专题2.1 函数及其表示(讲)

- 1 - 第二章 函数与基本初等函数Ⅰ 第一节 函数及其表示 一、课前小测摸底细 1. 【课本典型习题，P24A组第10题】设集合=,,Aabc，=0,1B，试问：从A到B的映射共有

几个？ 【答案】8

2. 【2016高考江苏卷】函数y=232xx--的定义域是 ▲ . 【答案】3,1

3. 【2016年河北石家庄高三二模】已知

,0,1)1(,0,cos2)(xxfxx

xf

则)34(f的值为 .

【答案】1 4.【基础经典试题】下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）

A. 211xyx与1yx B. 1y与0yx C. 21yx与1yx D. yx与log(01)且xayaaa 【答案】D 5.【改编自2013·全国卷】已知函数()fx的定义域为(1,1)，则函数(21)fx的定义域为( )

A(11)．－， B(10)．－， 1C(1-)2．－， 1D(1)2．，

【答案】B 二、课中考点全掌握

考点1 映射与函数的概念 【题组全面展示】 【1-1】给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②()32fxxx是函数；③函

数2(N)yxx＝的图象是一条直线；④2()xfxx

与gxx＝是同一个函数．其中正确的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解析】(1)由函数的定义知①正确．②中满足()32fxxx的x不存在，所以②不正确．③

中2(N)yxx＝的图象是一条直线上的一群孤立的点，

所以③不正确．④中2()xfxx与gxx＝的定义域不同，∴④也不正确．故选A. 【1-2】下列对应法则f为A上的函数的个数是( )

①2ZNABfxyx＋＝，＝，：＝； ②ZABZfxyx＝，＝，：＝； ③[11]00ABfxy＝－，，＝，：＝ A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【1-3】下列从集合A到集合B的对应： ①A＝{P|P是数轴上的点}，B＝R，f：数轴上的点与它代表的实数对应； ②A＝B＝R，f：求倒数； ③A＝B＝R，f：求平方数； ④A＝[0，＋∞)，B＝R，f：求平方根． 其中能构成映射的是_______；能构成函数的是_______. 【答案】①③ ③ 【解析】：①是映射，但不是函数；②因为集合A

中0在集合B中没有元素与之对应，不能构成映射，不是函数；③是映射，且为函数；④因为任何一个正数都有两个平方根与之对应，所以不是映射，也不是函数． 【基础知识重温】 1.符号错误！未找到引用源。表示集合A到集合B的一个映射，它有以下特点： (1)对应法则有方向性, 错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。不同; (2)集合A中任何一个元素,在错误！未找到引用源。下在集合B中都有唯一的元素与对应; (3)象不一定有原象,象集C与B间关系是错误！未找到引用源。. 2.函数是特殊的映射,它特殊在要求集合A和B都是非空数集.函数三要素是指定义域、值域、对应法则. 同一函数必须满足:定义域相同、对应法则相同. 3.要注意()fa与()fx的区别与联系，()fa表示xa

时，函数()fx的值，它是一个常数，而()fx是自变量x的函数，对于非常数函数，它是一个变量，()fa是

()fx的一个特殊值.

4.区间是某些数集的一种重要表示形式，具有简单直观的优点.应注意理解其含义并准确使用. 5.函数的表示方法有三种：解析法、图象法、列表法. 【方法规律技巧】 1.判断一个对应是否为映射，关键看是否满足“集合A中元素的任意性，集合B中元素的唯一性”． 2. 判断一个对应f：A→B是否为函数，一看是否为映射；二看A，B是否为非空数集．若是函数，则A是定义域，而值域是B的子集． 3. 函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同．因此判断两个函数是否相同，只需判断定义域、对应关系是否分别相同． 【新题变式探究】 【变式一】下列四组函数中，表示为同一函数的是 - 2 -

（ ） A．2(),()fxxgxx

B．xxf2)(与2)(xxg C．21(),()11xfxgxxx

D．2()11,()1fxxxgxx 【答案】A 【变式二】在下列图形中，表示y是x的函数关系的是________．

【答案】①② 【变式三】已知函数()23,fxxxA的值域为

{1,1,3}，则定义域A为 . 【答案】{1,2,3} 考点2 求函数的解析式 【题组全面展示】 【2-1】已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝________. 【答案】()27fxx

【2-2】已知2(1)21fxxx，求()fx 【答案】2()232fxxx 【2-3】定义在(1,1)内的函数()fx满足2()()lg(fxfxx，求()fx

【答案】21()lg(1)lg(1)33fxxx，x(1,1) 【基础知识重温】 1．已知函数类型,可用待定系数法； 2．已知复合函数错误！未找到引用源。的表达式，求错误！未找到引用源。可用换元法或配凑法； 3．涉及抽象函数等式问题，往往通过建立方程组，运用“消去法”. 【方法规律技巧】 1.已知函数类型，用待定系数法求解析式． 2.已知函数图象，用待定系数法求解析式，如果图象是分段的，要用分段函数表示． 3.已知()fx求[()]fgx，或已知[()]fgx求()fx，用代入法、换元法或配凑法．

4.若()fx与1()fx或()fx满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解． 5.应用题求解析式可用待定系数法求解． 6.求函数解析式一定要注意函数的定义域，否则极易出错． 【新题变式探究】 【变式一】【2014浙江高考理】已知函数

则且,3)3()2()1(0,)(23fffcbxaxxxf（ ） A.3c B.63c C.96c D. 9c 【答案】 C

【变式二】已知fx＋1x＝x2＋1x2，则f(x)＝________. 【答案】22(][22)fxxx＝－，－，－，＋ 考点3 分段函数及其应用 【题组全面展示】

【3-1】作出函数||()xfxxx的图象. 【解析】函数的定义域为{|0},xx解析式可化为 10()10xxfxxx，

，，

其图象如图所示. 【3-2】已知函数lg,0()3,0fxxxxx，若10faf＋＝，则实数a的值为( ) A．－3 B.－3或1 C．1 D.-1或3 【答案】B 【3-3】【2014浙江高考理第15题】设函数







0,0,22xxxxx

xf若2aff，则实数a的取值

范围是______ 【答案】2a 【基础知识重温】 1．分段函数是一个函数，而不是几个函数； 2．分段函数的定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集； 【方法规律技巧】 1.因为分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值． 2.“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则． 【新题变式探究】 【变式一】【2016届合肥】设函数



ln0310xxxfxx







，若00fx，则0x的取值范

围是（ ） A．,11, B．,10,

C．1,00,1 D．1,00, 【答案】B - 3 -

【变式二】已知函数2log,0,()3,0,xxxfxx≤，则14ff





．

【答案】19 三、易错试题常警惕 易错典例：已知函数xxxf2)(212(x 且xZ），则fx的值域是 ( )

A．0,3 B．1,3 C．0,1,3 D．1,0,3 易错分析：本题易忽视定义域的重要作用，误选B. 正确解析：由已知得函数22fxxx的定义域为2,1,0,1,则20f,11f,00f,

13f,所以函数的值域为1,0,3.故正确答案为

D.

温馨提醒：函数三要素是指定义域、值域、对应法则.当函数的定义域、对应法则确定后，其值域也随之确定. 四、数学素养提升之思想方法篇 分段函数求值妙招——分类讨论思想 分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略． 分段函数体现了数学的分类讨论思想，求解分段函数求值问题时应注意以下三点： (1)明确分段函数的分段区间． (2)依据自变量的取值范围，选好讨论的切入点，并建立等量或不等量关系． (3)在通过上述方法求得结果后，应注意检验所求值(范围)是否落在相应分段区间内．

【典例】已知实数0a，函数1,21,2)(xaxxaxxf，若)1()1(afaf，则a的值为________． 【答案】34