2020年高考文科数学易错题《概率与统计》题型归纳与训练
12020年高考文科数学《概率与统计》题型归纳与训练【题型归纳】 题型一 古典概型例1 从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ）.A.15 B. 25 C. 825D. 925【答案】B【解析】 可设这5名学生分别是甲、乙、丙、丁、戊，从中随机选出2人的方法有：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（甲，戊），（乙，丙），（乙，丁），（乙，戊），（丙，丁），（丙，戊），（丁，戊），共有种选法，其中只有前4种是甲被选中，所以所求概率为.故选B. 例2 将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________. 【答案】23【解析】根据题意显然这是一个古典概型，其基本事件有：数1，数2，语; 数1，语，数2;数2，数1，语; 数2，语，数1;语，数2，数1; 语，数1，数2共有6种，其中2本数学书相邻的有4种，则其概率为：4263p ==． 【易错点】列举不全面或重复,就是不准确 【思维点拨】直接列举,找出符合要求的事件个数.1042105=题型二 几何概型例1 如图所示，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）.A.14 B. π8 C. 12 D. π4【答案】B【解析】不妨设正方形边长为a ，由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，所求概率为822122ππ=⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯a a .故选B.例2 在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程22320x px p ++-=有两个负根的概率为________. 【答案】32【解析】方程22320x px p ++-=有两个负根的充要条件是2121244(32)020320p p x x p x x p ⎧∆=--≥⎪+=-<⎨⎪=->⎩即21,3p <≤或2p ≥，又因为[0,5]p ∈，所以使方程22320x px p ++-=有两个负根的p 的取值范围为2(,1][2,5]3U ，故所求的概率2(1)(52)23503-+-=-，故填：32.【易错点】“有两个负根”这个条件不会转化.【思维点拨】“有两个负根”转化为函数图像与x 轴负半轴有两个交点.从而得到参D3数p 的范围.在利用几何概型的计算公式计算即可. 题型三 抽样与样本数据特征例1 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 ________件．【答案】18【解析】按照分层抽样的概念应从丙种型号的产品中抽取60300181000⨯=(件)． 例2 已知样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的均值5x =，则样本数据121x +，221x +，⋅⋅⋅，21n x +的均值为 ．【答案】11【解析】 因为样本数据，，⋅⋅⋅，的均值，又样本数据，，，的和为()122n x x x n ++++L ，所以样本数据的均值为＝11.例3 某电子商务公司对10000名网络购物者2018年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.30.9]，内，其频率分布直方图如图所示. （1）直方图中的a = .（2）在这些购物者中，消费金额在区间[0.50.9]，内的购物者的人数为 .【答案】3a = 人数为0.6100006000⨯=1x 2x n x 5x =121x +221x +⋅⋅⋅21n x +21x+/万元a【解析】 由频率分布直方图及频率和等于1，可得0.20.10.80.1 1.50.120.1 2.50.10.11a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，解之得3a =.于是消费金额在区间[]0.50.9，内频率为0.20.10.80.120.130.10.6⨯+⨯+⨯+⨯=， 所以消费金额在区间[]0.50.9，内的购物者的人数为0.6100006000⨯=.例 4 某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图所示．（1）求直方图中x 的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则从月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？ 【答案】见解析【解析】（1）由()0.0020.00950.0110.01250.0050.0025201x ++++++⨯=， 得0.0075x =．/度5（2）由图可知，月平均用电量的众数是2202402302+=. 因为()0.0020.00950.011200.450.5++⨯=<，又()0.0020.00950.0110.0125200.70.5+++⨯=>， 所以月平均用电量的中位数在[)220,240内.设中位数为a ，由()()0.0020.00950.011200.01252200.5a ++⨯+⨯-=， 得224a =，所以月平均用电量的中位数是224.（3）月平均用电量为[)220,240的用户有0.01252010025⨯⨯=（户）； 月平均用电量为[)240,260的用户有0.00752010015⨯⨯=（户）； 月平均用电量为[)260,280的用户有0.0052010010⨯⨯=（户）； 月平均用电量为[]280,300的用户有0.0025201005⨯⨯=（户）. 抽取比例为11125151055=+++，所以从月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取12555⨯=（户）． 【易错点】没有读懂题意,计算错误.不会用函数思想处理问题【思维点拨】根据题意分情况写出函数解析式；2牵涉到策略问题,一般可以转化为比较两个指标的大小. 题型四 回归与分析例1下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明（2）建立关于的回归方程（系数精确到），预测年我国生活垃圾无害化处理量.参考数据：，.参考公式：相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 【答案】见解析【解析】（1）由折线图中数据和附注中参考数据得，，，，.y年生活垃圾无害化处理量年份代码ty t y t 0.012016719.32i i y ==∑7140.17i i i t y ==∑0.55= 2.646≈()()niit t y y r --=∑$$y abt =+$121()()()nii i nii tt y y b tt ==--=-∑∑$，$=.a y bt-$4t =()27128i i t t =-=∑0.55=()()77711140.1749.32 2.89i i i i i i i i t t y y t y t y ===--=-=-⨯=∑∑∑ 2.890.990.552 2.646r ≈≈⨯⨯7因为与的相关系数近似为，说明与的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.（1）变量与的相关系数，又，，，所以 ，故可用线性回归模型拟合变量与的关系.（2），，所以， ，所以线性回归方程为. 当时，.因此，我们可以预测2016年我国生活垃圾无害化处理亿吨.【易错点】没有读懂题意,计算错误.【思维点拨】将题目的已知条件分析透彻,利用好题目中给的公式与数据. 题型五 独立性检验例1 甲、乙、丙、丁四位同学各自对A 、B 两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如下表：y t 0.99y t y t y t 7777()()7iii i i it t y y t y t y r ---⋅==∑∑∑∑7128i i t ==∑719.32i i y ==∑7140.17i i i t y ==∑ 5.292==0.55=740.17289.320.997 5.2920.55r ⨯-⨯=≈⨯⨯y t 4t =y =7117i i y =∑7172211740.17749.327ˆ0.10287i ii ii t y t yb tt ==-⋅-⨯⨯⨯===-∑∑1ˆˆ9.320.1040.937ay bx =-=⨯-⨯≈ˆ0.10.93y t =+9t =ˆ0.190.93 1.83y=⨯+=1.83则哪位同学的试验结果体现A、B两变量更强的线性相关性？() A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】D【解析】D因为r>0且丁最接近1，残差平方和最小，所以丁相关性最高【易错点】不理解相关系数和残差平方和与相关性的关系【思维点拨】相关系数r的绝对值越趋向于1,相关性越强.残差平方和m越小相关性越强【巩固训练】题型一古典概型1.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有个点的正方体玩具）先后抛掷次，则出现向上的点数之和小于的概率是．【答案】【解析】将先后两次点数记为，则基本事件共有（个），其中点数之和大于等于有，共种，则点数之和小于共有种，所以概率为．2.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）.A．112B．114C．115D．118【答案】C 1,2,3,4,5,621056(),x y6636⨯=10()()()()()()4,6,5,5,5,6,6,4,6,5,6,661030305 366=9【解析】不超过30的素数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29，共10个，随机选取两数有45（种）情况，其中两数相加和为30的有7和23，11和19，13和17，共3种情况，根据古典概型得314515P ==.故选C .3.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 ． 【答案】56P =【解析】1只白球设为a ，1只红球设为b ，2只黄球设为c ，d ， 则摸球的所有情况为(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d ，(),c d ，共6件， 满足题意的事件为(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d ，共5件，故概率为56P =．题型二 几何概型1.某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，学.小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）.A .B .C .D . 【答案】B【解析】 如图所示，画出时间轴.小明到达的时间会随机的落在图中线段中，而当他的到达时间落在线段或时，才能保证他等车的时间不超过分钟.根据几何概型，所求概率.故选B . 13122334A 8:208:307:30AB AC DB 1010101402P +==2. 从区间随机抽取2n 个数，，…，，，，…，，构成n 个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（ ）.A .B .C .D .【答案】C【解析】由题意得：在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知，所以.故选C ．3.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ，ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅰ，其余部分记为Ⅰ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅰ，Ⅰ的概率分别记为1p ，2p ，3p ，则 A ．12p p = B ．13p p = C ．23p p = D ．123p p p =+【答案】A【解析】概率为几何概型，总区域面积一定，只需比较Ⅰ，Ⅰ，Ⅰ区域面积即可.设直角三角形ABC 的三个角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，则区域Ⅰ的面积为112S ab =，[]0,11x 2x n x 1y 2y n y ()11,x y ()22,x y (),n n x y π4n m2n m4m n2m n()()12i i x y i n =⋅⋅⋅，，，，π41m n=4πmn=11区域Ⅰ的面积为222211111111πππ22222222S c b ab a ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 区域Ⅰ的面积为22231111111πππ2222282S c b ab a ab ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 显然12p p =.故选A .题型三 抽样与样本的数据特征1.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为 ． 【答案】10【解析】平均数()146587666x =+++++=．2.某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示. （Ⅰ）直方图中的a =_________；（Ⅰ）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为_________.【答案】3；6000【解析】频率和等于1可得0.20.10.80.1 1.50.120.1 2.50.10.11a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 解之得3a =.于是消费金额在区间[0.5,0.9]内频率为0.20.10.80.120.130.10.6⨯+⨯+⨯+⨯=，所以消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为：0.6100006000⨯=，故应填3；6000. 3.我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨）、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情x x x况，通过抽样，获得了某年位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照， ，， 分成组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求直方图中的值；（2）设该市有万居民，估计全市居民中月均用水量不低于吨的人数，请说明理由；（3）若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由. 【答案】见解析【解析】（1）由频率分布直方图知，月均用水量在中的频率为，同理，在，，， ，，中的频率分别为，， ， ， ， .由，解得.（2）由（1），位居民每人月均用水量不低于吨的频率为. 由以上样本的频率分布，可以估计全市万居民中月均用水量不低于吨的人数为.（3）因为前组的频率之和为， 而前组的频率之和为，所以 由，解得. 题型四 回归与分析1.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：100[)0,0.5[)0.5,1⋅⋅⋅[)4,4.59a 30385%x x [)00.5，0.080.50.04⨯=[)0.5,1[)1.5,2[)22.5，[)33.5，[)3.54，[)44.5，0.080.200.260.060.040.020.04+0.08+0.50.200.260.50.060.040.021a a ⨯+++⨯+++=0.30a =10030.06+0.04+0.02=0.123033000000.1236000⨯=60.040.080.150.200.260.15=0.880.85----->50.04+0.08+0.150.200.26=0.730.85--< 2.5 3.x <…()0.3 2.50.850.73x ⨯-=- 2.9x =13根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+ ，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==- ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ）A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元 【答案】B【解析】由已知得8.28.610.011.311.9105x ++++==（万元），6.27.58.08.59.885y ++++==（万元），故ˆ80.76100.4a =-⨯=， 所以回归直线方程为ˆ0.760.4y x =+．当社区一户收入为15万元，家庭年支出为 ˆ0.7615y =⨯+0.411.8=（万元）．故选B ．2.为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知，，．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（ ）.A .B .C .D . 【答案】C 【解析】，，所以，时，.ˆˆˆybx a =+101225i i x ==∑1011600i i y ==∑ˆ4b =16016316617022.5x =160y =$160422.570a =-⨯=24x =42470166y =⨯+=故选C .3.某公司为确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量()1,2,,8i y i =⋅⋅⋅数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中i w =8118i i w w ==∑，（1）根据散点图判断，y a bx =+与y c =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？ （2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（3）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系式为0.2z y x =-，根据（2）的结果回答下列问题：（Ⅰ）年宣传费49x =时，年销售量及年利润的预报值是多少？年宣传费/千元15（Ⅰ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据()11,u v ()22,u v ，⋅⋅⋅，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆnii i nii uu v v uu β==--=-∑∑，ˆˆv u αβ=-. 【答案】见解析【解析】（1）由散点图变化情况可知选择y c =+较为适宜．（2）由题意知()()()81821108.8681.6iii ii w w y y d w w ==--===-∑∑．又y c =+一定过点(),y ω，所以c y d ω=-=56368 6.8100.6-⨯=， 所以y 与x的回归方程为100.6y =+（3）（Ⅰ）由（2）知，当49x =时，()100.668576.6t y =+=， 0.2576.649z =⨯-=66.32（千元）， 所以当年宣传费为49x =时，年销售量为()576.6t ，利润预估为66.32千元． （Ⅰ）由（2）知，(0.20.2100.6z y x x =-=+-=x +20.12=)226.8 6.820.12-++6.8时，年利润的预估值最大，即26.846.24x ==（千元）． 题型五 独立性检验1.某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H ：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算的K 2≈3.918，则下列表述中正确的是（ ）A ．有95℅的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”B ．若有人未使用该血清，那么他一年中有95℅的可能性得感冒C ．这种血清预防感冒的有效率为95℅D ．这种血清预防感冒的有效率为5℅ 【答案】A【解析】由题可知，在假设H 成立情况下，)841.3(2≥K P 的概率约为0.05，即在犯错的概率不错过0.05的前提下认为“血清起预防感冒的作用”，即有95℅的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”.这里的95℅是我们判断H 不成立的概率量度而非预测血清与感冒的几率的量度，故B 错误.C ，D 也犯有B 中的错误.故选A 2.观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量x y ，之间关系最强的是( )A ．B ．C ．D ． 【答案】D【解析】在频率等高条形图中，a ab +与cc d+相差很大时，我们认为两个分类变量有关系，四个选项中，即等高的条形图中12,x x 所占比例相差越大，则分类变量,x y 关系越强，故选D ．3.淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）的频率分布直方图如图所示.17（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg ， 新养殖法的箱产量不低于50kg ，估计A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）. 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ .频率频率组距箱产量/kg新养殖法旧养殖法箱产量/kg【答案】见解析【解析】（1）记：“旧养殖法的箱产量低于50kg ” 为事件B ，“新养殖法的箱产量不低于50kg ”为事件C ，由题图并以频率作为概率得()0.04050.03450.02450.01450.0125P B =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.62=，()0.06850.04650.01050.0085P C =⨯+⨯+⨯+⨯0.66=，()()()0.4092P A P B P C ==.（2）由计算可得2K 的观测值为()222006266383415.70510010096104k⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，因为15.705 6.635>，所以()2 6.6350.001P K ≈≥，从而有99%以上的把握认为箱产量与养殖方法有关．（3）150.2÷=，()0.10.0040.0200.0440.032-++=，80.0320.06817÷=，85 2.3517⨯≈，50 2.3552.35+=，所以中位数为52.35.。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《计数原理与概率统计》易错题汇编含答案
新数学高考《计数原理与概率统计》复习资料一、选择题1．在高三放学期初，某校睁开教师对学生的家庭学习问卷检查活动，已知现有 3 名教师对4 名学生家庭问卷检查，若这 3 名教师每位起码到一名学生家中问卷检查，又这 4 名学生的家庭都能且只好获取一名教师的问卷检查，那么不一样的问卷检查方案的种数为（）A．36B． 72C． 24D． 48【答案】 A【分析】【剖析】分为两步进行求解，即先把四名学生疏为1,1,2 三组，而后再分别对应 3 名任课老师，依据分步乘法计数原理求解即可．【详解】依据题意，分 2 步进行剖析：①先把 4名学生疏成 3组，此中 1组2C42C21C126 种分组方人，其他 2 组各 1 人，有A22法；② 将分好的 3 组对应 3 名任课教师，有A33 6 种状况；依据分步乘法计数原理可得共有 6 636 种不一样的问卷检查方案．应选 A．【点睛】解答本题的要点是读懂题意，分清是依据分类求解仍是依据散布求解，而后再依据摆列、组合数求解，简单出现的错误时在分组时忽略均匀分组的问题．观察理解和运用知识解决问题的能力，属于基础题．2．在区间[ 1,1]上随机取一个数k ，使直线y k( x3) 与圆 x2y2 1 订交的概率为（）1B．1C．2D．2A．343 2【答案】 C【分析】【剖析】依据直线与圆订交，可求出k 的取值范围，依据几何概型可求出订交的概率.【详解】因为圆心(0,0) ，半径 r1，直线与圆订交，所以| 3k |22d1，解得k1k 244所以订交的概率22 ,应选C. P224【点睛】本题主要观察了直线与圆的地点关系，几何概型，属于中档题.3．安排 5 名学生去 3 个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区起码有一名学生进行志愿服务，则同学甲独自去一个社区不一样的安排方式有（）A．100 种【答案】 CB． 60种C．42 种D． 25种【分析】【剖析】给三个社区编号分别为1， 2， 3，则甲可有 3 种安排方法，剩下的两个再进行分步计数，进而求得所有安排方式的总数.【详解】甲可有 3 种安排方法，若甲先安排第 1 社区，则第 2 社区可安排 1 个、第 3 社区安排 3 个，共C14C33；第 2 社区 2 个、第 3 社区安排 2 个，共C42C22；第2 社区3 个，第 3 社区安排 1 个，共C14C11；故所有安排总数为 3 (C14 C33C42 C22C14 C11 )42 .应选： C.【点睛】本题观察分类与分步计数原理、组合数的计算，观察分类议论思想，观察逻辑推理能力和运算求解能力 .4．三位同学参加数学、物理、化学知识比赛，若每人都选择此中两个科目，则有且仅有两人选择的科目完整同样的概率是（）1112A．B．C．D．4323【答案】 D【分析】【剖析】先求出三位同学参加数学、物理、化学知识比赛，每人都选择此中两个科目的基本领件总数，再求出有且仅有两人选择的科目完整同样所包括的基本领件个数，利用古典概型的概率计算公式即可获取答案 .【详解】三位同学参加数学、物理、化学知识比赛，每人都选择此中两个科目共有(C32)327 种不同结果，有且仅有两人选择的科目完整同样共有C32 C32 C2118 种，故由古典概型的概率计182算公式可得所求概率为.273应选： D【点睛】不一样观察古典概型的概率计算问题，波及到组合的基本应用，观察学生的逻辑推理与数学运算能力，是一道中档题.5．从 5 名男生和 5 名女生中选 3 人组队参加某集体项目的比赛，此中起码有一名女生当选的组队方案数为A．100B． 110C． 120D． 180【答案】 B【分析】试题剖析： 10 人中任选 3人的组队方案有 C103120 ，3，没有女生的方案有 C5 10所以切合要求的组队方案数为110 种考点：摆列、组合的实质应用6．如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆组成，三个半圆的直径分别为三角形ABC的BC， AB和 AC．若 BC 10， AB 8， AC 6，V ABC 的三边所围成的地区记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其他部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅱ的概率为（）91625D．48A．24B．24C．252525252448【答案】 D【分析】【剖析】依据题意，分别求出Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ所对应的面积，即可获取结论.【详解】由题意，如图：Ⅰ所对应的面积为S11 8624，2Ⅱ所对应的面积 S22492524 ，822整个图形所对应的面积S24 8925，2242所以，此点取自Ⅱ的概率为P48.48 25应选： D.【点睛】本题观察了几何概型的概率问题，要点是求出对应的面积，属于基础题.7．将三枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A“三个点数之和等于15”，B“起码出现一个5”A| B 等于（）点，则概率 PA．5B．117C．D．10813710【答案】 B【分析】【剖析】依据条件概率的计算公式即可得出答案.【详解】Q P( AB) 1 A337， P(B)1 C51C51C5191 C61C61C61216C61C61C61216P A | B P( AB)72161 P B2169113应选： B【点睛】本题主要观察了利用条件概率计算公式计算概率，属于中档题.8．在矩形 ABCD中，AB AD ，在CD上任取一点P，使△ABP的最大边是AB的概率为3，则在折线A-D-C-B上任取一点Q，使△ABQ是直角三角形的概率为（）56B．5C．54A．11D．9119【答案】 A【分析】【剖析】由题意设 AB 5 ，由几何概型概率公式联合勾股定理可得AD 3 ，再由几何概型概率公式即可得解 .【详解】如图，矩形是对称的，设P 在线段 MN 上时，△ABP的最大边为AB，则此时 AM BN AB ，设 AB 5，则 MN 3，所以 DN CM1， DM4，AM 5 ，由勾股定理知 AD3，当 Q 在 AD 或 BC 上时，△ABQ为直角三角形，故所求概率为 pAD BC6. AD CD BC11应选： A.【点睛】本题观察了几何概型概率的求解，观察了转变化归思想，属于中档题.9．若 1 路、 2 路公交车均路过泉港一中校门口，此中 1 路公交车每10 分钟一趟， 2 路公交车每 20 分钟一趟，某生去坐这 2 趟公交车回家，则等车不超出 5 分钟的概率是（）1357 A．B．C．D．8588【答案】 C【分析】【剖析】设 1 路车抵达时间为 x 和 2 路抵达时间为 y．（ x， y）能够看做平面中的点，利用几何概型即可获取结果 .【详解】设 1 路车抵达时间为x 和 2 路抵达时间为y．（ x， y）能够看做平面中的点，试验的所有结果所组成的地区为Ω＝ {（ x， y）|0 ≤x≤10且 0≤y≤20}，这是一个长方形地区，面积为 S＝ 10×20＝ 200A 表示某生等车时间不超出 5 分钟，所组成的地区为a＝ {（ x， y） |0 ≤x≤5或 0≤y≤5}，即图中的暗影部分，面积为S′＝ 125，代入几何概型概率公式，可得S' 1255P（A）S2008应选 C【点睛】解答几何概型问题的要点在于弄清题中的观察对象和对象的活动范围．当观察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当观察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一准时，因为弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实质上是所对的弧长 (曲线长 )之比．10．(1i ) 20(1 i) 20的值为（）A． 0B．1024【答案】 A【分析】【剖析】利用二项式定理睁开再化简即得解.【详解】由题得原式=（1+C201i1C202i 2C203i3L C2019i19 +i 20 ) = 2(C201i1C203i 3C205i 5L C2019i19 )= 2(C201i1C203i 3C205i 5L+C205i 3 +C203i1 = 2(C201i1C203i 3 C 205i 5L C520i 5C203i 3 =0.C．1024D．10241（1 C201i 1C 202i 2C203i3L C 1920i 19i 20 )C120i 3 )C120i )应选 :A【点睛】本题主要观察二项式定理，意在观察学生对该知识的理解掌握水平易剖析推理能力.11．概率论发源于博弈游戏．17 世纪，曾有一个“赌金分派“的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出输赢，没有平手．两方商定，各出赌金48 枚金币，先赢 3 局者可获取所有赌金；但比赛半途因故停止了，此时甲赢了 2 局，乙赢了 1局．向这 96 枚金币的赌金该怎样分派？数学家费马和帕斯卡都用了此刻称之为 “概率 “的知识，合理地给出了赌金分派方案．该分派方案是（ ）A ．甲 48 枚，乙 48 枚B ．甲 64 枚，乙 32 枚C ．甲 72 枚，乙 24 枚D ．甲 80 枚，乙 16 枚【答案】 C 【分析】【剖析】依据题意，计算甲乙两人获取 96 枚金币的概率，据此剖析可得答案．【详解】依据题意，甲、乙两人每局获胜的概率均为1 ，2假定两人持续进行比赛，甲获取 96 枚金币的概率 P 11 1 1 322 2，4乙获取 96 枚金币的概率P 21 1 12 2，43 72 枚金币；乙应当获取 961 24 枚金币；则甲应当获取 9644应选： C ．【点睛】本题主要观察概率在实质问题中的应用，波及到独立事件的概率，观察学生的逻辑推理能 力、数学运算能力，是一道中档题.12． 河图是上古时代神话传说中伏羲经过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的察看，画出的 “八卦 ”，而龙马身上的图案就叫做 “河图 ”．把一到十分红五组，如图，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中． “河图 ”将一到十分红五行属性分别为金，木，水，火，土的五组，在五行的五种属性中，五行相克的规律为：金克木，木克土，土克水，水克火，火克金；五行相生的规律为：木生火，火生土，土生金，金生水，水生木．现从这十个数中随机抽取3 个数，则这 3 个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率为（ ）1 12 1 A ．B ．C ．D ．10552【答案】 C【分析】【剖析】从这十个数中随机抽取 3 个数，这 3 个数字的属性互不相克，包括的基本领件个数n C51 (C21C22C22C21 )20，这 3 个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字包括的基本领件个数为：m C21 (C21C22C22C21 ) 8, ，由此能求出这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率．【详解】由题意得数字4， 9 属性为金， 3， 8 属性为木， 1， 6 属性为水，2，7 属性为火， 5， 10 属性为土，从这十个数中随机抽取 3 个数，这 3 个数字的属性互不相克，包括的基本领件个数 n C51(C21C22 C22C21) 20 ，这 3 个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字包括的基本领件个数为：m C21(C21C22C22C21) 8, ，∴这 3 个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率m82 p20．n5应选： C．【点睛】本题观察古典概型，要点在于依据计数原理正确求解基本领件总数和某一事件包括的基本领件个数 .13．已知 a c ，随机变量，的散布列如表所示.123P a b c123P c b a命题p ：E=E，命题q：D D，则()A． p 真 q真B． p 真q 假C． p 假q 真D． p假 q 假【答案】【分析】【剖析】C第一分别求E和E，而后比较，利用公式D E2E2，利用公式a b c 1 ，计算D D的值.【详解】E1 a 2b 3 c a 2b 3c E1 c 2 b 3 a 3a 2b c ，E E 2 c a Q a c ，E E ，所以命题p是假命题，E 2a4b9c， E 2a2b3c2，所以 D a4b9c a2 2b 3cE 29a4b c ，E23a2b c2，D E2E29a4b c 3a2b c2，D D8 c a3a2b2a2b2 c3c8 c a2a2c 4a4b4c，Q a b c1，所以 D D8 c a 8 a c 0 ，即 D D,所以命题q是真命题 .综上可知 p 假q真.应选： C【点睛】本题观察失散型散布列的希望方差，属于要点题型，本题使用的要点公式是D E2E2，比较大小的要点是利用 a b c 1 .14．在区间[2,2] 上随意取一个数x，使不等式x2x 0建立的概率为（）A．1111B．2C．D．634【答案】 D【分析】【剖析】先解不等式，再依据几何概型概率公式计算结果.【详解】由 x2x0 得 0101x 1 ，所以所求概率为( 2)，选 D.24【点睛】(1)当试验的结果组成的地区为长度、面积、体积等时，应试虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，要点是试验的所有结果组成的地区和事件发生的地区的找寻，有时需要设出变量，在座标系中表示所需要的地区．（3）几何概型有两个特色：一是无穷性，二是等可能性．基本领件能够抽象为点，只管这些点是无穷的，但它们所占有的地区都是有限的，所以可用 “ ”比率解法 求解几何概型的概率．3a115 ． ax3 的睁开式中，第三项的系数为（ ）61，则dx1xA ． 2ln 2B ． ln 2C ． 2D ． 1【答案】 A【分析】【剖析】第一依据二项式定理求出a1即可求出结果 .a ，把 a 的值带入 dx1x【详解】32解题剖析 依据二项式ax3 的睁开式的通项公式得T 2 1213 ax .6C 3 (ax)64Q 第三项的系数为1，a 1, a4 ，4a4则1dx1dxln x4 2ln 2 .11x1x应选： A【点睛】本题观察二项式定理及定积分 . 需要记着二项式定理睁开公式：Tk 1C n k a n k b k .属于中等题.16． 有编号为 1, 2 , 3 的三个盒子和编号分别为 1, 2 , 3 的三个小球，每个盒子放入一个小球，则小球的编号与盒子编号全不同样的概率为（）8 5 2 1 A ．B ．C ．D ．27633【答案】 D【分析】【剖析】列举出所有的基本领件，并确立失事件“小球的编号与盒子编号全不同样”所包括的基本领件，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率 .【详解】以 1,2,3 表示编号为 1、2、3 的盒子分别放编号为 1、2、3 的小球，则所有的基本领件有： 1,2,3 、 1,3,2 、 2,1,3 、 2,3,1 、 3,1,2、 3,2,1 ，共 6种，此中，事件“小球的号与盒子号全不同样”所包括的基本领件有：2,3,1 、 3,1,2，共2个，21所以，小球的号与盒子号全不同样的概率.63故： D.【点睛】本考利用古典概型的概率公式算事件的概率，解的关就是列出所有的基本领件，按照不重不漏的原，考算能力，属于中等.17．从 1， 2，3， 4，⋯，9 9个整数中同拿出 4个不一样的数，其和奇数，不一样取法种数有（）A． 60B． 66C． 72D． 126【答案】 A【分析】【剖析】要使四个数的和奇数，取数奇数的个数必是奇数个，再依据摆列合及数原理知，即可求解.【解】从 1， 2， 3，4，⋯， 99 个整数中同拿出 4 个不一样的数，其和要奇数，取数奇数的个数必是奇数个：所以共有C51C43C53C1460 种取法.故： A【点睛】本考了摆列合及的数，属于.18．爽是我国古代数学家、天文学家，大在公元 222 年，爽《周髀算》一作序，介了“勾股方”，亦称“ 爽弦”（以弦获取的正方形是由 4 个全等的直角三角形再加上中的一个小正方形成的） .比“ 爽弦”可. 似地结构以下所示的形，它是由 3 个全等的三角形与中的一个小等三角形拼成一个大等三角形 .DF 2 AF 分）的概率是（2，若在大等三角形中随机取一点，此点取自小等三角形（暗影部）A．4B．2 13C．9D．3 13 13132626【答案】 A【分析】【剖析】依据几何概率计算公式，求出中间小三角形地区的面积与大三角形面积的比值即可．【详解】在ABD 中，AD3，BD 1， ADB120 ，由余弦定理，得AB AD2BD 22AD BD cos12013 ，DF2所以.AB13S DEF =2所以所求概率为24.SABC1313应选 A.【点睛】本题观察了几何概型的概率计算问题，是基础题．19．某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10∶8∶ 7，从中抽取本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数为()200 名职员作为样A．280B． 320C． 400D． 1000【答案】C【分析】【剖析】由题意知这是一个分层抽样问题，依据青年、中年、老年职员的人数之比为10∶∶87 ，从中抽取 200 名职员作为样本，获取要从该单位青年职员中抽取的人数，依据每人被抽取的概率为 0.2 ，获取要求的结果【详解】由题意知这是一个分层抽样问题，Q 青年、中年、老年职员的人数之比为10∶∶87，从中抽取200 名职员作为样本，1020080要从该单位青年职员中抽取的人数为：8107Q 每人被抽取的概率为0.2，该单位青年职员共有804000.2应选 C【点睛】本题主要观察了分层抽样问题，运用计算方法求出结果即可，较为简单，属于基础题。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《计数原理与概率统计》易错题汇编附答案解析
《计数原理与概率统计》知识点汇总一、选择题1．设1021001210(2)x a a x a x a x -=++++L ，那么()(220210139)a a a a a a +++-+++L L 的值为（ ）A ．0B ．1-C ．1D ．10(21)-【答案】C 【解析】 【分析】令1x =和1x =-得到012310a a a a a ++++L ，012310a a a a a -+-++L ，再整体代入可得； 【详解】解：因为()1021012102xa a x a x a x -=++++L ，令1x =得()101231021a a a a a -=++++L ， 令1x =-得()101231021a a a a a +=-+-++L ，所以()(220210139)a a a a a a +++-+++L L()()012310012310a a a a a a a a a a =++++-+-++L L()()10102121=-+⋅()()102121+⋅⎡⎤-⎣⎦=1011== 故选：C 【点睛】本题考查利用待定系数法求二项式系数和的问题，属于中档题．2．《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，则这两卦的六根线中恰好有4根阴线的概率为（ ）A ．314B ．27C ．928D ．1928【答案】A【解析】【分析】列出所有28种情况，满足条件的有6种情况，计算得到概率.【详解】根据题意一共有：乾坤、乾巽、乾震、乾坎、乾离、乾艮、乾兑；坤巽、坤震、坤坎、坤离、坤艮、坤兑；巽震、巽坎、巽离、巽艮、巽兑；震坎、震离、震艮、震兑；坎离、坎艮、坎兑；离艮、离兑；艮兑，28种情况.满足条件的有：坤巽，坤离，坤兑，震坎，震艮，坎艮，共6种.故632814 p==.故选：A.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.3．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（）A．112B．115C．118D．114【答案】D【解析】【分析】先得到随机抽取两个不同的数共有28种，再得出选取两个不同的数，其和等于20的共有2中，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，在不超过20的素数有：2,3,5,7,11,13,17,19，共有8个数，随机选取两个不同的数，共有2828C=种，其中随机选取的两个不同的数，其和为20的有31720,71320+=+=，共有2种，所以概率为212814 P==.故选：D.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中利用组合数的公式求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.4．某小学要求下午放学后的17：00-18：00接学生回家，该学生家长从下班后到达学校（随机）的时间为17：30-18：30，则该学生家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子的概率为（ ） A ．78B ．34C ．12D ．14【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设学生出来的时间为x ，家长到达学校的时间为y ，转化成线性规划问题，利用面积型几何概型求概率，即可求得概率. 【详解】解：根据题意，设学生出来的时间为x ，家长到达学校的时间为y ， 学生出来的时间为17：00-18：00，看作56x ≤≤， 家长到学校的时间为17：30-18：30，5.5 6.5y ≤≤，要使得家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子，则需要y x ≥， 则相当于565.56.5x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，即求y x ≥的概率，如图所示：约束条件对应的可行域面积为：1， 则可行域中y x ≥的面积为阴影部分面积：111712228-⨯⨯=， 所以对应的概率为：77818=，即学生家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子的概率为：78. 故选：A.【点睛】本题考查利用面积型几何概型求概率，考查运算求解能力.5．在区间[]0,1内随机取两个数m ､n ，则关于x 的方程20x nx m +=有实数根的概率A．18B ．17C ．16D ．15【答案】A 【解析】 【分析】根据方程有实根可得到约束条件，根据不等式组表示的平面区域和几何概型概率公式可求得结果. 【详解】若方程20x nx m -+=有实数根，则40n m ∆=-≥.如图，400101n m m n -≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域与正方形0101m n ≤≤⎧⎨≤≤⎩的面积之比即为所求的概率，即111124118S P S ⨯⨯===⨯阴影正方形. 故选：A . 【点睛】本题考查几何概型中面积型概率问题的求解，涉及到线性规划表示的平面区域面积的求解，关键是能够根据方程有实根确定约束条件.6．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表： 广告费用（万元）4235销售额（万元）49263954根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元【解析】 【分析】 【详解】试题分析：4235492639543.5,4244x y ++++++====Q ， ∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4， ∴42=9．4×3．5+a ，∴ˆa=9．1， ∴线性回归方程是y=9．4x+9．1，∴广告费用为6万元时销售额为9．4×6+9．1=65．5 考点：线性回归方程7．将三枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A =“三个点数之和等于15”，B =“至少出现一个5点”，则概率()|P A B 等于（ ） A ．5108B ．113C ．17D ．710【答案】B 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式即可得出答案. 【详解】3311166617()216A P AB C C C +==Q ，11155561116691()1216C C C P B C C C =-=()()()72161|2169113P AB P A B P B ∴==⨯= 故选：B 【点睛】本题主要考查了利用条件概率计算公式计算概率，属于中档题.8．在矩形ABCD 中，AB AD >，在CD 上任取一点P ，使ABP △的最大边是AB 的概率为35，则在折线A-D-C-B 上任取一点Q ，使ABQ △是直角三角形的概率为（ ） A ．611B ．511C ．59D ．49【答案】A【分析】由题意设5AB =，由几何概型概率公式结合勾股定理可得3AD =，再由几何概型概率公式即可得解. 【详解】如图，矩形是对称的，设P 在线段MN 上时，ABP △的最大边为AB ， 则此时AM BN AB ==， 设5AB =，则3MN =，所以1DN CM ==，4DM =，5AM =， 由勾股定理知3AD =，当Q 在AD 或BC 上时，ABQ △为直角三角形， 故所求概率为611AD BC p AD CD BC +==++.故选：A.【点睛】本题考查了几何概型概率的求解，考查了转化化归思想，属于中档题.9．若1()nx x+的展开式中第3项与第7项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ ） A ．252 B ．70C ．256xD ．256x -【答案】B 【解析】由题意可得26n n C C =，所以8n =，则展开式中二项式系数最大的项为第五项，即44445881()70T C x C x===，故选B.10．如图所示，线段BD 是正方形ABCD 的一条对角线，现以BD 为一条边，作正方形BEFD ，记正方形ABCD 与BEFD 的公共部分为Ω（如图中阴影部分所示），则往五边形ABEFD 中投掷一点，该点落在Ω内的概率为（ ）A ．16B ．15C ．14D ．13【答案】B 【解析】 【分析】五边形ABEFD 的面积52S =，阴影Ω的面积为12，得到概率. 【详解】不妨设1AB =，故五边形ABEFD 的面积15222S =+=，阴影Ω的面积为12，故所求概率为1121522P ==+， 故选：B ． 【点睛】本题考查了几何概型，意在考查学生的计算能力和应用能力.11．已知某口袋中有3个白球和a 个黑球（*a N ∈），现从中随机取出一球，再换回一个不同颜色的球（即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球），记换好球后袋中白球的个数是ξ．若3E ξ=，则D ξ= ( ) A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】B 【解析】由题意2ξ=或4，则221[(23)(43)]12D ξ=-+-=，故选B ．12．已知()812x +展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，则ba的值（ ） A ．1265B ．1285C ．1253D ．26【答案】B【分析】根据二项式系数的性质求得a ，系数的最大值为b 求得b ，从而求得ba的值． 【详解】由题意可得4870a C ==，又展开式的通项公式为182r rr r T C x +=，设第1r +项的系数最大，则11881188·2?2·2?2r r r r r r r r C C C C ++--⎧⎨⎩……，即56r r ⎧⎨⎩…„， 求得=5r 或6，此时，872b =⨯，∴1285b a =， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查二项式系数的性质，第n 项的二项式系数与第n 项的系数之间的关系，属于中档题．13．已知()929012913x a a x a x a x -=++++L ，则019a a a +++…等于（ ） A ．92 B ．94 C ．93 D ．1【答案】B 【解析】 【分析】求出二项式()913x -展开式的通项为()193rrr T C x +=⋅-，可知当r 为奇数时，0r a <，当r 为偶数时，0r a >，然后代入1x =-即可得出019a a a ++⋯+的值.【详解】二项式()913x -展开式的通项()193rr r T C x +=⋅-，当r 为奇数时，0r a <，当r 为偶数时，0r a >，因此，()990191314a a a ⎡⎤++⋯+=-⨯-=⎣⎦.故选：B. 【点睛】本题考查利用赋值法求各项系数绝对值之和，要结合二项式定理判断各项系数的符号，考查推理能力与计算能力，属于中等题.14．从1，2，3，4，…，9这9个整数中同时取出4个不同的数，其和为奇数，则不同取法种数有（ ） A ．60 B ．66C ．72D ．126【答案】A 【解析】要使四个数的和为奇数，则取数时奇数的个数必须是奇数个，再根据排列组合及计数原理知识，即可求解. 【详解】从1，2，3，4，…，9这9个整数中同时取出4个不同的数，其和要为奇数，则取数时奇数的个数必须是奇数个：所以共有1331545460C C C C +=种取法.故选：A 【点睛】本题考查了排列组合及简单的计数问题，属于简单题.15．高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国100个城市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分别为123100,,,,x x x x L ，它们的平均数为x ，方差为2s ；其中扫码支付使用的人数分别为132x +，232x +，332x +，L ，10032x +，它们的平均数为x '，方差为2s '，则x '，2s '分别为（ ）A ．32x +，232s +B ．3x ，23sC ．32x +，29sD ．32x +，292s +【答案】C 【解析】 【分析】由样本数据的平均数和方差的公式，化简、运算，即可求解，得到答案. 【详解】由平均数的计算公式，可得数据12100,,,x x x L 的平均数为1231001()100x x x x x =++++L 数据1210032,32,,32x x x +++L 的平均数为：121001210011[(32)(32)(32)][3()2100]32100100x x x x x x x ++++++=++++⨯=+L L ， 数据12100,,,x x x L 的方差为2222121001[()()()]100s x x x x x x =-+-++-L ， 数据1210032,32,,32x x x +++L 的方差为：222121001{[(32)(32)[(32(32)][(32)(32)]}100x x x x x x +-+++-++++-+L 2222121001[9()9()9()]9100x x x x x x s =-+-++-=L 故选C. 【点睛】本题主要考查了样本数据的平均数和方差的计算与应用，其中解答中熟记样本数据的平均数和方差的计算公式，合理化简与计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16．()()5112x x ++的展开式中4x 的系数为（ ） A ．100 B ．120C ．140D ．160【答案】D 【解析】 【分析】利用二项式定理展开式通项公式求指定项的系数. 【详解】()()5112x x ++的展开式中4x 的系数为334455C 2C 2160⋅+⋅=.故选：D. 【点睛】本题主要考查二项式定理，考查运算求解能力，是基础题.17．某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为 1.160.5ˆ37yx =-，以下结论中不正确的为（ ）A ．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差B ．15名志愿者身高和臂展成正相关关系，C ．可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米D ．身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米， 【答案】D 【解析】 【分析】根据散点图和回归方程的表达式，得到两个变量的关系，A 根据散点图可求得两个量的极差，进而得到结果；B ，根据回归方程可判断正相关；C 将190代入回归方程可得到的是估计值，不是准确值，故不正确；D ，根据回归方程x 的系数可得到增量为11.6厘米，但是回归方程上的点并不都是准确的样本点，故不正确. 【详解】A ，身高极差大约为25，臂展极差大于等于30，故正确；B ，很明显根据散点图像以及回归直线得到，身高矮臂展就会短一些，身高高一些，臂展就长一些，故正确；C ，身高为190厘米，代入回归方程可得到臂展估计值等于189.65厘米，但是不是准确值，故正确；D ，身高相差10厘米的两人臂展的估计值相差11.6厘米，但并不是准确值，回归方程上的点并不都是准确的样本点,故说法不正确.故答案为D.【点睛】本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x 与Y 之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.18．古代人常常会研究“最大限度”问题，下图是一个正三角形内最大限度地可以放入三个同样大小的圆，若将一个质点随机投入如图所示的正三角形ABC 中（阴影部分是三个半径相同的圆，三个圆彼此互相外切，且三个圆与正三角形ABC 的三边分别相切），则质点落在阴影部分内部的概率是（ ）A ．2334-B ．(233)4π-C ．233-D ．(233)2π- 【答案】D【解析】 【分析】设圆的半径为r ，表示出三角形的边长，分别求出圆的面积和三角形面积，根据几何概型求解概率.【详解】设“质点落在阴影部分内部”为事件M .如右图所示：设圆的半径为r ，正三角形ABC 的边长为a .因为130PBO ∠=︒，所以3tan 30r BP =︒=3BP r =.同理，3CQ r =.又因为122PQ O O r ==，所以22)BP CQ PQ r r BC a ++=++===，所以由几何概型得，点落在阴影部分内部的概率是22()P M ===. 故选：D.【点睛】此题考查求几何概型，关键在于准确求出圆的面积和三角形的面积，找出其中的等量关系即可得解.19．某校从6名教师中选派3名教师去完成4项不同的工作，每人至少完成一项，每项工作由1人完成，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案种数是（ ）A ．252B ．288C ．360D ．216【答案】A【解析】【分析】 3名教师去完成4项不同的工作，每人至少完成一项，每项工作由1人完成，所以当3名教师确定时，则其中1人必须完成两项工作，故完成工作的方法有121342C C C ••种,然后再根据甲、乙、丙三人的条件要求，分三种情况讨论，得出结果.【详解】解：因为3名教师去完成4项不同的工作，每人至少完成一项，每项工作由1人完成，所以当3名教师确定时，则其中1人必须完成两项工作，故安排3名教师完成4项工作，可以先确定完成两项工作的1名人员，其方法有13C ， 然后再确定完成的工作，其方法有24C ，然后再将剩下的两项工作分配给剩下的两人，其方法有12C ，故当3名教师确定时，完成工作的方法有121342C C C ••种； 因为甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，故有三种方法选择教师，第一种方法：甲参加，乙不参加，丙参加，再从剩下的3人中选择1人，其方法有13C 种， 第二种方法：甲不参加，乙参加，丙不参加，再从剩下的3人中选择2人，其方法有23C 种，第三种方法：甲不参加，乙不参加，丙不参加，再从剩下的3人中选择3人，其方法有33C 种；故最终选派的方法为()123121333342C C C C C C 252++•••=，故选A.【点睛】本题考查了排列组合的知识、分类分步的计数原理，解题的关键是要辨析清楚何时是分类，何时是分步.20．已知离散型随机变量X 服从二项分布~(,)X B n p ，且()4E X =，()D X q =，则11p q+的最小值为（ ） A ．2B ．52C ．94D ．4【答案】C【解析】【分析】根据二项分布()~X B n p ，的性质可得()E X ，()D X ，化简即44p q +=，结合基本不等式即可得到11p q+的最小值. 【详解】离散型随机变量X 服从二项分布()X B n p :，，所以有()4E X np ==，()()1D X q np p ==-（，所以44p q +=，即14q p +=，（0p >，0q >） 所以11114q p p q p q ⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 5592144444q p q p p q p q ⎛⎫++≥⨯=+= ⎪⎝⎭， 当且仅当423q p ==时取得等号． 故选C ．【点睛】本题主要考查了二项分布的期望与方差，考查了基本不等式，属于中档题．。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《计数原理与概率统计》易错题汇编含解析
【高中数学】数学《计数原理与概率统计》复习知识要点一、选择题1．将三枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A =“三个点数之和等于15”，B =“至少出现一个5点”，则概率()|P A B 等于（ ） A ．5108B ．113C ．17D ．710【答案】B 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式即可得出答案. 【详解】3311166617()216A P AB C C C +==Q ，11155561116691()1216C C C P B C C C =-= ()()()72161|2169113P AB P A B P B ∴==⨯= 故选：B 【点睛】本题主要考查了利用条件概率计算公式计算概率，属于中档题.2．从1,2,3,4,5中任取三个数，则这三个数能构成三角形的概率为（ ） A ．15B ．310C ．25D ．12【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】从1,2,3,4,5中任取三个数，取法总数为：3510C =这三个数能构成三角形的情况有：()()()2,3,42,4,53,4,5，， ∴这三个数能构成三角形的概率为：310故选B3．若不等式组2302400x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的区域为Ω，不等式222210x y x y +--+≤表示的区域为T ，则在区域Ω内任取一点，则此点落在区域T 中的概率为（ ）A ．4πB ．8π C ．5π D ．10π 【答案】D 【解析】 【分析】作出不等式组2302400x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何概型的概率公式即可得到结论． 【详解】作出不等式组2302400x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的区域Ω，不等式222210x y x y +--+≤化为()()22111x y -+-≤它表示的区域为T ，如图所示；则区域Ω表示ABC V ，由240230x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得点()12B -，； 又()20A -，，30B （，），∴()132252ABC S =⨯+⨯=V ， 又区域T 表示圆，且圆心()11M ，在直线230x y +-=上，在ABC V 内的面积为21122ππ⨯=；∴所求的概率为2510P ππ==，故选D ．【点睛】本题主要考查了几何概型的概率计算问题，利用数形结合求出对应的面积是解题的关键，属于中档题.4．若1()nx x+的展开式中第3项与第7项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ ） A ．252 B ．70C ．256xD ．256x -【答案】B 【解析】由题意可得26n n C C =，所以8n =，则展开式中二项式系数最大的项为第五项，即44445881()70T C x C x===，故选B.5．安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有（ ） A ．100种 B ．60种 C ．42种 D ．25种【答案】C 【解析】 【分析】给三个社区编号分别为1，2，3，则甲可有3种安排方法，剩下的两个再进行分步计数，从而求得所有安排方式的总数. 【详解】甲可有3种安排方法， 若甲先安排第1社区，则第2社区可安排1个、第3社区安排3个，共1343C C ⋅；第2社区2个、第3社区安排2个，共2242C C ⋅；第2社区3个，第3社区安排1个，共1141C C ⋅；故所有安排总数为1322114342413()42C C C C C C ⨯⋅+⋅+⋅=.故选：C. 【点睛】本题考查分类与分步计数原理、组合数的计算，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.6．下列等式不正确的是（ ）A ．111m mnn m C C n ++=+ B ．12111m m m n n n A A n A +-+--=C ．11m m n n A nA --= D ．1(1)k k kn n n nC k C kC +=++【答案】A 【解析】【分析】根据排列和组合公式求解即可. 【详解】根据组合公式得11!1(1)!1!()!1(1)!()!1mm n n n m n m C C m n m n m n m n +++++==⨯=-++-+，则A 错误；根据排列公式得122111(1)!!!(1)!(11)()!()!()!()!m m m n n n n n n n A A n n n A n m n m n m n m +-+-+--=-=+-=⋅=----，则B 正确；根据排列公式得11!(1)!()!()!mm n n n n A n nA n m n m ---==⋅=--，则C 正确；根据组合公式得()()1!!(1)(1)(1)!1!!1!k n n n k C k k n k k n k ++=+⋅=+-+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦[]!!()!()!!(1)!k kn n n n nC kC n k k n k k n k -⋅=--+-=即1(1)k k k n n n nC k C kC +=++，则D 正确；故选:A 【点睛】本题主要考查了排列和组合公式的应用，属于中档题.7．下列四个结论中正确的个数是（1）对于命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R ⌝∃∈都有210x ->；（2）已知2(2,)X N σ:，则 (2)0.5P X >=（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为ˆ23yx =-； （4）“1x ≥”是“12x x+≥”的充分不必要条件. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定． 【详解】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R ⌝∀∈都有210x ->，是错误的；（2）中，已知()22,X N σ~，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为2x =，所以 (2)0.5P X >=是正确的；（3）中，回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为ˆ23yx =-是正确；（4）中，当1x ≥时，可得12x x +≥=成立，当12x x +≥时，只需满足0x >，所以“1x ≥”是“12x x+≥”成立的充分不必要条件． 【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．8．某小学要求下午放学后的17：00-18：00接学生回家，该学生家长从下班后到达学校（随机）的时间为17：30-18：30，则该学生家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子的概率为（ ） A ．78B ．34C ．12D ．14【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设学生出来的时间为x ，家长到达学校的时间为y ，转化成线性规划问题，利用面积型几何概型求概率，即可求得概率. 【详解】解：根据题意，设学生出来的时间为x ，家长到达学校的时间为y ， 学生出来的时间为17：00-18：00，看作56x ≤≤， 家长到学校的时间为17：30-18：30，5.5 6.5y ≤≤，要使得家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子，则需要y x ≥，则相当于565.56.5x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，即求y x ≥的概率，如图所示：约束条件对应的可行域面积为：1， 则可行域中y x ≥的面积为阴影部分面积：111712228-⨯⨯=， 所以对应的概率为：77818=，即学生家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子的概率为：7 8 .故选：A.【点睛】本题考查利用面积型几何概型求概率，考查运算求解能力.9．如图，是民航部门统计的某年春运期间12个城市出售的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（）A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高.B．深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降.C．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州.D．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门.【答案】D【解析】【分析】根据折线的变化率，得到相比去年同期变化幅度、升降趋势，逐一验证即可．【详解】由图可知，选项A、B、C都正确，对于D，因为要判断涨幅从高到低，而不是判断变化幅度，所以错误．【点睛】本题考查了条形统计图的应用，从图表中准确获取信息是关键，属于中档题．10．在区间[]0,1内随机取两个数m ､n ，则关于x 的方程20x nx m -+=有实数根的概率为（ ） A ．18B ．17C ．16D ．15【答案】A 【解析】 【分析】根据方程有实根可得到约束条件，根据不等式组表示的平面区域和几何概型概率公式可求得结果. 【详解】若方程20x nx m -+=有实数根，则40n m ∆=-≥.如图，400101n m m n -≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域与正方形0101m n ≤≤⎧⎨≤≤⎩的面积之比即为所求的概率，即111124118S P S ⨯⨯===⨯阴影正方形.故选：A . 【点睛】本题考查几何概型中面积型概率问题的求解，涉及到线性规划表示的平面区域面积的求解，关键是能够根据方程有实根确定约束条件.11．先后投掷骰子（骰子的六个面分别标有1、2、3、4、5、6个点）两次落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为,x y ，设事件A 为“x y +为偶数”，事件B 为“x y 、中有偶数，且x y ≠”，则概率()P B A =( ) A ．13B ．12C ．14D ．25【答案】A【分析】根据题意有()))|(=(n AB P n A A B ，所以只须分析事件A 和事件AB 所包含的基本事件，即可根据公式求出结果. 【详解】解：事件A 中“x y +为偶数”，所以,x y 同奇同偶，共包含22318⨯=种基本事件；事件AB 同时发生，则,x y 都为偶数，且x y ≠，则包含236A =个基本事件；()()61=)13|=(8n AB n A P B A =. 故选：A. 【点睛】本题考查条件概率的应用，考查基本事件的求法，解题的关键是辨析条件概率，属于基础题.12．6件产品中有4件合格品，2件次品.为找出2件次品，每次任取一个检验，检验后不放回，则恰好在第四次检验后找出所有次品的概率为（ ） A ．35B ．13C ．415D ．15【答案】C 【解析】 【分析】题目包含两种情况：第一种是前面三次找出一件次品，第四次找出次品，第二种情况是前面四次都是正品，则剩余的两件是次品，计算概率得到答案. 【详解】题目包含两种情况：第一种是前面三次找出一件次品，第四次找出次品，2314615C p C ==；第二种情况是前面四次都是正品，则剩余的两件是次品，44246115C p C ==；故12415p p p =+=. 故选：C . 【点睛】本题考查了概率的计算，忽略掉前面四次都是正品的情况是容易发生的错误.13．已知()812x +展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，则ba的值A ．1265B ．1285C ．1253D ．26【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式系数的性质求得a ，系数的最大值为b 求得b ，从而求得ba的值． 【详解】由题意可得4870a C ==，又展开式的通项公式为182r rr r T C x +=，设第1r +项的系数最大，则11881188·2?2·2?2r r r r r r r r C C C C ++--⎧⎨⎩……，即56r r ⎧⎨⎩…„， 求得=5r 或6，此时，872b =⨯，∴1285b a =， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查二项式系数的性质，第n 项的二项式系数与第n 项的系数之间的关系，属于中档题．14．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 A ．12B ．13C ．16D ．112【答案】B 【解析】 【分析】求得基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=， 其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==,所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为13m p n ==，故选B. 【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.15．()()5112x x ++的展开式中4x 的系数为（ ） A ．100 B ．120C ．140D ．160【答案】D 【解析】 【分析】利用二项式定理展开式通项公式求指定项的系数. 【详解】()()5112x x ++的展开式中4x 的系数为334455C 2C 2160⋅+⋅=.故选：D. 【点睛】本题主要考查二项式定理，考查运算求解能力，是基础题.16．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，其中a 、b 、c ∈{0,1,2,3,4}，则不同的二次函数的个数共有( ) A ．125个 B ．60个 C ．100个 D ．48个【答案】C 【解析】由题意得，0a ≠，a 的选择一共有14C =4，b 的选择一共有155C =，c 的选择共155C =种，根据分步计数原理，不同的二次函数共有N=455⨯⨯=100种。
文科高考数学重难点05 概率与统计(解析版)
重难点05 概率与统计【命题趋势】统计与概率是高考文科中的一个重要的一环高考对概率与统计内容的考查一般以实际应用题出现,这既是这类问题的特点,也符合高考发展的方向.概率应用题侧重于古典概率,近几年的高考有以概率应用题替代传统应用题的趋势,该题出现在解答题第二或第三题的位置，可见概率统计在高考中属于中档题.虽为中档题，但是实际生活背景在加强，阅读量大，所以快速阅读考题并准确理解题意是很重要的.对于这部分，我们还应当重视与传统内容的有机结合. 为了准确地把握2020年高考概率统计命题思想与趋势，在最后的复习中做到有的放矢，提高复习效率，纵观近五年的全国文科I卷，我们看到近几年每年一考,多出现在19题，分值12分；从难度上看：以中档题为主，重基础，考查的重点为统计图表的绘制与分析、数字特征的计算与分析、概率计算、线性回归分析，独立性检验等知识点，一般都会以实际问题为载体，代替传统建模题目.本专题我们把这些热点问题逐一说明，并提出备考指南，希望同学们在复习时抓住重点、事半功倍.【热点预测以及解题技巧】热点一：“统计”背景下的“概率”问题这类问题一般将统计与概率相结合.以频率分布直方图或茎叶图为背景来考查概率知识，有时以表格为背景来考查概率知识，需要从统计图、表格获取信息、处理数据的能力，并根据得出的数据求概率.热点二：样本分析并通过样本分析作决策进行样本分析时从统计图表中获取数据，得出频率、平均数、方差，用样本频率估计概率、样本数字特征估计总体数字特征，有时需以此作出决策.热点三：线性回归分析根据最小二乘法得出回归直线方程，有时需适当换元转化为线性回归方程. 由于计算量很大，题目一般会给出的参考数据，但是注意数据设置的“障眼法”，这时就要认真领会题意，找出适用的参考数据加以计算.热点四：独立性检验寻找数据完成列联表，下面的解题步骤比较固定，按部就班完成即可.热点五：与函数相结合的概率统计题这类题也是近几年出现较多的一类题，其综合性强，理解题意后找准变量，构建函数关系式.【限时检测】（建议用时：35分钟）一、单选题1．（2021·广西钦州一中高三开学考试（文））点在边长为2的正方形内运动，P ABCD 则动点到顶点的距离的概率为（ ）P A 2PA <A ．B ．C ．D ．14124ππ【答案】C 【解析】分析：先根据题意得出PA 等于2 的临界值情况，再根据几何概型求解即可.详解：由题可知当PA=2时是以A 为圆心2为半径的四分之一圆，所以概率为P=，故选C21444r ππ=2．（2020·全国高三其他模拟（文））从某高中女学生中选取10名学生，根据其身高、体重数据，得到体重关于身高的回归方程，用来刻画回归效(cm)(kg)ˆ0.8585yx =-果的相关指数，则下列说法正确的是（ ）20.6R =A ．这些女学生的体重和身高具有非线性相关关系B ．这些女学生的体重差异有60%是由身高引起的C ．身高为的女学生的体重一定为170cm 59.5kgD ．这些女学生的身高每增加，其体重约增加0.85cm 1kg 【答案】B【分析】因为回归方程为，且刻画回归效果的相关指数，所以，ˆ0.8585y x =-20.6R =这些女学生的体重和身高具有线性相关关系，A 错误；这些女学生的体重差异有60%是由身高引起的，B 正确；时，，预测身高为的女学生体重为,C 错170x =ˆ0.851708559.5y=⨯-=170cm 59.5kg 误；这些女学生的身高每增加，其体重约增加，D 错误．0.85cm 0.850.850.7225(kg)⨯=故选：B3．（2020·石嘴山市第三中学高三其他模拟（文））网络是一种先进的高频传输技5G 术，我国的技术发展迅速，已位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了一款手5G 5G 机，现调查得到该款手机上市时间和市场占有率（单位：%）的几组相关对应数5G x y 据.如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根据数据得出关于的线性回归方程为.若用此方程分析并预y x0.042y x a =+测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款手机市场占有率能超过0.5%（精5G 确到月）（）A ．2020年6月B ．2020年7月C ．2020年8月D ．2020年9月【答案】C【分析】：，1(12345)35x =⨯++++=1(0.020.050.10.150.18)0.15y =⨯++++=点在直线上()3,0.1ˆˆ0.042y x a =+，ˆ0.10.0423a=⨯+ˆ0.026a =-ˆ0.0420.026yx =-令ˆ0.0420.0260.5y x =->13x ≥因为横轴1代表2019年8月，所以横轴13代表2020年8月，故选：C4．（2020·河南新乡市·高三一模（文））年的“金九银十”变成“铜九铁十”，全2020国各地房价“跳水”严重，但某地二手房交易却“逆市”而行.下图是该地某小区年2019月至年月间，当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图.（图中月11202011份代码分别对应年月年月）113:2019112020:11根据散点图选择和两个模型进行拟合，经过数据处理得到的两y a =+ln y c d x =+个回归方程分别为，并得到以下一些0.9369y =+0.95540.0306ln y x =+统计量的值：是（）A ．当月在售二手房均价与月份代码呈正相关关系y xB ．根据年月在售二手房均价约为万元/0.9369y =+20212 1.0509平方米C ．曲线的图形经过点0.9369y =+0.95540.0306ln y x =+()x yD ．回归曲线的拟合效果好于的拟合效0.95540.0306ln y x =+ 0.9369y =+果【答案】C【分析】对于A ，散点从左下到右上分布，所以当月在售二手房均价与月份代码呈正y x 相关关系，故A 正确；对于B ，令，由，16x =0.9369 1.0509y =+=所以可以预测年月在售二手房均价约为万元/平方米，故B 正确；20212 1.0509对于C ，非线性回归曲线不一定经过，故C 错误；()x y 对于D ，越大，拟合效果越好，故D 正确.2R 故选：C.5．（2020·全国高三专题练习（文））现行普通高中学生在高一时面临着选科的问题，学校抽取了部分男､女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的（ ）A ．样本中的女生数量多于男生数量B ．样本中有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量C ．样本中的男生偏爱两理一文D ．样本中的女生偏爱两文一理【答案】D【分析】：由条形图知女生数量多于男生数量，故A 正确；有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量，故B 正确；男生偏爱两理一文，故C 正确；女生中有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量，故D 错误.故选：D.6．（2021·全国高三专题练习（文））下图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中为直角三角形，四边形为它的内接正方形，已知ABC :DEFC ，，在内任取一点，则此点取自正方形内的概率为（2BC =4AC =ABC :DEFC）A ．B ．C ．D ．12592949【答案】D【分析】解：，，4tan 22AC B BC === tan 2EFB FB ∴==，解得，22()2(2)EF FB BC EF EF ==-=-43EF =，，1142422ACB S AC BC ∴==⨯⨯=::4416339DEFC S =⨯=根据几何概型．164949P ==故选：D ．7．（2021·江西新余市·高三期末（文））2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数，使得是素数．素数对称为孪生素数．从15以p 2p +(,2)p p +内的素数中任取2个构成素数对，其中是孪生素数的概率为（）A ．B ．C ．D ．13141516【答案】C【分析】以内的素数有，，，，，，共个，任取两个构成素数对，则152********有：，，，，，，，，，，()2,3()2,5()2,7()2,11()2,13()3,5()3,7()3,11()3,13()5,7，，，，，共中取法，而是孪生素数的有，()5,11()5,13()7,11()7,13()11,1315()3,5，，其概率为.()5,7()11,1331155p ==故选：C.8．（2021·安徽阜阳市·高三期末（文））如图，根据已知的散点图，得到y 关于x 的线性回归方程为，则（ ）ˆ0.2y bx =+ˆb =A ．1.5B ．1.8C ．2D ．1.6【答案】D【分析】因为，所以，解得12345235783,555x y ++++++++====530.2b =+ ．1.6b = 故选：D .9．（2021·全国高三专题练习（文））在上随机取一个数，则事件“直线与[]1,1-k y kx =圆相交”发生的概率为（ ）22(x 13)25y -+=A ．B ．12513C ．D ．51234【答案】C【分析】直线与圆相交y kx =22(x 13)25y -+=555,1212d k ⎛⎫⇒∈- ⎪⎝⎭直线斜率时与圆相交，故所求概率.55,1212k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭10512212P ==故答案选C10．（2021·全国高三专题练习（文））给出下列说法：①回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点；ˆˆˆy bx a =+(,)x y ②两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1；||r ③将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变；④在回归直线方程中，当解释变量增加一个单位时，预报变量平均减少ˆ20.5y x =-x ˆy0.5个单位.其中说法正确的是（ ）A ．①②④B ．②③④C ．①③④D ．②④【答案】B【分析】对于①中，回归直线恒过样本点的中心，但不一定过一个样本ˆˆˆy bx a =+(x y 点，所以不正确；对于②中，根据相关系数的意义，可得两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1，||r 所以是正确的；对于③中，根据方差的计算公式，可得将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差是不变的，所以是正确的；对于④中，根据回归系数的含义，可得在回归直线方程中，当解释变量增ˆ20.5y x =-x 加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位，所以是正确的.ˆy 故选：B.11．（2020·江西吉安市·高三其他模拟（文））给出一组样本数据：1，4，，3，它们出m 现的频率分别为0.1，0.1，0.4，0.4，且样本数据的平均值为2.5，从1，4，，3中任取m 两个数，则这两个数的和为5的概率为（）A ．B ．C ．D ．12231314【答案】C【分析】由题意得，样本平均值为，解得，10.140.10.430.4 2.5m ⨯+⨯+⨯+⨯=2m =即这组样本数据为1，4，2，3，从中任取两个有，，，，，共6种情况，()1,4()1,2()1,3()4,2()4,3()2,3其中和为5的有，两种情况，()1,4()2,3∴所求概率为，2163P ==故选：C.12．（2020·全国高三专题练习（理））物流业景气指数反映物流业经济发展的总体LPI 变化情况，以作为经济强弱的分界点，高于时，反映物流业经济扩张；低于50%50%时，则反映物流业经济收缩。
2020年高考数学(文)之纠错笔记专题12 概率含答案
专题12 概率易错点1 忽略概率加法公式的应用前提致错某商店日收入(单位：元)在下列范围内的概率如下表所示：日收入[1000, 1500)[1500,2000)[2000, 2500)[2500, 3000)概率0.12a b0.14已知日收入在[1000,3000)(元)范围内的概率为0.67,求月收入在[1500,3000)(元)范围内的概率.【错解】记这个商店日收入在[1000,1500),[1500,2000),[2000,2500),[2500,3000) (元)范围内的事件分别为A,B,C,D,则日收入在[1500,3000)(元)范围内的事件为B+C+D,所以P(B+C+D)=1-P(A)=0.88.【错因分析】误用P(B+C+D)=1-P(A).事实上,本题中P(A)+P（B）+P（C）+P（D）≠1,故事件A与事件B+C+D 并不是对立事件.【试题解析】因为事件A,B,C,D互斥,且P(A)+P（B）+P（C）+P（D）=0.67,所以P(B+C+D)=0.67-P(A)=0.55.在应用概率加法公式时，一定要注意其应用的前提是涉及的事件是互斥事件.对于事件A，B，有=+U，只有当事件A，B互斥时，等号才成立.P A B P A P B()()()1．已知射手甲射击一次，命中9环（含9环）以上的概率为0.56，命中8环的概率为0.22，命中7环的概率为0.12．（1）求甲射击一次，命中不足8环的概率；（2）求甲射击一次，至少命中7环的概率.【答案】（1）甲射击一次，命中不足8环的概率是0.22．（2）甲射击一次，至少命中7环的概率为0.9【解析】记“甲射击一次，命中7环以下”为事件A ，则P （A ）＝1﹣0.56﹣0.22﹣0.12＝0.1， “甲射击一次，命中7环”为事件B ，则P （B ）＝0.12， 由于在一次射击中，A 与B 不可能同时发生， 故A 与B 是互斥事件，（1）“甲射击一次，命中不足8环”的事件为A +B ， 由互斥事件的概率加法公式，P （A +B ）＝P （A ）+P （B ）＝0.1+0.12＝0.22． 答：甲射击一次，命中不足8环的概率是0.22． （2）方法1：记“甲射击一次，命中8环”为事件C ， “甲射击一次，命中9环（含9环）以上”为事件D ， 则“甲射击一次，至少命中7环”的事件为B +C +D ，∴P （B +C +D ）＝P （B ）+P （C ）+P （D ）＝0.12+0.22+0.56＝0.9． 答：甲射击一次，至少命中7环的概率为0.9． 方法2：∵“甲射击一次，至少命中7环”为事件A ， ∴()()1P A P A =-=1﹣0.1＝0.9．答：甲射击一次，至少命中7环的概率为0.9．【名师点睛】本题考查概率的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地运用对立事件的概率的求法．易错点2 混淆“等可能”与“非等可能”从5名男生和3名女生中任选1人去参加演讲比赛,求选中女生的概率.【错解】从8人中选出1人的结果有“男生”“女生”两种,则选中女生的概率为12.【错因分析】因为男生人数多于女生人数,所以选中男生的机会大于选中女生的机会,它们不是等可能的.【试题解析】选出1人的所有可能的结果有8种,即共有8个基本事件,其中选中女生的基本事件有3个,故选中女生的概率为38.利用古典概型的概率公式求解时，注意需满足两个条件：（1）所有的基本事件只有有限个；（2）试验的每个基本事件是等可能发生的.2．2019年中国北京世界园艺博览会于4月29日至10月7日在北京市延庆区举办．如果小明从中国馆、国际馆、植物馆、生活体验馆四个展馆中随机选择一个进行参观，那么他选择的展馆恰为中国馆的概率为A．12B．14C．18D．116【答案】B【解析】可能出现的选择有4种，满足条件要求的种数为1种，则14P=，故选B.【名师点睛】本题考查利用古典概型完成随机事件的概率的求解，难度较易.古典概型的概率计算公式：（目标事件的数量）÷（基本事件的总数）.错点3 几何概型中测度的选取不正确在等腰直角三角形ABC中,直角顶点为C．（1）在斜边AB上任取一点M,求AM<AC的概率;（2）在∠ACB的内部,以C为端点任作一条射线CM,与线段AB交于点M,求AM<AC的概率.【错解】（1）如图所示,在AB上取一点C',使AC'=AC,连接CC'.由题意,知AB =√2AC ．由于点M 是在斜边AB 上任取的,所以点M 等可能分布在线段AB 上,因此基本事件的区域应是线段AB ．所以()2AC P AM AC AB '<===.（2）在∠ACB 的内部作射线CM ，则所求概率为AC AC AB AB '==. 【错因分析】第（2）问的解析中错误的原因在于选择的观察角度不正确，因为在∠ACB 的内部作射线CM 是均匀分布的，所以射线CM 作在任何位置都是等可能的，则涉及的测度应该是角度而不是长度.【试题解析】（1）如图所示,在AB 上取一点C',使AC'=AC,连接CC'.由题意,知AB =√2AC ．由于点M 是在斜边AB 上任取的,所以点M 等可能分布在线段AB 上,因此基本事件的区域应是线段AB ．所以()2AC P AM AC AB '<===.（2）由于在∠ACB 内作射线CM,等可能分布的是CM 在∠ACB 内的任一位置(如图所示),因此基本事件的区域应是∠ACB,又1(18045)67.52ACC '∠=-=o o o ，90ACB ∠=o ，所以()ACC P AM AC ACB '∠<==∠的角度的角度67.53904=oo .对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式． (1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可； (2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型．3．如图，在直角梯形ABCD 中，2AD CD ==，B 是OC 的中点，若在直角梯形ABCD 中投掷一点(,)P x y ，则以x ，y ，2为三边构成的三角形为钝角三角形的概率为A ．14π- B ．24π-C ．13π-D ．23π-【答案】C【解析】由题意，得2x ≤，2y ≤，故2为三角形的最长边长，Q 以x ，y ，2为三边构成的三角形为钝角三角形，224x y ∴+<，即以原点为圆心，半径为2的圆，()12112131222AOB ABCDS P S π-⨯⨯π-π-∴===⨯+⨯△梯形，故选C.(1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题； (3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题．一、随机事件与概率 1．事件关系的判断方法对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系．2．基本事件个数的计算方法 (1)列举法； (2)列表法； (3)利用树状图列举.3．求互斥事件概率的两种方法(1)直接求法：将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算．(2)间接求法：先求此事件的对立事件，再用公式P (A )＝1－()P A 求得，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法往往会较简便. 二、古典概型1．求古典概型的基本步骤 (1)算出所有基本事件的个数n .(2)求出事件A 包含的所有基本事件数m . (3)代入公式P (A )＝mn ，求出P (A )．2．基本事件个数的确定方法(1)列举法：此法适用于基本事件较少的古典概型．(2)列表法：此法适用于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成是坐标法． 3．求与古典概型有关的交汇问题的方法解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算. 三、几何概型1.求解与长度(角度)有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)．然后求解，要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度、角度)． 2．求解与体积有关的几何概型的方法对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求． 3．求解与面积有关的几何概型的方法求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生 C ．616号学生D ．815号学生【答案】C【解析】由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =，所以610n a n =+()n *∈N ，若8610n =+，解得15n =，不合题意；若200610n =+，解得19.4n =，不合题意；若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ．2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A ．23 B ．35 C ．25D ．15【答案】B【分析】首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式即可求解．【解析】设其中做过测试的3只兔子为,,a b c ，剩余的2只为,A B ，则从这5只中任取3只的所有取法有{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,}a b c a b A a b B a c A a c B a A B b c A ，{,,},{,,},{,,}b c B b A B c A B ，共10种．其中恰有2只做过测试的取法有{,,},{,,},{,,},{,,},a b A a b B a c A a c B {,,},{,,}b c A b c B ，共6种， 所以恰有2只做过测试的概率为63105=，故选B ． 【名师点睛】本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错．3．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A ．112 B ．114 C ．115D ．118【答案】C【解析】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有109452⨯=种方法，因为7+23=11+19=13+17=30，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为31=4515.故选C.【名师点睛】先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.古典概型中基本事件数的探求方法： (1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. 4．一个盒子内装有大小相同的红球、白球和黑球若干个，从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，那么摸出黑球或红球的概率是A ．0.3B ．0.55C ．0.7D ．0.75【答案】D【解析】因为从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25， 所以摸出黑球的概率是1(0.450.25)0.3-+=， 因为从盒子中摸出1个球为黑球或红球为互斥事件， 所以摸出黑球或红球的概率0.30.450.75P =+=，故选D ．【名师点睛】本题主要考查了两个互斥事件的和事件，其概率公式()()()P AUB P A P B =+，属于中档题. 5．在一项自“一带一路”沿线20国青年参与的评选中“高铁”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”被称作中国“新四大发明”，曾以古代“四大发明”推动世界进步的中国，正再次以科技创新向世界展示自己的发展理念．某班假期分为四个社会实践活动小组，分别对“新四大发明”对人们生活的影响进行调查．于开学进行交流报告,四个小组随机排序，则“支付宝”小组和“网购”小组不相邻的概率为 A ．16 B ．16C ．13D ．12【答案】D【解析】将“支付宝”小组，“网购”小组，“高铁”小组，“共享单车”小组分别记为1A ，2A ，1B ，2B ．则四个小组随机排序的所有情况有：()1212,,,A A B B ，()1221,,,A A B B ，()2112,,,A A B B ，()2121,,,A A B B ，()1122,,,A B A B ，()1221,,,A B A B ，()2112,,,A B A B ，()2211,,,A B A B ，()1122,,,B A A B ，()1212,,,B A A B ，()2121,,,B A A B ，()2211,,,B A A B ，()1122,,,A B B A ，()1122,,,A B B A ，()2121,,,A B B A ，()2211,,,A B B A ，()1212,,,B B A A ，()1221,,,B B A A ，()2112,,,B B A A ，()2211,,,B B A A ，()1122,,,B A B A ，()1221,,,B A B A ，()2112,,,B A B A ，()2211,,,B A B A ，共24种，其中“支付宝”小组与“网购”小组不相邻的有12种， 由古典概型的概率公式得所求概率为12． 故选：D ．6．已知小张每次射击命中十环的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中十环的概率，先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定2，4，6，8表示命中十环，0，1，3，5，7，9表示未命中十环，再以每三个随机数为一组，代表三次射击的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：321 421 292 925 274 632 800 478 598 663 531 297 396021 506 318 230 113 507 965据此估计，小张三次射击恰有两次命中十环的概率为A．0.25B．0.30C．0.35D．0.40【答案】B【解析】由题意知模拟三次射击的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次射击恰有两次命中的有：421、292、274、632、478、663，共6组随机数，∴所求概率为60.320P==，故选B．【名师点睛】本题考查模拟方法估计概率，是一个基础题，解这种题目的主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．7．传说战国时期,齐王与田忌各有上等,中等,下等三匹马,且同等级的马中,齐王的马比田忌的马强,但田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强.有一天,齐王要与田忌赛马,双方约定:比赛三局,每局各出一匹马,每匹马赛一次,赢得两局者为胜.如果齐王将马按上,中,下等马的顺序出阵,而田忌的马随机出阵比赛,则田忌获胜的概率是A．12B．13C．16D．136【答案】C【解析】由题可得,赛马的对阵方式有A33=6种,其中满足条件的有1种,所以田忌获胜的概率为16.故选C．8．有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O为圆柱下底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于l的概率为A．13B．23C．34D．14【答案】B【解析】设点P到点O的距离小于等于1的概率为P1，由几何概型，得P1＝322π13π12VV⨯⨯⨯半球圆柱＝＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率P ＝1－13＝23. 故选B.9．某学生用随机模拟的方法推算圆周率π的近似值，在边长为2的正方形内有一内切圆，向正方形内随机投入1000粒芝麻，（假定这些芝麻全部落入该正方形中）发现有795粒芝麻落入圆内，则该学生得到圆周率π的近似值为A ．3.1B ．3.2C ．3.3D ．3.4【答案】B【解析】边长为2的正方形内有一内切圆的半径为1，圆的面积为21π⨯=π，正方形的面积为224=， 由几何概型的概率公式可得79541000π=，得47953.18 3.21000⨯π==≈， 因此，该学生得到圆周率π的近似值为3.2，故选B ．【名师点睛】本题考查利用随机模拟思想求圆周率π的近似值，解题的关键就是利用概率相等结合几何概型的概率公式列等式求解，考查计算能力，属于基础题.10．《易经》是我国古代预测未来的著作，其中同时抛掷三枚古钱币观察正反面进行预测未知，则抛掷一次时出现两枚正面、一枚反面的概率为A ．18 B ．14 C ．38D ．12【答案】C【解析】抛掷三枚古钱币出现的基本事件有：正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反，共8种，其中出现两正一反的共有3种，故所求概率为38．故选C ． 11．运行如图所示的程序框图,设输出数据构成的集合为A ,从集合A 中任取一个元素a ,则函数y =x a ,x ∈[0,+∞)是增函数的概率为A ．3B ．4C ．35D ．34【答案】C【解析】该程序的运行过程如下:x =-3,输出y =3;x =−2,输出y =0;x =−1,输出y =−1;x =0,输出y =0;x =1,输出y =3;x =2,输出y =8;x =3,输出y =15,程序结束,故A ={3,0,-1,8,15},其中有3个正元素,可使得函数y =x a ,x ∈[0,+∞]是增函数,故所求概率为35. 故选C.12．设函数f (x )=e ,01ln e,1ex x x x ⎧≤<⎨+≤≤⎩在区间[0，e]上随机取一个实数x ，则f (x )的值不小于常数e 的概率是 A ．1 eB ．1﹣1eC ．e1e+D ．11e+ 【答案】B【解析】由题意可得，因为()e f x ≥，且f (x )=e ,01ln e,1ex x x x ⎧≤<⎨+≤≤⎩，所以有1e x ≤≤，所以由几何概型可得，f (x )的值不小于常数e 的概率是e 1ep -=. 故选B ．13．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 3【答案】A【解析】设,,AC b AB c BC a ===，则有222b c a +=，从而可以求得ABC △的面积为112S bc =， 黑色部分的面积为22221πππ2222c b a S bc ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅-⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2221π4442c b a bc ⎛⎫=+-+⎪⎝⎭ 22211π422c b a bc bc +-=⋅+=，其余部分的面积为2231π1π2242a a S bc bc ⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭，所以有12S S =，根据面积型几何概型的概率公式，可以得到12p p =. 故选A.【名师点睛】该题考查的是面积型几何概型的有关问题，题中需要解决的是概率的大小，根据面积型几何概型的概率公式，将比较概率的大小问题转化为比较区域的面积的大小，利用相关图形的面积公式求得结果.首先设出直角三角形三条边的长度，根据其为直角三角形，从而得到三边的关系，之后应用相应的面积公式求得各个区域的面积，根据其数值大小，确定其关系，再利用面积型几何概型的概率公式确定出p 1，p 2，p 3的关系，从而求得结果.14．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是______________． 【答案】0.18【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．【解析】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是30.60.50.520.108,⨯⨯⨯=前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是220.40.60.520.072,⨯⨯⨯=综上所述，甲队以4:1获胜的概率是0.1080.0720.18.q =+=【名师点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以4:1获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算．15．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______________． 【答案】0.98【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．【解析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2⨯+⨯+⨯=，其中高铁个数为10201040++=，所以该站所有高铁平均正点率约为39.20.9840=． 【名师点睛】本题考查了概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养，侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．16．已知向量()()2,1,,x y ==，a b 若{}{}1,0,1,2,1,0,1x y ∈-∈-，则向量∥a b 的概率为_______. 【答案】16【解析】若x ∈{﹣1，0，1，2}，y ∈{﹣1，0，1}，则满足条件的向量b 共有4×3=12个， 若向量∥a b ，则2y ﹣x =0，故满足条件的向量b 有（0，0），（2，1），共两个， 故向量∥a b 的概率P =212=16， 故答案为16. 【名师点睛】本题考查了古典概型概率计算公式，掌握古典概型概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．先求出基本事件的个数，利用向量平行确定满足∥a b 的基本事件个数，然后代入古典概型概率计算公式求概率. 17．设集合1{|216}4x A x =<<,()2{|ln 3}B x y x x ==-,从集合A 中任取一个元素,则这个元素也是集合B 中元素的概率是__________． 【答案】12【解析】∵集合A ={x |14＜2x ＜16}=（﹣2，4），()2{|ln 3}B x y x x ==-=（0，3）， ∴A ∩B ={x |0＜x ＜3}，∴事件“x ∈A ∩B ”的概率是301422-=+.故答案为：12.【名师点睛】（1）本题主要考查集合的化简和运算，考查几何概型，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.先根据集合A ，B ，求出A ∩B ，再利用长度型的几何概型的意义求解即可． （2）几何概型的解题步骤：首先是判断事件是一维问题还是二维、三维问题（事件的结果与一个变量有关就是一维的问题，与两个变量有关就是二维的问题，与三个变量有关就是三维的问题）；接着，如果是一维的问题，先确定试验的全部结果和事件A 构成的区域长度（角度、弧长等），最后代公式()A P A =构成事件的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度；如果是二维、三维的问题，先设出二维或三维变量，再列出试验的全部结果和事件A 分别满足的约束条件，作出两个区域，最后计算两个区域的面积或体积代公式.18．某班级体育课举行了一次“投篮比赛”活动，为了了解本次投篮比赛学生总体情况，从中抽取了甲乙两个小组样本分数的茎叶图如图所示．（1）分别求甲乙两个小组成绩的平均数与方差；（2）分析比较甲乙两个小组的成绩；（3）从甲组高于70分的同学中，任意抽取2名同学，求恰好有一名同学的得分在[80,90）内的概率．【答案】（1）x̅1=68,x̅2=68;s12=77.5,s22=45.（2）甲乙两个小组成绩相当; 乙组成绩比甲组成绩更稳定．（3）p=23.【解析】（1）记甲乙成绩的的平均数分别为x̅1，x̅2，则x̅1=18(56+60+61+63+71+72+80+81)=68．x̅2=18(58+62+64+66+69+71+73+81)=68．记甲乙成绩的的方差分别为s12，s22，则s12=18[(56−68)2+(60−68)2+(61−68)2+(63−68)2 +(71−68)2+(72−68)2+(80−68)2+(81−68)2]=77.5．s22=1[(58−68)2+(62−68)2+(64−68)2+(66−68)2+(69−68)2+(71−68)2+(73−68)2+(81−68)2]=45．（2）因为x̅1=x̅2，所以甲乙两个小组成绩相当；因为s12>s22，所以乙组成绩比甲组成绩更稳定．（3）由茎叶图知，甲组高于70分的同学共4名，有2名在[70,80），记为a1，a2，有2名在[80,90）记为b1，b2．任取两名同学的基本事件有6个：（a1,a2），（a1,b1），（a1,b2），（a2,b1），（a2,b2），（b1,b2）．恰好有一名同学的得分在[80,90）的基本事件数共4个：（a1,b1），（a1,b2），（a2,b1），（a2,b2）．所以恰好有一名同学的得分在[80,90）的概率为p=23．【名师点睛】古典概型中基本事件数的探求方法： （1）列举法.（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. 19． 甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下:甲商场:顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中两个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均)即为中奖·乙商场:从装有2个白球、2个蓝球和a 个红球的盒子中一次性摸出1球（这些球除颜色外完全相同），它是红球的概率是13，若从盒子中一次性摸出2球，且摸到的是2个相同颜色的球，即为中奖. （1）求实数a 的值；（2）试问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？请说明理由. 【答案】（1）2a =;（2）顾客在甲商场中奖的可能性大. 【解析】（1）根据随机事件的概率公式，1223a a =++，解得2a =.（2）设顾客去甲商场转动圆盘，指针指向阴影部分为事件A ，试验的全部结果构成的区域为圆盘，面积为2r π（r 为圆盘的半径）设顾客去乙商场一次摸出两个相同颜色的球为事件B ，记2个白球为白1，白2；2个红球为红1、红2；2个蓝球为蓝1、蓝2.则从盒子中一次性摸出2球，一切可能的结果有（白1、白2），（白1、红1）、（白1、红2），（白1、蓝1），（白1、蓝2）；（白2、红1），（白2、红2），（白2、蓝1），（白2、蓝2）；（红1、蓝1），（红1、蓝2），（红2、蓝1），（红2、蓝2）；（蓝1、蓝2）等共15种；其中摸到的是2个相同颜色的球有（白1、白2），（红1、红2），（蓝1、蓝2）等共3种；故由古典概型，得()31155P B ==. 因为()()P A P B >，所以顾客在甲商场中奖的可能性大.20．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．（1）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； （2）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；（3）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）【答案】（1）0.025；（2）0.814；（3）增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率． 【解析】（1）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000． 第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50， 故所求概率为500.0252000=． （2）方法1：由题意知，样本中获得好评的电影部数是 140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1 =56+10+45+50+160+51 =372．故所求概率估计为37210.8142000-=． 方法2：设“随机选取1部电影，这部电影没有获得好评”为事件B ．没有获得好评的电影共有140×0.6+50×0.8+300×0.85+200×0.75+800×0.8+510×0.9=1628部． 由古典概型概率公式得16280.8142)00(0P B ==． （3）增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．21．【2019年高考天津卷文数】2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．。
高考文科数学概率与统计题型归纳与训练
高考文科数学概率与统计题型归纳与训练高考文科数学概率与统计题型归纳与训练近年来，随着高考评价重点的转变，我国高考数学概率与统计所占的比重越来越大，也极大地影响了学生的试题解答，特别是对文科类学生而言。
因此，归纳与训练概率与统计的题型对提升高考成绩非常有效。
一、高考概率与统计试题类型1、概率题：（1）概率概念题：要求判断某事件的可能性大小、求概率大小、比较概率大小，以及用中文描述概率大小等概念性问题。
（2）条件概率及贝叶斯公式：求两事件同时发生的条件概率，用贝叶斯公式求解概率问题。
（3）随机变量和概率分布：讨论正态分布、泊松分布等随机变量的概率分布。
2、统计学题：（1）数据的勘误析：把调查所得原始数据准确地归类编单，以便找出这些数据中蕴含的结论。
（2）图表分析：分析调查对象之间的关系，从折线图、饼形图、柱形图等图表中获取相应的数据。
二、概率与统计的训练方法1、理论思考训练：多看有关概率、统计的权威论文和教材，把基本概念牢牢掌握，把常见的概率公式及统计公式及推导式脱口而出。
2、示范练习：对常考的知识点补充示范练习，可以通过复现例题和大量习题来熟悉该知识点，从而深入理解，提高解题能力。
3、联系模拟考试：利用模拟考试把学过的知识点和技巧联系起来，在试题中能够驾轻就熟地掌握各试题技巧，大大提升实力。
4、强化记忆：记忆知识点、公式要选择相应的方法，通过反复记忆和熟习，把重点内容融会贯通，熟练记忆几个重点的式子和结论有助于考试的取得好成绩。
总之，学习概率与统计，除了要用心去理解之外，还需要不断的训练，把一些重点的知识点、公式强化记忆，加深理解，才能在考试中取得较好的成绩。
高考数学概率统计题型归纳
高考数学概率统计题型归纳高考数学中的概率统计是一个重要的考点，其题型多样，涵盖了众多知识点。
为了帮助同学们更好地应对高考中的概率统计题目，下面对常见的题型进行归纳和分析。
一、古典概型古典概型是概率统计中最基本的题型之一。
其特点是试验中所有可能的结果有限，且每个结果出现的可能性相等。
例如，从装有 5 个红球和 3 个白球的袋子中随机取出 2 个球，求取出的 2 个球都是红球的概率。
解决这类问题的关键是要准确计算基本事件的总数和所求事件包含的基本事件数。
在上述例子中，基本事件的总数可以通过组合数计算，即从 8 个球中取出 2 个球的组合数；所求事件包含的基本事件数为从 5 个红球中取出 2 个球的组合数。
然后用所求事件包含的基本事件数除以基本事件的总数，即可得到所求概率。
二、几何概型几何概型与古典概型的区别在于试验的结果是无限的。
通常会涉及到长度、面积、体积等几何度量。
比如，在区间0, 5上随机取一个数，求这个数小于 2 的概率。
解决几何概型问题时，需要确定几何区域的度量，并计算出所求事件对应的几何区域的度量，最后用所求事件对应的几何区域的度量除以总的几何区域的度量，得到概率。
三、相互独立事件与条件概率相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生概率没有影响。
例如，甲、乙两人分别独立射击，甲击中目标的概率为 08，乙击中目标的概率为 07，求两人都击中目标的概率。
条件概率则是在已知某个事件发生的条件下，求另一个事件发生的概率。
比如，已知某班级男生占 60%，女生占 40%，男生中优秀的比例为30%，女生中优秀的比例为 20%，现从班级中随机抽取一名学生为优秀，求这名学生是男生的概率。
对于相互独立事件，其概率的计算使用乘法公式；对于条件概率，使用条件概率公式进行计算。
四、离散型随机变量离散型随机变量是指取值可以一一列出的随机变量。
常见的离散型随机变量有二项分布、超几何分布等。
二项分布是指在 n 次独立重复试验中，某事件发生的次数 X 服从二项分布。
统计(5大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关)-备战2024年高考数学考试易错题(原卷版)
专题13统计易错点一：统计用表中概念不清、识图不准致误（频率分布直方图、总体取值规律）频率分布直方图作频率分布直方图的步骤①求极差：极差为一组数据中最大值与最小值的差.②决定组距与组数将数据分组时，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”，组数应力求合适，以使数据的分布规律能较清楚地呈现出来.③将数据分组④列频率分布表各小组的频率＝小组频数样本容量.⑤画频率分布直方图纵轴表示频率组距，频率组距实际上就是频率分布直方图中各小长方形的高度，小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率.频率分布直方图的性质①因为小矩形的面积＝组距×频率组距＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率.这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.②在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1.③频数相应的频率＝样本容量.④频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率，可近似地估计总体在这一范围内的可能性.易错提醒：频率分布条形图和频率分布直方图是两个完全不同的概念，考生应注意两者之间的区别.虽然它们的横轴表示的内容是相同的，但是频率分布条形图的纵轴表示频率；频率分布直方图的纵轴表示频率与组距的比值，其各小组的频率等于该小组上的矩形的面积.例：如图所示是某公司（共有员工300人）2021年员工年薪情况的频率分布直方图，由此可知，员工中年薪在1.4万元~1.6万元之间的共有______人.易错分析：解本题容易出现的错误是审题不细，对所给图形观察不细心，认为员工中年薪在1.4万元~1.6万元之间的频率为()10.020.080.1020.60-++⨯=，从而得到员工中年薪在1.4万元~1.6万元之间的共有3000.60180⨯=（人）的错误结论.正解：由所给图形，可知员工中年薪在1.4万元~1.6万元之间的频率为()10.020.080.080.100.1020.24-++++⨯=，所以员工中年薪在1.4万元~1.6万元之间的共有3000.2472⨯=（人）.故72.易错警示：考生误认为频率分布直方图中纵轴表示的是频率，这是错误的，而是“频率/组距”，所以频率对应的是各矩形的面积.变式1：某大学有男生2000名．为了解该校男生的身体体重情况，随机抽查了该校100名男生的体重，并将这100名男生的体重（单位：kg ）分成以下六组：[)54,58、[)58,62、[)62,66、[)66,70、[)70,74、[]74,78，绘制成如下的频率分布直方图：70,78上的男生大约有人．该校体重（单位：kg）在区间[]变式2：现对某类文物进行某种物性指标检测，从1000件中随机抽取了200件，测量物性指标值，得到如下频率分布直方图，据此估计这1000件文物中物性指标值不小于95的件数为.变式3：如图是根据我国部分城市某年6月份的平均气温数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20，26]，样本数据的分组为[20，21)，[21，22)，[22，23)，[23，24)，[24，25)，[25，26].已知样本中平均气温低于22°C的城市个数为11，样本中平均气温不低于25°C的城市个数是.1．已知某班全体学生在某次数学考试中的成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则图中a所代表的数值是.2．某校共有400名学生参加了趣味知识竞赛（满分：这400名学生的竞赛成绩分组如下：分布直方图如图所示，则这400名学生中竞赛成绩不低于3．从某小学所有学生中随机抽取100名学生，将他们的身高（单位：图），其中样本数据分组[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150)4．某工厂抽取100件产品测其重量（单位：[[[[,42]，据此绘制出如图所示的频率分布直方图，则重量在40,40.5),40.5,41),41,41.5),41.5件数为．5．某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c ，将该指标大于c 的人判定为阳性，小于或等于定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为()p c ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为()q c ．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．设函数()()()f c p c q c =+，则函数()f c 在区间[95,105]取得最小值时c =．6．某大学有男生10000名．为了解该校男生的身体体重情况，随机抽查了该校100100名男生的体重（单位：kg ）分成以下六组：[)54,58、[)58,62、[)62,66、[66,70kg []7．某中学为了解高三男生的体能情况，通过随机抽样，获得了秒），将数据按照[)11.5,12，[)12,12.5，…8．某工厂对一批产品的长度（单位：mm）进行检验，将抽查的产品所得数据分为五组，整理后得到的频率分布直方图如图所示，若长度在20mm以下的产品有30个，9．某中学为了解学生的数学学习情况，在全体学生中随机抽取30,40成绩，将所得的数据分为7组：[)图，则在被抽取的学生中，该次数学考试成绩不低于10．某区为了解全区12000名高二学生的体能素质情况，测试，并将这1000名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，这平均成绩的估计值为．11．将一个容量为100的样本数据，按照从小到大的顺序分为组号123456频数10161815若第6组的频率是第3组频率的12．节约用水是中华民族的传统美德，某市政府希望在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理易错点二：统计中的数字特征的实际意义理解不清楚致误（频率分布直方图特征数考查）众数、中位数、平均数①众数：一组数据中出现次数最多的数.②中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在中间位置的数(或中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数.③平均数：如果n个数x1，x2，…，x n，那么()∑==+++=niinxnxxxnx12111叫做这n个数的平均数.总体集中趋势的估计①平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势.②一般地，对数值型数据(如用水量、身高、收入、产量等)集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；而对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势的描述，可以用众数.频率分布直方图中平均数、中位数、众数的求法①样本平均数：可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形面积的乘积之和近似代替.②在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应相等.③将最高小矩形所在的区间中点作为众数的估计值.易错提醒：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：（1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；（2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；（3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.例．某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示．根据频率分布直方图，估计该班本次测试众数为．变式1：为响应自己城市倡导的低碳出行，小李上班可以选择自行车，他记录了100次骑车所用时间（单位：分钟），得到频率分布直方图，则骑车时间的众数的估计值是分钟变式2：数学兴趣小组的四名同学各自抛掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，四名同学的部分统计结果如下：甲同学：中位数为3，方差为2.8；乙同学：平均数为3.4，方差为1.04；丙同学：中位数为3，众数为3；丁同学：平均数为3，中位数为2.根据统计结果，数据中肯定没有出现点数6的是同学.变式3：以下5个命题中真命题的序号有.①样本数据的数字特征中，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息；②若数据1x ，2x ，3x ，…，n x 的标准差为S ，则数据1ax b +，2ax b +，3ax b +，…，n ax b +的标准差为aS ；③将二进制数(2)11001000转化成十进制数是200；④x 是区间[0,5]内任意一个整数，则满足“3x <”的概率是35.1．2022年11月卡塔尔世界杯如期举行，这是世界足球的一场盛宴．为了了解全民对足球的热爱程度，组委会在某场比赛结束后，随机抽取了1000名观众进行对足球“喜爱度”的调查评分，将得到的分数分成6段：[)70,75，[)75,80，[)80,85，[)85,90，[)90,95，[]95,100，得到如图所示的频率分布直方图．图中部分数据丢失，若已知这1000名观众评分的中位数估计值为87.5，则m=.2．为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为e m ，众数为o m ，平均数为x ，则,,e o m m x 的大小关系是．3．《中国居民膳食指南（2022）》数据显示，学生的体重情况，某机构从该地中学生中随机抽取数据，按[)40,45，[)45,50，[50,55所示．根据调查的数据，估计该地中学生体重的中位数是4．为了解某校高三学生的数学成绩，随机地抽查了该校布直方图如图所示.请根据以上信息，估计该校高三学生数学成绩的中位数为两位）5．2021年某省高考体育百米测试中，成绩全部介于按如下方式分成六组：第一组[12,13该100名考生的成绩的中位数（保留一位小数）是6．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数、中位数的估计值分别为.7．某快递驿站统计了近期每天代收快件的数量，并制成如下图所示的频率分布直方图．则该快递驿站每天代收包裹数量的中位数为8．某质检部门对某新产品的质量指标随机抽取10．某大学天文台随机调查了该校100位天文爱好者的年龄，得到如下样本数据频率分布直方图，则估计该校100名天文爱好者的平均岁数为.11．众数､平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，､､分别表示众数､平均数､形态中，m n p12．如图为某工厂工人生产能力频率分布直方图，则估计此工厂工人生产能力的平均值为易错点三：运用数字特征作评价时考虑不周（方差、标准差的求算）方差、标准差①假设一组数据为n x x x x ,,,321，则这组数据的平均数()∑==+++=ni i n x n x x x n x 12111 ，方差为()()()[]()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-+-+-=∑∑=2221222212111n ii n i i n x n x n x x n x x x x x x ns ，标准差()211∑=-=ni i x x n s ②若假设一组数据为n x x x x ,,,321，它的平均数为x ，方差为2s ，则一组数据为b ax b ax b ax b ax n ++++ ,,,321，的平均数为b x a +，方差为22s a 。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《计数原理与概率统计》知识点总复习附解析
数学《计数原理与概率统计》高考复习知识点一、选择题1．已知a c ≠，随机变量ξ，η的分布列如表所示.命题p ：=E E ξη，命题q ：D D ξη=，则( ) A ．p 真q 真 B ．p 真q 假C ．p 假q 真D ．p 假q 假【答案】C 【解析】 【分析】首先分别求E ξ和E η，然后比较，利用公式()()22D E E ξξξ=-，利用公式1a b c ++=，计算D D ξη-的值.【详解】12323E a b c a b c ξ=⨯+⨯+⨯=++12332E c b a a b c η=⨯+⨯+⨯=++ ，()2E E c a ξη-=- a c ≠Q ，E E ξη∴≠，所以命题p 是假命题，()249E a b c ξ=++，()()2223E a b c ξ=++，所以()()24923D a b c a b c ξ=++-++()294E a b c η=++，()()2232E a b c η=++，()()()()2229432D E E a b c a b c ηηη=-=++-++ ，()()()()()2283223D D c a a b c a b c ξη-=-+++-++()()()822444c a a c a b c =-+-++ ， 1a b c ++=Q ，所以()()()()880D D c a a c ξη-=-+-=， 即()()D D ξη=,所以命题q 是真命题.综上可知p 假q 真. 故选：C 【点睛】本题考查离散型分布列的期望方差，属于重点题型，本题使用的关键公式是()()22D E E ξξξ=-，比较大小的关键是利用1a b c ++=.2．从1,2,3,4,5中任取三个数，则这三个数能构成三角形的概率为（ ） A ．15B ．310C ．25D ．12【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】从1,2,3,4,5中任取三个数，取法总数为：3510C =这三个数能构成三角形的情况有：()()()2,3,42,4,53,4,5，， ∴这三个数能构成三角形的概率为：310故选B3．在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）A ．12B ．13C ．4D ．3【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与圆相交，可求出k 的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率. 【详解】因为圆心(0,0)，半径1r =，直线与圆相交，所以1d =≤，解得44k -≤≤所以相交的概率224P ==,故选C.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题.4．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n ，向量p u v ＝(m ，n)，q v ＝(3,6)．则向量p u v 与q v共线的概率为( ) A ．13B ．14C ．16D ．112【答案】D 【解析】 【分析】由将一枚骰子抛掷两次共有36种结果，再列举出向量p u r 与q r共线的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解。
2020届高考文数复习常考题型大通关(全国卷)： 统计概率
常考题型大通关：第19题统计概率1、2018年10月17日是我国第5个扶贫日，也是第26个国际消除贫困日。
射洪某企业员工共500人参加“精准扶贫”活动，按年龄分组：第一组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）下表是年龄的频数分布表，求正整数a，b的值；（2）根据频率分布直方图，估算该企业员工的平均年龄及年龄的中位数；（3）现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．2、某高校在2014年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示.（1）请先求出频率分布表中①、②、③、④位置相应的数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？3、随着生活水平的提高,人们对空气质量的要求越来越高,某机构为了解公众对“车辆限行”的态度,随机抽查40人,并将调查情况进行整理后制成下表:年龄(岁) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,60]频数 5 10 10 5 10赞成人数 4 6 8 4 91.完成被调查人员年龄的频率分布直方图,并求被调查人员中持赞成态度人员的平均年龄约为多少岁?15,25,45,55的被调查人员中各随机选取1人进行调查.请写出所有的基2.若从年龄在[)[)本亊件,并求选取2人中恰有1人持不赞成态度的概率.4、某中学为弘扬优良传统,展示80年来的办学成果,特举办“建校80周年教育成果展示月”活动。
现在需要招募活动开幕式的志愿者,在众多候选人中选取100名志愿者,为了在志愿者.组号分组频数频率160,165 5 0.05第1组[)第2组[165,170)0.35第3组[170,175)第4组[175,180)20 0.20第5组[180,185)10合计100 1.001.请补充频率分布表中空白位置相应数据,再完成下列频率分布直方图;2.为选拔出主持人,决定在第3、4、5组中用分层抽样抽取6人上台,求第3、4、5组每组各抽取多少人?3.在2的前提下,主持人会在上台的6人中随机抽取2人表演诗歌朗诵,求第3组至少有一人被抽取的概率?5、某中学组织了一次高三学生数学学业水平模拟测试,学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析,分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图.1.若所得分数大于等于80分认定为优秀,求男、女生优秀人数各有多少人?2.在1中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人,从这5人中任意选取2人,求至少有一名男生的概率.6、某乡镇根据中央文件精神，在2014年通过精准识别确定建档立卡的贫困户共有473户，结合当地实际情况采取多项精准扶贫措施，从2015年至2018年该乡镇每年脱贫户数见下表：年份2015 2016 2017 2018 年份代码x 1 2 3 4脱贫户数y55 69 71 85（1）根据2015-2018年的数据，求出y关于x的线性回归方程$$y bx a=+$；（2）利用（1）中求出的线性回归方程，试判断到2020年底该乡镇的473户贫困户能否全部脱贫.附：$$1221,ni iiniix y nxyb a y bxx nx==-==--∑∑$$7、某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种种子发芽数之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日每天昼夜温差大小与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下数据：该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中随机选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验。