函数零点的性质问题

函数零点的性质

一、基础知识：

1、函数零点，方程，图像交点的相互转化：有关零点个数及性质的问题会用到这三者的转化，且这三者各具特点：

（1）函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的单调性确定是否存在零点

（2）方程：方程的特点在于能够进行灵活的变形，从而可将等号两边的表达式分别构造为两个可分析的函数，为作图做好铺垫 （3）图像的交点：通过作图可直观的观察到交点的个数，并能初步判断交点所在区间。

三者转化：函数()f x 的零点?方程()0f x =的根????→方程变形方程

()()g x h x =的根?函数()g x 与()h x 的交点

2、此类问题的处理步骤：

（1）作图：可将零点问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像

（2）确定变量范围：通过图像与交点位置确定参数和零点的取值范围

（3）观察交点的特点（比如对称性等）并选择合适的方法处理表达式的值，

3、常见处理方法：

（1）代换法：将相等的函数值设为t ，从而用t 可表示出12,,x x ，将关于12,,x x 的表达式转化为关于t 的一元表达式，进而可求出范围或

最值

（2）利用对称性解决对称点求和：如果12,x x 关于x a =轴对称，则

122x x a +=；同理，若12,x x 关于(),0a 中心对称，则也有122x x a +=。将

对称的点归为一组，在求和时可与对称轴（或对称中心）找到联系 二、典型例题：

例1：已知函数()lg f x x =，若0a b <<，且()()f a f b =，则2a b +的取值范围是（ ）

A.

()+∞

B. )?+∞?

C. ()3,+∞

D.

[)3,+∞

思路：先做出()f x 的图像，通过图像可知，如果()()f a f b =，则

01a b <<<，设

()()f a f b t ==，即

()lg 0lg a t

t b t

=??>?

=??，由,a b 范围可得：lg 0,lg 0a b <>，从而lg lg t

t

a t a e

b t b e

-?=-=?????==???，所以122t t a b e e +=+，而0t e >，所以()123,t t

e e +∈+∞

答案：C

小炼有话说：（1）此类问题如果()f x 图像易于作出，可先作图以便于观察函数特点

（2）本题有两个关键点，一个是引入辅助变量t ，从而用t 表示出,a b ，达到消元效果，但是要注意t 是有范围的（通过数形结合y t =需与()y f x =有两交点）

；一个是通过图像判断出,a b

的范围，从而去掉绝

对值。

例2：已知函数()[]()2015

cos ,0,2log ,,x x f x x x ππππ??

?-∈ ?????=?

?∈+∞??

，若有三个不同的实数,,a b c ，使得()()()f a f b f c ==

，则

a b c ++的取值范围是________

思路：()f x 的图像可作，所以考虑作出

()f x 的图像，不妨设a b c <<，由图像可

得：()()()0,1f a f b =∈ [],0,a b π∈，且关于2

x π

=

轴对称，所以有

22a b a b π

π+=?+=，再观察c π>，且()()()2015log 0,1c

f c f a π

==∈，所以20150log 12015c

c πππ

<

答案：()2,2016ππ

小炼有话说：本题抓住,a b 关于2

x π

=

对称是关键，从而可由对称求得

a b π+=，使得所求式子只需考虑c 的范围即可

例3：定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，()[)[)

12log (1),0,113,1,x x f x x x ?+∈?

=??--∈+∞?，

则关于x 的函数()()(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为（ ）

A. 21a -

B. 12a -

C. 21a --

D. 12a --

思路：()f x 为奇函数，所以考虑先做出正半轴的图像，再利用对称作出负半轴图像，当0x >

时，函数图象由两部分构

成，分别作出各部分图像。()F x 的零点，即为方程()0f x a -=的根，即()f x 图像与直线y a =的交点。观察图像可得有5个交点：12,x x 关于

3

x =-对称，

126

x x +=-，

30

x <且满足方程

()()()333f x a f x a f x a =?-=-?-=-即()132

log 1x a -+=，

解得：312a x =-，45,x x 关于3x =轴对称，456x x ∴+= 1234512a x x x x x ∴++++=-

答案：B

例4：已知113

k ≤<，函数()21x f x k =--的零点分别为()1212,x x x x <，函数()2121

x k

g x k =--

+的零点分别为()3434,x x x x <，则()()4321x x x x -+-的最小值为（ ）

A. 1

B. 2log 3

C. 2log 6

D. 3

思路：从()(),f x g x 解析式中发现12,x x 可看做

21x y =-与y k =的交点，

34,x x 可看做21x y =-与21

k

y k =

+的交点，且12340,0x x x x <<<<，从而1234,,,x x x x 均可由k 进行表示，所以

()()4321

x x x x -+-可转化为关于k 的函数，再求最小值即可 解：由图像可得：12340,0x x x x <<<<

3

1

2

4121221,212121x x x x k k k k

k k ?-=

??-=??+∴??-=???-=?+?

()()1222log 1,log 1x k x k ∴=-=+

32242

2131l o g 1l o g ,l o g 1l o g 21212121

k k k k x x k k k k ++????

?

???

=-

==

+= ? ? ? ?+

+++?

?

?????? ()()43212222311314log log log log 31111k k k x x x x k k k k +++???????

?∴-+-=+==-+ ? ? ? ?

+---???????

?1,13k ??

∈????

[)433,1k ∴-+

∈+

∞- ()()[)43212log 3,x x x x ∴-+-∈+∞

答案：B

例5：已知函数()()31log 113x

f x x ??

=--- ???

有两个不同的零点12,x x ，则

（ ）

A. 121x x <

B. 1212x x x x ?=+

C. 1212x x x x ?>+

D.

1212x x x x ?<+

思路：可将零点化为方程()31l o g 113x

x ??

-=+ ???的根，进而转化为()()3l og 1g x x =-与()113x

h x ??

=+ ???

的交点，

作出图像可得1212x x <<<，进而可将

()31l og 11

3x

x ??

-=+ ???

中的绝对值去掉得：()()1

2

31321log 1131log 113x x x x ???

--=+? ????????

-=+ ?????

①

②

，观察选项涉及1212,x x x x ?+，故将②-①可

得：()()21

32111log 1133x

x

x x ????--=-?? ? ???????，而13x

y ??

= ???

为减函数，且21x x >，从而()()()()()3212112

1

2l o g 1101110

x x x x x x x

x --

--

1212x x x x <+

答案：D 例

6：已知函数?????>-+≤<=)

(,3)

0(|,ln |)(3

33

e x x e e x x x

f ，存在321x x x <<，)()()(321x f x f x f ==，则

2

3)

(x x f 的最大值为 思路：先作出()f x 的图像，观察可得：312301x x e x <<<<<，所求2

3)(x x f 可先减少变量个数，利用()()32f x f x =可得：

()232

222

()ln f x f x x x x x ==

，从而只需求出ln x y x =

在()31,e 的最小值即可：'2

1ln x y x -=，所以函数ln x

y x =在()1,e 单增，在()3,e e 单减。

从而max ln 1

e y e e ==

答案：1

e

例7：已知定义在R 上的函数()f x 满足：()[)[)

222,0,12,1,0x x f x x x ?+∈?=?-∈-?? ，且()()2f x f x +=，()25

2

x g x x +=

+，则方程()()f x g x =在区间[]5,1-上的所有实根之和为（ ）

A. 5-

B. 6-

C. 7-

D.

8-

思路：先做图观察实根的特点，在[)1,1-中，通过作图可发现()f x 在()1,1-关于()0,2中心对称，由()()2f x f x +=可得()f x 是周期为

2

的周期函数，则在下一个周期()3,1--中，()f x 关于()2,2-中心对称，以此类推。从而做出()f x 的图像（此处要注意区间端点值在何处取到），再看()g x 图像，()251222x g x x x +=

=+

++，可视为将1

y x

=的图像向左平移2个单位后再向上平移2个单位，所以对称中心移至()2,2-，刚好与()f x 对称中心重合，如图所示：可得共有3个交点123x x x <<，其中23x =-，1x 与3x 关于()2,2-中心对称，所以有134x x +=-。所以

1237x x x ++=-

答案：C

例8：函数()2

23,0

2ln ,0x x x f x x x ?--+≤?=?->??

，直线y m =与函数()f x 的图像相交

于四个不同的点，从小到大，交点横坐标依次记为,,,a b c d ，有以下四个结论

①[)3,4m ∈ ② )4

0,abcd e ?∈? ③ 5621

1

2,2a b c d e e e e ??+++∈+-+-????

④ 若关于x 的方程()f x x m +=恰有三个不同实根，则m 的取值唯一 则其中正确的结论是（ ）

A. ①②③

B. ①②④

C. ①③④

D. ②③④

思路：本题涉及到

m 的取值，及4个交点的性质，所以先作出()f x 的图像，从而从图上确定存在4个交点时，m 的范围是[)3,4，所以①正确。从图像上可看出,a b 在同一曲线，

,c d 在同一曲线上，所以②③在处理时将,a b 放在一组，,c d 放在一组。

②涉及到根的乘积，一方面,a b 为方程223x x m --+=的两根，所以由韦达定理，可得3a b m =-，而,c d 为方程2ln x m -=的两根，且

20c e d <<<，从而2l n l n 2c d -=

-

，即4ln 4cd cd e =?=，所以有

())4430,abcd m e e ?=-∈?

，②正确 ③由②中的过程可得：2a b +=-，2ln ln 2c d m -=-=，所以

22,m m c e d e -+==，从而222122m m m m a b c d e e e e e -+?

?+++=-++=-++ ???，而

[)3,4m ∈，)34

,m e e e ?∈? 设()212m m f m e e e ??=-++ ???

，则()f m 为增函数，所以()56

21

12,2f m e e e

e ??∈+-+-??

?

?

③正确

④可将问题转化为()y f x =与y x m =-+的交点个数问题，通过作图可得m 的值不唯一 综上所述：①②③正确 答案：A

例9：已知函数()()(

)()log 1,11

0,121,13a x x f x a a f x a x +-<≠?-+-<

()()12f x f x =，则12x x +的值（ ）

A. 恒小于2

B. 恒大于2

C. 恒等于2

D. 与a 相关

思路：观察到当11x -<<时，()f x 为单调函数，且13x <<时，()f x 的图像相当于作()1,1x ∈-时关于1x =对称的图像再进行上下平移，所以

也为单调函数。由此可得()()12f x f x =时，12,x x 必在两段上。设12x x < ，

可得12113x x -<<<<，考虑使用代换法设()()12f x f x t ==，从而将12,x x 均用,a t 表示，再判断12x x +与2的大小即可。

解：设()()12f x f x t ==，不妨设12113x x -<<<<，则2121x -<-<

()11log 11t a x t x a ∴+=?=- ()122log 313t a a x a t x a +--+-=?=-

1122t t a x x a a +-∴+=+-

若01a <<，则x y a =为减函数，且11t t a t t a a a +-<+-?> 122x x ∴+> 若1a >，则x y a =为增函数，且11t t a t t a a a +->+-?> 122x x ∴+>

12x x ∴+的值恒大于2

答案：B 例10：定义函数

3

48,12,2

()1(), 2.22

x x f x x f x ?--≤≤??=??>??，则函数()()6g x xf x =-在区间[1,2]

n （*N n ∈）内的所有零点的和为（ ） A ．n B ．2n C ．

3(21)4

n

- D ．3(21)2

n -

思路：从1()2

2x f x f ??

= ???

可得：

函数()f x 是以()12,2n n -区间为一段，其图像为将前一段图像在水平方向上拉伸为原来的2倍，同时竖直方向上缩为原来的12

，从而先作出[]1,2x ∈时的图像，再依以上规

律作出[][]12,4,4,8,,2,2n n -????的图像，()g x 的零点无法直接求出，所以

将()0g x =转化为()6f x x =，即()y f x =与()6h x x

=的交点。通过作图可得，其交点刚好位于每一段中的极大值点位置，可归纳出()12,2n n -

中

极大值点为1223224

n n n

n x -+=

=?，所以所有零点之和为()()22133214212

n

n S -=?=-- 答案：D

小炼有话说：（1）本题考查了合理将x 轴划分成一个个区间，其入手点在于()2

x f 的出现，体现了横坐标之间2倍的关系，从而所划分的区

间长度成等比数列。

（2）本题有一个易错点，即在作图的过程中，没有发现()6

h x x =恰好

与()f x 相交在极大值点处，这一点需要通过计算得到：当3

2

x =时，

()()334,32322f h f h ????

==== ? ?????

，从而归纳出规律。所以处理图像交点问题时，如果在某些细节很难通过作图直接确定，要通过函数值的计算来确定两图像的位置 三、近年模拟题题目精选

1、（2016四川高三第一次联考）已知函数()111,0,2212,,22x x x f x x -???

+∈??????

=????∈ ?????

，若

存在12,x x ，当1202x x ≤<<时，()()12f x f x =，则()()122x f x f x -的取值范围为（ ）

A.

20,4??- ? ??? B.

92,164?--??? C. 91,162??

--???? D.

214

2??

--????? 2、（2016，苏州高三调研）已知函数()()sin 0,f x x kx x k R =-≥∈有且只