2.7 光波在金属表面上的反射和折射

sin(θ i − θ t ) rs = − sin(θ i + θ t ) =| rs | eiϕ rs
(1-198) 所以，在界面上的反射波与入射波也相差一个相位φrs。
~ 上面给出的φts和φrs除与入射角θi有关外，还与 n 有关， 也 即与金属的物质常数ε、µ、σ以及光的频率ω有关。 对于p分量的反射、折射特性，亦可作同样的讨论，反射 系数也是复数值
也会很快地衰减为零。 因此，可视金属中的电荷密度ρ=0。这 样，采用类似1.1节中的推导过程，可得金属中光波所满足的波 动方程为
∂2E 2 ∇ E − µεα 2 = 0 ∂t 2 ∂ H 2 ∇ H − µεα 2 = 0 ∂t
(1-179)
∂D ∂B 对 ∇× E = − 式两边取旋度， 并将 ∇ × H = 式代入， 可得 ∂t ∂t
k z( t ) = k z( t )' + ik z( t )"
则金属中的折射光电场表示式可写为
(1-192)
Et = E0 t e = E0 t e
~ ( ( − i [ωt −( k sin θ t ) x + ( k z t )' +ik z t )" ) z ] ~ ( ( k z t )" −i [ωt −( k sin θ t ) x + ( k z t )' z ]
(1-200)
若将
~ n = n'+in" 代入上式，则有
(1-201)
金属的光学常数(λ=0.5893 µm) 表 1-1 金属的光学常数
3. 金属表面反射的频率特性
上面指出，金属与各向同性介质的主要差别是有很大的电导率σ，根据电子 理论的观点，这种电导率起因于金属中有密度很大的自由电子(约1022/cm-3)。 当光照射到清洁磨光的金属表面时，自由电子将在光电磁场的作用下强迫振动， 产生次波，这些次波构成了很强的反射波和较弱的透射波，并且这些透射波将很 快地被吸收掉。 各种金属因其所包含的自由电子密度不同，反射光的能力不同，一般说来， 自由电子密度越大(电导率越大)，反射本领越大。对于同一种金属， 由上面的 分析已经看出，入射光频率(波长)不同， 反射率也不同。 频率较低的红外线主 要对金属中的自由电子发生作用，而频率较高的可见光和紫外光可对金属中的束 缚电子发生作用。束缚电子本身的固有频率正处在可见光和紫外光区，它将使金 属的反射能力降低， 透射能力增大， 呈现出非金属的光学性质。
例如， 如图所示，银对红光和红外光的反射率很大，并有显著 吸收；在紫外光区，反射率很低，在λ=0.316µm附近，反射率降 到4.2%，相当于玻璃的反射， 而透射率则明显增大。 铝的反射 本领随波长的变化比较平缓， 对于紫外光仍有相当高的反射率， 这一特性和它所具有的很好的抗腐蚀性， 使它常被用作反射镜 的涂料。
2.7 光波在金属表面上的反射和折射
1. 光波在金属中的传播 设金属是一种介电常数为ε、磁导率为µ，电导率为σ的均匀 各向同性介质，则物质方程中的J=σE必须予以考虑。麦克斯韦 方程(1-4)式应为
∂D σ ∇×H − D + =0 ∂t ε 对于频率为ω的单色波，上式变为
(1-175)
~ ~ = k cosθ t = k 1 − sin 2 θ t ~2 = k − k 2 sin 2 θ i ~ = k n 2 − sin 2 θ i = k (( n ' ) 2 − ( n" ) 2 − sin 2 θ i ) + i 2n ' n"
(1-191)
为方便起见，将k(t)z表示成如下复数形式
2 2
这两个波动方程差别在于以复数值μεα代替了με。
对于金属中的单色平面光波， 其电场表示式为
E = E0 e
− i ( ωt − k k0 ⋅r )
(1-180)
式中，k0为波矢方向的单位矢量；k为“复波数”，且
σ k = ω µεα = ω µ ε + i ω
若令
(1-181)
金属界面的反射率公式与介质情况相同，只是折射率应由 复折射率替代。例如，光波垂直入射到空气-金属界面时，反射 率公式为
~ −1 2 n 2 R =| r | = ~ n +1
( n' ) 2 + (n" ) 2 + 1 − 2n' R= (( n' ) 2 + (n" ) 2 ) + 1 + 2n'
z≥0
(1-187)
相应的反射光和金属中折射光的电场形式为
Er = E0 r e − i [ωt −( k sinθ r ) x −( k cosθ r ) z ] Et = E0 t e
~ ~ −i [ωt −( k sin θ t ) x + ( k cosθ t ) z ]
z>0 (1-188) z<0
2. 光在金属表面上的反射和折射 对于光在金属表面上的反射和折射，其讨论方法与电介质界面 的情况相同。 如图所示，设z=0平面为分界面，上半空间为空气，下半空间为 金属。 首先讨论s分量的反射、折射特性。 设空气中入射光的电场表达式为
Ei = E0i e
− i [ωt −( k sin θ i ) x + ( k cosθ i ) z ]
tan (θ i − θ t ) rp = tan (θ i + θ t ) =| rp | e
iϕ rp
但是，由于φrp 与φrs不同，因此金属表面的反射将改变入射光的 偏振态。若入射光为线偏振光，其振动面与入射面间有一定的 夹角，则由于反射光的s分量和p分量之间有一个相位差∆φ=φrpφrs ，而使反射光变成椭圆偏振光。对于椭圆偏振光的参数进行 ~ 测量， 可以确定出金属材料的复折射率 n ，从而可求出ε、µ、 σ 等物质常数。
∂2E ∇ × (∇ × E ) = − µε 2 ∂t
利用矢量微分恒等式
∇ × (∇ × A) = ∇ × (∇ ⋅ A) = −∇ 2 A
并考虑到 ∇ ⋅ D = 0 式， 可得
∂ E ∇ E − µε 2 = 0 ∂t
2 2
同理可得
∂2 H ∇ 2 H − µε 2 = 0 ∂t
∂ E ∇ E − µεα 2 = 0 ∂t 2 ∂ H 2 ∇ H − µεα 2 = 0 ∂t
~ ~ ~ω k = nk = n c
~ = c µ ε + i σ n ω
(1-182)
则
(1-183)
~ ~ 该 n 是金属中的复折射率。如果将 n 写成实、虚部形式
~ = c µ ε + i σ n ω
则可解得
µ 2σ 2 µε + µ 2ε 2 + 2 ω (n' )2 = c 2 2 2 2 2 1 µσ c 2 (n' ' ) = 2 2ω µ 2σ 2 µε + µ 2ε 2 + 2 ω
σ ∂D ∇ × H − 1 + i =0 εω ∂t
∇× H = J + ∂D LL (1 − 4) ∂t
(1-176)
若令复数α为 上式可改写为
σ α = 1+ i εω
∇ × H −α
(1-177)
∂D (1-178) =0 ∂t 由于金属中的电导率σ很大，即使某时刻存在电荷密度ρ，
z0 ≈ 3 × 10−6 mm = 3nm
可见，入射光只能透入金属表面很薄的一层内。所以，在通常 情况下，金属是不透明的，只有把它做成很薄的薄膜(比如镀铝 的半透膜)时，才可以变成半透明的。 至于由金属表面向空气中的反射波，由于波矢k(r)为实数值， 所以它是按照反射定律(θr=θi)传播的均匀波(等振幅面与等相位 面一致)。 不过，由于rs为复数值，
k
( t )' z
≈k
( t )" z
≈
ωµσ
2
(1-196)
定义光波振幅衰减到表面振幅1/e的传播距离为穿透深度，则由 上式及(1-195)式，穿透深度为
z0 =
1 k
( t )" z
≈
2
ωµσ
(1-197)
例如，对于铜，µ=µ0=4π×10-7H/m，σ≈5.9×107 ( ·m) ， 如 果光波频率ν=5×1014Hz(黄光)，可算得
(1-185)
于是，金属中的单色平面光波电场表示式为
E = E0 e = E0 e
−i [ωt − ( n ' + in n )( k0 ⋅r )] c
ω
(1-186)
− n ' ' ( k0 ⋅r ) −i [ωt − n '( k0 ⋅r )] c c
ω
ω
e
这说明，金属中传播的单色平面光波是一个衰减的平面波，n′是 光在金属中传播时的折射率，n″是描述光在金属中传播时衰减 特性的量，它们都是光频率ω的函数。
e
(1-193)
这时，菲涅耳公式仍然成立，只是θt为复数角度。由(1-138)式有
2 cosθ i sin θ t ts = sin(θ i + θ t ) =| ts | e jϕ ts
(1-194)
于是，金属中的折射光电场表示式为
Et = E0 i | t s | e
( ( k z t )" − i [ωt −( k sin θ i ) x + k z t )明，金属中的折射光是一个沿-z方向衰减的非均匀波， z=常数的平面为等振幅面，满足
( k sin θ i ) x − k z( t )' z = 常数