中职教育-数学(基础模块)上册课件：第一章.ppt

例2 用符号“∈”或“∉”填空： （1） 5_____N， －2_____N， 3.7_____N； （2） 0_____Z， 2.3_____Z， －5_____Z； （3） π_____Q， －1.6_____Q， 9.21_____Q； （4） 3 _____R， －2_____R， 4.7_____R．
两个解集的交集就是二元一次方程组
4x 5x
y6 y3
的解集．解
这个二元一次方程组得
x y
1 2
，所以
A I B (x ，y) | 4x y 6 I (x ，y) | 5x y 3
(x ，y)
4x 5x
y y
6 3
(x
，y)
x 1
y
2
(1，2)．
1.3.2 并集
解 将集合A，B在数轴上表示出来，如图1-3所示．
图1-3
从图中可以看出，着色部分即为集合A，B的交集，即
A I B x | x 厔3 I x | x 2 x | 3 x 2
例3 设A (x ，y) | 4x y 6 ，B (x ，y) | 5x y 3 ，
求 AI B．
解 集合A，B分别表示方程4x y 6 ，5x y 3 的解集，
一般地，对于两个给定的集合A，B，由集合A，B的所有元 素组成的集合称为A与B的并集，记作 A U B ，读作“A并B”．
集合A与集合B的并集可用描述法表示为
A U B x | x A或 x B
也可用图1-4中的着色部分来表示．
图1-4
由并集的定义可知，对于任何集合A与B，都有 A U A A ，A U B B U A ，A U A．
1.2.1 子集与真子集
1．子集 一般地，如果集合B中的每一个元素都是集合A的元素， 那么集合B称为集合A的子集，记作B A（或 A B ），读作 “B包含于A”（或“A包含B”）．
显然，任何一个集合A的所有元素都属于它本身，所以任 何一个集合都是它自身的子集，即A A ．
我们规定，空集是任何集合的子集．也就是说，对于任 何一个集合A，都有 A ．
它的真子集．
1.2.2 集合相等
一般地，如果两个集合的元素完全相同，那么就说这两个 集合相等．集合A等于集合B，记作 ，读作“A等于B”．
由集合相等的定义可知，x | x2 3x 2 0 1，2 ．
显然，若集合A B ，则A B 且B A ．
例3 判断集合A x |1 x 4 ，x N与 B x | x2 5x 6 0
如果集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有 元素组成的集合称为A在全集U中的补集，记作ðU A ，读作“A 在U中的补集”．
集合A在全集U中的补集 可用描述法表示为
ðU A x | x U 且 x A
也可用图1-6中的着色部分来 表示．
图1-6
如果全集U为实数集R，可以将ðU A 中的U省略，简记 为ð A ，读作“A的补集”．
特别地，不含任何元素的集合称为空集，记作 ．例如， 方程 x2 1 0 在实数范围内的解集就是空集．
例1 下列对象能否组成一个集合？ （1）所有短发的女生； （2）小于10的正奇数； （3）方程x2－9=0的所有解； （4）不等式x－7＞0的所有解．
解 （1）由于短发没有具体的标准，表述的对象是不确 定的，所以不能构成一个集合．
g ，o ，d．
（2）解方程x2 2x 3 0 得
所以该方程的解集为
x1 3，x2 1，
3，1 ．
例4 用描述法表示下列集合： （1）大于3的所有奇数组成的集合； （2）不等式3x 1…0 的解集； （3）直线 y 2x 1 上的点组成的集合．
解 （1）该集合中元素的共同属性可以描述为 x 3，且x 2k 1，k Z ，
所以这个集合可以表示为
x | x 3，且x 2k 1，k Z ．
（2）解不等式3x 1…0 得 x … 1 ，所以该不等式的解
3
集为
x
|
x
…．1
3
（3）平面直角坐标系中的点可表示为(x ，y) ，因此直线 y 2x 1上的点组成的集合为
(x ，y) | y 2x 1．
1.2 集合之间的关系
2．真子集 如果集合B是集合A的子集，并且A中至少有一个元素不属 于B，那么集合B称为集合A的真子集，记作B Ü A（或 A Ý B ）， 读作“B真包含于A”（或“A真包含B”）． 易知，空集是任何非空集合的真子集．
当集合B是集合A的真 子集时，可用图1-1直观地 表示．两条封闭曲线的内 部分别表示集合A、B．
的关系．
解 集合A用列举法可以表示为2 ，3；而方程 x2 5x 6 0 的解为x1 2 ，x2 3 ，所以集合B用列举法可以表示为2 ，3 ，
因此这两个集合的元素完全相同，所以A=B．
1.3 集合的基本运算
1.3.1 交集
一般地，对于两个给定的集合A，B，由既属于A又属于B的 所有元素组成的集合称为A与B的交集，记作A∩B，读作“A交 B”．
例 指出条件p是结论q的什么条件． （1）p ：x 1 ，q ：| x| 1； （2）p ：x 5 ，q ：x 0； （3）p ：x 4 ，q ：(x 4)2 0 ； （4）p ：x 0 ，q ：xy 0； （5）p ：x2 49，q ：x 7 0； （6）p ： 4x 12 0 ，q ：x 3 ．
例7 设 U R ，A x | 0 „ x 4，求ð A ．
解 将集合A在数轴上表示出来，如图1-7所示．
图1-7
从图中可以看出，着色部分即为A的补集，即
ð A x | x 0 或 x …4．
1.4 充要条件
给定条件p和结论q： （1）如果由条件p成立能推出结论q成立，则称条件p是结 论q的充分条件，记作p q ． （2）如果由结论q成立能推出条件p成立，则称条件p是结 论q的必要条件，记作 q p（或 p q ）． 如果p既是q的充分条件（ p q），又是q的必要条件 （ q p），则称p是q的充分且必要条件，简称充要条件，记 作 p q．
（2）由于小于10的正奇数包括1，3，5，7，9五个数， 它们是确定的对象，因此可以构成一个集合．
（3）方程 x2 9 0 的解为3和－3 ，它们是确定的对象， 因此可以构成一个集合．
（4）解不等式x 7 0 ，可得 x 7，它们是确定的对象， 因此可以构成一个集合．由方程的所有解组成的集合称为这个 方程的解集；由不等式的所有解组成的集合称为这个不等式的 解集．显然，方程的解集和不等式的解集都是数集．
给定一个集合A，如果a是集合A的元素，就说a属于A，记 作a A ；如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a A ．
一个集合可以包含有限个元素，也可以包含无限个元素．我 们把含有有限个元素的集合称为有限集，如方程x2 9 0 的解 集；含有无限个元素的集合称为无限集，如N，N， Z，Q，R等．
图1-1
例1 用适当的符号（ 、 、 、 ）填空：
（1）x | x2 16 _____4；
（2）x | x 3 _____x | x 2 ； （3） _____0 ，1，2； （4）2 ，5 _____ 2 ，3，5，7； （5）b _____ a ，b ，c ；
（6）N _____Q；
（7）0_____ 1，2 ．
解 （1） ， ， ； （2） ， ， ； （3） ， ，； （4） ， ， ．
1.1.2 集合的表示方法
1．列举法
对于有的集合，我们可以在大括号中将它的元素一一列举 出来，元素之间用逗号隔开，这种表示集合的方法称为列举 法．
例如，由大于3且小于10的所有偶数组成的集合可以表示 为
4 ，6 ，8 ．
解 （1）由于方程 x2 16 的解为 x1 4，x2 4 ，解集
为4 ，4，所以x | x2 16 4 ．
（2）集合x | x 3的元素都是集合x | x 2的元素， 因此 x | x 3 x | x 2．
（3）空集是任何集合的子集，因此 0 ，1，2 ．
（4）集合2 ，5 的元素都是集合 2 ，3，5，7 的元素，因 此 2 ，5 2 ，3，5，7．
由补集的定义可知，对于任何集合A，都有 A U ðU A U，A I ðU A ，痧U ( U A) A ．
例6 设U 0 ，1，2 ，3，4 ，5，6 ，7，A 1，3，5，7，B 0 ，2 ，4，
求ðU A 和ðU B ．
解 ðU A 0 ，2 ，4 ，6 ，ðU B 1，3，5，6 ，7．
（5） b是集合a ，b ，c 的元素，因此b a ，b ，c ．
（6）正整数都是有理数，因此N Q．
（7）0不是集合1，2 的元素，因此0 1，2．
例2 写出集合A 2 ，4 ，6的所有子集和真子集．
解 集合A的所有子集为
，2，4 ，6，2，4，2，6，4，6，2，4，6． 在上述子集中，除了集合A自身2 ，4 ，6 外，其余的都是
例4 设A 0 ，1，2 ，3，B 1，3，5，7 ，求A U B ． 解 A U B 0 ，1，2 ，3 U1，3，5，7 0 ，1，2 ，3，5，7 例5 设A x | 2 x 3 ，B x |1剟x 5 ，求A U B ．
解 将集合A、B在数轴上表示出来，如图1-5所示．
图1-5
从图中可以看出，着色部分即为集合A、B的并集，即
A U B x | 2 x 3 Ux |1剟x 5 x | 2 x „ 5．
1.3.3 补集
在研究集合与集合之间的关系时，如果一些集合都是某个 给定集合的子集，则称这个给定的集合为全集，一般用U表 示．例如，在研究数集时，经常把实数集R作为全集．
集合A与集合B的交集可用描述 法表示为
A I B x | x A且 x B，
也可用图1-2中的着色部分来表示．