线性规划整点最优解的探索性教学
高中数学一轮复习线性规划中求整点最优解的两种常用方法
线性规划中求整点最优解的两种常用方法简单的线性规划是新教材的新增加内容，它在人们的生活和生产实践中有着广泛的应用，因此，它必将成为高考的一个新亮点，而在线性规划中，求整点最优解的问题是一个难点，下面介绍两种常用的方法.1、平移求解法步骤：1、作出可行域（若是实际问题，则首先应根据题意列出线性约束条件，找出线性目标函数）；2、找出最优解（当最优解不是整数解时，过最优解作与线性目标函数平行的直线）；3、平移直线族（在平面直角坐标系中，打出网格，在可行域内，平移步骤2中所作的直线，最先经过的整点即为所求的整点最优解）. 【范例引导】例1、要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少.解：设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+0027*******y x y x y x y x 目标函数为：y x z +=.作出可行域，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+539518152273y x y x y x ，所以A ⎪⎭⎫ ⎝⎛539,518.此时，5211=+y x ，因为A 点不是整点，它是非整点最优解，用平移求解法，打出网格，将平行直线族y x t +=中的5211=+y x 向右上方平移，由图可知，在可行域中最先经过的整点是B （3，9）和C （4，8），它们是所求的最优整点解，此时.12=+y x答：要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种，一种是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；二是截第一种钢板4张、第二种钢板8张. 2、调整优值法步骤：1、求出非整点的最优解及最优值（即对应最优解的目标函数值）；2、借助不定方程的知识调整最优值；3、筛选出符合条件的最优解. 【范例引导】例2、用“调整优值法” 解例1 .解:由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+539518152273y x y x y x ，所以A ⎪⎭⎫ ⎝⎛539,518，因为A 点不是整点，它是非整点最优解，此时，5211=+=y x t = 11.4不是整数，因而需要对t 进行调整，由于y x ,为整数，所以t 为整数，而与11.4最靠近的整数是12，故取t =12，即12=+y x ，将x y -=12代入到线性约束条件，解得：5.43≤≤x ，取4,3==x x 得整点的最优解为：B （3，9）和C （4，8），此时.12=+y x例3、已知y x ,满足不等式组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈≥≥≤+≤+Ny N x y x y x y x ;0;040356056（*）求y x z 150200+=的最大值. 解：根据约束条件画出可行域，由⎩⎨⎧=+=+40356056y x y x 得非整点最优解)760,720(，此时，711857760150720200=⋅+⋅=z 也是非整数.因为y x z 150200+=)34(50y x +=，又y x ,为整数，所以z 一定是50的倍数.令y x z 150200+==1850，则)437(31x y -=，代入到（*）式中得3212≤≤x ，故当3=x 时，325=y 为非整数解.令y x z 150200+==1800，则)436(31x y -=，代入到（*）式中得：40≤≤x ，经计算（0，12），（3，8）为其整数解，此时，1800=z . 【名师小结】在一定的约束条件下使某目标达到最大值或最小值的问题称为数学规划，而当约束条件和目标函数都是一次的（又称线性的），我们称这种规划问题为线性规划.例如，如何分配有限的资源以达到某种既定的目标（如利润最大，支付最小等），称为资源分配问题，而许多资源分配问题可以归结为线性规划模型来处理. 在解线性规划应用问题时的一般步骤为：（1）审题；（2）设出所求的未知数；（3）列出约束条件，建立目标函数；（4）作出可行域；（5）找出最优解. 【误区点拨】1、对于整点解问题，其最优解不一定是离边界点最近的整点，而先要过边界点作目标函数By Ax t +=的图象，则最优解是在可行域内离直线By Ax t +=最近的整点；2、熟练掌握二元一次不等式所表示的平面区域是解决线性问题的基础，因此，正确地作出可行域是我们解题的关键；3、一般的线性规划问题，其约束条件是平面上的一个多边形闭区域，或者是向某一方向无限延展的半闭区域，而目标函数必在边界取最值，且是边界的顶点处取最值，但不一定有最优整数解，这一点一定要注意. 【反馈训练】1、设y x ,满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈>>≤+<+zy z x y x y x y x ,0,01141023，求y x u 45+=的最大值. 2怎样搭配价格最低？3、有一化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料或1车皮乙种肥料需要的主要原料和产生的利润分别是：磷酸盐4吨，硝酸盐18吨，利润10000元或磷酸盐1吨，硝酸盐15吨，利润5000元.工厂现有库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，应生产甲、乙肥料各多少车皮可获得最大的利润？4、某工厂有甲、乙两种产品，计划每天各生产不少于15吨，已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦，劳动力3个；乙产品4吨需煤9吨，电力5千瓦，劳动力10个.甲产品1吨利润7万元，甲产品1吨利润12万元，但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦，劳动力只有300个，问每天生产甲、乙两种产品各多少，能使利润总额达到最大？ 【参考答案】1、最优整数解为（2，1），=m an u 14；2、10片A 和3片B 搭配价格最低为1.6元.3、最后归结为在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0,0661518104y x y x y x 下，求目标函数y x u 500010000+=的整数解问题，答案是生产甲、乙肥料各2车皮时可获得最大的利润30000元.4、最后归结为在约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+.15,15,300103,20054,30049y x y x y x y x 下，求目标函数y x u 127+=的整数解问题，答案是甲、乙两种产品各20吨、24吨，利润总额达到最大428元.。
线性规划中整点最优解的探究
线性规划中整点最优解的探究发表时间：2013-07-12T10:51:48.483Z 来源：《教育研究·教研版》2013年8月下供稿作者：陶晶[导读] 重视数学思想方法的教学，指导学生提高数学意识。
〔摘要〕在以往教材中，线性代数是大学期间的课程，高中的课程中只是少量接触，而在新教材高二年级的数学中新加了简单的线性规划的内容。
线性规划在数学中越来越受到重视，在高中数学中线性规划在对于解决最优惠最佳方法的应用题中体现出它独特的应用方法，帮助学生在领悟题型是对类型题的加深理解。
对学生在数学方面解决疑难问题也会起到开发性思维的拓展，有助于帮助学生开拓思路解答问题。
线性规划最优解教学中的一个难点。
〔关键词〕线性规划最优解可行域 1 平移找解法平移找解法在作出可行域后，描绘出整点，然后选择目标函数L=ax+y 平移该函数 L，直线L 最先经过或者最后经过的那个整点(x,y)便是整点最优解。
例1 某服装厂生产裙子和裤子两种产品，现有两种布料，第一种有72m2，第二种有 56m2，假设生产裙子和裤子都需要用两种布料，生产一条裙子和一条裤子所需布料如下表所示，每生产一条裙子可获利6 元，生产一条裤子可获利10 元，服装厂现有布料条件下，裙子和裤子各生产多少，获得利润最多。
解：设生产裙子x 条，生产裤子y 条，获取利润z 元，那么 0.18x+0.09y≤72 0.08x+0.28y≤56 嗓,x≥0， y≥0 解得z=6x+10y 如图所示，在不等式组图所表示的可行域作直线l: 6x+10y=0，即 3x+5y=0，把直线l 向右上方平移只l1 的位置时，直线经过可行域点M，且与原点距最大，此时z=6x+10y 取最大值。
解方程组 0.18x+0.09y=72 0.08x+0.28y=56 嗓，解得M 点坐标（350，100）答：应生产裙子350 条，裤子300 条，此时的利润是最大值。
本题的最优点恰为直线0.18x+0.09y =72 和0.08x+0.28y=56 的交点M。
如何寻找_线性规划问题_的整点最优解
- 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
x
图1
作出一组平行的直线 200x + 150y = t. 当 t= 0 时, 即 200x + 150y = 0 也就是直线
l0: 4x + 3y = 0. 将直线 l0 向上平移至 l1 的位置时, 直线 l1 经
过可行域上的点A , 且与原点的距离最大, 此时 z = 200x + 150y 取最大值Ζ
= 1, 2, 3, 4, 如图 4, 打出网格, 这时网格在可行域
内的交点, 即可行域内的整点Ζ
将直线 l1 向上平移到 l2 的位置时, 直线 l2 最
先经过可行域内的整点B (5, 2) , 且使 z = 160x +
252y 取最小值, 此时
z 最小= 160×5+ 252×2= 1304.
2000 年 第 3 期 数学通报
19
如何寻找《线性规划问题》的整点最优解
安培录 (山西省代县中学校 034200)
试验教材高二数学 (上) 增加了《简单的线性
规划》的内容, 利用图解法解答线性规划的两类问 题Ζ 对此, 大纲要求“会简单的应用”Ζ
学生对线性规划的基本概念、基本方法在两
类实际问题中的应用, 基本可以达纲, 但对寻找 《线性规划问题》的整点最优解的问题, 感到不好 入手, 完成作业困难较大Ζ 在这个问题上, 试验教 材安排了一个例题 (P 76 页例 4) , 两个习题 (P 79 页第 3、4 题) , 一个复习题 (P 107 页第 17 题) Ζ 针 对学生从认知到应用这一过程存在的问题, 笔者 在教学实践中归纳整理了三种基本方法, 现举例 说明如下:
高中数学论文线性规划问题最优整解的解法探求
线性规划问题最优整解的解法探求对于线性规划问题的最优整解，若借助于多媒体课件，特别是使用《几何画板》，作出相关的动态图形，打出网格，找出最优解，这样既直观又清楚。
但在日常教学中，受条件的限制，很难找出最优解。
经两次教学后，现对教材中此类例题的解法作适当的改正。
例1（（必修本）第二册上P63例4）要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？分析：设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，根据题意可得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+.0,0,273,182,152y x y x y x y x 作出可行域：其目标函数为 z =x +y ，作出在一组平行直线x +y =t （t 为参数）中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，此直线经过直线x +3y =37和直线2x +y =15的交点A （539,518），由于539518和都不是整数，故可行域内点(539,518)不是最优解.但我们可以把问题转化为：在可行域内的求整点P （m,n ）,使P （m,n ）到直线x +y =557的距离最小。
于是，得到如下的解答。
解： P （m,n ）到直线x +y =557的距离m ，n 都是整数，则当m+n=12时，d 最小，此时（m,n ）满足212152(12)183(12)27m m m m m m +-≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≥⎩（ m是自然数）得， 93()2m m N ≤≤∈，所以m=3或4，则最优解是（3，9），（4，8）。
例2 （（必修本）第二册上P65第4题）某人有楼房一幢，室内面积共180m2，拟分隔成两类房间作为客房，大房间每间面积为18，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积15，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元。
线性规划中的最优解问题
线性规划中的最优解问题教案：线性规划中的最优解问题引言：线性规划是一种优化方法，用于解决一系列约束条件下的最优决策问题。
通过数学模型的构建和数学方法的运用，可以找到问题的最佳解。
本教案将介绍线性规划中的最优解问题，并帮助学生理解和应用这一概念。
一、最优解问题的定义与举例在线性规划中，最优解是指在满足一组约束条件下使目标函数取得最大（或最小）值的决策变量取值。
最优解问题的一般形式为：Maximize（或Minimize）目标函数Subject to 约束条件例如：假设一个公司生产两种产品A和产品B，在资源有限的情况下，公司想要最大化利润。
产品A的利润为3万元/单位，产品B的利润为4万元/单位。
产品A每单位需要消耗2小时的人工时间和1千克的原材料，产品B每单位需要消耗1小时的人工时间和2千克的原材料。
公司每天的人工时间和原材料都有限，分别为8小时和10千克。
现在我们要决定生产多少单位的产品A和产品B，以实现最大利润。
二、线性规划模型的建立1.确定决策变量：设产品A的产量为x单位，产品B的产量为y单位。
2.目标函数的建立：最大化利润Maximize Z = 3x + 4y3.约束条件的建立：2x + y ≤ 8x + 2y ≤ 10（x，y ≥ 0）三、图像表示与解的求解我们可以将约束条件绘制在坐标系中，形成一个可行域。
然后，通过目标函数的等高线绘制，找到该函数在可行域上的最大（或最小）值。
四、解的分析与最优解求解经过分析，我们可以发现：当x=2，y=3时，目标函数取得最大值 Z = 18 万元。
五、应用实例此节可以选取一个实际的应用例子，引导学生将所学知识应用于实际情境中，并讨论如何优化问题的操作。
六、总结与拓展通过本教案，学生初步了解了线性规划中的最优解问题及其求解方法。
线性规划在许多实际问题中都有广泛的应用，例如生产计划、资源分配等。
而在实际问题中，有些约束条件可能是非线性的，这时需要使用非线性规划等其他方法进行求解。
205 线性规划整点最优解的探索性教学
1
提出第一类问 题
Байду номын сангаас
师: 前面, 我 们 学 习 了 线 性 规 划 的 概 念, 以及 它在 实 际问 题 中的 简 单应 用 . 今天, 我们 继续 来 谈线 性 规划 的 理论 和 方法 在 实 际问 题 中的 应 用 . 下面 请 大家 看 一个 问 题 ( 多 媒体 显 示) . 问题 1 ( 复习 参考 题 A 组 第 1 题) P 8 8 6 某运 输公 司有 7 辆 载重 为 6 的 型 卡车 与 � A 4 辆载 重为 1 的 B 型卡 车 , 有 9 名驾 驶员 . 在 0� 建筑 某 段 高 速 公 路 中 , 此公司承包了每天至 少搬 运 3 沥青 的任 务 . 已知 每 辆卡 车每 天 6 0� 往返 的次 数为 : 次, 次. A 型 卡车 8 B型 卡车 6 每辆 卡车 每天 往返 的成 本费 为 : 型卡 车 A 1 6 0 元, 每天 派 出 A 型 卡 车 和 B B型 卡 车 2 5 2元 . 型卡 车各 多少辆 , 公 司所 花的 成本 费最 低 ? 这是 线 性规 划 的理 论 和方 法 在 实 际问 题 中应 用的 第 一种 类 型 : 即给 定 一 项任 务 , 如何 合理 安排 和 规划 能 以最 少 的人 力 , 物力, 资金 等资 源来 完 成该 项 任务 . 由 题 目 的条 件 , 结合 线性 规 划 的 方 法 , 看谁能以最快的方法解出 该题 ? 展 示条 件 , 暴露 思维 师: 先 请 一位 同 学 设出 所 求 的未 知 出约 束条 件 , 建 立目 标函 . 1 . 1 公司 所花 的成本 费为 � 元, 然 后列表 . 列 ,
本例的 可 行 域 为 -- 四 边 形 ( 如图 1 ) : 一边 平行 于 �轴 ( 它 的对 边 平 行 于 �= 4 ) , � 轴( 另两 边分 别在 直线 � �= 7 ) . 1 : 4 �+ 5 � = 与直 线 � 上. 这时 , 3 0 2 : �+ �= 9 �= 1 6 0 � 轴 上的 截距 � = � . �+ , � 2 5 2 2 5 2 2 5 2
线性规划中整点最优解的求解策略
线性规划中整点最优解的求解策略线性规划中整点最优解的求解策略在工程设计、经营管理等活动中，经常会碰到最优化决策的实际问题，而解决此类问题一般以线性规划为其重要的理论基础。
然而在实际问题中，最优解 (x,y) 通常要满足x,y∈N ，这种最优解称为整点最优解，下面通过具体例子谈谈如何求整点最优解 .1．平移找解法作出可行域后，先打网格，描出整点，然后平移直线l，直线l最先经过或最后经过的那个整点便是整点最优解.例1、某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72m3，第二种有56m3，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利6元,生产一个衣柜可获利10元.木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜各生产多少,才使获得利润最多?解：设生产圆桌x只,生产衣柜y个,利润总额为z元,那么而如图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域.作直线l:6x+10y=0,即l:3x+5y=0,把直线l向右上方平移至l1的位置时,直线经过可行域上点M,且与原点距离最大,此时z=6x+10y取最大值。
解方程组得M点坐标答：应生产圆桌350只,生产衣柜100个,能使利润总额达到最大.点评：本题的最优点恰为直线0.18x+0.09y=72和0.08x+0.28y=56的交点M。
例 2 有一批钢管，长度都是4000mm，要截成500mm和600mm两种毛坯，且这两种1毛坯按数量比不小于配套，怎样截最合理？ 3解：设截500mm的钢管x根，600mm的y根，总数为z根。
根据题意，得，目标函数为，作出如图所示的可行域内的整点，作一组平行直线x+y=t，经过可行域内的点且和原点距离最远的直线为过B（8，0）的直线，这时x+y=8.由于x,y为正整数，知（8，0）不是最优解。
显然要往下平移该直线，在可行域内找整点，使x+y=7，可知点（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）均为最优解．答：略．点评：本题与上题的不同之处在于，直线x+y=t经过可行域内且和原点距离最远的点B（8，0）并不符合题意，此时必须往下平移该直线，在可行域内找整点，比如使x+y=7，从而求得最优解。
“五招”破解线性规划整数最优解问题
可行域 内打 上 斜 线 ， 方 便 地 观察 出 可行 域 很
内的整点 ， 再将 目标 函数 从直 线 ｆ 。的整 点平
图 １
的交 点
移 ， 先到 达 的整点 就是 整数 最优解 ． 时对 最 此 应 的点 是 可 行 域 内 最 接 近 １ 整 点 ． 上 的 如
Ａ
（ ， 是理论最优解 对应 目标 函数 的理 了 ４）
，
论 大 ４７ ５｛ 专但 行 域 内平 移 时 ， 先 通 过 的整 点 为 （ ， ）所 最 值Ｓ＝× × ＝ 詈 由 值 ＋× ４ ＋ 号 ３ ， 最 ２４ ，
Ｊ
图， 将引例中的直线 ｆ ７ ５ ＝ ４ ０ ＋ Ｙ ３ ｛向可 ：
以这就 是这 个 问题 的整数 最优 解 ． 当靠近 ｚ 。的几 个 整 点与 ｆ 。的距 离 非 常
４ｘ ＋ ３ 一 ２０ ＝ ０， 一 ３ ～ ２： ０ ｙ
＼ 一
Ｄ
／ ／
＂
／ ＼ Ｎ７ ＋ ｙ ０ ，ｘ ５ ＝ 、
接近 直线 ｚ 的整点 逐个代 人 目标 函数 ， 过 通 验算 ， 出整数 最优 解 ． 求
方法 ２ 网格线 法
将整个 坐 标 系 画在 几 何 方 格 纸 上 ， 在 或
＋５ ｖ＝３ ４检验 ， 只有 当 ＝２时 Ｙ＝４适 合
题 意 ． 问题得解 ． 故
如果一 次不 能 够达 到 ， 以依次 将 目标 可
函数值 换成 附近其 他整数 ， 重复上 述方法 ， 直 到求 出 问题 的整数 最优解 ． 本质上 ， 这种方 法 是通过 增加 附加 条 件 ， 逐渐 缩 小 可行 域 的手 段来求 得整数 最优解 的 ．
∈ Ｎ＋
求 Ｓ ｘ＋５ ＝７ ｖ的最大值 ． 分 析 ： 先 首 我 们 将 ， Ｙ∈
高三数学下册《线性规划》教案、教学设计
3.单纯形法应用题：
-利用单纯形法求解以下线性规划问题：
-问题1：某公司生产三种产品，产品1、产品2和产品3。生产一个单位产品1、产品2和产品3分别需要2小时、3小时和1小时的工时，以及3单位、2单位和1单位的原料。如果每天有18小时的工时和12单位的原料，如何分配生产三种产品的时间，使得公司每天的总利润最大？
（二）过程与方法
1.探究式学习：引导学生通过观察、分析、归纳等过程，发现线性规划问题的特点，激发学生的学习兴趣。
2.合作学习：组织学生进行小组讨论，共同解决线性规划问题，提高学生团队协作能力。
3.实践操作：鼓励学生运用所学知识解决实际问题，培养学生的动手操作能力和创新能力。
4.方法指导：引导学生掌握线性规划问题的解题方法，培养学生的逻辑思维能力和解题技巧。
二、学情分析
本章节的教学对象为高三学生，他们在前两年的数学学习中，已经掌握了基本的数学知识和技能，具备了一定的逻辑思维能力和解题技巧。在此基础上，学生对线性规划的学习具备以下特点：
1.学生对数学建模有一定的了解，但线性规划作为数学建模的一种方法，学生在实际应用中可能存在一定的困难，需要教师在教学中加强引导和指导。
3.导入新课：在此基础上，引出本节课的主题——线性规划，并简要介绍线性规划在生活中的广泛应用。
（二）讲授新知
在讲授新知阶段，我将从以下几个方面展开：
1.线性规划的定义：介绍线性规划的基本概念，包括线性约束条件、线性目标函数等。
2.线性规划模型的建立：以导入新课中的问题为例，引导学生建立线性规划模型，包括目标函数和约束条件的表示。
-单纯形法的理解和应用，尤其是对于初始基的选取和迭代过程的掌握。
线性规划问题教学设计范文（精选3篇）
线性规划问题教学设计范文（精选3篇）线性规划问题教学设计范文（精选3篇）作为一名默默奉献的教育工作者，时常需要编写教学设计，教学设计以计划和布局安排的形式，对怎样才能达到教学目标进行创造性的决策，以解决怎样教的问题。
那么问题来了，教学设计应该怎么写？下面是小编收集整理的线性规划问题教学设计范文（精选3篇），仅供参考，大家一起来看看吧。
线性规划问题教学设计1一。
说教材1。
本节课主要内容是线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行域、可行解、最优解等概念，根据约束条件建立线性目标函数。
应用线性规划的图解法解决一些实际问题。
2。
地位作用：线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，它可以解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题。
简单的线性规划是在学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简单应用。
通过这部分内容的学习，使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，以培养学生学习数学的兴趣、应用数学的意识和解决实际问题的能力。
3。
教学目标(1)知识与技能：了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行域、可行解、最优解等概念，能根据约束条件建立线性目标函数。
了解并初步应用线性规划的图解法解决一些实际问题。
(2)过程与方法：提高学生数学地提出、分析和解决问题的能力，发展学生数学应用意识，力求对现实世界中蕴含的一些数学模式进行思考和作出判断。
(3)情感、态度与价值观：体会数形结合、等价转化等数学思想，逐步认识数学的应用价值，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的自信心。
4。
重点与难点重点：理解和用好图解法难点：如何用图解法寻找线性规划的最优解。
二。
说教学方法教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习,充分调动学生的积极性、主动性;有效地渗透数学思想方法，提高学生素质。
根据这样的原则和所要完成的教学目标，并为激发学生的学习兴趣，我采用如下的教学方法：(1)启发引导学生思考、分析、实验、探索、归纳。
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数学教案设计 205 线性规划整点最优解的探索性教学315400 浙江省余姚中学 李建标 [主持人按 建构主义认为:知识是学习者在一定的情境下,借助教师和学习伙伴等其他人的帮助,利用必要的学习材料(主要是教材),通过意义建构的方式而获得的.现在的问题是,每个教师的每一次帮助是否都帮在了点子上了,有否多多少少帮偏了的?比如本课,个人认为,关键的是,如下的流程图,要给学生一一交待清楚:问题→数学形式化(列出约束条件,建立目标函数)→解题目标的图上反映、意义(即要在图上找什么?)这后一点,对于本课即是:要找到一条这样的直线,过可行域内的整点;平行于某直线(目标函数式中的z取0时的直线);某个值(一般是y轴上的截距)为最大或最小.要点抓住了,其余的就可放手交给学生了.这就是课堂探索!]1 提出第一类问题师:前面,我们学习了线性规划的概念,以及它在实际问题中的简单应用.今天,我们继续来谈线性规划的理论和方法在实际问题中的应用.下面请大家看一个问题(多媒体显示).问题1 (P88复习参考题A组第16题)某运输公司有7辆载重为6t的A型卡车与4辆载重为10t的B型卡车,有9名驾驶员.在建筑某段高速公路中,此公司承包了每天至少搬运360t沥青的任务.已知每辆卡车每天往返的次数为:A型卡车8次,B型卡车6次.每辆卡车每天往返的成本费为:A型卡车160元,B型卡车252元.每天派出A型卡车和B 型卡车各多少辆,公司所花的成本费最低?这是线性规划的理论和方法在实际问题中应用的第一种类型:即给定一项任务,如何合理安排和规划能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.由题目的条件,结合线性规划的方法,看谁能以最快的方法解出该题?111 展示条件,暴露思维师:先请一位同学设出所求的未知数,列出约束条件,建立目标函数.生1:设每天出动A型车x辆,B型车y辆,公司所花的成本费为z元,然后列表.表1车型A型车B型车总限额每车驾驶员119每车载重量(t)6×810×6360则x、y满足约束条件:x≤7,y≤4,x+y≤9,48x+60y ≥360.x,y∈N即x≤7,y≤4,x+y≤9,4x+5y≥30,x,y∈N.目标函数:z=160x+252y.师:下面我们就来画出它的可行域(在学生求解的同时,教师巡视.很快学生都正确地画出了可行域).本例的可行域为——四边形(如图1):一边平行于x轴(=4),它的对边平行于y 轴(x=7).另两边分别在直线l1:4x+5y= 30与直线l2:x+y=9上.这时,y=-160252x+z252,y轴上的截距m=z252.图1(这时已有学生迫不及待地想说出答案)师:我们请一个同学回答一下!生2:作直线l:160x+252y=0,即40x+ 63y=0.把直线l平移至过可行域内的点A(7,25),且与原点的距离最小,此时z= 160x+252y取最小值.由题知,最优解中的x,y必须是整数,而点A的纵坐标不是整数,故不是所求的最优解.易知,在可行域内与该顶点最近的整点是B(7,1),所以z的最小值为160×7+252×1=1372元.(听到他如此流畅地表述,全班同学都投以赞许的目光,似乎正确答案已定)61中学数学 2006年第5期(多媒体上依次显示过原点O(0,0)、A(7,25)、B(7,1)的三条直线)112 图解为本,辨析错解师:对于生2的解法,同学们都认为正确吗?我们来认定一下,正确的图示状况:过可行域(包括边界上)内的整点,与直线l平行的直线中截距m最小的,因为目标值z=252m.生3:老师,我认为生2的答案肯定是错的.因为,把直线l平移至过可行域内的整点(5, 2)的时候,z的值为160×5+252×2=1304<1372.师:看来生2的解答是错了.但我们知道在可行域内,与A(7,25)最近的整点是B(7,1),而不是点C(5,2),那为什么生2的解答会错呢?生4:生2的错误是,不能用过可行域内与点A(7,25)距离最近的整点的直线来计算.这个“最近”应解释为:可行域内与过点A(7, 25)的直线l′:200x+315y-1526=0距离最近的整点,也即,可行域内的整点P(x1, y1),与直线l′上的点(x1,y2)的纵坐标的差的绝对值( y1-y2 )的最小值.B(7,1)与直线l′上的点A(7,25)的纵坐标的差的绝对值为3 5,而C(5,2)与直线l′上的点(5,526315)的纵坐标的差的绝对值为104315<35.又因为由可行域易知,点C(5,2)正好在可行域的边界上,由图易知,已不存在其他的整点与l′更近,所以(5,2)是最优解.正确答案是每天派出A型车5辆,B型车2辆,公司所花的成本费最低. 113 意义为源,枚举求解(干脆利落,简单明了,一阵掌声响起,说明大家明白并且认同了她的思路.就在这时又听到了一个熟悉的声音)生2:老师,我认为这道题目只需要把可行域内靠近直线4x+5y=30的整点(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,2)、(7,1)代入目标函数,检验易知C(5,2)就是最优解.不需要他们那样做得复杂.(带着一股不服输的劲,又有点激动和兴奋的心情,生2说出了他的解法)生5:这样检验的话,老师,我认为在可行域内点C(5,2)左侧部分的整点均不需要检验了.因为把直线l:40x+63y=0向上平移时必先经过可行域内点A(7,25),而A(7,25)不是整点;又因为C(5,2)在直线4x+5y=30上,即在域界上.而在可行域内点C(5,2)左侧部分虽有很多整点,但把直线l:40x+ 63y=0向上平移时必先经过可行域内整点C(5,2).所以不需要比较点C(5,2)左侧部分的整点.就C(5,2)右侧部分来说,只需比较点(6,2)、(7,1)就可以了.师:生3和生4指出了生2解法的错误所在,并给出了正确解法与答案,非常好!(老师为同学们有如此精彩的解答而高兴)这就是本节课我们所要讨论的线性规划的整点最优解问题.(板书课题——线性规划的整点最优解问题.多媒体显示过点(5,2)的直线)上面生4的解法我们称之为“图解法”,而生2的解法我们称之为“枚举法”.我们知道,上面两种解法在可行域内靠近域界的整点数比较少的情况下是可以适用的.如果可行域比较复杂、靠近域界上的整点数比较多,那怎么办呢?2 提出第二类问题师:下面我们就来探讨一下这样的一个问题(多媒体显示):问题2 (P65习题4)某人有楼房一幢,室内面积共180m2.拟分隔成两类房间作为旅游客房.大房每间面积为18m2,可以住游客5名,每名游客每天住宿费为40元;小房每间面积为15m2,可住游客3名,每名游客每天住宿费为50元.装修大房间每间需1000元;装修小房间每间需600元.如果他只能筹款8000元用于装修,且游客能住满,他应隔出大房间和小房间各多少间,能获得最大收益?这是线性规划的理论和方法在实际问题中应用的第二种类型:即在人力、物力、资金等资源一定的情况下,如何使用它们来完成最多的任务.能否用上面的方法来解决?211 列出约束条件,建立目标函数我们先请一位同学设出所求的未知数,列出约束条件,建立目标函数.生6:设隔出大房间x间,小房间y间,收益为z元.由条件得表2房间大房间小房间总限额占地面积(m2)1815180装修费用(元)10006008000则 18x+15y≤180,1000x+600y≤8000,x,y∈N.即 6x+5y≤60,5x+3y≤40,x,y∈N.目标函数y=200x+150y,这时,y轴上的截距m=z150.712006年第5期 中学数学212 画出可行域,明确目标的图上意义这时学生都已熟练地画出了可行域:有一个角为直角的四边形.目标是:过可行域内的某整点,作与直线l 0平行的直线,使有最大的y 轴上的截距值.图2213 思路理清了,具体解法不是唯一的21311 平移逼近法(图解法)生7:作出一组平行的直线200x +150y =t .当t =0时,即200x +150y =0,也就是直线l 0:4x +3y =0.将直线l 0向上平移至过可行域内的点A (207,607),得到直线l 1,且与原点的距离最大,此时z =200x +150y 取最大值.但A (207,607)不是一个整点,故不是最优解.由图解法易知,把l 1向下平移最先经过可行域内点A 左侧部分整点B (0,12),右侧部分整点C (3,8).再计算B 、C 两点对应z 的值的大小,z 较大时对应的点为最优解.经过检验这两点处的z 值均为最优解.(多媒体上依次显示过原点、A (207,607)、B (0,12)和C (3,8)的三条直线).21312 代数逼近法生8:生7的解法要求可行域作的比较正确,观察能力要求高,故不易采用.我的方法是:把点A (207,607)的坐标代入m =4x +3y ,所得的m 0=3717,因为要将l 1向下平移,故所求的m <3717.又因为x 、y 是整数,所以m为小于等于37的整数.当m =37,即4x +3y=37,也就是y =37-4x3(x ∈[0,8]且x ∈N ),当x =0,2,3,5,6,8时,y |Z ;当x =1,4,7时,y 虽有整数解,但不在可行域内.当m =36时,即4x +3y =36,也就是y =36-4x3(x ∈[0,8]且x ∈N ),当x =1,2,4,5,7,8时,y |Z ;当x =6时,y =4但不在可行域内;当x =0时,y =12;当x =3时,y =8,而点(0,12)与(3,8)在可行域内,故为所求的最优整点的坐标.(大家纷纷点头,为这位同学精彩的解答喝彩)(讨论到这里,同学们都想松一口气了,教室里也安静下来了.这时老师环顾教室四周进行提问)师:同学们对于4x +3y =37是否有对应的整点,难道没有其他的方法检验吗?(沉默片刻)老师提示:问题就是直线4x +3y =37上是否有整点在可行域内,所以只要…(2分钟后又一位同学兴奋的站起来)生9:对于直线4x +3y =37上是否有整点在可行域内,只需要将其方程代入线性约束条件加以检验就可以了.4x +3y =37,6x +5y ≤60,5x +3y ≤40.得 253≤y ≤9.因为y ∈Z ,所以y =9,此时x =53|Z .故直线4x +3y =37上不存在最优整点.同理可得 4x +3y =36,6x +5y ≤60,5x +3y ≤40.得 0≤x ≤4.当x =0时,y =12;x =3时,y =8;x =1时,y =323|Z ;x =2时,y =283|Z ;x =4时,y =203|Z ,故所求的最优整点坐标是(0,12)与(3,8).师:看来探究是没有止境的,生7和生8都提出了比较漂亮的解法.这两种方法可叫做逐步调整法.当然这种方法也仅适用于目标函数值与调整值m 0相差不大的情况.不然就不便使用.下面请同学们做这样一道练习.3 练习反馈练习:要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格,每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示:表3规格A 规格B 规格C 规格第一种钢板211第二种钢板123 今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块,问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品,且使用钢板张数最少.(学生都能用逐步调整法求出最优解)(收稿日期:20060208)81中学数学 2006年第5期。