长方体与正方体的表面积与体积

长方体与正方体的表面积与体积内容大纲1.知识梳理2.经典精讲3.综合练习4.拓展提高5.巩固练习知识梳理1、长方体和正方体的认识（1）、长方体的特征：有6个面，都是长方形，（有时相对的两个面是正方形），相对的面形状相同，面积（大小）相等；有12条棱，相对的棱长度相等；8个顶点。

（2）、正方体的特征：有6个面，都是正方形，6个面的面积相等；12条棱的长度相等；8个顶点。

说明：正方体是特殊的长方体（3）、长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4 正方体的棱长总和= 棱长×122、长方体和正方体的表面积（1）、长方体的表面积计算公式：S=2(ab+ah+bh)，其中S为长方体的表面积，a为长，b 为宽，h为高。

（2）正方体的表面积计算公式：S=6×a×a=6a2，其中S为正方体的表面积，a为棱长。

3、长方体和正方体的体积或容积（1）体积：物体所占空间的大小，是物体的体积。

容积：容器所能容纳物体的体积，是容器的容积。

（2）长方体体积的计算公式：长方体体积=长×宽×高=底面积×高；用字母表示是：V=abh（3）正方体体积的计算公式：正方体体积=棱长×棱长×棱长；用字母表示是：V=3 a注意：长方体与正方体表面积与体积的变化关系把长方体或正方体截成若干个小长方体（或正方体）后，表面积增加了，体积不变。

长方体或正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同。

但要从容器里面量长、宽、高。

所以，对于同一个物体，体积大于容积。

注意：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，体积就会扩大倍数的立方倍。

如长、宽、高各扩大2倍，体积就会扩大到原来的8倍。

4、体积与容积单位换算常见的体积单位有：3cm ；3dm ；3m 等。

常见的容积单位有：L 、mL 等体积单位的换算有：3311000m dm =；3311000dm cm =；相邻体积单位间的进率是1000.容积单位的换算有：11000L mL =体积与容积间的单位换算：311000m L =；311dm L =；311000dm mL =；311cm mL =转换依据：（1）高级单位化为低级单位：乘以进率； （2）低级单位化为高级单位：除以进率。

5、不规则物体的体积或容积（1）公式法：形状规则的物体可以用公式直接求体积。

（2）排水法：形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式：V物体=V现在－V原来，也可以 V 物体 =S ×(h 现在- h 原来) V 物体 =S ×h 升高（3）分割法：对于组合类型的物体，可以通过分割的方法将其分割成几个规则的物体，分别求每一个物体的体积，然后相加求和。

（1）等积变形法：对于某些问题，当外形发生变化时，体积不变，如长方体铁块融化后铸成正方体铁块，体积没有变化，据此可解决有关体积的相关问题。

经典精讲类型一：长方体和正方体的认识例1、填表：名称相同点不同点 面棱顶点面的特点 面的大小棱的长短长方体 个 条个6个面一般都是 也可能有两个相对 的面是 ；相对面的面积每一组互相平行的四条棱长度 正方体 个 条 个6个面都是6个面的面积12条棱的长度随堂练习练习1、长方体的棱长之和是72厘米，长是9厘米，宽是6厘米，高是多少厘米？练习2、在一个长方体中，从一个顶点出发的三条棱的和是7.5分米，这个长方体的棱长总和是多少分米？练习3、用一根铁丝围成一个长方体，已知长方体的长是3厘米，宽是2厘米，高是1厘米，这根铁丝长多少厘米？练习4、一个长方体和一个正方体的棱长之和相等，已知这个长方体长3厘米，宽2厘米，高1厘米，那么正方体的棱长之和是多少？练习5、如图，捆扎一礼品盒，若打结处绳子的长40厘米，捆扎这个礼品盒需绳子的长度是多少厘米？类型二：长方体和正方体的表面积例1、如图，长方体的长是（）厘米，宽是（）厘米，高是（）厘米，那么上下两个面的面积和是（）平方厘米，前后两个面的面积和是（）平方厘米，左右两个面的面积和是（）平方厘米，它的表面积是（）平方厘米。

3413例2、填表。

图形名称棱长（a）表面积（S）正方体2 cm0.6 m54平方分米图形名称长（a）宽（b）高（h）表面积（S）12 cm 3 cm 6 cm长方体 5 分米 3分米6 厘米 3厘米例3、正方体木料的棱长总和是60分米，问：它的表面积是多少平方分米？例4、教室长8米，宽5米，高3米，门窗面积15平方米，要粉刷墙壁的四周和顶面，粉刷面积是多少平方米？如果每平方米用漆0.6千克，每千克油漆21元，粉刷这间教室需用多少元？例5、把一个长方体的高缩短3厘米后，它就变成了一个正方体，表面积比原来减少了60平方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？例6、将4个小正方体堆成一个长方体，表面积比四个小正方体的表面积和少了24cm2，原来每个小正方体的表面积是多少？例7、如图所示的几何体是由六个相同的小正方体组合而成的，请你画出从不同的三个方向所看到的平面图。

例8、如图是由多个完全相同的小正方体组成的立体图形，请你画出从不同的三个方向（正面、左面、上面）所看到的平面图。

例9、如图所示，是由棱长为1的正方体搭成的积木从三个不同的方向看到的立体图形的平面图则图中棱长为1的正方体的个数是（）。

例10、墙角堆放着一些棱长为4分米的正方体钢块（如图）．若给露在外面的钢块表面涂上油漆，那么涂油漆的面积是多少平方分米？例11、把19个边长为2厘米的正方体重叠起来，作成如图那样的组合形体，求这个组合形体的露在外面的面积之和是多少？随堂练习练习1、计算下面长方体、正方体的表面积。

（单位：厘米）练习2、一个礼堂长20米，宽15米，高8米，要粉刷礼堂的顶棚和四周墙壁，除去门窗面积120平方米，平均每平方米用涂料0.45千克，一共需涂料多少千克？练习3、用96厘米长的铁丝焊接成一个正方体的框架，然后用纸给它的表面包裹起来，至少需要多少平方厘米的纸？练习4、一个长方体无盖铁皮箱子，长1.2米，宽0.8米，高2.5米，做一个这样的箱子至少需要多少铁皮？练习5、一根长5米的长方形木料，锯成了3个小长方体，表面积比原来增加了16平方米。

原来这根木料的体积是多少？练习6、一块长方体橡皮泥，长8分米，宽3分米，高5分米。

把它分割成两个小长方体，表面积增加多少平方米？练习7、有一个正方体的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6，从三个不同的角度观察这个正方体所得到的结果如图所示，如果标有数字6的面所对面上的数字记为a，2的面所对面上数字记为b，那么a+b的值为（）.练习8、求下列立体图形露在外面的面的面积之和。

练习9、这个颁奖台是由3个长方体合并而成的，它的前后两面涂是黄色油漆，其他露出来的面涂是红色油漆．涂黄色油漆和红色油漆的面积各是多少？练习10、如图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？类型三：长方体和正方体的体积例1、以下情况，物体的体积发生变化吗？（1）在不计损耗的情况下，小亚将一盒果汁倒入杯中，果汁的体积（ ）； （2）一块方钢，锻造成一根钢条，它的体积（ ）；（3）小胖把一块橡皮泥，先捏成一长条，再捏成一个小兔，它的体积（ ）。

（4）有6块小方块，可以摆放成各种形状，它们的体积（ ）。

例2、如果以下的立体图形都是用棱长是1厘米的正方体的积木，那么下列每个立体图形的体积是多少？例3、由若干个体积为,93cm 的小正方体搭成的几何体，从正面和从上面看到的形状图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的总体积最多是 3cm ；最少是 3cm 。

例4、求下面图形的体积．例5、刘刚把3个长是10厘米，宽是8厘米，高是6厘米的长方体橡皮泥捏成一个长和宽都是12厘米的长方体，这个新长方体的高是多少？例6、一根横截面是正方形的方木，横截面的周长是28分米，方木长5米．如果每立方米木头的质量是0.45吨，这根方木的质量是多少吨？例7、如图，一个长方体的底面是边长为5分米的正方形，长方体4个侧面的面积之和是500平方分米，求长方体的体积．随堂练习练习1、如果以下的立体图形都是用棱长是1厘米的正方体的积木，那么下列每个立体图形的体积是多少？练习2、用棱长是1厘米的正方体搭出一个大正方体，至少要用（）块，这时它的体积是（）立方厘米。

练习3、一个正方体的棱长总和是48分米，它的体积是多少？练习4、一个长方体，长是2.8分米，宽是长的一半，高比长长0.3分米，求这个长方体的体积是多少？练习5、两个同样的正方体拼成一个长方形，长方体的长是10厘米，则它的体积是多少立方厘米？类型四：体积与容积单位换算例1、单位换算1立方分米=（）立方厘米1立方米=（）立方分米0.2立方分米＝（）立方厘米35立方厘米＝（）立方分米12立方分米5立方厘米＝（）立方分米7立方米8立方分米＝（）立方分米例2、一个长方体的底面积是80平方分米，高是7厘米，它的体积是多少立方厘米？例3、一根长方体的方木，横截面的面积为25平方厘米，长5分米，它的体积是多少立方米？例4、（1）至少要多少个小正方体才能拼成一个大正方体？（2）如果一个小正方体的棱长是5厘米，那么大正方体的表面积是多少平方厘米？体积是多少立方分米？例5、、一个正方体的底面积是25平方分米，它的表面积是多少平方米，它的体积是多少立方分米？例6、正方体的棱长总和是72厘米，它的表面积是多少平方分米？体积是多少立方分米？例7、单位换算。

1升=1（） 1毫升= 1（） 1升=（）毫升6000毫升=（）升=（）立方分米7.5升=（）升（）毫升=（）毫升1000000立方厘米=（）立方分米=（）升56000升=（）立方分米45000毫升=（）升=（）立方米720立方分米=（）立方米=（）立方厘米810000立方厘米=（）升4.07立方米=( )立方米( )立方分米=（）升9.08立方分米=( )升=( )毫升例8、把30升盐水装入容积是250毫升的盐水瓶里，能装多少瓶？例9、一个长方体水池，底面长15米，宽6米。

如果要向这个池子里注入1.5米深的水，需要多少升水？随堂练习练习1、单位换算7m2=( )dm2 55 cm2=( ) dm21.4 m2=( ) dm242 dm³=（）cm³24 m2=（）dm2 3.56m³=（）dm³18m³30dm³=（）m³ 3dm³400cm³=（）cm³12m³30dm³=（）dm³ 13dm³39cm³=（）dm³练习2、把三个棱长都是4厘米的正方体拼成一个长方体,表面积减少了多少平方厘米,它的体积是多少立方分米？练习3、一个长方体形状的游泳池,长50米,宽25米,高3米,池内原来水深1.2米,如果用水泵向外排水,每分钟排水2.5立方米,那么需要几个小时排完?游泳池的四周和底部都要贴上瓷砖的面积？练习4、从一个棱长10厘米的正方体木块上挖去一个棱长2厘米的小正方体剩下部分的表面积是多少？练习5、一个长方体水箱的容积是350升，这个水箱的底面是一个边长为50厘米的正方形，水箱的高是多少厘米？练习6、一个棱长5分米的正方体水箱装满水，如果把这箱水倒入另一个长0.8米，宽25厘米的长方体水箱中，水深是多少？练习7、一个底面周长是24厘米的正方体玻璃缸，这个玻璃钢装水多少升？类型五：不规则物体的体积或容积例1、组合体的体积：计算下列几个铸铁零件的体积.（单位：厘米）例2、一个长方体玻璃缸，从里面量长40厘米，宽25厘米，缸内水深12厘米。