运筹学第四章目标规划
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运筹学目标规划
第四章 目标规划
•目标规划的数学模型 •目标规划的图解法 •目标规划的单纯形法 •灵敏度分析 •目标规划实例
4.1 目标规划的数学模型
一、引例
产品
甲
资源
设备/台时
3
原料A/吨
1
原料B/吨
0
单位赢利/万元
3
这是一个单目标的 规划问题,模型为：
最优方案： x1* 2, x2* 6 最优值： z* 36
优先因子间的关系为Pj >> Pj+1 ，即Pj对应的目标比 Pj+1对应的目标有绝对的优先性。 另一种差别是相对的．这些目标具有相同的优先因 子，它们的重要程度可用权系数wj的不同来表示。
4、目标函数
目标函数由于偏差变量、优先因子和权系数的出 现，显然其构造与线性规划时的构造要有所不同. 决策者的目标是要做到决策值与目标值的偏差能 够尽可能的小，因此目标函数应该是一个与偏差 有关的函数：
3x1 2x2 d2 d2 18
2、绝对约束和目标约束
绝对约束：决策过程中决策变量必须满足的约束， 也称为硬约束。
目标约束：决策过程中决策值和目标值可能出现 偏差的约束，也称软约束。
目标约束是目标规划特有的约束。
如，例中的 x1 4与2 x2 12是绝对约束.
3
x1 x2 d1 d1
目标规划是实现目标管理的有效工具，它根 据企业制订的经营目标以及这些经营目标的轻重 缓急，考虑到现有资源情况，确定一个满意方案， 使得工作结果达到规定目标或使差距最小。弥补 了线性规划的不足。
目标规划问题在经济活动、科学研究和工程 设计上经常遇到。
例如设计导弹，既要射程远，又要省燃料， 还要精度高。
确定一个新橡胶配方往往同时考察八、九个 指标，如强度、硬度、变形、伸长等。
•目标规划的数学模型 •目标规划的图解法 •目标规划的单纯形法 •灵敏度分析 •目标规划实例
4.1 目标规划的数学模型
一、引例
产品
甲
资源
设备/台时
3
原料A/吨
1
原料B/吨
0
单位赢利/万元
3
这是一个单目标的 规划问题,模型为：
最优方案： x1* 2, x2* 6 最优值： z* 36
优先因子间的关系为Pj >> Pj+1 ，即Pj对应的目标比 Pj+1对应的目标有绝对的优先性。 另一种差别是相对的．这些目标具有相同的优先因 子，它们的重要程度可用权系数wj的不同来表示。
4、目标函数
目标函数由于偏差变量、优先因子和权系数的出 现，显然其构造与线性规划时的构造要有所不同. 决策者的目标是要做到决策值与目标值的偏差能 够尽可能的小，因此目标函数应该是一个与偏差 有关的函数：
3x1 2x2 d2 d2 18
2、绝对约束和目标约束
绝对约束：决策过程中决策变量必须满足的约束， 也称为硬约束。
目标约束：决策过程中决策值和目标值可能出现 偏差的约束，也称软约束。
目标约束是目标规划特有的约束。
如，例中的 x1 4与2 x2 12是绝对约束.
3
x1 x2 d1 d1
目标规划是实现目标管理的有效工具，它根 据企业制订的经营目标以及这些经营目标的轻重 缓急，考虑到现有资源情况，确定一个满意方案， 使得工作结果达到规定目标或使差距最小。弥补 了线性规划的不足。
目标规划问题在经济活动、科学研究和工程 设计上经常遇到。
例如设计导弹，既要射程远，又要省燃料， 还要精度高。
确定一个新橡胶配方往往同时考察八、九个 指标，如强度、硬度、变形、伸长等。
运筹学(第四版)：第4章 目标规划
目标函数：
min
z
P1d1
P2
(d
2
d2 )
P3d3
2x1 x2 11
x1
x2
d1
d1
0
满足约束条件：
x1
2x2
d2
d
2
10
8x1
10x2
d3
d3
56
x1, x2, di, di 0, i 1,2,3
10
第1节 目标规划的数学模型
目标规划的一般数学模型为
L
K
目标函数： min z
0
(4,3)
4
第1节 目标规划的数学模型
实际上，工厂在作决策时，需要考虑包括市场因素在内 等一系列条件。例如:
(1) 根据市场信息，产品Ⅰ的销售量有下降的趋势，因而希望产 品Ⅰ的产量不应大于产品Ⅱ。
(2) 应尽可能充分利用设备台时，但不希望加班。 (3) 应尽可能达到并超过计划利润指标：56元。
5
第1节 目标规划的数学模型
这样的产品决策问题便构成了一个多目标决策问题，目 标规划方法正是解这类决策问题的方法之一。下面引入 与目标规划模型有关的概念。
1.设x1，x2为决策变量，引入正、负偏差变量d+，d−。 正偏差变量d＋表示决策值超过目标值的部分； 负偏差变量d−表示决策值未达到目标值的部分。
13
第2节 解目标规划的图解法
例3 某电视机厂装配黑白和彩色两种电视机，每装配一台电 视机需占用装配线1小时，装配线每周计划开动40小时。预 计市场每周彩色电视机的销量是24台，每台可获利80元；黑 白电视机的销量是30台，每台可获利40元。该厂确定的目标 为：
第一优先级：充分利用装配线每周计划开动40小时； 第二优先级：允许装配线加班；但加班时间每周尽量不超过10小
运筹学课件目标规划
一 目标规划的数学模型
3 目标函数： 1 恰好达到目标：
minZ= f d +d+ 2 超过目标：
minZ= f d 3 不超过目标：
minZ= f d+
第四章
一 目标规划的数学模型 第四章
4 目标规划的目标：求一组决策变量的满意值;使 决策结果与给定目标总偏差最小
① 目标函数中只有偏差变量 ② 目标函数总是求偏差变量最小 ③ Z=0：各级目标均已达到
④
d4+
X2 =30
F
B
30 A d1+
d2- X1+X2 =50
X1
X1+X2 =40
1 满足目标① ②的满意域为ABCD
2 先考虑③的满意域为ABEF 再考虑④;无公共满意域
(3)、取E
X1+X2=50 X1=24
E(24,26) 获利2960
4 Zmin =d4 =30 X2 + d4+=3026=4>0
6x1+4x2 =240
2x1+3x2 =120 C
10
d2-
E
B
O 10 d3-
A d1+
x1
第四章
二 目标规划的图解法 第四章
分析：满足P1;部分满足P2的点有A;B;C;D 如果不考虑A;B产品均需生产 由解方程可得：A40;0; B60;0
C24;24; D0;60 比较与目标的偏差 A点：ZA = P1d1 + P2d2++ P2d3+ = 0+0+ P2d3+
另一种差别是相对的;这些目标具有相同的优先因 子;它们的重要程度可用权系数的不同来表示
运筹学 第四章
第 一 节 目标规划问题及其数学模型
2、目标规划的定义 （1）目标规划是一种数学方法：用于解决目标 数目在两个或两个以上的多目标决策问题。 （2）多目标决策问题：多目标决策问题是由法 国经济学家V.Pareto在1896年提出的。他从政 治经济学角度，把很多本质上不可比的目标转 化为单一的最优目标。经济学目前使用最多的 是帕累托最优效率：没有人能在不使别人受损 害的情况下，让自己过得更好（所谓最优，实 质上是恰如其分的折中、妥协）。
产
A B
品
耗 电 量
（Kw / 单位产品）
材料消耗
（t / 单位产品）
利 润
1 2
10 12
2 1
解：设x1、 x2分别表示A、B两种产品的日产量。
第 一 节 目标规划问题及其数学模型
min{P ( d d ), P2 ( d )} 1 10x1 12x2 d1 d1 62.5 x1 2 x2 d 2 d 2 10 2 x1 x2 8 x , d , d 0 i 1,2 i i i
6
5
x1+2x2 + d1- - d1+ =10 d1- =0; d1+ >0 2x2 = - x1 + 10 – d1- + d1+ d1- =0; d1+ =0
4
3
2
1
d1+ =0; d1- >0
d1-
d1+ x1+2x2=10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
第 一 节 目标规划问题及其数学模型
例4-1 某车间计划生产A、B两种产品。决策者 首先考虑要充分利用供电部门分配的电量限额 指标62.5kW /日，然后考虑完成与超额完成利 润指标10元/日。每日可给车间供应所需原材料 8t。有关数据汇总于下表，应当如何安排产品 A、B的产量。
运筹学第四章目标规划
min Ζ=P1d3++P2d4 ¯+P3(6d1 ¯+5d2 ¯) +P4d11++P5d5++P6(6d1++5d2+)
s.t 2x1+4x2+d1 ¯-d1+=2400 2.5x1+1.5x2+d2 ¯-d2+=2800 8x1+15x2+d3 ¯-d3+=23000 x1 +d4 ¯-d4+=1500 x2 +d5 ¯-d5+=1000 d1++d11 ¯-d11+=30 x1,x2≥0,di ¯,di+≥0 (i=1,2,3,4,5,1 10 P1 0 P2 0 P3 -75 P4 -10
x1 x2 d2- d2+ d3- d3+ d11- d11+ 0 1 1 0 -1 0 1 -1 10 00 10 0 0 0 0 -1 0 1 1 –1 1 0 0 0 1 0 0 1 –1 00 10 0 0 0 0 00 00 0 0 0 1 0 0 3 0 2 0 3 -3 0 0 0 1 0 0 –1 +1
解目标规划的计算步骤：
(1).建立初始单纯形表，在表中将检验数 行按优先因子分别列成k行，设k=1；
(2).检查该行中是否存在负数，且对应的 前k-1行的系数是零，若取其中最小者对应的 变量为换入变量，转(3)，若无负数，则转(5)。
(3).按最小比值规则确定换出变量，当存 在两个和两个以上相同的最小比值时，选取 具有较高优先级别的变量为换出变量；
如果某一个Ri已退化为一点，则计算亦 应终止，这一点亦即为最优解，它只能满足
运筹学讲义_4目标规划
（1） 根据市场预测，产品 A 的销路不是太好，应尽可能少生产；
（2） 产品 B 的销路较好，应尽可能多生产。 这样建立的数学模型为：
max z1 = 4x1 + 3x2
min z2 = x1
max z3 = x2
s.t.ïíì32xx11
+ 3x2 + 2x2
£ £
24 26
ïî x1, x2 ³ 0
min z = f (d - ,d + ) ,
即达成函数是正、负偏差变量的函数。
一般来说，可能提出的要求只能是以下三种情况之一，对应每种要求，可分别构造达成函 数：
1) 要求恰好达到规定的目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小，这时目标函数
min z = f (d - + d + ) 。
2) 要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能地小，这时目标函
现。
目标规划问题的求解是分级进行的，首先要求满足 P1 级目标的解；然后再保证 P1 级目标不 被破坏的前提下，再要求满足 P2 级目标的解；…依次类推。总之，是在不破坏上一级目标的前
提下，实现下一级目标的最优。因此，这样最后求出的解就不是通常意义下的最优解，我们称之
为“满意解”。
以上介绍的几个基本概念，实际上就是建立目标规划模型时必须分析的几个要素，把这些 要素分析清楚了，目标规划的模型也就建立起来了。请看下面的例子。
数 min z = f (d + ) 。
3) 要 求 超 过 目 标 值 ， 超 过 量 不 限 ， 但 负 偏 差 变 量 要 尽 可 能 地 小 ， 这 时 目 标 函 数
min z = f (d - ) 。
5.满意解
运筹学第四章目标规划
目标规划
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第四章 目标规划
目标规划（Good Programming，简记为GP）是在线性规划的基础上，为适应经济管理中多目标决策的需要而逐步发展起来的一个运筹学分支，是实行目标管理这种现代化管理技术的一个有效工具。
4.1 目标规划的数学模型
例4.1 某工厂生产两种产品，受到原材料供应和设备工时的限制.在单件利润等有关数据已知的条件下，要求制订一个获利最大的生产计划，具体数据见下表。
200
300
400
500
1
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
1.访问时间最好不超过680小时； 2.访问时间最好不少于600小时； 3.销售收入尽量不少于70,000； 4.访问老顾客数最好不少于200个； 5.访问新顾客数最好不少于120个。
目标规划的求解---多阶段算法
访问时间最好不超过680小时；
故有：目标值＝实际值＋d－ － d＋
实际值
目标值
1.当实际值>目标值时 d－＝0
01
02
03
目标约束（软约束）是指在目标规划问题中目标值允许发生正、负偏差，在这些约束中加入正、负偏差变量的约束。
绝对约束（硬约束）是指必须严格满足的等式约束和不等式约束。
线性规划问题的目标函数在给定目标值和加入正、负偏差变量后，可变换为目标约束，也可根据问题的需要将绝对约束变换为目标约束。
200
600
500
400
X
2
100
200
300
400
500
(1)
(2)
1.访问时间最好不超过680小时； 2.访问时间最好不少于600小时； 3.销售收入尽量不少于70,000； 4.访问老顾客数最好不少于200个； 5.访问新顾客数最好不少于120个。
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第四章 目标规划
目标规划（Good Programming，简记为GP）是在线性规划的基础上，为适应经济管理中多目标决策的需要而逐步发展起来的一个运筹学分支，是实行目标管理这种现代化管理技术的一个有效工具。
4.1 目标规划的数学模型
例4.1 某工厂生产两种产品，受到原材料供应和设备工时的限制.在单件利润等有关数据已知的条件下，要求制订一个获利最大的生产计划，具体数据见下表。
200
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1
(1)
(2)
(3)
(4)
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1.访问时间最好不超过680小时； 2.访问时间最好不少于600小时； 3.销售收入尽量不少于70,000； 4.访问老顾客数最好不少于200个； 5.访问新顾客数最好不少于120个。
目标规划的求解---多阶段算法
访问时间最好不超过680小时；
故有：目标值＝实际值＋d－ － d＋
实际值
目标值
1.当实际值>目标值时 d－＝0
01
02
03
目标约束（软约束）是指在目标规划问题中目标值允许发生正、负偏差，在这些约束中加入正、负偏差变量的约束。
绝对约束（硬约束）是指必须严格满足的等式约束和不等式约束。
线性规划问题的目标函数在给定目标值和加入正、负偏差变量后，可变换为目标约束，也可根据问题的需要将绝对约束变换为目标约束。
200
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X
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200
300
400
500
(1)
(2)
1.访问时间最好不超过680小时； 2.访问时间最好不少于600小时； 3.销售收入尽量不少于70,000； 4.访问老顾客数最好不少于200个； 5.访问新顾客数最好不少于120个。
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• 从线性规划的角度来看，问题似乎已经得到圆满的解，但实际上工厂作 决策时可能还需根据市场和工厂实际情况，考虑其它问题，如：
• （1）由于产品Ⅱ销售疲软，故希望产品Ⅱ的产量不超过产品Ⅰ的一半； • （2）原材料严重短缺，生产中应避免过量消耗； • （3）最好能节约4小时设备工时； • （4）计划利润不少于48元. • 这时，问题变成一个多目标问题，线性规划方法就很难处理。
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1.当实际值>目标值时 d－＝0
目标值
实际值
d＋
有：目标值＝实际值－d+
2.当实际值<目标值时d+＝0
实际值
目标值
（此时d－＝0）
d－
有：目标值＝实际值＋d－ （此时d＋＝0）
故有：目标值＝实际值＋d－ － d＋
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4
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利润 (元/件)
6
8
限量 60
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设产品Ⅰ、Ⅱ的产量分别为 x1 , x2 ，建立线性规划模型
M azx6x18x2
St. 4x14x240
5x110 x260
x1,x2 0
解之得最优生产计划为 x1 8 件，x2 2 件，利润为 zmax64元。
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3、优先因子（优先等级）与权系数
• 在实际问题中，决策者要求达到这些目标时，是有主次或 轻重缓急的不同，凡要求第一位达到的目标赋予优先因子 P1 ，次位的目标赋予优先因子P2，…，并规定：Pk>>Pk+1 表示Pk 比Pk+1有更大的优先权，即首先保证级P1目标的实 现，这时可不考虑次级目标；而P2级目标是在实现P1级目
• （1）由于产品Ⅱ销售疲软，故希望产品Ⅱ的产量不超过产品Ⅰ的一半； • （2）原材料严重短缺，生产中应避免过量消耗； • （3）最好能节约4小时设备工时； • （4）计划利润不少于48元. • 这时，问题变成一个多目标问题，线性规划方法就很难处理。
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1.当实际值>目标值时 d－＝0
目标值
实际值
d＋
有：目标值＝实际值－d+
2.当实际值<目标值时d+＝0
实际值
目标值
（此时d－＝0）
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有：目标值＝实际值＋d－ （此时d＋＝0）
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设产品Ⅰ、Ⅱ的产量分别为 x1 , x2 ，建立线性规划模型
M azx6x18x2
St. 4x14x240
5x110 x260
x1,x2 0
解之得最优生产计划为 x1 8 件，x2 2 件，利润为 zmax64元。
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3、优先因子（优先等级）与权系数
• 在实际问题中，决策者要求达到这些目标时，是有主次或 轻重缓急的不同，凡要求第一位达到的目标赋予优先因子 P1 ，次位的目标赋予优先因子P2，…，并规定：Pk>>Pk+1 表示Pk 比Pk+1有更大的优先权，即首先保证级P1目标的实 现，这时可不考虑次级目标；而P2级目标是在实现P1级目
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一、目标规划的数学模型
第四章
1961年，查恩斯（A. Charnes）和库柏（W. W. Cooper）
提出了目标规划（Goal Programming，简称GP）。 目标规划在处理实际决策问题时，承认各项决策 要求的存在有其合理性； 在作最终决策时，不强调其绝对意义上的最优性。
一、目标规划的数学模型
一、目标规划的数学模型
解：设X1 , X2 分别表示25寸，21寸彩电产量 X1+X2 +d1- -d1+=40 X1 +X2+d2- -d2+=50
5x1+10x2 60
s.t. 4x1+4x2 40 x1 , x2 0
x1=8件，
x2=2件， max z=64元。
一、目标规划的数学模型
但如果站在企业高层领导者的角度看：
第四章
一个计划要满足多方面的要求。财务、物资、销 售、计划。 线性规划问题有最优解的必要条件是其可行解集 非空。但实际问题有时不能满足这样的要求。 线性规划解的可行性和最优性具有十分明确的意 义。实际问题中往往还会作某种调整和修改。
例2 假设计划人员还被要求考虑如下的意见： 由于产品II销售疲软，故希望产品II的产量不 超过产品I的一半； 原材料严重短缺，生产中应避免过量消耗； 最好能节约4小时设备工时；
第四章
计划利润不少于48元。 最后达成了一致意见：（目标） 1) 原材料使用限额不得突破； 2) 产品II产量要求必须优先考虑； 3) 设备工时问题其次考虑（节约4个）； 4) 最后考虑计划利润的要求。
一、目标规划的数学模型
例4、电视机厂装配25寸和21寸两种彩电，每台
第四章
电视机需装备时间1小时，每周装配线计划开动40小
时，预计每周25寸彩电销售24台，每台可获利80元， 每周21寸彩电销售30台，每台可获利40元。 该厂目标：
1、充分利用装配线，避免开工不足。
2、允许装配线加班，但尽量不超过10小时。 3、尽量满足市场需求。
一、目标规划的数学模型
设X1 ，X2为产品Ⅰ，产品Ⅱ产量。 2X1+X2 11 X1 -X2 +d1- -d1+=0 X1 +2X2 +d2- -d2+=10 8X1 +10X2 +d3- -d3+=56
第四章
s.t.
X1 , X2 , di- , di+ 0
di- . di+ =0 目标函数 minZ=P1d1++P2(d2-+d2+)+P3(d3-)
一、目标规划的数学模型
第四章
k k min Z P w d w d P w d w d 1 1k k 1k k L Lk k Lk k k 1 k 1
n aij x j , bi i 1 m j 1 n Ck x d d g k 1 K k k k s.t. j j j 1 x j 0 j 1 n d k , d k 0k 1 K
第四章 目标规划
一、目标规划的数学模型
二、目标规划的图解法 三、解目标规划的单纯形法 四、应用举例
一、目标规划的数学模型
例1：
第章
产品
原材料（kg/件） 设备工时（h/件） 利润（元/件）
I
5 4 6 x1
II
10 4 8 x2
限量
60 40
LP： max z=6x1 + 8x2
解得：最优生产计划为：
一、目标规划的数学模型
目标规划数学模型涉及的基本概念 1、偏差变量
第四章
对每一个决策目标，引入正、负偏差变量d+和d- 。
d+ : 决策值超过目标值的部分。 d- ：决策值未达到目标值的部分。 d+ 0和d- 0 d+．d- ＝0
一、目标规划的数学模型
2．绝对约束和目标约束
第四章
绝对约束：必须严格满足的等式或不等式约束。
一、目标规划的数学模型
例3 Ⅰ Ⅱ 资源拥有量
第四章
原材料(公斤)
设备(小时) 利润(千元/件)
2
1 8
1
2 10
11
10
(1)、原材料价格上涨，超计划要高价购买，所以 要严格控制。
(2)、市场情况，产品Ⅰ销售量下降，产品Ⅰ的产 量不大于产品Ⅱ的产量。 (3)、充分利用设备，不希望加班。 (4)、尽可能达到并超过利润计划指标56千元。
(2)要求不超过目标值，但允许不足目标值。 min{f(d+ )} (3)要求不低于目标值，但允许超过目标值。 min{f(d- )}
一、目标规划的数学模型
例2 LP： maxZ=6x1 + 8x2 5x1+10x2 60 s.t. 4x1+4x2 40 x1 , x2 0 (1)原材料使用限额不得突破； (2)产品II产量要求必须优先考虑；
第四章
另一种差别是相对的，这些目标具有相同的优先 因子，它们的重要程度可用权系数的不同来表示。
一、目标规划的数学模型
4．目标规划的目标函数
第四章
目标规划的目标函数(又称为准则函数或达成函数)由各 目标约束的偏差变量及相应的优先因子和权系数构成。其 目标函数只能是极小化。
有三种基本表达式： (1)要求恰好达到目标值。 min{f(d+＋d- )}
第四章
(3)设备工时问题其次考虑（节约4个）； (4)最后考虑计划利润的要求。（不少于48）
5x1+10x2 60
2x2 – x1 +d1- -d1+=0 s.t. 4x1 +4x2 +d2- -d2+=36 minZ=P1d1+
+P2(d2+)
6x1 +8x2 +d3- -d3+=48
+ P3(d3-) x1 , x2 , di- , di+ 0 di- . di+ =0 i=1,2,3
目标约束：目标规划所特有的约束，约束右端项 看作要追求的目标值，在达到目标值时，允许发生正 或负的偏差。 绝对约束是硬约束。目标约束是一种软约束，目 标约束中决策值和目标值之间的差异用偏差变量表示。 必为等式。
一、目标规划的数学模型
3．优先因子和权系数 不同目标的主次轻重有两种差别。 一种差别是绝对的，可用优先因子Pt来表示。优 先因子间的关系为Pt》Pt+1，即Pt对应的目标比Pt+1对 应的目标有绝对的优先性。