【精编版】数学中考专题训练——平行四边形的判定和性质

中考专题训练——平行四边形的判定和性质1．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边BC和AD上，且BE＝DF．（1）求证：△ABE≌△CDF．（2）求证：四边形AECF是平行四边形．2．如图，在▱ABCD中，E是AD的中点，F是BC延长线上一点，且CF＝BC，连接CE、DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）若AB＝4，AD＝6，∠B＝60°，求DF的长．3．如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF ＝BC，连接CD和EF．（1）求证：四边形DCFE是平行四边形；（2）求EF的长．4．如图，E、F是▱ABCD对角线AC上两点，且AE＝CF．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形．（2）如果把条件AE＝CF改为BE⊥AC，DF⊥AC，试问四边形BFDE是平行四边形吗？为什么？（3）如果把条件AE＝CF改为BE＝DF，试问四边形BFDE还是平行四边形吗？为什么？5．如图，平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，点E，F分别在CD和BC的延长线上，AE ∥BD，EF⊥BC，CF＝．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）求AB的长．6.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连接CF．（1）如图1，求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）如图2，连接DF交AC于点G，连接EG，当∠BAC＝90°，在不添加任何辅助线和字母的情况下，直接写出图中所有长度为2EG的线段．7．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH．（1）求证：四边形AFHD为平行四边形；（2）若CB＝CE，∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠CBE的度数．8．如图，过△ABC的顶点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交线段AB于点F，连接AD，CF．（1）求证：四边形AFCD是平行四边形．（2）若AB＝4，∠BAC＝60°，∠DCB＝135°，求AC的长．9．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高．点E在AB的延长线上，连接ED，∠AED＝30°，过A作AF⊥AB与ED的延长线交于点F，连接BF，CF，CE．（1）求证：四边形BECF为平行四边形；（2）若AB＝6，请直接写出四边形BECF的周长．10．如图，四边形ABCD中，点E在AD上，且EA＝EB，∠ADB＝∠CBD＝90°，∠AEB+∠C＝180°．（1）求证：四边形BCDE是平行四边形．（2）若AB＝，DB＝4．求四边形ABCD的面积．11．如图所示，在△ABC中，点D为边AB的中点，点E为AC边上一点，延长ED交AE 的平行线于点F，连接AF、BE．（1）猜想四边形AEBF的形状，并证明你的结论．（2）若BE⊥CE，CE＝2AE＝4，BC＝9，求DE的长．12．已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别为BC，AB的中点，连接DE，CE，点F在DE的延长线上，连接AF，且AF＝AE．（1）如图1，求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）如图2，当∠B＝30°时，连接CF交AB于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四条线段，使每条线段的长度都等于线段DE的长度的倍．13．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长到点F，使BF ＝BE，连接EC并延长到点H，使CH＝CE，连接FH，点G在FH上，∠ADG＝∠AFG，连接DG．（1）求证：四边形AFGD为平行四边形；（2）在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中长度为FH的一半的所有线段．14．已知，如图1，D是△ABC的边上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．（1）求证：四边形ADCN是平行四边形．（2）如图2，若∠AMD＝2∠MCD，∠ACB＝90°，AC＝BC．请写出图中所有与线段AN相等的线段（线段AN除外）．15．如图，在▱ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别在CD，AB的延长线上，且AE＝AD，CF＝CB．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若去掉已知条件“∠DAB＝∠60°”，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．16．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3cm，BC＝5cm．点P从A点出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s，连接PO并延长交BC于点Q．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）（1）当t为何值时，四边形ABQP是平行四边形？（2）设四边形OQCD的面积为y（cm2），当t＝4时，求y的值．17．如图1，在△ABC中，D是BC边上一点，且CD＝BD，E是AD的中点，过点A作BC 的平行线交CE的延长线于F，连接BF．（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；（2）如图2，若AB＝AC＝13，BD＝5，求四边形AFBD的面积．18．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝8，AB＝CD，BD＝12，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C作匀速移动，两个点同时出发，当有一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．点G为BD上的一点，假设移动时间为t秒，BG的长度为y．（1）证明：AD∥BC；（2）在移动过程中，小明发现有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究这样的情况会出现几次？并分别求出此时的移动时间t和BG的长度y．19．在△ABC中，AB＝AC，点P为△ABC为所在平面内一点，过点P分别作PF∥AC交AB于点F，PE∥AB交BC于点D，交AC于点E．（1）当点P在BC边上（如图1）时，请探索线段PE，PF，AB之间的数量关系式为．（2）当点P在△ABC内（如图2）时，线段PD，PE，PF，AB之间有怎样的数量关系，请说明理由．（3）当点P在△ABC外（如图3）时，线段PD，PE，PF，AB之间有怎样的数量关系，直接写出结论．20．如图，四边形ABCD是平行四边形，AD＝AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延长线上的一点．（1）若ED⊥EF，求证：ED＝EF；（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判断四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；（3）在（1）的条件下，若BC的延长线交DF于点Q，连接QA与QE．试说明QA＝QE．参考答案与试题解析1．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边BC和AD上，且BE＝DF．（1）求证：△ABE≌△CDF．（2）求证：四边形AECF是平行四边形．【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AB＝CD，∠B＝∠D，根据SAS证出△ABE≌△CDF；（2）根据全等三角形的对应边相等即可证得．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠D，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）∵BE＝DF，∴AF＝CE，∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形．2．如图，在▱ABCD中，E是AD的中点，F是BC延长线上一点，且CF＝BC，连接CE、DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）若AB＝4，AD＝6，∠B＝60°，求DF的长．【分析】（1）只要证明DE＝CF，DE∥CF即可解决问题；（2）过D作DH⊥BE于H，想办法求出DH、HF即可解决问题；【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，又∵E是AD的中点，∴DE＝AD，∵CF＝BC∴DE＝CF，又∵AD∥BC，∴四边形CEDF是平行四边形．（2）过D作DH⊥BE于H，在▱ABCD中，∵∠B＝60°，AB∥CD，∴∠DCF＝60°，∵AB＝4，∴CD＝4，∴CH＝2，DH＝2，∴FH＝1，在Rt△DHF中，DF＝＝．3．如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF ＝BC，连接CD和EF．（1）求证：四边形DCFE是平行四边形；（2）求EF的长．（1）直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC，DE＝BC，进而得出DE＝FC；【分析】（2）利用平行四边形的判定与性质得出DC＝EF，进而利用等边三角形的性质以及勾股定理得出EF的长．【解答】（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC∵延长BC至点F，使CF＝BC，∴DE＝FC，∵DE∥FC，∴四边形DCFE是平行四边形．（2）解：∵DE∥FC，DE＝FC∴四边形DEFC是平行四边形，∴DC＝EF，∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，∴AD＝BD＝1，CD⊥AB，BC＝2，∴DC＝EF＝＝．4．如图，E、F是▱ABCD对角线AC上两点，且AE＝CF．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形．（2）如果把条件AE＝CF改为BE⊥AC，DF⊥AC，试问四边形BFDE是平行四边形吗？为什么？（3）如果把条件AE＝CF改为BE＝DF，试问四边形BFDE还是平行四边形吗？为什么？【分析】（1）方法一：证明△BAE≌△DCF，推出BE＝DF，BE∥DF即可．方法二：连接BD，交AC于点O．只要证明OE＝OF，OB＝OD即可；（2）是平行四边形．只要证明△BAE≌△DCF即可解决问题；（3）四边形BFDE不是平行四边形．因为把条件AE＝CF改为BE＝DF后，不能证明△BAE与△DCF全等；【解答】（1）证法一：∵ABCD是平行四边形∴AB＝CD且AB∥CD（平行四边形的对边平行且相等）∴∠BAE＝∠DCF又∵AE＝CF∴△BAE≌△DCF（SAS）∴BE＝DF，∠AEB＝∠CFD∴∠BEF＝180°﹣∠AEB∠DFE＝180°﹣∠CFD即：∠BEF＝∠DFE∴BE∥DF，而BE＝DF∴四边形BFDE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）证法二：连接BD，交AC于点O．∵ABCD是平行四边形∴OA＝OC OB＝OD（平行四边形的对角线互相平分）又∵AE＝CF∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF∴四边形BFDE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）（2）四边形BFDE是平行四边形∵ABCD是平行四边形∴AB＝CD且AB∥CD（平行四边形的对边平行且相等）∴∠BAE＝∠DCF∵BE⊥AC，DF⊥AC∴∠BEA＝∠DFC＝90°，BE∥DF∴△BAE≌△DCF（AAS）∴BE＝DF∴四边形BFDE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）（3）四边形BFDE不是平行四边形因为把条件AE＝CF改为BE＝DF后，不能证明△BAE与△DCF全等．5．如图，平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，点E，F分别在CD和BC的延长线上，AE ∥BD，EF⊥BC，CF＝．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）求AB的长．【分析】（1）根据平行四边形的判定定理即可得到结论；（2）由（1）知，AB＝DE＝CD，即D是CE的中点，在直角△CEF中利用三角函数即可求得到CE的长，则求得CD，进而根据AB＝CD求解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，即AB∥DE，∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形；（2）解：∵EF⊥BC，∴∠EFC＝90°．∵AB∥EC，∴∠ECF＝∠ABC＝60°，∴∠CEF＝30°∵CF＝，∴CE＝2CF＝2，∵四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形，∴AB＝CD＝DE，∴CE＝2AB，∴AB＝．6．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连接CF．（1）如图1，求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）如图2，连接DF交AC于点G，连接EG，当∠BAC＝90°，在不添加任何辅助线和字母的情况下，直接写出图中所有长度为2EG的线段．【答案】（1）证明见解析；（2）CD，AF，BD，AD，CF．【分析】（1）由E是AD的中点，过点A作AF∥BC，易证得△AFE≌△DBE，然后证得AF＝BD＝CD，即可证得四边形ADCF是平行四边形；（2）根据平行四边形的性质和直角三角形的性质解答即可．【解答】（1）证明：∵E是AD的中点，∴AE＝ED，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∠F AE＝∠BDE，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS），∴AF＝BD，∵AD是BC边中线，∴CD＝BD，∴AF＝CD，∴四边形CDAF是平行四边形；（2）解：∵四边形CDAF是平行四边形，∴AG＝GC，AD＝CF，∵E为AD的中点，∴EG是△ADC的中位线，∴2EG＝DC，∵∠BAC＝90°，AD为BC边上的中线，∴BD＝DC＝AD，由（1）可知，CD＝AF＝BD＝2EG，即所有长度为2EG的线段是CD，AF，BD，AD，CF．7．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH．（1）求证：四边形AFHD为平行四边形；（2）若CB＝CE，∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠CBE的度数．（1）由平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC；证明BC是△EFG的中位线，【分析】得出BC∥FG，BC＝FG，证出AD∥FH，AD＝FH，由平行四边形的判定方法即可得出结论；（2）由平行四边形的性质得出∠BCE＝50°，再由等腰三角形的性质得出∠CBE＝∠CEB，根据三角形内角和定理即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAE＝∠BCD，∵BF＝BE，CG＝CE，∴BC是△EFG的中位线，∴BC∥FG，BC＝FG，∵H为FG的中点，∴FH＝FG，∴BC∥FH，BC＝FH，∴AD∥FH，AD＝FH，∴四边形AFHD是平行四边形；（2）解：∵∠BAE＝70°，∴∠BCD＝70°，∵∠DCE＝20°，∴∠BCE＝70°﹣20°＝50°，∵CB＝CE，∴∠CBE＝∠CEB＝（180°﹣50°）＝65°．8．如图，过△ABC的顶点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交线段AB于点F，连接AD，CF．（1）求证：四边形AFCD是平行四边形．（2）若AB＝4，∠BAC＝60°，∠DCB＝135°，求AC的长．【分析】（1）先证△AEF≌△CED（AAS），得AF＝CD，再由CD∥AB，即AF∥CD，即可得出结论；（2）过C作CM⊥AB于M，先证△BCM是等腰直角三角形，得BM＝CM，再由含30°角的直角三角形的性质得AC＝2AM，BM＝CM＝AM，由AM+BM＝AB求出AM＝2﹣2，即可求解．【解答】（1）证明：∵E是AC的中点，∴AE＝CE，∵CD∥AB，∴∠AFE＝∠CDE，在△AEF和△CED中，，∴△AEF≌△CED（AAS），∴AF＝CD，又∵CD∥AB，即AF∥CD，∴四边形AFCD是平行四边形；（2）解：过C作CM⊥AB于M，如图所示：则∠CMB＝∠CMA＝90°，∵CD∥AB，∴∠B+∠DCB＝180°，∴∠B＝180°﹣135°＝45°，∴△BCM是等腰直角三角形，∴BM＝CM，∵∠BAC＝60°，∴∠ACM＝30°，∴AC＝2AM，BM＝CM＝AM，∵AM+BM＝AB，∴AM+AM＝4，解得：AM＝2﹣2，∴AC＝2AM＝4﹣4．9．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高．点E在AB的延长线上，连接ED，∠AED＝30°，过A作AF⊥AB与ED的延长线交于点F，连接BF，CF，CE．（1）求证：四边形BECF为平行四边形；（2）若AB＝6，请直接写出四边形BECF的周长．【分析】（1）根据等边三角形的性质可得BD＝DC，∠BAD＝∠CAD＝30°，然后证明△ADF为等边三角形，可得ED＝DF，进而可以证明四边形BECF为平行四边形；（2）根据AB＝6和勾股定理可得BF的长，然后证明BE＝BD，进而可得四边形BECF 的周长．【解答】（1）证明：∵AD是等边△ABC的BC边上的高，∴BD＝DC，∠BAD＝∠CAD＝30°，∵∠AED＝30°，∴ED＝AD，∠ADF＝∠AED+∠EAD＝60°，∵AF⊥AB，∴∠DAF＝90°﹣∠EAD＝90°﹣30°＝60°，∴△ADF为等边三角形，∴AD＝DF，∵ED＝AD，∴ED＝DF，∵BD＝DC，∴四边形BECF为平行四边形；（2）∵AB＝6，∴BD＝3，AD＝3，∵△ADF为等边三角形，∴AF＝AD＝3，∴BF＝＝＝3，∵∠ABC＝60°，∠AED＝30°，∴∠BDE＝30°，∴BE＝BD＝3，∴四边形BECF的周长为：2（BF+BE）＝2（3+3）＝6+6．10．如图，四边形ABCD中，点E在AD上，且EA＝EB，∠ADB＝∠CBD＝90°，∠AEB+∠C＝180°．（1）求证：四边形BCDE是平行四边形．（2）若AB＝，DB＝4．求四边形ABCD的面积．【分析】（1）根据∠ADB＝∠CBD＝90°，可得DE∥CB，由∠AEB+∠C＝180°．证明BE∥CD，进而可得四边形BEDC是平行四边形；（2）根据勾股定理先求出AD的长，再设DE＝x，则EA＝AD﹣DE＝8﹣x，EB＝EA＝8﹣x．根据勾股定理列式计算得x的值，进而可以求出四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）∵∠ADB＝∠CBD＝90°，∴DE∥CB，∵∠AEB+∠C＝180°，∵∠AEB+∠BED＝180°，∴∠C＝∠BED，∴∠CDB＝∠EBD，∴BE∥CD，∴四边形BEDC是平行四边形；（2）∵四边形BEDC是平行四边形．∴BC＝DE，在Rt△ABD中，由勾股定理得，AD＝＝＝8．设DE＝x，则EA＝AD﹣DE＝8﹣x，∴EB＝EA＝8﹣x．在Rt△BDE中，由勾股定理得，DE2+DB2＝EB2，∴x2+42＝（8﹣x）2．解得x＝3．∴BC＝DE＝3，∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BDC＝AD•DB+DB•BC＝16+6＝22．11．如图所示，在△ABC中，点D为边AB的中点，点E为AC边上一点，延长ED交AE 的平行线于点F，连接AF、BE．（1）猜想四边形AEBF的形状，并证明你的结论．（2）若BE⊥CE，CE＝2AE＝4，BC＝9，求DE的长．【分析】（1）根据已知条件证明△AED≌△BFD，可得ED＝FD，可得四边形AEBF是平行四边形；（2）根据BE⊥CE，可得四边形AEBF是矩形，根据CE＝2AE＝4，BC＝9，再利用勾股定理即可求DE的长．【解答】解：（1）四边形AEBF是平行四边形，证明：∵点D为边AB的中点，∴AD＝BD，∵AE∥BF，∴∠AED＝∠BFD，在△AED和△BFD中，，∴△AED≌△BFD（AAS），∴ED＝FD，∵AD＝BD，∴四边形AEBF是平行四边形；（2）∵BE⊥CE，∴∠AEB＝90°，∴平行四边形AEBF是矩形，∴EF＝AB，DE＝AB，在Rt△BEC中，CE＝4，BC＝9，根据勾股定理，得BE2＝BC2﹣CE2＝92﹣42＝65，在Rt△ABE中，AE＝2，BE2＝65，根据勾股定理，得AB＝＝＝，∴DE＝AB＝．12．已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别为BC，AB的中点，连接DE，CE，点F在DE的延长线上，连接AF，且AF＝AE．（1）如图1，求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）如图2，当∠B＝30°时，连接CF交AB于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四条线段，使每条线段的长度都等于线段DE的长度的倍．【分析】（1）由三角形的中位线定理可证得DE∥AC，由直角三角形斜边中线定理得到CE＝AB，根据平行线的性质定理和等腰三角形的性质证得∠F＝∠CED，进而得到AF∥CE，根据平行四边形的判定即可证得四边形ACEF是平行四边形；（2）根据直角三角形的性质得到AC＝AB，由（1）知CE＝AB，求得AC＝CE，推出四边形ACEF为菱形，得到AE⊥CF，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵BD＝CD，BE＝AE，∴DE∥AC，∴∠AEF＝∠EAC，∠CED＝∠ECA，∵∠ACB＝90°，BE＝AE，∴CE＝AE，∴∠EAC＝∠ECA，∵AF＝AE，∴∠F＝∠AEF，∴∠F＝∠CED，∴AF∥CE，∴四边形ACEF是平行四边形；（2）解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AC＝AB，由（1）知CE＝AB，∴AC＝CE＝BE，又∵四边形ACEF为平行四边形∴四边形ACEF为菱形，∴AE⊥CF，∵CE＝BE，∴∠B＝∠DCE＝30°，∴∠BED＝∠BAC＝60°，∵DF∥AC，∠BDE＝∠ACB＝∠CDE＝90°，∴BD＝CD＝DE，∵∠DEB＝∠FEG＝∠CEG＝60°，∴∠CED＝60°，∴∠FEG＝∠CED，∵EF＝CE，∠EGF＝∠CDE＝90°，∴△EFG≌△CED（AAS），∴EG＝DE，FG＝CD，∴FG＝DE，∵CG＝FG，∴CG＝DE，∴等于线段DE的长度的倍的线段是FG，CG，CD，DB．13．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长到点F，使BF ＝BE，连接EC并延长到点H，使CH＝CE，连接FH，点G在FH上，∠ADG＝∠AFG，连接DG．（1）求证：四边形AFGD为平行四边形；（2）在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中长度为FH的一半的所有线段．【分析】（1）只要证明AD∥FG，AF∥DG即可；（2）根据三角形的中位线的性质和平行四边形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：如图，∵EB＝BF，EC＝CH，∴BC∥FH，BC＝FH，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴AD∥FH，∴∠DAF+∠AFG＝180°，∵∠ADG＝∠AFG，∴∠DAF+∠ADG＝180°，∴AF∥CD，∴四边形AFHD是平行四边形；（2）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC，∵BF＝BE，CH＝CE，∴BC＝FH，∴AD＝FH，∵四边形AFHD是平行四边形，∴FG＝AD＝FH，∴HG＝FH，∴长度为FH的一半的所有线段为：AD，BC，FG，HG．14．已知，如图1，D是△ABC的边上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．（1）求证：四边形ADCN是平行四边形．（2）如图2，若∠AMD＝2∠MCD，∠ACB＝90°，AC＝BC．请写出图中所有与线段AN相等的线段（线段AN除外）．【分析】（1）由CN∥AB，MA＝MC，易证得△AMD≌△CMN，则可得MD＝MN，即可证得：四边形ADCN是平行四边形．（2）由∠AMD＝2∠MCD，可证得四边形ADCN是矩形，又由∠ACB＝90°，AC＝BC，可得四边形ADCN是正方形，继而求得答案．【解答】（1）证明：∵CN∥AB，∴∠DAM＝∠NCM，在△ADM和△CNM中，，∴△AMD≌△CMN（ASA），∴MD＝MN，∴四边形ADCN是平行四边形．（2）解：∵∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD+∠MDC，∴∠MCD＝∠MDC，∴MC＝MD，∴AC＝DN，∴▱ADCN是矩形，∵AC＝BC，∴AD＝BD，∵∠ACB＝90°，∴CD＝AD＝BD＝AB，∴▱ADCN是正方形，∴AN＝AD＝BD＝CD＝CN．15．如图，在▱ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别在CD，AB的延长线上，且AE＝AD，CF＝CB．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若去掉已知条件“∠DAB＝∠60°”，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．【分析】（1）由已知条件可得△AED，△CFB是正三角形，可得∠AEC＝∠BFC＝60°，∠EAF＝∠FCE＝120°，所以四边形AFCE是平行四边形．（2）上述结论还成立，可以证明△ADE≌△CBF，可得∠AEC＝∠BFC，∠EAF＝∠FCE，所以四边形AFCE是平行四边形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∠DCB＝∠DAB＝60°．∴∠ADE＝∠CBF＝60°．∵AE＝AD，CF＝CB，∴△AED，△CFB是正三角形．∴∠AEC＝∠BFC＝60°，∠EAF＝∠FCE＝120°．∴四边形AFCE是平行四边形．（2）解：上述结论还成立．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∠CDA＝∠CBA，∠DCB＝∠DAB，AD＝BC，DC＝AB．∴∠ADE＝∠CBF．∵AE＝AD，CF＝CB，∴∠AED＝∠ADE，∠CFB＝∠CBF．∴∠AED＝∠CFB．又∵AD＝BC，在△ADE和△CBF中．，∴△ADE≌△CBF（AAS）．∴∠AED＝∠BFC，∠EAD＝∠FCB．又∵∠DAB＝∠BCD，∴∠EAF＝∠FCE．∴四边形EAFC是平行四边形．16．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3cm，BC＝5cm．点P从A点出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s，连接PO并延长交BC于点Q．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）（1）当t为何值时，四边形ABQP是平行四边形？（2）设四边形OQCD的面积为y（cm2），当t＝4时，求y的值．【分析】（1）求出AP＝BQ和AP∥BQ，根据平行四边形的判定得出即可；（2）求出高AM和ON的长度，求出△DOC和△OQC的面积，再求出答案即可．【解答】解：（1）当t＝2.5s时，四边形ABQP是平行四边形，理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD＝3cm，AD＝BC＝5cm，AO＝CO，BO＝OD，∴∠P AO＝∠QCO，在△APO和△CQO中∴△APO≌△CQO（ASA），∴AP＝CQ＝2.5cm，∵BC＝5cm，∴BQ＝5cm﹣2.5cm＝2.5cm＝AP，即AP＝BQ，AP∥BQ，∴四边形ABQP是平行四边形，即当t＝2.5s时，四边形ABQP是平行四边形；（2）过A作AM⊥BC于M，过O作ON⊥BC于N，∵AB⊥AC，AB＝3cm，BC＝5cm，∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝4cm，∵由三角形的面积公式得：S△BAC＝＝，∴3×4＝5×AM，∴AM＝2.4（cm），∵ON⊥BC，AM⊥BC，∴AM∥ON，∵AO＝OC，∴MN＝CN，∴ON＝AM＝1.2cm，∵在△BAC和△DCA中∴△BAC≌△DCA（SSS），∴S△DCA＝S△BAC＝＝6cm2，∵AO＝OC，∴△DOC的面积＝S△DCA＝3cm2，当t＝4s时，AP＝CQ＝4cm，∴△OQC的面积为 1.2cm×4cm＝2.4cm2，∴y＝3cm2+2.4cm2＝5.4cm2．17．如图1，在△ABC中，D是BC边上一点，且CD＝BD，E是AD的中点，过点A作BC 的平行线交CE的延长线于F，连接BF．（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；（2）如图2，若AB＝AC＝13，BD＝5，求四边形AFBD的面积．【分析】（1）根据全等三角形的性质和判定求出AF＝CD，求出AF＝BD，根据平行四边形的判定推出即可；（2）求出四边形AFBD的矩形，根据勾股定理求出AD，根据矩形的面积公式求出即可．【解答】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∵E是AD的中点，∴AE＝DE，在△AFE和△DCE中∴△AFE≌△DCE（AAS），∴AF＝CD，∵BD＝CD，∴BD＝AF，∵AF∥BC，∴四边形AFBD是平行四边形；（2）解：∵AB＝AC，CD＝BD，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵四边形AFBD是平行四边形，∴四边形AFBD是矩形，∵AB＝AC＝13，BD＝5，∴由勾股定理得：AD＝＝12，∴四边形AFBD的面积是12×5＝60．18．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝8，AB＝CD，BD＝12，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C作匀速移动，两个点同时出发，当有一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．点G为BD上的一点，假设移动时间为t秒，BG的长度为y．（1）证明：AD∥BC；（2）在移动过程中，小明发现有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究这样的情况会出现几次？并分别求出此时的移动时间t和BG的长度y．【分析】（1）利用平行四边形得判定和性质证明；（2）利用全等三角形的判定求解．【解答】解：（1）∵AD＝BC，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC；（2）BG＝y，DE＝t，当0≤t≤时，CF＝3t，则BF＝8﹣3t，∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB，若△DEG与△BFG全等，则BF＝DE且BG＝DG，或者BF＝DG且BG＝DE，即：或，解得：或（不合题意，舍去），当＜t≤时，则BF＝3t﹣8，若△DEG与△BFG全等，则BF＝DE且BG＝DG，或者BF＝DG且BG＝DE，即：或，解得：或，所以△DEG与△BFG全等的情况出现了三次，第一次是2秒时，y＝6，第二次是4秒时，y＝6，第三次是5秒时，y＝5．19．在△ABC中，AB＝AC，点P为△ABC为所在平面内一点，过点P分别作PF∥AC交AB于点F，PE∥AB交BC于点D，交AC于点E．（1）当点P在BC边上（如图1）时，请探索线段PE，PF，AB之间的数量关系式为PE+PF＝AB．（2）当点P在△ABC内（如图2）时，线段PD，PE，PF，AB之间有怎样的数量关系，请说明理由．（3）当点P在△ABC外（如图3）时，线段PD，PE，PF，AB之间有怎样的数量关系，直接写出结论．【分析】（1）先求出四边形PF AE是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得PF＝AE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠BPE＝∠C，然后求出∠B＝∠BPE，利用等角对等边求出PE＝BE，然后求解即可；（2）根据等边对等角可得∠B＝∠C，再根据两直线平行，同位角相等可得∠B＝∠CDE，然后求出∠C＝∠CDE，再根据等角对等边可得CE＝PD+PE，然后求出四边形PF AE是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得PE＝AF，然后求出PD+PE+PF＝AC，等量代换即可得证；（3）证明思路同（2）．【解答】解：（1）答：PE+PF＝AB．证明如下：∵点P在BC上，∴PD＝0，∵PE∥AC，PF∥AB，∴四边形PF AE是平行四边形，∴PF＝AE，∵PE∥AC，∴∠BPE＝∠C，∴∠B＝∠BPE，∴PE＝BE，∴PE+PF＝BE+AE＝AB，∵PD＝0，∴PE+PF＝AB；故答案为：PE+PF＝AB（2）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵PE∥AB，∴∠B＝∠CDE，∴∠C＝∠CDE，∴CE＝PD+PE，∵PF∥AC，PE∥AB，∴四边形PF AE是平行四边形，∴PE＝AF，∴PD+PE+PF＝AC，∴PD+PE+PF＝AB；（3）证明：同（2）可证DE＝CE，PE＝AF，∵AE+CE＝AC，∴PF+PE﹣PD＝AC，∴PE+PF﹣PD＝AB．20．如图，四边形ABCD是平行四边形，AD＝AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延长线上的一点．（1）若ED⊥EF，求证：ED＝EF；（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判断四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；（3）在（1）的条件下，若BC的延长线交DF于点Q，连接QA与QE．试说明QA＝QE．【分析】（1）根据平行四边形的想知道的AD＝AC，AD⊥AC，连接CE，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到CF＝AD，等量代换得到AC＝CF，于是得到CP＝AB ＝AE，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形ACPE为平行四边形；（3）由（1）知AC＝CF，根据三角形的中位线的性质得到DQ＝FQ，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：在▱ABCD中，∵AD＝AC，AD⊥AC，∴AC＝BC，AC⊥BC，连接CE，∵E是AB的中点，∴AE＝EC，CE⊥AB，∴∠ACE＝∠BCE＝45°，∴∠ECF＝∠EAD＝135°，∵ED⊥EF，∴∠CEF＝∠AED＝90°﹣∠CED，在△CEF和△AED中，，∴△CEF≌△AED，∴ED＝EF；（2）解：由（1）知△CEF≌△AED，CF＝AD，∵AD＝AC，∴AC＝CF，∵DP∥AB，∴FP＝PB，∴CP＝AB＝AE，∴四边形ACPE为平行四边形；（3）由（1）知AC＝CF，∵CQ∥AD，∴DQ＝FQ，∵在Rt△DAF与Rt△DEF中，∴AQ＝EQ＝DF．。