2014届浙江新中考总复习第二篇(专题3函数及其图象)
浙江省中考数学总复习第三章函数及其图象第15讲二次函数的图象与性质讲解篇
第15讲二次函数的图象与性质1．二次函数的概念、图象和性质考试内容考试要求二次函数的概念一般地，形如 (a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数．其中x是自变量，a、b、c分别为函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项．b二次函数的图象与性质a a>0 a<0bc 图象开口方向抛物线开口向_______，并向上无限延伸抛物线开口向_____，并向下无限延伸对称轴直线x＝－b2a直线x＝－b2a顶点坐标⎝⎛－b2a，⎭⎪⎫4ac－b24a⎝⎛－b2a，⎭⎪⎫4ac－b24a最值抛物线有最低点，当x＝－b2a时，y有最小值，y最小值＝4ac－b24a.抛物线有最高点，当x＝－b2a时，y有最大值，y最大值＝4ac－b24a.增减性在对称轴的左侧，即当x<－b2a时，y随x的增在对称轴的左侧，即当x<－b2a时，y随x2.二次函数的图象与字母系数的关系3.确定二次函数的解析式考试内容考试要求方法 适用条件及求法c一般式若已知条件是图象上的三个点或三对自变量与函数的对应值，则可设所求二次函数解析式为____________________.顶点式若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(最小值)，可设所求二次函数为____________________.交点式若已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为(x 1，0)，(x 2，0)，可设所求的二次函数为 ．4.二次函数与一元二次方程以及不等式之间的关系考试内容考试要求二次函数与一元二次方程二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与 轴的交点的 坐标是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根．b二次函数与不等式 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 在x 轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x 的所有值就是不等式ax 2＋bx ＋c 0的解集；在x 轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x 的所有值就是不等式ax 2＋bx ＋c 0的解集．5.二次函数图象常见的变换考试内容考试要求平移顶点坐标的变化，按照“横坐标加减左右移”、“纵坐标加减上下移”的方法进行．c旋转 抛物线关于原点旋转180°，此时顶点关于原点对称，a 的符号相反． 轴对称抛物线关于x 轴对称，此时顶点关于x 轴对称，a 的符号相反；抛物b线关于y轴对称，此时顶点关于y轴对称，a的符号不变．考试内容考试要求基本思想数形结合，从二次函数的图象研究其开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值及其图象的平移变化，到利用二次函数图象求解方程与方程组，再到利用图象求解析式和解决实际问题，都体现了数形结合的思想．c1．(2015·台州)设二次函数y＝(x－3)2－4图象的对称轴为直线l，若点M在直线l 上，则点M的坐标可能是( )A．(1，0) B．(3，0) C．(－3，0) D．(0，－4)2．(2017·金华)对于二次函数y＝－(x－1)2＋2的图象与性质，下列说法正确的是( )A．对称轴是直线x＝1，最小值是2B．对称轴是直线x＝1，最大值是2C．对称轴是直线x＝－1，最小值是2D．对称轴是直线x＝－1，最大值是23．(2017·宁波)抛物线y＝x2－2x＋m2＋2(m是常数)的顶点在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．(2016·舟山)把抛物线y＝x2先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的表达式是____________________．5．(2015·甘孜州)若二次函数y＝2x2的图象向左平移2个单位长度后，得到函数y＝2(x＋h)2的图象，则h＝____________________．【问题】如图是y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，且点A(－1，0)，B(3，0)．(1)你能从图象中想到哪些二次函数性质；(2)若点C为(0，－3)，你又能得到哪些结论．【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理二次函数的图象与性质．类型一二次函数的解析式例1(1)已知抛物线的顶点坐标为(－1，－8)，且过点(0，－6)，则该抛物线的表达式为________；(2)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(－1，－1)、B(0，2)、C(1，3)；则二次函数的解析式为________；(3)已知抛物线过点A(2，0)，B(－1，0)，与y轴交于点C，且OC＝2.则这条抛物线的解析式为________．【解后感悟】解题关键是选择合适的解析式：当已知抛物线上三点求二次函数的关系式时，一般采用一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；当已知抛物线顶点坐标(或对称轴及最大或最小值)求关系式时，一般采用顶点式y＝a(x－h)2＋k；当已知抛物线与x轴的交点坐标求二次函数的关系式时，一般采用交点式y＝a(x－x1)(x－x2)．1．(1)(2017·杭州模拟)如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数解析式是____________________．(2)(2017·长春模拟)已知二次函数的图象与x轴的两个交点A，B关于直线x＝－1对称，且AB＝6，顶点在函数y＝2x的图象上，则这个二次函数的表达式为____________________．类型二二次函数的图象、性质例2(1)对于抛物线y＝－(x＋1)2＋4，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝1；③顶点坐标为(－1，4)；④x≥1时，y 随x的增大而减小；⑤当x＝－1时，y有最大值是4；⑥当y≥0时，－3≤x≤1；⑦点A(－2，y1)、B(1，y2)在抛物线上，则y1＞y2.其中正确结论是______________；(2)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，下列结论：①－2≤x≤1，二次函数y＝ax2＋bx＋c的最大值为4，最小值为0；②使y≤3成立的x 的取值范围是x≥0；③一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1＝－3，x2＝1；④一元二次方程ax2＋bx＋c－3＝0的两根为x1＝－2，x2＝0；⑤当二次函数的值大于一次函数y＝－x ＋3的值时，x取值范围是－1＜x＜0.其中正确结论是______________．【解后感悟】解题关键是正确把握解析式的特点、图象的特点、二次函数的性质，注意数形结合．2．(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列说法：①2a＋b＝0；②当－1≤x≤3时，y<0；③若(x1，y1)、(x2，y2)在函数图象上，当x1<x2时，y1<y2；④9a＋3b＋c＝0；⑤4a－2b＋c＞0.其中正确的是____________________．(2)(2015·杭州)设函数y＝(x－1)[(k－1)x＋(k－3)](k是常数)．①当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k 取0时函数的图象；②根据图象，写出你发现的一条结论；③将函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3的图象，求函数y3的最小值．类型三二次函数的图象变换例3已知抛物线y＝2(x－4)2－1.(1)将该抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为________；(2)将该抛物线关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为________．(3)将该抛物线绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是________．【解后感悟】①平移的规律：左加右减，上加下减；②对称的规律：关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点横、纵坐标均互为相反数；③旋转的规律：旋转后的抛物线开口相反，顶点关于旋转点对称．3．(1)(2017·绍兴)矩形ABCD 的两条对称轴为坐标轴，点A 的坐标为(2，1)．一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A 重合，此时抛物线的函数表达式为y ＝x 2，再次平移透明纸，使这个点与点C 重合，则该抛物线的函数表达式变为( )A ．y ＝x 2＋8x ＋14B ．y ＝x 2－8x ＋14C ．y ＝x 2＋4x ＋3D ．y ＝x 2－4x ＋3(2)(2017·盐城)如图，将函数y ＝12(x －2)2＋1的图象沿y 轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A(1，m)，B(4，n)平移后的对应点分别为点A′、B′.若曲线段AB 扫过的面积为9(图中的阴影部分)，则新图象的函数表达式是( )A ．y ＝12(x －2)2－2B ．y ＝12(x －2)2＋7 C ．y ＝12(x －2)2－5 D ．y ＝12(x －2)2＋4类型四 二次函数的综合问题例4 如图，抛物线y ＝－x 2＋2x ＋c 与x 轴交于A ，B 两点，它们的对称轴与x 轴交于点N ，过顶点M 作ME⊥y 轴于点E ，连结BE 交MN 于点F. 已知点A 的坐标为(－1，0)．(1)求该抛物线的解析式及顶点M 的坐标； (2)求△EMF 与△BNF 的面积之比．【解后感悟】抛物线与x 轴的交点问题；二次函数的性质；待定系数法的应用；曲线上点的坐标与方程的关系；相似三角形的判定和性质．4．(1)(2016·长春)如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为(4，3)，D是抛物线y＝－x2＋6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为____________________．(2)(2015·湖州)如图，已知抛物线C1∶y＝a1x2＋b1x＋c1和C2∶y＝a2x2＋b2x＋c2都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一个交点分别为M、N，如果点A与点B，点M与点N 都关于原点O成中心对称，则抛物线C1和C2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是和.类型五二次函数的应用例5(2017·杭州模拟)九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：售价(元/件) 100 110 120 130 …月销量(件) 200 180 160 140 …已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元．(1)请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是________元；②月销量是________件；(直接填写结果)(2)设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？【解后感悟】此题是二次函数的应用，准确分析题意，列出y与x之间的二次函数关系式是解题关键．5．(2017·重庆模拟)我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm(锅口直径与锅盖直径视为相同)，建立直角坐标系如图1所示(图2是备用图)，如果把锅纵断面的抛物线记为C1，把锅盖纵断面的抛物线记为C2.(1)求C1和C2的解析式；(2)如果炒菜锅里的水位高度是1dm，求此时水面的直径；(3)如果将一个底面直径为3dm，高度为3dm的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由．【探索研究题】如图，一段抛物线：y＝－x(x－3)(0≤x≤3)，记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，直至得C13.若P(37，m)在第13段抛物线C13上，则m＝________．【方法与对策】本题是数形规律探究能力．图形类规律探索题，通常先把图形型问题转化为数字型问题，再从数字的特点来寻找规律，解题关键从操作中前面几个点的坐标位置变化，猜想、归纳出一般变化规律．该题型是图形变换和规律的探究题，是中考命题方向．【配方漏括号】用配方法求二次函数y＝512x2－53x＋54图象的顶点坐标及对称轴．参考答案第15讲二次函数的图象与性质【考点概要】1．y＝ax2＋bx＋c上下减小增大增大减小 2.上下小y左右原点 正 负 唯一 两个 没有 > < 3.y ＝ax 2＋bx ＋c y ＝a (x －m )2＋k y ＝a (x －x 1)(x －x 2) 4.x 横 > <【考题体验】1．B 2.B 3.A 4.y ＝(x －2)2＋3 5.2【知识引擎】【解析】(1)对称轴是直线x ＝1等；(2)当x ＝1时，y 的最小值为－4等．【例题精析】例1 (1)y ＝2(x ＋1)2－8；(2)y ＝－x 2＋2x ＋2；(3)y ＝x 2－x －2或y ＝－x 2＋x ＋2 例2 (1)①③④⑤⑥⑦；(2)①③④⑤ 例3 (1)y ＝2x 2＋1；(2)y ＝－2(x ＋4)2＋1；(3)y ＝－2(x －4)2－1 例4 (1)∵点A 在抛物线y ＝－x 2＋2x ＋c 上，∴－(－1)2＋2·(－1)＋c ＝0，解得：c ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3.∵y＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴抛物线的顶点M(1，4)；(2)∵A(－1，0)，抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴点B(3，0)．∴EM＝1，BN ＝2.∵EM∥BN，∴△EMF ∽△BNF.∴S △EMF S △BNF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫EM NB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14. 例5 (1)①(x－60)；②(－2x ＋400) (2)依题意可得：y ＝(x －60)×(－2x ＋400)＝－2x 2＋520x －24000＝－2(x －130)2＋9800，当x ＝130时，y 有最大值9800.所以售价为每件130元时，当月的利润最大为9800元．【变式拓展】1．(1)y ＝－x 2＋2x ＋3 (2)y ＝29x 2＋49x －1692．(1)①④⑤ (2)①根据题意可得函数图象为：②图象都经过点(1，0)和点(－1，4)；图象总交x 轴于点(1，0)；k 取0和2时的函数图象关于点(0，2)成中心对称；③平移后的函数y 3的表达式为：y 3＝(x ＋3)2－2，∴当x ＝－3时，函数y 3的最小值为－2.3. (1)A (2)D4. (1)15 (2)y ＝－3x 2＋23x y ＝3x 2＋23x5.(1)由于抛物线C 1、C 2都过点A(－3，0)、B(3，0)，可设它们的解析式为：y ＝a(x －3)(x＋3)；抛物线C 1还经过D(0，－3)，则有：－3＝a(0－3)(0＋3)，解得：a ＝13，即：抛物线C 1：y ＝13x 2－3(－3≤x≤3)；抛物线C 2还经过C(0，1)，则有：1＝a(0－3)(0＋3)，解得：a ＝－19，即：抛物线C 2：y ＝－19x 2＋1(－3≤x≤3)．(2)当炒菜锅里的水位高度为1dm 时，y ＝－2，即13x 2－3＝－2，解得：x ＝±3，∴此时水面的直径为23dm . (3)锅盖能正常盖上，理由如下：当x ＝32时，抛物线C 1：y ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－3＝－94，抛物线C 2：y ＝－19×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋1＝34，而34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－94＝3，∴锅盖能正常盖上． 【热点题型】【分析与解】C 1：y ＝－x(x －3)(0≤x≤3)C 2：y ＝(x －3)(x －6)(3≤x≤6)C 3：y ＝－(x －6)(x －9)(6≤x≤9)C 4：y ＝(x －9)(x －12)(9≤x≤12)…C 13：y ＝－(x －36)(x －39)(36≤x≤39)，当x ＝37时，y ＝2，所以，m ＝2.【错误警示】y ＝512x 2－53x ＋54＝512(x 2－4x ＋3)＝512[(x －2)2－1]＝512(x －2)2－512，∴该函数图象的顶点坐标是(2，－512)，对称轴是直线x ＝2.。
2014届高考数学浙江专版(理)一轮复习第2篇第4讲
若m2 ≤0，则
x2≤0，即m2 ≤0， F0＝1－m2≥0
⇒－1≤m＜－2 5 5； 综上所述，实数 m 的取值范围是[－1,0]∪[2，＋∞).
热点突破4 二次函数中的分类讨论思想
【命题研究】 通过对近三年高考试题的统计 可以看出，本讲主要考查二次函数、一元 二次方程及一元二次不等式的综合应用， 以及幂函数的图象及性质，重点考查数形 结合与等价转化两种数学思想．以二次函 数的图象为载体，利用数形结合的思想， 解决二次函数的单调区间、二次函数在给 定区间上的最值以及与此有关的参数范围 的问题．
[审题视点] 先求幂函数的解析式，然后利用 g(x)，f(x)的图象，求x的取值范围．
解 (1)设 f(x)＝xα，∵其图象过点( 2，2)，故 2＝( 2)α， 解得 α＝2，∴f(x)＝x2. 设 g(x)＝xβ，∵其图象过点2，14， ∴14＝2β，解得 β＝－2， ∴g(x)＝x－2.
(2)在同一坐标系下作出f(x)＝x2与g(x)＝x－2 的图象，如图所示．
由图象可知：f(x)，g(x)的图象均过点(－1,1) 与(1,1)．∴①当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)； ②当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)； ③当－1<x<1且x≠0时，f(x)<g(x)．
[方法锦囊] 求幂函数解析式的步骤：(1)设 出幂函数的一般形式y＝xα(α为常数)；(2)根 据已知条件求出α的值；(3)写出幂函数的解 析式．
考点自测
1．已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋ ∞)上是增函数，则f(1)的范围是( )．
A．f(1)≥25
B．f(1)＝25
C．f(1)≤25
D．f(1)＞25
浙江新中考2014届中考数学总复习课件(12)二次函数
(1)求抛物线的函数解析式； (2)若点 C 为 OA 的中点，求 BC 的长； (3)以 BC，BE 为边构造矩形的 BCDE，设点 D 的 坐标为 (m， n)，求出 m， n 之间的关系式． 解：(1)∵点 A(a,12)在直线 y＝2x 上，∴ 12＝ 2a， 即 a＝ 6.∴点 A 的坐标为 (6,12)．又∵点 A 是抛物线 y 1 2 1 2 ＝ x ＋bx 上的一点， 把 A(6,12)代入 y＝ x ＋bx，得 b 2 2 1 2 ＝－1.∴抛物线的函数解析式为 y＝ x －x. 2
2
6． (2011· 湖州 )如图， 已知抛物线 y＝ x2＋bx＋ c 经过点 (0，－ 3)，请你确定一个 b 的值，使该 抛物线 与 x 轴的一个交点 在 (1,0) 和 (3,0)之间，你所确定的 b 的值是 1 － (答案不唯一 ) ． 2
7．(2013· 衢州)某果园有 100 棵橘子树，平均每一 棵树结 600 个橘子．根据经验估计，每多种一棵树， 平均每棵树就会少结 5 个橘子．设果园增种 x 棵橘子 树， 果园橘子总个数为 y 个，则果园里增种 10 棵橘 子树，橘子总个数最多．
考点一
二次函数的图象与性质
2
(2013· 舟山 )若一次函数 y＝ ax＋b(a≠0)的图 象与 x 轴的交点坐标为 (－ 2,0)，则抛物线 y＝ ax ＋bx 的对称轴为 ( C ) B．直线 x＝－2 D．直线 x＝－4 A．直线 x＝ 1 C． 直线 x＝－1
浙江新中考2014届中考数学总复习课件9函数及其图象
第1课时 函数及其图象
1． (2013·绍兴 )如图是我国古代 计时器 “漏壶”的示意图 ，在壶内盛一定量 的水，水从壶底的 小孔漏出，壶壁内 画有刻度，人们根据壶中水面的位置计时．用 x 表示 时间，y 表示壶底到水面的高度，则 y 与 x 的函数关系 的图象是( C )
如图所示，此时 AC＋CP＝5，故 BP＝AC＋BC－AC
－CP＝
2，∵sin
B＝AACB＝35，∴PD＝BP·sin
B＝2×3＝ 5
65＝1.2 cm.故选 B.
答案：B
5．(2013·台州)设点 M(1,2)关于原点的对称点为 M′，则 M′的坐标为(－1，－2) ．
6．(2012·丽水)甲、乙
4．当自变量出现在 0 次幂或负整数指数幂的底数 中时，它的取值范围是使底数不为 0 的数；
5．在一个函数关系式中，同时有几种代数式， 函数自变量的取值范围应是各种代数式中自变量取 值范围的公共部分.
考点一
平面内点的坐标
(2013·遵义)已知点 P(3，－1)关于 y 轴的对称 点 Q 的坐标是(a＋b,1－b)，则 ab 的值为 25 .
解析：当点 P 由点 A 向点 D 运动时，y 的值为 0； 当点 P 在 DC 上运动时，y 随 x 的增大而增大；当点 P 在 CB 上运动时，y 不变；当点 P 在 BA 上运动时，y 随 x 的增大而减小．故选 B.
答案：B
4．(2013·金华)如图①，在 Rt△ABC 中，∠ACB
＝90°，点 P 以每秒 1 cm 的速度从点 A 出发，沿折线
AC—CB 运动，到点 B 停止．过点 P 作 PD⊥AB，垂
足为 D，PD 的长 y(cm)与点 P 的运动时间 x(秒)的函数
2014届中考数学(华师版)复习方案：14二次函数的图象及其性质(二)
为y＝(x－1＋1)2＋3，即y＝x2＋3；再向下平移3个单位为y＝x2＋3－3，
即y＝x2.故选D.
考点聚焦 归类探究
归类探究
项目 字母 a
b
c
c>0 c<0
考点聚焦
第14课时┃ 二次函数的图象及其性质(二)
项目 字母
字母的符号 b2－4ac＝0
图象的特征 与 x 轴有唯一交点 (顶点) 与 x 轴有两个不 同交点 与 x 轴没有交点 当 x＝1 时，y＝a＋b＋c
b2－4ac
b2－4ac>0 b2－4ac<0
特殊 关系
图14－1
[注意] 确定抛物线平移后的解析式最好利用顶点式，利用顶点的 平移来研究图象的平移．
考点聚焦 归类探究
第14课时┃ 二次函数的图象及其性质(二)
考点4
求二次函数的最值
1．如果自变量的取值范围是全体实数，那么二次函数 y＝ax2＋bx＋c 在 2 4 ac － b b 图象顶点 处取得最大值(或最小值)，即当 x＝－ 时，y 最值＝ ______________ ， 2a 4a 具体求法： ①配方法：将二次函数 y＝ax2＋bx＋c 化为 y＝a(x－h)2＋k 的形式，其图 (h， k ) ． 象的顶点坐标为________ y最小＝k ； 最小值 ，当 x＝h 时，___________ 当 a＞0 时，y 有________ y最大＝k ． 最大值 ，当 x＝h 时，___________ 当 a＜0 时，y 有________
两个不相等 实根 _____________ 两个相等 实根 _____________
_____________ 实根 没有
浙江省中考数学复习 第三章 函数及其图像 第二节 一次
6．(2018·贵州遵义中考)如图，直线y＝kx＋3经过点 (2，0)，则关于x的不等式kx＋3＞0的解集是( B )
A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2
(1)当一次函数中的一个变量的值确定时，可以用一元一次 方程确定另一个变量的值． (2)当已知一次函数的一个变量的取值范围时，可以用一元 一次不等式(组)确定另一个变量的取值范围．
【自主解答】∵一次函数y＝－x－2的图象过点P(n，－4)， ∴－4＝－n－2，解得n＝2， ∴P(2，－4)． 又∵y＝－x－2与x轴的交点是(－2，0)， ∴关于x的不等式2x＋m＜－x－2＜0的解集为－2＜x＜2. 故答案为－2＜x＜2.
两直线与不等式的关系
已知两条直线l1：y1＝k1x＋b1与l2：y2＝k2x＋b2在坐标系中 的位置，当直线l1在直线l2上方时，y1＞y2；当直线l1在直线l2 下方时，y1＜y2.这是解决此类问题的一个解题技巧，也是最 容易犯错的地方．
2．(2018·浙江绍兴中考)如图，一个函数的图象由射线 BA、线段BC、射线CD组成，其中点A(－1，2)，B(1，3)， C(2，1)，D(6，5)，则此函数( A ) A．当x＜1时，y随x的增大而增大 B．当x＜1时，y随x的增大而减小 C．当x＞1时，y随x的增大而增大 D．当x＞1时，y随x的增大而减小
2
1．(2018·陕西中考)如图，在矩形AOBC中，A(－2，0)， B(0，1)．若正比例函数y＝kx的图象经过点C，则k的值为 (A)
A．－ 1 B. 1
2
2
C．－2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D．2
考点二 一次函数的图象与性质 例2(2018·湖南湘潭中考)若b＞0，则一次函数y＝－x＋b的 图象大致是( )
专题三 函数及其图象
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规律方法 解决此类问题，首先根据图象及抛物线的对称性 确定图象与 x 轴的两个交点的坐标， 然后确定图象在 x 轴上方 或下方所对应的 x 的取值范围 .
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(2013· 湘 西州 )如 1 2 图，已知抛物线 y＝－ x ＋ 4 bx＋ 4 与 x 轴相交于 A， B 两点，与 y 轴相交于点 C， 若已知点 A 的坐标为 A(－ 2,0)． (1)求抛物线的解析式及它的对称轴方程； (2)求点 C 的坐标，连结 AC，BC 并求线段 BC 所在直 线的解析式； (3)试判断△ AOC 与△ COB 是否相似？并说明理由；
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设直线 BC 的解析式为 y＝ kx＋b， 把 B(8,0)， C(0,4)的坐标分别代入 y＝ kx＋ b，得
8k＋b＝0， 1 解得 k＝－ ， b＝ 4， 2 b＝4，
1 ∴直线 BC 的解析式为： y＝－ x＋ 4. 2
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【思路点拨】作 CE⊥ y 轴于点 E，交双曲线于点 G， 作 DF⊥x 轴于点 F， 易证 △ OAB≌△ FDA≌△ EBC， 求得点 A， B 的坐标，根据全等三角形的性质可以求 得点 C， D 的坐标，从而利用待定系数法求得反比例 函数的解析式，进而求得点 G 的坐标，则 a 的值即可 求解．
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4． (2013· 潍坊)设点 A(x1， y1)和 B(x2， y2)是反比 k 例函数 y＝ 图象上的两个点，当 x1<x2<0 时， y1<y2， x 则 一 次 函 数 y ＝ － 2x ＋ k 的 图 象 不 经 过 的 象 限 是 ( A ) B．第二象限 D．第四象限 A．第一象限 C．第三象限
浙江新中考2014届中考数学总复习课件(2)整式
温馨提示 1.代数式里出现的乘号，通常简写作“· ”或省略 不写，数与数相乘一般仍用“×”. 2.代数式中除法用分数表示.
2．代数式的值 (1)一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代 数式指明的运算，计算出的结果，叫代数式的值． (2)注意：①先弄清运算符号及运算顺序；②将代 数式化简后再求值；③代入求值，有时需要整体代入； ④代入的数是负数或分数时应加括号．
A．k＞2 1 C. ＜k＜1 2
B．1＜k＜2 1 D．0＜k＜ 2
解析：甲图阴影部分的面积为 a2－b2，乙图阴影 a －b a＋ba－b 部分的面积为 a － ab，∴k＝ 2 ＝ ＝ a －ab aa－b
2 2 2
a＋b b ＝ 1 ＋ . 又 ∵ a ＞ b ＞ 0 ， ∴ 1 ＜ k ＜ 2. 故选 B. a a
第2课时 整
式
1 ． (2013· 杭州 ) 若 a ＋ b ＝ 3 ， a － b ＝ 7 ，则 ab ＝ ( A ) B．－40 C．10 B．a B．6a C．5a C．6ab D．40 ) D．－5a ) D．5ab A．－10 A．－a A．3ab
2．(2013· 丽水)化简－2a＋3a 的结果是( B 3．(2013· 绍兴)计算 3a· 2b 的结果是( C
2 2 2 2 2 2
16．(2013· 宁波)先化简，再求值：(1＋a)(1－a)＋ (a－2) ，其中 a＝－3. 解：原式＝1－a2＋a2－4a＋4＝－4a＋5. 当 a＝－3 时，－4a＋5＝－4×(－3)＋5＝17.
2
17．(2013· 义乌)如图①，从边长为 a 的正方形纸 片中剪去一个边长为 b 的小正方形，再沿着线段 AB 剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②的等腰梯形． (1)设图①中阴影部分面积为 S1，图②中阴影部分 面积为 S2，请直接用含 a，b 的代数式表示 S1 和 S2； (2)请写出上述过程所揭示的乘法公式．
2014届高考数学(浙江专用)一轮复习学案第二章函数2.1函数及其表示Word版含解析
第二章 函数 2.1 函数及其表示考纲要求1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单地应用．(1)函数的定义域、值域．在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，__________叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，__________叫做函数的值域，显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：__________、__________和__________． 3．函数的表示方法表示函数的常用方法有__________、__________和__________． 4．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因__________不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的__________，其值域等于各段函数的值域的__________，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．1．设f ，g 都是从A 到A则f (g (3))等于( )． A ．1 B ．2C ．3D ．不存在2．集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数的是( )．A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝23xD ．f ：x →y ＝x3．下列各函数中，表示同一个函数的是( )．A ．f (x )＝lg x 2，g (x )＝2lg xB ．f (x )＝lg x ＋1x －1，g (x )＝lg(x ＋1)－lg(x －1)C ．f (u )＝1＋u1－u，g (v )＝1＋v1－vD ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2 4．(2012山东高考)函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( )．A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤1，－x ，x ＞1，若f (x )＝2，则x 等于( )．A ．log 32B ．－2C ．log 32或－2D ．2一、函数的概念【例1－1】已知a ，b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b a ，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )．A ．－1B ．0C ．1D ．±1【例1－2】设函数f (x )(x ∈N )表示x 除以2的余数，函数g (x )(x ∈N )表示x 除以3的余数，则对任意的x ∈N ，给出以下式子：①f (x )≠g (x )；②g (2x )＝2g (x )； ③f (2x )＝0；④f (x )＋f (x ＋3)＝1.其中正确的式子编号是__________．(写出所有符合要求的式子编号)． 【例1－3】以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？(1)f 1：y ＝xx；f 2： y ＝1.(2)f 1：y ＝|x |；f 2：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ＞0，－x ，x ＜0.(3)f 1：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤1，2，1＜x ＜2，3，x ≥2，f 2：(4)f 1：y ＝2x ；f 2方法提炼1．要检验两个变量之间是否存在函数关系，只需检验：(1)定义域和对应关系是否给出；(2)根据给出的对应关系，自变量x 在其定义域中的每一个值，是否都能找到唯一的函数值y 与之对应．2．判断两个函数是否相同，要先看定义域是否一致，若定义域一致，再看对应法则是否一致，由此即可判断．请做演练巩固提升2二、求函数的解析式【例2－1】若函数f (x )＝xax ＋b(a ≠0)，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，则f (x )＝__________.【例2－2】若2f (x )－f (－x )＝x ＋1，求f (x )．【例2－3】已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x ＋x 2. (1)求x ＞0时，f (x )的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )＝2a 2＋a 有三个不同的解，求a 的取值范围． 方法提炼函数解析式的求法：1．凑配法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式；2．待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；3．换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；4．方程思想：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．提醒：因为函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是R ，一定要注明函数的定义域，否则会导致错误．请做演练巩固提升1三、分段函数及其应用【例3】(2012江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为__________． 方法提炼解决分段函数问题的基本原则是分段进行，即自变量的取值范围属于哪一段范围，就用这一段的解析式来解决．请做演练巩固提升3忽略分段函数中自变量的取值范围而致误 【典例】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2，x ＞0，若f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，求关于x 的方程f (x )＝x 的解．错解：当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c . 因为f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，所以⎩⎪⎨⎪⎧ (－2)2－2b ＋c ＝c ，(－1)2－b ＋c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝－2. 所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －2，x ≤0，2，x ＞0.当x ≤0时，由f (x )＝x 得x 2＋2x －2＝x 得x ＝－2或x ＝1.当x ＞0时，由f (x )＝x 得x ＝2. 所以方程f (x )＝x 的解为：－2,1,2.分析：(1)条件中f (－2)，f (0)，f (－1)所适合的解析式是f (x )＝x 2＋bx ＋c ，所以可构建方程组求出b ，c 的值．(2)在方程f (x )＝x 中，f (x )用哪个解析式，要进行分类讨论．正解：当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c ， 因为f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ (－2)2－2b ＋c ＝c ，(－1)2－b ＋c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝－2. ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －2，x ≤0，2，x ＞0.当x ≤0时，由f (x )＝x 得，x 2＋2x －2＝x ，得x ＝－2或x ＝1.由于x ＝1＞0，所以舍去． 当x ＞0时，由f (x )＝x 得x ＝2， 所以方程f (x )＝x 的解为－2,2. 答题指导：1．对于分段函数问题，是高考的热点．在解决分段函数问题时，要注意自变量的限制条件．2．就本题而言，当x ≤0时，由f (x )＝x 得出两个x 值，但其中的x ＝1不符合要求，错解中没有舍去此值，因而导致了增解．分段函数问题分段求解，但一定注意各段的限制条件．1．已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝( )．A ．lg 1xB ．lg 1x －1C ．lg 2x －1D ．lg 1x －22．已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝__________. 3．(2012陕西高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ＜0，则f (f (－4))＝______.4．设g (x )是定义在R 上、以1为周期的函数．若函数f (x )＝x ＋g (x )在区间[0,1]上的值域为[－2,5]，则f (x )在区间[0,3]上的值域为__________．5．对a ，b ∈R ，记min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ＜b ，b ，a ≥b ，函数f (x )＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫12x ，－|x －1|＋2(x ∈R )的最大值为________．参考答案基础梳理自测 知识梳理1．数集 集合 任意 数x 都有唯一确定 数f (x ) 任意 元素x 都有唯一确定 元素y f ：A →B f ：A →B2．(1)x 的取值范围A 函数值的集合{f (x )|x ∈A } (2)定义域 值域 对应关系 3．解析法 列表法 图象法 4．对应法则 并集 并集 基础自测1．C 解析：由题中表格可知g (3)＝1， ∴f (g (3))＝f (1)＝3.故选C.2．C 解析：依据函数的概念，集合A 中任一元素在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，选项C 不符合．3．C 解析：选项A 和B 定义域不同，选项D 对应法则不同．4．B 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ln(x ＋1)≠0，x ＋1＞0，4－x 2≥0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，x ＞－1，－2≤x ≤2，所以定义域为(－1,0)∪(0,2]．5．A 解析：当x ≤1时，3x ＝2， ∴x ＝log 32；当x ＞1时，－x ＝2，∴x ＝－2(舍去)． ∴x ＝log 32. 考点探究突破【例1－1】 C 解析：a ＝1，b ＝0， ∴a ＋b ＝1.【例1－2】 ③④ 解析：当x 是6的倍数时，可知f (x )＝g (x )＝0，所以①不正确；容易得到当x ＝2时，g (2x )＝g (4)＝1，而2g (x )＝2g (2)＝4，所以g (2x )≠2g (x )，故②错误；当x ∈N 时，2x 一定是偶数，所以f (2x )＝0正确；当x ∈N 时，x 和x ＋3中必有一个为奇数、一个为偶数，所以f (x )和f (x ＋3)中有一个为0、一个为1，所以f (x )＋f (x ＋3)＝1正确．【例1－3】解：(1)不同函数．f 1(x )的定义域为{x ∈R |x ≠0}，f 2(x )的定义域为R . (2)不同函数．f 1(x )的定义域为R ，f 2(x )的定义域为{x ∈R |x ≠0}． (3)同一函数．x 与y 的对应关系完全相同且定义域相同，它们是同一函数的不同表示方式． (4)同一函数．理由同(3)．【例2－1】2x x ＋2 解析：由f (2)＝1得22a ＋b ＝1，即2a ＋b ＝2；由f (x )＝x 得xax ＋b ＝x ，变形得x ⎝⎛⎭⎫1ax ＋b －1＝0，解此方程得x ＝0或x ＝1－ba，又∵方程有唯一解， ∴1－b a＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12，∴f (x )＝2xx ＋2.【例2－2】解：∵2f (x )－f (－x )＝x ＋1，用－x 去替换式子中的x ， 得2f (－x )－f (x )＝－x ＋1.即有⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )－f (－x )＝x ＋1，2f (－x )－f (x )＝－x ＋1.解方程组消去f (－x )，得f (x )＝x3＋1.【例2－3】解：(1)任取x ＞0，则－x ＜0， ∴f (－x )＝－2x ＋(－x )2＝x 2－2x . ∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝2x －x 2. 故x ＞0时，f (x )＝2x －x 2.(2)∵方程f (x )＝2a 2＋a 有三个不同的解， ∴－1＜2a 2＋a ＜1.∴－1＜a ＜12.【例3】－10 解析：因为f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，函数f (x )的周期为2，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32－2＝f ⎝⎛⎭⎫－12，根据f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，得到3a ＋2b ＝－2，又f (1)＝f (－1)，得到－a ＋1＝b ＋22，即2a ＋b ＝0，结合上面的式子解得a ＝2，b ＝－4，所以a ＋3b ＝－10.演练巩固提升1．C 解析：令t ＝2x ＋1，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2x －1，故选C.2．2 解析：因为f (x )＝lg x ，f (ab )＝1，所以lg ab ＝1，所以f (a 2)＋f (b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝lg a 2b 2＝2lg ab ＝2.3．4 解析：∵f (－4)＝⎝⎛⎭⎫12－4＝16， ∴f (f (－4))＝f (16)＝16＝4.4．[－2,7] 解析：设x 1∈[0,1]，f (x 1)＝x 1＋g (x 1)∈[－2,5]． ∵函数g (x )是以1为周期的函数，∴当x 2∈[1,2]时，f (x 2)＝f (x 1＋1)＝x 1＋1＋g (x 1)∈[－1,6]． 当x 3∈[2,3]时，f (x 3)＝f (x 1＋2)＝x 1＋2＋g (x 1)∈[0,7]． 综上可知，当x ∈[0,3]时，f (x )∈[－2,7]．5．1 解析：y ＝f (x )是y ＝12x 与y ＝－|x －1|＋2两者中的较小者，数形结合可知，函数的最大值为1.。
浙江省中考数学第一轮复习 第三章 函数及其图象第3讲反比例函数课件 浙教
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4．如图，反比例函数与正比例函数的图象交于 A、B 两点，过点 A 作 AC⊥x 轴于点 C. 若△ABC 的面积是 4，则这个反比例函数的关系式是( )
A．y＝2x B．y＝4x C．y＝8x D．y＝1x6
解析：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于 A、B 两点，∴A、B 两点关于原点对 称，∴OA＝OB，∴△BOC 的面积＝△AOC 的面积＝4÷2＝2，又∵A 是反比例函数 y＝kx图 象上的点，且 AC⊥x 轴于点 C，∴△AOC 的面积＝12|k|，∴12|k|＝2，∵k>0，∴k＝4.故这个 反比例函数的关系式为 y＝4x.
2013年浙江中考第一轮复习
数学
第3讲 反比例函数
知识点一 反比例函数的定义及解析式
一般地，函数 y＝kx或 y＝kx－1(k 是常数，k≠0)叫做反比例函数． (1)反比例函数 y＝kx的自变量 x≠0. (2)反比例函数解析式可以写成 xy＝k(k≠0)，它表明在反比例函数中自变量 x 与其对应 函数值 y 之积总等于已知常数 k. (3)反比例函数解析式的确定 求反比例函数的解析式可用待定系数法．由于反比例函数的解析式中只有一个未知数， 因此只需已知一组对应值就可以． 求反比例函数解析式的一般步骤： ①设出含有待定系数的函数解析式； ②把已知条件代入解析式，得到关于待定系数的方程； ③解方程求出待定系数．
•17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/182022/1/182022/1/181/18/2022
•18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。
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(4)在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使△ ACQ 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的 Q 点坐标； 若不存在，请说明理由． 【思路点拨】(1)先将 A(－ 2,0)代入即可求出抛物 线的解析式，再求出对称轴方程；(2)由抛物线的解析 式，求出点 C 和点 B 的坐标，再利用待定系数法求出 OA OC 直线 BC 的解析式； (3)根据 ＝ ， ∠ AOC＝ ∠ BOC OC OB ＝ 90° ，可以判定 △ AOC∽△ COB； (4)若 △ ACQ 为等 腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论．
2．(2013· 邵阳 )函数 y＝ 5x－ 1中，自变量 x 的取 值范围是 ( A． x>1 1 C． x ≥ 5 C ) B． x<1 1 D． x ≥ － 5
1 2 3． (2013· 恩施州 )把抛物线 y＝ x － 1 先向右平移 2 1 个单位， 再向下平移 2 个单位， 得到的抛物线的解析 式为( B ) 1 2 B． y＝ (x－1) － 3 2 1 D． y＝ (x－ 1)2＋1 2 1 2 A． y＝ (x＋ 1) － 3 2 1 C． y＝ (x＋ 1)2＋ 1 2
4． (2013· 潍坊)设点 A(x1， y1)和 B(x2， y2)是反比 k 例函数 y＝ 图象上的两个点，当 x1<x2<0 时， y1<y2， x 则 一 次 函 数 y ＝ － 2x ＋ k 的 图 象 不 经 过 的 象 限 是 ( A ) B．第二象限 D．第四象限 A．第一象限 C．第三象限
8 ． (2013· 贵 港 )如 图，点 A(a,1)， B(－ 1，b)都在双曲线 y 3 ＝－ (x<0)上，点 P， Q 分别是 x x 轴、 y 轴上的动点，当四边形 PABQ 的周长取最小值时， PQ 所在直线的解析式是( A． y＝ x C． y＝x＋ 2 ) B． y＝ x＋ 1 D． y＝ x＋3
3 7．(2013· 河池 )已知二次函数 y＝－ x ＋ 3x－ ，当 5
2
自变量 x 取 m 时对应的函数值大于 0，设自变量分别 取 m－3， m＋ 3 时对应的函数值为 y1， y2，则 ( A． y1>0， y2>0 C． y1<0， y2>0 B． y1>0， y2<0 D． y1<0， y2<0 D )
8k＋b＝0， 1 解得 k＝－ ， b＝ 4， 2 b＝4，
1 ∴直线 BC 的解析式为： y＝－ x＋ 4. 2
(3)△ AOC∽△ COB.理由如下： 在△ AOC 与△ COB 中， OA OC ∵ OA＝ 2， OC＝4， OB＝ 8，∴ ＝ . OC OB 又∵∠ AOC＝∠ BOC＝ 90° ，∴△ AOC∽△ COB.
规律方法 解决与函数图象有关的图形问题，常求出图中各 点的坐标，然后求出函数解析式及交点坐标，用交点 的坐标表示出所求.
(2013· 牡丹江 )抛物线 y＝ ax2＋bx＋ c(a＜0)如 图所示，则关于 x 的不等式 ax ＋ bx＋ c＞ 0 的解集是 ( C ) A． x＜ 2 B．x＞－3 C．－3＜ x＜ 1 D． x＜－ 3 或 x＞1 【思路点拨】根据函数图象，写出位于 x 轴上方 的部分对应的 x 的取值范围即可．
2
规律方法 解决此类问题，首先根据图象及抛物线的对称性 确定图象与 x 轴的两个交点的坐标， 然后确定图象在 x 轴上方 或下方所对应的 x 的取值范围 .
(2013· 湘 西州 )如 1 2 图，已知抛物线 y＝－ x ＋ 4 bx＋ 4 与 x 轴相交于 A， B 两点，与 y 轴相交于点 C， 若已知点 A 的坐标为 A(－ 2,0)． (1)求抛物线的解析式及它的对称轴方程； (2)求点 C 的坐标，连结 AC，BC 并求线段 BC 所在直 线的解析式； (3)试判断△ AOC 与△ COB 是否相似？并说明理由；
2
2
规律方法 解决存在性问题的一般思路：先对结论作出肯定 的假设，然后由肯定假设出发，结合已知条件和隐含 条件进行计算、推理，再对所得出的结论进行分析检 验，判断是否与题设、公理、定理等吻合；若无矛盾， 说明假设正确；否则，说明不存在.
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一、选择题 1．若点 P(a，a－2)在第四象限，则 a 的取值范围 是( B ) B． 0＜a＜ 2 D． a ＜ 0 A．－ 2＜ a＜ 0 C． a＞ 2
规律方法 解决此类问题，首先要根据已知函数的图象确定 各系数的范围，然后根据相关系数的范围确定未知函 数的图象所在的位置 .
(2013· 荆州 ) 如图，在平 面直角坐标系中，直线 y＝－ 3x＋ 3 与 x 轴、y 轴分别交于 A， B 两 点， 以 AB 为边在第一象限作正方 k 形 ABCD，点 D 在双曲线 y＝ x (k≠0)上． 将正方形沿 x 轴负方向平移 a 个单位长度后， 点 C 恰好落在该双曲线上，则 a 的值是 ( A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 )
专题三 函数及其图象
【专题分析】本专题在中考中的常考点有：点的坐 标的特征，对称变换和平移变换中坐标的特征；求 函数自变量的取值范围，函数图象的信息；一次函 数解析式的确定，一次函数的图象与性质，一次函 数的应用；反比例函数的图象和性质，反比例函数 中 k 的几何意义； 确定抛物线的顶点坐标及对称轴， 二次函数解析式的确定，二次函数的图象和性质， 二次函数图象的平移， 二次函数图象与系数的关系， 二次函数与方程、不等式的关系，二次函数的应用 等．
1 2 3 (2)在 y＝－ x ＋ x＋4 中，令 x＝ 0，得 y＝ 4， 4 2 ∴ C(0,4)； 1 2 3 2 令 y＝ 0，即－ x ＋ x＋ 4＝0，整理，得 x － 6x 4 2 － 16＝0，解得 x＝ 8 或 x＝－ 2，∴ A(－ 2,0)， B(8,0)．
设直线 BC 的解析式为 y＝ kx＋b， 把 B(8,0)， C(0,4)的坐标分别代入 y＝ kx＋ b，得
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(ⅱ )当 AQ＝ AC 时，有 25＋ t ＝ 2 5， t2＝－ 5，此方程无实数根，∴此时△ ACQ 不能构 成等腰三角形； (ⅲ )当 CQ＝ AC 时，有 t－ 4 ＋ 9＝ 2 5， 整理，得 t2－8t＋ 5＝ 0，解得 t＝ 4± 11， ∴点 Q 坐标为 (3,4＋ 11)或(3,4－ 11)． 综上所述，存在点 Q，使△ ACQ 为等腰三角形， 点 Q 的坐标为 (3,0)， (3,4＋ 11)或(3,4－ 11)．
【思路点拨】 首先由二次函数的图象判断出 a， b， c 的符号， 然后根据反比例函数图象与一次函数图象的 特征得出答案． 解析： 根据二次函数图象与 y 轴的交点可得 c＞ 0， 根据抛物线开口向下可得 a＜ 0，由对称轴在 y 轴右侧 b 可得 a， b 异号，故 b＞ 0.则反比例函数 y＝ 的图象在 x 第一、 三象限， 一次函数 y＝ cx＋ a 的图象在第一、 三、 四象限．故选 B. 答案：B
解析： 分别把点 A(a,1)， B(－1， 3 b)代入双曲线 y＝－ (x＜0)， x 得 a＝－3，b＝3，则点 A 的坐 标为(－3,1)，点 B 的坐标为 (－1,3)，如图，作点 A 关于 x 轴的对称点 C，作点 B 关于 y 轴的对称点 D，所以点 C 的坐标为(－3，－1)，
点 D 的坐标为 (1,3)． 连结 CD 分别交 x 轴、y 轴于 点 P， Q，此时四边形 PABQ 的周长最小，设直线 CD 的解析式为 y＝ kx＋ b，把 C(－3，－ 1)，D(1,3)分别代
规律方法 根据点所在的位置与平面内点的特征可得关于未 知字母的不等式或不等式组， 解不等式组即可得出参 数的取值范围 .
(2013· 达州)二次函数 y＝ ax
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＋ bx＋ c 的图象如图所示， 反比例函数 b y＝ 与一次函数 y＝ cx＋ a 在同一平面 x 直角坐标系中的大致图象是( )
பைடு நூலகம்
(4)假设存在符合条 件的点 Q.理由如下 ： ∵抛物线的对称轴 方程为 x＝ 3， 可设点 Q(3，t)，则 可求得： AC＝ 22＋42＝ 20＝ 2 5， AQ＝ 52＋ t2＝ 25＋ t2，
CQ＝ 3 ＋t－4 ＝ t－ 42＋ 9. 分三种情况讨论如下： (ⅰ )当 AQ＝ CQ 时， 有 25＋ t2＝ t－ 42＋ 9， 25＋ t2＝ t2－8t＋16＋ 9， 解得 t＝ 0，∴ Q(3,0)；
1 2 解： (1)∵抛物线 y＝－ x ＋ bx＋4 的图象经过点 4 1 3 2 A(－ 2,0)， ∴－ × (－ 2) ＋ b× (－ 2)＋ 4＝ 0， 解得 b＝ . 4 2 1 2 3 ∴抛物线的解析式为 y＝－ x ＋ x＋ 4. 4 2 1 2 3 1 25 2 又∵ y＝－ x ＋ x＋ 4＝－ (x－ 3) ＋ ， 4 2 4 4 ∴对称轴方程为 x＝ 3.
5．(2013· 呼和浩特)在同一平面直角坐标系中，函 数 y＝mx＋ m 和 y＝－mx2＋2x＋ 2(m 是常数， 且 m≠0) 的图象可能是( D )
6． (2013· 天水)如图，已知等边三角形 ABC 的边 长为 2，E，F，G 分别是边 AB，BC，CA 上的点，且 AE＝ BF＝ CG，设△ EFG 的面积为 y， AE 的长为 x， 则 y 与 x 的函数图象大致是( )
【思路点拨】作 CE⊥ y 轴于点 E，交双曲线于点 G， 作 DF⊥x 轴于点 F， 易证 △ OAB≌△ FDA≌△ EBC， 求得点 A， B 的坐标，根据全等三角形的性质可以求 得点 C， D 的坐标，从而利用待定系数法求得反比例 函数的解析式，进而求得点 G 的坐标，则 a 的值即可 求解．
解析：如图，作 CE⊥ y 轴 于点 E，交双曲线于点 G，作 DF⊥ x 轴于点 F. 易知点 B 的坐标是 (0,3)， 点 A 的坐标是 (1,0)． 则 OB＝ 3， OA＝ 1. ∵∠ BAD＝ 90° ， ∴∠ BAO＋ ∠ DAF＝ 90° . 又 ∵在 Rt△ ABO 中， ∠ BAO＋ ∠ OBA＝ 90° ， ∴∠ DAF＝ ∠ OBA，