最大值和最小值定理最大值和最小值
什么是最大值和最小值定理问答
什么是最大值和最小值定理问答问题1：什么是最大值和最小值定理？最大值和最小值定理是微积分中的一个重要定理，它指出在闭区间上连续的函数中，函数一定会在这个闭区间的某个点取得最大值和最小值。
问题2：最大值和最小值定理的形式化表述是什么？最大值和最小值定理可以形式化地表述为：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，那么f(x)在闭区间[a,b]内至少存在一点c，使得$f(c) \\geq f(x)$对所有$x \\in [a, b]$都成立，f(c)是f(x)在[a,b]上的最大值。
同理，存在一点d，使得$f(d) \\leqf(x)$对所有$x \\in [a, b]$都成立，f(d)是f(x)在[a,b]上的最小值。
问题3：最大值和最小值定理的重要性在哪里？最大值和最小值定理为我们对函数的极值进行研究提供了基础。
在微积分和数学分析中，求解函数最大值和最小值是一个重要的问题，通过最大值和最小值定理，我们可以知道函数在什么地方取得最大值或最小值，这对于优化问题和最优化算法有着重要的应用。
问题4：如何利用最大值和最小值定理求解函数的最值？为了利用最大值和最小值定理求解函数的最值，可以按照以下步骤进行：1.首先，确定函数f(x)在闭区间[a,b]上是连续的；2.然后，计算函数f(x)在闭区间端点a和b处的取值，将这些端点和可能的极值点列在一个表格中；3.然后，求出在上一步中列出的各个点处的函数值，通过比较这些函数值，找出最大值和最小值所对应的点即可。
通过以上步骤，就可以利用最大值和最小值定理求解函数在闭区间上的最大值和最小值。
问题5：最大值和最小值定理和导数有什么联系？最大值和最小值定理和导数之间有着密切的联系。
导数可以帮助我们确定函数的增减性，而函数的最值通常对应着函数的极值点。
因此，通过导数的信息，我们可以在潜在的极值点附近进行搜索，进一步求解函数的最值。
最大值和最小值定理在一定程度上可以视为导数定理的延伸，它提供了在闭区间上连续函数中寻找最值的保证。
最大值和最小值定理
函数f ( x)在[a, b]上有界.
3
例1 设 f (x) 在(-∞, +∞)上连续，且 lim f ( x存) 在,
x
证明 f (x) 在(-∞, +∞)上有界. 证： lim f ( x) A
x
∴取 0 1, X 0, 当|x|>X时, | f (x)-A|<1 又||f (x)|-|A||<| f (x)-A|<1, 即: | f (x)|<|A|+1
在(0,)上, ymax ymin 1.
1
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值.
若 f ( x) C[a,b],
y
则 , [a, b],
y f (x)
使得x [a,Βιβλιοθήκη ],有 f () f ( x),
f () f ( x).
oa
b x
注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立;
f ( x)在a,b上连续，则在 c,d 上连续。
又f (d ) pf (c) qf (d ) f (c), pq
由介值定理, （c,d )使f () pf (c) qf (d ) . pq
11
例5 若 f ( x)在[a, b]上连续，a x1 x2 xn b，
则在[ x1, xn ]上必有，使f ( )
证：设f ( x) x a sinx b, f ( x)在0，a b上连续，
f (a b) a b a sin( a b) b a 1 sin( a b) 0,
f (0) b 0, 若f (a b) 0,取 a b.
否则至少 （0,a b)使f ( ) 0.
定理 2(零点定理) 设函数f ( x) 在闭区间 a, b
闭区间上连续函数的性质(详细版)
而 F (a )=f(a )a 0 , F (b )=f(b )b 0 , 由零点定理,
x(a,b), 使F (x)= f(x) x= 0 ,
即f(x)=x.
h
17
三、一致连续性
定义：设函数f(x)在区间I上有定义，如果对于任意给定 的正数ε，总存在着正数δ，使得对于区间I上的任意两 点x1,x2，当|x1-x2|< δ时，就有|f(x1)-f(x2)|< ε，那么称函 数f(x)在区间I上是一致连续的。
4. 当 f (a) f (b) 0 时, 必存在 x (a , b), 使 f (x ) = 0.
h
22
• P74：2，3
作业
h
23
h
19
思考题解答
不正确.
例函数
e1, f(x)=
2,
0x1 x=0
f(x)在 (0,1)内 连 续 , f(0 )( 1 )= 2 e 0 .
但 f( x ) 在 ( 0 ,1 ) 内 无 零 点 .
h
20
五、小结
关于闭区间上连续函数整体性质的四个定理： 有界性定理、最值定理、零点定理、介值定理，
h
6
❖定理1(最大值和最小值定理)
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大 值和最小值
应注意的问题:
如果函数仅在开区间内连续 或函数在闭区间上有间断 点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值
例如 函数f(x)=x在开区间(a b) 内既无最大值又无最小值
h
7
❖定理1(最大值和最小值定理)
•推论
最值定理及应用举
最值定理及应用举最值定理是高等数学中的重要概念，它有两种形式：最大最小值存在定理和最值原理。
最值定理是研究函数在闭区间上的最值性质的定理，对于函数的最大值和最小值的存在性具有重要的指导作用。
在实际问题中，我们经常需要确定函数在一定范围内的最大值和最小值，最值定理能够帮助我们简化问题的求解过程。
首先，我们来介绍最大最小值存在定理。
对于一个定义在闭区间[a, b]上的连续函数f(x)，最值存在定理告诉我们，f(x)在[a, b]上必定有最大值和最小值，并且这两个最值必定是在[a, b]的端点处或者在[a, b]的内部点处取到的。
证明最大最小值存在定理的方法通常使用反证法。
假设在[a, b]上不存在最大值，即对于任意的x∈[a, b]，都有f(x)<M，其中M是一个实数。
由于f(x)是连续函数，根据介值定理，我们可以得到存在一个点x0∈[a, b]，使得f(x0)=M，这与假设矛盾。
所以假设不成立，即[a, b]上必定存在最大值。
同理，可证明最小值也存在。
接下来，我们来介绍最值原理。
对于一个定义在开区间(a, b)上的函数f(x)，如果f(x)在(a, b)上取得了最大值或者最小值，那么这个最值只能是在(a, b)的端点处取到的。
最值原理的证明同样可以使用反证法。
假设f(x)在(a, b)的内部点处取得最大值或者最小值，即存在c∈(a, b)，使得f(c)是f(x)在(a, b)上的最大值或最小值。
由于f(x)在(a, b)上连续，根据介值定理，我们可以找到一个(a, b)内的点d，使得f(d)在f(c)的右侧或左侧，与f(c)是最大值或最小值的假设矛盾。
因此，我们可以得出结论，最值只能出现在(a, b)的端点处。
最值定理在实际问题中有着广泛的应用。
一个常见的应用是在优化问题中，我们需要找到一个函数在一定范围内的最大值或最小值。
最值定理告诉我们，只需要在闭区间的端点和内部点处计算函数值，然后从这些值中找出最大值或最小值即可。
最大最小值定理
最大最小值定理最大最小值定理是微积分中的一个基本定理，它通常被用来寻找函数在给定区间上的最大值和最小值。
这一定理在数学分析、优化问题和工程学中有着广泛的应用，可以帮助我们理解和解决许多实际问题。
定理描述最大最小值定理是一个基本的连续函数定理，它可以表述为：如果一个实数值函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，那么在这个区间内必定存在某个点c，使得f(c)是函数f(x)在整个区间[a,b]上的最大值或最小值。
即最大最小值定理断言了连续函数在闭区间上必定达到最大和最小值。
证明思路要证明最大最小值定理，我们可以利用连续函数的性质和闭区间的紧致性。
由于函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，根据连续函数的性质，它在[a,b]上一定是有界的。
设M为f(x)在[a,b]上的上确界，m为f(x)在[a,b]上的下确界。
由于[a,b]是一个紧致区间，M和m必定是f(x)在[a,b]上的最大值和最小值。
应用举例最大最小值定理在实际问题中有着广泛的应用。
例如，一辆汽车行驶在一段山路上，我们想要知道在这段山路的某一点上汽车所处的高度。
我们可以将汽车的高度函数建模为连续函数f(x)，其中x表示汽车在山路上的位置。
通过最大最小值定理，我们可以找到汽车在山路上的最高和最低点，从而帮助我们更好地了解汽车在这段山路的行驶状况。
总结最大最小值定理是微积分中一个非常重要的定理，它为我们寻找函数在闭区间上的最大值和最小值提供了重要的理论支持。
通过应用这一定理，我们可以更好地理解函数的行为，并解决许多实际问题。
在数学分析、优化问题和工程学等领域中，最大最小值定理都起着重要的作用，有着广泛的应用前景。
第08讲 闭区间上连续函数的性质
a
,则对于 x1 , x2 (,) ,
总有 f ( x1 ) f ( x 2 ) ， 故 f ( x) ax b在(,) 上一致连续．
1 例4 f ( x) 在(0,1]上连续 , 却不一致连续 x 1 证明 因为 f x 在 (0,1] 上为初等函数,故连续 x
从而二者矛盾 f ( x)在(0,1]上不一致 连续．
一致连续定理
a, b 上连续， 若 f x 在闭区间 则它在该区间上
必定一致连续．
证明(略)
小结：
理解应用最值定理,有界性定理
熟练应用介值定理,零点定理
了解一致连续的概念和有关定理
作业：
第91页习题1-11： 1，2，3，4
设 f ( x)在[a, b]上c.t.且f (a) f (b) 0 （即两端
点函数值异号）：则在(a, b) 内至少存在一点 ，
使得 f 0 （至少有一个零点）．
★注意：
条件为闭区间，结论为开区 间．
几何解释：
x 若曲线 y f ( x) 的两个端点位于 轴有两侧， x 轴至少有一交点 则该曲线与 （或者说方程f ( x) 0
结论： ●最值点不唯一 ●最大值与最小值可以相等 ●最值点可以是边界点，间断点等
如：
1． f ( x) 1 sin x 有最大值 2，最小值 0；
2． y sgn x 有最大值 1，最小值 1 ； （不唯一）
3 y x 3． 在区间 [0,2] 上有最大值 8，最小值 0；
（边界点） 1 sin 4． y x 2
则 F 0 f 0 f a ，
F a f a f 2a f a f 0
最大值和最小值定理
上连续，且 f (a ) 与 f (b ) 异号(即 f (a ) ⋅ f ( b ) < 0 ), 那末在开区间 (a, b )内至少有函数 f ( x )的一个零 点,即至少有一点 ξ (a < ξ < b ) ，使 f (ξ ) = 0 .
即方程 f ( x ) = 0在 (a , b )内至少存在一个实根 .
一、最大值和最小值定理
定义: 对于在区间 I上有定义的函数 f ( x ),
如果有 x0 ∈ I , 使得对于任一 x ∈ I 都有 f ( x ) ≤ f ( x0 ) ( f ( x ) ≥ f ( x0 )) 则称 f ( x0 )是函数 f ( x )在区间 I上的最大(小)值.
例如, y = 1 + sin x , 在[0,2π ]上, ymax = 2, ymin = 0;
证明方程 x 3 − 4 x 2 + 1 = 0在区间 (0,1)内 例1 至少有一根 .
令 f ( x ) = x 3 − 4 x 2 + 1, 则f ( x )在[0,1]上连续 , 证
又 f ( 0 ) = 1 > 0,
f (1) = −2 < 0,
由零点定理,
∃ ξ ∈ (0,1), 使 f (ξ ) = 0,
有 m ≤ f ( x) ≤ M ,
取 K = max{ m , M },
∴ 函数 f ( x )在[a , b]上有界 .
则有 f ( x ) ≤ K .
2009-10-21
函数与极限(13)
4
二、介值定理
定义: 使 f ( x0 ) = 0 的 x0 称为 f ( x )的零点.
定理 3(零点定理) 设函数 f ( x )在闭区间 [a, b]
一元函数的连续与极限-闭区间上连续函数的性质
又 Q f ( x )在( ∞ ,+∞ )内连续 ∴ f ( x )在[ X , X ]上连续，从而在 [ X , X ]上有界
故存在常数 M1 > 0，使得
f ( x ) ≤ M1 , x ∈ [ X , X ]
取
M = max{ M1 , 1 + A }，则
f ( x) ≤ M .
x ∈ ( ∞ ,+∞ )，均有 即 f ( x )在( ∞ ,+∞ )上有界 .
而 F ( a ) = f ( a ) a < 0,
F (b ) = f ( b ) b > 0,
由零点定理,
ξ ∈ (a , b), 使 F (ξ ) = f (ξ ) ξ = 0,
即 f (ξ ) = ξ .
6. 设 n ∈ N + , 函数 f ( x )在区间[0, n]上连续，且
1
3 x ,1 < x ≤ 2
O
2
x
O
1
2
x
f (x)在[0, 2]上无最大值和最小值 推论 (有界性定理) 在闭区间上连续的函数在该区 间上一定有界.
（二）零点定理与介值定理
定义 如果 f ( x0 ) = 0, 则称 x0 为函数f (x) 的零点. 定理1.19 ( 零点定理 ) 若 f ( x ) ∈ C [ a , b ]，且
f ( 0) = f ( n )
证明存在点 x0 ∈ [0, n]，使 f ( x0 ) = f ( x0 + 1).
证 1 当 n = 1 时， 由条件 f (0) = f (1) = f (0 + 1)
知 x0 = 0 ∈ [0, n]，使 f ( x0 ) = f ( x0 + 1). 2o 当 n ≥ 2 时，令
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5
函数间断点的几种常见类型：
x2 1 在点 x 1 例1 函数 y x 1
没有定义，所以 x 1 为函数的间断点。
y
x2 1 lim lim ( x 1) 2 x 1 x 1 x 1
若补充定义： 令 x 1 时 y 2,
２
． 。
１
O
x
则该函数在 x 1 处连续。 所以，x 1 称为该函数的可去间断点。
k 0,1,2,;
10
2 x 1 解 1 y , 2 x 3x 2
x 1, x 2
x2 1 x 1 lim 2 lim 2 x 1 x 3 x 2 x 1 x 2
x 1 是可去间断点，属于第一类间断点。
补充定义： 当x 1时，y 2. 则该函数在 x 1 点连续。
1 y tan x , y x
不是连续函数。
3
证明：函数
y sin x 是连续函数。
当 x 有增量
x x y sin( x x ) sin x 2 sin cos( x ) 2 2 x cos x 1 2 x y sin( x x ) sin x 2 sin . 2 又因为当 0 时， sin x x 0 y sin( x x ) sin x 2 sin 2 x 2 2 当 x 0 时， 由夹逼准则得 y 0. 这就证明了 y sin x 在 ( ,) 内连续。
2
O
2
3 2
x
的无穷间断点。
9
例5
下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于那
一类，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续。
x2 1 1 y 2 , x 1, x 2; x 3x 2 x 2 y , x k , x k , tan x 2 2 1 3 y cos , x 0; x x 1, x 1, 4 y x 1. 3 x , x 1,
.
O
x
7
例3 函数
x 1, x 0, y f ( x ) 0, x 0, x 1, x 0.
x 0
y
lim f ( x ) lim ( x 1) 1
x 0
x 0
lim f ( x ) lim ( x 1) 1
x 0
所以
k 0 , 1, 2 ,
是可去间断点，属于第一类间断点 x 0
补充定义： 当x 0时，y 1. 则函数在该点连续。
x lim x k tan x x lim 0 tan x x k
2
当 k 0时，
则 x k 是无穷间断点。 所以 x k
x2 1 x2 3x 2 lim 0 lim 2 2 x 2 x 3 x 2 x 2 x 1
x 2 是无穷间断点，属于第二类间断点。
11
x 2 y , x k , x k tan x 2 当 k 0 时， x x lim lim cos x 1 x 0 tan x x 0 sin x
4
证： 设x ( ,),
x
时，则
函数的间断点 设函数 f ( x ) 在点 有下列情形之一： （1）在
x 0 的某去心邻域内有定义。
若函数 f ( x )
x 0没有定义；
x x0 x x0 x x0
（2）虽在 x 0 有定义，但 lim f ( x )不存在；
（3）虽在 x 0 有定义，且 lim f ( x )存在，但 lim f ( x ) f ( x 0 ); 则函数 f ( x ) 在点 x 0不连续， 而点 x 0 称为函数 f ( x ) 的不连续点 或间断点。
f ( x) f ( x0 )
就称函数 f ( x ) 在点 x 0 连续。
2
在区间上每一点都连续的函数，叫做该区间上的连续函数， 或者说函数在该区间上连续。 连续函数的图形是一条连续不间断的曲线。
如函数 y sin x , y x 1, y ln x 是连续函数。
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
但
6
y
例2 函数
1 lim f ( x ) lim x 1, 而 f (1) . x 1 x 1 2
改变函数的定义，令 f (1) 1 则该函数在 x 1 成为连续。
y
x, y f ( x) 1 , 2
x 1, x 1.
O
。
.
x
。
x 1 也称为该函数的可去间断点。
x 0
１
。
－１
O 。
x
不存在。x 0称为 所以 lim f ( x ) 该函数的跳跃间断点。
8
例4 正切函数
2 所以 x 是函数 y tan x 的间断点。 2
y
x
y
tan x 在
x
处没有定义，
lim tan x
2
所以，称
x
2
为函数 y
tan x
x x0
就称函数
f ( x ) 在点 x 0 连续。
函数在某点的连续性
上面的定义用 “
”语言表达如下：
定义2 设函数 y f ( x ) 在点 x 0 的某一邻域内有定义，若对于
0, 0, 使得对于适合不等式 x x 0 的一切 x , 对应的函数值 f ( x ) 都满足不等式
第四节 连续
一、连续与间断
函数的 连续性
函数的连续 性与间断点 左连续
左连续
可去间断点
第一类间断点
函数的 间断点 第二类间断点 振荡间断点 跳跃间断点 无穷间断点
其它间断点
1
定义1 设函数 y f ( x )在点 x 0 的某一邻域内有定义，若函数
f ( x ) 当 x x 0 时的极限存在， 且等于它在点 x 0 处的函数值 f ( x 0 ), 即 此定义经常用来判断 lim f ( x ) f ( x 0 )