高一下学期数学第一次月考试卷
高一下学期数学第一次月考试卷
姓名:________
班级:________
成绩:________
一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)
1. （2 分） 已知向量 •（ +2 ）=0，| |=2，| |=2，则向量 ， 的夹角为（ ）
A.
B.
C.
D.
2. （2 分） (2018·茂名模拟) 在
中，内角
的对边分别为
，若
，且
，则 （ ）
A.1
B.
C. D.4
3. （2 分） (2017·榆林模拟) 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ， 且 为（ ）
A . 15 B . 20 C . 25 D . 30
，S20=17，则 S30
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4. （2 分） 点 是平面 内的定点,点 与点 不同)的“对偶点” 是指：点 在射线 上且
厘
米 2.若平面 内不同四点
在某不过点 O 的直线 上,则它们相应的“对偶点”
在（ ）
A . 一个过点 的圆上
B . 一个不过点 的圆上
C . 一条过点 的直线上
D . 一条不过点 的直线上
5. （2 分） (2017 高一下·嘉兴期末) 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ， 若 S6＞S7＞S5 ， 则满足 Sn＞0 的 n 的最大值为（ ）
A . 10
B . 11
C . 12
D . 13
6. （2 分） (2016 高一下·商水期中) 在△ABC 中，cosAcosB＞sinAsinB，则△ABC 为（ ）
A . 锐角三角形
B . 直角三角形
C . 钝角三角形
D . 无法判定
7. （2 分） (2018 高三上·南阳期末) 我们把顶角为
的等腰三角形称为黄金三角形。
其作法如下：①
作一个正方形
；②以
的中点 为圆心，以
长为半径作圆，交
延长线于 ；③以 为
圆心，以
长为半径作⊙ ；④以 为圆心，以
长为半径作⊙ 交⊙ 于 ，则
为黄金
三角形。
根据上述作法，可以求出
（）
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A.
B.
C.
D. 8. （2 分） (2016 高二上·临泉期中) 若 lg2，lg（2x﹣1），lg（2x+3）成等差数列，则 x 的值等于（ ）
A.1
B . 0 或 32
C . 32
D . log25
9. （2 分） (2019 高二上·湖南期中) 如图，
塔 ，若某科研小组在坝底 点测得
则大坝的坡角（ ）
的余弦值为（ ）
是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为 20 米的监测
，沿着坡面前进 40 米到达 点，测得
，
A.
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B. C.
D. 10. （ 2 分 ） (2018 高 一 下 · 合 肥 期 末 ) 在
中，
，则
的面积等于（ ）
A.
B.
分别是角
的对边，已知
C. D.3
11. （2 分） 在△ABC 中，若
， 则△ABC 的形状是（ ）
A . 直角三角形
B . 等腰或直角三角形
C . 不能确定
D . 等腰三角形
12. （2 分） 设 为等差数列，且
， 则数列 的前 13 项的和为 =（ ）
A . 63
B . 109
C . 117
D . 210
二、 填空题 (共 4 题；共 5 分)
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13. （1 分） (2018 高三上·贵阳月考) 在
中，角 , , 的对边分别为 , , ，若
，
，
，
，则角 的大小为________．
14. （1 分） (2016 高二上·嘉定期中) 设 =（2，﹣3）， =（﹣1，1）， 是与 ﹣ 同向的单位 向量，则 的坐标是________
15. （1 分） (2018·榆林模拟) 在数列 、 中， 是 与
意的
都有
，则 的通项公式 为________．
的等差中项，
，且对任
16. （2 分） (2018 高二下·辽宁期末) 在
中，
，
，
，则
于________.
的面积等
三、 解答题 (共 6 题；共 62 分)
17. （10 分） (2017 高二上·中山月考) 一支车队有 辆车，某天依次出发执行运输任务。
第一辆车于下
午 时出发，第二辆车于下午 时 分出发，第三辆车于下午 时 分出发，以此类推。
假设所有的司机
都连续开车，并都在下午 时停下来休息.到下午 时，最后一辆车行驶了多长时间？如果每辆车的行驶速度都
是
,这个车队当天一共行驶了多少 ?
18. （ 10 分 ） (2020 高 三 上 · 兴 宁 期 末 ) 已 知 曲 线 的 极 坐 标 方 程 为
，直线
，直线
．以极点 为原点，极轴为 轴正半轴建立平面直角坐标系．
（1） 求直线
的直角坐标方程以及曲线 的参数方程；
（2） 已知直线 与曲线 交于
两点，直线 与曲线 交于
两点，求
的周长．
19. （10 分） 判断以 A（4,1+ ）,B（1,5+ ）C（-3,2+ ）D（0,-2+ ）为顶点的四边形的形状，并说 明理由．
20. （2 分） (2016 高二上·桂林开学考) 如图，在平面四边形 ABCD 中，AD=1，CD=2，AC= ．
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（Ⅰ）求 cos∠CAD 的值；
（Ⅱ）若 cos∠BAD=﹣ ，sin∠CBA=
，求 BC 的长．
21. （15 分） (2018 高一下·黑龙江期末) 在等差数列 中，
（1） 求数列 的通项 ；
（2） 若
，求数列
的前 项和.
22. （15 分） (2017 高一下·鹤岗期末) 已知数列 满足
，
（1） 求证：数列 （2） 求证：
是等差数列； ．
.
，
．
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一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)
1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、
二、 填空题 (共 4 题；共 5 分)
13-1、 14-1、 15-1、
参考答案
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16-1、
三、 解答题 (共 6 题；共 62 分)
17-1、
18-1、 18-2、
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19-1、
20-1、 21-1、
21-2、
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22-1、 22-2、
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。
福建省泉州市泉州科技中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题
福建省泉州市泉州科技中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题一、单选题1．以2i 22i +的实部为虚部的复数是（ ）A ．22i -B ．22i +C ．D2．在ABC V 中，若222b c a bc +-=，则角A 的值为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°3．若1,,1t t t -+是一个锐角三角形的三条边，则t 的取值范围是（ ）A ．24t <<B ．2t >C ．4t >D ．12t <<4．在ABC V 中，5AB AC ==，6BC =，E ，F 分别为边BC ，AB 的中点，则EF EC ⋅=u u u r u u u r（ ） A ．52B ．74C ．72-D ．92-5．已知向量(a =r ，(),1b m =r ，下列说法正确的是（ ）A ．[)0,m ∀∈+∞，a r 与b r 的夹角不小于3πB ．[)0,m ∀∈+∞，2a b >rC ．(),0m ∃∈-∞，使得()//a b b +r r rD ．(),0m ∃∈-∞，使得()a b b -⊥r r r6．设向量()2,1a =-r ，(),3a b m +=-r r ，()3,1c =r ，若()a b c +⊥r r r ，设a r 、b r的夹角为θ，则c o s θ=（ ）A ．35-B ．35CD ． 7．若向量,a b r r满足()4,4a b a b a ==⋅-=-r r r r r ，则2a b -=r r （ ）A ．B ．C ．8D ．128．已知平面向量a r ，b r ，c r （a r 与b r不共线），满足a b c -==r r r 1c a c b -=-=r r r r ，设(),c a b λμλμ=+∈R r rr ，则λμ+的取值范围为（ ）A ．[)2,2,3⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦UB ．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[)2,∞+D ．(],2∞-二、多选题9．已知平面向量a r ，b r ，c r，则下列说法正确的是（ ）A ．()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r rB ．()()22a b a b a b +⋅-=-r r r r r rC ．若a c a b ⋅=⋅r r r r ，0a ≠r r ，则b c =r rD ．a b a b +=-r r r r ，则a b ⊥r r10．ABC V 中，4a =，5b =，面积S =c =（ ）ABCD．11．点O 在△ABC 所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）A ．若动点P 满足(0)sin sin AB AC OP OA AB B AC C ⎛⎫ ⎪=++> ⎪ ⎪⎝⎭uu u r uuu r uu u r uu r uu u r uuu r λλ，则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的垂心；B ．若()()0ACBC BAOA O AB A B ACBC BAB uuu r uu u r uu r uu r uu u r uuur u uu u r uu u u ruu r u r ?-?=，则点O 为△ABC 的内心； C ．若()()0OA OB AB OB OC BC +⋅=+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则点O 为△ABC 的外心；D ．若动点P 满足(0)||cos ||cos AB ACOP OA AB B AC C ⎛⎫=++> ⎪ ⎪⎝⎭λλuu u r uuu ruu u r uu r uu u r uuu r ，则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心.三、填空题12．在△ABC 中，C ＝90°，CB ＝3，点M 是AB 上的动点（包含端点），则MC u u u u r •CB u u ur 的取值范围为．13．在ABC V 中，90C =o ∠，2BC =，M 为BC 的中点，1sin 3BAM ∠=，则AC 的长为．14．如图，在平面四边形ABCD 中，2CD =，BC =ABD △为等腰直角三角形，且90ABD ?，则AC 长的最大值为.四、解答题 15．化简：(1)AB BC DC +-u u u ru u u ru u u r； (2)AB BC DC DE EA +-++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ；(3)()OA O BC B --u u u r u u u r u u u r ．16．若点G 为ABC V 的重心.（1）化简：GA GB GC ++u u u r u u u r u u u r； （2）求证：()13OG OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r.17．记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()22a b a b c a a b-++=-.(1)求C ；(2)求22sin sin A B +的最大值.18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2222a b c -+=，△ABC 的面积(1)求tan B ；(2)若1b =，求sin sin A C ； (3)求cos3B 的值.19．在ABC V 中，A ∠，B ∠，C ∠的对边长度分别为a ，b ，c ，O 为ABC V 内切圆圆心，AO交BC 于1A ，BO 交AC 于1B ，CO 交AB 于1C ，已知1AA a =，且111b c a+=.(1)求A ∠的大小；(2)若内切圆O e 的半径r =，求边a 的长度.。
四川省成都市2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题含答案
武侯高中高2023级2023——2024下期第一次月考试题数学（答案在最后）学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________一、单选题1.如图，四边形ABCD 中，AB DC =，则必有（）A.AD CB= B.DO OB= C.AC DB= D.OA OC= 【答案】B 【解析】【分析】根据AB DC =，得出四边形ABCD 是平行四边形，由此判断四个选项是否正确即可．【详解】四边形ABCD 中，AB DC =，则//AB DC 且AB DC =，所以四边形ABCD 是平行四边形；则有AD CB =-，故A 错误；由四边形ABCD 是平行四边形，可知O 是DB 中点，则DO OB =，B 正确；由图可知AC DB≠，C 错误；由四边形ABCD 是平行四边形，可知O 是AC 中点，OA OC =-，D 错误．故选：B ．2.下列说法正确的是（）A.若a b ∥ ，b c ∥，则a c∥ B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C.两个单位向量的长度相等D.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等【答案】C 【解析】【分析】A.由0b =判断；B.由平面向量的定义判断；C.由单位向量的定义判断； D.由共线向量判断.【详解】A.当0b = 时，满足a b ∥ ，b c ∥，而,a c 不一定平行，故错误；B.两个有共同起点，且长度相等的向量，方向不一定相同，所以它们的终点不一定相同，故错误；C.由单位向量的定义知，两个单位向量的长度相等，故正确；D.若两个单位向量平行，则方向相同或相反，但大小不一定相同，则这两个单位向量不一定相等，故错误；故选：C3.若a b ，是平面内的一组基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（）A.,a b b a --B.21,2a b a b++ C.23,64b a a b-- D.,a b a b+- 【答案】D 【解析】【分析】根据基底的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，()b a a b -=-- ，所以a b b a -- ，共线，不能作为基底.B 选项，1222a b a b ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ ，所以12,2a b a b ++ 共线，不能作为基底.C 选项，()64223a b b a -=-- ，所以64,23a b b a --共线，不能作为基底.D 选项，易知a b a b +-，不共线，可以作为基底.故选：D4.将函数2cos 413y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移3π个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A.12x π=B.6x π=-C.3x π=-D.12x π=-【答案】B 【解析】【分析】根据图像的伸缩和平移变换得到2cos(2)13y x π=++，再整体代入即可求得对称轴方程.【详解】将函数2cos 413y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到2cos 213y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再向左平移3π个单位，得到2cos[2()]12cos(2)1333y x x πππ=+-+=++，令23x k π+=π，Z k ∈，则26k x ππ=-，Z k ∈.显然，=0k 时，对称轴方程为6x π=-，其他选项不符合.故选：B5.设a ，b 是非零向量，“a a bb =”是“a b =”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案.【详解】由a a b b =表示单位向量相等，则,a b 同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出a b =，由a b =表示,a b 同向且模相等，则a a b b = ，所以“a a bb =”是“a b =”的必要而不充分条件.故选：B6.已知向量,a b ，且2,52,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=+，则下列一定共线的三点是（）A.,,A B CB.,,B C DC.,,A B DD.,,A C D【答案】C 【解析】【分析】利用向量的共线来证明三点共线的．【详解】2,52,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=+，则不存在任何R λ∈，使得AB BC λ=，所以,,A B C 不共线，A 选项错误；则不存在任何R μ∈，使得BC CD μ=，所以,,B C D 不共线，B 选项错误；由向量的加法原理知242BD BC CD a b AB =+=+=．则有//BD AB ，又BD 与AB有公共点B ，所以,,A B D 三点共线，C 选项正确；44AB BC a b AC ==-++，则不存在任何R t ∈，使得AC tCD = ，所以,,A C D 不共线，D 选项错误．故选：C ．7.已知sin α＝5，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则角α＋β的值为（）A.4π B.34π C.3π D.23π【答案】B 【解析】【分析】先求出tan α12=，再利用两角和的正切公式求出tan(α＋β)＝－1，判断出角α＋β的范围，即可求出α＋β的值.【详解】sin α，且α为锐角，则cos α5=，tan αsin 1cos 2αα==.所以tan(α＋β)＝tan tan 1tan tan αβαβ+-＝13211(3)2--⨯-＝－1.又α＋β∈3(,22ππ，故α＋β＝34π.故选：B8.筒车亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具，唐陈廷章《水轮赋》：“水能利物，轮乃曲成.升降满农夫之用，低徊随匠氏之程.始崩腾以电散，俄宛转以风生.虽破浪于川湄，善行无迹；既斡流于波面，终夜有声.”如图，一个半径为4m 的筒车按逆时针方向每分钟转一圈，筒车的轴心O 距离水面的高度为2m .在筒车转动的一圈内，盛水筒P 距离水面的高度不低于4m 的时间为（）A.9秒B.12秒C.15秒D.20秒【答案】D 【解析】【分析】画出示意图，结合题意和三角函数值可解出答案.【详解】假设,,A O B 所在直线垂直于水面，且4AB =米，如下示意图，由已知可得12,4OA OB OP OP ====，所以1111cos 602OB POB POB OP ∠==⇒∠=︒，处在劣弧 11PP 时高度不低于4米，转动的角速度为360660︒=︒/每秒，所以水筒P 距离水面的高度不低于4m 的时间为120206=秒，故选：D.二、多选题9.已知函数()cos f x x x =+，则下列判断正确的是（）A.()f x 的图象关于直线π6x =对称 B.()f x 的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C.()f x 在区间2π,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D.当π2π,33x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()1,1f x ∈-【答案】BC 【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数()f x 的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断AB 选项；利用正弦型函数的单调性可判断C 选项；利用正弦型函数的值域可判断D 选项.【详解】因为()πcos 2sin 6f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，对于A选项，ππ2sin 63f ⎛⎫==⎪⎝⎭，故函数()f x 的图象不关于直线π6x =对称，A 错；对于B 选项，π2sin 006f ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，故函数()f x 的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，B 对；对于C 选项，当2π03x -≤≤时，πππ266x -≤+≤，则函数()f x 在区间2π,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，C 对；对于D 选项，当π2π33x -<<时，ππ5π666x -<+<，则1πsin 126x ⎛⎫-<+≤ ⎪⎝⎭，所以，()(]π2sin 1,26f x x ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，D 错.故选：BC.10.下图是函数()sin()(0π)f x A x ωϕϕ=+<<的部分图像，则（）A.2πT =B.π3ϕ=C.π,06⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 D.()f x 的单调递增区间为5πππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦（Z k ∈）【答案】BCD 【解析】【分析】由图象可得πT =，由2πT ω=可求出ω，再将π12⎛⎝代入可求出ϕ可判断A ，B ；由三角函数的性质可判断C ，D .【详解】根据图像象得35ππ3ππ246124T T =-=⇒=⇒=ω，故A 错误；π12x =时，πππ22π2π1223k k ⨯+=+⇒=+ϕϕ，0πϕ<< ，π3ϕ∴=，故()π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故B 正确；因为πππ20663f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⋅-+= ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，C 正确；令πππ2π22π232k x k -+≤+≤+，解得5ππππ1212k x k -+≤≤+，Z k ∈．故D 正确．故选：BCD .11.潮汐现象是地球上的海水受月球和太阳的万有引力作用而引起的周期性涨落现象.某观测站通过长时间观察，发现某港口的潮汐涨落规律为πcos 63y A x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（其中0A >，0ω>），其中y （单位：m ）为港口水深，x （单位：h ）为时间()024x ≤≤，该观测站观察到水位最高点和最低点的时间间隔最少为6h ，且中午12点的水深为8m ，为保证安全，当水深超过8m 时，应限制船只出入，则下列说法正确的是（）A.π6ω=B.最高水位为12mC.该港口从上午8点开始首次限制船只出入D.一天内限制船只出入的时长为4h 【答案】AC 【解析】【分析】根据题意可求得6π=ω，可知A 正确；由12点时的水位为8m 代入计算可得4A =，即最高水位为10m ，B 选项错误；易知ππ4cos 663y x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，解不等式利用三角函数单调性可得从上午8点开始首次开放船只出入，一天内开放出入时长为8h ，即可判断C 正确，D 错误.【详解】对于A ，依题意π62T ω==，所以6π=ω，故A 正确；对于B ，当12x =时，ππcos 126863y A ⎛⎫=⨯++=⎪⎝⎭，解得4A =，所以最高水位为10m ，故B 错误；对于CD ，由上可知ππ4cos 663y x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，令8y ≥，解得812x ≤≤或者2024x ≤≤，所以从上午8点开始首次开放船只出入，一天内开放出入时长为8h ，故C 正确，D 错误.故选：AC.三、填空题12.设e为单位向量，2a =r ，当,a e 的夹角为π3时，a 在e 上的投影向量为______.【答案】e【解析】【分析】利用投影向量的定义计算可得结果.【详解】根据题意可得向量a 在e 上的投影向量为22π21cos 31a e e a e e e e ee e⨯⨯⋅⋅⋅=== .故答案为：e13.已知向量a 、b 满足5a = ，4b = ，a 与b 的夹角为120，若()()2ka b a b -⊥+ ，则k =________.【答案】45##0.8【解析】【分析】运用平面向量数量积公式计算即可.【详解】因为5a = ，4b = ，a 与b的夹角为120 ，所以1cos12054102a b a b ⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.因为()2ka b -⊥()a b +r r ，所以()()()()222222521610215120ka b a b kab k a b k k k -⋅+=-+-⋅=-⨯--=-=，解得45k =.故答案为：45.14.已知1tan 3x =，则1sin 2cos 2x x +=______【答案】2【解析】【分析】根据二倍角公式以及齐次式即可求解.【详解】2222222211121sin 2cos sin 2sin cos 1tan 2tan 332cos 2cos sin 1tan 113x x x x x x x x x x x ⎛⎫++⨯ ⎪+++++⎝⎭====--⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：2四、解答题15.已知1a b a == ，与b 的夹角为45︒．（1）求()a b a +⋅的值；（2）求2a b -的值【答案】（1）2（2【解析】【分析】（1）先求2,a a b ⋅ ，再根据运算法则展开计算即可；（2）先计算2b，再平方，进而开方即可.【小问1详解】因为22||1,||||cos 451122a a a b a b ==⋅=︒=⨯=所以2()112a b a a a b ++⋅=⋅=+=【小问2详解】因为22||2b b ==，所以2222|2|(2)444242a b a b a b a b -=-=+⋅=+--=所以|2|a b -=16.已知函数()222cos 1f x x x =+-.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若3π,π4θ⎛⎫∈⎪⎝⎭且()85f θ=-，求cos 2θ的值.【答案】（1）π（2）410-【解析】【分析】（1）利用辅助角公式化简，求出最小正周期；（2）将θ代入可求出πsin 26θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，结合π26+θ的范围，求出πcos 26θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为ππ2266θθ=+-，由两角差的余弦公式求出结果.【小问1详解】()2π22cos 12cos 22sin 26f x x x x x x ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==【小问2详解】()π82sin 265f θθ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，所以π4sin 265θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，因为3π,π4θ⎛⎫∈⎪⎝⎭，1π25π3663π,θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭+，所以π3cos 265θ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以ππππππcos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666θθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3414525210-⎛⎫=⨯+-⨯=⎪⎝⎭.17.如图，在ABC 中，6AB =，60ABC ∠=︒，D ，E 分别在边AB ，AC 上，且满足2AD DB = ，3CE EA =，F 为BC 中点.（1）若DE AB AC λμ=+，求实数λ，μ的值；（2）若8AF DE ⋅=-，求边BC 的长.【答案】（1）23λ=-，14μ=.（2）8【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算以及平面向量的基本定理求得正确答案.（2）利用转化法化简8AF DE ⋅=-，从而求得BC 的长.【小问1详解】∵2AD DB = ，3CE EA= ，∴23AD AB = ，14AE AC = ∴1243DE AE AD AC AB =-=- ，∴23λ=-，14μ=.【小问2详解】12AF BF BA BC BA =-=- ，()1212154343412DE AC AB BC BA BA BC BA =-=-+=+ ，22115115241282412AF DE BC BA BC BA BC BC BA BA ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设BC a = ，∵6AB = ，60ABC ∠=︒，221115668824212AF DE a a ⋅=-⨯⨯-⨯=- ，即2560a a --=，解得7a =-（舍）或8a =，∴BC 长为8.18.设(,)P x y 是角θ的终边上任意一点，其中0x ≠，0y ≠，并记r =cot x y θ=，sec r xθ=，csc r y θ=．（Ⅰ）求证222222sin cos tan cot sec +csc θθθθθθ+--+是一个定值，并求出这个定值；（Ⅱ）求函数()sin cos tan cot sec +csc f θθθθθθθ=++++的最小值．【答案】（Ⅰ）定值为3；（Ⅱ）min ()1f θ=-；【解析】【分析】（Ⅰ）由题可知，分别将6个三角函数分别代入，进行简单的化简，即可得到定值3；(Ⅱ)将()f x 中的未知量均用sin ,cos θθ来表示，得到1sin cos ()sin cos sin cos sin cos g θθθθθθθθθ+=+++，运用换元法设sin cos t θθ+=，化简成2()111g t t θ=-++-，再利用对勾函数的性质即可得到最值．【详解】解：（Ⅰ）222222222222222222sin cos tan cot sec +csc =y x y x r r r x y r y xθθθθθθ+--++--++2222222221113x y r y r x r x y+--⇒++=++=；（Ⅱ）由条件，1cot tan x y θθ==，1sec cos x θ=，1csc sin θθ=令()sin cos tan cot sec +csc g θθθθθθθ=++++sin cos 11sin cos +cos sin cos sin θθθθθθθθ=++++1sin cos sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθ+=+++，令sin cos t θθ+=，则sin cos =2sin()4t πθθθ=++[2,2]∈-，1t ≠±，且21sin cos 2t θθ-=，从而2222()11t g y t t t θ==++--22(1)1t t t +=+-221111t t t t =+=-++--，令1u t =-，则21y u u =++，[21,21]u ∈---，且0u ≠，2u ≠-．所以，(,122][322,)y ∈-∞-⋃++∞．从而()221f y θ=≥-，即min ()221f θ=-．19.已知函数()2000ππ2sin sin 2sin 266f x x x x C ωωω⎛⎫⎛⎫=+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（R C ∈）有最大值为2，且相邻的两条对称轴的距离为π2（1）求函数()f x 的解析式，并求其对称轴方程；（2）将()f t 向右平移π6个单位，再将横坐标伸长为原来的24π倍，再将纵坐标扩大为原来的25倍，再将其向上平移60个单位，得到()g t ，则可以用函数()sin()H g t A t B ωϕ==++模型来模拟某摩天轮的座舱距离地面高度H 随时间t （单位：分钟）变化的情况．已知该摩天轮有24个座舱，游客在座舱转到离地面最近的位置进仓，若甲、乙已经坐在a ，b 两个座舱里，且a ，b 中间隔了3个座舱，如图所示，在运行一周的过程中，求两人距离地面高度差h 关于时间t 的函数解析式，并求最大值．【答案】（1）()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ππ32k x =+，Z k ∈（2）ππ()50sin 126f x t ⎛⎫=-⎪⎝⎭，50【解析】【分析】（1）由二倍角公式与两角和与差的正弦公式化简得()0π2sin 216f x x C ω⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，再结合最值及周期即可得解析式；（2）由正弦型函数的平移变换与伸缩变换得变换后的解析式为ππ50sin 60122y t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则ππ50sin 126h H H ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭甲乙，再求最值即可.【小问1详解】()00001cos 2π22sin 2cos 2cos 2126x f x x C x x C ωωωω-=⨯++=-++0π2sin 216x C ω⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，所以2121C C ++=⇒=-，因为相邻两条对称轴的距离为π2，所以半周期为ππ22T T =⇒=，故002ππ12=⇒=ωω，()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭令ππππ2π6232k x k x -=+⇒=+，Z k ∈【小问2详解】()f t 向右平移π6得到π2sin 22y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将横坐标伸长为原来的24π倍，得到ππ2sin 122y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将纵坐标扩大为原来的25倍，得到ππ50sin 122y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将其向上平移60个单位，得到ππ50sin 60122y t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭游客甲与游客乙中间隔了3个座舱，则相隔了2ππ4243⨯=，令ππ50sin 60122H t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭甲，则π5π50sin 60126H t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭乙，则πππ5π50sin sin 122126h H H t t ⎛⎫⎛⎫=-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭甲乙π1πcos 12212t t =-ππ50sin 126t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，π12ω=，24T =，024t ≤≤，故πππ11π61266t -≤-≤，当πππ1262t -=或3π82t ⇒=或20时，max 50h =。
江苏省泰州市姜堰区罗塘高级中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题
江苏省泰州市姜堰区罗塘高级中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题一、单选题1．cos50cos20cos40sin20︒︒+︒︒的值为（ ）A ．12-B ．12C D ．2．已知向量()()1,1,1,1a b ==-r r，若()()a b a b λμ+⊥+r r r r ，则（ ）A ．1λμ+=B ．1λμ+=-C ．1λμ=D ．1λμ=-3．已知角θ的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则sin 2θ=（ ）A ．45-B ．35-C ．35D ．454．如图，在ABC V 中，点D 为BC 边的中点，O 为线段AD 的中点，连接CO 并延长交AB 于点E ，设AB a u u u r r=，AC b =u u u r r ，则CE =u u u r （ ）A ．1344a b -r rB ．14a b -r rC ．13a b -r rD ．1334a b -r r5．已知3cos 64πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2sin 2cos 6212παπα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（ ）A ．14B ．12CD ．16．八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =u u u r给出下列结论（ ）①OA u u u r 与OH u u u r 的夹角为π3；②OD OF OE +=u u u r u u u r u u u r ；③OA OC -u u u r u u u r u uu r ；④OA u u u r 在OD u u u r 上的投影（其中e r 为与OD u u u r 同向的单位向量）．其中正确结论为（ ） A ．① B ．② C ．③D ．④7．如图，A ，B 是半径为1的圆O 上的两点，且π.3AOB ∠=若C 是圆O 上的任意一点，则·OA BC u u u r u u u r 的最大值为（ ）A ．32-B ．14C ．12D ．18．在ABC V 中，“ABC V 是钝角三角形”是“tan tan 1A B <”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件二、多选题9．已知在同一平面内的向量,,a b c r r r均为非零向量，则下列说法中正确的有（ ）A ．若,a b b c r r r r∥∥，则a c r r ∥B ．若a c a b ⋅=⋅r r r r ，则b c =r rC ．()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r rD ．若a b r r P 且a c ⊥r r，则()0c a b ⋅+=r r r10．下列计算结果正确的是（ ）A ．44ππcos sin 88-=B ．1tan151tan15+︒-︒C ．2sin15sin 751︒︒=D ．)sin140tan1901︒︒=11．定义两个平面向量的一种运算sin a b a b θ⊗=⋅⋅r r r r ，θ为,a b rr 的夹角，则对于两个平面向量,a b rr ，下列结论正确的有（ ）A ．a b b a⊗=⊗r r r r B ．()()=a b a b λλ⊗⊗r r r rC ．()()2222·a ba ba b ⊗+=⋅r r r r r rD ．若()()1122,,,a x y b x y ==r r ，则1221a b x y x y ⊗=-rr三、填空题12．已知向量()4,3a =-r ，()2,1b x =-r，若a b a ⋅=-r r r ，则x =．13．已知()0,παβ∈、，tan α与tan β是方程240x ++=的两个根，则αβ+=． 14．已知()()1122,,,A x y B x y 是角αβ､终边与单位圆的两个不同交点，且1221x y x y =，则121222x x y y -+-的最大值为.四、解答题15．已知向量a r ，b r不共线，且2OA a b =-u u u r r r ，3OB a b =+u u u r r r ，OC a b λ=+u u u r r r ．(1)将AB u u u r用a r ，b r 表示；(2)若OA OC u u u r u u u r∥，求λ的值；(3)若3λ=-，求证：A ，B ，C 三点共线． 16．已知02a π<<，02βπ<<，4sin 5α=，5cos()13αβ+=.（1）求cos β的值； （2）求2sin sin 2cos 21ααα+-的值.17．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上中点，点F 在边上CD 上.（1）若点F 是CD 上靠近C 的三等分点，设EF AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r，求λμ+的值.（2）若2AB =，当1AE BF ⋅=u u u r u u u r时，求cos EAF ∠的值.18．现某公园内有一个半径为20米扇形空地OAB ，且π3AOB ∠=，公园管理部门为了优化公园功能，决定在此空地上建一个矩形MNPQ 的老年活动场所，如下图所示有两种情况可供选择.(1)若选择图一，设NOA ∠α=，请用α表示矩形MNPQ 的面积，并求面积最大值 (2)如果选择图二，求矩形MNPQ 的面积最大值，并说明选择哪种方案更优（面积最大）（参1.414≈ 1.732）19．已知O 为坐标原点，对于函数()sin cos f x a x b x =+，称向量(,)OM a b =u u u u r为函数()f x 的相伴特征向量，同时称函数()f x 为向量OM u u u u r的相伴函数.（1）设函数53()sin sin 62g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，试求()g x 的相伴特征向量OM u u u u r ；（2）记向量ON =u u u r 的相伴函数为()f x ，求当8()5f x =且,36x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，sin x 的值；（3）已知(2,3)A -，(2,6)B ，(OT =u u u r 为()sin 6h x m x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的相伴特征向量，()23x x h πϕ⎛⎫=-⎪⎝⎭，请问在()y x ϕ=的图象上是否存在一点P ，使得AP BP ⊥u u u r u u u r .若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由.。
高一下学期第一次月考数学试题(解析版
（1）求角 ；
（2）求 的取值范围.
【18题答案】
【答案】（1）条件选择见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）若选①由正弦定理得 即可求出 ；若选②由正弦定理得 即可求出 .
（2）用正弦定理得表示出 得到 利用三角函数求出 的取值范围.
【小问1详解】
若选①则由正弦定理得
【解析】
【分析】由题可得 .作差法可判断A；用基本不等式可判断B；分别化简不等式左边和右边可判断C；假设法可判断D.
【详解】如图
易知 .
A： （当 时取等号） 故A正确；
B： （当 时取等号）故B正确；
C：
又 （当 时取等号） 故C正确；
D：假设 成立
则
即
即
当 且 时上式不成立故D错误.
故选：ABC.
同理由 三点共线则存在实数 使得
所以 解得 所以 所以A正确.
又由 且
可得 解得 则
可得 所以B正确；
又由
当且仅当 时等号成立所以C正确.
又由 可得 所以D不正确.
故选：ABC.
12.设 分别为 中ab两边上的高 的面积记为S.当 时下列不等式正确的是( )
A. 【20题答案】
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由最大值和最小值求得 的值由 以及 可得 的值再由最高点可求得 的值即可得 的解析式由正弦函数的对称中心可得 对称中心；
（2）由图象的平移变换求得 的解析式由正弦函数的性质可得 的值域令 的取值为 的值域解不等式即可求解.
【小问1详解】
由题意可得： 可得 所以
A. B.
C. D.
四川省内江市第六中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题
四川省内江市第六中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．tan15︒=（ ）．A B C ．2D ．22．下列说法正确的是（ ）．A ．单位向量均相等B ．向量a r ，b r 满足0a b ⋅=r r ，则a r ，b r 中至少有一个为零向量C ．零向量与任意向量平行D ．若向量a r ，b r 满足a b =r r ，则a b =±r r3．若1sin cos 5αα+=，()0,πα∈，则cos2=α（ ）．A ．725-B ．725C ．2425-D ．24254．已知平行四边形ABCD ，满足AB AD AB AD +=-u u u r u u u r u u u r u u u r，则四边形ABCD 一定为（ ）．A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．等腰梯形5．已知函数()sin f x x π=，则图中的函数图象所对应的函数解析式为（ ）A ．122y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B ．122x y f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．12x y f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()21y f x =-6．在ABC V 中，已知sin cos sin cos A A B B =，则ABC V 是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形7．已知函数()πsin π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在一个周期内的图象与x 轴、y 轴交于点A 、点B ，过点A 的直线相交于另外两点C 、D ．设O 为坐标原点，则BC BD +u u u r u u u r 在OA u u ur 方向上的投影向量的模为（ ）．A ．83B ．43C ．23D ．138．设函数()πsin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间()0,π恰有三个取得最值的点、两个零点，则实数ω的取值范围是（ ）． A ．513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭B ．519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．138,63⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦二、多选题9．已知函数()π3sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，函数()g x 的图象由()f x 图象向右平移π4个单位长度得到，则下列关于函数()g x 的说法正确的有（ ） A ．()g x 的图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()g x 的图象关于直线π3x =对称 C ．()g x 在π5π,2424⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．()g x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减10．若()()πsin cos sin 4αβαβαβ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭，则下列结论不正确的是（ ）．A ．()tan 1αβ-=B ．()tan 1αβ-=-C ．()tan 1αβ+=D ．()tan 1αβ+=-11．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．已知某港口水深()f t （单位：m ）与时间t （单位：h ）从0~24时的关系可近似地用函数π()sin()0,0,2f t A t b A ωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭来表示，函数()f t 的图象如图所示，则（ ）A ．π()3sin 5(024)6f t t t =+≤≤B ．函数()f t 的图象关于点(12,0)对称C ．当5t =时，水深度达到6.5mD ．已知函数()g t 的定义域为[0,6]，(2)(2)g t f t n =-有2个零点12,t t，则12πtant t =+12．对任意两个非零的平面向量αr 和βr，定义αβαβββ⋅=⋅rr rrr r o ，若平面向量a r 、b r满足0a b ≥>r r ，a r 与b r 的夹角π0,4θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且a b r r o 和b a r r o 都在集合,n m n m ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭Z Z 中．给出以下命题，其中错误选项的是（ ）． A ．若1m =时，则1a b b a ==r r r o r oB ．若2m =时，则12a b =r o rC ．若3m =时，则a b r r o 的取值个数最多为7D ．若2024m =时，则a b r r o 的取值个数最多为220242三、填空题13．与()3,4a =-r同向的单位向量为．14．已知()()3,2,,1a b λλ=+=r r ，若a r 与b r的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是.15．在ABC V 中，3sin 4cos 6A B +=，3cos 4sin 1A B +=，则C 的大小是．16．在ABC V 中，(2,5)AB m m =+u u u r ，(cos ,sin )AC αα=u u u r，（R m ∈，R α∈），若对任意的实数t ，C A AC B AB t A ≥--u u u r u u u r u u u r u u u r恒成立，则BC 边的最小值是.四、解答题17．如图，在ABC V 中，已知2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，BM MC =u u u u r u u u u r ，设A B a =u u r r ，AC b =u u u r r ．(1)用向量a r ，b r表示AM u u u u r ；(2)求向量AM u u u u r 与AB u u u r的数量积及夹角θ的余弦值．18．在平面直角坐标系xOy 中，向量()cos ,sin a αα=r，()cos sin ,cos sin b αααα=-+r ，其中0πα<<．(1)判断向量a r ，b r是否垂直？(2)若(c =r ，且()b c a +∥r r r，求α的值．19．已知()3sin 25αβ-=，4sin 5β=-，且ππ2α<<，π02β-<<．(1)求cos2α的值； (2)求角αβ-的大小．20．如图，OABC 为正方形，()2,0A ，()0,2C ，点()()2cos ,2sin P θθθ++∈R 为直角坐标平面内的一点，M 为线段AB 的中点，设()f PO PM θ=⋅u u u r u u u u r．(1)求点B 的坐标及()f θ的表达式； (2)当()f θ取最大值时，求sin θ的值．21．为了庆祝巴蜀中学建校90周年，学校将在校园内悬挂各种宣传板，有一种宣传板由一个四边形和一个三角形拼接而成（如图），在四边形ABCD 中，CD CB ⊥，AB CD P ，P 为四边形ABCD 外一点，PM CD ⊥于点M ，PN 交AB 于点N ，4PA =，CD =PM =，PAB θ∠=．(1)若512πθ=，求BC ； (2)若N 为AB 的中点，ππ43θ≤≤，求四边形ABCD 的面积的最大值．22．已知函数())π2sin cos 03f x x x ωωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 的最小正周期为π．(1)求()f x 的解析式；(2)若函数()()()24a g x f x af x =-+在ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有三个不同零点1x ，2x ，3x ，且123x x x <<．①求实数a 取值范围；②若12π24x x +>-，求实数a 的取值范围．。
富平县迤山中学高一第二学期第一次月考数学试卷
1、一个正方体的内切球与外接球的表面积之比为：A. 1:3B. 1:2C. 1:4D. 2:3解析：正方体的内切球半径等于正方体棱长的一半，而外接球半径等于正方体对角线的一半。
通过计算两者的表面积比，可以得出答案为A。
内切球与外接球的半径之比为1:√3，因此表面积之比为1:3。
（答案：A）2、设集合A={x|x是小于9的正整数}，B={1,2,3}，则A∩B等于：A. {1,2,3,4,5,6,7,8}B. {4,5,6,7,8,9}C. {1,2,3}D. ∅解析：集合A包含小于9的所有正整数，即{1,2,3,4,5,6,7,8}。
集合B为{1,2,3}。
两集合的交集即为它们共有的元素，所以A∩B={1,2,3}。
（答案：C）3、若a,b,c为三角形的三边，且a+b>2c，则此三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定解析：根据三角形的性质，任意两边之和大于第三边。
题目给出a+b>2c，并不能直接判定三角形的具体类型（锐角、直角或钝角），因为这仅说明了边长关系，不足以确定角度。
（答案：D）4、已知等差数列的前n项和为Sn，若S3=6，S6=15，则S9等于：A. 24B. 27C. 30D. 36解析：等差数列的前n项和Sn满足性质：S3, S6-S3, S9-S6也成等差数列。
已知S3=6，S6=15，则S6-S3=9。
因此，S9-S6也应为9，所以S9=15+9=24。
（答案：A）5、下列哪个数不是质数？A. 2B. 3C. 4D. 5解析：质数是只有1和它本身两个正因数的自然数，且必须大于1。
2, 3, 5都符合质数的定义，而4除了1和4本身外，还能被2整除，因此不是质数。
（答案：C）6、若一个长方体的长、宽、高分别为3cm、4cm、5cm，则其体积为：A. 12cm³B. 30cm³C. 60cm³D. 120cm³解析：长方体的体积计算公式为长×宽×高。
吉林省四平市第一高级中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题
吉林省四平市第一高级中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．复数ππ2cos isin 33z ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭虚部是（ ） AB ．1C ．πsin 3D ．πcos 32．在△ABC 中，若60A ∠=，45B ∠=，BC =AC =（ ）A ．B ．CD 3．已知向量()7,6AB =，()3,BC m =−，()1,2AD m =−，若A ，C ，D 三点共线，则m =（ ）A ．32B ．23 C ．32− D ．23− 4．已知向量(3,4)a =，(2,)b m =−，(2,1)c =−，若()a b c +⊥，则m =（ ） A ．6− B ．2− C ．6 D ．132 5．在ABC 中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）A ．4a =，5b =，6c =B ．a =2b =，45A =oC ．10a =，45A =o ，70B =D ．3a =，2b =，60A =6．已知复数z 满足|1|1z −=，则|22i |z +−的最大值为（ ）A1 B C 1 D ．7．某校高一年级开展课外实践活动，数学建模课题组的学生选择测量山峰的高度.如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为60︒，沿倾斜角为30︒的斜坡向上走了90米到达B 点（A ，B ，P ，Q 在同一个平面内），在B 处测得山顶P 的仰角为75︒，则山峰高PQ 为（ ）A ．45(3+米B ．45(2米C ．1)米D ．1)米8．已知点P 是ABC 所在平面内的动点，且满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭(0)λ>，射线AP 与边BC 交于点D ，若23BAC π∠=，||1AD =，则||BC 的最小值为（ ）AB ．2C ．D ．二、多选题9．设(1i)2i z −=+，则下列叙述中正确的是（ ）A ．z 的实部是32−B ．13i 22z =−C ．||z =D ．在复平面内，复数z 对应的点位于第一象限 10．已知在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列结论正确的是（ ）A ．若AB >，则a b >B ．222a b c +>C ．若sin sin <A C ，则cos cos A C <D ．sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++11．在ABC 中，5AB AC ==，6BC =，P 为ABC 内的一点，设AP xAB y AC =+，则下列说法正确的是（ ）A ．若P 为ABC 的重心，则21x y +=B ．若P 为ABC 的外心，则18PB BC ⋅= C ．若P 为ABC 的垂心，则716x y +=D ．若P 为ABC 的内心，则58x y +=三、填空题12．已知向量a 与b 的夹角为60︒，||2a =，||1b =，则||a b += . 13．设复数1i 1i −=+z ，202420232()1f x x x x x =+++++，则()f z = . 14．已知(1,2),(1,1)a b ==且a 与a b λ+的夹角为锐角，则λ的取值范围是 .四、解答题15．已知复数()()22223i z m m m m =++−−，R m ∈，其中i 为虚数单位.(1)若1m =，求z ；(2)若复数z 为纯虚数，求m 的值.16．已知向量(1,2)OA =，(3,1)AB =，(,3)OC m =.(1)若向量OA OC ⊥，求向量AB 与向量OC 的夹角的大小：(2)若向量OB OC ⊥u u u r u u u r ，求向量AB 在向量OC 方向上的投影向量的坐标.17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos sin B b A =，又以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积分别为123,,S S S ，且132S S S +−=.(1)求角B 的大小；(2)求ABC 的面积；(3)若30sin sin 49A C =，求ABC 的周长. 18．如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，且2BE EA =，AD 与CE 交于点O .(1)用AB ，AC 表示DE ；(2)过点O 作直线交线段AB 于点G ，交线段AC 于点H ，且23AG AB =，AH t AC =，求t 的值；(3)若3AB AD AO EC ⋅=⋅，求AB AC 的值. 19．已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边.(1)若cos sin 0a C C b c −−=.①求A ；②当2a =时，求ABC 面积的最大值；(2)若8a c +=，sin tan22cos B A A=−，求ABC 面积的最大值.。
2023-2024学年吉林省延边州珲春第一高级中学高一(下)第一次月考数学试卷+答案解析
2023-2024学年吉林省延边州珲春第一高级中学高一（下）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，全集，则()A.B.C.D.I2.欧拉恒等式为虚部单位，e 为自然对数的底数被称为数学中最奇妙的公式，它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，，得根据欧拉公式，复数的虚部为()A.B.C.D.3.在矩形ABCD 中，E 为线段AB 的中点，则()A. B.C.D.4.在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，且，则角A 的余弦值为()A.B.C.D.5.已知向量满足，则()A. B.0C.1D.26.若函数的零点所在的区间为，则实数a 的取值范围是()A. B.C.D.7.在中，已知角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且，，则的形状是()A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形D.等腰直角三角形8.已O 知是的外心，，，则()A.10B.9C.8D.6二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知复数，则()A. B.复数z的共轭复数为C.复平面内表示复数z的点位于第一象限D.复数z是方程的一个根10.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是()A.，，，有唯一解B.，，，无解C.，有两解D.，，，有唯一解11.设P为所在平面内一点，则下列说法正确的是()A.若，则点P是的重心B.若，则点P是的垂心C.若，则点P是的内心D.若，则点P是的外心三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数是纯虚数，其中i为虚数单位，则实数m的值为______.13.已知，，²，则的最小值为______.14.拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形此等边三角形称为拿破仑三角形的顶点”．在中，已知，且，现以BC，AC，AB为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，，则的面积最大值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分。
四川省巴中市2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题含答案
四川省平昌高2023级第二学期第一次月考数学试题（答案在最后）总分：150分考试时间：120分钟注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置．3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效．4．考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列命题正确的是（）A .单位向量都相等B.若a b = ，则a b= C.零向量没有方向 D.模为0的向量与任意非零向量共线【答案】D 【解析】【分析】根据单位向量、零向量、共线向量的定义判断即可.【详解】对于A ，单位向量的方向不一定相同，故单位向量不一定相等，故A 错误；对于B ，取非零向量a b =- ，此时满足a b = ，但a b = 不成立，故B 错误．对于C ，零向量有方向，其方向任意，故C 错误；对于D ，模为0的向量为零向量，零向量与任意非零向量共线，故D 正确；故选：D ．2.已知复数2i i z =-，则z 对应的点Z 在复平面的（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C 【解析】【分析】根据虚数单位的性质化简，再由实部、虚部符号确定复数对应点所在象限.【详解】因为2i i=1i z =---，所以z 对应的点Z 在复平面的第三象限，3.化简()MA BA CM BC --+=（）A.2MCB.2CBC.2BCD.0【答案】D 【解析】【分析】根据向量的线性运算求解.【详解】由题意可得：()0MA BA CM BC MA CM AB BC CA AC --+=+++=+=.故选：D.4.设ABC 的内角,,A B C 对边分别为,,a b c ，若6,60a c C ===︒，则A 的值可以是（）A.30︒B.60︒C.120︒D.30︒或150︒【答案】A 【解析】【分析】由正弦定理求出sin A ，再由大边对大角确定角的范围求解即可.【详解】由正弦定理得sin sin a c A C=6sin 60=︒，解得1sin 2A =，因为a c <，所以60A C <=︒,所以30A =︒.故选：A5.已知向量()()3,3,,3a b x ==-，则“()a b b +⊥r r r ”是“3x =-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由()a b b +⊥r r r列方程求得x 的值，结合必要不充分条件的定义即可得解.【详解】由题意()()3,3,,3a b x ==- ，则()3,0a b x +=+r r，而()()()300a b b a b b x x x +⊥⇔+⋅=+=⇔=r r r r r r或3x =-，所以“()a b b +⊥r r r”是“3x =-”的必要不充分条件.6.在ABC 中，已知2sin sin 1cos B C A =+，则ABC 的形状是（）A.等边三角形B.直角三用形C.等腰或直角三角形D.等腰三角形【答案】D 【解析】【分析】根据两角和差的余弦公式化简，可得出B C =，即可得解.【详解】因为()2sin sin 1cos 1cos 1cos cos sin sin B C A B C B C B C =+=-+=-+，所以sin sin cos cos cos()1B C B C B C +=-=,由0π,0πB C <<<<知，ππB C -<-<，所以0B C -=，即B C =.故选：D7.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若::1:2:a b c =，则其最大角为（）A.π3B.π2C.2π3D.5π6【答案】C 【解析】【分析】根据三角形大边对大角原则和余弦定理直接求解即可.【详解】设a k =，则2b k =，c =，c b a >> ，C ∴∠最大，2222222471cos 242a b c k k k C ab k +-+-===- ，()0,πC ∈，2π3C ∴=.故选：C.8.已知点G 为ABC 的重心，,D E 分别是,AB AC 边上一点，,,D G E 三点共线，F 为BC 的中点，若AF AD AEλμ=+ ，则41λμ+的最小值为（）A.6B.7C.92D.272【答案】A 【解析】【分析】根据重心性质可得32AF AG = ，再由三点共线得出221(0,0)33λμλμ+=>>，根据“1”的变形技巧利用均值不等式求最值.【详解】由点G 为ABC 的重心，F 为BC 的中点知，32AF AG AD AE λμ==+,所以2233AG AD AE λμ=+，因为,,D G E 三点共线，,D E 分别是,AB AC 边上一点，所以221(0,0)33λμλμ+=>>，即0,0)32(λμλμ>=>+，()41241242556333μλλμλμλμλμ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4μλλμ=，即11,2λμ==时等号成立，故选：A二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.设复数12i1i z +=+，则（）A.z 的实部为32 B.31i22z =- C.z 的虚部为1i2D.1z =【答案】AB 【解析】【分析】根据复数除法求出z ，由复数的概念判断AC ，根据共轭复数判断B ，根据模的定义判断D.【详解】因为()()()()12i 1i 12i 122i i 31i 1i 1i 1i 222z +-+++-====+++-，所以z 的实部为32，虚部为12，31i 22z =-，2z ==，故选：AB10.下列结论正确的是（）A.若,a b 为非零向量，且a b a b=，则a 与b 共线B.若0,ma m =∈R，则0m =或0a=C.若,a b b c∥∥，则a c∥D.已知6,a e = 为单位向量，若3,π4a e 〈〉= ，则a 在e上的投影向量为-【答案】ABD 【解析】【分析】选项A ，利用向量单位方向向量相等的定义，即可判断出选项A 的正误；选项B ，根据条件，利用数乘向量的定义，即可判断出选项B 的正误；选项C ，利用0与任何向量共线及向量共线的定义，即可判断出选项C 的正误；选项D ，根据条件，利用投影向量的定义，即可判断出选项D 的正误，从而得出结果.【详解】对于选项A ，因为a b a b= ，即,a b 的单位方向向量相等，所以a 与b 共线，所以选项A 正确；对于选项B ，因为0,R ma m =∈，由数乘向量的定义可知，0m =或0a=，所以选项B 正确；对于选项C ，当0b =，有//,//a b b c，但a 与c不一定共线，所以选项C 错误；对于选项D ，因为6,a e = 为单位向量，若3,π4a e <>=，所以a 在e上的投影向量为3π6cos4a e e e e⋅⋅=⋅=- ，所以选项D 正确，故选：ABD.11.设向量()()2,3,6,a b t == 若a 与b的夹角为锐角，则实数t 的值可能是（）A.5-B.3C.6D.9【答案】BC 【解析】【分析】由数量积公式求解.【详解】cos ,0a b a b a b ⋅==>，则1230,4t t +>>-.当a 与b 同向时，9t =，由于a 与b的夹角为锐角，则4t >-且9t ≠故选：BC12.对于ABC ，有如下判断，其中正确的判断是（）A.若2,30a A ==︒，则224sin 2sin 2sin sin b c b cB C B C++==++B.若8,10,60a b B ===︒，则符合条件的ABC 有两个C.若点P 为ABC 所在平面内的动点，且(),0,cos cos AB AC AP AB B AC C λλ⎛⎫ ⎪=+∈+∞ ⎪⎝⎭，则点P 的轨迹经过ABC 的垂心D.已知O 是ABC 内一点，若230,,AOC ABC OA OB OC S S ++=分别表示,AOC ABC 的面积，则1:6AOC ABC S S ⋅=△△【答案】ACD 【解析】【分析】根据正弦定理及比例的性质判断A ，根据正弦定理及大边对大角判断B ，根据数量积的运算得垂直判断C ，根据向量的运算得出比例关系判断D.【详解】由正弦定理知241sin sin sin 2a b c A B C ====，所以242sin sin b c B C ==可得242sin sin b c B C +=+，由24sin 2sin b c B C ==可得24sin 2sin b cB C+=+，故A 正确；由正弦定理可知sin sin a B A B =，即810sin sin 60A =︒，解得sin 5A =，又a b <，所以60A B <=︒，故A 只有一解，所以三角形一解，故B 错误；因为()cos πcos cos cos cos cos AB BC B AC BC C AB BCAC BC AP BC AB BAC C AB B AC C λλ⎛⎫⎛⎫⋅-⋅⋅⋅⎪ ⎪⋅=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()0BC BC λ=-+=，所以⊥AP BC ，所以点P 的轨迹经过ABC 的垂心，故C 正确；因为230OA OB OC ++=，所以()()20OA OC OB OC +++= ，设,AC BC 的中点分别为,E D ，如图，则20OE OD += ，即13OE DE = ，所以11113326AOC ADC ABC ABC S S S S ==⨯=△△△△，故D 正确.故选：ACD第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()1i a a ++∈R 为纯虚数，则=a ______．【答案】1-【解析】【分析】根据纯虚数的概念求解.【详解】因为()1i a a ++∈R 为纯虚数，所以10a +=，即1a =-，故答案为：1-14.ABC 中，若90C ∠=︒，2AC BC ==，则AB BC ⋅=________.【答案】-4【解析】【分析】先由已知条件求得BC = ,AB BC的夹角为135 ，再结合向量的数量积的运算求解即可.【详解】解：在ABC 中，90C ∠=︒，2AC BC ==，则BC ==，又,AB BC的夹角为135 ，所以cos1352(42AB BC AB BC ⋅==⨯-=- ，故答案为：4-.【点睛】本题考查了向量的数量积的运算，重点考查了向量的夹角，属易错题.15.在锐角ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，设向量)(),,sin ,cos m c n A C ==且m n∥，若π2,3b B ==，则ABC 的面积为______．【解析】【分析】根据向量平行及正弦定理化简得出三角形为等边三角形即可得解.【详解】由m n∥cos sin C c A =，cos sin sin A C C A =，由sin 0A ≠，所以tan C =又0πC <<，所以π3C =，所以ABC为正三角形，1π22sin 23S =⨯⨯⨯=.16.如图，在矩形ABCD 中，4,2AB BC ==，点,E F 分别在线段,BC CD 上，且π4EAF ∠=，则AE AF ⋅ 的最小值为__________．【答案】)161-【解析】【分析】根据锐角三角函数可得,πcos cos 4AB AD AE AF θθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，即可由数量积的定义求解，结合和差角公式以及三角函数的性质即可求解最值.【详解】设π02BAE θθ⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭，则π4DAF θ∠=-，故,πcos cos 4AB AD AE AF θθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，故π42cos π42cos cos 4AE AF AE AF θθ==⎛⎫- ⎪⋅⋅⎝⎭ππcos cos 44θθθθ=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦24=⎝⎭，当π2π,Z 4k k θ-=∈时，πcos 214θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即π8θ=时，此时AE AF ⋅)16122=.故答案为：)161-．【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是将所求转化为关于θ的表达式，从而得解，四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答题写出必要的文字说明、推演步骤．17.（1）已知：1i 2z =+，求z ；（2）计算：()()14i 1i 24i 34i -++++．【答案】（1）2；（2）1i -.【解析】【分析】（1）根据复数模的定义求解；（2）根据复数乘法与除法法则运算即可得解.【详解】（1）因为31i 2z =+，所以2z ==.（2）()()()()()()14i 1i 24i 7i 34i 53i 24i 7i34i34i 34i 34i 34i -++++--+++===++++-2221428i 3i 2525i1i 3425+-+-===-+.18.已知向量a 与b的夹角为60°，||a ＝1，)b = ．（1）求||b 及a b ⋅；（2）求|2|a b -.【答案】（1）||b = 2，a b ⋅=1；（2）|2|a b -=【解析】【分析】（1）利用模长坐标公式求||b ，再由数量积的定义求a b ⋅；（2）应用向量数量积的运算律求|2|a b -即可.【小问1详解】由题设2b ==，则cos 12cos60 1.a b a b θ⋅=⋅=⨯︒=【小问2详解】由()2222|2|244a b a ba ab b -=-=-⋅+221412cos604213=-⨯⨯⨯︒+⨯=，所以2a b -=19.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且4a =，5b =，1cos 8C =．（1）求ABC 的面积；（2）求边长c 及sin A 的值．【答案】（1）4（2）6c =，7sin 4A =【解析】【分析】（1）利用平方关系和面积公式求解即可.（2）利用余弦定理和正弦定理求解即可.【小问1详解】由1cos 8C =，且0πC <<，则sin 8C ==，所以1sin 24ABC S ab C ==△．【小问2详解】由2222cos 1625536c a b ab C =+-=+-=，则6c =，又sin sin c a C A =，则sin sin 4a C A c ==．20.记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin sin a b A C c A B--=+．（1）求角B 的大小；（2）若2b =，求ABC 周长的最大值．【答案】（1）π3B =（2）6【解析】【分析】（1）根据题意利用正、余弦定理进行边角转化，进而可得结果；（2）根据222a c b ac +-=，结合基本不等式运算求解.【小问1详解】因为sin sin sin sin a b A C c A B --=+，由正弦定理可得a b a c c a b--=+，整理得222a c b ac +-=，由余弦定理可得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，且()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】由（1）可知：222a c b ac +-=，整理得()243a c ac +-=，即()243a c ac +-=，因为()24a c ac +≤，当且仅当2a c ==时，等号成立，则()()22434a c a c +-+≤，可得()216a c +≤，即4a c +≤，所以ABC 周长的最大值为426+=.21.在直角梯形ABCD 中，已知//AB CD ，90DAB ∠=︒，224AB AD CD ===，点F 是BC 边上的中点，点E 是CD 边上一个动点.（1）若12DE DC = ，求AC EF ⋅ 的值；（2）求EA EF ⋅ 的取值范围.【答案】（1）2；（2）1[,2]4-.【解析】【分析】（1）由AC AD DC =+ 、11()32EF DC AB AC =+- ，应用向量数量积的运算律及向量位置关系求AC EF ⋅ 即可.（2）令ED CD λ= 且01λ≤≤，同（1）应用向量数量积的运算律得到EA EF ⋅ 关于λ的表示式，即可求值.【小问1详解】由图知：AC AD DC =+ ，CB AB AC AB AD DC =-=--，所以111()222EF EC CF DC CB AB AD =+=+=- ，所以1()(21)(2AD DC AB AD AD AB DC AB AC EF +-=-⋅=⋅+⋅⋅ 2)AD DC AD -⋅ ，又224AB AD CD ===，//AB CD ，90DAB ∠=︒，所以21(02420)22AC EF ⋅=⨯+⨯--= .【小问2详解】由（1）知：11()22EF EC CF EC CB EC AB AD DC =+=+=+-- ，令EC DC λ= 且01λ≤≤，则(1)EA DA DE DA DC λ=-=-- ，11()()22EF DC AB AD λ=-+- ，所以22111((1)()()222EA EF DA DC DC DA AB AD λλλ⋅=-⋅---+⋅+ 1()2DC AB DC AD λ--⋅-⋅= 21114(1)(24()244λλλ-++=--.则1[,2]4EA EF ⋅∈- .22.定义非零向量(),OM a b = 的“相伴函数”为()()sin cos f x a x b x x =+∈R ，向量(),OM a b = 称为为函数()sin cos f x a x b x =+的“相伴向量”（其中O 为坐标原点）．（1）求()()()πcos 2cos 6h x x x a a ⎛⎫=+-+∈ ⎪⎝⎭R 的“相伴向量”；（2）求（1）中函数()h x 的“相伴向量”模的取值范围；（3）当向量)OM = 时，其“相伴函数”为()f x ，若110,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，方程()()()2230f x a f x a +-+-=存在4个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．【答案】（1）12sin ,2cos 22OM a α⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭（2）[]1,3（3）(1,3](4,5)⋃【解析】【分析】（1）先利用两角和余弦公式展开化简函数，再根据相伴函数的概念求解即可；（2）结合向量模的坐标运算公式，根据辅助角公式化简函数，利用正弦函数性质求解即可；（3）由定义得()f x 并化简（化为一个角的一个三角函数形式），解方程2()(2)()30f x a f x a +-+-=得()1f x =或()3f x a =-，()1f x =求得两根，然后作出函数()f x ，110,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的图象，由图象可得()3f x a =-且31a -≠有两根的a 的范围．【小问1详解】()()πππcos 2cos cos cos sin sin 2cos cos 2sin sin 666h x x x a x x x a x a ⎛⎫=+-+=--+ ⎪⎝⎭12sin sin 2cos cos 22a x a x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数的“相伴向量”12sin ,2cos 22OM a α⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭.【小问2详解】OM == =||3max OM ∴= ，||1min OM == ，OM ∴ 的取值范围为[]1,3；【小问3详解】1π()cos cos )2sin 226f x x x x x x ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，当11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ,2π66x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由2()(2)()30f x a f x a +-+-=，得：(()1)(()(3))0f x f x a ---=，∴()1f x =或()3f x a =-，由()1f x =，即π1sin 62x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，解得0x =或2π3x =，即()1f x =在11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个根，方程2()(2)()30f x a f x a +-+-=在11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上存在4个不相等的实数根，当且仅当()3f x a =-且31a -≠在11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不等实根，在同一坐标系内作出函数()y f x =在11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图象和直线3y a =-，如图，方程()3(4)f x a a =-≠在11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不等实根，当且仅当函数()y f x =在11π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图象和直线3(4)y a a =-≠有两个公共点，观察图象知：230a -<-≤或132a <-<，解得13a <£或45a <<，所以实数a 的取值范围是(1,3](4,5)⋃.。
2023-2024学年安徽省合肥市高一下学期第一次月考质量检测数学试题(含解析)
2023-2024学年安徽省合肥市高一下册第一次月考数学试题一、单选题1．下列五个结论：①温度有零上和零下之分，所以温度是向量；②向量a b ≠ ，则a 与b的方向必不相同；③a b > ，则a b > ；④向量a 是单位向量，向量b 也是单位向量，则向量a 与向量b共线；⑤方向为北偏西50︒的向量与方向为东偏南40︒的向量一定是平行向量．其中正确的有（）A ．①⑤B ．④C ．⑤D ．②④【正确答案】C【分析】根据向量的定义即可判断①；根据不相等向量的定义即可判断②；根据向量不能比较大小即可判断③；根据共线向量的定义即可判断④⑤.【详解】温度虽有大小却无方向，故不是向量，故①错；a b ≠ ，但a 与b的方向可以相同，故②错；向量的长度可以比较大小，但向量不能比较大小，故③错；单位向量只要求长度等于1个单位长度，但方向未确定，故④错；如图，作出这两个向量，则方向为北偏西50︒的向量与方向为东偏南40︒的向量方向相反，所以这两个向量一定是平行向量，故⑤正确．故选：C.2．若在△ABC 中，AB a =，BC b = ，且||||1a b == ，||a b += ABC 的形状是（）A ．正三角形B ．锐角三角形C ．斜三角形D ．等腰直角三角形【正确答案】D【分析】利用向量加法的几何意义和模长之间的关系即可判定其为等腰直角三角形.【详解】由于||||1AB a == ，||||1BC b == ，||||AC a b =+则222||a b a b +=+ ，即222||||AB BC AC += ，所以△ABC 为等腰直角三角形．故选：D ．3．已知a ，b 均为单位向量，(2)(2)2a b a b +⋅-=-，则a 与b 的夹角为（）A ．30°B ．45°C ．135°D ．150°【正确答案】A【分析】根据(2)(2)2a b a b +⋅-=-，求得a b ⋅=r r ，再利用向量夹角公式即可求解.【详解】因为22(2)(2)232232a b a b a a b b a b +⋅-=-⋅-=-⋅-=-，所以2a b ⋅=r r ．设a与b 的夹角为θ，则cos .2||||a b a b θ⋅==又因为0°≤θ≤180°，所以θ＝30°．故选：A.4．如果用,i j 分别表示x 轴和y 轴正方向上的单位向量，且()()2,3,4,2A B ，则AB可以表示为（）A ．23i j+ B ．42i j + C ．2i j - D ．2i j-+ 【正确答案】C【分析】先根据向量的坐标表示求出AB，再根据正交分解即可得解.【详解】因为()()2,3,4,2A B ，所以()2,1AB =-，所以2AB i j =- .故选：C.5．设平面向量()1,2a =r ，()2,b y =- ，若a b∥，则3a b + 等于（）A B C D【正确答案】A【分析】由两向量平行得出b坐标中的y ，即可求出3a b + 的值.【详解】由题意，∵()1,2a =r ，()2,b y =- ，a b∥，∴()1220y ⨯⨯--=，解得4y =-，∴()2,4b =--∴()()()33,62,41,2a b +=+--=== 故选：A.6．已知向量(2,3)u x =+ ，(,1)v x = ，当()f x u v =⋅取得最小值时，x 的值为（）A ．0B ．1-C ．2D ．1【正确答案】B【分析】直接利用向量数量积的坐标化运算得到2()(1)2f x x =++，利用二次函数性质得到其最值.【详解】22()(2)323(1)2f x u v x x x x x =⋅=++=++=++，故当=1x -时，f (x )取得最小值2．故选：B.7．在如图所示的半圆中，AB 为直径，点O 为圆心，C 为半圆上一点，且30OCB ∠=︒，2AB = ，则AC等于（）A ．1B CD ．2【正确答案】A【分析】根据OC OB =，可得30ABC OCB ∠=∠=︒，进一步得出答案.【详解】如图，连接AC ，由OC OB =，得30ABC OCB ∠=∠=︒.因为C 为半圆上的点，所以90ACB ∠=︒，所以112AC AB ==．故选：A.8．如图，在ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM = ，AC nAN =，则m n +=（）A ．1B ．32C ．2D ．3【正确答案】C【分析】连接AO ，因为O 为BC 中点，可由平行四边形法则得1()2AO AB AC =+ ，再将其用AM，AN 表示.由M 、O 、N 三点共线可知，其表达式中的系数和122m n+=，即可求出m n +的值.【详解】连接AO ，由O 为BC 中点可得，1()222m n AO AB AC AM AN =+=+ ，M 、O 、N 三点共线，122m n∴+=，2m n ∴+=.故选：C.本题考查了向量的线性运算，由三点共线求参数的问题，熟记向量的共线定理是关键.属于基础题.二、多选题9．在平面直角坐标系中，若点A (2，3)，B (-3，4)，如图所示，x 轴、y 轴同方向上的两个单位向量分别为i 和j，则下列说法正确的是（）A ．23OA i j=+ B ．34O i j B =+ C ．5AB i j =-+ D ．5BA i j=+ 【正确答案】AC【分析】根据图象，由平面向量的坐标运算求解.【详解】解：由图知，23OA i j =+ ，34OB i j =-+，故A 正确，B 不正确；5AB OB OA i j =-=-+ ，5A A i j B B =-=-，故C 正确，D 不正确．故选：AC10．在ABC 中，若3330b c B ===︒，，，则a 的值可以为（）A 3B ．23C ．33D ．43【正确答案】AB【分析】根据余弦定理，直接计算求值.【详解】根据2222cos b a c ac B =+-，得2339232a a =+-⨯⨯，即23360a a -+=，解得：3a =23a =故选：AB11．如图，在海岸上有两个观测点C ，D ，C 在D 的正西方向，距离为2km ，在某天10:00观察到某航船在A 处，此时测得∠ADC=30°，5分钟后该船行驶至B 处，此时测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，则（）A ．当天10:00时，该船位于观测点C 的北偏西15°方向B ．当天10:00时，该船距离观测点2C ．当船行驶至B 处时，该船距观测点2D ．该船在由A 行驶至B 的这5min 6km【正确答案】ABD【分析】利用方位角的概念判断A ，利用正弦定理、余弦定理求解后判断BCD ．【详解】A 选项中，∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+45°=105°，因为C 在D 的正西方向，所以A 在C 的北偏西15°方向，故A 正确.B 选项中，在△ACD 中，∠ACD=105°，∠ADC=30°，则∠CAD=45°.由正弦定理，得AC=sin sin CD ADCCAD∠∠=，故B 正确.C 选项中，在△BCD 中，∠BCD=45°，∠CDB=∠ADC+∠ADB=30°+60°=90°，即∠CBD=45°，则BD=CD=2，于是BC=C 不正确.D 选项中，在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2=AC 2+BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB=2+8－212=6，即，故D 正确.故选：ABD ．12．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a c ≠，tan B =ABC 的面积为则2b a c-可能取到的值为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】AC由tan B =sin 3B =，再利用ABC 的面积为6ac =，再利用余弦定理可得22()8b a c =-+，然后代入2||b ac -中利用基本不等式可求得其最小值.【详解】解：tan B = 1cos 3B ∴=，sin 3B =，又1sin 2==S ac B 6ac ∴=，由余弦定理可得2222222cos 4()8=+-=+-=-+b a c ac B a c a c ，22()88||||||||-+∴==-+≥---b a c a c a c a c a c ，当且仅8||||-=-a c a c 等号成立，故2b a c-的最小值为AC 选项．故选：AC.关键点睛：本题考查余弦定理的应用，考查基本不等式的应用，解题的关键是根据面积得出6ac =，再利用余弦定理得出22()8b a c =-+，结合基本不等式求解.三、填空题13．已知点()1,5A --和向量()2,3a =r，若3AB a =，则点B 的坐标为________．【正确答案】()5,4【分析】根据向量线性运算的坐标表示，由OA AB OB =+求向量OB 的坐标，由此可得点B 的坐标.【详解】设O 为坐标原点，因为()1,5OA =--，()36,9AB a == ，故()5,4O A B OA B =+=，故点B 的坐标为()5,4．故答案为.()5,414．若向量()()(),3,1,4,2,1a k b c === ，已知23a b - 与c的夹角为钝角，则k 的取值范围是________．【正确答案】99,,322⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【分析】根据23a b - 与c 的夹角为钝角，由()230a b c -⋅< ，且23a b - 与c 的不共线求解.【详解】解：由()(),3,1,4a k b == ，得()2323,6a b k -=--．又23a b - 与c的夹角为钝角，∴()22360k --<，得3k <，若()23//a b c - ，则2312k -=-，即92k =-．当92k =-时，23a b - 与c 共线且反向，不合题意．综上，k 的取值范围为99,,322⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故99,,322⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ．15．如图，设P 为ABC 内一点，且202PA PB PC ++=，则:ABP ABC S S =△△________．【正确答案】15##0.2【分析】设AB 的中点是D ，连接PD ，根据平面向量线性运算法则，得到14P C D P =-，即可得到面积比.【详解】设AB 的中点是D ，连接PD ，由202PA PB PC ++= ，可得12PA PB PC +=-，因为122PA PB PD PC +==- ，所以14P C D P =- ，所以P 为CD 的五等分点（靠近D 点），即15P D D C =，所以ABP 的面积为ABC 的面积的15．故答案为.1516．在ABC 中，3a =60A = ，求32b c +的最大值_________.【正确答案】219由正弦定理得2sin b B =，2sin c C =.代入，进行三角恒等变换可得326sin 4sin b c B C +=+219)B ϕ=+，由此可求得最大值.【详解】解：由正弦定理32sin sin sin 32ab cA B C ===，得2sin b B =，2sin c C =.326sin 4sin b c B C+=+()316sin 4sin 1206sin 4sin 22B B B B B ⎫=+︒-=++⎪⎪⎝⎭6sin 32sin B B B=++8sin)B B Bϕ=+=+)Bϕ=+，其中tan4ϕ=，所以max(32)b c+=故答案为.本题考查运用正弦定理解三角形，边角互化求关于边的最值，属于较难题.四、解答题17．已知向量12a e e=-，1243b e e=+，其中()()121,0,0,1e e==．(1)试计算a b⋅及a b+的值；(2)求向量a 与b 夹角的余弦值．【正确答案】(1)1a b⋅=，a b+(2)10【分析】（1）利用平面向量的数量积运算求解；（2）利用平面向量的夹角公式求解.【详解】（1）解：()()()1,00,11,1a=-=-，()()()41,030,14,3b=+=，∴()41311a b⋅=⨯+⨯-=，a b+（2）设a b，的夹角为θ，由cosa b a bθ⋅=⋅⋅，cos a ba bθ⋅=⋅．18．有一艘在静水中速度大小为10km/h的船，现船沿与河岸成60︒角的方向向河的上游行驶．由于受水流的影响，结果沿垂直于河岸的方向驶达对岸．设河的两岸平行，河水流速均匀．(1)设船相对于河岸和静水的速度分别为,u v，河水的流速为w，求,,u v w之间的关系式；(2)求这条河河水的流速．【正确答案】(1)u w v=+(2)河水的流速为5km/h，方向顺着河岸向下【分析】（1）根据题意可得v与u的夹角为30︒，则,,u v w三条有向线段构成一个直角三角形，其中,,O O O v u A BC w B C ====，再根据向量的加法法则即可得解；（2）结合图象，求出BC uu u r即可.【详解】（1）如图，u 是垂直到达河对岸方向的速度，v是与河岸成60︒角的静水中的船速，则v 与u的夹角为30︒，由题意知，,,u v w三条有向线段构成一个直角三角形，其中,,O O O v u A BC w B C ==== ，由向量加法的三角形法则知，OC OA OB =+，即u w v =+ ；（2）因为10km /h OB v == ，而1sin 30105km /h 2BC OB =︒=⨯= ，所以这条河河水的流速为5km /h ，方向顺着河岸向下．19．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A cos B ．若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．【正确答案】ac ＝【分析】由b sin Acos B 边化角求得B ，由sin C ＝2sin A 得c ＝2a ，再结合余弦定理即可求解.【详解】因为b sin Acos B ．所以由正弦定理，得sin sin cos .B A A B =sin 0,sin cos A B B ≠∴ ，即tan B =π0π,=3B B <<∴ ∵sinC ＝2sin A ，∴由正弦定理，得c ＝2a ，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即9＝a 2＋4a 2－2a ·2a cosπ3，解得a c ＝2a ＝20．如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，7,,cos 4210CAD AC ADB π∠==∠=-.（1）求sin C ∠的值；（2）若5BD =，求ABD ∆的面积.【正确答案】（1）45；（2）7.【详解】试题分析：（1）先由2cos 10ADB ∠=得出72sin 10ADB ∠=sin sin 4C ADB π⎛⎫∠=∠- ⎪⎝⎭展开，代入求值即可；（2）由正弦定理sin sin AD AC C ADC =∠∠得到AD 的值，再利用三角形面积公式即可.试题解析：（1）因为2cos 10ADB ∠=，所以2sin 10ADB ∠=.又因为4CAD π∠=，所以4C ADB π∠=∠-.所以722224sin sin sin cos cos sin 4441021025C ADB ADB ADB πππ⎛⎫∠=∠-=∠⋅-∠⋅=⨯+⨯= ⎪⎝⎭.（2）在ACD ∆中，由sin sin AD AC C ADC=∠∠，得74sin 2522sin 7102AC C AD ADC ⨯⋅∠==∠所以1172sin 22572210ABD S AD BD ADB ∆=⋅⋅∠=⨯=.1、两角差的正弦余弦公式；2、正弦定理及三角形面积公式.21．设两个向量,a b 满足()132,0,22a b ⎛== ⎝⎭，(1)求a b + 方向的单位向量；(2)若向量27ta b + 与向量a tb + 的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．【正确答案】(1)57211414⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭(2)17,222⎛⎫⎛⎫-⋃-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）根据()12,0,,22a b ⎛== ⎝⎭，求得a b + 的坐标和模后求解；（2）根据向量27ta b + 与向量a tb + 的夹角为钝角，由()()270ta b a tb ++< ，且向量27ta b + 不与向量a tb + 反向共线求解.【详解】（1）由已知()152,0,,2222a b ⎛⎛+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a b +=所以14a b +=⎪⎭，即a b +方向的单位向量为1414⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；（2）由已知1a b ⋅= ，2,1a b == ，所以()()()22222722772157ta b a tb ta t a b tb t t +⋅+=++⋅+=++ ，因为向量27ta b + 与向量a tb + 的夹角为钝角，所以()()270ta b a tb ++< ，且向量27ta b + 不与向量a tb + 反向共线，设()()270ta b k a tb k +=+< ，则27t k kt =⎧⎨=⎩，解得2t =-，从而2215702t t t ⎧++<⎪⎨≠-⎪⎩，解得17,,222t ⎛⎛⎫∈--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.22．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.．（1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【正确答案】（1）4；（2）存在，且2a =.【分析】（1）由正弦定理可得出23c a =，结合已知条件求出a 的值，进一步可求得b 、c 的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出sin B ，再利用三角形的面积公式可求得结果；（2）分析可知，角C 为钝角，由cos 0C <结合三角形三边关系可求得整数a 的值.【详解】（1）因为2sin 3sin C A =，则()2223c a a =+=，则4a =，故5b =，6c =，2221cos 28a b c C ab +-==，所以，C 为锐角，则sin 8C ==，因此，11sin 4522ABC S ab C ==⨯⨯△（2）显然c b a >>，若ABC 为钝角三角形，则C 为钝角，由余弦定理可得()()()()22222221223cos 022121a a a a b c a a C ab a a a a ++-++---===<++，解得13a -<<，则0<<3a ，由三角形三边关系可得12a a a ++>+，可得1a >，a Z ∈ ，故2a =.。