CE DF AG ∴，12OG BG m ==．90OEC BFD ∴∠=∠=︒，AO AB = ，AOB ABO ∴∠=∠，COE DBF ∴∆∆∽，∴3OE CE OC BF DF BD===．设(,)C a b ，OE a ∴=，CE b =，13BF a ∴=，13DF b =，1(3D m a ∴-，1)3b ， 反比例函数(0)k y x x=>的图象分别交边AO ，AB 于点C ，D ，11()33k ab m a b ∴==-⋅，解得310a m =，1312105EG m m m ∴=-=，11310BF a m ==，191010OF m m m ∴=-=．//CE AG ，:::OC OA CE AG OE OG ∴==，即313::102OA m m =，5OA ∴=．若OD AB ⊥，则90ODB ∠=︒．由射影定理可得2DF OF BF =⋅．∴22191991010100b m m m =⋅=，即910b m =，在Rt OCE ∆中，由勾股定理可得，222OE CE OC +=，22239()()31010m m ∴+=，整理得210m =．2272710010k ab m ∴===．故答案为：5；2710．26．（2022•钱塘区二模）如图，在ABCD 中，点E 、F 分别为AD 、DC 的中点，BF CD ⊥，已知8BF =，5EF =，则ABCD 的周长为．【答案】817+【详解】如图，连接AC 、过点C 作//CM BF 交AB 的延长线于点M ，四边形ABCD 为平行四边形，//AB CD ∴，AB CD =，AD BC =，∴四边形BMCF 为平行四边形，BF CD ⊥ ，90BFC ∴∠=︒，∴四边形BMCF 为矩形，90BMC ∴∠=︒，BM CF =，8CM BF ==，E 、F 分别为AD 、CD 的中点，∴12EF AC =，5EF = ，10AC ∴=，∴22221086AM AC CM =-=-=，22AB CD CF BM === ，∴243AB AM ==，2CF ∴=，∴222282217BC BF CF =+=+=，∴()(2242178417ABCD C AB BC =+=+=+平行四边形．故答案为：817+27．（2022•西湖区校级一模）已知，O 的直径10CD =，弦8AB =，AB CD ⊥，垂足为M ，则DM 的长为．【答案】8或2【详解】①连接OA ，如图所示：O 的直径10CD =，5OA ∴=，弦8AB =，AB CD ⊥，118422AM AB ∴==⨯=，在Rt AOM ∆中，由勾股定理得：3OM ===，538DM OD OM ∴=+=+=；②连接OA ，如图所示：同①得：3OM =，532DM OD OM ∴=-=-=；综上所述，DM 的长为8或2，故答案为：8或2．28．（2022•西湖区校级一模）如图，在O 中，2OA =，45C ∠=︒，则图中阴影部分的面积为．【答案】2π-【详解】45C ∠=︒ ，90AOB ∴∠=︒，AOBAOB S S S ∆∴=-阴影扇形29021223602π⨯⨯=-⨯⨯2π=-．故答案为：2π-．29．（2022•萧山区校级一模）如图，在ABC ∆中，1sin 4B =，1tan 2C =，4AB =，则AC 的长为．【答案】【详解】过点A 作AD BC ⊥，垂足为D，在Rt ABD ∆中，1sin 4B =，4AB =，1sin 414AD AB B ∴=⋅=⨯=，在Rt ADC ∆中，1tan 2C =，121tan 2AD DC C ∴===，AC ∴===，．30．（2022•萧山区校级一模）已知反比例函数的表达式为12m y x +=，1(A x ，1)y 和2(B x ，2)y 是反比例函数图象上两点，若120x x <<时，12y y <，则m 的取值范围是．【答案】12m >-【详解】 反比例函数12m y x +=的图象上两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，当120x x <<时，有12y y <，120m ∴+>，解得12m >-，故答案为：12m >-．31．（2022•萧山区一模）已知圆锥的底面半径为3，侧面积为15π，则这个圆锥的高为．【答案】4【详解】设圆锥的母线长为R ，则15232R ππ=⨯⨯÷，解得5R =，∴圆锥的高4=．32．（2022•萧山区一模）已知1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是一次函数(1)2(1)y a x a =+-≠-图象上不同的两点．（1）若12122()y y x x -=-，则a =；（2）若1212()()0x x y y --<，则a 的取值范围是．【答案】1，1a <-【1a <-详解】（1）1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是一次函数图象上不同的两点，12121212(1)2[(1)2](1)()2()y y a x a x a x x x x ∴-=+--+-=+-=-，1a ∴=，故答案为：1．（2）12121212()()(1)()()0x x y y a x x x x --=+--< ，10a ∴+<，1a ∴<-．故答案为：1a <-．33．（2022•滨江区一模）在ABC ∆中，40B ∠=︒，34C ∠=︒，以B 为圆心，以BA 长为半径画弧，交BC 边于点D ，连接AD ，则DAC ∠=度．【答案】36【详解】AB BD = ，40B ∠=︒，70ADB ∴∠=︒，34C ∠=︒ ，36DAC ADB C ∴∠=∠-∠=︒．故答案为：36．34．（2022•滨江区一模）有两辆车按1，2编号，洪、杨两位老师可任意选坐一辆车，则两位老师同坐2号车的概率为．【答案】14【详解】画树状图为：共有4种等可能的结果，其中两位老师同坐2号车的结果数为1，所以两位老师同坐2号车的概率14=．故答案为：14．35．（2022•上城区二模）已知方程230x x m -+=有两个实数根，则m 所取的值可以是．（填一个即可）【答案】2（答案不唯一）【详解】 一元二次方程230x x m -+=有两个实数根，∴△2(3)41940m m =--⨯⨯=->，解得94m <，取2m =．故答案为：2（答案不唯一）．36．（2022•上城区二模）已知点A 和点B 为平面直角坐标系内两点，且点A 的坐标为(1,1)，将点A 向右平移3个单位至点B ，则线段AB 上任意一点的坐标可表示为．【答案】1)(14)m 【详解】如图，点(P m ，1)(14)m ，故答案为：(m ，1)(14)m ．37．（2022•余杭区一模）如图，已知//AB CD ，若25C ∠=︒，16F ∠=︒，则A ∠的度数为．【答案】41︒【详解】25C ∠=︒ ，16F ∠=︒，DEF ∠是CEF ∆的外角，41DEF C F ∴∠=∠+∠=︒，//AB CD ，41A DEF ∴∠=∠=︒．故答案为：41︒．38．（2022•余杭区一模）定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有a b ab a b =++⊗，例如23232311=⨯++=⊗．若y 关于x 的函数(1)(1)y kx x =+-⊗的图象与x 轴仅有一个公共点，则实数k 的值为．【答案】0或1-【详解】根据新定义得，(1)y kx =+⊕2(1)(1)(1)(1)(1)21x kx x kx x kx x -=+-+++-=+-，即221y kx x =+-，当0k =时，函数为21y x =-，与x 轴仅有一个公共点，符合题意；当0k ≠时，函数221y kx x =+-为二次函数，其图象与x 轴仅有一个公共点，则：△440k =+=，解得1k =-，综上所述，0k =或1-，故答案为：0或1-．39．（2022•富阳区二模）如图，正方形ABCD 的边长为8，以点A 为圆心，AD 长为半径画圆弧DE 得到扇形DAE （阴影部分，点E 在对角线AC 上）．若扇形DAE 正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径是．【答案】1【详解】设圆锥的底面圆的半径为r ，根据题意可知：8AD AE ==，45DAE ∠=︒，底面圆的周长等于弧长：4582180r ππ⨯∴=，解得1r =．答：该圆锥的底面圆的半径是1．故答案为：1．40．（2022•富阳区二模）如图，直线y kx b =+经过点(1,3)A -，5(2B -，0)两点，则不等式组03kx b x <+<-的解集为．【答案】512x -<<-【详解】当1x =-时，33y x =-=，∴直线y kx b =+与直线3y x =-交于点(1,3)A -，根据图象可知，不等式组03kx b x <+<-的解集为512x -<<-，故答案为：512x -<<-．41．（2022•西湖区校级模拟）如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，B 为切点．若8AB =，3tan 4BAC ∠=，则BC 的长为．【答案】6【详解】AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，AB BC ∴⊥，90ABC ∴∠=︒，3tan 4BC BAC AB ∠== ，3864BC ∴=⨯=．故答案为：6．42．（2022•西湖区校级模拟）如图，已知(0,4)A -、(3,4)B -，C 为第四象限内一点且70AOC ∠=︒，若20CAB ∠=︒，则OCA ∠=．【答案】40︒【详解】如图，过点C 作//CD x 轴，70AOC ∠=︒ ，20COx ∴∠=︒，(0,4)A - 、(3,4)B -，//AB x ∴轴，//CD AB ∴，20DCO COX ∴∠=∠=︒，20DCA CAB ∠=∠=︒，40OCA ∴∠=︒．故答案为：40︒．43．（2022•富阳区一模）如图，线段AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为H ，点M 是 CBD上任意一点，2AH =，4CH =，则cos CMD ∠的值为．【答案】35【详解】连接OC ，线段AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，2AH =，4CH =，在Rt OCH ∆中，设OC 为x ，可得：2224(2)x x =+-，解得：5x =，523cos 55OH AOC OC -∴∠===，CMD AOC ∠=∠ ，3cos 5CMD ∴∠=，故答案为：35．44．（2022•富阳区一模）已知二次函数22(1)20221y a x ax =+-+的图象经过1(,)m y 、2(1,)m y +、3(2,)m y +，则13y y +22y （选择“>”“<”“=”填空）．【答案】>【详解】2222221322(1)20221(1)(2)2022(2)12[(1)(1)2022(1)1]y y y a m am a m m a m a m +-=+-++++-⨯++-++-⨯++整理得：221322222(1)0y y y a a +-=+=+>，故答案为：>．45．（2022•西湖区校级二模）如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD 是BC 边上的中线，在AD 上取一点E ，连结CE ，使得AE CE =，若20ECD ∠=︒，则B ∠=．【答案】55︒【详解】设ACE x ∠=，则20ACB x ∠=+︒，AE CE = ，DAC ACE x ∴∠=∠=，AB AC = ，AD 是BC 边上的中线，20B ACB x ∴∠=∠=+︒，BAD DAC x ∠=∠=，180BAC B ACB ∠+∠+∠=︒ ，22020180x x x ∴++︒++︒=︒，解得：35x =︒，2055B x ∴∠=+︒=︒，故答案为：55︒．46．（2022•西湖区校级二模）已知点1(2,)A m y +，2(2,)B m y -在反比例函数21k y x+=的图象上，且21y y <．则m 的取值范围为．【答案】22m -<<【详解】由21k y x+=可知图象位于一、三象限，y 随x 的增大而减小． 点1(2,)A m y +，2(2,)B m y -在反比例函数21k y x+=的图象上，且21y y <．∴点1(2,)A m y +、2(2,)B m y -不在同一象限，则点1(2,)A m y +在第一象限，点2(2,)B m y -在第三象限．∴2020m m +>⎧⎨-<⎩，解得22m -<<．故答案为：22m -<<．47．（2022•西湖区校级模拟）每天登录“学习强国”App 进行学习，在获得积分的同时，还可获得“点点通”收入奖励，李老师最近一周每日“点点通”收入明细如表：星期一二三四五六日收入15212727213021则这组数据的众数是，中位数是．【答案】21，21【详解】将这7个数据从小到大排列为：15，21，21，21，27，27，30，所以中位数为21，众数为21，故答案为：21，21．48．（2022•西湖区校级模拟）如图，表示垂直于地面的两根电线杆的主视图，线段AB 和线段CD 表示两根电线杆，线段AD 和BC 表示两根拉紧的铁丝，AD 和BC 交于点P ．测量得4AB =米，点P 距地面的高度为3米，则CD 的长为米．【答案】12【详解】过点P 作PM BD ⊥于M ，由题意得AB、CD也分别垂直于BD，////AB PM CD∴，//AB PM，DHPM DAB∴∆∆∽，::DP DA PM AB∴=，即:3:4DP DA=，:3:1DP AP∴=，//AB CD，CDP BAP∴∆∆∽，::DP AP CD BA∴=，即:43:1CD=，12CD∴=，CD∴的长为12米．故答案为：12．49．（2022•下城区校级二模）某路口红绿灯的时间设置为：红灯30秒，绿灯27秒，黄灯3秒．当人或车随意经过该路口时，遇到红灯的概率是．【答案】1 2【详解】遇到红灯的概率为：301 302732=++，故答案为：1 2．50．（2022•下城区校级二模）如图，已知AB是O的直径，P为O外BA延长线上一点，PC切O于C．若1PA=，5PB=，则PC的值为．【答案】5【详解】1PA=，5PB=，4AB PB PA∴=-=，2OC OA OB ∴===，123PO ∴=+=，PC 切O 于C ，90PCO ∴∠=︒，在Rt PCO ∆中，由勾股定理得：PC ==，．51．（2022•杭州模拟）如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，O 的半径为4， AC 的长为2π，则ABC ∠的大小是．【答案】45︒【详解】连接OC ，OA ，设AOC n ∠=︒，O 的半径为4，AC 的长为2π，∴42180n ππ⨯=，解得：90n =，即90AOC ∠=︒，1452ABC AOC ∴∠=∠=︒，故答案为：45︒．52．（2022•杭州模拟）如图所示的电路中，当随机闭合开关1S 、2S 、3S 中的两个时，能够让灯泡发光的概率为．【答案】23【详解】因为随机闭合开关1S ，2S ，3S 中的两个，有3种方法，其中有2种能够让灯泡发光所以P （灯泡发光）23=．故本题答案为：23．53．（2022•江干区校级模拟）圆柱的侧面展开图是一个相邻的两边长分别为4，2π的长方形，则圆柱体的体积为．【答案】4π或8【详解】①以2π为底面周长，4为高，此时圆柱体的底面半径为212ππ=，∴圆柱体的体积为2144ππ⨯⨯=，②以4为圆柱体的底面周长，2π为高，此时圆柱体的底面半径为422ππ=，∴圆柱体的体积为22()28πππ⨯⨯=，故答案为：4π或8．54．（2022•江干区校级模拟）如图，在O 中，弦1AB =，点C 在AB 上移动，连接OC ，过点C 作CD OC ⊥交O 于点D ，则CD 的最大值为．【答案】12【详解】连接OD ，如图，CD OC ⊥ ，90DCO ∴∠=︒，2222CD OD OC r OC ∴=--，当OC 的值最小时，CD 的值最大，而OC AB ⊥时，OC 最小，此时D 、B 两点重合，1111222CD CB AB ∴===⨯=，即CD 的最大值为12，故答案为：12．55．（2022•拱墅区模拟）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm 的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有cm ．【答案】5【详解】由题意可得：2212915()cm +=，则筷子露在杯子外面的筷子长度为：20155()cm -=．故答案为：5．56．（2022•拱墅区模拟）A 、B 两地相距20km ，甲乙两人沿同一条路线从A 地到B 地，甲先出发，匀速行驶，甲出发1小时后乙再出发，乙以2/km h 的速度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶，结果比甲提前到达，甲、乙两人离开A 地的距离()s km 与时间()t h 的关系如图所示，则乙出发小时后追上甲．。
中考数学 中档题突破 专项训练一 网格作图题 类型三：平移、对称在网格中的作图
1.(2022·蚌埠模拟)如图，在每个小正方形的边长为 1 个单位长度的网 格中，点 A，B，C 均是格点(网格线的交点)．
(1)在图中将△ABC 平移得到△A′B′C′，使得点 B 的对应点为点 C，作 出平移后的图形△A′B′C′； (2)用无刻度直尺在图中的线段 AB 上找一点 P，使∠ACP＝∠APC. 解：(1)如图，△A′B′C′即为所求．
(3)求出△A2B2C2 的面积．
解：(3)△A2B2C2 的面积为
1
1
1
3×4－2×1×4－2×1×3＝－2×2×3＝5.5.
(2)如图，点 P 即为所求．
2．(2022·福田区模拟)线段 AB 在平面直角坐标系中的位置如图所示， 其中每个小正方形的边长为 1 个单位长度．
(1)将线段 AB 向左平移 6 个单位长度，作出平移后的线段 A1B1； (2)再将线段 AB 绕点(2，0)顺时针旋转 180°后得到线段 A2B2； 解：(1)如图，线段 A1B1 为所求． (2)如图，线段 A2B2 为所求．
4．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1 个单位长度， △ABC 的三个顶点都在格点上．
(1)在网格中画出△ABC 向下平移 3 个单位长度得到的△A1B1C1； (2)在网格中画出△ABC 关于直线 m 对称的△A2B2C2； 解：(1)如图，△A1B1C1 即为所求．
(2)如图，△A2B2C2 即为所求．
(3)观察线段 A1B1 和线段 A2B2，它们是否关于某点成中心对称？若是，请 写出对称)．
3．如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的 12×12 网格中，给 出了以格点(网格线的交点)为端点的线段 AB.
2025年中考数学总复习第二轮中档题突破专项训练二古代数学文化题
数的回文数是11的倍数．
指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC)．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰
立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC
和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D.测得AB＝40 cm，BD＝20 cm，
AQ＝12 m，则树高PQ＝ 6
m.
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数学
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11．元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，
的问题：“今有牛五、羊二，直金十两，牛二、羊五，直金八两．问牛羊
各直金几何．”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两，牛2头，羊5头，
共值金8两，问牛、羊每头各值金多少．”若设牛每头值金x两，羊每头值
金y两，则可列方程组是( A )
5 + 2 = 10,
2 + 5 = 10,
A.ቊ
B.ቊ
2 + 5 = 8
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12．(2024·武威模拟)魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”
证明了勾股定理，其中四边形ABCD、四边形EFGD和四边形EAIH都是正
16
方形．如果图中△EMH与△DMI的面积比为 ，那么tan∠GDC的值为
9
.
S
2
4
△
解析：证明△EMH∽△DMI，可得
A．45尺 B．88尺
C．90尺 D．98尺
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7．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1～9这九个数
字填入3×3的方格内，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相
中考数学中档题突破 专项训练三 解含参数的不等式(组)(选填题)
1.关于 x 的方程 3x－2m＝1 的解为正数，则 m 的取值范围是
1
1
A．m＜－2 B．m＞－2
1 C．m＞2
1 D．m＜2
Байду номын сангаас
( B)
x－a≥1， 2．已知关于 x 的不等式组x＋5≤b 的解集是 3≤x≤4，则 a＋b 的值为
( C)
A．5 B．8 C．11 D．9
14．对非负实数 x“四舍五入”到个位的值记为(x)，即当 n 为非负整数
时，若 n－0.5≤x＜n＋0.5，则(x)＝n.如(1.34)＝1，(4.86)＝5，若(0.5x
－1)＝6，则实数 x 的取值范围是 113≤3≤x＜x＜15. 15
3．若关于 x 的不等式(m－1)x＜m－1 的解集为 x＞1，则 m 的取值范围是 ( B)
A．m＞1 B．m＜1 C．m≠1 D．m＝1
x＋2y＝4k， 4．已知2x＋y＝2k＋1的解满足 y－x＜1，则 k 的取值范围是
1 A．k＞1 B．k＜－2
C．k＞0 D．k＜1
( D)
x＋a≥0， 5．若不等式组5－3x＞x－3有解，则 a 的取值范围是 A．a≤－2 B．a≥－2
数解，则实数 a 的取值范围是
( C)
A．7＜a＜8 B．7＜a≤8
C．7≤a＜8 D．7≤a≤8
2x＋y＝3， 8．★若 m 使得关于 x，y 的二元一次方程组mx－2y＝7 有解，且使关于
x 的一元一次不等式组x－2 1－2x≤1，有且仅有 3 个整数解，那么所有满
4x＋m≤2
足条件的整数 m 的值之和是
x＋2y＝3m＋1， 12．(2020·铜仁模拟)已知关于 x，y 的二元一次方程组3x－y＝2m＋3， 且 x，y 满足 x＋y＞3，则 m 的取值范围是 mm＞＞11.
中考数学第15-16题(填空中档题2：相似、位似求长度与面积)考前预测
押中考数学第15-16题（填空中档题2：相似、位似求长度与面积）专题诠释：相似在中考里是每年必考的知识点。
在单独命题时，一般以考察线段长、周长和三角形面积为主，难度不大。
但相似可以与任何几何图形进行综合，综合性较强，难度较大。
在做题的时候，掌握题型的特征，准确计算是关键。
知识点一：根据相似求线段长2．（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，AB∥CD，AD，BC相交于点E，若AE:DE=1:2，3．（2022·四川宜宾·统考中考真题）如图，△ABC中，点E、F分别在边AB、AC上，∠1=∠2．若知识点二：相似与面积17．（2022·湖南怀化·统考中考真题）如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若18．（2021·辽宁营口·统考中考真题）如图，DE是△ABC的中位线，F为DE中点，连接AF并〖考前预测〗2．（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）如图，已知矩形ABCO与矩形ODEF是位似图形，3．（2023·四川成都·统考二模）如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O．已知4．（2023·河南洛阳·统考一模）矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点E是CD的动点，若5．（2023·北京延庆·统考一模）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC，若6．（2023·河北承德·校联考模拟预测）如图，在△ABP中，B、P两个顶点在x轴上，点A在x轴的上方，以点P为位似中心作△ABP的位似图形△CDP，其中点B、P、D在x轴上对应的数分别为−3、−1和3．（1）△ABP与△CDP的位似比为______；（2）若点A的纵坐标为a，则点C的纵坐标为______．7．（2023·山东济宁·统考一模）如图，在矩形ABCD中，AB=9，AD=12，点E在边CD上，且CE=4，点P是直线BC上的一个动点．若△APE是直角三角形，则CP的长为____________．8．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考一模）在△ABC中，∠ABC=60°，AB=9，点D是AB 边上一点，BD=BC，连接CD，将△ADC沿CD翻折得到△A1DC，其中A1C与AB边交于点E，BE=4，连接A1B，则A1B的长为______．9．（2023·山东滨州·统考一模）如图，点P是△ABC的重心，过点P作DE∥AC交BC，AB于D，E，EF∥BC交AC于点F，若AC=8，BC=11，则四边形CDEF的周长为_____．10．（2023·上海金山·统考二模）如图，已知AD、BE是△ABC的中线，AD和BE交于点G，11．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=5，E点为BC边延12．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）如图，在△ABD中，∠A=90°，若BE=mAC，CD=13．（2023·山东淄博·统考一模）如图，点P在以MN为直径的半圆上运动（点P不与点M，14．（2023·浙江杭州·统考一模）如图，在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线．若CD=AE，∠BAD=2∠BCE，AC=a，则BC=________（用含a的代数式表示）．15．（2023·河南开封·统考一模）如图，方形ABCD中，AB=8，点P为射线BC上任意一点（与点B、C不重合），连接AP，在AP的右侧作正方形APGH，连接AG，交射线CD于E，当ED长为2时，点BP的长为________.。
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中考数学中档题精选3
1．解方程：x ＋2x －2－1x ＋2＝16
x 2－4.
2．为了树立文明乡风，推进社会主义新农村建设，某村决定组建村民文体团队，现围绕“你最喜欢的文体活动项目(每人仅限一项)”，在全村范围内随机抽取部分村民进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题：
(1)这次参与调查的村民人数为________人； (2)请将条形统计图补充完整；
(3)求扇形统计图中“划龙舟”所在扇形的圆心角的度数；
(4)若在“广场舞、腰鼓、花鼓戏、划龙舟”这四个项目中任选两项组队参加端午节庆典活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“花鼓戏、划龙舟”这两个项目的概率．
3．已知△ABC 中，∠A ＝90°.
(1)请在图1中作出BC 边上的中线(保留作图痕迹，不写作法)； (2)如图2，设BC 边上的中线为AD ，求证：BC ＝2AD.
4．为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务．该工程队有A ，B 两种型号的挖掘机，已知3台A 型和5台B 型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台A 型和7台B 型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台A 型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台B 型挖掘机一小时的施工费用为180元． (1)分别求每台A 型、B 型挖掘机一小时挖土多少立方米？
(2)若不同数量的A 型和B 型挖掘机共12台同时施工4小时，至少完成1 080立方米的挖土量，且总费用不超过12 960元．问施工时有哪几种调配方案，并指出哪种调配方案的施工费用最低，最低费用是多少元？
5．如图，一次函数y 1＝ax ＋b(a≠0)的图象与反比例函数y 2＝k
x (k 为常数，k≠0)的图象交于A ，B 两点，过
点A 作AC ⊥x 轴，垂足为C ，连接OA ，已知OC ＝2，tan ∠AOC ＝3
2，B(m ，－2)．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)结合图象直接写出当y 1＞y 2时，x 的取值范围．
参考答案1．解：方程的两边同乘(x2－4)得
(x＋2)2－(x－2)＝16，
解得x1＝2，x2＝－5.
经检验，当x＝2时，x2－4＝0，
∴x＝2不是原方程的根．
当x＝－5时，x2－4＝21≠0，∴原方程的解为x＝－5. 2．解：(1)120
(2)喜欢广场舞的人数为120－24－15－30－9＝42(人)，
补全条形统计图如下：
(3)扇形统计图中“划龙舟”所在扇形的圆心角的度数为30
120×360°＝90°.
(4)画树状图如下：
∵一共有12种等可能的结果，恰好选中“花鼓戏、划龙舟”这两个项目的结果有2种，
∴恰好选中“花鼓戏、划龙舟”这两个项目的概率P＝2
12＝
1
6.
3．(1)解：如图，AD即为所求．
(2)证明：如图，延长AD到E，使ED＝AD，连接EB，EC.
∵CD ＝BD ，AD ＝ED ， ∴四边形ABEC 为平行四边形． ∵∠CAB ＝90°， ∴四边形ABEC 为矩形， ∴AE ＝BC ，∴BC ＝2AD.
4．解：(1)设每台A 型、B 型挖掘机一小时分别挖土x 立方米和y 立方米．根据题意得
⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y ＝165，4x ＋7y ＝225，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝30，y ＝15. 答：每台A 型挖掘机一小时挖土30立方米，每台B 型挖掘机一小时挖土15立方米． (2)设A 型挖掘机有m 台，总费用为W 元，则B 型挖掘机有(12－m)台．根据题意得 W ＝4×300m ＋4×180(12－m)＝480m ＋8 640.
∵⎩⎪⎨⎪⎧4×30m ＋4×15（12－m ）≥1 080，4×300m ＋4×180（12－m ）≤12 960， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧m≥6，m≤9.
又∵m≠12－m ，解得m≠6，∴7≤m≤9， ∴共有三种调配方案．
方案一：当m ＝7时，12－m ＝5，即A 型挖掘机7台，B 型挖掘机5台； 方案二：当m ＝8时，12－m ＝4，即A 型挖掘机8台，B 型挖掘机4台； 方案三：当m ＝9时，12－m ＝3，即A 型挖掘机9台，B 型挖掘机3台． ∵480>0，由一次函数的性质可知，W 随m 的减小而减小， ∴当m ＝7时，W 最小＝480×7＋8 640＝12 000(元)．
答：A 型挖掘机7台，B 型挖掘机5台的施工费用最低，最低费用为12 000元． 5．解：(1)∵OC ＝2，tan ∠AOC ＝3
2，∴AC ＝3，∴A(2，3)．
把A(2，3)代入y 2＝k
x 可得k ＝6，
∴反比例函数的解析式为y ＝6
x
.
把B(m ，－2)代入反比例函数得m ＝－3，
∴B(－3，－2)．
把A(2，3)，B(－3，－2)代入一次函数y 1＝ax ＋b 得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2a ＋b ，－2＝－3a ＋b ，解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝1，
b ＝1，
∴一次函数的解析式为y ＝x ＋1.
(2)由图可得当y 1＞y 2时，x 的取值范围为－3＜x ＜0或x ＞2.。