计算均匀带电圆环的电势与电场
计算均匀带电圆环的电势与电场
邱荒逸
江阴职业技术学院基础部（江苏江阴214431）
摘要：尝试一种计算均匀带电圆环电势与电场的方法。
关键词：带电圆环 电势 电场 计算
Calculating the Electric Potential and Electric Field Strength of
Homogeneous Circular Band with Electricity
Qiu Huangyi
（Jiangyin Polytechnic College, Jiangyin Jiangsu 214431, China ）
Abstract: tries a method to calculate the electric potential and electric field strength of homogeneous circular band with electricity.
Key words: circular band with electricity; electric potential; electric field strength; calculation
1. 引言
求均匀带电圆环在空间的电势与电场
[1-3，5]方法有很多，本文与文献[4]相对应，尝试两种
不同的近似方法，确定如图1所示，均匀带电
q 、半径a 的圆环，在远处P 点的电势、电场。
2．均匀带电圆环的电势
考虑到电荷分布的对称性，采用图示柱坐标系，在均匀带电圆环的远处，即a r >>的各
点，电势可写成[5]
+++=),(),(),(),()2()1()0(φϕφϕφϕφϕr r r r （1-1）
)0(ϕ、)1(ϕ、)2(ϕ，分别对应零、一、二级近似。
其中r
q r 0)0(4),(πεφϕ=
，),()1(φϕr 为电偶极
矩在远处的电势，而此圆环的电偶极矩本身为零，故0),()1(=φϕr ，
图1均匀带电圆环、场点P 及坐标系 y
5
)2(81),(r
x Q
x r ij
j
ij
i ∑=
πεφϕ （1-2）
ij Q 为电四极矩，其分量为⎰'-''=q
ij j i ij dq r x x Q )3(2δ，由图1，圆环在xoy 平面内，则可知
03
='='z x ，即电四极矩的各分量为： 032233113====Q Q Q Q ⎰⎰
=''=
=π
θθθ202112sin cos 33ad a a dq y x Q Q q
0=
q a q a ad a dq a x Q q 2
2202222112
1cos 3)3(=
-=-'=⎰⎰π
θθ
q a q a ad a dq a y Q q 22
202222222
1sin 3)3(=-=-'=⎰⎰πθθ ⎰
-='-=q
q a dq r Q 2
233
故电四矩张量⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=200010001212q a Q 将此式代入（2）式，二级近似的电势为
)(81),(2332222115
0)2(z Q y Q x Q r
r ++=
πεφϕ
)2(162225
02z y x r q
a -+=πε )cos 31(162
3
02φπε-=r
q a 则近似到二级的均匀带电圆环的电势分布为
),(),(),(),()2()1()0(φϕφϕφϕφϕr r r r ++=
)cos 31(16423
020φπεπε-+=r
q
a r q
（1-3） 3．均匀带电圆环的电场
据图2，考虑到电荷分布的对称性而导致电场具有的轴对称性，柱坐标取图示形式，并将电
场写成：
z z r r z r E z r E e e E ),(),(+= （2-1）
为运用高斯定理与环路定理，过空间任意场点P
作簿平（高为z δ）的柱形闭合高斯面S ，在闭合
柱面内的一侧，取矩形z r δ⨯的边界，为闭合回
路L ，如图所示。
则此时高斯面的场量为：
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧∂∂+∂∂+r z r r z z r z E E z z E E z z E E E E ,,,侧面
上面下面δδ 由高斯定理⎰
∑
=⋅q d 01εS E ，对高斯面S ⎰
⎰
⎰⎰
⋅+⋅+⋅=⋅侧
上
下
S E S E S E S E d d d d
022)(20
=+∂∂+
+-=⎰⎰
z r E rdr z z
E E rdr E r r
z
z r
z δππδπ 得：
rdr z
E r E r z
r ⎰∂∂-=01 （2-2）
由静电场的环路定理⎰
=⋅0l E d ，对回路L
⎰⎰⎰⎰⎰⋅+⋅+⋅+⋅=⋅中
下
左
上
l E l E l E l E l E d d d d d
0),0()(00=+--∂∂+=⎰⎰z z E dr E z E dr z z E E r z r z r
r
r δδδ 得：
dr z
E z E E r
r
z z ⎰
∂∂+=0
),0( （2-3） （2-2）（2-3）式告诉我们：它们是一组递推公式，若已知某一初值（如圆环轴线上的电场
0),0(,)
(41),0(3
22
=+=
z E z a qz z E r z πε）
，就能循序渐进地求出全部，进而确定电场。
现将
图2均匀带电圆环、场点P 及坐标系
)
),0(),,0(z E z E r z 代入，计算如下：
z
z r E r
rdr z z E r E '-=∂∂-
=⎰2
),0(11 （2-4-1） z
z r
r z z E r z E dr z E z E E ''⋅-=∂∂+=⎰
2
21),0(),0(2
1
（2-4-2） 然后，再以（2-4-1）（2-4-2）为初值，直到满足近似要求为止。
限于篇幅，本文算到3级，并总
结通项：
⎪⎩
⎪⎨⎧
⋅+-=+-=)
4(4)2(22)3(3)1(2)2(2121)2(21)2(212z
z z z z z r E r E r E E E r E r E （2-5） ⎪⎩
⎪⎨⎧
-⋅+-=⋅-+-=)
6(64)4(4)2(23)5(5)3(3)1(3)2()31()2(2121)2()2(!31!21)2(212z
z z z z z z z r E r E r E r E E E r E r E r E （2-6） ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
-+=--=-=--=∑∑)
2(2221)12(121
)2()1()1()2()!1(!1)1(n z n n n n z z n n z n n n r n E r n E E E r n n E （2-7） 至此，代入（2-1）式即可。
对（1-3）中变量作cos z r φ=替换，并求导数，确定场强(,)e z =E E ，不难（但较繁）证明它与（2-6）是相等到价的，只因近似方式相异而不完全相同。
4 参考文献
[1]张三慧 大学物理学第二版第三册[M ] 北京 清华大学出版社 1999，70,248 [2]曹昌祺 电动力学[M ] 北京人民教育出版社1978，114-116 [3]胡新盘 大学物理题典[M ] 上海 交通大学出版社 2001，374
[4]邱荒逸 用互易法求磁偶极子的磁场[J ]江南大学学报 2000 15（4）：110-112 [5]阚仲元 电动力学教程[M ] 北京 人民教育出版社 1979，42；35。
均匀带电的球体内部电势
均匀带电的球体在球体内任一点产生的电势可以按照以下方式进行计算：
首先，球体由均匀带电的球壳和内部的带电球体组成。
假设球体的半径为R，单位为米，电荷密度为ρ，单位为库/平方米。
内部的带电球体的电荷总量为Q，单位为库仑。
内部的带电球体在球体内任一点的电场强度的大小可以通过高斯定律得到：E·(4πr2/ε0)=Q/S。
其中r是点到球心的距离，S是球体的截面积（在这个问题中可以视为一个面），ε0是空气的介电常数（ε0≈8.85×10^-12F/m）。
根据这个公式，电场强度可以用来计算电势：E=k0.5r2/r3。
因此，V=E·r。
将这个公式代入，我们就可以得到内部任一点的电势V：V=kρRR2/ε0R3=kρR3/ε0。
其中k是一个常数，约为8.987×10^9N·m2/C2（即真空中的静电力常数）。
由于均匀带电的球体内部是一个等位面，所以这个电势在整个球体内是相等的。
因此，这个电势的值与球体的半径R无关。
因此，均匀带电的球体内部的电势只取决于电荷量和半径两个因素。
这个值的大小可以用公式V=kρR3/ε0来计算。
在实际应用中，可以根据这个公式来求出不同半径和电荷量的球体内部的电势值。
以上是对均匀带电的球体内部电势的理论分析，如果需要更具体的应用场景分析或者实验数据支持，可能需要查阅相关的专业文献或者咨询相关的专业人士。
静电场的环路定理
例3、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知 ，q 、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知R 微元法) 微元法 解: 方法一 叠加法 (微元法
dq = σdS = σ 2πR2 sinθdθ π 任一圆环 dS = 2 RsinθRdθ
dq 1 σ 2πR sinθdθ du = = 4πε0l 4πε0 l
B A
1 1 dr = ( − ) 2 4πε0r 4πε0 RA RB RA
q
q
2.如图已知 、-q、R 如图已知+q 如图已知 、 移至c ①求单位正电荷沿odc 移至 ，电场力所作的功 求单位正电荷沿
d q −q A = uo − uc = 0−( ) + oc 4πε0 3R 4πε0R a b c q 0 +q −q = 6 0R πε R R R
方法二
定义法
∞ P
q 4 0r2 πε
由高斯定理求出场强分布 E =
r>R r<R
r r 由定义 u = ∫ E • dl
r<R R r r ∞r r u = ∫ E • dl + ∫ E • dl
r R
0
r>R
R
dθ
O∞θຫໍສະໝຸດ lP= 0+ ∫
∞
q
4 0r πε R q = 4 0R πε
dr 2
u= ∫
r r uP = ∫ E • dl
P
∞
♠由点电荷电势公式，利用电势叠加原理计算 由点电荷电势公式，
求电偶极子电场中任一点P的电势 例1 、求电偶极子电场中任一点 的电势
Y
由叠加原理
q(r2 − r1) uP = u1 + u2 = − = 4πε0r1 4πε0r2 4πε0r1r2 q q
均匀带电圆环中心电势
均匀带电圆环中心电势
空间中带电圆环有两个特殊的性质，即中心电势和电位能。
所谓
中心电势又称电势中心，是指当一个点在电势场的中心处时，其电势
的大小。
这里的电势表示的是电场的强弱，可以理解为电子的内在力。
另一方面，电位能是指电子离中心向外移动时所需要的能量，是一种
势能。
对电势来说，一个均匀的带电圆环的中心电势为零，可以理解为
在电场的中心，势能很小，电子可以不受引力，在中心处稳定。
原因
是指在电场中，集中在圆环上的电荷被平均分布到电场当中，从而该
点处的电场能量相对较弱。
由此可见，均匀带电圆环的中心电势为零，因为电子在中心处可
以稳定，由于电荷分布比较均匀，中心电势也就为零了。
然而在这样
的圆环上，圆环外围和圆环内围是有很大不同的，圆环外围的电荷分
布比较集中，因此外围的电势也是会大的，而圆环内围的电荷比较分散，所以内围的电势也是小的。
总之，在一个均匀带电圆环中，中心处的电势是零，其电位能也
是零的，引力也很小，因此可以稳定的存在，圆环外围的电势大于内围，电位能也大于内围。
这也是电势场的一个特殊现象，也是为什么
有时候在电极邻近处会有电流及其他电磁现象的原因所在！。
均匀带电圆环和圆盘圆心处的场强与电势的讨论
122科技资讯 SC I EN C E & TE C HN O LO G Y I NF O R MA T IO N动力与电气工程电磁学的基本内容之一就是对于均匀带电体的场强和电势的计算,电磁学的相关书中均有详细的介绍[1～4]。
然而对于均匀带电体中某些特殊点的场强与电势的问题却没有详细地讨论,而关于这些特殊点的场强与电势的理解又是非常重要的。
本文通过均匀带电体的电势与场强的求解过程来讨论这些特殊点的场强与电势。
1 均匀带电体的场强与电势将均匀带电体分割成无数多个电荷元dq,每一个电荷元dq可以看作一点电荷,点电荷在空间某点P产生的场强dE和电势dU 分别为:0204dq dE r r和04dq dU r 。
其中0r为电荷元dq到P点的矢径 r方向的单位矢量。
根据场强叠加原理和电势叠加原理,整个带电体在P点产生的总场强和总电势分别为:0204VVdqE dE r r和04V dq U dU r 。
若电荷连续分布在一体积内,用ρ表示电荷体密度,则式中dq dV ;若电荷连续分布在一曲面或平面上,用σ表示电荷面密度,则dq ds ;若电荷连续分布在一曲线或直线上,用λ表示电荷线密度,则dq dl 。
相应地计算总场强E和总电势 U 的积分分别为体积分、面积分和线积分。
2 均匀带电圆环和圆盘轴线上的场强真空中一均匀带电圆环,环半径为R,带电量q,圆环轴线上任一点P的场强。
首先取环的轴线为坐标x轴,轴上P点与环心的距离为x 。
在圆环上取线元d l ,它与P 点的距离为r ,如图1所示,则:2qdq dl dl R。
dq 在P点产生的场强dE 的方向如图,大小为204dl dE r 。
dE 与x轴平行的分量://20cos 4dl dE r 。
dE 与x轴垂直的分量:20sin 4dldE r 。
根据对称性可知,带电圆环上在同一直径两端取相等的电荷元在P点产生的场强垂直于x轴方向的分量相互抵消,所以P点的总场强方向沿x轴正向,即:23/22230220000cos 4444R L L L dl dl x x qxE dE dl r r r r R x 当0q 时,E沿x轴离开原点O的方向;当0q 时,E沿x轴指向原点O的方向。
圆环圆点处电场公式
圆环圆点处电场公式圆环圆点处的电场公式可以通过叠加原理来推导。
假设我们有一个半径为R的均匀带电圆环，其上电荷密度为λ（单位长度的电荷量）。
我们想要找出圆环中心（即圆点）处的电场强度。
由于圆环是均匀的，我们可以将圆环分割成许多小段，每段都可以看作是一个点电荷。
然后，我们可以计算每段在圆点处产生的电场，并将它们叠加起来以得到总电场。
对于圆环上的任意一点，其到圆点的距离是R（因为是从圆点到圆环上的点的距离）。
假设我们考虑一小段圆环，其弧长为Δl，那么这段圆环上的电荷量就是λΔl。
点电荷在距离r处产生的电场强度E可以用以下公式表示：E = (k * q) / r^2其中，k是库仑常数，q是点电荷的电荷量，r是点到电荷的距离。
因此，对于圆环上的这一小段Δl，它在圆点处产生的电场强度是：E_Δl = (k * λΔl) / R^2由于电场是矢量，我们需要考虑方向。
对于圆环上的每一点，其在圆点处产生的电场方向都是沿着从圆点到该点的连线，并且方向是向外的（如果电荷是正的话）。
由于圆环是对称的，这些电场分量在水平方向上会相互抵消，只剩下垂直方向上的分量。
因此，我们只需要考虑垂直方向上的电场分量。
为了得到总电场，我们需要将圆环上所有小段产生的电场叠加起来。
由于圆环是对称的，我们可以只考虑四分之一圆环（例如上半部分的右半边），然后将其结果乘以4。
这样，总电场强度就是：E_total = 4 * ∫(k * λ* sin(θ) / R^2) dθ其中，θ是从正x轴到考虑的点与圆心的连线的角度，积分范围是从0到π/2。
进行积分后，我们得到：E_total = (2 * k * λ) / R这就是圆环中心处的电场强度的公式。
注意，这个公式假设了圆环是均匀的，并且只考虑了电场在垂直方向上的分量。
如果圆环不是均匀的，或者我们想要考虑其他位置的电场，那么计算会变得更加复杂。
用Desmos直观展示均匀带电圆环中轴线上电场与电势分布规律
V〇1.49 No.7Jul.2020A糾f教•学参考教育7技术用Desmos直观展示均匀带电圆环中轴线上欧阳荣华，欧阳子琪2(1.荆门市龙泉中学湖北荆门448000;2.武汉大学测绘学院2017级湖北武汉430000)文章编号：l〇〇2-218X(2020)07-0047-04中图分类号：G632.0文献标识码：B摘要：对在高中物理教学中碰到均匀带电圆环（非点电荷）中轴线上的电场与电势分布的问题展开研究，通过典型问题解析，合理猜想，初步检验及利用D e s m o s工具严密验证的思路，得到均 匀带电圆环中轴线上的电场与电势分布规律。
关键词：D e s m o s软件；均匀带电绝缘圆环；电场强度分布；电势分布均勻带电绝缘圆环中轴线上的场强与电势分别有什么规律？两个共轴放置的绝缘均匀带电圆环中心轴线上的场强与电势又分别有什么规律？这是教师在教学过程中会碰到的教学难点。
由于此阶段学生的数学知识不够完备，函数处理工具不够充分，严重制约了师生对这一类问题开展深人研究，也谈不上对此类问题的深人理解，大大弱化学生对问题研究的兴趣。
D e s m o s是一款实用的手机应用软件，它具有便捷的计算器服务功能，能绘制已知函数的图像及对其求解。
本文从高中教学中碰到的此类问题出发，经过合理猜想，初步图像验证，最后通过D e s m o s对场强与电势叠加后的图景及合场强为零的解的个数的直观显示，完美解决这一难题，激发师生对此类物理问题的研究兴趣。
—、问题举例1.单个带电圆环中轴线上的场强大小求解问题例1如图1所示，一半径为尺的圆环上，均匀地带有电荷量为Q的电荷，在垂直于圆环平面的对称轴上有一点P，它与环心〇的距离C>P =L。
设静电力常量为々，关于P点的场强£：，下列四个表达式中只有一个是正确的，请你根据所学的物理知识，通过一定的分析，判断正确的表达式是A.kQR2+L2B.kQLR2+L2kQR d kQLV(R Z+L2y■V(R Z+L zy处理方法将环等分为《个小段，当》相当大时，每一小段都可以看成点电荷，其所带电荷量为q=Q/n①由点电荷场强公式可求得每一点电荷在P处的场强为Ep=k^=k n(R^+L2l②由对称性可知，各小段带电环在P处的场强垂直于轴向的分量£v相互抵消，而轴向分量&之和即为带电环在P处的场强£：，故E=nE，n. ,7〇7+^.c o s5=kz7+F)③而 r=y U T W④由①②③④式得选项正确。
均匀带电球体内的电势
均匀带电球体内的电势
从数学角度来看，对于一个半径为R的均匀带电球体，其内部
点的电势可以通过库仑定律和电势能的定义来计算。
根据库仑定律，球体内某一点的电势可以表示为V=kQ/r，其中V是电势，k是电场
常数，Q是球体上的电荷量，r是球心到该点的距离。
对于均匀带电
球体，可以将球体上的总电荷Q表示为电荷密度乘以球体的体积，
即Q=ρV，其中ρ是电荷密度，V是球体的体积。
将Q代入电势公
式中可以得到球体内任意点的电势公式为V=kρr^2/3，这表明球体
内的电势与距离球心的距离成二次关系。
从物理角度来看，均匀带电球体内的电势还可以通过电场的概
念来理解。
在球体内部，由于电荷分布均匀，电场也是均匀的。
而
电势则可以看作是单位正电荷在电场中的电势能，因此在均匀带电
球体内，无论在球心还是球体表面，单位正电荷所具有的电势能是
相同的，因此球体内的电势是均匀的。
总之，均匀带电球体内的电势是一个重要的物理概念，通过数
学计算和物理解释可以得知，在均匀带电球体内，电势是均匀分布的，这对于理解电荷分布和电势能具有重要的意义。
物理习题
例1: 求电偶极子延长线和中垂线上的电场。
电偶极子：-q and q with a distance of l 解：（1）延长线P1(x,0) 的电场强度：（2）中垂线P2(0,) 的电场强度：例2：求均匀带电圆环（电荷线密度为l）轴线上任一点的场强。
解：圆环上微元带的电荷由点电荷场强公式：由于对称性可知例3：长为l的细棒带有电荷q. 求沿棒长方向距棒中心xP 远处P点的电场强度. 解: (1) 如图所示, dq对整个电场的贡献为（沿x轴方向，q>0,正向）（2）因此，电场为总之，电场表示为:例4:半径为R的半圆环均匀带有电量q，求圆心处的电场强度。
解：（1）如图所示，建立坐标系；（2）dq产生的电场x 轴分量为：（3）积分，有：例5:求半径为R ，面电荷密度为s的均匀带电圆盘轴线上任一点的场强.解：（1）将圆盘分成许多圆环；（2）半径为r宽度为dr的圆环对总场强的贡献为：（3）积分，有：例6：均匀带电球体内外的电场（设半径R，电荷体密度r，带电量Q）。
解（1）对称性分析，球内一点P1，以oP1为半径的球内电荷在P1点的电场沿oP1向外，oP1球外在P1点电场互相抵消。
场强沿半径向外.（2）高斯面：过P1以oP1为半径的球。
（3）根据高斯定理，等式在球内：在球外：讨论：均匀带电球壳的场强1) 球壳内E=0，可由对称性分析得来.2）球面上，例7无限大均匀带电平面产生的场强。
解(1)由对称性分析知：E 的方向垂直板面向外；距板同远处E大小相同。
(2)取如图圆柱体为高斯面.(3)由例8：求无限长均匀带电圆柱的电场分布解：柱面内一点(1). 对称性分析：圆柱内任一点的场强沿径向。
距中心同远处场强相同(2). 高斯面：选过P点半径为oP，高为h的同轴圆柱面(3). 计算，设电荷体密度为r(4)柱面外一点，根据高斯定理讨论：（1）设柱体（柱面）单位长带的电荷为l，即：（2）同样可求出线电荷密度为l的无限长直线外一点的场强：例9: 点电荷Q 的电场中距Q 为r 远处的电势例10：求均匀带电圆环轴线上一点的电势（电量q，半径R）解：叠加法（1）在圆环上取弧长为 d l 的电荷元（视为点电荷）其带电量为其中电荷线密度为(2)根据点电荷的电势公式，d q 在P点产生的电势为(3)将圆环上所有电荷元对P点电势的贡献叠加起来（积分），即得到P点的电势例 11: 半径Ｒ的球表面均匀分布着电荷Q。
均匀带电细圆环的电势和电场强度的空间分布
均匀带电细圆环的电势和电场强度的空间分布
于慧;张素花;安海龙;韩英荣;柳辉;张玉红
【期刊名称】《河北工业大学学报：社会科学版》
【年(卷),期】2007(000)004
【摘要】均匀带电细圆环是电磁学理论及应用中的基本模型,研究其产生的电场在空间的分布具有重要意义。
本文由电势的叠加原理,首先推导出均匀带电细圆环在空间任一点的电势表达式,并用数学软件Mathematic绘出了其电势在空间的分布-等势线的分布;然后由电场强度和电势的关系,得到了空间任一点的电场强度表达式,并进行了数值模拟。
【总页数】6页(P30-35)
【作者】于慧;张素花;安海龙;韩英荣;柳辉;张玉红
【作者单位】河北工业大学理学院;河北工业大学理学院;天津300130;天津300130
【正文语种】中文
【中图分类】O441
【相关文献】
1.均匀带电细圆环电势的空间分布 [J], 马堃;褚园
2.均匀带电细圆环的电势和电场强度的空间分布 [J], 于慧;张素花;安海龙;韩英荣;柳辉;张玉红
3.带电细椭圆环在中心轴线上的电势及电场强度 [J], 林志;许瑞珍
4.均匀带电细圆环电势和电场的计算 [J], 杨天虎;李玉宏
5.均匀带电圆环平面内电场强度和电势的径向分布曲线 [J], 贾惠凯;李行一
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静电场之均匀带电圆环,圆盘和圆圈在轴线上的电场
2021/5/9
3
圆环电荷在中心 处的场强为零。 场强随距离先增加再减 小，当距离z = ±0.7a 时，场强最大。
当距离比较大时，其场 强与点电荷的场强接近。
2021/5/9
4
{范例9.5} 均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场
当圆圈变成圆盘时， 电荷产生的电势最大， 形成“尖”形，导数 不但不为零，并且左 右导数不相等。
当距离比较大时，所有电荷的电 势都与点电荷产生的电势相近。
2021/5/9
14
均匀带电圆环 到均匀带电圆 盘的电场强度 的演变过程。
圆环电荷和圆圈电荷在中心 点产生的场强为零，不论圆 圈宽度如何，场强都有极值。
] 0 zzM
可得 zM a/ 2.
极值为 EM293kaQ 2 0.3849kaQ 2
Q
如果z >> a，电势 和场强分别为
U kQ , |z|
E
kQz | z |3
|
z z
|
kQ z2
z E Pr
Oa
这是点电荷的电势和场强公式，其中z/| z|表示符号。
2021/5/9
2
圆环电荷在中心 产生的电势最大， 当距离比较远时， 其电势接近点电 荷的电势。
EM2kQ ab(1/b2 a/3 2 1 b/2a2/3)3/2
①当b→0时，圆圈演变 成圆盘，轴上的电势为
U2ak2Q( z2a2|z|)
轴上 E 2 k Q z(1 1 )z2 k Q ( 1 |z| )
场强
a 2 |z| z 2 a 2 |z|a 2
z 2 a 2