教你如何做出最佳选择——简单线性规划求最优解
求线性规划问题的最优解
求线性规划问题的最优解：121212123max 2322124 16.. 5 15,,0z x x x x x s t x x x x =++≤⎧⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥⎩ 方法1：图解法。
（P15 图1-3）方法2：求出所有的基可行解，然后比较目标值的大小得到最优解。
（P14表1-1）方法3：单纯形法。
第一步，将模型转化为标准型。
12345123142512345max 2300022 12 (1)4 16 (2).. 5 15 (3),,,,0z x x x x x x x x x x s t x x x x x x x =++++++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪≥⎩ 221004001005001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭秩A=3 第二步，求初始基可行解。
取()345100 010001B P P P ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭作为初始基矩阵，345, , x x x 为基变量，12, x x 为非基变量，令12=0,x x =得到初始基可行解()(0)0,0,12,16,15X =，目标值(0)0.z =第三步，对初始基可行解()(0)0,0,12,16,15X =进行最优性检验。
基可行解()(0)0,0,12,16,15X =对应的目标值为(0)0z =，因为12023z x x =++，只要1>0x 或者2 0x >，目标值都会比(0)0z =大，即12or x x 之一作为基变量，目标值都会增大，故初始基可行解()(0)0,0,12,16,15X=不是最优解。
第四步，作基变换，求目标值比(0)0z =更大的基可行解。
① 确定换入基变量。
由第三步可知，12, x x 都可作为换入基变量，一般地，{}121122*********, 0,0. max ,z x x x x σσσσσσσ=++=++≥≥=。
2 x 作为换入基变量。
这里12,σσ称为基可行解(0)X 非基变量12, x x 的检验数。
高中数学一轮复习线性规划中求整点最优解的两种常用方法
线性规划中求整点最优解的两种常用方法简单的线性规划是新教材的新增加内容，它在人们的生活和生产实践中有着广泛的应用，因此，它必将成为高考的一个新亮点，而在线性规划中，求整点最优解的问题是一个难点，下面介绍两种常用的方法.1、平移求解法步骤：1、作出可行域（若是实际问题，则首先应根据题意列出线性约束条件，找出线性目标函数）；2、找出最优解（当最优解不是整数解时，过最优解作与线性目标函数平行的直线）；3、平移直线族（在平面直角坐标系中，打出网格，在可行域内，平移步骤2中所作的直线，最先经过的整点即为所求的整点最优解）. 【范例引导】例1、要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少.解：设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+0027*******y x y x y x y x 目标函数为：y x z +=.作出可行域，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+539518152273y x y x y x ，所以A ⎪⎭⎫ ⎝⎛539,518.此时，5211=+y x ，因为A 点不是整点，它是非整点最优解，用平移求解法，打出网格，将平行直线族y x t +=中的5211=+y x 向右上方平移，由图可知，在可行域中最先经过的整点是B （3，9）和C （4，8），它们是所求的最优整点解，此时.12=+y x答：要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种，一种是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；二是截第一种钢板4张、第二种钢板8张. 2、调整优值法步骤：1、求出非整点的最优解及最优值（即对应最优解的目标函数值）；2、借助不定方程的知识调整最优值；3、筛选出符合条件的最优解. 【范例引导】例2、用“调整优值法” 解例1 .解:由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+539518152273y x y x y x ，所以A ⎪⎭⎫ ⎝⎛539,518，因为A 点不是整点，它是非整点最优解，此时，5211=+=y x t = 11.4不是整数，因而需要对t 进行调整，由于y x ,为整数，所以t 为整数，而与11.4最靠近的整数是12，故取t =12，即12=+y x ，将x y -=12代入到线性约束条件，解得：5.43≤≤x ，取4,3==x x 得整点的最优解为：B （3，9）和C （4，8），此时.12=+y x例3、已知y x ,满足不等式组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈≥≥≤+≤+Ny N x y x y x y x ;0;040356056（*）求y x z 150200+=的最大值. 解：根据约束条件画出可行域，由⎩⎨⎧=+=+40356056y x y x 得非整点最优解)760,720(，此时，711857760150720200=⋅+⋅=z 也是非整数.因为y x z 150200+=)34(50y x +=，又y x ,为整数，所以z 一定是50的倍数.令y x z 150200+==1850，则)437(31x y -=，代入到（*）式中得3212≤≤x ，故当3=x 时，325=y 为非整数解.令y x z 150200+==1800，则)436(31x y -=，代入到（*）式中得：40≤≤x ，经计算（0，12），（3，8）为其整数解，此时，1800=z . 【名师小结】在一定的约束条件下使某目标达到最大值或最小值的问题称为数学规划，而当约束条件和目标函数都是一次的（又称线性的），我们称这种规划问题为线性规划.例如，如何分配有限的资源以达到某种既定的目标（如利润最大，支付最小等），称为资源分配问题，而许多资源分配问题可以归结为线性规划模型来处理. 在解线性规划应用问题时的一般步骤为：（1）审题；（2）设出所求的未知数；（3）列出约束条件，建立目标函数；（4）作出可行域；（5）找出最优解. 【误区点拨】1、对于整点解问题，其最优解不一定是离边界点最近的整点，而先要过边界点作目标函数By Ax t +=的图象，则最优解是在可行域内离直线By Ax t +=最近的整点；2、熟练掌握二元一次不等式所表示的平面区域是解决线性问题的基础，因此，正确地作出可行域是我们解题的关键；3、一般的线性规划问题，其约束条件是平面上的一个多边形闭区域，或者是向某一方向无限延展的半闭区域，而目标函数必在边界取最值，且是边界的顶点处取最值，但不一定有最优整数解，这一点一定要注意. 【反馈训练】1、设y x ,满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈>>≤+<+zy z x y x y x y x ,0,01141023，求y x u 45+=的最大值. 2怎样搭配价格最低？3、有一化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料或1车皮乙种肥料需要的主要原料和产生的利润分别是：磷酸盐4吨，硝酸盐18吨，利润10000元或磷酸盐1吨，硝酸盐15吨，利润5000元.工厂现有库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，应生产甲、乙肥料各多少车皮可获得最大的利润？4、某工厂有甲、乙两种产品，计划每天各生产不少于15吨，已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦，劳动力3个；乙产品4吨需煤9吨，电力5千瓦，劳动力10个.甲产品1吨利润7万元，甲产品1吨利润12万元，但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦，劳动力只有300个，问每天生产甲、乙两种产品各多少，能使利润总额达到最大？ 【参考答案】1、最优整数解为（2，1），=m an u 14；2、10片A 和3片B 搭配价格最低为1.6元.3、最后归结为在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0,0661518104y x y x y x 下，求目标函数y x u 500010000+=的整数解问题，答案是生产甲、乙肥料各2车皮时可获得最大的利润30000元.4、最后归结为在约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+.15,15,300103,20054,30049y x y x y x y x 下，求目标函数y x u 127+=的整数解问题，答案是甲、乙两种产品各20吨、24吨，利润总额达到最大428元.。
线性规划解决最优化问题的数学方法
线性规划解决最优化问题的数学方法线性规划是一种常见的数学方法，用来解决最优化问题。
它能够帮助我们在给定一组线性约束条件下，找到最优的目标函数值。
在实际应用中，线性规划方法被广泛用于制定优化决策、资源配置、生产计划等领域。
本文将介绍线性规划的基本概念、公式以及解决最优化问题的具体步骤。
一、线性规划的基本概念与公式线性规划的目标是在给定约束条件下，找到使目标函数（也称为优化函数）取得最大或最小值的解。
它包含三个基本要素：决策变量、约束条件和目标函数。
1. 决策变量：决策变量是问题中需要确定的变量，它们可以是实数、整数或布尔变量。
决策变量的取值范围和类型由问题的实际情况决定。
2. 约束条件：约束条件是对决策变量的限制条件，它们可以是线性等式或不等式。
约束条件用于描述问题的限制条件，例如资源约束、技术限制等。
3. 目标函数：目标函数是求解问题的目标，它可以是最小化或最大化一个线性函数。
目标函数的形式通常是关于决策变量的线性组合。
线性规划问题可以用如下的标准形式表示：最小化 Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ约束条件：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙ非负约束：x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, ... , xₙ ≥ 0其中，Z为目标函数值，c₁, c₂, ... , cₙ为目标函数的系数，aᵢₙ为约束条件的系数，b₁, b₂, ... , bₙ为约束条件的常数项，x₁, x₂, ... , xₙ为决策变量。
二、线性规划的解决步骤解决线性规划问题一般可以遵循以下步骤：1. 定义问题：明确问题的目标函数、约束条件和决策变量，并将其转化为标准形式。
2. 建立数学模型：根据问题的实际情况，根据标准形式建立数学模型，将问题转化为求解目标函数最大或最小值的数学问题。
简单的线性规划求最优解
教你如何做出最佳选择——简单的线性规划求最优解在线性约束条件下，求线性目标函数最值问题，称为“线性规划”。
目标函数),(y x f z =取得最值时，变量y x ,的对应解),(y x 称为最优解。
若Z y x ∈,时，z 取得最值，称),(y x 为最优整数解，简称整解。
点),(y x 的横、纵坐标都是整数，称为整点。
求最优整解问题出现在高中数学新教材中，常见的实际应用题型有两种，（1）给出一定数量的人力、物力资源，问怎样安排能使完成的任务量最大，收益最大；（2）给出一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务投入的人力、物力最小。
因为研究的对象是人、物等个体，故y x ,往往是整数，较y x ,不是整数时求解困难，所以这是一个应用数学知识解决实际问题的新难点，加之教材介绍较为笼统简略，对教师和学生的理解掌握造成了一定的困难，针对这一问题，总结两种寻找最优整解的方法与大家探讨。
这两种求解方法分别是：调整优值法(简称调值法)、枚举整点法(简称枚举法)。
调值法是先求非整点最优解，再借助不定方程，调整最优解，最后筛选出最优解；枚举法，因为取得最值的整点分布在可行域内，可从y x ,中选取系数的绝对值较大的一个对其逐一取值，以此为标准分类讨论，取得另一变量的最值，代入目标函数，比较函数值大小，找到最优解。
下面通过几个典型例题，介绍一下这几种方法的具体运用。
例1（调整优值法）要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？解析：设需要第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，钢板总数z 张，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈≥+≥+≥+Ny N x y x y x y x ,273182152 目标函数 z x y =+ 作出可行域如图所示，作出直线0x y +=。
线性规划问题的最优解
线性规划问题的最优解引言线性规划是运筹学的一个基本分支，其应用极其广泛，其作用以为越来越多的人所重视。
线性规划主要就实际问题抽象成数学形式，即求一组变量的值，在满足一定的约束条件下，是某个目标达到最小或最大，而这些约束条件用可以用一组线性不等式或线性方程来表示。
而求得目标函数的最优解尤为重要，本文就线性规划问题的最优解求解方法作出阐述，并举出实例加以强化，同时也指出了线性规划问题应用于生产与运作管理的重要性。
1.线性规划问题的最优解探讨1.1线性规划问题的提出考虑下面的线性规划问题的标准型： 目标函数：CX Z =min (1)约束条件：⎩⎨⎧≥=0X b AX (2)其中，),,,(21n c c c C =,T n x x x X ),,,(21 =,T m b b b b ),,,(21 =,n m ij a A ⨯=)(阶矩阵。
设B 是A 中m 个线性无关的列向量构成的一个基，m m ij a B ⨯=)( 阶矩阵，这样将矩阵A 分成两个部分，即A=),(N B ,X=),(N B X X ,C=()N B C C ,,B X ,B C 为基B 对应的非基变量和系数，N X ,N X 为N 对应的非基变量和系数，这样将线性规划问题改写为：minZ ()N B C C ,=⎥⎦⎤⎢⎣⎡B B X X (3)约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≥=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0),(NB N B X X bX X N B (4)经过矩阵变换，得出关于基B 的标准型如下：1min -=B C Z B +(N C -1-B C B N)N X (5)约束条件：⎩⎨⎧≥=+--0,11NB N B X X bB NX B X (6)T m b b b b B ),,,(''21'1 =-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=++++++-mnmm mm nm m n m m a a a a a a a a a N B2122212121111 将（5）（6）展开为：=Z min '1i mi i b c ∑=+∑+=nm j 1('1ij mi i j a c c ∑=-)j x (7)约束条件：i nm j j iji b x ax '1'=+∑+= ,m i ,,2,1 = (8)0≥j x ,n j ,,2,1 = (9)令 '10i mi i b c Z ∑== , =j σ'1ij mi i j a c c ∑=- ,n m m j ,,2,1 ++= ,称j σ为检验数。
线性规划问题的最优解
线性规划问题的最优解引言线性规划是运筹学的一个基本分支，其应用极其广泛，其作用以为越来越多的人所重视。
线性规划主要就实际问题抽象成数学形式，即求一组变量的值，在满足一定的约束条件下，是某个目标达到最小或最大，而这些约束条件用可以用一组线性不等式或线性方程来表示。
而求得目标函数的最优解尤为重要，本文就线性规划问题的最优解求解方法作出阐述，并举出实例加以强化，同时也指出了线性规划问题应用于生产与运作管理的重要性。
1.线性规划问题的最优解探讨1.1线性规划问题的提出考虑下面的线性规划问题的标准型： 目标函数：CX Z =min (1)约束条件：⎩⎨⎧≥=0X b AX (2)其中，),,,(21n c c c C =,T n x x x X ),,,(21 =,T m b b b b ),,,(21 =,n m ij a A ⨯=)(阶矩阵。
设B 是A 中m 个线性无关的列向量构成的一个基，m m ij a B ⨯=)( 阶矩阵，这样将矩阵A 分成两个部分，即A=),(N B ,X=),(N B X X ,C=()N B C C ,,B X ,B C 为基B 对应的非基变量和系数，N X ,N X 为N 对应的非基变量和系数，这样将线性规划问题改写为：minZ ()N B C C ,=⎥⎦⎤⎢⎣⎡B B X X (3)约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≥=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0),(NB N B X X bX X N B (4)经过矩阵变换，得出关于基B 的标准型如下：1min -=B C Z B +(N C -1-B C B N)N X (5)约束条件：⎩⎨⎧≥=+--0,11NB N B X X bB NX B X (6)T m b b b b B ),,,(''21'1 =-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=++++++-mnmm mm nm m n m m a a a a a a a a a N B2122212121111 将（5）（6）展开为：=Z min '1i mi i b c ∑=+∑+=nm j 1('1ij mi i j a c c ∑=-)j x (7)约束条件：i nm j j iji b x ax '1'=+∑+= ,m i ,,2,1 = (8)0≥j x ,n j ,,2,1 = (9)令 '10i mi i b c Z ∑== , =j σ'1ij mi i j a c c ∑=- ,n m m j ,,2,1 ++= ,称j σ为检验数。
线性规划问题的解法与最优解分析
线性规划问题的解法与最优解分析线性规划是一种数学建模方法，用于解决最优化问题。
它在工程、经济学、管理学等领域有着广泛的应用。
本文将介绍线性规划问题的解法和最优解分析。
一、线性规划问题的定义线性规划问题是指在一定的约束条件下，求解一个线性目标函数的最大值或最小值的问题。
线性规划问题的数学模型可以表示为：max/min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙsubject toa₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0其中，Z表示目标函数的值，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数中的系数，a₁₁,a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件中的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件中的常数，x₁,x₂, ..., xₙ为决策变量。
二、线性规划问题的解法线性规划问题的解法主要有两种：图形法和单纯形法。
1. 图形法图形法适用于二维或三维的线性规划问题。
它通过绘制约束条件的直线或平面以及目标函数的等高线或等高面，来确定最优解。
首先，将约束条件转化为不等式，并将其绘制在坐标系上。
然后，确定目标函数的等高线或等高面，并绘制在坐标系上。
最后，通过观察等高线或等高面与约束条件的交点，找到最优解。
图形法简单直观，但只适用于低维的线性规划问题。
2. 单纯形法单纯形法是一种迭代的求解方法，适用于高维的线性规划问题。
它通过在可行域内不断移动，直到找到最优解。
单纯形法的基本思想是从初始可行解开始，每次通过找到一个更优的可行解来逼近最优解。
它通过选择一个基本变量和非基本变量，来构造一个新的可行解。
然后，通过计算目标函数的值来判断是否找到了最优解。
如果没有找到最优解，则继续迭代，直到找到最优解为止。
单纯形法是一种高效的求解线性规划问题的方法，但对于大规模的问题，计算量会很大。
数学线性规划解题技巧
数学线性规划解题技巧数学线性规划解题技巧_解数学线性规划技巧分享控制自己的情绪，保持冷静客观。
练习思维跳跃，拓展思维方式。
对已有知识进行组合和重组，寻找新的解决方法。
下面就让小编给大家带来数学线性规划解题技巧，希望大家喜欢!高数学线性规划解题技巧常用的途径有(一)、充分联想回忆基本知识和题型：按照波利亚的观点，在解决问题之前，我们应充分联想和回忆与原有问题相同或相似的知识点和题型，充分利用相似问题中的方式、方法和结论，从而解决现有的问题。
(二)、全方位、多角度分析题意：对于同一道数学题，常常可以不同的侧面、不同的角度去认识。
因此，根据自己的知识和经验，适时调整分析问题的视角，有助于更好地把握题意，找到自己熟悉的解题方向。
(三)恰当构造辅助元素：数学中，同一素材的题目，常常可以有不同的表现形式;条件与结论(或问题)之间，也存在着多种联系方式。
因此，恰当构造辅助元素，有助于改变题目的形式，沟通条件与结论(或条件与问题)的内在联系，把陌生题转化为熟悉题。
数学解题中，构造的辅助元素是多种多样的，常见的有构造图形(点、线、面、体)，构造算法，构造多项式，构造方程(组)，构造坐标系，构造数列，构造行列式，构造等价性命题，构造反例，构造数学模型等等。
数学线性规划解题实战运用所谓简单化策略，就是当我们面临的是一道结构复杂、难以入手的题目时，要设法把转化为一道或几道比较简单、易于解答的新题，以便通过对新题的考察，启迪解题思路，以简驭繁，解出原题。
简单化是熟悉化的补充和发挥。
一般说来，我们对于简单问题往往比较熟悉或容易熟悉。
因此，在实际解题时，这两种策略常常是结合在一起进行的，只是着眼点有所不同而已。
解题中，实施简单化策略的途径是多方面的，常用的有: 寻求中间环节，分类考察讨论，简化已知条件，恰当分解结论等。
1、寻求中间环节，挖掘隐含条件：在些结构复杂的综合题，就其生成背景而论，大多是由若干比较简单的基本题，经过适当组合抽去中间环节而构成的。
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教你如何做出最佳选择
——简单的线性规划求最优解
在线性约束条件下，求线性目标函数最值问题，称为“线性规划”。
目标函数),(y x f z =取得最值时，变量y x ,的对应解),(y x 称为最优解。
若Z y x ∈,时，z 取得最值，称),(y x 为最优整数解，简称整解。
点),(y x 的横、纵坐标都是整数，称为整点。
求最优整解问题出现在高中数学新教材中，常见的实际应用题型有两种，（1）给出一定数量的人力、物力资源，问怎样安排能使完成的任务量最大，收益最大；
（2）给出一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务投入的人力、物力最小。
因为研究的对象是人、物等个体，故y x ,往往是整数，较y x ,不是整数时求解困难，所以这是一个应用数学知识解决实际问题的新难点，加之教材介绍较为笼统简略，对教师和学生的理解掌握造成了一定的困难，针对这一问题，总结两种寻找最优整解的方法与大家探讨。
这两种求解方法分别是：调整优值法(简称调值法)、枚举整点法(简称枚举法)。
调值法是先求非整点最优解，再借助不定方程，调整最优解，最后筛选出最优解；枚举法，因为取得最值的整点分布在可行域内，可从y x ,中选取系数的绝对值较大的一个对其逐一取值，以此为标准分类讨论，取得另一变量的最值，代入目标函数，比较函数值大小，找到最优解。
下面通过几个典型例题，介绍一下这几种方法的具体运用。
例1（调整优值法）要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
今需A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？
解析：设需要第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，钢板总数z 张，则
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈≥+≥+≥+N
y N x y x y x y x ,27
3182152 目标函数 z x y =+ 作出可行域如图所示，作出直线0x y +=。
作出一组平行直线x y t +=（其中t 为参数）。
其中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，经过直线 273=+y x 和
直线 152=+y x 的交点1839(,)55A ，直线方程为5
57=+y x 。
由于185和395
都不是整数，而最优解(),x y 中，,x y 必须都是整数，所以，可行域内点1839(,)55
A 不是最优解。
经过可行域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），且与原点距离最近的直线是12x y +=。
经过的整点是B （3，9）和C(4，8)，它们是最优解。
故要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种，第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张。
两种方法都最少要截两种钢板共12张。
点评：在解线性规划问题时，常有一些实际问题需要变量取整数解时才有实际意义，而当可行域中的最优解不是整数解时，需作出可行域的整点作出判断。
当直接观察比较困难时，应对可能的情况进行检验。
线性规划整数解问题的一般处理方法是：若区域“顶点”处恰为整点，那么它的最优解在“顶点”处取得（在包括边界的情况下）；若区域的“顶点”不是整数点也不包括边界时，可以先算出目标函数z 的值，在可行域内适当放缩目标函数的值，使他为整数，且与z 最接近，在这条对应的直线，取可行域内的整点。
如果没有整点，继续放缩，直至取到整点为止。
这种
方法称为调整优值法。
也可以通过画出网格，平移直线，运用图解法求得。
例2(枚举法) 某人有楼房一栋，室内面积共180 2m ,拟分隔成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为18 2m ，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元，小房间每间面积为15 2m ，可住旅客3名，每名游客每天住宿费为50元，装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元，如果他只能筹款8000元用于装修，且假设游客能住满客房，它隔出大房间和小房间各多少间会获得最大收益？最大收益是多少？
解：设隔出大、小房间分别为x 间，y 间，收益为f 元，
则200150f x y =+，其中,x y 满足6560534000
x y x y x y ì+?ïïïï+?ïíï³ïïï³ïî 如图所示，由图解法易得200150f x y =+，过点2060,77
骣÷ç÷ç÷ç桫时，目标函数f 取得最大值。
但,x y 必须是整数，还需在可行区域内找出使目标函数f 取得最大值的整点。
显然目标函数f 取得最大值的整点一定是分布在可行区域的右上侧，则利用枚举法即可求出整点最优值。
这些整点有：(0, 12), (1, 10),(2, 9), (3, 8), (4, 6), (5, 5), (6, 3), (7,1 ), (8, 0)，分别代入200150f x y =+。
逐一验证，当取整点(0, 12)或(3, 8)时，获得最大收益。
所以获得最大收益有两种方案：I ．只隔出小房间12间。
II ．隔出大房间3间，小房间8间，最大收益均为1800元。
注：如果把装修考虑在内，则选择第一方案好。
枚举整点法的主要步骤是验算-筛选，而优值调整法更注重推理计算。
它们的共同步骤是：1. 建模(审题、设元、列式)，2.
求解（画图、移线、求解），
3.检验（还原）。
总之，对于线性规划实际应用题，应采用数形结合的思想来分析、解答，各种方法各有利弊，在使用时要根据题设条件选用适当的方法解答。