2014届山西省高三高考考前质量监测文科数学试题(含答案)(2014.03)(清晰扫描版)
2014年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版)(含答案及解析)
2014年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．（5分）设集合M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，则M∩N中元素的个数为（）A．2B．3C．5D．72．（5分）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（）A．B．C．﹣D．﹣3．（5分）不等式组的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜﹣1}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜1}D．{x|x＞1}4．（5分）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．5．（5分）函数y=ln（+1）（x＞﹣1）的反函数是（）A．y=（1﹣e x）3（x＞﹣1）B．y=（e x﹣1）3（x＞﹣1）C．y=（1﹣e x）3（x∈R）D．y=（e x﹣1）3（x∈R）6．（5分）已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣）•=（）A．﹣1B．0C．1D．27．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种8．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2=3，S4=15，则S6=（）A．31B．32C．63D．649．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1B．+y2=1C．+=1D．+=110．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．11．（5分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（）A．2B．2C．4D．412．（5分）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f（9）=（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．（5分）（x﹣2）6的展开式中x3的系数是．（用数字作答）14．（5分）函数y=cos2x+2sinx的最大值是．15．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为．16．（5分）直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．三、解答题17．（10分）数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2=2a n+1﹣a n+2．（Ⅰ）设b n=a n+1﹣a n，证明{b n}是等差数列；（Ⅱ）求{a n}的通项公式．18．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC 上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．20．（12分）设每个工作日甲，乙，丙，丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）实验室计划购买k台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值．21．（12分）函数f（x）=ax3+3x2+3x（a≠0）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围．22．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．2014年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．（5分）设集合M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，则M∩N中元素的个数为（）A．2B．3C．5D．7【考点】1A：集合中元素个数的最值；1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】根据M与N，找出两集合的交集，找出交集中的元素即可．【解答】解：∵M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，∴M∩N={1，2，6}，即M∩N中元素的个数为3．故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【专题】56：三角函数的求值．【分析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．【解答】解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x=﹣4，y=3，r==5．∴cosα===﹣，故选：D．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．3．（5分）不等式组的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜﹣1}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜1}D．{x|x＞1}【考点】7E：其他不等式的解法．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】解一元二次不等式、绝对值不等式，分别求出不等式组中每个不等式的解集，再取交集，即得所求．【解答】解：由不等式组可得，解得0＜x＜1，故选：C．【点评】本题主要考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法，属于基础题．4．（5分）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】5G：空间角．【分析】由E为AB的中点，可取AD中点F，连接EF，则∠CEF为异面直线CE 与BD所成角，设出正四面体的棱长，求出△CEF的三边长，然后利用余弦定理求解异面直线CE与BD所成角的余弦值．【解答】解：如图，取AD中点F，连接EF，CF，∵E为AB的中点，∴EF∥DB，则∠CEF为异面直线BD与CE所成的角，∵ABCD为正四面体，E，F分别为AB，AD的中点，∴CE=CF．设正四面体的棱长为2a，则EF=a，CE=CF=．在△CEF中，由余弦定理得：=．故选：B．【点评】本题考查异面直线及其所成的角，关键是找角，考查了余弦定理的应用，是中档题．5．（5分）函数y=ln（+1）（x＞﹣1）的反函数是（）A．y=（1﹣e x）3（x＞﹣1）B．y=（e x﹣1）3（x＞﹣1）C．y=（1﹣e x）3（x∈R）D．y=（e x﹣1）3（x∈R）【考点】4R：反函数．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】由已知式子解出x，然后互换x、y的位置即可得到反函数．【解答】解：∵y=ln（+1），∴+1=e y，即=e y﹣1，∴x=（e y﹣1）3，∴所求反函数为y=（e x﹣1）3，故选：D．【点评】本题考查反函数解析式的求解，属基础题．6．（5分）已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣）•=（）A．﹣1B．0C．1D．2【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得、的值，可得（2﹣）•的值．【解答】解：由题意可得，=1×1×cos60°=，=1，∴（2﹣）•=2﹣=0，故选：B．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题．7．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】5O：排列组合．【分析】根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C62=15种选法，再从5名女医生中选出1人，有C51=5种选法，则不同的选法共有15×5=75种；故选：C．【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同．8．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2=3，S4=15，则S6=（）A．31B．32C．63D．64【考点】89：等比数列的前n项和．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】由等比数列的性质可得S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，代入数据计算可得．【解答】解：S2=a1+a2，S4﹣S2=a3+a4=（a1+a2）q2，S6﹣S4=a5+a6=（a1+a2）q4，所以S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，即3，12，S6﹣15成等比数列，可得122=3（S6﹣15），解得S6=63故选：C．【点评】本题考查等比数列的性质，得出S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列是解决问题的关键，属基础题．9．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1B．+y2=1C．+=1D．+=1【考点】K4：椭圆的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用△AF1B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程．【解答】解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴，c=1，∴b==，∴椭圆C的方程为+=1．故选：A．【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．10．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积．【解答】解：设球的半径为R，则∵棱锥的高为4，底面边长为2，∴R2=（4﹣R）2+（）2，∴R=，∴球的表面积为4π•（）2=．故选：A．【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题．11．（5分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（）A．2B．2C．4D．4【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组即可得到结论．【解答】解：∵：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，∴e=，双曲线的渐近线方程为y=，不妨取y=，即bx﹣ay=0，则c=2a，b=，∵焦点F（c，0）到渐近线bx﹣ay=0的距离为，∴d=，即，解得c=2，则焦距为2c=4，故选：C．【点评】本题主要考查是双曲线的基本运算，利用双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组是解决本题的关键，比较基础．12．（5分）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f（9）=（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据函数的奇偶性的性质，得到f（x+8）=f（x），即可得到结论．【解答】解：∵f（x+2）为偶函数，f（x）是奇函数，∴设g（x）=f（x+2），则g（﹣x）=g（x），即f（﹣x+2）=f（x+2），∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x+2）=f（x+2）=﹣f（x﹣2），即f（x+4）=﹣f（x），f（x+8）=f（x+4+4）=﹣f（x+4）=f（x），则f（8）=f（0）=0，f（9）=f（1）=1，∴f（8）+f（9）=0+1=1，故选：D．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴是解决本题的关键．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．（5分）（x﹣2）6的展开式中x3的系数是﹣160．（用数字作答）【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】根据题意，由二项式定理可得（x﹣2）6的展开式的通项，令x的系数为3，可得r=3，将r=3代入通项，计算可得T4=﹣160x3，即可得答案．【解答】解：根据题意，（x﹣2）6的展开式的通项为T r=C6r x6﹣r（﹣2）r=（﹣1）+1r•2r•C6r x6﹣r，令6﹣r=3可得r=3，此时T4=（﹣1）3•23•C63x3=﹣160x3，即x3的系数是﹣160；故答案为﹣160．【点评】本题考查二项式定理的应用，关键要得到（x﹣2）6的展开式的通项．14．（5分）函数y=cos2x+2sinx的最大值是．【考点】HW：三角函数的最值．【专题】11：计算题．【分析】利用二倍角公式对函数化简可得y=cos2x+2sinx=1﹣2sin2x+2sinx=，结合﹣1≤sinx≤1及二次函数的性质可求函数有最大值【解答】解：∵y=cos2x+2sinx=1﹣2sin2x+2sinx=又∵﹣1≤sinx≤1当sinx=时，函数有最大值故答案为：【点评】本题主要考查了利用二倍角度公式对三角函数进行化简，二次函数在闭区间上的最值的求解，解题中要注意﹣1≤sinx≤1的条件．15．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为5．【考点】7C：简单线性规划．【专题】31：数形结合．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得C（1，1）．化目标函数z=x+4y为直线方程的斜截式，得．由图可知，当直线过C点时，直线在y轴上的截距最大，z最大．此时z max=1+4×1=5．故答案为：5．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．16．（5分）直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．【考点】IV：两直线的夹角与到角问题．【专题】5B：直线与圆．【分析】设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，由直角三角形中的边角关系求得sinθ=的值，可得cosθ、tanθ 的值，再根据tan2θ=，计算求得结果．【解答】解：设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，且点A与圆心O之间的距离为OA==，圆的半径为r=，∴sinθ==，∴cosθ=，tanθ==，∴tan2θ===，故答案为：．【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的变角关系，同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用，属于中档题．三、解答题17．（10分）数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2=2a n+1﹣a n+2．（Ⅰ）设b n=a n+1﹣a n，证明{b n}是等差数列；（Ⅱ）求{a n}的通项公式．【考点】83：等差数列的性质；84：等差数列的通项公式；8H：数列递推式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）将a n=2a n+1﹣a n+2变形为：a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n+2，再由条件得+2b n+1=b n+2，根据条件求出b1，由等差数列的定义证明{b n}是等差数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）和等差数列的通项公式求出b n，代入b n=a n+1﹣a n并令n从1开始取值，依次得（n﹣1）个式子，然后相加，利用等差数列的前n项和公式求出{a n}的通项公式a n．=2a n+1﹣a n+2得，【解答】解：（Ⅰ）由a n+2a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n+2，由b n=a n+1﹣a n得，b n+1=b n+2，即b n﹣b n=2，+1又b1=a2﹣a1=1，所以{b n}是首项为1，公差为2的等差数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，由b n=a n+1﹣a n得，a n+1﹣a n=2n﹣1，则a2﹣a1=1，a3﹣a2=3，a4﹣a3=5，…，a n﹣a n﹣1=2（n﹣1）﹣1，所以，a n﹣a1=1+3+5+…+2（n﹣1）﹣1==（n﹣1）2，又a1=1，所以{a n}的通项公式a n=（n﹣1）2+1=n2﹣2n+2．【点评】本题考查了等差数列的定义、通项公式、前n项和公式，及累加法求数列的通项公式和转化思想，属于中档题．18．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HP：正弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】由3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC，利用tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）即可得出．【解答】解：∵3acosC=2ccosA，由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，∴3tanA=2tanC，∵tanA=，∴2tanC=3×=1，解得tanC=．∴tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）=﹣=﹣=﹣1，∵B∈（0，π），∴B=【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC 上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；（Ⅱ）作辅助线可证∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，解三角形由反三角函数可得．【解答】解：（Ⅰ）∵A1D⊥平面ABC，A1D⊂平面AA1C1C，∴平面AA1C1C⊥平面ABC，又BC⊥AC∴BC⊥平面AA1C1C，连结A1C，由侧面AA1C1C为菱形可得AC1⊥A1C，又AC1⊥BC，A1C∩BC=C，∴AC1⊥平面A1BC，AB1⊂平面A1BC，∴AC1⊥A1B；（Ⅱ）∵BC⊥平面AA1C1C，BC⊂平面BCC1B1，∴平面AA1C1C⊥平面BCC1B1，作A1E⊥CC1，E为垂足，可得A1E⊥平面BCC1B1，又直线AA1∥平面BCC1B1，∴A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离，即A1E=，∵A1C为∠ACC1的平分线，∴A1D=A1E=，作DF⊥AB，F为垂足，连结A1F，又可得AB⊥A1D，A1F∩A1D=A1，∴AB⊥平面A1DF，∵A1F⊂平面A1DF∴A1F⊥AB，∴∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，由AD==1可知D为AC中点，∴DF==，∴tan∠A1FD==，∴二面角A1﹣AB﹣C的大小为arctan【点评】本题考查二面角的求解，作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键，属中档题．20．（12分）设每个工作日甲，乙，丙，丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）实验室计划购买k台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）把4个人都需使用设备的概率、4个人中有3个人使用设备的概率相加，即得所求．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得若k=2，不满足条件．若k=3，求得“同一工作日需使用设备的人数大于3”的概率为0.06＜0.1，满足条件，从而得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得“同一工作日至少3人需使用设备”的概率为0.6×0.5×0.5×0.4+（1﹣0.6）×0.5×0.5×0.4+0.6×（1﹣0.5）×0.5×0.4+0.6×0.5×（1﹣0.5）×0.4+0.6×0.5×0.5×（1﹣0.4）=0.31．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得若k=2，则“同一工作日需使用设备的人数大于2”的概率为0.31＞0.1，不满足条件．若k=3，则“同一工作日需使用设备的人数大于3”的概率为0.6×0.5×0.5×0.4=0.06＜0.1，满足条件．故k的最小值为3．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．21．（12分）函数f（x）=ax3+3x2+3x（a≠0）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【专题】53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过导数为0，利用二次函数的根，通过a的范围讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＞0，x＞0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当a＜0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，推出f′（1）≥0且f′（2）≥0，即可求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=ax3+3x2+3x，∴f′（x）=3ax2+6x+3，令f′（x）=0，即3ax2+6x+3=0，则△=36（1﹣a），①若a≥1时，则△≤0，f′（x）≥0，∴f（x）在R上是增函数；②因为a≠0，∴a≤1且a≠0时，△＞0，f′（x）=0方程有两个根，x1=，x2=，当0＜a＜1时，则当x∈（﹣∞，x2）或（x1，+∞）时，f′（x）＞0，故函数在（﹣∞，x2）或（x1，+∞）是增函数；在（x2，x1）是减函数；当a＜0时，则当x∈（﹣∞，x1）或（x2，+∞），f′（x）＜0，故函数在（﹣∞，x1）或（x2，+∞）是减函数；在（x1，x2）是增函数；（Ⅱ）当a＞0，x＞0时，f′（x）=3ax2+6x+3＞0 故a＞0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当a＜0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当且仅当：f′（1）≥0且f′（2）≥0，解得﹣，a的取值范围[）∪（0，+∞）．【点评】本题考查函数的导数的应用，判断函数的单调性以及已知单调性求解函数中的变量的范围，考查分类讨论思想的应用．22．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得x0=，根据|QF|=|PQ|求得p的值，可得C的方程．（Ⅱ）设l的方程为x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|．由于MN垂直平分线段AB，故AMBN 四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，由此求得m的值，可得直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C：y2=2px （p＞0），可得x0=，∵点P（0，4），∴|PQ|=．又|QF|=x0+=+，|QF|=|PQ|，∴+=×，求得p=2，或p=﹣2（舍去）．故C的方程为y2=4x．（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2=4x的焦点F（1，0），设l的方程为x=my+1（m≠0），代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4=0，显然判别式△=16m2+16＞0，y1+y2=4m，y1•y2=﹣4．∴AB的中点坐标为D（2m2+1，2m），弦长|AB|=|y1﹣y2|==4（m2+1）．又直线l′的斜率为﹣m，∴直线l′的方程为x=﹣y+2m2+3．过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，把线l′的方程代入抛物线方程可得y2+y﹣4（2m2+3）=0，∴y3+y4=，y3•y4=﹣4（2m2+3）．故线段MN的中点E的坐标为（+2m2+3，），∴|MN|=|y3﹣y4|=，∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，∴+DE2=MN2，∴4（m2+1）2 ++=×，化简可得m2﹣1=0，∴m=±1，∴直线l的方程为x﹣y﹣1=0，或x+y﹣1=0．【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题．。
2014年山西省太原市高考一模数学试卷(文科)【解析版】
2014年山西省太原市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M＝{x|﹣1＜x＜1}，N＝{x|3x＞1}，则M∩N＝（）A．∅B．{x|x＞0}C．{x|x＜1}D．{x|0＜x＜1} 2．（5分）复数等于（）A．﹣i B．i C．﹣i D．i3．（5分）已知函数f（x）＝sin（2x+α）在x＝时有极大值，则α的一个可能值是（）A．B．﹣C．D．﹣4．（5分）下列命题中，真命题是（）A．B．∀x∈（3，+∞），x2＞2x+1C．∃x∈R，x2+x＝﹣1D．5．（5分）在五个数字1，2，3，4，5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字的和是奇数的概率是（）A．0.3B．0.4C．0.5D．0.66．（5分）已知数列{a n}，若点（n，a n）（n∈N*）在经过点（8，4）的定直线l 上，则数列{a n}的前15项和S15＝（）A．12B．32C．60D．1207．（5分）如图是一算法的程序框图，若输出结果为S＝720，则在判断框中应填入的条件是（）A．k≤6？B．k≤7？C．k≤8？D．k≤9？8．（5分）如图是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图，其俯视图是面积为的矩形，则该几何体的表面积是（）A．8B．C．16D．9．（5分）设M（x0，y0）为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是（）A．（0，2）B．[0，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）10．（5分）过双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0）作圆x2+y2＝的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若＝（+），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝，∠ASC ＝∠BSC＝30°，则棱锥S﹣ABC的体积为（）A．3B．2C．D．112．（5分）已知方程＝k在（0，+∞）上有两个不同的解α，β（α＜β），则下面结论正确的是（）A．sinα＝αcosβB．sinα＝﹣αcosβC．cosα＝βsinβD．sinβ＝﹣βsinα二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知sinα+cosα＝，则cos4α＝．14．（5分）已知P是直线3x+4y+8＝0上的动点，C是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0的圆心，那么|PC|的最小值是．15．（5分）已知点P（x，y）满足条件（k为常数），若z＝x+3y的最大值为8，则k＝．16．（5分）在数列{a n}中，已知a1＝1，a n+2＝，a100＝a96，则a9+a10＝．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC 的外接圆的半径为，且a sin A﹣c sin C＝（a﹣b）sin B．（1）求∠C；（2）求△ABC的面积S的最大值．18．（12分）某园艺师培育了两种珍稀树苗A与B，株数分别为8与12，现将这20株树苗的高度编写成如图所示茎叶图（单位：cm）．若树高在175cm以上（包括175cm）定义为“生长良好”，树高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非生长良好”，且只有“B生长良好”的才可以出售．（1）对于这20株树苗，如果用分层抽样的方法从“生长良好”和“非生长良好”中共抽取5株，再从这5株中任选2株，那么至少有一株“生长良好”的概率是多少？（2）若从所有“生长良好”中选2株，求所选中的树苗都能出售的概率．19．（12分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点O是A1C1的中点，AO⊥平面A1B1C1．已知∠BCA＝90°，AA1＝AC＝BC＝2．（1）求证：AB1⊥A l C；（2）求点C到平面AA1B1的距离．20．（12分）已知函数f（x）＝（2﹣a）x﹣2（1+lnx）+a．（1）当a＝1时，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间（0，）无零点，求a的最小值．21．（12分）已知中心在原点O，左右焦点分别为F1，F2的椭圆的离心率为，焦距为2，A，B是椭圆上两点．（1）若直线AB与以原点为圆心的圆相切，且OA⊥OB，求此圆的方程；（2）动点P满足：＝+3，直线OA与OB的斜率的乘积为﹣，求动点P的轨迹方程．选修4一1：几何证明选讲22．（10分）如图，已知P A与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O 于点B，C，∠APC的平分线分别交AB，AC于点D，E．（Ⅰ）证明：∠ADE＝∠AED；（Ⅱ）若AC＝AP，求的值．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），且曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ＝．且以O为极点，X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝与曲线C2交于点D（，）．（1）求曲线C1的普通方程，C2的极坐标方程；（2）若A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）是曲线C1上的两点，求+的值．选修4-5：不等式选讲24．选修4﹣5：不等式选讲已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣3|．（Ⅰ）解不等式f（x）≤4；（Ⅱ）若存在x使得f（x）+a≤0成立，求实数a的取值范围．2014年山西省太原市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M＝{x|﹣1＜x＜1}，N＝{x|3x＞1}，则M∩N＝（）A．∅B．{x|x＞0}C．{x|x＜1}D．{x|0＜x＜1}【解答】解：由N中的不等式变形得：3x＞1＝30，得到x＞0，∴N＝{x|x＞0}，∵M＝{x|﹣1＜x＜1}，∴M∩N＝{x|0＜x＜1}．故选：D．2．（5分）复数等于（）A．﹣i B．i C．﹣i D．i【解答】解：＝＝．故选：D．3．（5分）已知函数f（x）＝sin（2x+α）在x＝时有极大值，则α的一个可能值是（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：原函数f（x）＝sin（2x+α）在x＝时有极大值，即2×＝2kπ+，α＝2kπ+，k∈Z，当k＝0时，α＝．故选：A．4．（5分）下列命题中，真命题是（）A．B．∀x∈（3，+∞），x2＞2x+1C．∃x∈R，x2+x＝﹣1D．【解答】解：B项是正确的．∀x∈（3，+∞），x2﹣（2x+1）＝（x﹣1）2﹣2＞2＞0，由于对∀x∈R，sin x+cos x ≤，故A错误，方程x2+x+1＝0无实根，故C项错误；对于∀x∈（，π）tan x＜0＜sin x，故D错误．故选：B．5．（5分）在五个数字1，2，3，4，5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字的和是奇数的概率是（）A．0.3B．0.4C．0.5D．0.6【解答】解：根据题意，从5个数字中选3个，共有C53＝10种情况，满足条件的是剩下两个数字的和是奇数，即取出的三个数为两奇一偶；有C32C21＝6种结果，故剩下两个数字的和是奇数的概率是P＝．故选：D．6．（5分）已知数列{a n}，若点（n，a n）（n∈N*）在经过点（8，4）的定直线l 上，则数列{a n}的前15项和S15＝（）A．12B．32C．60D．120【解答】解：由题意可得a8＝4∵点（n，a n）（n∈N*）在经过点（8，4）的定直线l上＝k（为常数）∴a n可写为关于n的一次函数即可设a n＝kn+m，则a n﹣a n﹣1∴{a n}为等差数列由等差数列的性质可知，a1+a15＝2a8＝8∴＝15a8＝60故选：C．7．（5分）如图是一算法的程序框图，若输出结果为S＝720，则在判断框中应填入的条件是（）A．k≤6？B．k≤7？C．k≤8？D．k≤9？【解答】解：根据程序框图，运行结构如下：S K第一次循环10 9第二次循环90 8第三次循环720 7此时退出循环，故应填K≤7？故选：B．8．（5分）如图是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图，其俯视图是面积为的矩形，则该几何体的表面积是（）A．8B．C．16D．【解答】解：此几何体是一个三棱柱，且其高为＝4，由于其底面是一个等腰直角三角形，直角边长为2，所以其面积为×2×2＝2，又此三棱柱的高为4，故其侧面积为，（2+2+2）×4＝16+8，表面积为：2×2+16+8＝20+8．故选：B．9．（5分）设M（x0，y0）为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是（）A．（0，2）B．[0，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）【解答】解：由条件|FM|＞4，由抛物线的定义|FM|＝y0+2＞4，所以y0＞2故选：C．10．（5分）过双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0）作圆x2+y2＝的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若＝（+），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵|OF|＝c，|OE|＝，∴|EF|＝，∵，∴|PF|＝2，|PF'|＝a，∵|PF|﹣|PF′|＝2a，∴2﹣a＝2a，∴，故选：C．11．（5分）已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝，∠ASC ＝∠BSC＝30°，则棱锥S﹣ABC的体积为（）A．3B．2C．D．1【解答】解：设球心为点O，作AB中点D，连接OD，CD．因为线段SC是球的直径，所以它也是大圆的直径，则易得：∠SAC＝∠SBC＝90°所以在Rt△SAC中，SC＝4，∠ASC＝30°得：AC＝2，SA＝2又在Rt△SBC中，SC＝4，∠BSC＝30°得：BC＝2，SB＝2则：SA＝SB，AC＝BC因为点D是AB的中点所以在等腰三角形ASB中，SD⊥AB且SD＝＝＝在等腰三角形CAB中，CD⊥AB且CD＝＝＝又SD交CD于点D所以：AB⊥平面SCD即：棱锥S﹣ABC的体积：V＝AB ，•S△SCD因为：SD＝，CD＝，SC＝4 所以由余弦定理得：cos∠SDC＝（SD2+CD2﹣SC2）＝（+﹣16）＝＝则：sin∠SDC＝＝由三角形面积公式得△SCD的面积S＝SD•CD•sin∠SDC＝＝3＝＝所以：棱锥S﹣ABC的体积：V＝AB•S△SCD故选：C．12．（5分）已知方程＝k在（0，+∞）上有两个不同的解α，β（α＜β），则下面结论正确的是（）A．sinα＝αcosβB．sinα＝﹣αcosβC．cosα＝βsinβD．sinβ＝﹣βsinα【解答】解：∵有两个根，∴函数y＝|sin x|和函数y＝kx在（0，+∞）上有两个交点，x＞0且k＞0，画出两个函数的图象，如图（1）图1函数y＝|sin x|和函数y＝kx在（0，π）上有一个交点A（α，sinα），在（π，2π）上有一个切点B（β，﹣sinβ）时满足题意，α，β是方程的根．当x∈（π，2π）时，f（x）＝|sin x|＝﹣sin x，f′（x）＝﹣cos x，∴在B处的切线为y+sinβ＝f′（β）（x﹣β），将x＝0，y＝0代入方程，得sinβ＝﹣β×（﹣cosβ），∴＝cosβ，∵O，AB三点共线，∴，∴＝﹣cosβ，∴sinα＝﹣αcosβ．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知sinα+cosα＝，则cos4α＝﹣．【解答】解：∵sinα+cosα＝，平方可得1+sin2α＝，∴sin2α＝﹣．∴cos4α＝1﹣2sin22α＝1﹣2×＝﹣，故答案为：﹣．14．（5分）已知P是直线3x+4y+8＝0上的动点，C是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0的圆心，那么|PC|的最小值是3．【解答】解：由圆方程化为变形方程得：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，∴圆心C（1，1），∵圆心C到直线3x+4y+8＝0的距离d＝＝3，∴|PC|的最小值为3．故答案为：315．（5分）已知点P（x，y）满足条件（k为常数），若z＝x+3y的最大值为8，则k＝﹣6．【解答】解：画出可行域将z＝x+3y变形为y＝，画出直线平移至点A时，纵截距最大，z最大，联立方程得，代入，∴k＝﹣6．故答案为﹣616．（5分）在数列{a n}中，已知a1＝1，a n+2＝，a100＝a96，则a9+a10＝．【解答】解：∵a1＝1，a n+2＝，∴a3＝，a5＝＝，a7＝＝，a9＝＝，∵a n+2＝，a100＝a96，∴a100＝a96＝＝，∴a962+a96﹣1＝0，∴a96＝，∴a94＝，∴a10＝，∴a9+a10＝+＝．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC 的外接圆的半径为，且a sin A﹣c sin C＝（a﹣b）sin B．（1）求∠C；（2）求△ABC的面积S的最大值．【解答】解：（1）已知等式a sin A﹣c sin C＝（a﹣b）sin B，利用正弦定理化简得：a2﹣c2＝ab﹣b2，∴a2+b2﹣c2＝ab，∴cos C＝＝，∵C为三角形内角，∴C＝；（2）∵sin C＝sin＝，＝＝2R，即a＝2R sin A，b＝2R sin B，∴S＝ab sin C＝•2R sin A•2R sin B＝2sin A sin B，∵A+B＝π﹣C＝，即B＝﹣A，代入上式得：S＝ab sin C＝2sin A sin B＝2sin A sin（﹣A）＝2sin A（cos A+sin A）＝（sin2A﹣cos2A+）＝sin（2A﹣）+≤+＝，则当2A﹣＝，即A＝时，S max＝．18．（12分）某园艺师培育了两种珍稀树苗A与B，株数分别为8与12，现将这20株树苗的高度编写成如图所示茎叶图（单位：cm）．若树高在175cm以上（包括175cm）定义为“生长良好”，树高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非生长良好”，且只有“B生长良好”的才可以出售．（1）对于这20株树苗，如果用分层抽样的方法从“生长良好”和“非生长良好”中共抽取5株，再从这5株中任选2株，那么至少有一株“生长良好”的概率是多少？（2）若从所有“生长良好”中选2株，求所选中的树苗都能出售的概率．【解答】解：（1）根据茎叶图，可知“生长良好”有8株，“非生长良好”的有12株，用分层抽样的方法抽取，每株被抽取的概率是＝，从“生长良好”中共抽取株，“非生长良好”的有株．设“生长良好”的两株为1，2．“非生长良好”的3株为a，b，c．则所有的基本事件有：（1，2），（1，a），（1，b），（1，c），（2，a），（2，b），（2，c），（a，b），（a，c），（b，c）共有10种，至少有一株“生长良好”的事件有7个∴至少有一株“生长良好”的概率是．（2）依题意，一共有8株生长良好，其中A有5株，B有3株，所有可能的基本事件共有个，树苗都能出售的事件包含的基本事件为个，∴所求概率为．19．（12分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点O是A1C1的中点，AO⊥平面A1B1C1．已知∠BCA＝90°，AA1＝AC＝BC＝2．（1）求证：AB1⊥A l C；（2）求点C到平面AA1B1的距离．【解答】（1）证明：∵AO⊥平面A1B1C1，∴AO⊥，又∵A1C1⊥B1C1，且A1C1∩AO＝0，∴B1C1⊥平面A1C1CA，∴A1C⊥B1C1，又∵AA1＝AC，∴四边形A1C1CA为菱形，∴A1C⊥AC1，且B1C1∩AC1＝C1，∴A1C⊥平面AB1C1，∴AB1⊥A1C．（2）∵CC1∥平面AA1B1，∴点C到平面AA1B2的距离与点C1到平面AA1B1的距离相等，设C1到平面AA1B1的距离为d，∵＝，∴，又∵在△AA 1B1中，，，∴d＝．20．（12分）已知函数f（x）＝（2﹣a）x﹣2（1+lnx）+a．（1）当a＝1时，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间（0，）无零点，求a的最小值．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝x﹣1﹣2lnx，则f′（x）＝1﹣，定义域x∈（0，+∞），由f′（x）＞0，得x＞2；由f′（x）＜0，得0＜x＜2，故f（x）的单调减区间为（0，2），单调增区间为（2，+∞）．（2）f（x）＝（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，令m（x）＝（2﹣a）（x﹣1），x＞0；h（x）＝2lnx，x＞0，则f（x）＝m（x）﹣h（x），①当a＜2时，m（x）在（0，）上为增函数，h（x）在（0，）上为增函数．结合图象可知，若f（x）在（0，）无零点，则m（）≥h（）．即（2﹣a）×（﹣1）≥2ln，∴a≥2﹣4ln2．∴2﹣4ln2≤a＜2．②当a≥2时，在（0，）上m（x）≥0，h（x）＜0．∴f（x）＞0，∴f（x）在（0，）上无零点，由①②得a≥2﹣4ln2，∴a min＝2﹣4ln2．21．（12分）已知中心在原点O，左右焦点分别为F1，F2的椭圆的离心率为，焦距为2，A，B是椭圆上两点．（1）若直线AB与以原点为圆心的圆相切，且OA⊥OB，求此圆的方程；（2）动点P满足：＝+3，直线OA与OB的斜率的乘积为﹣，求动点P的轨迹方程．【解答】解：（1）设椭圆方程为，由，解得：．∴椭圆方程为．①设直线AB为：y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得：（1+3k2）x2+6kmx+3（m2﹣1）＝0．∴，∵OA⊥OB，∴，即x1x2+y1y2＝x1x2+（kx1+m）（kx2+m）＝＝，即4m2﹣3k2﹣3＝0．∵直线AB与以原点为圆心的圆相切，∴圆的半径，则．∴圆的方程为；②当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为，满足上述方程．综上，所求圆的方程为：．（2）设P（x，y），又A（x1，y1），B（x2，y2），由：＝+3，得，又直线OA与OB的斜率的乘积为﹣，∴，即x1x2+3y1y2＝0．∵A，B在椭圆上，∴．联立，消去x1，x2，y1，y2，得x2+3y2＝30．当OA斜率不存在时，即x 1＝0，得y1＝±1，y2＝0，．此时．同理OB斜率不存在时，．∴动点P的轨迹方程为x2+3y2＝30（）．选修4一1：几何证明选讲22．（10分）如图，已知P A与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O 于点B，C，∠APC的平分线分别交AB，AC于点D，E．（Ⅰ）证明：∠ADE＝∠AED；（Ⅱ）若AC＝AP，求的值．【解答】解：（Ⅰ）∵P A是切线，AB是弦，∴∠BAP＝∠C．又∵∠APD＝∠CPE，∴∠BAP+∠APD＝∠C+∠CPE．∵∠ADE＝∠BAP+∠APD，∠AED＝∠C+∠CPE，∴∠ADE＝∠AED．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠BAP＝∠C，∵∠APC＝∠BP A，∵AC＝AP，∴∠APC＝∠C∴∠APC＝∠C＝∠BAP．由三角形内角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP＝180°．∵BC是圆O的直径，∴∠BAC＝90°．∴∠APC+∠C+∠BAP＝180°﹣90°＝90°．∴．在Rt△ABC中，，即，∴．∵在△APC与△BP A中∠BAP＝∠C，∠APB＝∠CP A，∴△APC∽△BP A．∴．∴．…（10分）选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），且曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ＝．且以O为极点，X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝与曲线C2交于点D（，）．（1）求曲线C1的普通方程，C2的极坐标方程；（2）若A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）是曲线C1上的两点，求+的值．（1）由曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ＝可得：，【解答】解：解得，∴曲线C1的普通方程为．设圆C2的半径为R，由于射线θ＝与曲线C2交于点D（，）．可得，解得R＝1．∴圆C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ．（2）曲线C1的极坐标方程为：，化为，∵A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）是曲线C1上的两点，∴+＝＝+＝＝．选修4-5：不等式选讲24．选修4﹣5：不等式选讲已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣3|．（Ⅰ）解不等式f（x）≤4；（Ⅱ）若存在x使得f（x）+a≤0成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣3|＝，如图，它与y＝4的交点为（﹣8，4）和（2，4）．故不等式f（x）≤4的解集为[﹣8，2]．（Ⅱ）由f（x）的图象知，x ＝﹣时，f（x ）有最小值﹣，存在x使得f（x）+a≤0成立，等价于﹣a ≥﹣，a ≤，故实数a 的取值范围为（﹣∞，]．第21页（共21页）。
(完整word版)2014年全国高考数学卷文科卷1试题及答案解析,推荐文档
学校:2014年全国高考数学卷文科卷1姓名: 班级: 考号:、选择题(题型注释)1.已知集合M x|x| 2 xA. ( 2,1) B. 1,1) C.(1,3)D. 2,3)2 .若tanA. sin B. cos 0 C. sin 2 D.cos2 03.设z ，则|z|B . C. .32D. 24.已知双曲线2 2x ya2 31(a 0)的离心率为2,则aA. 2B. .62C. D. 15 .设函数f(x), g(x)的定义域为R ,且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是A. f(x)g(x)是偶函数B.| f(x)| g(x)是奇函数C. f (x) | g(x) |是奇函数D. | f (x)g(x)|是奇函数6.设D,E,F分别为ABC的三边BC,CA,AB的中点，贝U EB FC A. ADB. !ADC.27 .在函数①y cos | 2x | ,丄 BC D.2BCy |cosx |，③ y cos(2x 6),④ y tan(2x；)中，最小正周期为的所有函数为A.①②③B. ①③④C. ②④D. ①③8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是(9.执行右面的程序框图，若输入的a,b,k分别为1,2,3，则输出的M ()A. 20B. 7C. 16D. 153 2 5 810.已知抛物线c：y2 x的焦点为F, A xo,y o是C上一点，|AF |x o，则X。
（）A. 1B. 2C. 4D. 811 •已知函数f(x) ax3 3x2 1，若f(x)存在唯一的零点X0，且X0 0，则a的取值范围是(A) 2, (B) 1, (C) , 2 (D) , 1、填空题（题型注释）12.设x , y满足约束条件x y a，且z x ay的最小值为7,则ax y 1,(A) -5(B) 3(C) -5 或3(D) 5 或-313.将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________ .14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、B、C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为________ .e x 1,x 1,15 .设函数f x 1 则使得f x 2成立的x的取值范围是_______________________ .x3,x 1,16.如图，为测量山高MN ,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角MAN 60 , C点的仰角CAB 45以及MAC 75 ；从C点测得MCA 60 .已知山高BC 100m，则山高MN三、解答题（题型注释）17•已知a n 是递增的等差数列，32 , 34是方程X 2 5X 6 0的根。
2014年高三文科参考答案
2014年下学期高三调研考试数学（文科）（考试时量：120分钟 满分150分）参考答案一：单选题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，二：填空题：（本题共5小题，每小题5分，共25分。
） 11． 2±12． 18 13． 23π14． 15． 9-三：解答题：（本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字学明、证明过程或演算步骤） 16. （本小题满分12分）解：解：根据已知得2{|,34}{|,14}{1,2,3}A x x N x x x x N x ++=∈+>=∈-<<=， 2分由702x x -≤-，解得27x <≤. ∴{|,27}{3,4,5,6,7}B x x N x +=∈<≤= 4分 ∴集合C 中的元素为：（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（1，7）， （2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（2，7），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（3，7）共有15个 6分 (Ⅰ)∵（3，3）、（3，4）都在集合C 中，集合C 中共有15个元素， ∴在集合C 中随机取出一个元素(,)x y ， 取出的元素是(3,3)或(3,4)的概率等于215. 9分 （Ⅱ）∵在集合C 的元素(,)x y 中，满足6x y +≤的有（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（3，3）一共有6个，OBACDEFP∵62155=， ∴在集合C 中随机取出一个元素(,)x y ，6x y +≤的概率等于25. 12分 17．解：(Ⅰ)2()2cos cos f x x x x =+⋅1cos22x x =+2sin(2)16x π=++ 4分所以，周期T π=． 6分（Ⅱ）∵,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴ 22,663x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦ 8分1sin(2),162x π⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦∴()f x 的值域为[]0,3 12分18．解：(Ⅰ)证明：连接BD ，交AC 于点O ，连接OP ． 因为P 是DF 中点，O 为矩形ABCD 对角线的交点， 所以OP 为三角形BDF 中位线，所以BF // OP ，因为BF ⊄平面ACP ，OP ⊂平面ACP ，所以BF // 平面ACP ． 5分 （Ⅱ）因为∠BAF =90º，所以AF ⊥AB ，又因为 平面ABEF ⊥平面ABCD ， 且平面ABEF ∩平面ABCD = AB ， 所以AF ⊥平面ABCD 从而AF ⊥CD又因为四边形ABCD 为矩形 所以AD ⊥CD从而CD ⊥平面FAD 8分 所以∠CPD 就是直线PC 与平面FAD 所成的角 10分又2sin ,3CD CPD CP ∠==Q 且1CD PD PF =⇒=⇒=分 19．(Ⅰ)解法1：当1n =时，111a S p q ==++， 1分 当2n ≥时，1n n n a S S -=- 2分 ()()221121n pn q n p n q n p ⎡⎤=++--+-+=-+⎣⎦. 3分∵{}n a 是等差数列，∴1211p q p ++=⨯-+，得0q =. 4分 又2353,5,9a p a p a p =+=+=+， 5分 ∵235,,a a a 成等比数列，∴2325a a a =，即()()()2539p p p +=++， 6分解得1p =-. 7分 解法2：设等差数列{}n a 的公差为d ， 则()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭. 1分 ∵2n S n pn q =++， ∴12d =，12da p -=，0q =. 4分 ∴2d =，11p a =-，0q =. ∵235,,a a a 成等比数列，∴2325a a a =， 5分即()()()2111428a a a +=++.解得10a =. 6分 ∴1p =-. 7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得22n a n =-. 8分 ∵22log log n n a n b +=，∴221224n an n n b n n n --=⋅=⋅=⋅. 9分∴1231n n nT b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅ ， ① 10分则有()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅ ，② 11分①-②得0121344444n nn T n --=++++-⋅14414n nn -=-⋅-()13413n n -⋅-=12分 ∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. 13分 20．解：(Ⅰ)根据题意，得1(5)8y x =- []0,5x ∈． 4分 (Ⅱ)令tt ⎡∈⎣，则212x t =， 7分2211517y t t (t 2).1648168=-++=--+ 10分因为2⎡∈⎣2=时，即2x =时，y 取最大值0.875． 12分 答：总利润的最大值是0.875亿元． 13分21．解（Ⅰ）∵2()ln 1f x x a x =--的定义域为(0,)+¥，函数()f x 的图象上的每一点处的切线斜率都是正数，∴()20af x x x'=->在(0,)+¥上恒成立. 2分 ∴22a x <在(0,)+¥上恒成立 .∵220y x =>在(0,)+¥上恒成立， ∴0a ≤∴所求的a 的取值方位为(,0]-¥. 6分 （Ⅱ）当2a =时，函数()1f x y x =-的图象与()y F x =的图象没有公共点. 理由：当2a =时，2()2ln 111f x x x y x x --==--， 它的定义域为01x x >≠且，()F x 的定义域为0x ≥.当01x x >≠且时，由()()1f x F x x =-得：22ln 20x x x --+=. 8分设2()2ln 2h x x x x =--+，则21)(222)()21x h x xx x +'=--=∴当01x <<时，()0h x '<，此时，()h x 单调递减； 当1x >时，()0h x '>，此时，()h x 单调递增. ∴当2a =，01x x >≠且时，()()1f x F x x =-无实数根， 即当2a =时，函数()1f x y x =-的图象与()y F x =的图象没有公共点. 13分。
2014年山西省高考数学模拟试卷(文科)
2014年山西省高考数学模拟试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知集合A={x|y=-x2}，B={y|y=x2}，则A∩B=（）A.RB.（-∞，0）C.[0，+∞）D.{（0，0）}【答案】C【解析】解：由A中y=-x2，得到x∈R，由B中y=x2≥0，得到B=[0，+∞），∴A∩B=[0，+∞）．故选：C．求出A中x的范围，B中y的范围，确定出A与B，找出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.现有60人，将其编号为01，02，03，…，60，若用系统抽样法从中抽取6人参加某项活动，则抽到的编号可能是（）A.01，02，04，08，16，32B.03，18，23，38，43，58C.07，17，27，37，47，57D.09，15，21，27，33，39【答案】C【解析】解：60件产品，从中抽取6件，则样本号码组距为60÷6=10，A．中编号组在第一组有4个，不成立．B．中编号组距不相同，不成立．C．中编号组距是10，成立．D．中组个别组没有样本，有的组样本多，不均衡，不成立．故选：C．根据系统抽样的定义，即可得到结论．本题主要考查系统抽样的定义和应用，根据组距是判断系统抽样的基本方法．3.设角α的终边与单位圆相交于点P（，-），则sinα-cosα的值是（）A.-B.-C.D.【答案】A【解析】解：角α的终边与单位圆相交于点P（，-），则sinα=，cosα=．∴sinα-cosα==．故选：A．通过任意角的三角函数的定义．求出sinα，cosα即可．本题考查任意角的三角函数的定义，基本知识的考查．4.圆C过坐标原点，在两坐标轴上截得的线段长相等，且与直线x+y=4相切，则圆C 的方程不可能是（）A.（x+1）2+（y+1）2=18B.（x-2）2+（y+2）2=8C.（x-1）2+（y-1）2=2D.（x+2）2+（y-2）2=8【答案】A【解析】解：把坐标原点分别代入A，B，C，D四个圆的方程，只有A不成立，∴圆C的方程不可能是A．故选：A．把坐标原点分别代入A，B，C，D四个圆的方程，只有A不成立，由排除法得到圆C 的方程不可能是A．本题考查满足条件的圆的标准方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意排除法的合理运用．5.若实数x，y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（）A.[0，1]B.[1，6]C.[0，6]D.[2，6]【答案】C【解析】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=-，平移直线y=-，由图象可知当直线y=-经过点A时，直线y=-的截距最大，此时z最大．由，得，即A（2，2），此时z的最大值为z=2+2×2=6，当直线y=-经过点O时，直线y=-的截距最小，此时z最小．此时z的最小值为z=0，故0≤z≤6，故选：C．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的取值范围．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．6.设向量=，=不共线，且|+|=1，|-|=3，则△OAB的形状是（）A.等边三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形【答案】D【解析】解：由|+|=1，得=1，即①，由|-|=3，得，即②，①-②得，4=-8，解得＜0，∴∠AOB为钝角，△OAB为钝角三角形，故选：D．对|+|=1，|-|=3分别平方并作差可得，由其符号可判断∠AOB为钝角，得到答案．本题考查平面向量数量积运算，属基础题．7.已知a∈R，设p：a2+3a+2≤0；q：关于x的方程x2+2x+log2a=0有实数根．则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】解：∵P={a|a2+3a+2≤0}=[-2，-1]，Q={a|方程x2+2x+log2a=0有实数根}={a|△=4-4log2a≥0}={a|log2a≤1}=（0，2]，∵P⊈Q且P⊉Q，故p是q的既不充分也不必要条件，故选D分别求出满足条件p，q的集合P和集合Q，进而分析两个集合的包含关系，进而得到p 与q的充要关系．本题考查的知识点是充要条件，熟练掌握集合法判断充要条件的步骤是解答的关键．8.执行如图所示的程序框图，输出的S值是（）A.-B.C.0D.【答案】B【解析】解：本题为直到型循环结构的程序框图，由框图的流程知：算法的功能是求S=sin+sin+…+sin的值，∵满足条件n＞2014的最小的正整数n为2015，∴输出S=sin+sin+…+sin，由sin+sin+sin+sin+sin+sin=sin+sin+sin-sin -sin-sin=0，∴输出S=sin+sin+sinπ+sin=sin=．故选：B．算法的功能是求S=sin+sin+…+sin的值，根据判断框的条件确定跳出循环的最小的正整数n值，再利用正弦函数的周期性求输出S的值．本题考查了循环结构的程序框图，考查了正弦函数的周期，判断算法的功能是关键．9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. B. C.2 D.4【答案】B【解析】解：由已知中的三视图可知：该几何体是以侧视图为底面的四棱锥，底面S=2×2=4，高h=×2=，故体积V=S h=，故选：B由已知中的三视图可知：该几何体是以侧视图为底面的四棱锥，求出棱锥的底面面积和高，代入可得棱锥的体积．本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知分析出几何体的形状是解答的关键．10.已知F1，F2分别是双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P在C的右支上，|PF1|，|PF2|，|F1F2|成等差数列，且∠PF1F2=120°，则该双曲线的离心率是（）A. B. C.2 D.3【答案】A【解析】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，则∵点P在C的右支上，∴m-n=2a，∵|PF1|，|PF2|，|F1F2|成等差数列，∴2n=m+2c，∴m=4a+2c，n=2a+2c，∵∠PF1F2=120°，∴（4a+2c）2=（2c）2+（2a+2c）2-2•2c•（2a+2c）cos120°，整理得3a2+ac-2c2=0，∴2e2-e-3=0，∵e＞1，∴e=．故选：A．利用双曲线的定义，结合等差数列的性质，求出|PF1|、|PF2|，再利用余弦定理，建立a，c的关系，即可求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的性质，考查等差数列的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．11.已知函数f（x）=x2+mx+n（m，n∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜a-1的解集为（m-3，m+2），则实数a的值是（）A. B. C.6 D.【答案】D【解析】解：∵函数f（x）=x2+mx+n（m，n∈R）的值域为[0，+∞），∴△=m2-4n=0，①又关于x的不等式f（x）＜a-1的解集为（m-3，m+2），∴m-3和m+2为方程f（x）=a-1的两实根，∴m-3+m+2=-m，②（m-3）（m+2）=n-a+1，③由①②解得m=，n=，代入③可解得a=故选：D由已知可得△=m2-4n=0，①m-3+m+2=-m，②（m-3）（m+2）=n-a+1，③，联立可解．本题考查一元二次不等式的解法，涉及韦达定理的应用，属基础题．12.定义在R上的函数f（x）的图象既关于点（1，1）对称，又关于点（3，2）对称，则f（0）+f（2）+f（4）+…+f（14）=（）A.16B.24C.32D.48【答案】C【解析】解：定义在R上的函数f（x）的图象既关于点（1，1）对称，又关于点（3，2）对称，过点（1，1）、点（3，2）的直线方程为=，即y=（x+1），显然函数f（x）=（x+1）满足题中条件，∴f（0）+f（2）+f（4）+…+f（14）=（1+3+5+…+15）=32，故选：C．过点（1，1）、点（3，2）的直线方程为y=（x+1），显然函数f（x）=（x+1）满足题中条件，从而求得f（0）+f（2）+f（4）+…+f（14）的值．本题主要考查函数的图象的对称性，找到满足条件的一个函数f（x）=（x+1），是解题的关键，属于中档题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.若a+i=，其中i为虚数单位，a，b为实数，则a+b= ______ ．【答案】【解析】解：a+i===1-bi，由复数相等的充要条件可得：a=1，b=-1，∴a+b=0．故答案为：0．通过复数的除法运算法则，以及复数的相等的充要条件求出a，b即可．本题考查复数代数形式的混合运算，复数相等的充要条件的应用，基本知识的考查．14.已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC=2，且三棱锥外接球的表面积为36π，则PA= ______ ．【答案】2【解析】解：由PA⊥平面ABC，AB⊥AC，将三棱锥补成长方体，它的对角线是其外接球的直径，则∵三棱锥外接球的表面积为36π，∴三棱锥外接球的半径为3，直径为6，∵AB=AC=2，∴22+22+PA2=62，∴PA=2．故答案为：2．将三棱锥补成长方体，它的对角线是其外接球的直径，从而即可求得PA．本题考查球的表面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，得出将三棱锥补成长方体，它的对角线是其外接球的直径是解题的关键．15.关于函数f（x）=e（x∈R）有下列命题：①函数y=f（x）的图象关于y轴对称，②在区间（0，+∞）上，函数y=f（x）是减函数，③函数f（x）的最小值是e，④在区间（-∞，-1）上，函数f（x）是增函数，其中真命题的序号是______ ．【答案】①④【解析】解：由已知，函数f（x）=e的定义域为R，又因为f（-x）==e=f（x），所以函数f（x）是偶函数，所以①正确；当x＞0时，f（x）=，所以f′（x）=′=，令f′（x）＞0得0＜x＜1，所以f（x）在（0，1）上是增函数，令f′（x）＜0得x ＞1，所以f（x）在（1，+∞）上是减函数，所以②不对；因为f（x）是偶函数，所以函数f（x）在（0，+∞）上的最大值就是其在定义域上的最大值，由刚才计算可知f（x）max=，所以③不对；由刚才的计算可知，f（x）在（1，+∞）上是减函数，由偶函数的性质（偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性相反）可知，在区间（-∞，-1）上，函数f（x）是增函数，所以④正确．故答案为：①④易知该函数是偶函数，所以只需先研究当x∈[0，+∞）函数f（x）的性质，然后根据单调性与奇偶性之间的关系转化即可，对于②③④，都涉及到了函数的单调性，利用导数进行计算和判断即可．对于奇函数或偶函数，可以先研究其关于原点对称的一半区间上的性质，再利用其“对称性”将得到的性质进行转化，例如此题考查了偶函数的单调性、最值的性质．16.已知S n为正项数列{a n}的前n项和，且a n+12-a n+1+2=a n2，S29=a292，则a1= ______ ．【答案】8【解析】解：由a n+12-a n+1+2=a n2，得-a2-=-2，-a3-=-2，-a4-=-2，…-a29-=-2，上述各式相加得，-（a2+a3+…+a29）-=-2×28，又S29=a292，∴，解得a1=8．故答案为8．由题意可得a n+12-a n+1-a n2=-2，利用赋值法得-a2-=-2，-a3-=-2，…-a29-=-2，各式相加即可求得结论．本题主要考查递推数列的知识，考查学生对赋值法及累加法的运用能力，属中档题．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且b2=ac，sin B=sin A．（Ⅰ）求cos B．（Ⅱ）若△ABC的面积为，求BC边上中线的长．【答案】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理化简sin B=sin A，化简得：b=a，代入b2=ac，得：c=2a，∴cos B===；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：cos B=，∴sin B==，∵S△ABC=acsin B=•a•2a•=，解得：a=2，∴c=4，如图，取BC中点D，则BD=1，在△ABD中，由余弦定理得：AD2=AB2+BD2-2AB•BD cos B=16+1-6=11，则AD=．【解析】（Ⅰ）已知第二个等式利用正弦定理化简，将第一个等式代入表示出c，进而表示出b，利用余弦定理表示出cos B，将表示出的b与c代入即可求出cos B的值；（Ⅱ）根据cos B的值，利用同角三角函数基本关系求出sin B的值，利用三角形面积公式表示出三角形ABC面积，将已知面积，c=2a以及sin B的值代入求出a的值，进而求出c的值，在三角形ABD中，利用余弦定理即可求出AD的长．此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18.如图，在R t△A′BC中，A′B=BC=2，D，E分别是A′B，A′C的中点，将△A′DE沿线段DE折起到△ADE，使平面ADE⊥平面DBCE．（Ⅰ）若P，Q分别为AB，EC的中点，证明PQ∥平面AED．（Ⅱ）若M为DE的中点，求三棱锥E-PMC的体积．【答案】解：（Ⅰ）证明：如图取BD中点N，连接PN，NQ，显然PN，NQ分别是△ABD，梯形BCED的中位线，于是PN∥AD，NQ∥DE，PN⊄平面ADE，∴PN∥平面ADE，NQ∥平面ADE，又PN∩NQ=N，因此平面PNQ∥平面ADE，∴PQ∥平面AED．（Ⅱ）易知DE∥BC，故∠ADE=∠A′DE=∠A′BC=90°，即AD⊥DE，又因为平面ADE⊥平面DBCE，AD⊂平面ADE，所以AD⊥平面DBCE又PN∥AD，故PN即为三棱锥P-MEC的高，由题意，易求得PN=，BD=1，ME=，于是V E-PMC=V P-EMC==．【解析】（Ⅰ）要证明PQ∥平面AED，过PQ构造一个平面与平面AED平行，取BD中点N，连接PN，NQ，得到平面平面PNQ∥平面ADE；（Ⅱ）把求三棱锥E-PMC的体积转化成求三棱锥P-MEC的体积．本题考查了线面位置关系的证明及几何体的体积，证明线面平行可以转化成证明面面平行；求三棱锥的体积关键是通过转换顶点转化成易求底面积和高的三棱锥的体积问题．19.抛掷一枚质地不均匀的骰子，出现向上点数为1，2，3，4，5，6的概率依次记为p1，p2，p3，p4，p5，p6，经统计发现，数列{p n}恰好构成等差数列，且p4是p1的3倍．（Ⅰ）求数列{p n}的通项公式．（Ⅱ）甲、乙两人用这枚骰子玩游戏，并规定：掷一次骰子后，若向上点数为奇数，则甲获胜，否则已获胜，请问这样的规则对甲、乙二人是否公平？请说明理由；（Ⅲ）甲、乙、丙三人用这枚骰子玩游戏，根据掷一次后向上的点数决定胜出者，并制定了公平的游戏方案，试在下面的表格中列举出两种可能的方案（不必证明）．【答案】解：（Ⅰ）设数列{p n}的公差为d，由p4是p1的3倍及概率的性质，有，解得，d=，故，1≤n≤6，n∈N*（Ⅱ）不公平，甲获胜的概率P甲=p1+p2+p3=，甲获胜的概率PP乙=p4+p5+p6=，二者概率不同，所以不公平．（Ⅲ）（共6种可能，答出任意2种即可）【解析】（Ⅰ）设数列{p n}的公差为d，由p4是p1的3倍及概率的性质，得到方程，解方程，继而求得通项公式．（Ⅱ）分别求出甲乙的概率，然后比较即可．（Ⅲ）根据投掷的点数写出所有的可能即可．本题主要考查了等差数列的通项公式，概率的求法，属于基础题．20.过椭圆E：+y2=1右焦点且垂直于x轴的直线与椭圆E相交于A，B两点，直线y=x+n与椭圆E交于C，D两点，与线段AB相交于点P（与点A和B不重合）．（Ⅰ）若AB平分CD，求CD所在直线方程．（Ⅱ）四边形ABCD的面积是否有最大值，如果有，求出其最大面积，如果没有，请说明理由．【答案】解：（Ⅰ）设C（x1，y1），D（x2，y2），由题意知直线AB的方程为x=1，∵AB平分CD，∴P为CD的中点，∴P（，），∵P在直线AB上，∴x1+x2=2，联立，得3x2+4nx+2n2-2=0，∴，解得n=-，∴CD所在的直线方程为y=x-．（Ⅱ）如图，∵椭圆E：+y2=1右焦点且垂直于x轴的直线与椭圆E相交于A，B两点，直线y=x+n与椭圆E交于C，D两点，与线段AB相交于点P，∴A（1，-），B（1，），P（1，1+n），∵P在AB上，∴＜＜，解得＜＜，四边形ACBD的面积S=|AB|•|x2-x1|=，由（Ⅰ）知，，代入上式，整理得，＜＜，∵在区间（-1-，-1+）上，S关于n单调递增，∴四边形ABCD的面积S没有最大值．【解析】（Ⅰ）设C（x1，y1），D（x2，y2），由题意知直线AB的方程为x=1，P（，），由P在直线AB上，知x1+x2=2，联立，得3x2+4nx+2n2-2=0，由此能求出CD所在的直线方程．（Ⅱ）由已知条件推导出A（1，-），B（1，），P（1，1+n），＜＜，四边形ACBD的面积，＜＜，由函数的单调性推导出四边形ABCD的面积S没有最大值．本题考查直线方程的求法，考查四边形面积是否有最大值的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数的单调性的合理运用．21.已知函数f（x）=x+alnx-1，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≥lnx对于任意x∈[1，+∞）恒成立，求a的取值范围．【答案】解：（1）由f（x）=x+alnx-1，x＞0，得f′（x）=1+=，当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＜0时，若x＞-a，则f′（x）＞0，f（x）在（-a，+∞）上单调递增，若0＜x＜-a，则f′（x）＜0，f（x）在（0，-a）上单调递减．综上所述，当a≥0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调递增区间为（-a，+∞），单调递减区间为（0，-a）．（2）令g（x）=f（x）-lnx=x+（a-1）lnx-1，x∈[1，+∞），则g′（x）=．由g′（x）=0得x=1-a，当a≥0时，即1-a≤1时，g′（x）≥0，g（x）在[1，+∞）上单调递增，∴g（x）min=g（1）=0，因此，当a≥0时，g（x）≥0，f（x）≥lnx对于任意x∈[1，+∞）恒成立．当a＜0时，即1-a＞1时，若1＜x＜1-a，则g′（x）＜0，g（x）在（1，1-a）上单调递减，所以g（x）＜g（1）=0，不满足g（x）≥0，x∈[1，+∞），即不满足f（x）≥lnx对于任意x∈[1，+∞）恒成立．综上所述，a的取值范围是[0，+∞）．【解析】（1）由f（x）=x+alnx-1，x＞0，得f′（x）=1+=，利用导数与单调性的关系求单调区间，注意对a分类讨论（2）令g（x）=f（x）-lnx=x+（a-1）lnx-1，x∈[1，+∞），转化为g（x）min≥0恒成立问题．本题考查导数在研究函数问题中的应用、由不等式恒成立求解参数范围，考查等价转化思想，这种常规的数学思想方法需要理解掌握并运用．22.如图，AB为⊙O的直径，点D是⊙O上的一点，点C是弧的中点，弦CE⊥AB于F．GD是⊙O的切线，且与EC的延长线相交于点G，连接AD，交CE于点P．（Ⅰ）证明：△ACD∽△APC；（Ⅱ）若GD=+1，GC=1，求PE的长．【答案】（Ⅰ）证明：∵AB为⊙O的直径，CE⊥AB，∴=∵点C是弧AD的中点，∴，∴∠ACE=∠ADC，∴∠CAP为公共角，∴△ACD∽△APC；（Ⅱ）解：连接DE，∵GD是⊙O的切线，∴∠GDX=∠CED，∵，∴∠GED=∠ADE=∠CDA，∴∠GPD=∠GDP，∴GP=GD=+1，∵GD2=GC•GE，∴GE=3+2，∴PE=GE-GP=2+．【解析】（Ⅰ）证明，可得∠ACE=∠ADC，利用∠CAP为公共角，可得△ACD∽△APC；（Ⅱ）证明∠GED=∠ADE=∠CDA，可得∠GPD=∠GDP，所以GP=GD=+1，利用GD2=GC•GE，求出GE，即可求PE的长．此题是圆的综合题，其中涉及到切线的性质，圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握性质及定理是解决本题的关键．23.已知曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ=0（ρ≥0，0≤θ＜2π）（Ⅰ）求曲线C1与C2交点的极坐标；（Ⅱ）设曲线C1与C2的交点为A，B，线段AB上两点C，D，且|AC|=|BD|=，P为曲线C1上的点，求|PC|+|PD|的最大值．【答案】解：（Ⅰ）由，得x2+y2=2．由ρcosθ-ρsinθ=0，得x-y=0．联立，解得：x=±1．∴曲线C1与C2交点的坐标为（1，1），（-1，-1）．∵ρ≥0，0≤θ＜2π，∴曲线C1与C2交点的极坐标为，，，；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，A（1，1），B（-1，-1）．设C（m，m），D（n，n），由C，D在线段AB上，且|AC|=|BD|=，得：，，，．∴|PC|+|PD|=+=．∴=10．∴|PC|+|PD|．当且仅当或时取到“=”号．【解析】（Ⅰ）直接化圆的参数方程为普通方程，化直线的极坐标方程为直角坐标方程，联立方程组求出交点的直角坐标，然后化为极坐标；（Ⅱ）设出C，D的坐标，由两点间的距离公式求出C，D的坐标，再由连点间的距离公式得到|PC|+|PD|= ．由基本不等式得到最大值．本题考查参数方程化普通方程，考查了极坐标方程化极坐标方程，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．24.已知函数f（x）=|x-a|+2x，a∈R．（Ⅰ）当a=2时，解不等式f（x）≥4x+2的解集；（Ⅱ）若存在x使f（x）≤-|x+2|+2x+1成立，求a的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）当a=2时，|x-2|+2x≥4x+2，即|x-2|≥2x+2，∴或，∴或，∴x≤0，即不等式的解集为{x|x≤0}…5分（Ⅱ）若存在x使f（x）≤-|x+2|+2x+1成立，即存在x使|x-a|+|x+2|≤1成立，∵|x-a|+|x+2|≥|x+2-x+a|=|a+2|，∴|a+2|≤1，∴-3≤a≤-1…10分【解析】（Ⅰ）当a=2时，|x-2|+2x≥4x+2⇔|x-2|≥2x+2，对x分x-2≥0与x-2＜0讨论，去掉绝对值符号，即可求得不等式f（x）≥4x+2的解集；（Ⅱ）利用绝对值不等式|x-a|+|x+2|≥|x+2-x+a|=|a+2|及不等式|x-a|+|x+2|≤1即可求得a的取值范围．本题考查含绝对值的不等式的解法，通过分类讨论，去掉绝对值符号是解决问题的关键，着重考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．。
2014年全国高考文科数学试题及答案-新课标1
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科含答案） 1.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{}{}12|,31|≤≤-=≤≤-=x x B x x M ，则MB =（ ）A. )1,2(-B. )1,1(-C. )3,1(D. )3,2(- （2）若0tan >α，则A. 0sin >αB. 0cos >αC. 02sin >αD. 02cos >α （3）设i iz ++=11，则=||z A.21 B. 22 C. 23 D. 2 （4）已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则=a A. 2 B.26 C. 25D. 1 （5）设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是A. )()(x g x f 是偶函数B. )(|)(|x g x f 是奇函数C. |)(|)(x g x f 是奇函数D. |)()(|x g x f 是奇函数（6）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+A. ADB.AD 21 C. BC 21D. BC （7）在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为A.①②③B. ①③④C. ②④D. ①③（8）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱（9）执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =( )A.203B.72C.165D.158（10） 已知抛物线C ：x y =2的焦点为F ,()y x A,是C 上一点，xF A 045=，则=x 0（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8 （11）设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7，则a =A ．-5 B. 3 C ．-5或3 D. 5或-3（12）已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是A.()2,+∞B.()1,+∞C.(),2-∞-D.(),1-∞-第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为_____. （14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为________.（15）设函数()113,1,,1,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是________.（16）如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得 M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒.已知山高100BC m =，则山高MN =________m.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。
2014年高考模拟试题(文科)附答案
孝义市2014年高考模拟试题（文科数学）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数z 满足iiz --=12，则z 等于（ ）A.i 31+B.i -3C.i 2123-D. i 2123+2.“21=a ”是“直线013)2(=+++ay x a 与直线03)2()2(=-++-y a x a 相互垂直”的（ ）A.充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 3. 一个单位有职工800人，其中高级职称160人，中级职称320人，初级职称200人，其余人员120人，为了解职工收入情况，现采取分层抽样的方法抽取容量为40的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别为（ ）A.12,24,15,19B.9,12,12,7C.8,15,12,5D.8,16,10,64.设函数)sin()(ϕω+=x A x f （)22,0,0πϕπω<<->≠A 的图像关于直线32π=x 对称，它的周期是π，则（ ）A ．)(x f 的图象过点)21,0(B ． )(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,12ππ上是减函数C ． )(x f 图象的一个对称中心是)0,125(πD ．)(x f 的最大值是A 5. 执行右图的程序框图，若输出的5=n p 的最大值是（ ）A ．15B ．14C ．7D ．6 6.已知点)1,0(B ，P 是函数x y ln =图象上 不同于)0,1(A 的一点.有如下结论： ①存在点P 使得ABP ∆是等腰三角形； ②存在点P 使得ABP ∆是锐角三角形；③存在点P 使得ABP ∆是直角三角形.其中，正确的结论的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 37.已知幂函数)(x f y =过点)2,4(，令)()1(n f n f a n ++=，*N n ∈，记数列{na 1}的前n 项和为n S ，则n S =10时，n 的值是（ ）正视图俯视图侧视图A ．110B ．120C ．130D ．1408. 设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥12340y x x y x ，则132+++x y x 的取值范围是（ ）A ．[]5,1B ．[]6,2C ．[]10,2D ．[]11,39.已知双曲线12222=-by a x （)0,0>>b a 的右焦点,F 直线c a x 2=与其渐近线交于B A ,两点，且ABF ∆为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．),3(+∞ B.)3,1( C. )2,1( D. ),2(+∞ 10.若1>a ，设函数4)(-+=x a x f x 的零点为,m 4log )(-+=x x x g a 的零点为n ， 则nm 41+的取值范围是（ ） A.),27[+∞ B. ),49[+∞ C. ),2[+∞ D. ),29[+∞11.在ABC ∆中，C ab c b a sin 32222=++，则ABC ∆的形状是（ ） A ．正三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．直角三角形 12.已知抛物线x y M 4:2=，圆222)1(:r y x N =+-（其中r 为常数，r >0），过点)0,1(的直线交圆N 于D C ,两点，交抛物线M 于B A ,两点，则满足BD AC =的直线只有三条的必要条件．．．．是（ ） A ]1,0(∈r B. ]2,1(∈r C. ),23[+∞∈r D. )4,23(∈r13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,若B b A a sin cos =，则B A A 2cos cos sin +=________.14.若多面体的三视图如图所示，此多面体的体积为________.15.函数)1ln()(+-=x e x f x 的单调减区间为________.D 1DC 1CB1B A 1A 16.已知O 是锐角ABC ∆的外接圆的圆心，且θ=∠A ，若m 2=+，则m =________.（用θ表示） 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
山西省2014届高三高考考前质量监测语文试题(word版)
山西省2014届高三高考考前质量监测语文试题第Ⅰ卷阅读题甲必考题一、现代文阅读(9分,每小题3分)阅读下面的文字,完成1-3题。
中国绘画的“书画同源论”,从中国文字滥觞期已见端倪。
宋元以降,文人画大兴,这一艺术见解,更得到极透彻的实践。
传统画师授徒,常先课以书法；不通书法便不得进入绘画堂奥。
从苏轼到赵之谦,七八百年来,书画同源的传统已发挥得淋漓尽致。
吴昌硕继承了这个传统,并把赵之谦掺以篆刻的金石味向前推进了一大步,成为金石画派达到巅峰的画家。
“书画同源论”有没有道理?它对中国绘画发展功过如何?我们应该如何评价?在中国绘画今后的发展中我们应持什么态度?种种问题应该一一研究。
中国绘画最突出的特色在线的运用,决定了它的绘画语言就必然是符号式的表现,故其特质与书法相通。
西方绘画的符号论,到底从东方绘画得到多少借鉴,吸收了多少营养,虽然不易论断；但是西方的符号式绘画语言,要到印象派以后才发展起来,殆无疑义。
印象派诸大师受到东方的影响,是透过了“第二手”的资料——日本的浮世绘。
十九世纪下半,日本与欧洲通商,日本手工艺品和浮世绘刻版画受到印象主义画家的瞩目；单线平涂的东方表现方式打开了法国画家们另一双观察万物的眼睛。
其实,日本的古典文化几乎都移植自中国,这种线型的表现风格,还是中国绘画传统的精华。
视觉最精炼的符号必然是线型的形式,所以中国绘画的形式带有概念的性格。
西方的绘画在感觉的完整性上比较强烈,较缺少概念的性格,所以西方没有“书画同源”的传统。
象征主义等所凸显出来符号式的视觉语言,在西方是创新,在中国却是老传统。
书画同源促进了中国绘画在线条运用上多元趣味的探求；书法抽象的形式美感丰富了绘画线条的功能——线条在绘画中,一方面负担了物象描绘的功能,一方面也展现了它独立的形式美感；书画同源也造成了万物的情态与艺术技巧,在画家心象中得到自由的沟通。
比如中国书法中“悬针垂露,奔雷坠石”、“鸿飞兽骇,鸾舞蛇惊”等名论,显示了中国艺术家意识到万物的情状、艺术家的感受以及艺术创造的技巧,都可彼此相感应或互相沟通。
2014年全国高考文科数学试题及答案(山西、河南、河北、陕西)
2014年全国高考文科数学试题及答案(山西、河南、河北、陕西)2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）（课标I）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1）已知集合$M=\{x|-1\leq x\leq 3\}$，$B=\{x|-2\leq x\leq 1\}$，则$MB=$（）A。
$(-2,1)$。
B。
$(-1,1)$。
C。
$(1,3)$。
D。
$(-2,3)$2）若$\tan\alpha>0$，则（）A。
$\sin\alpha>0$。
B。
$\cos\alpha>0$。
C。
$\sin2\alpha>0$。
D。
$\cos2\alpha>0$3）设$z=\frac{1}{1+i}$，则$|z|=$（）A。
$\frac{1}{\sqrt{2}}$。
B。
$\sqrt{2}$。
C。
$1$。
D。
$2\sqrt{2}$4）已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0)$的离心率为$2$，则$a=$（）A。
$2$。
B。
$\frac{\sqrt{65}}{2}$。
C。
$1$。
D。
$\sqrt{22}$5）设函数$f(x)$，$g(x)$的定义域为$\mathbb{R}$，且$f(x)$是奇函数，$g(x)$是偶函数，则下列结论中正确的是（）A。
$f(x)g(x)$是偶函数。
B。
$|f(x)|g(x)$是奇函数C。
$f(x)|g(x)|$是奇函数。
D。
$|f(x)g(x)|$是奇函数6）设$D$，$E$，$F$分别为$\triangle ABC$的三边$BC$，$CA$，$AB$的中点，则$EB+FC=$（）A。
$AD$。
B。
$\frac{1}{2}AD$。
C。
$\frac{1}{2}BC$。
D。
$BC$7）在函数①$y=\cos|2x|$，②$y=|cosx|$，③$y=\cos(2x+\frac{\pi}{3})$，④$y=\tan(2x-\frac{\pi}{64})$中，最小正周期为$\pi$的所有函数为（）A。
2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(含解析版)
2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（ ）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3）D．（﹣2，3）2．（5分）若tanα＞0，则（ ）A．sinα＞0B．cosα＞0C．sin2α＞0D．cos2α＞0 3．（5分）设z=+i，则|z|=（ ）A．B．C．D．24．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则实数a=（ ）A．2B．C．D．15．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（ ）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数6．（5分）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（ ）A．B．C．D．7．（5分）在函数①y=cos|2x|，②y=|cosx|，③y=cos（2x+），④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（ ）A．①②③B．①③④C．②④D．①③8．（5分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱9．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（ ）A．B．C．D．10．（5分）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF=|x0|，则x0=（ ）A．1B．2C．4D．811．（5分）设x，y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7，则a=（ ）A．﹣5B．3C．﹣5或3D．5或﹣3 12．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（ ）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为 ．14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为 ．15．（5分）设函数f（x）=，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是 ．16．（5分）如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°，已知山高BC=100m，则山高MN= m．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．18．（12分）从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组[75，85）[85，95）[95，105）[105，115）[115，125）频数62638228（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．（1）证明：B1C⊥AB；（2）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．20．（12分）已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C 交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．21．（12分）设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，（1）求b；（2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围．请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。