重理工线性代数期末试卷2009-2010年
【期末试题】2018-2019秋线性代数(理工)
三、证明题（共 19 分）
1. （7 分）证明：向量组 ������1, ������2, ������3 线性无关的充分必要条件是向量组 ������1 + ������2, ������2 + ������3, ������3 + ������1 线性无关. 2.（6 分）设方阵 ������ 使得 ������3 = 2������, 证明 ������2 − ������ 可逆，并求 ������2 − ������ 的逆矩阵. 3.（6 分）设 ������ 阶方阵 ������ 满足 ������2 = ������. 则 ������ 是齐次线性方程组 ������������ = 0 解的充分必要条件 为：存在向量 ������ 使得 ������ = ������ − ������������.
0
相似,
则
������������ =
__________.
1 2 3 4 0 0 4 y
1 0 0
x
0
0
1
1
110 2. 若存在3维列向量不能由向量组 (0) , (������) , (2) 线性表出，则 ������ = __________.
121
1 2 4 ������1 3. 若二次型 (������1, ������2, ������3) (0 2 2) (������2) 正定，则 ������ 的取值范围为 __________.
0 0 ������ ������3 4. 设������为3阶实对称阵,������2 − ������ = 2������, ������������(������) = 0,则二次型 ������������������������ 的规范形为 __________.
线性代数期末考试试卷+答案合集
d (x a b c d) 0 x 0 0 (x a b c d)x3
d
00 x 0
1 b c xd
000 x
3 0 1 2. 设 AB A 2B ，且 A 1 1 0, 求 B 。
0 1 4
解. ( A 2E)B A
2 1 1
5 2 2
(A
2E) 1
2
。
1 2 1 x1 1
7、已知方程组 2 3 a 2 x2 3 无解，则 a
。
1 a 2 x3 4
8 、 二 次 型 f (x1, x2 , x3) 2x12 3x22 tx32 2x1x2 2x1x3 是 正 定 的 ， 则 t 的 取 值 范 围
是
。
三、计算题（本题共 2 小题，每题 8 分，满分 16 分）
0 1 y
按第三列展开得
D xy x 0 x 2y 2 。 1y
（4 分）
（4 分）
10、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子
n i 1
xi
3
，再通过行列式的变换化
为上三角形行列式
1 x2 xn
Dn
n i 1
xi
3
1
x2 3
xn
1 x2 xn 3
（4 分）
1 x2 xn
共 3 页第 7页
(2) 4 不能由1,2 ,3 线性表出。
大学生校园网— 线性代数 综合测试题
12、设 A 是 n 阶矩方阵， E 是 n 阶单位矩阵， A E 可逆，且 f ( A) (E A)(E A) 1 。 证明 （1） (E f ( A))(E A) 2E ； （2） f ( f (A)) A 。
2
重庆理工大学 2012~2013-1 线性代数(理工)A卷(A4)
）
7、已知向量组 α1 , α 2 , α 3 线性无关，则下列向量组中线性相关的是 ( （A） α1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 + α1 （C） α1 − α 2 , α 2 − α 3 , α 3 − α1 （B） α1 , α1; α 3 （D） α1 ,3α 3 , α1 − 2α 2
-3-
重庆理工大学考试试卷
2012～ 2013 学年第一学期
一、单项选择（每小题 2 分，共 20 分）
1、若 a1i a24 a3 j a41a55 a66 是六阶行列式中带正号的一项，则 i, j 之值为（ （A） i = 1, j = 3 （B） i = 2, j = 3 2、设行列式 D1 = （C） i = 1, j = 2 （D） = i 3, = j 2 ）.
四、证明题 (每小题 5 分，共 10 分)
1、设 A2 + 6 A + 8 E = 0 ，且 A 为 n 阶对称阵，证明 A + 3E 为正交阵.
2、设向量组 α1 , α 2 , , α r 线性无关， β1 = α1 , β 2 = α1 + α 2 , , β r = α1 + α 2 + + α r 证明：向量 组 β1 , β 2 , , β r 线性无关.
0 −2 −4 1 −3 −7 的列向量组 α1 , α 2 , α 3 , α 4 , α 5 的一个最大线 8 3 0 7 4 3 性无关组，并把不属于最大线性无关组的列向量用该最大线性无关组线性表示。 （8 分）
8、求一个正交变换 x = Py ，把二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x12 + 3 x2 2 + 3 x 23 + 4 x2 x3 化为标准形。 （8 分）
重庆理工大学线性代数09年试卷答案
线性代数（A 卷）参考答案与评分标准一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）。
D B B A A, D A D D B二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11. ()2,3 12. 720310001-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭13. 1- 14. 3 15. 216. 3 17. 3 18. 4 19.1()3A E - 20. 0 三、求解下列各题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）21. 14333133314533153314143531353143351335D == （4分）100012001411210201002== （8分） 22.111111111022124401330133235501330000A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（4分） 所以，基础解系为122233,1001ξξ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（8分）23. ()123410311031131033021*******21400224αααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭10311030011001100000000100010000⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭（4分）向量组的秩为3，最大线性无关组是124,,ααα，3123ααα=+ （8分）24. ()110121*********,011010101101011001100011000110A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=---- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（4分） 所以，1031110X A B -⎛⎫⎪==- ⎪⎪⎝⎭（8分）25.特征矩阵为 31(4)(10)711A E λλλλλ---==---特征值为 124,10λλ== （4分） 当14,λ=解方程(4)0A E x -=。
由 111147700A E --⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭基础解系，111ξ-⎛⎫=⎪⎝⎭，所以，111(0)k k ξ=是对应于14λ=的全部特征向量。
线性代数期末考试试卷+答案合集
×××大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。
2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。
3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。
4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。
5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。
二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。
每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。
（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
（ ）3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。
（ ）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ，则A A =-1。
（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。
( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。
每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。
① n2② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。
① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示④ s ααα，，， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。
(完整word版)线性代数期末考试试卷+答案合集
×××大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。
2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。
3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。
4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。
5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。
二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。
每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。
（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
（ ）3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。
（ ）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ，则A A =-1。
（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。
( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。
每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。
① n2② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。
① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示④ s ααα，，， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。
重庆理工大学线性代数习题册答案
三、1、 -2， 2， 1
2、-1，-2， 1
3、 -288
4、 4
5、 3， 2， 1
5 4 6
四、 a 0,
A
3
3
3
7 6 8
五、 a 2(a 2舍去) ，
0
1
0
所用的正交变换矩阵为：
Q
1 2
0
1
2
1 2
0
1 2
六、特征向量为 1 1
1T
自测题一参考答案
一、单项选择题
4+213 2731
-4-211
=
-683
2732
-684
习题六
一、判断题 (1) √； (2) √。 二、单项选择题 (1) C； (2) B。
三、填空题 (1) 1, 0 ；(2) 1。
四、计算题
1、
(1)
r
(
A)
2
，
0 1
1
2
；(2)
r(B)
2
，
1 1
1
2
。
7
2、
6 1
2 3 1
3 2
2
1
0
1
2
2
27 9
3、
46
17
32 11
1 2
3k
4、 A 0 2(k 1)
3(k 1)
，于是有
0 0 (k 2)(k 1)
0 0
0
(1) k 1；(2) k 2 ；(3) k 1, 2
五、略
习题七
一、单项选择题 (1) D；（2）B；(3) D。
复习题三
一、
1、 1 2
重庆理工大学线性代数期末考试09-10(附答案)
- 1 -重庆理工大学考试试卷09～ 10 学年第 一 学期班级 学号 姓名 考试科目 大学物理 B 卷 闭卷 共 3 页 ···································· 密························封························线································学生答题不得超过此线一、选择题（30分，每题3分）得分 评卷人1、一点电荷，放在球形高斯面的中心处．下列哪一种情况，通过高斯面的电场强度通量发生变化： (A) 将另一点电荷放在高斯面外． (B) 将另一点电荷放进高斯面内． (C) 将球心处的点电荷移开，但仍在高斯面内．(D) 将高斯面半径缩小． ［ ］2、如图所示，CDEF 为一矩形，边长分别为l 和2l ．在DC 延长线上CA ＝l 处的A 点有点电荷＋q ， 在CF 的中点B 点有点电荷-q ，若使单位正电荷从C 点沿CDEF 路径运动到F 点，则电场力所作的 功等于： (A) l l q --⋅π51540ε ． (B) 55140-⋅πl q ε (C)31340-⋅πl q ε ． (D) 51540-⋅πl q ε． ［ ］3、在匀强磁场中，有两个平面线圈，其面积A 1 = 2 A 2，通有电流I 1 = 2 I 2，它们所受的最大磁力矩之比M 1 / M 2等于 (A) 1． (B) 2．(C) 4． (D) 1/4． ［ ］4、 如图所示，一载流螺线管的旁边有一圆形线圈，欲使线圈产生图示方向的感应电流i ，下 列哪一种情况可以做到？ (A) 载流螺线管向线圈靠近． (B) 载流螺线管离开线圈．(C) 载流螺线管中电流增大．(D) 载流螺线管中插入铁芯． ［ ］5、已知一螺绕环的自感系数为L ．若将该螺绕环锯成两个半环式的螺线管，则两个半环螺线管的自感系数(A) 都等于L 21． (B) 有一个大于L 21，另一个小于L 21．(C) 都大于L 21． (D) 都小于L 21． ［ ］6、 如图，平板电容器(忽略边缘效应)充电时，沿环路L 1的磁场强度H 的环流与沿环路L 2的磁场强度H的环流两者，必有：(A) >'⎰⋅1d L l H ⎰⋅'2d L l H.(B) ='⎰⋅1d L l H ⎰⋅'2d L l H. (C) <'⎰⋅1d L l H⎰⋅'2d L l H.(D) 0d 1='⎰⋅L l H . ［ ］题号 一 二 三 四 五 六 总分 总分人 分数A +q -qB EF C D ll l lHL 1L 2iI- 2 -重庆工学院考试试卷06～ 07 学年第 一 学期班级 学号 姓名 考试科目 大学物理 B 卷 闭卷 共 3 页 ···································· 密························封························线································学生答题不得超过此线 7、 如图所示，平行单色光垂直照射到薄膜上，经上下两表面反射的两束光发生干涉，若薄膜的厚度为e ，并且 n 1＜n 2＞n 3，λ1为入射光在折射率为n 1的媒质中的波长，则两束反射光在相遇点的 相位差为(A) 2πn 2e / ( n 1 λ1)． (B)[4πn 1e / ( n 2 λ1)] + π． (C) [4πn 2e / ( n 1 λ1) ]+ π． (D) 4πn 2e / ( n 1 λ1)． ［ ］8、 在图示三种透明材料构成的牛顿环装置中，用单色光垂直照射，在反射光中看到干涉条纹，则在接触点P 处形成的圆斑为 (A) 全明．(B) 全暗．(C) 右半部明，左半部暗．(D) 右半部暗，左半部明． ［ ］9、一束白光垂直照射在一光栅上，在形成的同一级光栅光谱中，偏离中央明纹最远的是 (A) 紫光． (B) 绿光． (C) 黄光． (D) 红光． ［ ］10、 两偏振片堆叠在一起，一束自然光垂直入射其上时没有光线通过．当其中一偏振片慢慢转动180°时透射光强度发生的变化为：(A) 光强单调增加．(B) 光强先增加，后又减小至零． (C) 光强先增加，后减小，再增加(D) 光强先增加，然后减小，再增加，再减小至零． ［ ］二、填空题（26分）得分 评卷人11、（3分）一平行板电容器充电后切断电源，若使二极板间距离增加，则二极板间场强________________，电容____________________． (填增大或减小或不变) 12、（3分）真空中均匀带电的球面和球体，如果两者的半径和总电荷都相等，则带电球面的电场能量W 1与带电球体的电场能量W 2相比，W 1________ W 2 (填<、=、>)． 13、（3分）如图，在无限长直载流导线的右侧有面积为S 1和S 2的两个矩形回路．两个回路与长直载流导线在同一平面，且矩形回路的一边与长直载流导线平行．则通过面积为S 1的矩形回路的磁通量与通过面积为S 2的矩形回路的磁通量之比为____________．14、（4分）一个单位长度上密绕有n 匝线圈的长直螺线管，每匝线圈中通有强度为I 的电流，管内充满相对磁导率为μr 的磁介质，则管内中部附近磁感强度B =__________________，磁场强度H =__________________．15、（3分） 图示为三种不同的磁介质的B ~H 关系曲线，其中虚线表示的是B = μ0H 的关系．说明a 、b 、c 各代表哪一类磁介质的B ~H 关系曲线：a 代表______________________________的B ~H 关系曲线．b 代表______________________________的B ~H 关系曲线．c 代表______________________________的B ~H 关系曲线．16、（4分）如图，在双缝干涉实验中，若把一厚度为e 、折射率为n 的薄云母片覆盖在S 1缝上，中央明条 纹将向__________移动；覆盖云母片后，两束相干光至原中央明纹O 处的光程差为__________________．P 1.52 1.75 1.52 图中数字为各处的折射λ 1.621.62n 1 n 2n 3e λ1S 1 S 2 a a2a O S S 1S 2 e屏21SS SS =0 H Ba bc- 3 -重庆工学院考试试卷06～ 07 学年第 一 学期班级 学号 姓名 考试科目 大学物理 B 卷 闭卷 共 3 页 ···································· 密························封························线································学生答题不得超过此线17、（3分）波长为λ的单色光垂直入射在缝宽a =4 λ的单缝上．对应于衍射角ϕ=30°，单缝处的波面可划分为_______个半波带．18、（3分）自然光以入射角57°由空气投射于一块平板玻璃面上，反射光为完全线偏振光，则折射角为____________．三、计算题（44分）得分 评卷人 19、（8分）一半径为R 的带电球体，其电荷体密度分布为4πRqr =ρ (r ≤R ) (q 为一正的常量) ρ = 0 (r >R )试求：(1) 球内、外各点的电场强度；(2) 球内、外各点的电势．20、（8分）通有电流Ｉ的长直导线在一平面内被弯成如图形状，放于垂直进入纸面的均匀磁场B 中，求整 个导线所受的安培力(R 为已知)．21、（10分）如图所示，一根长为L 的金属细杆ab 绕竖直轴O 1O 2以角速度ω在水平面内旋转．O 1O 2 在离细杆a 端L /5处．若已知地磁场在竖直方向的分量为B．求ab 两端间的电势差b a U U -． 22、（10分）薄钢片上有两条紧靠的平行细缝，用波长λ＝546.1 nm (1 nm=10-9m)的平面光波正入射到钢片上． 屏幕距双缝的距离为D ＝2.00 m ，测得中央明条纹两侧的第五级明条纹间的距离为∆x ＝12.0 mm ． (1) 求两缝间的距离．(2) 从任一明条纹(记作0)向一边数到第20条明条纹，共经过多大距离？ 23、（8分）用一束具有两种波长的平行光垂直入射在光栅上，λ1=600 nm ，λ2=400 nm (1nm=10﹣9m)，发现距中央明纹5 cm 处λ1光的第k 级主极大和λ2光的第(k +1)级主极大相重合，放置在光栅与屏之间的透镜的焦距f =50 cm ，试问： (1) 上述k =？ (2) 光栅常数d =？R II⊗⊗⊗ ⊗B a bO 1O 2OL /5 ω B- 4 -B 卷答案及评分标准一、选择题（共30分） 1 2 3 45678910B DC BD C C D D B二、填空题（共25分）11 不变 1分减小 2分 12 < 2分 13 1∶1 3分 14 μ0 μr nI2分nI 2分15 铁磁质 1分顺磁质 1分抗磁质 1分16 上 2分(n -1)e 2分17 4 3分 18 33° 3分三、计算题（共40分）19解：(1) 在球内作一半径为r 1的高斯球面，按高斯定理有404102401211d 414Rqr r r R qr E r r εε=π⋅π=π⎰ 得 402114R qr E επ= (r 1≤R)，1E 方向沿半径向外． 2分在球体外作半径为r 2的高斯球面，按高斯定理有 0222/4εq E r =π得 22024r qE επ=(r 2 >R )，2E方向沿半径向外． 2分(2) 球内电势⎰⎰∞⋅+⋅=RR r r E r E Ud d 2111⎰⎰∞π+π=R R r r r q r R qr d 4d 4204021εε 40310123R qr R qεεπ-π=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-π=3310412R r R q ε ()R r ≤1 3分 球外电势2020224d 4d 22r qr r q r E U r Rr εεπ=π=⋅=⎰⎰∞ ()R r >2 2分20 解：长直导线AC 和BD 受力大小相等,方向相反且在同一直线上，故合力为零．现计算半圆部分受力，取电流元l Id ，B l I F⨯=d d 即 θd d IRB F = 2分 由于对称性 0d =∑x F∴ RIB IRB F F F y y 2d sin d 0====⎰⎰πθθ 3分方向沿y 轴正向 21 解：Ob 间的动生电动势：⎰⎰=⋅⨯=5/405/401d d )L L l Bl l B ωv (☜225016)54(21BL L B ωω== 4分 b 点电势高于O 点．Oa 间的动生电动势：⎰⎰⋅=⨯=5/05/02d d )L L l Bl l B ωv (☜22501)51(21BL L B ωω== 4分a 点电势高于O 点．∴ 22125016501BL BL U U b a ωω-=-=-☜☜221035015BL BL ωω-=-= 2分 22解：(1) x ＝ 2kD λ / dI Iyx A B CDd θθ d F x d F y 1F2FF d B- 5 -d = 2kD λ /∆x 2分此处 k ＝５∴ d ＝10 D λ / ∆x ＝0.910 mm 2分(2) 共经过20个条纹间距，即经过的距离l ＝20 D λ / d ＝24 mm 2分 (3) 不变 2分23解：(1) 由题意,λ1的k 级与λ2的(k +1)级谱线相重合所以d sin ϕ1=k λ1，d sin ϕ1=(k+1) λ2 ,或 k λ1 = (k +1) λ2 3分2212=-=λλλk 1分(2) 因x / f 很小， tg ϕ1≈sin ϕ1≈x / f 2分 ∴ d = k λ1 f / x=1.2 ×10-3 cm 2分。
线性代数期末考试题库及答案
2、n2, 当 n 为偶数时为偶排列，当 n 为奇数时为奇排列. 4、29.
1、12.
2、 x2 y2 .
4
∑ 3、 x = 0 或 − ai . i =1
4、 λ = ±1, 2 .
三、证明题
证明提示: 由于 f(x)是关于 x 的二次多项式，在[0，1]中可导，又可计算出 f (0) = f (1) = 0 ，
3、解方程 D4( x) =
a1 a1
a1 + x
a2 a2 a2 + x a2
a3 a3 + x
a3 a3
a4 + x a4 = 0 . a4 a4
4、已知下列齐次线性方程组有非零解，求参数λ的值。
（5
− λ）x1 −6 x1
−4 x2 +(7 − λ )x2
−7 x3 +11x3
=0 =0
6 x1
（B）若 AX=0有非零解，则 AX=b有无穷多解；
（C）若 AX=b有无穷多个解，则 AX=0仅有零解；
（D）若 AX=b有无穷多个解，则 AX=0有非零解。
（7）非齐次线性方程组 AX=b中未知量个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵 A的秩为 r，则
（）
（A）r=m时，方程组 AX=b有解； （B）r=n时，方程组 AX=b有唯一解；
《线性代数》补充练习二
一、选择题：
（1）设 n阶方阵 A的秩 r<n，则在 A的 n个行向量中（ ）
（A）必有 r个行向量线性无关； （B）任意 r个行向量均可构成极大无关组；
（C）任意 r个行向量均线性无关；（D）任一个行向量均可由其他 r个行向量线性表示
（2）若向量组α，β，γ线性无关；α，β，δ线性相关，则（ ）
重庆理工大学线性代数(A卷)2009年4月
共
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）
A2 = 0
）
C. A = 0
T
D. | A |= 0
⎛1 2⎞ ⎟ ，则矩阵 A 的伴随矩阵 A* = （ ⎝ 4 3⎠
B. ⎜
A. ⎜
⎛ 3 2⎞ ⎟ ⎝4 1⎠
⎛ 3 −2 ⎞ ⎟ ⎝ −4 1 ⎠
C. ⎜
⎛ 3 4⎞ ⎟ ⎝2 1⎠
）
D. ⎜
⎛ 3 −4 ⎞ ⎟ ⎝ −2 1 ⎠
3. 设 A 为 5 × 6 矩阵，若秩( A )=3，则齐次线性方程组 Ax = 0 的基础解系中包含的解向量的个数是（
三、求解下列各题（本大题共 6 小题，每小题 8 分，共 48 分） 。
5 3 21．计算行列式 D = 3 3
3 5 3 3
3 3 5 3
3 3 . 3 5
⎧ x1 + x2 + x3 + x4 = 0 ⎪ 22. 求齐次线性方程组 ⎨ x1 + 2 x2 + 4 x3 + 4 x4 = 0 的一个基础解系. ⎪2 x + 3x + 5 x + 5 x = 0 2 3 4 ⎩ 1
B. 0
C. 2
）
D. 6
⎛1 2⎞ =⎜ ⎟ ，则 A =（ ⎝3 4⎠
−1
⎛1 2⎞ A． 2 ⎜ ⎜3 4⎟ ⎟ ⎝ ⎠
⎛1 2⎞ B．2 ⎜ ⎜3 4⎟ ⎟ ⎝ ⎠
1 ⎛1 2⎞ ⎟ C． ⎜ ⎟ 2⎜ ⎝ 3 4⎠
） C．7 ） C． A 可逆，且 A−1 = A ） C. 2 E − A
)
5. 已设 3 阶方阵 A = (α1 , α 2 , α 3 ) ，其中 α i (i = 1, 2,3) 为 A 的列向量，且 | A |= 2 ， B = (α1 + 3α 2 , α 3 , α 2 ) ，则 | B | =(
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2009～2010学年第一学期 线性代数（经济类） A 卷
一、单项选择题
1. 下列说法错误的是（ ）
A . 一阶行列式a 的值即a B. 二阶行列式可用划线法计算，要算两项之差
C. 三阶行列式可用划线法计算，要算六项之和差
D. 四阶行列式可用划线法计算，要算八项之和差
2. 对行列式实行下列哪种变换，不会改变行列式的值（ ）
A. 转置
B. 交换某两行
C. 某行乘以一个常数
D. 所有元素乘以一个常数
3. 有矩阵23⨯A ，23⨯B ，22⨯C ，则下列计算可行的是（ ） A. AB B. CA C. B A + D. T B A +
4. A 为4阶方阵，2)(=A R ，则A 中元素11a 的代数余子式=（ ）
A . 0 B. 1 C. 2 D. 4
5. A 、B 都是n 阶方阵，下列正确的是( )
A. k k k B A AB =)(（k 为正整数）
B. T T T A B AB =)(
C. ))((22B A B A B A -+=-
D. 2222)(B AB A B A ++=+ 6. A 可逆，下列错误的是（ ）
A ．A 一定是方阵
B ．O A ≠
C ．A 是满秩矩阵
D ．A 的行向量组线性相关
7. 设n m A ⨯，则非齐次线性方程组b AX =有唯一解的充分必要条件是（ ）
A ．)()|(A R b A R =
B ．n A R b A R ==)()|(
C ．n b A R =)|(
D ．n A R =)(
8. 对n 阶方阵A ，2=A ，则=*AA （ ）
A ．1
B ．2
C ．n 2 D. 12-n
9. 若n 维向量321,,ααα线性无关，则再往该组添加一个n 维向量后得到的向量组4321,,,αααα（ ）
A. 线性无关
B. 线性相关
C. 无法确定
二、填空题 1. 0122000
21-= _______。
2. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-321121113012=_______。
3. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=300002000000001a A ，3)(=A R ，则a =_______。
4..用Cramer （克拉默）法则求方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=+-111231
321321x x x x x x x x 的解，可以得到3x =_______。
5．设矩阵⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=3121A ，则1-A = 。
6. 向量组)1,2,1(1-=α，)0,2,1(2=α，)3,2,(3-=k α；2),,(321=αααR ，则数k ____。
7. 4个三维向量4321,,,αααα一定线性 关。
8.若54⨯A ，线性方程组0=AX ，有3)(=A R ，则0=AX 的基础解系含有 个解。
9．设A 满足O E A A =--422
，则1)(-+E A =_______. 三、求解下列各题
1．已知1
11
2011
11321121
1-=D ，34333231,,,A A A A 是D 第三行元素的代数余子式，计算 34333231A A A A +++。
2.设置)2,1,1(-=α，)1,2,1(-=β，βαT A =，求n A 。
3．求非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+-0211432
431321x x x x x x x x x 的通解。
4. 求矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=462011113511A 的列向量组4321,,,αααα的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。
.
5. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=212011001A ，⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=121121B ，又B AX =，求矩阵X 。
四、证明题
1、设向量组321,,ααα线性无关，证明：向量组321211,,αααααα+-+线性无关.
2、设n 阶方阵A ，B ，有O B ≠，且O AB =。
证明：n A R <)(.。