概率2-3讲义

P{ X ≤Y } =
x≤ y
G表示的区域如图
y
y=x
∫∫ f ( x, y)dxdy(或 = ∫∫ f ( x, y)dxdy）
G
= ∫ dy ∫ 2e − (2 x + y ) dx
0 y
∞
∞
o G
x
1 = 3
2e−(2x+ y) , x > 0, y > 0, f ( x, y) = . 其它 0,
则称（ 上服从均匀分布. 则称（X,Y）在G上服从均匀分布 ） 上服从均匀分布
设D ⊂ G,以S D , SG 分别表示D, G的面积， (X,Y)服从G上的均匀分布，即其密度为
概率论
1 , ( x, y) ∈G f ( x, y) = SG 0, 其它
从而P 从而P{( X , Y ) ∈ D} = ∫∫
G
概率论
两种重要的二维连续型r.v. 两种重要的二维连续型r.v. (1) 二维均匀分布（P46） 二维均匀分布（ ）
是平面上的有界区域， 设G是平面上的有界区域，其面积为 是平面上的有界区域 其面积为A. 若二维随机变量（ X,Y）具有概率密度 若二维随机变量（ ）
1 , ( x, y) ∈G f ( x, y) = A 0, 其它
解 (1)
1= ∫
∫−∞ f ( x, y) dxdy −∞
+∞
+∞
+∞
=∫
0
∫0
+∞
ke−(2x+ y) dxdy
=k/2
所以 k = 2
2e f ( x, y) = 0,
−(2 x+ y)
, x > 0, y > 0, . 其它
概率论
(2) 求概率 P{Y ≤ X} .
② {Y ≤X } = {( X , Y ) ∈ G}
(1) 求常数 k； ； (2) 求概率 P{Y ≤ X} . (3) 求概率 P( X < 1) . 答案
(1) k = 2
1 (2) 3
(4) 1 − e
−2
例 设(X,Y)的概率密度是 的概率密度是
概率论
ke−(2x+ y) , x > 0, y > 0, f ( x, y) = 其它 . 0, (1) 求常数 k； ；
P( X > s + t | X > s) = P( X > t ), s > 0, t > 0 +∞ ∞1 P( X > t ) =∫ f ( x)dx = ∫ e− x/θdx = e−t /θ t t θ 指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命 P(指数分布常用于可靠性统计研究中，= P( X > s + t ) X > s + t | X > s) = P( X > s + t, X > s) 如元件的寿命. P( X > s) P( X > s) e−( s+t )/θ = −s/θ = e−t /θ e
概率论
第三节
连续型随机变量 及其概率密度
（一类重要的非离散型随机变量） 一类重要的非离散型随机变量）
一、 一维连续型随机变量及其概率密度
x∈( −∞, +∞) ,使得对任意区间（a, b], 都有 ∈ 使得对任意区间 区间（ P( a < X ≤ b) = ∫a f ( x) dx
b
概率论
1、定义 对于随机变量 X , 如果存在非负可积函数 f (x) ,
的概率密度为： 若 r .v X的概率密度为： 的概率密度为
概率论
f (x)
1 , a< x<b f ( x) = b − a 0, 其它
a
b
则称X服从区间 上的均匀分布， 则称 服从区间( a, b)上的均匀分布， 记作 服从区间 上的均匀分布
X ～ U(a, b)
1 概率论 , a< x<b 若 ~ U(a, b),即 f ( x) = b − a X 0, 其它 l ( 则对于长度为的区间 c, c + l), a ≤ c < c + l ≤ b, 有
概率论
(3). 正态分布
若连续型 r .v X 的概率密度为
f ( x) =
其中 µ和
1 2πσ
e
−
( x−µ )2 2σ 2
, −∞< x < ∞
则称X服从参数为 则称 服从参数为 µ 和 σ
>0 都是常数 都是常数, σ( σ )都是常数
的正态分布或高斯分布. 记作 正态分布或高斯分布
X ~ N(µ,σ 2 )
性 1 f (x)的 质
o
(1) f ( x) ≥ 0 ; +∞ (2) ∫−∞ f ( x) dx = 1 ;
1 f (x) = e 2πσ
−
( x−µ)2 2σ 2
概率论
( 3) 曲线 f ( x)
关于直线
x=µ
对称； 对称；
上单调增加, ( 4) 函数 f ( x)在 ( −∞, µ] 上单调增加,在 [ µ, +∞ ) 上 单调减少,在 x = µ 取得最大值； 单调减少, 取得最大值；
为一维连续型随机变量, (x) 则称 X为一维连续型随机变量, 称 f ( ) 为 X 的概率密度 为一维连续型随机变量 函数，简称为概率密度 函数，简称为概率密度 .
2、概率密度的性质 、
1o 2o
f (x) ≥ 0
∫
∞
这两条性质是判定一个 是否为某r 函数 f(x)是否为某 .v X 的 是否为某 概率密度的充要条件
解：(1) 1 =
概率论
0≤ x <3 3≤ x ≤ 4 其它
∫ =∫
+∞
+∞ x 0dx + ∫ kxdx + ∫ (2 − )dx + ∫ 0dx −∞ 0 3 4 2 1 = 6k 故k = 6 3 4
−∞ 0
f (x)dx
例 设 机 量 具有 率 度 随 变 X 概 密 1 kx, x f (x) = 2 − , 2 0, 0≤ x <3
则称 ( X,Y ) 是连续型的二维随机变量 , （ 的 函数 f ( x, y) 称为二维 随机变量 X,Y )的概率密度 , 联合概率密度. 或 称为随机变量 X 和 Y 的联合概率密度
G
（X,Y）的联合概率密度的性质 :
1 . f ( x, y) ≥ 0 ;
2. ∫
概率论
∫−∞ f ( x, y) dxdy = 1; −∞
D
1 S f ( x, y )dxdy= ∫∫ dxdy = D SG SG D
向平面上有界区域G上任投一质点， 向平面上有界区域 上任投一质点，若质点落 上任投一质点 内任一小区域B的概率与小区域的面积成正比 在 G内任一小区域 的概率与小区域的面积成正比 ， 内任一小区域 的概率与小区域的面积成正比， 而与B的形状及位置无关 的形状及位置无关. 而与 的形状及位置无关 则质点的坐标 (X,Y)在G 在 上服从均匀分布. 上服从均匀分布
1 φ( x) = e 2π
x2 − 2
, −∞ < x < ∞
二、多维连续型随机变量
概率论
定义 对于二维随机变量 ( X,Y )， 如果存在非负可积 落在平面xoy 上任一区域 上任一区域G 的函数 f ( x, y) , 使 ( X,Y )， 落在平面 内的概率
P(( X,Y ) ∈G) = ∫∫ f ( x, y)dxdy
P{c < X ≤ c + l} =
c+l
∫ f (x)dx = ∫
c
c
c+l
1 dx = l b−a b− b−a
直观理解： 等可能地取区间[ , ] 直观理解：X 等可能地取区间[a,b]中的 任何一个值
概率论
练习：写出区间(1,3)上的均匀分布的密度函数
1 , a< x<b f ( x) = b − a 0, 其它 1 , 1< x < 3 密度函数为 f (x) = 2 0, 其它
−∞
f (x)dx =1
几个注记 注1：概率密度的定义类似于物质的线密度
概率论
注2：改变密度函数的有限个点的值但任然非负，还 改变密度函数的有限个点的值但任然非负， 是原随机变量的密度函数，因此， 是原随机变量的密度函数，因此，连续型随机变量 的密度函数不是唯一的。 的密度函数不是唯一的。 注3：连续型r.v取任一指定实数值 的概率均为0. 取任一指定实数值a 连续型 取任一指定实数值 的概率均为0. 即 P{ X = a} = 0 . 这是因为 0 ≤ P{ X = a} ≤ P{a −∆x < X ≤ a}
(2 ). 指数分布
若 r .v X具有概率密度 具有概率密度 1 −x θ e , x > 0, f ( x) = θ 0, 其它,
概率论
为常数, 的指数分布. 其中θ > 0 为常数 则称 X 服从参数为 θ 的指数分布 指数分布的无记忆性： 指数分布的无记忆性： 的无记忆性
a
即对连续型随机变量在任何区间内取值的概率 都等于密度函数在该区间内的积分
例 设随机变量X具有概率密度 1 kx, x f (x) = 2 − , 2 0, （）确定常数k; 1 0≤ x <3 3≤ x ≤ 4 其它
概率论
7 （2）求P 1< X < 2
例 设随机变量X具有概率密度 1 kx, x f (x) = 2 − , 2 0, （）确定常数k; 1