2013高考数学一轮复习 14.3 坐标系与参数方程精品教学案(学生版)新人教版
高考数学一轮复习 14.3 坐标系与参数方程精品教学案(学生版)新人教版
2013年高考数学一轮复习精品教学案14.3 坐标系与参数方程（新课标人教版，学生版）【考纲解读】1．理解极坐标与直角坐标的互化以及有关圆的极坐标问题． 2．理解直线、圆和圆锥曲线的参数方程以及简单的应用问题．【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.坐标系与参数方程是历年来高考重点内容之一,在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，难度不大，又经常与其它知识结合，在考查基础知识的同时，考查转化与化归等数学思想，以及分析问题、解决问题的能力.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持在选择题、填空题中考查,命题形式会更加灵活. 【要点梳理】1. 极坐标系的概念在平面上取一个定点O 叫做极点；自点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系(如图)．设M 是平面上的任一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的∠xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． 2．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x ≠0.3．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin (θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0； (2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；(3)直线过M ⎝⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b .4．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝2a cos_θ；(3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎪⎫a ，π2，半径为a ：ρ＝2a sin_θ.5．参数方程的意义在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x ，y 都是某个变量的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝ft ，并且对于t 的每个允许值，由方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则该方程叫曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． 6．常见曲线的参数方程的一般形式(1)经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P →的数量．(2)圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)．(3)圆锥曲线的参数方程椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a sec φ，y ＝tan φ(φ为参数)．抛物线y2＝2px 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)．【例题精析】考点一 极坐标例1. (2012年高考湖南卷文科10)在极坐标系中，曲线1C ：(2cos sin )1ρθθ+=与曲线2C ：a ρ=(0)a >的一个交点在极轴上，则a =_______. 【变式训练】1. (2012年高考陕西卷文科15)直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为 。
专题十四 坐标系与参数方程(试题部分) 高考数学(课标版,文科)复习教学案
专题十四坐标系与参数方程探考情悟真题【考情探究】考点 内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点坐标系与 极坐标①了解坐标系的作用及直角坐标系内的伸缩变换;②了解极坐标的概念,会在极坐标系中刻画点的位置,能进行极坐标与直角坐标之间的互相转化;③能在极坐标系中求简单图形的极坐标方程2018课标全国Ⅰ,22,10分 极坐标与直角坐标的互化直线与圆的位置关系 ★★★2017课标全国Ⅱ,22,10分 极坐标与直角坐标的互化三角形的面积 2019课标全国Ⅲ,22,10分极坐标与极坐标方程的求解极坐标的概念2019课标全国Ⅱ,22,10分 求极坐标方程极坐标的概念参数方程了解参数方程及参数的意义,能借助于参数方程与普通方程的互化进一步研究曲线的性质2018课标全国Ⅱ,22,10分参数方程与普通方程的互化直线参数方程的应用 ★★★2018课标全国Ⅲ,22,10分参数方程与普通方程的互化直线与圆的位置关系 2019课标全国Ⅰ,22,10分 参数方程与普通方程的互化极坐标方程与直角坐标方程的互化,参数方程的应用分析解读坐标系与参数方程是高考的选考部分,重点考查直线与圆的极坐标方程,极坐标与直角坐标的互化;直线、圆与椭圆的参数方程以及参数方程与普通方程的互化.本专题内容在高考中以极坐标方程或参数方程为载体,考查直线与圆以及直线与圆锥曲线的位置关系等知识,分值为10分,属于中档题.破考点 练考向 【考点集训】考点一 坐标系与极坐标1.(2020届河北邢台第一次联考,22)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =2cosα,y =2+2sinα(α为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线M 的极坐标方程为ρ2sin 2θ=32(0<θ<π2).(1)求曲线C 的极坐标方程;(2)已知β为锐角,直线l:θ=β(ρ∈R )与曲线C 的交点为A(异于极点),l 与曲线M 的交点为B,若|OA|·|OB|=16√2,求l 的直角坐标方程.答案 (1)由题知曲线C 的直角坐标方程为x 2+(y-2)2=4,(2分)即x 2+y 2=4y.(3分)所以ρ2=4ρsin θ,即ρ=4sin θ,(4分)故曲线C 的极坐标方程为ρ=4sin θ.(5分)(2)因为曲线M 的极坐标方程为ρ2sin 2θ=32(0<θ<π2),所以ρ=√32sin2θ, 将θ=β代入,得|OB|=4√2sin2β.(7分)因为曲线C 的极坐标方程为ρ=4sin θ,所以|OA|=4sin β.(8分) 所以|OA|·|OB|=16√2√sin 2βsin2β=16√tanβ=16√2,(9分)则tan β=2,故l 的直角坐标方程为y=2x.(10分)2.(2019豫南九校联考,22)在直角坐标系xOy 中,直线l:y=√3x,曲线C 1的参数方程为{x =cosα,y =1+sinα(α为参数),M 是C 1上的动点,P 点满足OP⃗⃗⃗⃗⃗ =3OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,P 点的轨迹为曲线C 2. (1)求直线l 与曲线C 2的极坐标方程;(2)在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l 与C 1的异于极点的交点为A,与C 2的异于极点的交点为B,求|AB|. 答案 (1)设P(x,y),则由条件知M (x 3,y 3). 由于M 点在C 1上,所以{x 3=cosα,y3=1+sinα(α为参数),即{x =3cosα,y =3+3sinα(α为参数),(2分) 从而C 2的参数方程为{x =3cosα,y =3+3sinα(α为参数),(3分)则C 2的极坐标方程为ρ=6sin θ.易知直线l 的极坐标方程为θ=π3(ρ∈R ).(5分) (2)易求曲线C 1的极坐标方程为ρ=2sin θ,(6分)因为曲线C 2的极坐标方程为ρ=6sin θ,直线l 的极坐标方程为θ=π3(ρ∈R ), 所以直线l 与曲线C 1的交点A 的极径ρ1=2sin π3.(7分) 直线l 与曲线C 2的交点B 的极径ρ2=6sin π3,(8分) 所以|AB|=|ρ2-ρ1|=4sin π3=2√3.(10分)考点二 参数方程1.(2020届山西长治二中等六校9月联考,22)在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为{x =3+√32t,y =12t(t 为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ=4cos θ. (1)求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程;(2)若直线l 与曲线C 交于A,B 两点,求线段AB 的中点P 到坐标原点O 的距离. 答案 (1)将t=2y 代入x=3+√32t,整理得x-√3y-3=0,所以直线l 的普通方程为x-√3y-3=0. 由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ,将ρ2=x 2+y 2,ρcos θ=x 代入ρ2=4ρcos θ,得x 2+y 2-4x=0,即曲线C 的直角坐标方程为(x-2)2+y 2=4.(2)设A,B 对应的参数分别为t 1,t 2.将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得(3+√32t -2)2+(12t)2=4,化简得t 2+√3t-3=0,由根与系数的关系得t 1+t 2=-√3,于是t P =t 1+t 22=-√32. 设P(x 0,y 0),则{x 0=3+√32×(-√32)=94,y 0=12×(-√32)=-√34,即P (94,-√34).所以点P 到原点O 的距离为√(94)2+(-√34)2=√212.2.(2018湖南湘潭三模,22)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1:x 2+y 2=1经过伸缩变换{x'=2x,y'=y 后得到曲线C 2,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 3的极坐标方程为ρ=-2sin θ. (1)求曲线C 2,C 3的参数方程;(2)若P,Q 分别是曲线C 2,C 3上的动点,求|PQ|的最大值.答案 (1)∵曲线C 1:x 2+y 2=1经过伸缩变换{x'=2x,y'=y 后得到曲线C 2,∴曲线C 2的方程为x 24+y 2=1,∴曲线C 2的参数方程为{x =2cosα,y =sinα(α为参数).∵曲线C 3的极坐标方程为ρ=-2sin θ,即ρ2=-2ρsin θ, ∴曲线C 3的直角坐标方程为x 2+y 2=-2y,即x 2+(y+1)2=1, ∴曲线C 3的参数方程为{x =cosβ,y =-1+sinβ(β为参数).(2)设P(2cos α,sin α),则P 到曲线C 3的圆心(0,-1)的距离d=√4cos 2α+(sinα+1)2=√-3(sinα-13)2+163. ∵sin α∈[-1,1], ∴当sin α=13时,d max =4√33. ∴|PQ|max =d max +r=4√33+1=4√3+33.炼技法 提能力 【方法集训】方法1 极坐标方程与直角坐标方程的互化方法1.(2019河北唐山二模,22)在直角坐标系xOy 中,圆C 1:(x-1)2+y 2=1,圆C 2:(x+2)2+y 2=4.以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆C 1,C 2的极坐标方程;(2)设A,B 分别为C 1,C 2上的点,若△OAB 为等边三角形,求|AB|. 答案 (1)因为圆C 1:(x-1)2+y 2=1,圆C 2:(x+2)2+y 2=4,所以C 1:x 2+y 2=2x,C 2:x 2+y 2=-4x,因为x 2+y 2=ρ2,x=ρcos θ,所以C 1:ρ=2cos θ,C 2:ρ=-4cos θ.(4分)(2)因为圆C 1,C 2都关于x 轴对称,△OAB 为等边三角形, 所以不妨设A(ρA ,θ),B (ρB ,θ+π3),0<θ<π2. 依题意可得,ρA =2cos θ,ρB =-4cos (θ+π3).(6分) 从而2cos θ=-4cos (θ+π3),整理得,2cos θ=√3sin θ, 所以tan θ=2√33,(8分)又因为0<θ<π2,所以cos θ=√217,|AB|=|OA|=ρA =2√217.(10分)2.(2017课标全国Ⅱ,22,10分)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ=4.(1)M 为曲线C 1上的动点,点P 在线段OM 上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程; (2)设点A 的极坐标为(2,π3),点B 在曲线C 2上,求△OAB 面积的最大值.答案 (1)设P 的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M 的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=4cosθ. 由|OM|·|OP|=16得C 2的极坐标方程为ρ=4cos θ(ρ>0). 因此C 2的直角坐标方程为(x-2)2+y 2=4(x ≠0).(2)设点B 的极坐标为(ρB ,α)(ρB >0).由题设知|OA|=2,ρB =4cos α, 于是△OAB 的面积S=12|OA|·ρB ·sin ∠AOB=4cos α·|sin (α-π3)|=2|sin (2α-π3)-√32|≤2+√3.当α=-π12时,S 取得最大值2+√3. 所以△OAB 面积的最大值为2+√3.方法2 参数方程与普通方程的互化方法1.(2019广西柳州高三模拟,22)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =32+2t,y =52-2t(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ=√3√2.(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的参数方程;(2)若P,Q 分别为曲线C 1,C 2上的动点,求|PQ|的最小值,并求|PQ|取得最小值时Q 点的直角坐标. 答案 (1)由曲线C 1的参数方程{x =32+2t,y =52-2t(t 为参数), 消去t,得x+y-4=0,即曲线C 1的普通方程为x+y-4=0. 由ρ=√3√1+2sin 2θ得ρ2(1+2sin 2θ)=3,即ρ2+2ρ2sin 2θ=3,∴x 2+y 2+2y 2=3,即x 23+y 2=1,∴曲线C 2的参数方程为{x =√3cosφ,y =sinφ(φ为参数).(2)设曲线C 2上的动点Q 的坐标为(√3cos φ,sin φ)(0≤φ<2π),因为动点P 在曲线C 1上,所以求|PQ|的最小值可转化为求Q 到直线x+y-4=0的距离的最小值. 设点Q 到C 1的距离为d,则d=|√3cosφ+sinφ-4|√2=|2sin (φ+π3)-4|√2,∴当sin (φ+π3)=1,即φ=π6时,d 取得最小值√2,∴{x =√3cos π6=32,y =sin π6=12,∴此时Q 点的直角坐标为(32,12).2.(2020届河南十所名校尖子生联考,22)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =2m +16m,y =2m -16m(m 为参数).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为ρcos (θ+π3)=1. (1)求曲线C 的普通方程以及直线l 的直角坐标方程; (2)已知点M(2,0),若直线l 与曲线C 交于P,Q 两点,求1|MP|+1|MQ|的值. 答案 (1)将{x =2m +16m,y =2m -16m中两式相加,可得x+y=4m, 所以x+y4=m. 所以x=2·x+y 4+16·x+y 4,整理得34x 2-34y 2=1. 故曲线C 的普通方程为34x 2-34y 2=1.(3分)依题意,得直线l:ρ(12cosθ-√32sinθ)=1,即ρcos θ-√3ρsin θ=2.所以直线l 的直角坐标方程为x-√3y-2=0.(5分) (2)由(1)得直线l 的参数方程为{x =2+√32t,y =12t(t 为参数),代入34x 2-34y 2=1中,得3t 2+12√3t+16=0.Δ=(12√3)2-4×3×16=240>0.设P,Q 对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1+t 2=-4√3,t 1t 2=163.(7分) 所以1|MP|+1|MQ|=|MP|+|MQ||MP|·|MQ|=|t 1+t 2||t 1t 2|=3√34.(10分)【五年高考】A组统一命题·课标卷题组考点一坐标系与极坐标1.(2019课标全国Ⅲ,22,10分)[选修4—4:坐标系与参数方程]如图,在极坐标系Ox中,A(2,0),B(√2,π4),C(√2,3π4),D(2,π),弧AB⏜,BC⏜,CD⏜所在圆的圆心分别是(1,0),(1,π2),(1,π),曲线M1是弧AB⏜,曲线M2是弧BC⏜,曲线M3是弧CD⏜.(1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程;(2)曲线M由M1,M2,M3构成,若点P在M上,且|OP|=√3,求P的极坐标.答案本题考查极坐标的概念,求极坐标方程等知识点,通过极坐标的应用考查学生的运算求解能力,以求点的极坐标为背景考查数学运算的核心素养.(1)由题设可得,弧AB⏜,BC⏜,CD⏜所在圆的极坐标方程分别为ρ=2cosθ,ρ=2sinθ,ρ=-2cos θ.所以M1的极坐标方程为ρ=2cosθ(0≤θ≤π4),M2的极坐标方程为ρ=2sinθ(π4≤θ≤3π4),M3的极坐标方程为ρ=-2cosθ(3π4≤θ≤π).(2)设P(ρ,θ),由题设及(1)知若0≤θ≤π4,则2cos θ=√3,解得θ=π6;若π4≤θ≤3π4,则2sin θ=√3,解得θ=π3或θ=2π3;若3π4≤θ≤π,则-2cos θ=√3,解得θ=5π6.综上,P的极坐标为(√3,π6)或(√3,π3)或(√3,2π3)或(√3,5π6).2.(2018课标全国Ⅰ,22,10分)[选修4—4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-3=0.(1)求C2的直角坐标方程;(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.答案(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以|-k+2|√k+1=2,故k=-43或k=0.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=-43时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以|k+2|√k+1=2,故k=0或k=43.经检验,当k=0时,l 1与C 2没有公共点; 当k=43时,l 2与C 2没有公共点. 综上,所求C 1的方程为y=-43|x|+2.3.(2017课标全国Ⅲ,22,10分)在直角坐标系xOy 中,直线l 1的参数方程为{x =2+t,y =kt (t 为参数),直线l 2的参数方程为{x =-2+m,y =m k(m 为参数).设l 1与l 2的交点为P,当k 变化时,P 的轨迹为曲线C. (1)写出C 的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l 3:ρ(cos θ+sin θ)-√2=0,M 为l 3与C 的交点,求M 的极径. 答案 (1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1:y=k(x-2);消去参数m 得l 2的普通方程l 2:y=1k(x+2). 设P(x,y),由题设得{y =k(x -2),y =1k(x +2).消去k 得x 2-y 2=4(y ≠0).所以C 的普通方程为x 2-y 2=4(y ≠0).(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π). 联立{ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=4,ρ(cosθ+sinθ)-√2=0得cos θ-sin θ=2(cos θ+sin θ). 故tan θ=-13,从而cos 2θ=910,sin 2θ=110,代入ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=4得ρ2=5,所以交点M 的极径为√5.4.(2016课标全国Ⅱ,23,10分)在直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为(x+6)2+y 2=25. (1)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C 的极坐标方程;(2)直线l 的参数方程是{x =tcosα,y =tsinα(t 为参数),l 与C 交于A,B 两点,|AB|=√10,求l 的斜率. 答案 (1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2+12ρcos θ+11=0.(3分)(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为θ=α(ρ∈R ).设A,B 所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2+12ρcos α+11=0.(6分)于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11.|AB|=|ρ1-ρ2|=√(ρ1+ρ2)2-4ρ1ρ2=√144cos 2α-44.(8分) 由|AB|=√10得cos 2α=38,tan α=±√153.所以l 的斜率为√153或-√153.(10分)考点二 参数方程1.(2018课标全国Ⅲ,22,10分)[选修4—4:坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中,☉O 的参数方程为{x =cosθ,y =sinθ(θ为参数),过点(0,-√2)且倾斜角为α的直线l 与☉O 交于A,B 两点.(1)求α的取值范围;(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程. 答案 (1)☉O 的直角坐标方程为x 2+y 2=1.当α=π2时,l 与☉O 交于两点.当α≠π2时,记tan α=k,则l 的方程为y=kx-√2.l 与☉O 交于两点当且仅当|√2√1+k |<1,解得k<-1或k>1,即α∈(π4,π2)或α∈(π2,3π4). 综上,α的取值范围是(π4,3π4). (2)l 的参数方程为{x =tcosα,y =-√2+tsinα(t 为参数,π4<α<3π4).设A,B,P 对应的参数分别为t A ,t B ,t P , 则t P =t A+t B2,且t A ,t B 满足t 2-2√2tsin α+1=0.于是t A +t B =2√2sin α,t P =√2sin α. 又点P 的坐标(x,y)满足{x =t P cosα,y =-√2+t P sinα,所以点P 的轨迹的参数方程是 {x =√22sin2α,y =-√22-√22cos2α(α为参数,π4<α<3π4). 2.(2017课标全国Ⅰ,22,10分)[选修4—4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =3cosθ,y =sinθ(θ为参数),直线l 的参数方程为{x =a +4t,y =1-t (t 为参数).(1)若a=-1,求C 与l 的交点坐标;(2)若C 上的点到l 距离的最大值为√17,求a. 答案 (1)解法一:曲线C 的普通方程为x 29+y 2=1.当a=-1时,直线l 的普通方程为x+4y-3=0.由{x +4y -3=0,x 29+y 2=1解得{x =3,y =0或{x =-2125,y =2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0),(-2125,2425). 解法二:设交点坐标为(x,y),当a=-1时, 直线l 的参数方程为{x =-1+4t,y =1-t.将{x =3cosθ,y =sinθ代入{x =-1+4t,y =1-t, 得3cosθ+14=1-sin θ, 即3cos θ+4sin θ=3,3(1-2sin 2θ2)+8sin θ2cos θ2=3,即2sin θ(4cos θ2-3sin θ2)=0, 由此可得sin θ2=0或tan θ2=43, 所以{cosθ=1,sinθ=0或{cosθ=35,sinθ=45,故可得交点坐标为(3,0)或(-2125,2425). (2)直线l 的普通方程为x+4y-a-4=0,故C 上的点(3cos θ,sin θ)到l 的距离为d=|3cosθ+4sinθ-a -4|√17.当a ≥-4时,d 的最大值为√17, 由题设得√17=√17,所以a=8;当a<-4时,d 的最大值为-a+117, 由题设得-a+1√17=√17,所以a=-16.综上,a=8或a=-16.B 组 自主命题·省(区、市)卷题组考点一 坐标系与极坐标1.(2019江苏,21B,10分)[选修4—4:坐标系与参数方程]在极坐标系中,已知两点A (3,π4),B (√2,π2),直线l 的方程为ρsin (θ+π4)=3. (1)求A,B 两点间的距离; (2)求点B 到直线l 的距离.答案 本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力. (1)设极点为O.在△OAB 中,A (3,π4),B (√2,π2),由余弦定理,得AB=√32+(√2)2-2×3×√2×cos (π2-π4)=√5. (2)因为直线l 的方程为ρsin (θ+π4)=3, 则直线l 过点(3√2,π2),倾斜角为3π4.又B (√2,π2),所以点B 到直线l 的距离为(3√2-√2)×sin (3π4-π2)=2. 2.(2018江苏,21C,10分)[选修4—4:坐标系与参数方程]在极坐标系中,直线l 的方程为ρsin (π6-θ)=2,曲线C 的方程为ρ=4cos θ,求直线l 被曲线C 截得的弦长. 答案 因为曲线C 的极坐标方程为ρ=4cos θ,所以曲线C 是圆心为(2,0),直径为4的圆,因为直线l 的极坐标方程为ρsin (π6-θ)=2, 所以直线l 过点(4,0),倾斜角为π6, 设A(4,0),则A 为直线l 与圆C 的一个交点. 设另一个交点为B,则∠OAB=π6. 连接OB,因为OA 为直径, 所以∠OBA=π2, 所以AB=4cos π6=2√3.因此,直线l 被曲线C 截得的弦长为2√3.考点二 参数方程(2017江苏,21C,10分)在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为{x =-8+t,y =t 2(t 为参数),曲线C 的参数方程为{x =2s 2,y =2√2s(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点,求点P 到直线l 的距离的最小值. 答案 直线l 的普通方程为x-2y+8=0. 因为点P 在曲线C 上,设P(2s 2,2√2s),从而点P 到直线l 的距离d=2√2s+8|√1+(-2)=√2)2√5.当s=√2时,d min =4√55. 因此当点P 的坐标为(4,4)时,曲线C 上点P 到直线l 的距离取到最小值4√55.C 组 教师专用题组考点一 坐标系与极坐标1.(2015湖南,12,5分)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为 ρ=2sin θ,则曲线C 的直角坐标方程为 . 答案 x 2+y 2-2y=02.(2015广东,14,5分)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ+sin θ)=-2,曲线C 2的参数方程为{x =t 2,y =2√2t (t 为参数),则C 1与C 2交点的直角坐标为 .答案 (2,-4)3.(2015陕西,23,10分)在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为{x =3+12t,y =√32t(t 为参数).以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,☉C 的极坐标方程为ρ=2√3sin θ. (1)写出☉C 的直角坐标方程;(2)P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标. 答案 (1)由ρ=2√3sin θ,得ρ2=2√3ρsin θ,从而有x 2+y 2=2√3y,所以x 2+(y-√3)2=3. (2)设P (3+12t,√32t),又C(0,√3),则|PC|=√(3+12t)2+(√32t -√3)2=√t 2+12,故当t=0时,|PC|取得最小值,此时,P 点的直角坐标为(3,0).4.(2015课标Ⅱ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线C 1:{x =tcosα,y =tsinα(t 为参数,t ≠0),其中0≤α<π.在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=2sin θ,C 3:ρ=2√3cos θ. (1)求C 2与C 3交点的直角坐标;(2)若C 1与C 2相交于点A,C 1与C 3相交于点B,求|AB|的最大值.答案 (1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2-2y=0,曲线C 3的直角坐标方程为x 2+y 2-2√3x=0.联立{x 2+y 2-2y =0,x 2+y 2-2√3x =0,解得{x =0,y =0或{x =√32,y =32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和(√32,32).(2)曲线C 1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R ,ρ≠0), 其中0≤α<π.因此A 的极坐标为(2sin α,α),B 的极坐标为(2√3cos α,α). 所以|AB|=|2sin α-2√3cos α|=4|sin (α-π3)|. 当α=5π6时,|AB|取得最大值,最大值为4.5.(2015课标Ⅰ,23,10分)在直角坐标系xOy 中,直线C 1:x=-2,圆C 2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C 1,C 2的极坐标方程;(2)若直线C 3的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R ),设C 2与C 3的交点为M,N,求△C 2MN 的面积. 答案 (1)因为x=ρcos θ,y=ρsin θ, 所以C 1的极坐标方程为ρcos θ=-2,C 2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.(5分)(2)将θ=π4代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,得ρ2-3√2ρ+4=0,解得ρ1=2√2,ρ2=√2,故ρ1-ρ2=√2,即|MN|=√2.由于C 2的半径为1,所以△C 2MN 的面积为12.(10分)6.(2013课标Ⅰ,23,10分)已知曲线C 1的参数方程为{x =4+5cost,y =5+5sint (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).答案 (1)将{x =4+5cost,y =5+5sint 消去参数t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,即C 1:x 2+y 2-8x-10y+16=0.将{x =ρcosθ,y =ρsinθ代入x 2+y 2-8x-10y+16=0得 ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.所以C 1的极坐标方程为ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.(2)C 2的直角坐标方程为x 2+y 2-2y=0.由{x 2+y 2-8x -10y +16=0,x 2+y 2-2y =0,解得{x =1,y =1或{x =0,y =2. 所以C 1与C 2交点的极坐标分别为(√2,π4),(2,π2).考点二 参数方程1.(2016江苏,21C,10分)[选修4—4:坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为{x =1+12t,y =√32t(t 为参数),椭圆C 的参数方程为{x =cosθ,y =2sinθ(θ为参数).设直线l 与椭圆C 相交于A,B 两点,求线段AB 的长. 答案 椭圆C 的普通方程为x 2+y 24=1.将直线l 的参数方程{x =1+12t,y =√32t代入x 2+y 24=1,得(1+12t)2+(√32t )24=1,即7t 2+16t=0,解得t 1=0,t 2=-167.所以AB=|t 1-t 2|=167.2.(2014课标Ⅱ,23,10分)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐标方程为 ρ=2cos θ,θ∈[0,π2]. (1)求C 的参数方程;(2)设点D 在C 上,C 在D 处的切线与直线l:y=√3x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D 的坐标. 答案 (1)C 的普通方程为(x-1)2+y 2=1(0≤y ≤1).可得C 的参数方程为{x =1+cost,y =sint(t 为参数,0≤t ≤π). (2)设D(1+cos t,sin t).由(1)知C 是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆.因为C 在点D 处的切线与l 垂直,所以直线GD 与l 的斜率相同.tan t=√3,t=π3. 故D 的直角坐标为(1+cos π 3,sin π3),即(32,√32).3.(2014课标Ⅰ,23,10分)已知曲线C:x 24+y 29=1,直线l:{x =2+t,y =2-2t (t 为参数).(1)写出曲线C 的参数方程,直线l 的普通方程;(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线,交l 于点A,求|PA|的最大值与最小值. 答案 (1)曲线C 的参数方程为{x =2cosθ,y =3sinθ(θ为参数).直线l 的普通方程为2x+y-6=0.(2)曲线C 上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到l 的距离 d=√55|4cos θ+3sin θ-6|,则|PA|=d sin30°=2√55|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tan α=43.当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为22√55. 当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为2√55. 4.(2013课标Ⅱ,23,10分)已知动点P,Q 都在曲线C:{x =2cost,y =2sint (t 为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M 为PQ的中点.(1)求M 的轨迹的参数方程;(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断M 的轨迹是否过坐标原点.答案 (1)依题意有P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),因此M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α). M 的轨迹的参数方程为{x =cosα+cos2α,y =sinα+sin2α(α为参数,0<α<2π).(2)M 点到坐标原点的距离d=√x 2+y 2=√2+2cosα(0<α<2π).当α=π时,d=0,故M 的轨迹过坐标原点.5.(2012课标全国,23,10分)已知曲线C 1的参数方程是{x =2cosφ,y =3sinφ(φ为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD 的顶点都在C 2上,且A,B,C,D 依逆时针次序排列,点A 的极坐标为(2,π3). (1)求点A,B,C,D 的直角坐标;(2)设P 为C 1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.答案 (1)由已知可得A (2cos π3,2sin π3),B 2cosπ3+π2,2sinπ3+π2,C 2cosπ3+π,2sinπ3+π,D 2cosπ3+3π2,2sinπ3+3π2,即A(1,√3),B(-√3,1),C(-1,-√3),D(√3,-1).(2)设P(2cos φ,3sin φ),令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2,则S=16cos 2φ+36sin 2φ+16=32+20sin 2φ. 因为0≤sin 2φ≤1,所以S 的取值范围是[32,52].6.(2011课标,23,10分)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =2cosα,y =2+2sinα(α为参数),M 是C 1上的动点,P 点满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,P 点的轨迹为曲线C 2. (1)求C 2的方程;(2)在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线θ=π3与C 1的异于极点的交点为A,与C 2的异于极点的交点为B,求|AB|.答案 (1)设P(x,y),则由条件知M (x 2,y2).由于M 点在C 1上,所以{x2=2cosα,y2=2+2sinα.即{x =4cosα,y =4+4sinα.从而C 2的参数方程为{x =4cosα,y =4+4sinα(α为参数).(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ=4sin θ,曲线C 2的极坐标方程为ρ=8sin θ.射线θ=π3与C 1的交点A 的极径为ρ1=4sin π3,射线θ=π3与C 2的交点B 的极径为ρ2=8sin π3. 所以|AB|=|ρ2-ρ1|=2√3.【三年模拟】时间:60分钟 分值:80分解答题(共80分)1.(2020届河南焦作期初定位考试,22)在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为{x =5+√10cosφ,y =√10sinφ(φ为参数),直线l 的参数方程为{x =tcosα,y =4+tsinα(t 为参数),且直线l 的倾斜角为3π4.(1)写出圆C 和直线l 的普通方程,并证明直线l 与圆C 相交; (2)设点M(0,4),直线l 与圆C 交于A,B 两点,求|MA|+|MB|的值. 答案 (1)圆C 的普通方程为(x-5)2+y 2=10.(1分)直线l 过点(0,4),倾斜角为3π4,则其斜率为tan 3π4=-1, 所以直线l 的普通方程为y=-x+4,即x+y-4=0.(3分) 因为圆心C(5,0)到直线l 的距离为|5-4|√2=√22<√10, 所以直线l 与圆C 相交.(5分) (2)由题意得,直线l 的参数方程为{x =tcos 3π4=-√22t,y =4+tsin3π4=4+√22t(t 为参数),(6分) 代入x 2+y 2-10x+15=0,整理得t 2+9√2t+31=0.(8分) 设点A,B 对应的参数分别为t 1,t 2,易知点M 在圆C 外,所以|MB|+|MA|=|t 1+t 2|=9√2.(10分)2.(2020届湖南顶级名校第一次联考,22)在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为{x =-2+tcosα,y =tsinα其中t 为参数,α为l 的倾斜角,且α∈[0,π2),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 1的极坐标方程为θ=π2(ρ∈R ),曲线C 2的极坐标方程为ρ2cos 2θ=8.(1)求C 1,C 2的直角坐标方程;(2)已知点P(-2,0),l 与C 1交于点Q,与C 2交于A,B 两点,且|PA|·|PB|=|PQ|2,求l 的普通方程.答案 (1)曲线C 1的直角坐标方程为x=0. 方程ρ2cos 2θ=8可化为ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=8,将{x =ρcosθ,y =ρsinθ代入上式,得x 2-y 2=8.即曲线C 2的直角坐标方程为x 2-y 2=8.(5分) (2)直线l 的参数方程为{x =-2+tcosα,y =tsinα其中t 为参数,α为l 的倾斜角,且α∈[0,π2),则点Q 对应的参数值为t=2cosα,即|PQ|=|2cosα|.(7分)将l 的参数方程代入x 2-y 2=8,得(-2+tcos α)2-(tsin α)2=8,整理,得(cos 2α-sin 2α)t 2-4tcos α-4=0,设A,B 对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1+t 2=4cosαcos 2α-sin 2α,t 1t 2=-4cos 2α-sin 2α, 由Δ=16cos 2α+16(cos 2α-sin 2α)>0,结合α∈[0,π2),解得tan α<√2, 又因为|PA|·|PB|=|PQ|2,由题意知|PA|·|PB|=-t 1t 2,所以4cos 2α-sin 2α=4cos 2α,解得sin α=0,故l 的普通方程为y=0.(10分)3.(2019广东广州一模,22)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =2cosθ,y =2sinθ(θ为参数),已知点Q(4,0),点P 是曲线C 1上任意一点,点M 为PQ 的中点,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求点M 的轨迹C 2的极坐标方程;(2)已知直线l:y=kx 与曲线C 2交于A,B 两点,若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求k 的值. 答案 (1)设P(2cos θ,2sin θ),M(x,y). 因为点Q(4,0),点M 为PQ 的中点, 所以{x =2cosθ+42=2+cosθ,y =2sinθ2=sinθ,(2分)消去参数θ,整理得(x-2)2+y 2=1,即x 2+y 2-4x+3=0,(3分)化成极坐标方程为ρ2-4ρcos θ+3=0,即为曲线C 2的极坐标方程.(5分)(2)设直线l:y=kx 的极坐标方程为θ=α(ρ∈R ). 设A(ρ1,α),B(ρ2,α), 因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以4OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即4ρ1=3ρ2. 联立{ρ2-4ρcosθ+3=0,θ=α,整理得ρ2-4ρcos α+3=0.(6分) 则{ρ1+ρ2=4cosα,ρ1ρ2=3,4ρ1=3ρ2,解得cos α=78.(8分) 所以k 2=tan 2α=1cos 2α-1=1549, 则k=±√157.(10分)4.(2020届河南信阳调研考试,22)在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为{x =1-√3t,y =1+t (t 为参数).在以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 的极坐标方程为ρ=2cos θ.(1)求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程; (2)若直线l 与曲线C 交于P 、Q 两点,求∠POQ 的值.答案 (1)由{x =1-√3t,y =1+t(t 为参数)消去参数t 得l 的普通方程为x+√3y=1+√3.(1分)又因为{x =ρcosθ,y =ρsinθ,所以l 的极坐标方程为ρ(cos θ+√3sin θ)=1+√3.(或2ρsin (θ+π6)=1+√3)(3分)由ρ=2cos θ得ρ2=2ρcos θ,即x 2+y 2=2x,(4分)所以曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2-2x=0.(5分)(2)解法一:曲线C 的直角坐标方程化为(x-1)2+y 2=1,表示圆心为C(1,0),半径为1的圆.(6分) 又由(1)得l 的普通方程为x+√3y-(1+√3)=0,(7分) 则点C 到直线l 的距离d=√32.(8分)所以|PQ|=2√1-d 2=1,所以△PCQ 是等边三角形, 所以∠PCQ=π3,(9分)又因为O 是圆C 上的点,所以∠POQ=∠PCQ 2=π6.(10分)解法二:曲线C 的直角坐标方程可化为(x-1)2+y 2=1,表示圆心为C(1,0),半径为1的圆.(6分) 将l 的参数方程化为标准形式{x =1-√32t',y =1+12t'(其中t'为参数),代入C 的直角坐标方程x 2+y 2-2x=0,得(1-√32t')2+(1+12t')2-2(1-√32t')=0,整理得t'2+t'=0,解得t'=0或t'=-1.(8分)设P,Q 对应的参数分别为t 1',t 2',则|PQ|=|t 1'-t 2'|=1. 所以∠PCQ=π3,(9分) 又因为O 是圆C 上的点, 所以∠POQ=∠PCQ 2=π6.(10分)5.(2020届湖北高三入学调研考试,22)在平面直角坐标系xOy 中,已知曲线C:{x =2cosα,y =3sinα(α为参数),直线l:2x+y=8,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系. (1)求曲线C 和直线l 的极坐标方程;(2)点P 在直线l 上,射线OP 交曲线C 于点R,点Q 在射线OP 上,且满足2|OR|2=9|OP|·|OQ|,求点Q 的轨迹的直角坐标方程. 答案 (1)曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ4+ρ2sin 2θ9=1, 直线l 的极坐标方程为2ρcos θ+ρsin θ=8. (2)设点Q 的极坐标为(ρ,θ), 易知|OR|2=369cos 2θ+4sin 2θ,|OP|=82cosθ+sinθ,代入2|OR|2=9|OP|·|OQ|,得19cos 2θ+4sin 2θ=ρ2cosθ+sinθ,即ρ2=2ρcosθ+ρsinθ9cos 2θ+4sin 2θ,也即9ρ2cos 2θ+4ρ2sin 2θ=2ρcos θ+ρsin θ,所以点Q 的轨迹的直角坐标方程为9x 2+4y 2=2x+y.6.(2019四川成都石室中学高三上入学考试,22)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1:x+y-4=0,曲线C 2:{x =cosθ,y =1+sinθ(θ为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系.(1)求曲线C 1,C 2的极坐标方程;(2)射线l:θ=α(ρ≥0,0<α<π2)分别交C 1,C 2于M,N 两点,求|ON||OM|的最大值. 答案 (1)因为x=ρcos θ,y=ρsin θ,x 2+y 2=ρ2,所以C 1的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ-4=0. C 2的普通方程为x 2+(y-1)2=1,即x 2+y 2-2y=0,所以C 2的极坐标方程为ρ=2sin θ. (2)设M(ρ1,α),N(ρ2,α)(ρ1>0,ρ2>0), 则ρ1=4sinα+cosα,ρ2=2sin α,所以|ON||OM|=ρ2ρ1=12sin α(sin α+cos α)=√24sin (2α-π4)+14, 又0<α<π2, 所以2α-π4∈(-π4,3π4), 所以当2α-π4=π2,即α=3π8时,|ON||OM|取得最大值√2+14. 7.(2020届云南师大附中摸底考试,22)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =3sinθ,y =3cosθ(其中θ为参数),曲线C 2的普通方程为x 24+y 2=1,以坐标原点为极点,以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 1和曲线C 2的极坐标方程;(2)射线l 1:θ=θ0(θ0∈(0,π2))依次与曲线C 1和曲线C 2交于A,B 两点,射线l 2:θ=θ0+π2(θ0∈(0,π2))依次与曲线C 1和曲线C 2交于C,D 两点,求S △AOCS △BOD的最大值. 答案 (1)由曲线C 1的参数方程为{x =3sinθ,y =3cosθ(其中θ为参数)得曲线C 1的普通方程为x 2+y 2=9.由{x =ρcosθ,y =ρsinθ得曲线C 1的极坐标方程为ρ=3. 因为曲线C 2的普通方程为x 24+y 2=1,所以由{x =ρcosθ,y =ρsinθ得曲线C 2的极坐标方程为ρ2=4cos 2θ+4sin 2θ.(5分)(2)如图,由题意知S △AOC =12|OA|·|OC|=92,S △BOD =12|OB|·|OD| =12·4cos 2θ0+4sin 2θ0·4cos 2(θ0+π2)+4sin 2(θ0+π2)=8(cos 2θ0+4sin 2θ0)(sin 2θ0+4cos 2θ0),所以S △AOC S △BOD =916(cos 2θ0+4sin 2θ0)(sin 2θ0+4cos 2θ0)≤916×(52)2=22564, 当且仅当cos 2θ0+4sin 2θ0=sin 2θ0+4cos 2θ0,即θ0=π4时,取等号, 所以S △AOC S △BOD 的最大值为22564.(10分)8.(2018河南洛阳二模,22)在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C 1的极坐标方程为ρsin θ=4,曲线C 2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+1=0,曲线C 3的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R ). (1)求C 1与C 2的直角坐标方程;(2)若C 2与C 1交于P 点,C 2与C 3交于A,B 两点,求△PAB 的面积. 答案 (1)∵曲线C 1的极坐标方程为ρsin θ=4, ∴曲线C 1的直角坐标方程为y=4.∵曲线C 2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+1=0, ∴曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2-2x-4y+1=0, 即(x-1)2+(y-2)2=4.(2)∵曲线C 3的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R ), ∴曲线C 3的直角坐标方程为y=x, 联立C 1与C 2的方程得{y =4,(x -1)2+(y -2)2=4,得x 2-2x+1=0,解得x 1=x 2=1,∴点P 的坐标为(1,4). 则点P 到曲线C 3的距离d=|1-4|√2=3√22. 设A(ρ1,θ1),B(ρ2,θ2).将θ=π4代入C 2的极坐标方程,得ρ2-3√2ρ+1=0,则ρ1+ρ2=3√2,ρ1ρ2=1,|AB|=|ρ1-ρ2|=√(ρ1+ρ2)2-4ρ1ρ2=√14, ∴S △PAB =12|AB|d=12×√14×3√22=3√72.。
2013版高考数学一轮复习精品学案选修系列(第1部分坐标系与参数方程)
2013版高考数学一轮复习精品学案：选 修 系 列第一部分：坐标系与参数方程【高考新动向】一、坐标系 1．考纲点击（1）理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；（2）了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置。
能进行极坐标和直角坐标的互化；（3）能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）表示的极坐标方程。
2．热点提示（1）根据具体问题选择适当坐标系，简捷解决问题； （2）极坐标系的应用； （3）直角坐标与极坐标的互化。
二、参数方程 1．考纲点击（1）了解参数方程，了解参数的意义；（2）能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程。
2．热点提示（1）参数方程和普通方程互化；（2）会利用直线参数方程中参数的几何意义解决有关线段问题； （3）会利用圆、椭圆的参数方程，解决有关的最值问题。
【考纲全景透析】1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=. 二、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
高中数学第一轮复习学案(13)《坐标系与参数方程》
高中数学第一轮复习学案(13)《坐标系与参数方程》广东高考考试大纲说明的具体要求：1．坐标系：① 理解坐标系的作用. ② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. ③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 2．参数方程： ① 了解参数方程，了解参数的意义.② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.（一）基础知识梳理：1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条射线Ｏｘ叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
2．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点Ｏ与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ｏx 为始边，射线OM 为终边的∠XOM 叫做点M 的极角，记为θ。
有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ. 极坐标),(θρ与)Z k )(2k ,(∈+πθρ表示同一个点。
极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 3.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。
如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
4．极坐标与直角坐标的互化：5。
圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是 r =ρ；在极坐标系中，以 )0,a (C (a>0)为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是 θρ2acos =； 在极坐标系中，以 )2,a (C π(a>0)为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是 θρ2asin =；6.在极坐标系中，)0(≥=ραθ表示以极点为起点的一条射线；)R (∈=ραθ表示过极点的一条直线. 在极坐标系中，过点)0a )(0,a (A >，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是a cos =θρ. 7．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧==),t (g y ),t (f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y 的变数t 叫做参变数，简称参数。
《参数方程》教案(新人教选修)
《参数方程》教案(新人教选修)第一章：参数方程的基本概念1.1 参数方程的定义与形式引导学生了解参数方程的定义，理解参数方程与普通方程的区别。
举例说明参数方程的形式，如圆的参数方程、直线的参数方程等。
1.2 参数方程的应用场景通过实际问题引入参数方程的应用，如物体的运动轨迹、几何图形的构造等。
引导学生理解参数方程在实际问题中的优势。
第二章：参数方程的求解方法2.1 参数方程的求解步骤介绍参数方程求解的一般步骤，如确定参数的范围、求解参数的值等。
通过具体例子演示参数方程的求解过程。
2.2 参数方程的图像分析引导学生了解参数方程的图像特征，如曲线的变化趋势、交点等。
通过绘制参数方程的图像，帮助学生直观理解参数方程的性质。
第三章：常见参数方程的类型及解法3.1 三角函数型参数方程介绍三角函数型参数方程的特点和解法，如正弦曲线、余弦曲线等。
通过例题讲解三角函数型参数方程的求解方法。
3.2 反比例函数型参数方程介绍反比例函数型参数方程的特点和解法，如双曲线等。
通过例题讲解反比例函数型参数方程的求解方法。
第四章：参数方程与普通方程的互化4.1 参数方程与直角坐标方程的互化引导学生了解参数方程与直角坐标方程的关系，掌握互化的方法。
通过例题演示参数方程与直角坐标方程的互化过程。
4.2 参数方程与极坐标方程的互化引导学生了解参数方程与极坐标方程的关系，掌握互化的方法。
通过例题演示参数方程与极坐标方程的互化过程。
第五章：参数方程在实际问题中的应用5.1 参数方程在物理学中的应用通过实际问题引入参数方程在物理学中的应用，如抛物线运动、电磁波等。
引导学生理解参数方程在物理学中的重要作用。
5.2 参数方程在工程中的应用通过实际问题引入参数方程在工程中的应用，如优化问题、设计问题等。
引导学生理解参数方程在工程中的实际意义。
第六章：参数方程的优化问题6.1 参数方程优化问题的定义与特点引导学生了解参数方程优化问题的定义，理解优化问题的实际意义。
《参数方程》教案(新人教选修
《参数方程》教案（新人教选修）第一章：参数方程简介1.1 参数方程的概念引导学生了解参数方程的定义和特点举例说明参数方程在实际问题中的应用1.2 参数方程的表示方法介绍参数方程的表示方法，包括参数和变量的关系练习将直角坐标方程转换为参数方程第二章：参数方程的图像2.1 参数方程的图像特点分析参数方程图像的性质和特点举例说明参数方程图像的形状和变化趋势2.2 参数方程的图像绘制学习如何绘制参数方程的图像练习绘制不同类型的参数方程图像第三章：参数方程的应用3.1 参数方程在几何中的应用利用参数方程解决几何问题，如计算线段长度、角度等举例说明参数方程在圆锥曲线中的应用3.2 参数方程在物理中的应用介绍参数方程在物理学中的应用，如描述物体的运动轨迹练习解决物理问题，如求解物体在参数方程下的速度和加速度第四章：参数方程的转换4.1 参数方程与直角坐标方程的转换学习如何将参数方程转换为直角坐标方程练习将参数方程转换为直角坐标方程，并解决相关问题4.2 参数方程与其他形式的方程的转换介绍参数方程与其他形式的方程（如极坐标方程）的转换方法练习将参数方程转换为其他形式的方程，并进行问题求解第五章：参数方程的综合应用5.1 参数方程在实际问题中的应用分析实际问题，建立合适的参数方程模型练习解决实际问题，如计算曲线的长度、面积等5.2 参数方程在数学竞赛中的应用介绍参数方程在数学竞赛中的应用，如解决综合题练习解决数学竞赛中的参数方程问题第六章：参数方程与曲线积分6.1 参数方程下的曲线积分概念引入曲线积分的概念，解释其在参数方程中的应用举例说明曲线积分的计算方法6.2 参数方程下的曲线积分计算学习如何利用参数方程计算曲线积分练习计算不同类型曲线积分问题第七章：参数方程与曲面面积7.1 参数方程下的曲面面积概念引入曲面面积的概念，解释其在参数方程中的应用举例说明曲面面积的计算方法7.2 参数方程下的曲面面积计算学习如何利用参数方程计算曲面面积练习计算不同类型曲面面积问题第八章：参数方程与优化问题8.1 参数方程在优化问题中的应用引入优化问题的概念，解释参数方程在优化问题中的应用举例说明参数方程在优化问题中的解法8.2 参数方程优化问题的解决方法学习如何利用参数方程解决优化问题练习解决实际优化问题，如最短路径问题等第九章：参数方程与微分方程9.1 参数方程与微分方程的关系解释参数方程与微分方程之间的联系举例说明微分方程在参数方程中的应用9.2 参数方程微分方程的求解方法学习如何利用微分方程求解参数方程练习求解不同类型的参数方程微分方程问题第十章：参数方程的综合应用案例分析10.1 参数方程在工程中的应用案例分析分析实际工程问题，利用参数方程进行问题建模练习解决工程问题，并进行案例分析10.2 参数方程在科学研究中的应用案例分析分析实际科学研究问题，利用参数方程进行问题建模练习解决科学研究问题，并进行案例分析重点和难点解析重点一：参数方程的概念与特点学生需要理解参数方程的定义，即变量与参数之间的关系强调参数方程在解决实际问题中的应用价值重点二：参数方程的图像特点与绘制方法学生应掌握参数方程图像的性质和变化趋势练习将参数方程转换为图像，并分析图像的特点重点三：参数方程在几何和物理中的应用学生需要学会利用参数方程解决几何问题，如计算线段长度、角度等强调参数方程在物理学中的应用，如描述物体的运动轨迹重点四：参数方程的转换方法学生应掌握参数方程与直角坐标方程、极坐标方程等的转换方法练习将参数方程转换为其他形式的方程，并解决相关问题重点五：参数方程在曲线积分、曲面面积和优化问题中的应用学生需要理解参数方程在曲线积分和曲面面积计算中的作用强调参数方程在解决优化问题中的应用，如最短路径问题重点六：参数方程与微分方程的关系和求解方法学生应理解参数方程与微分方程之间的联系练习利用微分方程求解参数方程，并解决实际问题重点七：参数方程的综合应用案例分析学生需要学会将参数方程应用于工程和科学研究问题强调案例分析的重要性，通过实际问题加深对参数方程的理解本教案围绕参数方程的概念、图像、应用和转换等方面进行了详细的讲解和练习。
高三数学一轮复习精品教案1：第2讲 参数方程教学设计
第二节参_数_方_程1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）就是曲线的参数方程．2．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹 普通方程 参数方程直线y －y 0＝tan α(x －x 0)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α (t 为参数) 圆 x 2＋y 2＝r 2 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝r cos θy ＝r sin θ(θ为参数) 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数)1．不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误，对于直线参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α.(t 为参数)注意：t 是参数，α则是直线的倾斜角．2．参数方程与普通方程互化时，易忽视互化前后的等价性． 『练一练』1．若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t (t 为参数)，则直线的斜率为________．『解析』∵y －2x －1＝－3t 2t ＝－32，∴tan α＝－32.『答案』－322．参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t 2＋2y ＝t 2－1(0≤t ≤5)的曲线为________．(填“线段”“射线”“圆弧”或“双曲线的一支”)『解析』化为普通方程为x ＝3(y ＋1)＋2， 即x －3y －5＝0， 由于x ＝3t 2＋2∈『2,77』， 故曲线为线段． 『答案』线段1．化参数方程为普通方程的方法消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法．2．利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t 0＝t 1＋t 22； (2)|PM |＝|t 0|＝t 1＋t 22； (3)|AB |＝|t 2－t 1|； (4)|P A |·|PB |＝|t 1·t 2|. 『练一练』1．已知P 1，P 2是直线⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝－2＋32t (t 为参数)上的两点，它们所对应的参数分别为t 1，t 2，则线段P 1P 2的中点到点P (1，－2)的距离是________．『解析』由t 的几何意义可知，线段P 1P 2的中点对应的参数为t 1＋t 22，P 对应的参数为t＝0，∴线段P 1P 2的中点到点P 的距离为|t 1＋t 2|2.『答案』|t 1＋t 2|22．已知直线⎩⎨⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t (t 为参数)与圆x 2＋y 2＝4相交于B ，C 两点，则|BC |的值为________．『解析』∵⎩⎨⎧x ＝2－12t ＝2－22t ′，y ＝－1＋12t ＝－1＋22t ′，⎝⎛⎭⎫t ′＝22t 代入x 2＋y 2＝4，得⎝⎛⎭⎫2－22t ′2＋⎝⎛⎭⎫－1＋22t ′2＝4，t ′2－32t ′＋1＝0，∴|BC |＝|t ′1－t ′2|＝（t ′1＋t ′22－4t ′1t ′2)＝(32)2－4×1＝14.『答案』14考点一参数方程与普通方程的互化1.曲线⎩⎨⎧x ＝23cos θy ＝32sin θ(θ为参数)中两焦点间的距离是________．『解析』曲线化为普通方程为y 218＋x 212＝1，∴c ＝6，故焦距为2 6.『答案』262．(2014·西安质检)若直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝－2＋sin θ(θ为参数)相切，则实数m 的值是________．『解析』圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝－2＋sin θ消去参数θ，化为普通方程是(x －1)2＋(y ＋2)2＝1.因为直线与圆相切，所以圆心(1，－2)到直线的距离等于半径，即|3＋4×(－2)＋m |5＝1，解得m ＝0或m ＝10.『答案』0或103．(2014·武汉调研)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线⎩⎨⎧x ＝－t ，y ＝3t(t 为参数，t ∈R )与曲线C 1：ρ＝4sin θ异于点O 的交点为A ，与曲线C 2：ρ＝2sin θ异于点O 的交点为B ，则|AB |＝________.『解析』由题意可得，直线y ＝－3x ，曲线C 1：x 2＋(y －2)2＝4，曲线C 2：x 2＋(y －1)2＝1，画图可得，|AB |＝4cos 30°×12＝ 3.『答案』3『备课札记』 『类题通法』参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式，参数方程化为普通方程关键在于消参，消参时要注意参变量的范围．考点二参数方程的应用『典例』 (2014·郑州模拟)已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求点P 轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．『解』 (1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1，联立方程⎩⎨⎧y ＝3(x －1)，x 2＋y 2＝1，解得C 1与C 2的交点坐标分别为(1,0)，⎝⎛⎭⎫12，－32.(2)依题意，C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0，则A 点的坐标为(sin 2α，－sin αcos α)，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12sin 2α，y ＝－12sin αcos α(α为参数)，∴点P 轨迹的普通方程为(x －14)2＋y 2＝116.故点P 的轨迹是圆心为(14，0)，半径为14的圆．『备课札记』在本例(1)条件下，若直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝t sin α，(t 为参数)，与直线C 2⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－as (s 为参数)垂直，求a . 解：由(1)知C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为y ＝1－ax ，由两线垂直得－a ×3＝－1，故a ＝33. 『类题通法』1．解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题．2．对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题． 『针对训练』(2013·新课标卷Ⅱ)已知动点P ，Q 在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α为(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点． (1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 解：(1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos2α，2sin2α), 因此M (cos α＋cos2α，sin α＋sin2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0＜α＜2π)． 当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．考点三极坐标、参数方程的综合应用『典例』 (2013·福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．『解』 (1)由点A ⎝⎛⎭⎫2，π4在直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a 上， 可得a ＝ 2.所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2， 从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1， 因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1， 所以直线l 与圆C 相交．『备课札记』 『类题通法』涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．『针对训练』(2014·石家庄质检)已知P 为半圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与半圆C 的弧AP 的长度均为π3.(1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程．解：(1)由已知，点M 的极角为π3，且|OM |＝π3，故点M 的极坐标为(π3，π3)．(2)由(1)可得点M 的直角坐标为(π6，3π6)，A (1,0)，故直线AM 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋(π6－1)t ，y ＝3π6t(t 为参数)．『课堂练通考点』1．(2013·重庆高考)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.『解析』ρcos θ＝4化为直角坐标方程为x ＝4①，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3，化为普通方程为y 2＝x 3 ②，①②联立得A (4,8)，B (4，－8)，故|AB |＝16. 『答案』162．(2013·江西高考)设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．『解析』消去曲线C 中的参数t 得y ＝x 2，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y ＝x 2中，得ρ2cos 2θ＝ρsin θ，即ρcos 2θ－sin θ＝0.『答案』ρcos 2θ－sin θ＝03．(2014·合肥模拟)在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝22＋32t(t 为参数)，若以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4.若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________.『解析』首先消去参数t ，可得直线方程为3x －y ＋22＝0，极坐标方程化为直角坐标方程为⎝⎛⎭⎫x －222＋⎝⎛⎭⎫y －222＝1，根据直线与圆的相交弦长公式可得|AB |＝21－⎝⎛⎭⎫642＝102. 『答案』1024．(2014·苏州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为：ρsin 2θ＝cos θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2－22t ，y ＝22t(t 为参数)，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB |的值．解：(1)将y ＝ρsin θ，x ＝ρcos θ代入ρ2sin 2θ＝ρcos θ中，得y 2＝x ， ∴曲线C 的直角坐标方程为：y 2＝x .(2)把⎩⎨⎧x ＝2－22t ，y ＝22t ，代入y 2＝x 整理得，t 2＋2t －4＝0，Δ>0总成立．设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， ∵t 1＋t 2＝－2，t 1t 2＝－4，∴|AB |＝|t 1－t 2|＝(－2)2－4×(－4)＝3 2.。
坐标系与参数方程教案
坐标系与参数方程教案教案标题：坐标系与参数方程教案教案目标：1. 了解坐标系和参数方程的基本概念；2. 掌握坐标系和参数方程在二维图形中的应用；3. 能够根据给定的图形要求，构建相应的坐标系和参数方程。
教案步骤：一、导入（5分钟）1. 利用实例引入坐标系的概念，例如使用座标系向学生解释地理位置的界定等。
二、概念讲解（15分钟）1. 介绍笛卡尔坐标系，解释坐标轴、坐标点、坐标等基本概念；2. 解释参数方程的概念，讲解参数和参数方程的含义。
三、练习与巩固（20分钟）1. 学生通过练习在二维平面上标出给定点的坐标；2. 学生尝试画出给定的直线或曲线。
四、拓展应用（15分钟）1. 通过示例演示参数方程的使用，例如绘制心形线等特殊图形；2. 学生自主思考如何用参数方程绘制其他图形。
五、深入探究（15分钟）1. 学生讨论和探究坐标系和参数方程在三维空间中的应用；2. 学生尝试绘制立体图形的参数方程。
六、总结与评价（5分钟）1. 老师对学生学习的情况进行总结和评价；2. 学生发表对这次学习的体会和收获。
七、作业布置（5分钟）1. 布置相关的课后作业，如绘制给定图形的坐标系和参数方程。
教学资源：1. 教材《数学教材》；2. 讲义/课件。
评价方法：1. 课堂练习和教师观察：观察学生在练习和巩固环节的表现；2. 学生讨论和发言：评估学生在深入探究环节中的参与程度；3. 课后作业评分：评估学生对于坐标系和参数方程的独立应用能力。
教案备注：根据教学时间的具体安排和学生的实际情况，可以适当调整每个环节的时间分配。
同时，教师可以根据学生的学习进度和理解情况，加入适当的示例讲解，提高教学灵活性。
高考数学一轮复习选修44坐标系与参数方程课件新人教A版理
3
cos +sin
(2)C3 是一条过原点且斜率为正值的直线,
C3 的极坐标方程为 θ=α,α∈ 0,
π
2
,
= 2cos,
联立 C1 与 C3 的极坐标方程
= ,
得 ρ=2cos α,即|OA|=2cos α.
3
= cos +sin ,
联立 C1 与 C2 的极坐标方程
= ,
-11知识梳理
1
双基自测
2
3
4
5
2.若原点与极点重合,x 轴正半轴与极轴重合,则点(-5,-5√3)的极
坐标是(
)
π
A. 10, 3
2π
C. -10,- 3
4π
B. 10, 3
2π
D. 10, 3
关闭
设点(-5,-5√3)的极坐标为(ρ,θ),
-5 √3
则 tan θ=
-5
= √3.
4π
因为 x<0,所以最小正角 θ= ,
由圆 C1 与圆 C2 的方程相减可得公共弦所在的直线方程为
4x-2y+1=0.
圆心(1,1)到直线 4x-2y+1=0 的距离 d=
故弦长|AB|=2 1-
3 2
√20
=
√55
5
.
|4-2+1|
42 +(-2)2
=
3
,
√20
-24考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
(2)解 ①圆 O:ρ=cos θ+sin θ,即 ρ2=ρcos θ+ρsin θ,
3
3
得 ρ=cos +sin ,即|OB|=cos +sin ,
参数方程的概念》教案(新人教选修
《参数方程的概念》教案（新人教选修）一、教学目标1. 理解参数方程的定义和特点；2. 掌握参数方程的表示方法和求解方法；3. 能够将实际问题转化为参数方程，并解决实际问题。
二、教学重难点1. 参数方程的定义和表示方法；2. 参数方程的求解方法；3. 将实际问题转化为参数方程。
三、教学准备1. 教师准备PPT，包括参数方程的定义、表示方法和求解方法的讲解；2. 准备一些实际问题，用于引导学生将问题转化为参数方程。
四、教学过程1. 引入：通过讲解PPT，引导学生了解参数方程的定义和表示方法；2. 讲解：通过PPT，详细讲解参数方程的求解方法，包括求解步骤和注意事项；3. 练习：让学生独立完成一些参数方程的求解练习题；4. 应用：引导学生将实际问题转化为参数方程，并解决实际问题。
五、课后作业1. 完成PPT上的练习题；2. 选择一个实际问题，将其转化为参数方程，并解决。
教学反思：在课后，教师应认真反思本节课的教学效果，包括学生的参与度、理解程度和应用能力。
根据学生的反馈，及时调整教学方法和策略，提高教学质量。
六、教学评估1. 课堂练习：观察学生在课堂练习中的表现，了解他们对参数方程的理解程度和应用能力；2. 课后作业：检查学生的课后作业，评估他们对参数方程的掌握情况；3. 学生反馈：收集学生的反馈意见，了解他们对本节课的教学内容和教学方法的满意度。
七、教学拓展1. 介绍其他相关的数学概念，如普通方程和函数方程等，让学生了解参数方程在数学中的地位和作用；2. 引导学生探索参数方程在实际问题中的应用，如物理、工程和经济学等领域。
八、教学计划1. 下一节课内容：介绍参数方程的进一步应用，如优化问题和动态系统等；2. 教学方法：采用案例教学法，结合实际问题，引导学生深入理解参数方程的应用；3. 教学目标：使学生能够灵活运用参数方程解决实际问题，提高他们的数学应用能力。
九、教学资源1. PPT：制作参数方程的进一步应用的PPT，包括案例分析和练习题；2. 实际问题案例：收集一些与参数方程应用相关的实际问题案例，用于课堂讲解和练习。
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2013年高考数学一轮复习精品教学案14.3 坐标系与参数方程（新课标人教版，学生版）【考纲解读】1．理解极坐标与直角坐标的互化以及有关圆的极坐标问题． 2．理解直线、圆和圆锥曲线的参数方程以及简单的应用问题．【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.坐标系与参数方程是历年来高考重点内容之一,在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，难度不大，又经常与其它知识结合，在考查基础知识的同时，考查转化与化归等数学思想，以及分析问题、解决问题的能力.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持在选择题、填空题中考查,命题形式会更加灵活. 【要点梳理】1. 极坐标系的概念在平面上取一个定点O 叫做极点；自点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系(如图)．设M 是平面上的任一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的∠xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． 2．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x ≠0.3．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin (θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0； (2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；(3)直线过M ⎝⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b .4．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为 ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝2a cos_θ；(3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎪⎫a ，π2，半径为a ：ρ＝2a sin_θ.5．参数方程的意义在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x ，y 都是某个变量的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝f t ，并且对于t 的每个允许值，由方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则该方程叫曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． 6．常见曲线的参数方程的一般形式(1)经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P →的数量．(2)圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)．(3)圆锥曲线的参数方程椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a sec φ，y ＝tan φ(φ为参数)．抛物线y2＝2px 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)．【例题精析】考点一 极坐标例1. (2012年高考湖南卷文科10)在极坐标系中，曲线1C：sin )1ρθθ+=与曲线2C ：a ρ=(0)a >的一个交点在极轴上，则a =_______. 【变式训练】1. (2012年高考陕西卷文科15)直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为 。
考点二 参数方程例2.(2012年高考湖南卷理科9)在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C ：1,12x t y t=+⎧⎨=-⎩ (t 为参数)与曲线2C ：sin ,3cos x a y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数，0a >) 有一个公共点在X 轴上，则__a =.【变式训练】2. (2012年高考广东卷14)在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C的参数方程分别为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数，02πθ≤≤）和12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），则曲线C 1与C 2的交点坐标为_______。
【易错专区】 问题：综合应用例.（2012年高考江苏卷21）在极坐标中，已知圆C 经过点()4Pπ，，圆心为直线()sin 3ρθπ-=C 的极坐标方程． 【课时作业】1. (2011年高考安徽卷理科5)在极坐标系中，点 (,)π23到圆2cos ρθ= 的圆心的距离为( )（A ）2 (B)（2．(2011年高考北京卷理科3)在极坐标系中，圆ρ=-2sin θ的圆心的极坐标系是( ) A ．(1,)2πB ．(1,)2π-C ． (1,0)D ．(1，π)3．(2012年高考北京卷理科9)直线t t y t x (12⎩⎨⎧--=+=为参数)与曲线ααα(sin 3cos 3⎩⎨⎧==y x 为参数)的交点个数为______。
4．(2012年高考上海卷理科10)如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角6πα=，若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式，则=)(θf .5.(2012年高考安徽卷理科13)在极坐标系中，圆4sin ρθ=的圆心到直线()6R πθρ=∈的距离是_____.6. (2012年高考福建卷理科21)（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为几点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
已知直线l 上两点N M ,的极坐标分别为)2,332(),0,2(π，圆C 的参数方程θθθ(sin 23co s 22⎩⎨⎧+-=+=y x 为参数）。
（Ⅰ）设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线l 与圆C 的位置关系。
【考题回放】1. (2012年高考湖北卷理科16)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线π4θ=与曲线21,(1)x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）相较于A ，B 来两点，则线段AB 的中点的直角坐标为_________.2.(2012年高考天津卷理科12)己知抛物线的参数方程为2=2,=2,x pt y pt ⎧⎨⎩（t 为参数），其中>0p ，焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点M 作的垂线，垂足为E ，若||=||EF MF ，点M 的横坐标是3，则=p .3. (2012年高考江西卷理科15)（1）（坐标系与参数方程选做题）曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2-2x =0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立积坐标系，则曲线C 的极坐标方程为___________。
4．(2011年高考广东卷文科14）已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧==θθsin cos 5y x （0≤ )π<和⎪⎩⎪⎨⎧==ty t x 245 （t ∈R ），它们的交点坐标为．5．（2011年高考湖南卷文科9)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos (x y ααα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数)．在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为(cos sin )10,ρθθ-+=则1C 与2C 的交点个数为 ．6.（2011年高考陕西卷文科15)直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A,B 分别在曲线13cos :sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩ （θ为参数）和曲线2:1C ρ=上，则AB的最小值为________.7．（2012年高考新课标全国卷文科23）(本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A 、B 、C 、D 以逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π3)(Ⅰ)求点A 、B 、C 、D 的直角坐标；(Ⅱ)设P 为C 1上任意一点，求|PA| 2+ |PB|2+ |PC| 2+ |PD|2的取值范围. 8.(2012年高考辽宁卷23) 在直角坐标xOy 中，圆221:4C x y +=，圆222:(2)4C x y -+=。
(Ⅰ)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆12,C C 的极坐标方程，并求出圆12,C C 的交点坐标(用极坐标表示)；(Ⅱ)求出12C C 与的公共弦的参数方程.9.(2011年高考江苏卷21)在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆5cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的右焦点且与直线423x ty t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）平行的直线的普通方程.10. （2011年高考全国新课标卷文科23)在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 22co s2y x ，(α为参数) M 是曲线1C 上的动点，点P 满足2=，（1）求点P 的轨迹方程2C ；（2）在以D 为极点，X 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与曲线1C ，2C 交于不同于原点的点A,B 求AB .11.（2011年高考辽宁卷文科23)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos ,sin ,x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）曲线C 2的参数方程为cos ,sin ,x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（0a b >>，ϕ为参数）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ=α与C 1，C 2各有一个交点.当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=2π时，这两个交点重合。
（I ）分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值； (II)设当α=4π时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1,当α=-4π时，l 与C 1， C 2的交点为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积。