北京市海淀区2015-2016学年高一下学期期末练习数学试题 Word版含答案
海淀区高一年级第二学期期末练习数 学 2016.7学校 班级 姓名 成绩本试卷共100分.考试时间90分钟.一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 不等式2230x x +-<的解集为 （ ） A. {|31}x x x <->或 B. {|13}x x x <->或 C. {|13}x x -<< D. {|31}x x -<<2. 若等差数列{}n a 中，33=a ，则{}n a 的前5项和5S 等于 （ ）A ．10B ．15C ．20D ． 303．当3a =，5b =，7c =时，执行如图所示的程序框图，输出的m 值为 （ ）A ．12B ．12-C D ．4．设,,a b c ∈R 且a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．b c a c -<- B ．22ac bc >C ．11a b <D ．1ba<5．若向面积为2的ABC ∆内任取一点P ，并连接PB ，PC ，则PBC ∆的面积小于1的概率为 （ ）A.14 B. 12 C. 23 D. 346．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x （件）与单价P （元）之间的关系为P ＝160－2x ，生产x 件所需成本为C （元），其中C ＝500＋30x 元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x 的取值范围是 （ ） A. 20≤x ≤30 B. 20≤x ≤45 C. 15≤x ≤30 D. 15≤x ≤457. 在ABC ∆中，A ∠，B ∠，C ∠所对应的边分别为a ，b ，c . 若30C ∠=︒，a =，则B ∠等于 （ ） A. 45︒ B. 105︒C. 15︒或105︒D. 45︒或135︒8．某校为了了解学生近视的情况，对四个非毕业年级各班的近视学生人数做了统计，每个年级都有7个班.如果某个年级的每个班的近视人数都不超过5人，则认定该年级为“学生视力保护达标年级”.这四个年级各班近视学生人数情况统计如下表：初一年级 平均值为2，方差为2 初二年级 平均值为1，方差大于0 高一年级 中位数为3，众数为4 高二年级平均值为3，中位数为4从表中数据可知：一定是“学生视力保护达标年级”的是 （ ）A. 初一年级B.初二年级C.高一年级D.高二年级二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9．若实数,a b 满足02a <<，01b <<，则a b -的取值范围是 ． 10．公比为2的等比数列{}n a 中，若123a a +=，则34a a +的值为 ．11．如图，若5=N ，则输出的S 值等于_________．12．函数24()(0)x x f x x x-+-=>的最大值为_________， 此时x 的值为_________．13．高一某研究性学习小组随机抽取了100名年龄在10岁到60岁的市民进行问卷调查，并制作了频率分布直方图（如图），从图中数据可知a = .现从上述年龄在20岁到50岁的市民中按年龄段采用分层抽样的方法抽取30人，则在[)20,30年龄段抽取的人数应为_________．14．设数列{}n a 使得10a =，且对任意的*n ∈N ，均有1||n n a a n +-=，则3a 所有可能的取值构成的集合为 ；64a 的最大值为 .三．解答题：本大题共4小题，共44分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 满足11a =，2a 是1a 与5a 的等比中项（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设2n a nb =，判断数列{}n b 是否为等比数列. 如果是，求数列{}n b 的前n 项和n S ，如果不是，请说明理由.16. （本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，60ADC ∠=︒，=2CD . （Ⅰ）若3AD BD ==，求ABC ∆的面积； （Ⅱ）若=2AD ，=4BD ,求sin B 的值.17. （本小题满分12分）某家电专卖店试销A 、B 、C 三种新型空调，连续五周销售情况如表所示：第一周 第二周 第三周 第四周 第五周 A 型数量/台 128152218B 型数量/台 7 12 10 10 12C 型数量/台C 1 C 2 C 3 C 4 C 5（Ⅰ）求 A 型空调平均每周的销售数量；（Ⅱ）为跟踪调查空调的使用情况，从该家电专卖店第二周售出的A 、B 型空调销售记录中，随机抽取一台，求抽到B 型空调的概率；（III ）已知C 型空调连续五周销量的平均数为7，方差为4，且每周销售数量C 1，C 2，C 3，C 4，C 5互不相同，求C 型空调这五周中的最大销售数量.（只需写出结论）18. （本小题满分8分）高一某班级在学校数学嘉年华活动中推出了一款数学游戏，受到大家的一致追捧.游戏规则如下：游戏参与者连续抛掷一颗质地均匀的骰子，记第i 次得到的点数为i x ，若存在正整数n ，使得126nx x x +++= ，则称n 为游戏参与者的幸运数字.（Ⅰ）求游戏参与者的幸运数字为1的概率； （Ⅱ）求游戏参与者的幸运数字为2的概率.海淀区高一年级第二学期期末练习参考答案 2016.7数 学阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.1.D2.B3.B4.A5.D6.B7.C8.A二、填空题:本大题共6小题，每小题4分，共24分.(有两空的小题每空2分)9. (1,2)- 10. 12 11.5612. 3-, 2 13. 035.0 , 10 14. {3,1,1,3}-- , 2016三、解答题: 本大题共4小题，共44分.15．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d （0≠d ），则由11a =得211a a d d =+=+；51414a a d d =+=+. --------------------------2分因为2a 是1a 与5a 的等比中项，所以2215a a a =⋅，即2(1)14d d +=+， --------------------------4分解得0d =（舍）或2d =， --------------------------5分 故数列{}n a 的通项公式为1(1)21n a a n d n =+-⋅=-.-------------------------6分（Ⅱ）由2n a nb =，得（1）当1n =时，11220ab ==≠ --------------------------7分（2）当2n ≥时，12123122422n n a n n a n n b b ----===--------------------------9分 故数列{}n b 为以2为首项，4为公比的等比数列，有()111422411143n n n n q S b q --=⋅=⋅=⨯---.----------------------12分16. （Ⅰ）解法一：当3AD BD ==时， ABD ∆的面积11sin 332224ABD S AD BD ADB ∆=⋅⋅⋅∠=⋅⋅⋅=-----------2分ACD ∆的面积11sin 3222ACD S AD CD ADC ∆=⋅⋅⋅∠=⋅⋅=分 ABC ∆的面积ABC ABD ACD S S S ∆∆∆=+==-----------5分解法二：当3AD BD ==时，过点A 作BC AE ⊥于点E ,如上图所示,--------2分因为060=∠ADC ，所以23360sin 3sin 0=⨯=∠=ADE AD AE .----------4分 又因为=2CD ，所以5=+=CD BD BC .所以ABC ∆的面积431521=⋅=∆AE BC S ABC .---------5分（Ⅱ）解法一：当2AD =，4BD =时，180120ADB ADC ∠=︒-∠=︒ ----------6分 在ADB ∆中，由余弦定理ADB BD AD BD AD AB ∠⋅-+=cos 2222 -----------7分28214224222=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯⨯-+=故AB = -----------9分 在ADB ∆中，由正弦定理得sin sin AB ADADB B=∠∠， -----------10分2sin B=∠，整理得sin B ∠==. -----------12分解法二：当2AD =，4BD =时，过点A 作BC AE ⊥于点E ,如图所示, -----------6分 因为060=∠ADC ，所以360sin 2sin 0=⨯=∠=ADE AD AE . ---------7分160cos 2cos 0=⨯=∠=ADE AD DE , -----------9分 又因为4BD =，所以5=+=DE BD BE .所以7222=+=BE AE AB . -----------10分所以sin AE B AB ===-----------12分17．解：（Ⅰ）A 型空调平均每周的销售数量12+8+15+22+18=155（台）； ----------4分（Ⅱ）设“随机抽取一台，抽到B 型空调”为事件D ， ----------5分 则事件D 包含12个基本事件， ----------6分 而所有基本事件个数为81220+=， ----------7分所以()123205P D ==； ----------8分 （III ）10台. ------------12分18．解:（Ⅰ）设“游戏参与者的幸运数字为1 ”为事件A -------------1分 由题意知61=x ，抛掷了1次骰子，相应的基本事件空间为{}6,5,4,3,2,1=ΩA ，共有6个基本事件， -------------2分 而{}6=A ，只有1个基本事件， ------------3分 所以61)(=A P ------------4分（Ⅱ）设“游戏参与者的幸运数字为2”为事件B ， ------------5分由题意知621=+x x ，抛掷了2次骰子，相应的基本事件空间为(){}N N ∈∈≤≤≤≤=Ω212121,,61,61,x x x x x x B ， 共有36个基本事件， -----------6分 而{})1,5(),2,4(),3,3(),4,2(),5,1(=B ，共有5个基本事件， ----------7分 所以365)(=B P . -----------8分注：第8题、第14题、第17题（Ⅲ）参考解答见第8题、第14题、第17题（Ⅲ）参考解答8.解：根据题目要求，如果符合“学生视力保护达标年级”，则需要该年级7个班的近视人数都不超过5人.为了便于说明，不妨设某年级各班的近视人数分别为）（7i 1≤≤i x ，并且1i x +≤i x .A. 初一年级：平均值为2，方差为2. 易知1471=∑=i ix且14)2(712=-∑=i i x .由于14<16，所以42<-i x ,由于只有7个样本且都为整数，所以可以把14分解成以下两种形式：①22212314++=；②222221122214++++=对于情况①，只能有一种情况：0,1,2,2,2,2,5；而情况②中可以有0,0,2,2,3,3,4和0,1,1,2,2,4,4这两种情况.B. 初二年级：平均值为1，方差大于0.如果出现的不符合的情况，在满足各班人数和为7的前提下，除了7x ，其他各班都尽量小即可，本选项的反例有以下两种：0,0,0,0,0,0,7；0,0,0,0,0,1,6.C. 高一年级：中位数为3，众数为4.易知34=x ，由于众数为4，可知765x x x ，，三个中至少有两个为4，如果出现的不符合的情况，则需要，465==x x 且57>x 即可，由于众数为4，所以其他每班的人数必须各不相同，所以本项的反例前六个班的近视人数只有0,1,2,3,4,4一种.D. 高二年级：平均值为3，中位数为4.易知44=x ，如果出现的不符合的情况，需要让321,,x x x 尽量小，所以令0321===x x x ，同时为了让7x 尽量的大，则只需令465==x x ,由已知可知2171=∑=i ix，所以此时97=x ，当然，对于本选项的反例还可以举出如下几种：0,0,1,4,4,4,8；0,0,0,4,4,5,8；0,0,2,4,4,4,7；0,1,1,4,4,4,7；0,0,0,4,4,6,7；0,0,0,4,5,5,7； 0,0,1,4,4,5,7；0,0,3,4,4,4,6；0,1,2,4,4,4,6；1,1,1,4,4,4,6；0,0,0,4,5,6,6；0,0,1,4,4,6,6； 0,0,1,4,5,5,6；0,0,2,4,4,5,6；0,1,1,4,4,5,6.综上，本项所涉及的三种情况均符合班的近视人数都不超过5人，所以初一年级符合“学生视力保护达标年级”.14. 设数列{}n a 使得10a =，且对任意的*n ∈N ，均有1||n n a a n +-=，则3a 所有可能的取值构成的集合为 ；64a 的最大值为 .解析: 设1n n n a a b +-=，则（1）若11b =， 22b =，则33a =若11b =-，22b =，则31a = 若11b =， 22b =-，则31a =- 若11b =-，12b =-，则33a =-（2）6411263a a b b b -=++⋅⋅⋅+注意到10a =，||n b n =，得 6412632016a ≤++⋅⋅⋅+=17.（Ⅲ）解：由于C 型空调的每周销售数量54321，，，，C C C C C 互不相同， 所以不妨设54321C C C C C <<<<，因为C 型空调连续五周销量的平均数为7，方差为4， 所以3551i i=∑=C，20）7-（51i 2i =∑=C .为了让C 型空调这五周中的最大周销售数量最大，即只需让5C 最大即可 ， 由于20）7-（51i 2i=∑=C，所以易知115≤C ， 当115=C 时，由于3551i i=∑=C，20）7-（51i 2i =∑=C ，所以2441i i=∑=C，421(7)4i i C =-=∑此时必然有64321====C C C C ，而与题目中所要求的每周销售数量54321，，，，C C C C C 互不相同矛盾，故115≠C . 当105=C 时，由于3551i i=∑=C，20）7-（51i 2i =∑=C ，所以2541i i=∑=C，11）7-（41i 2i =∑=C ，且37-i ≤C ，若不存在37-i =C 的情况，则∑=41i 2i）7-（C的最大值为11101144<=+++，所以必有37-1=C ，即41=C ，而此时2142i i =∑=C ，2）7-（42i 2i=∑=C ， 易知8，7，6432===C C C ，符合题意，故C 型空调的五周中的最大周销售数量为10台.。
北京市海淀区2014-2015学年高一下学期期中练习数学试题 Word版含答案
海淀区高一年级第二学期期中练习数 学 2015.4本试卷共100分.考试时间90分钟.一、选择题：本大题共10小题， 每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.1.cos45cos15sin 45sin15-=A ．32-B ．32C ．12- D ．122. 已知1tan 3α=，则tan 2α=A.34 B.38 C.1 D.12 3. 下列等式中恒成立的是AA. ππ1sin cos()cos sin()662αααα+-+=-B.π1tan tan(+)41tan ααα-=+C. πsin()sin cos 4ααα+=+ D.sin cos sin ααα= 4.若数列{}n a 满足212n n a -=，则A. 数列{}n a 不是等比数列B. 数列{}n a 是公比为4的等比数列C. 数列{}n a 是公比为2的等比数列D. 数列{}n a 是公比为12的等比数列 5.在△ABC 中，∠B ＝60°，c ＝2，b ＝6，则∠C ＝ A. 45°B. 135°C. 45°或135°D. 无解6.1135(21)n -+++++-=AA.21n -B. 2(1)n -C. 2nD. 2(1)n +7. 已知△ABC 在正方形网格中的位置如图所示，则cos ABC ∠=A ．310 B ．25 C ．35 D ．458.已知钝角．．三角形ABC 的三边的边长,8,a b （a b <）成等差数列，则该等差数列的公差d 的取值范围是 A.02d << B. 2d > C.24d << D. 4d > 9.31cos10sin10-= A ．2 B ．2- C ．4 D ．4-CBA10.已知数列{}n a 的通项公式2n a n =，数列{}n b 的通项公式2n n b =,则数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭A.既有最大值，也有最小值B. 仅有最大值，而无最小值C.既无最大值，也无最小值D. 仅有最小值，而无最大值 二、填空题：本大题共6小题， 每小题3分，共18分. 11.若等差数列{}n a 的通项公式12n a n =-，则其公差d =_______. 12.在△ABC 中，∠B ＝60°，a ＝2，c ＝3，则b =_________. 13.若等比数列{}n a 中，122,6a a ==，则12n a a a +++=_________.14.已知数列{}n a 满足1112n n a a --=（2,n n ≥∈N ），且313a =，则1a =___________,数列{}n a 的通项公式为___________.15.在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若A B >，给出下列四个结论： ①a b >；②sin sin A B >；③cos cos A B <；④tan tan A B >. 其中所有正确结论的序号是_______________.16.已知数列{}n a 满足1n n a a n -+=（2,n n ≥∈N ），且11a =-，则10a =___________,其前21k -*()k ∈N 项和21k S -=_______________.三、解答题:本大题共4小题，共42分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题共9分）已知等差数列{}n a 满足39a =-，公差3d =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）数列{}n a 的前n 项和n S 是否存在最小值？若存在，求出n S 的最小值及此时n 的值；若不存在，请说明理由.18.（本小题共12分）已知函数2()2cos (1tan )f x x x =+. （Ⅰ）求函数()f x 的定义域；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]4上的值域.19. （本小题共11分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24n n a S =-()*n ∈N . （Ⅰ）求1a ；（Ⅱ）求证：数列{}n a 是等比数列；（Ⅲ）若数列{}n b 满足22n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .20. （本小题共10分）如图所示，在山顶P 点已测得三点A ，B ，C 的俯角分别为,,αβγ，其中A ，B ，C 为山脚两侧共线的三点，现欲沿直线AC 开通穿山隧道，为了求出隧道DE 的长，至少还需要直接测量出,,AD EB BC 中的哪些线段长？把你上一问指出的需要测量的线段长和已测得的角度作为已知量，写出计算隧道DE 的步骤.解1：步骤1：还需要直接测量的线段为 步骤2：计算线段 计算步骤：步骤3：计算线段 计算步骤：步骤4：计算线段 计算步骤：海淀区高一年级第二学期期中练习答案A CPBD E γαβ数 学 2015.4一、选择题：本大题共10小题， 每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. DAABA ACCDB二、填空题：本大题共6小题， 每小题3分，共18分. 11.2- 12.7 13.31n - 14.1-，123n - 15.①②③ 16. 7，22k - 说明：两空的题目第一空1分，第二空2分；第15题对一个一分，有错误选支0分 三、解答题:本大题共4小题，共42分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题共9分）解：（Ⅰ）因为{}n a 是等差数列，且39a =-，公差3d =，所以由192a d -=+可得115a =-，-----------------------------------------------------------------1分 所以数列{}n a 的通项公式为153(1)n a n =-+-，即318n a n =-.-------------------------3分 （Ⅱ）法1：由等差数列求和公式可得(1)1532n n n S n -=-+⨯--------------------------5分 即223311121(11)[()]2224n S n n n =-=-- ----------------------------------------------------6分 所以，当5n =或6时，n S 取得最小值45-. -------------------------------------------------9分 法2：因为318n a n =-，所以，当6n <时，0n a <；当6n =时，0n a =；当6n >时，0n a >，即当16n <<时，1n n S S -<；当6n =时，1n n S S -=；当6n >时，1n n S S ->，--------6分 所以，当5n =或6时，n S 取得最小值45-. --------------------------------------------------9分 18.（本小题共12分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为π{|π,}2x x k k ≠+∈Z .-------------------------------------2分（Ⅱ）因为2()2cos (1tan )f x x x =+22cos 2sin cos x x x =+-------------------------------------------------------4分 1cos 2sin 2x x =++------------------------------------------------------------8分π12sin(2)4x =++-----------------------------------------------------------10分因为π[0,]4x ∈，所以ππ3π2[,]444x +∈，--------------------------------------------------------11分所以()f x 在区间π[0,]4上的值域为[2,12]+.------------------------------------------------12分19. （本小题共11分）解：（Ⅰ）由24n n a S =-()*n ∈N 可得1124a S =-，即1124a a =-，-------------------1分 解得14a =-. ----------------------------------------------------------------2分 （Ⅱ）由24n n a S =-()*n ∈N 可得1124,1,n n a S n n --=->∈N ，--------------------------3分 所以1122,1,n n n n a a S S n n ---=->∈N ，即122,1,n n n a a a n n --=>∈N ，----------------4分 整理得12,1,n n a a n n -=>∈N ， --------------------------------------5分 因为140a =-≠，所以数列{}n a 是公比为2的等比数列. ----------------------------------------------------------6分 （Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）可得数列{}n a 是以4-为首项且公比为2的等比数列，所以11422n n n a -+=-⨯=-， ----------------------------------------------------------------7分 所以212222n n n b a n n +=+=-+， ---------------------------------------------------------------8分 所以数列{}n b 的前n 项和n T 是一个等比数列与等差数列的前n 项和的和-----------------9分 由等比数列和等差数列的前n 项和公式可得8(14)(22)142n n n nT --+=+- ----------------------------------------------------------11分28(41)3nn n =+-⨯-.20. （本小题共10分）解1：步骤1：还需要直接测量的线段为,,AD EB BC -------------------------------------------2分 步骤2：计算线段PC 的长.计算步骤：在PBC ∆中BPC βγ∠=-，π,PBC PCB βγ∠=-∠=；---------------3分A CPB D E γαβ由正弦定理可得sin sin BC PCBPC PBC =∠∠， --------------------------------5分 整理可得sin sin()BC PC ββγ=-； ---------------------------------------------------6分步骤3：计算线段AC 的长.计算步骤：在PAC ∆中，PAC α∠=，πAPC αγ∠=--，由正弦定理sin sin AC PCAPC PAC =∠∠， ---------------------------------------8分 整理可得sin()sin PC AC αγα+=； -----------------------------------------------9分步骤4：计算线段DE 的长.sin sin()sin sin()BC DE AC AD EB BC AD EB BC βαγαβγ+=---=----.-----------10分解2：步骤1：还需要直接测量的线段为,,AD BE BC --------------------------------------------2分 步骤2：计算线段PB 的长.计算步骤：在PBC ∆中BPC βγ∠=-，π,PBC PCB βγ∠=-∠=；----------------3分由正弦定理可得sin sin BC PBBPC PCB =∠∠， ---------------------------------5分 整理可得sin sin()BC PB γβγ=-；-----------------------------------------------------6分步骤3：计算线段AB 的长.计算步骤：在PAB ∆中，PAB α∠=，πAPB αβ∠=--，由正弦定理sin sin AB PBAPB PAB =∠∠， ---------------------------------------8分 整理可得sin()sin PB AB αβα+=；------------------------------------------------9分步骤4：计算线段DE 的长.。
2015-2016学年北京市海淀区高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)
【解答】解：∵A＝{x|x＞1}，集合 B＝{a+2}，若 A∩B＝∅， ∴a+2≤1，即 a≤﹣1， 则实数 a 的范围为（﹣∞，﹣1]， 故选：A． 2． （4 分）已知 sinθcosθ＜0，那么角 θ 是（ A．第一或第二象限角 C．第二或第四象限角 【解答】解：由题意知，sinθcosθ＜0， 则 故选：C． 3． （4 分）已知命题 p：∃x0∈R， A．∀x0∈R， C．∃x0∈R， 【解答】解：命题 p：∃x0∈R， ∴￢p 是：∀x0∈R， 故选：A． 4． （4 分）在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝a3a5，则 a7＝（ A． B． C． ） D． ， ． ．则￢p 是（ ） 或 ，所以角 θ 在第二或第四象限， ） B．第二或第三象限角 D．第一或第四象限角
x
②f（x）＝ ③f（x）＝e ④f（x）＝sinx 既是奇函
12． （4 分）某食品的保鲜时间 t（单位：小时）与储藏温度 x（单位：℃）满足函数关系 t ＝ 且该食品在
该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，给出以下四个结 论： ①该食品在 6℃的保鲜时间是 8 小时； ②当 x∈[﹣6，6]时，该食品的保鲜时间 t 随看 x 增大而逐渐减少； ③到了此日 13 时，甲所购买的食品还在保鲜时间内； ④到了此日 14 时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间 其中，所有正确结论的序号是 ．
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（1）求数列{an}的通项公式； （2）求 Sn 的最大值； （3）设 bn＝|an|，求数列{bn}的前 10 项和 T10． 16． （9 分）在数列{an}中，a1＝3，an＝﹣an﹣1﹣2n+1（n≥2 且 n∈N ） ． （1）求 a2，a3 的值； （2）证明：数列{an+n}是等比数列，并求{an}的通项公式； （3）求数列{an}的前 n 项和 Sn． 17． （9 分）已知函数 f（x）＝x ﹣（2a+1）x+alnx（a＞0） ，求函数 f（x）的单调区间． 18． （9 分）已知函数 f（x）＝ax +bx+1（a，b 为实数，a≠0，x∈R） ． （Ⅰ）若函数 f（x）的图象过点（﹣2，1） ，且方程 f（x）＝0 有且只有一个根，求 f（x） 的表达式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当 x∈[﹣1，2]时，g（x）＝f（x）﹣kx 是单调函数，求实数 k 的 取值范围； （Ⅲ）若函数 f（x）为偶函数，且 ＞0 时，F（m）+F（n）＞0． F（x）＝求证：当 mn＜0，m+n＞0，a
北京市海淀区2015-2016高中一年级年级第一学期期末练习数学带有答案
海淀区高一年级第一学期期末练习数 学 2016.1学校 班级 成绩本试卷共100分.考试时间90分钟.题号一二三1516 17 18 分数一．选择题：本大题共8小题，共32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合A ＝{x |－1≤x <2 } ，B ＝{x |x ≥1 }，则A ∩B= ( ) A. (1，2) B. [－1，2) C. [－1，1] D. [－1，2) 2. 的值为 ( )A. 1B. －1C. 0D.3. 若α 是第二象限的角，P(x ，6)为其终边上的一点，且，则x = ( )A. －4B. ±4C. －8D. ±84. 化简( )A. cos200B. －cos200C. ±cos200D.±|cos200|5. 已知A (1，2)，B (3，7)，a =（x ，－1），∥a ，则 ( )A.x = ，且与a 方向相同B. x =，且与a 方向相同C. x = ，且与a 方向相反D. x = ，且与a 方向相反 6. 已知函数：① y = tan x ，② y = sin| x |，③ y = | sin x |，④ y = | cos x |，其中周期为π，且在(0，2)上单调递增的是 ( ) A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①③④7．先把函数y = cos x 的图像上所有点向右平移 个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍 (纵坐标不变)，得到的函数图象的解析式为 ( ) A. y = cos( 2x +) B. y = cos( 2x －) C. y = cos(x +) D. y = cos(x －)8. 若m 是函数f (x) = 的一个零点，且x 1∈(0，m )，x 2∈(m ，+∞)，则f (x 1)，f (x 2)， f (m )的大小关系为 ( )A. f (x 1) ＜ f (m ) ＜ f (x 2)B. f (m ) ＜ f (x 2) ＜ f (x 1)C. f (m ) ＜ f (x 1) ＜ f (x 2)D. f (x 2) ＜ f (m ) ＜ f (x 1)二．填空题：本大题共6小题，每空4分，共24分. 把答案填写在题中横线上. 9. 若2log y x ＞1，则x 的取值围是_____________.10. 若函数f (x) = x 2+3x －4在x ∈[－1，3]上的最大值和最小值分别为M ，N ，则M+N= .11. 若向量a = (2，1)，b = (1，－2)，且m a + n b = (5，－5) (m ，n ∈R )，则m －n 的值为 .12. 如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点， 若 (λ，μ∈R)，则λ+μ= .13.若函数f (x ) = sin(ωx +φ) (其中ω＞0) 在(0，)上单调递增，且f () + f () = 0，f (0) = －1，则ω= _______.14. 已知函数y = f (x )，若对于任意x ∈R ，f (2x ) = 2f (x )恒成立，则称函数y = f (x )具有性质P ，(1) 若函数f (x ) 具有性质P ，且f (4) = 8，则f (1) = _____________；(2) 若函数f (x ) 具有性质P ，且在 (1，2]上的解析式为y = cos x ，那么y = f (x )在(1，8]上有且仅有___________个零点.三．解答题：本大题共4小题，共44分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. (本题满分12分)已知二次函数f (x) = x 2+mx －3的两个零点为－1和n ， (Ⅰ) 求m ，n 的值；(Ⅱ) 若f (3) = f (2a －3)，求a 的值.16. (本题满分12分)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，函数f (x ) =2x－1 (Ⅰ) 求当x ＜0时，f (x)的解析式； (Ⅱ) 若f (a ) ≤3，求a 的取值围.17. (本题满分12分）已知函数f (x ) = 2sin(2x －).(Ⅰ) 求函数f (x )的单调递增区间与对称轴方程； (Ⅱ) 当x ∈[0，2π]时，求函数f (x ) 的最大值与最小值.18. (本题满分8分）如果f (x )是定义在R 上的函数，且对任意的x ∈R ，均有f (－x ) ≠－f (x )， 则称该函数是“X-函数”. (Ⅰ) 分别判断下列函数：①2x y =；②y = x +1； ③y = x 2+2x －3是否为“X-函数”？(直接写出结论)(Ⅱ) 若函数f (x ) = sin x + cos x + a 是“X-函数”，数a 的取值围；(Ⅲ) 已知f (x ) =是“X-函数”，且在R 上单调递增，求所有可能的集合A 与B海淀区高一年级第一学期期末练习参考答案 2016.1数 学阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.1.D2.B3. C4.A5.D6.B7.B8.D8.分析:因为m 是()22x f x x =-+的一个零点,则m 是方程220xx -+=的一个解, 即m 是方程22xx =-的一个解, 所以m 是函数()g x x =与()22x h x =-图象的一个交点的横坐标,如图所示,若()()120,,,x m x m ∈∈+∞, 则222()g()h()0(m)f x x x f =-<=, 111()g()h()0(m)f x x x f =->=, 所以2()f x <()f m <1()f x .二、填空题:本大题共6小题，每小题4分，共24分, 第14题每空2分.9. (2,)+∞ 10.39411. 2- 12. 34 13. 2 14. 2；314.分析: （1）（2分）因为函数()y f x =具有性质P ， 所以对于任意x R ∈，(2)2()f x f x =恒成立，所以(4)(22)2(2)2(21)4(1)f f f f f =⨯==⨯=,因为(4)8f =，所以(1)2f =. （2）（2分）若函数()y f x =具有性质P ，且在(1,2]上的解析式为cos y x =， 则函数()y f x =在(2,4]上的解析式为2cos2x y =，在(4,8]上的解析式为4cos 4x y =， 所以()y f x =在(1,8]上有且仅有3个零点,分别是,,22πππ．三、解答题: 本大题共4小题，共44分.15．解：（Ⅰ）因为二次函数2()3f x x mx =+-的两个零点为1-和n ，所以，1-和n 是方程23=0x mx +-的两个根.则1,13n mn -+=--⨯=-（）， --------------------------4分 所以2m =-，3n =. --------------------------6分 （Ⅱ）因为函数2()23f x x x =--的对称轴为1x =. 若(3)(23)f f a =-，则32312a +-= 或233a -= --------------------------9分 得 1a =或3a =. --------------------------12分 综上, 1a =或3a =.16. 解：（Ⅰ）当0<x 时, 0x ->,则()21xf x --=-. --------------------------2分因为)(x f 是奇函数，所以()()f x f x -=-. --------------------------4分 所以()21xf x --=-,即当0<x 时,12)(+-=-x x f . -------------------6分（Ⅱ）因为()3f a ≤,(2)3f =， --------------------------8分 所以()(2)f a f ≤. 又因为)(x f 在R 上是单调递增函数， -----------------10分所以2a ≤. --------------------------12分说明：若学生分0a ≥和0a <两种情况计算，每种情况计算正确，分别给3分. 17．解：(Ⅰ) 因为()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 由222,262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈， --------------------------2分得ππ63k x k ππ-+≤≤+，所以函数()f x 的单调递增区间为ππ,63k k ππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. -------------3分由2,62x k k Z πππ-=+∈， ---------------5分得π32k x π=+.所以()f x 的对称轴方程为π32k x π=+，其中k Z ∈. -----------------------6分(Ⅱ) 因为π02x ≤≤，所以52666x πππ-≤-≤. --------------------------8分得：1sin(2)126x π-≤-≤ . --------------------------10分 所以,当266x ππ-=-即0x =时，()f x 的最小值为1-，当262x ππ-=即3x π=时，()f x 的最大值为2. --------------------------12分18．解:（Ⅰ）①、②是“X - 函数”，③不是“X - 函数”. -------------------2分 (说明:判断正确一个或两个函数给1分)（Ⅱ）由题意，对任意的x ∈R ，()()f x f x -≠-，即()()0f x f x -+≠. 因为()sin cos f x x x a =++，所以()sin cos f x x x a -=-++. 故()()2cos 2f x f x x a +-=+. 由题意,对任意的x ∈R ，2cos 20x a +≠，即cos a x ≠-. --------------------4分故实数a 的取值围为(,1)(1,)-∞-+∞. ---------------------------5分（Ⅲ）（1）对任意的0x ≠（a ）若x A ∈且x A -∈，则x x -≠，()()f x f x -=， 这与()y f x =在R 上单调递增矛盾，（舍）， （b ）若x B ∈且x B -∈，则()()f x x f x -=-=-， 这与()y f x =是“X -函数”矛盾，（舍）.此时，由()y f x =的定义域为R ，故对任意的0x ≠，x 与x -恰有一个属于A ，另一个属于B . （2） 假设存在00x <，使得0x A ∈，则由002x x <，故00()2x f x f ⎛⎫< ⎪⎝⎭.（a ）若02x A ∈，则220000()11()24x x f x f x =+<+=，矛盾， （b ）若02x B ∈，则20000()01()22x x f x f x =<<+=，矛盾.综上，对任意的0x <，x A ∉，故x B ∈，即(,0)B -∞⊆，则(0,)A +∞⊆.（3）假设0B ∈，则(0)(0)0f f -=-=，矛盾. 故0A ∈故[0,)A =+∞，(,0)B =-∞. 经检验[0,)A =+∞，(,0)B =-∞.符合题意------------------------------------8分。
北京市东城区2015-2016学年高一下学期期末考试数学试题Word版含解析
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.不等式223x x +<的解集是 A. {}|13x x -<< B. {}|31x x -<< C. {}|31x x x <->或 D. {}|13x x x <->或【答案】B考点：一元二次不等式2.为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校购进了《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》和《西游记》若干套，如果每班每学期可以随机领取两套不同的书籍，那么该校高一（1）班本学期领到《三国演义》和《水浒传》的概率为 A.23 B. 12C.14D.16【答案】D【解析】 试题分析：61124==C P ,故选B. 考点：古典概型 3.已知0a b <<，则A. 2a ab < B. 2ab b < C. 22a b < D. 22a b >【答案】D 【解析】试题分析：2x y =在()0,∞-单调递减，所以当0<<b a 时，22b a >，故选D.考点：不等式4.某商品销售量y （件）与销售价格x （元/件）负相关，则其回归方程可能是 A. 10200y x ∧=-- B. 10200y x ∧=+ C. 10200y x ∧=-+ D. 10200y x ∧=-【答案】C考点：回归直线方程5.已知非零向量OA →, OB →不共线，且1=3BM BA →→，则向量=OM →A. 12+33OA OB →→B. 21+33OA OB →→C. 12-33OA OB →→D. 14-33OA OB →→【答案】A 【解析】 试题分析：()OB OA OM OB OA OB OM BA BM 32313131+=⇔-=-⇔=,故选A. 考点：向量的表示6.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，那么输出的S 的值为A. -1B. 0C. 1D. 3【答案】B 【解析】试题分析：当1=i 时，第一次进入循环3121=+⨯=S ,2=i ，第二次进入循环，()41233=+-⨯=S ,3=i ，第三次进入循环，1104=+⨯=S ,4=i ，第四次进入循环，()01431=+-⨯=S ,5=i 退出循环，输出0=S ,故选B.考点：循环结构7.已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若348,,a a a 成等比数列，则 A. 130,0a d dS << B. 130,0a d dS >> C. 130,0a d dS >< D. 130,0a d dS <>【答案】A 【解析】试题分析：设数列的首项为1a ，公差为d ，根据条件可得()()()053723211121=+⇔++=+d d a d a d a d a ，所以01<d a ，而21333d d a dS +=，根据05321=+d d a ，所以033213<+=d d a dS ，故选A.考点：等差，等比数列8.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为A.12尺 B. 815尺 C.1629尺 D.1631尺 【答案】C 【解析】试题分析：将此问题转化为等差数列的问题，首项为51=a ，39030=S ,求公差，()39043553021303030130=+⨯=-+=d d a S ，解得：2916=d 尺，故选C. 考点：等差数列第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）9.某学院A ，B ，C 三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本。
北京市海淀区2015-2016学年高一下期末练习数学试题含答案
海淀区高一年级第二学期期末练习数 学 2016.7学校 班级 姓名 成绩本试卷共100分.考试时间90分钟.一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 不等式2230x x +-<的解集为 （ ） A. {|31}x x x <->或 B. {|13}x x x <->或 C. {|13}x x -<< D. {|31}x x -<<2. 若等差数列{}n a 中，33=a ，则{}n a 的前5项和5S 等于 （ ）A ．10B ．15C ．20D ． 303．当3a =，5b =，7c =时，执行如图所示的程序框图，输出的m 值为 （ ）A ．12B ．12-C ．32D ． 32-4．设,,a b c ∈R 且a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．b c a c -<- B ．22ac bc >C ．11a b <D ．1ba<5．若向面积为2的ABC ∆内任取一点P ，并连接PB ，PC ，则PBC ∆的面积小于1的概率为 （ ）A.14 B. 12 C. 23 D. 346．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x （件）与单价P （元）之间的关系为P ＝160－2x ，生产x 件所需成本为C （元），其中C ＝500＋30x 元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x 的取值范围是 （ ）A. 20≤x ≤30B. 20≤x ≤45C. 15≤x ≤30D. 15≤x ≤45 7. 在ABC ∆中，A ∠，B ∠，C ∠所对应的边分别为a ，b ，c . 若30C ∠=︒，2a c =，则B∠等于 （ ） A. 45︒ B. 105︒C. 15︒或105︒D. 45︒或135︒8．某校为了了解学生近视的情况，对四个非毕业年级各班的近视学生人数做了统计，每个年级都有7个班.如果某个年级的每个班的近视人数都不超过5人，则认定该年级为“学生视力保护达标年级”.这四个年级各班近视学生人数情况统计如下表：初一年级 平均值为2，方差为2 初二年级 平均值为1，方差大于0 高一年级 中位数为3，众数为4 高二年级平均值为3，中位数为4从表中数据可知：一定是“学生视力保护达标年级”的是 （ ）A. 初一年级B.初二年级C.高一年级D.高二年级二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9．若实数,a b 满足02a <<，01b <<，则a b -的取值范围是 ． 10．公比为2的等比数列{}n a 中，若123a a +=，则34a a +的值为 ．11．如图，若5=N ，则输出的S 值等于_________．12．函数24()(0)x x f x x x-+-=>的最大值为_________， 此时x 的值为_________．13．高一某研究性学习小组随机抽取了100名年龄在10岁到60岁的市民进行问卷调查，并制作了频率分布直方图（如图），从图中数据可知a = .现从上述年龄在20岁到50岁的市民中按年龄段采用分层抽样的方法抽取30人，则在[)20,30年龄段抽取的人数应为_________．14．设数列{}n a 使得10a =，且对任意的*n ∈N ，均有1||n n a a n +-=，则3a 所有可能的取值构成的集合为 ；64a 的最大值为 .三．解答题：本大题共4小题，共44分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 满足11a =，2a 是1a 与5a 的等比中项（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设2n a nb =，判断数列{}n b 是否为等比数列. 如果是，求数列{}n b 的前n 项和n S ，如果不是，请说明理由.16. （本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，60ADC ∠=︒，=2CD .（Ⅰ）若3AD BD ==，求ABC ∆的面积； （Ⅱ）若=2AD ，=4BD ,求sin B 的值.17. （本小题满分12分）某家电专卖店试销A 、B 、C 三种新型空调，连续五周销售情况如表所示：第一周 第二周 第三周 第四周 第五周 A 型数量/台 12 8 15 22 18 B 型数量/台 7 12 10 10 12 C 型数量/台C 1C 2C 3C 4C 5（Ⅰ）求 A 型空调平均每周的销售数量；（Ⅱ）为跟踪调查空调的使用情况，从该家电专卖店第二周售出的A 、B 型空调销售记录中，随机抽取一台，求抽到B 型空调的概率；（III ）已知C 型空调连续五周销量的平均数为7，方差为4，且每周销售数量C 1，C 2，C 3，C 4，C 5互不相同，求C 型空调这五周中的最大销售数量.（只需写出结论）18. （本小题满分8分）高一某班级在学校数学嘉年华活动中推出了一款数学游戏，受到大家的一致追捧.游戏规则如下：游戏参与者连续抛掷一颗质地均匀的骰子，记第i次得到的点数为i x，若存在正整数n，使得126 nx x x+++=，则称n为游戏参与者的幸运数字.（Ⅰ）求游戏参与者的幸运数字为1的概率；（Ⅱ）求游戏参与者的幸运数字为2的概率.海淀区高一年级第二学期期末练习参考答案2016.7数 学阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.1.D2.B3.B4.A5.D6.B7.C8.A二、填空题:本大题共6小题，每小题4分，共24分.(有两空的小题每空2分)9. (1,2)- 10. 12 11.5612. 3-, 2 13. 035.0 , 10 14. {3,1,1,3}-- , 2016三、解答题: 本大题共4小题，共44分.15．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d （0≠d ），则由11a =得211a a d d =+=+；51414a a d d =+=+.--------------------------2分因为2a 是1a 与5a 的等比中项，所以2215a a a =⋅，即2(1)14d d +=+， --------------------------4分解得0d =（舍）或2d =， --------------------------5分 故数列{}n a 的通项公式为1(1)21n a a n d n =+-⋅=-.--------------------------6分（Ⅱ）由2n a nb =，得（1）当1n =时，11220a b ==≠--------------------------7分（2）当2n ≥时，12123122422n n a n n a n n b b ----===--------------------------9分 故数列{}n b 为以2为首项，4为公比的等比数列，有()111422411143n n n n q S b q --=⋅=⋅=⨯---.-------------------------12分16. （Ⅰ）解法一：当3AD BD ==时，ABD ∆的面积11393sin 332224ABD S AD BD ADB ∆=⋅⋅⋅∠=⋅⋅⋅=-----------2分 ACD ∆的面积11333sin 322222ACD S AD CD ADC ∆=⋅⋅⋅∠=⋅⋅⋅=-----------4分 ABC ∆的面积9333153424ABC ABD ACD S S S ∆∆∆=+=+=-----------5分解法二：当3AD BD ==时，过点A 作BC AE ⊥于点E ,如上图所示,--------2分因为060=∠ADC ，所以23360sin 3sin 0=⨯=∠=ADE AD AE .----------4分 又因为=2CD ，所以5=+=CD BD BC .所以ABC ∆的面积431521=⋅=∆AE BC S ABC .---------5分（Ⅱ）解法一：当2AD =，4BD =时，180120ADB ADC ∠=︒-∠=︒ ----------6分 在ADB ∆中，由余弦定理ADB BD AD BD AD AB ∠⋅-+=cos 2222 -----------7分 28214224222=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯⨯-+= 故27AB =. -----------9分 在ADB ∆中，由正弦定理得sin sin AB ADADB B=∠∠， -----------10分 即272sin 32B =∠，整理得3212sin 147B ∠==. -----------12分解法二：当2AD =，4BD =时，过点A 作BC AE ⊥于点E ,如图所示, -----------6分 因为060=∠ADC ，所以360sin 2sin 0=⨯=∠=ADE AD AE .---------7分160cos 2cos 0=⨯=∠=ADE AD DE , -----------9分 又因为4BD =，所以5=+=DE BD BE .所以7222=+=BE AE AB . -----------10分 所以321sin 1427AE B AB ===-----------12分17．解：（Ⅰ）A 型空调平均每周的销售数量12+8+15+22+18=155（台）； ----------4分（Ⅱ）设“随机抽取一台，抽到B 型空调”为事件D ， ----------5分 则事件D 包含12个基本事件， ----------6分 而所有基本事件个数为81220+=， ----------7分所以()123205P D ==； ----------8分（III ）10台. ------------12分18．解:（Ⅰ）设“游戏参与者的幸运数字为1 ”为事件A -------------1分 由题意知61=x ，抛掷了1次骰子，相应的基本事件空间为{}6,5,4,3,2,1=ΩA ，共有6个基本事件， -------------2分 而{}6=A ，只有1个基本事件， ------------3分 所以61)(=A P ------------4分（Ⅱ）设“游戏参与者的幸运数字为2”为事件B ， ------------5分 由题意知621=+x x ，抛掷了2次骰子，相应的基本事件空间为(){}N N ∈∈≤≤≤≤=Ω212121,,61,61,x x x x x x B ， 共有36个基本事件， -----------6分而{})1,5(),2,4(),3,3(),4,2(),5,1(=B ，共有5个基本事件， ----------7分 所以365)(=B P . -----------8分注：第8题、第14题、第17题（Ⅲ）参考解答见第8题、第14题、第17题（Ⅲ）参考解答8.解：根据题目要求，如果符合“学生视力保护达标年级”，则需要该年级7个班的近视人数都不超过5人.为了便于说明，不妨设某年级各班的近视人数分别为）（7i 1≤≤i x ，并且1i x +≤i x .A. 初一年级：平均值为2，方差为2. 易知1471=∑=i ix且14)2(712=-∑=i i x .由于14<16，所以42<-i x ,由于只有7个样本且都为整数，所以可以把14分解成以下两种形式： ①22212314++=； ②222221122214++++=对于情况①，只能有一种情况：0,1,2,2,2,2,5；而情况②中可以有0,0,2,2,3,3,4和0,1,1,2,2,4,4这两种情况.B. 初二年级：平均值为1，方差大于0.如果出现的不符合的情况，在满足各班人数和为7的前提下，除了7x ，其他各班都尽量小即可，本选项的反例有以下两种：0,0,0,0,0,0,7；0,0,0,0,0,1,6.C. 高一年级：中位数为3，众数为4.易知34=x ，由于众数为4，可知765x x x ，，三个中至少有两个为4，如果出现的不符合的情况，则需要，465==x x 且57>x 即可，由于众数为4，所以其他每班的人数必须各不相同，所以本项的反例前六个班的近视人数只有0,1,2,3,4,4一种.D. 高二年级：平均值为3，中位数为4.易知44=x ，如果出现的不符合的情况，需要让321,,x x x 尽量小，所以令0321===x x x ，同时为了让7x 尽量的大，则只需令465==x x ,由已知可知2171=∑=i ix，所以此时97=x ，当然，对于本选项的反例还可以举出如下几种：0,0,1,4,4,4,8；0,0,0,4,4,5,8；0,0,2,4,4,4,7；0,1,1,4,4,4,7；0,0,0,4,4,6,7；0,0,0,4,5,5,7； 0,0,1,4,4,5,7；0,0,3,4,4,4,6；0,1,2,4,4,4,6；1,1,1,4,4,4,6；0,0,0,4,5,6,6；0,0,1,4,4,6,6； 0,0,1,4,5,5,6；0,0,2,4,4,5,6；0,1,1,4,4,5,6.综上，本项所涉及的三种情况均符合班的近视人数都不超过5人，所以初一年级符合“学生视力保护达标年级”.14. 设数列{}n a 使得10a =，且对任意的*n ∈N ，均有1||n n a a n +-=，则3a 所有可能的取值构成的集合为 ；64a 的最大值为 .解析: 设1n n n a a b +-=，则（1）若11b =， 22b =，则33a =若11b =-，22b =，则31a = 若11b =， 22b =-，则31a =- 若11b =-，12b =-，则33a =-（2）6411263a a b b b -=++⋅⋅⋅+注意到10a =，||n b n =，得 6412632016a ≤++⋅⋅⋅+=17.（Ⅲ）解：由于C 型空调的每周销售数量54321，，，，C C C C C 互不相同， 所以不妨设54321C C C C C <<<<，因为C 型空调连续五周销量的平均数为7，方差为4， 所以3551i i=∑=C，20）7-（51i 2i =∑=C .为了让C 型空调这五周中的最大周销售数量最大，即只需让5C 最大即可 ， 由于20）7-（51i 2i=∑=C，所以易知115≤C ， 当115=C 时，由于3551i i=∑=C，20）7-（51i 2i =∑=C ，所以2441i i=∑=C，421(7)4i i C =-=∑此时必然有64321====C C C C ，而与题目中所要求的每周销售数量54321，，，，C C C C C 互不相同矛盾，故115≠C . 当105=C 时，由于3551i i=∑=C，20）7-（51i 2i =∑=C ，所以2541i i=∑=C，11）7-（41i 2i =∑=C ，且37-i ≤C ，若不存在37-i =C 的情况，则∑=41i 2i）7-（C的最大值为11101144<=+++，所以必有37-1=C ，即41=C ，而此时2142i i=∑=C，2）7-（42i 2i =∑=C ， 易知8，7，6432===C C C ，符合题意，故C 型空调的五周中的最大周销售数量为10台.。
北京101中2015-2016学年高一(下)期末数学试卷(解析版)
2015-2016学年北京101中高一（下）期末数学试卷一、选择题：1．重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）A．19 B．20 C．21.5 D．232．等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．3 D．43．在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为（）A．B．C．D．4．执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A．3 B．4 C．5 D．65．已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．16．在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A． B． C． D．2π7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．2+B．4+C．2+2D．58．对于集合{a1，a2，…，a n}和常数a0，定义w=为集合{a1，a2，…，a n}相对a0的“正弦方差”，则集合{，， }相对a0的“正弦方差”为（）A．B．C．D．与a0有关的一个值二、填空题：9．某电子商务公司对1000名网络购物者2015年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为______．10．在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=______．11．等比数列{a n}的前n项和为S n，公比不为1．若a1=1，且对任意的n∈N+都有a n+2+a n+1﹣2a n=0，则S5=______．12．已知1＜a＜2，2＜a+b＜4，则5a﹣b的取值范围是______．13．如图，在正三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB=2，A1A=2，D，F分别是棱AB，AA1的中点，E为棱AC上的动点，则△DEF周长的最小值为______．14．已知函数f（x）=．（1）若f（x）＞k的解集为{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，则k的值等于______；（2）对任意x＞0，f（x）≤t恒成立，则t的取值范围是______．三、解答题：本大题共5小题，共50分.15．海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此商品的数量（单位：件）如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样A，B，C各地区商品的数量；（Ⅱ）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．16．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，AA1=8，BC=10，点E，F 分别在A1B1C1D1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形EFGH．（I）在图中画出这个正方形EFGH（不必说明画法和理由），并说明G，H在棱上的具体位置；（II）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．17．已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+，△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c且f（A）=1．（I）求角A的大小；（Ⅱ）若a=7，b=5，求c的值．18．某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理“√”“×”表示未购买．（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？19．已知数列{a n}和{b n}满足a1a2a3…a n=（n∈N*）．若{a n}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2．（Ⅰ）求a n和b n；（Ⅱ）设c n=（n∈N*）．记数列{c n}的前n项和为S n．（i）求S n；（ii）求正整数k，使得对任意n∈N*均有S k≥S n．2015-2016学年北京101中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：1．重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）A．19 B．20 C．21.5 D．23【考点】茎叶图．【分析】根据中位数的定义进行求解即可．【解答】解：样本数据有12个，位于中间的两个数为20，20，则中位数为，故选：B2．等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】等差数列的通项公式．【分析】设数列{a n}的公差为d，则由题意可得2a1+4d=10，a1+3d=7，由此解得d的值．【解答】解：设数列{a n}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2，故选B．3．在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】利用几何槪型的概率公式，求出对应的区间长度，即可得到结论．【解答】解：在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则﹣2≤X≤3，则X≤1的概率P=，故选：B．4．执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】根据程序运行条件，分别进行判断，即可得到结论．【解答】解：第一次运行，n=5，不是偶数，则n=3×5+1=16，k=1，第二次运行，n=16，是偶数，则n==8，k=2，第三次运行，n=8，是偶数，则n==4，k=3，第四次运行，n=4，是偶数，则n==2，k=4，第五次运行，n=2，是偶数，则n==1，k=5，此时满足条件n=1，输出k=5．故选：C．5．已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．1【考点】简单线性规划．【分析】首先画出平面区域，z=﹣2x+y的最大值就是y=2x+z在y轴的截距的最大值．【解答】解：由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线y=2x+z经过A时使得z最大，由得到A（1，1），所以z的最大值为﹣2×1+1=﹣1；故选：A ．6．在梯形ABCD 中，∠ABC=，AD ∥BC ，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．2π【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可．【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为1，高为2的圆柱，挖去一个相同底面高为1的倒圆锥，几何体的体积为：=．故选：C ．7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）A ．2+B ．4+C ．2+2D ．5【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可判断直观图为：OA ⊥面ABC ，AC=AB ，E 为BC 中点，EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC ⊥面AEO ，AC=，OE=判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积．【解答】解：根据三视图可判断直观图为：OA ⊥面ABC ，AC=AB ，E 为BC 中点，EA=2，EC=EB=1，OA=1，∴可得AE ⊥BC ，BC ⊥OA ，运用直线平面的垂直得出：BC ⊥面AEO ，AC=，OE=∴S △ABC =2×2=2，S △OAC =S △OAB =×1=．S △BCO =2×=．故该三棱锥的表面积是2， 故选：C ．8．对于集合{a 1，a 2，…，a n }和常数a 0，定义w=为集合{a 1，a 2，…，a n }相对a 0的“正弦方差”，则集合{，， }相对a 0的“正弦方差”为（ ）A．B．C．D．与a0有关的一个值【考点】进行简单的合情推理．【分析】先根据题意表示出正弦方差μ，进而利用二倍角公式把正弦的平方转化成余弦的二倍角，进而利用两角和公式进一步化简整理，求得结果即可．【解答】解：因为集合{，， }相对a0的“正弦方差”，所以W===故选：C．二、填空题：9．某电子商务公司对1000名网络购物者2015年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为600．【考点】频率分布直方图．【分析】频率分布直方图中每一个矩形的面积表示频率，先算出频率，在根据频率和为1，算出a的值，再求出消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的频率，再求频数．【解答】解：由题意，根据直方图的性质得（1.5+2.5+a+2.0+0.8+0.2）×0.1=1，解得a=3由直方图得（3+2.0+0.8+0.2）×0.1×1000=600．故答案为：600．10．在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=1．【考点】余弦定理；二倍角的正弦；正弦定理．【分析】利用余弦定理求出cosC，cosA，即可得出结论．【解答】解：∵△ABC中，a=4，b=5，c=6，∴cosC==，cosA==∴sinC=，sinA=，∴==1．故答案为：1．11．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1．若a 1=1，且对任意的n ∈N +都有a n +2+a n +1﹣2a n =0，则S 5= 11 ．【考点】等比数列的性质；数列的求和．【分析】由题意可得a n q 2+a n q=2a n ，即 q 2+q=2，解得 q=﹣2，或 q=1（舍去），由此求得S 5= 的值．【解答】解：∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，且对任意的n ∈N +都有a n +2+a n +1﹣2a n =0，∴a n q 2+a n q=2a n ，即 q 2+q=2，解得 q=﹣2，或 q=1（舍去）．∴S 5==11，故答案为 11．12．已知1＜a ＜2，2＜a +b ＜4，则5a ﹣b 的取值范围是 （2，10） ．【考点】简单线性规划．【分析】由线性约束条件画出可行域，然后求出目标函数的范围．【解答】解：画出1＜a ＜2，2＜a +b ＜4的可行域，如图：目标函数z=5a ﹣b 在直线2=a +b 与直线a=2的交点B （2，0）处，z 值的上界取：10， 在直线4=a +b 与直线a=1的交点A （1，3）处，目标函数z 值的下界取：2， 5a ﹣b 的取值范围是（2，10）．故答案为：（2，10）．13．如图，在正三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB=2，A1A=2，D，F分别是棱AB，AA1的中点，E为棱AC上的动点，则△DEF周长的最小值为+2．【考点】平面的基本性质及推论．【分析】由正三棱柱A1B1C1﹣ABC的性质可得：AA1⊥AB，AA1⊥AC．在Rt△ADF中，利用勾股定理可得DF=2．因此只要求出DE+EF的最小值即可得出．把底面ABC展开与侧面ACC1A1在同一个平面，如图所示，只有当三点D，E，F在同一条直线时，DE+EF取得最小值．利用余弦定理即可得出．【解答】解：由正三棱柱A1B1C1﹣ABC，可得AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥AB，AA1⊥AC．在Rt△ADF中，DF==2．把底面ABC展开与侧面ACC1A1在同一个平面，如图所示，只有当三点D，E，F在同一条直线时，DE+EF取得最小值．在△ADE中，∠DAE=60°+90°=150°，由余弦定理可得：DE==．∴△DEF周长的最小值=+2．故答案为： +2．14．已知函数f（x）=．（1）若f（x）＞k的解集为{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，则k的值等于﹣；（2）对任意x＞0，f（x）≤t恒成立，则t的取值范围是[，+∞）．【考点】其他不等式的解法；函数恒成立问题． 【分析】（1）根据不等式和方程之间的关系，转化为方程进行求解即可．（2）任意x ＞0，f （x ）≤t 恒成立，等等价于t ≥=恒成立，根据基本不等式即可求出．【解答】解：（1）：f （x ）＞k ⇔kx 2﹣2x +6k ＜0． 由已知{x |x ＜﹣3，或x ＞﹣2}是其解集， 得kx 2﹣2x +6k=0的两根是﹣3，﹣2．由根与系数的关系可知（﹣2）+（﹣3）=，解得k=﹣，（2）任意x ＞0，f （x ）≤t 恒成立，等价于t ≥=恒成立，∵x +≥2=2，当且仅当x=时取等号，∴t ≥，故答案为：（1）：﹣，（2）：[，+∞）三、解答题：本大题共5小题，共50分.15．海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此商品的数量（单位：件）如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样A ，B ，C 各地区商品的数量； （Ⅱ）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）先计算出抽样比，进而可求出这6件样品来自A ，B ，C 各地区商品的数量；（Ⅱ）先计算在这6件样品中随机抽取2件的基本事件总数，及这2件商品来自相同地区的事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）A ，B ，C 三个地区商品的总数量为50+150+100=300，故抽样比k==，故A 地区抽取的商品的数量为：×50=1；B 地区抽取的商品的数量为：×150=3；C地区抽取的商品的数量为：×100=2；（Ⅱ）在这6件样品中随机抽取2件共有：=15个不同的基本事件；且这些事件是等可能发生的，记“这2件商品来自相同地区”为事件A，则这2件商品可能都来自B地区或C地区，则A中包含=4种不同的基本事件，故P（A）=，即这2件商品来自相同地区的概率为．16．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，AA1=8，BC=10，点E，F 分别在A1B1C1D1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形EFGH．（I）在图中画出这个正方形EFGH（不必说明画法和理由），并说明G，H在棱上的具体位置；（II）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（I）过E作EM⊥AB于M，由勾股定理可得MH=6，从而确定出G，H的位置；（II）两部分均为底面为梯形的直棱柱，代入棱柱的体积公式求出两部分的体积即可得出体积比．【解答】解：（I）作出图形如图所示：过E作EM⊥AB于M，∵四边形EFGH为正方形，∴EH=EF=BC=10，∵EM=AA1=8，∴MH==6，∴AH=AM+MH=10，∴DG=10，即H在棱AB上，G在棱CD上，且AH=DG=10．（II）设平面α把该长方体分成的两部分体积分别为V1，V2，则V1=S•AD=×（4+10）×8×10=560，V2=V﹣V1=16×8×10﹣560=720．长方体∴==．17．已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+，△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c且f（A）=1．（I）求角A的大小；（Ⅱ）若a=7，b=5，求c的值．【考点】二倍角的余弦；二倍角的正弦；余弦定理．【分析】（I）由f（x）=sinxcosx﹣cos2x+利用二倍角公式及辅助角公式对已知化简，然后结合f（A）=1，及A∈（0，π）可求A；（Ⅱ）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA可求c【解答】解：（I）因为f（x）=sinxcosx﹣cos2x+==sin（2x﹣）…又f（A）=sin（2A﹣）=1，A∈（0，π），…所以，∴…（Ⅱ）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得到，所以c2﹣5c﹣24=0 …解得c=﹣3（舍）或c=8 …所以c=818．某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理“×”表示未购买．（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】（1）从统计表可得，在这1000名顾客中，同时购买乙和丙的有200人，从而求得顾客同时购买乙和丙的概率．（2）根据在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有300人，求得顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率．（3）在这1000名顾客中，求出同时购买甲和乙的概率、同时购买甲和丙的概率、同时购买甲和丁的概率，从而得出结论．【解答】解：（1）从统计表可得，在这1000名顾客中，同时购买乙和丙的有200人，故顾客同时购买乙和丙的概率为=0.2．（2）在这1000名顾客中，在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有100+200=300（人），故顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率为=0.3．（3）在这1000名顾客中，同时购买甲和乙的概率为=0.2，同时购买甲和丙的概率为=0.6，同时购买甲和丁的概率为=0.1，故同时购买甲和丙的概率最大．19．已知数列{a n}和{b n}满足a1a2a3…a n=（n∈N*）．若{a n}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2．（Ⅰ）求a n和b n；（Ⅱ）设c n=（n∈N*）．记数列{c n}的前n项和为S n．（i）求S n；（ii）求正整数k，使得对任意n∈N*均有S k≥S n．【考点】数列与不等式的综合；数列的求和．【分析】（Ⅰ）先利用前n项积与前（n﹣1）项积的关系，得到等比数列{a n}的第三项的值，结合首项的值，求出通项a n，然后现利用条件求出通项b n；（Ⅱ）（i）利用数列特征进行分组求和，一组用等比数列求和公式，另一组用裂项法求和，得出本小题结论；（ii）本小题可以采用猜想的方法，得到结论，再加以证明．【解答】解：（Ⅰ）∵a1a2a3…a n=（n∈N*）①，当n≥2，n∈N*时，②，由①②知：，令n=3，则有．∵b3=6+b2，∴a3=8．∵{a n}为等比数列，且a1=2，∴{a n}的公比为q，则=4，由题意知a n＞0，∴q＞0，∴q=2．∴（n∈N*）．又由a1a2a3…a n=（n∈N*）得：，，∴b n=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅱ）（i）∵c n===．∴S n=c1+c2+c3+…+c n====；（ii）因为c1=0，c2＞0，c3＞0，c4＞0；当n≥5时，，而=＞0，得，所以，当n≥5时，c n＜0，综上，对任意n∈N*恒有S4≥S n，故k=4．2016年9月29日。
2015-2016年北京市海淀区高一(下)期末数学试卷(解析版)
2015-2016学年北京市海淀区高一（下）期末数学试卷一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）不等式x2+2x﹣3＜0的解集为（）A．{x|x＜﹣3或x＞1}B．{x|x＜﹣1或x＞3}C．{x|﹣1＜x＜3}D．{x|﹣3＜x＜1}2．（4分）若等差数列{a n}中，a3＝3，则{a n}的前5项和S5等于（）A．10B．15C．20D．303．（4分）当a＝3，b＝5，c＝7时，执行如图所示的程序框图，输出的m值为（）A．B．C．D．﹣4．（4分）设a，b，c∈R且a＞b，则下列不等式成立的是（）A．c﹣a＜c﹣b B．ac2＞bc2C．＜D．＜15．（4分）若向面积为2的△ABC内任取一点P，并连接PB，PC，则△PBC的面积小于1的概率为（）A．B．C．D．6．（4分）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为P ＝160﹣2x，生产x件所需成本为C（元），其中C＝500+30x元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是（）A．20≤x≤30B．20≤x≤45C．15≤x≤30D．15≤x≤45 7．（4分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对应的边分别为a，b，c．若∠C＝30°，a＝c，则∠B等于（）A．45°B．105°C．15°或105°D．45°或135°8．（4分）某校为了了解学生近视的情况，对四个非毕业年级各班的近视学生人数做了统计，每个年级都有7个班．如果某个年级的每个班的近视人数都不超过5人，则认定该年级为“学生视力保护达标年级”．这四个年级各班近视学生人数情况统计如表：从表中数据可知：一定是“学生视力保护达标年级”的是（）A．初一年级B．初二年级C．高一年级D．高二年级二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9．（4分）若实数a，b满足0＜a＜2，0＜b＜1，则a﹣b的取值范围是．10．（4分）公比为2的等比数列{a n}中，若a1+a2＝3，则a3+a4的值为．11．（4分）如图，若N＝5，则输出的S值等于．12．（4分）函数f（x）＝（x＞0）的最大值为，此时x的值为．13．（4分）高一某研究性学习小组随机抽取了100名年龄在10岁到60岁的市民进行问卷调查，并制作了频率分布直方图（如图），从图中数据可知a＝．现从上述年龄在20岁到50岁的市民中按年龄段采用分层抽样的方法抽取30人，则在[20，30）年龄段抽取的人数应为．14．（4分）设数列{a n}使得a1＝0，且对任意的n∈N*，均有|a n+1﹣a n|＝n，则a3所有可能的取值构成的集合为；a64的最大值为．三．解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（12分）已知公差不为零的等差数列{a n}满足a1＝1，a2是a1与a5的等比中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝，判断数列{b n}是否为等比数列．如果是，求数列{b n}的前n项和S n，如果不是，请说明理由．16．（12分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠ADC＝60°，CD＝2．（Ⅰ）若AD＝BD＝3，求△ABC的面积；（Ⅱ）若AD＝2，BD＝4，求sin B的值．17．（12分）某家电专卖店试销A、B、C三种新型空调，连续五周销售情况如表所示：（Ⅰ）求A型空调平均每周的销售数量；（Ⅱ）为跟踪调查空调的使用情况，从该家电专卖店第二周售出的A、B型空调销售记录中，随机抽取一台，求抽到B型空调的概率；（Ⅲ）已知C型空调连续五周销量的平均数为7，方差为4，且每周销售数量C1，C2，C3，C4，C5互不相同，求C型空调这五周中的最大销售数量．（只需写出结论）18．（8分）高一某班级在学校数学嘉年华活动中推出了一款数学游戏，受到大家的一致追捧．游戏规则如下：游戏参与者连续抛掷一颗质地均匀的骰子，记第i次得到的点数为x i，若存在正整数n，使得x1+x2+…+x n＝6，则称n为游戏参与者的幸运数字．（Ⅰ）求游戏参与者的幸运数字为1的概率；（Ⅱ）求游戏参与者的幸运数字为2的概率．2015-2016学年北京市海淀区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）不等式x2+2x﹣3＜0的解集为（）A．{x|x＜﹣3或x＞1}B．{x|x＜﹣1或x＞3}C．{x|﹣1＜x＜3}D．{x|﹣3＜x＜1}【解答】解：不等式x2+2x﹣3＜0可化为（x+3）（x﹣1）＜0，解得﹣3＜x＜1，所以不等式的解集为{x|﹣3＜x＜1}．故选：D．2．（4分）若等差数列{a n}中，a3＝3，则{a n}的前5项和S5等于（）A．10B．15C．20D．30【解答】解：S5＝＝5a3＝5×3＝15．故选：B．3．（4分）当a＝3，b＝5，c＝7时，执行如图所示的程序框图，输出的m值为（）A．B．C．D．﹣【解答】解：模拟程序的运行，可得a＝3，b＝5，c＝7z1＝﹣15，z2＝30，m＝﹣．输出m的值为﹣．故选：B．4．（4分）设a，b，c∈R且a＞b，则下列不等式成立的是（）A．c﹣a＜c﹣b B．ac2＞bc2C．＜D．＜1【解答】解：A、由a＞b得到﹣a＜﹣b，则c﹣a＜c﹣b．故本选项正确；B、当c＝0时，该不等式不成立，故本选项错误；C、当a＝1．b＝﹣2时，1＞﹣，即不等式＜不成立，故本选项错误；D、当a＝﹣1，b＝﹣2时，＝2＞1，即不等式＜1不成立，故本选项错误；故选：A．5．（4分）若向面积为2的△ABC内任取一点P，并连接PB，PC，则△PBC的面积小于1的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：记事件A＝{△PBC的面积小于1}，基本事件空间是三角形ABC的面积，（如图）事件A的几何度量为图中阴影部分的面积（DE是三角形的中位线），因为阴影部分的面积是整个三角形面积的，所以P（A）＝．故选：D．6．（4分）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为P ＝160﹣2x，生产x件所需成本为C（元），其中C＝500+30x元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是（）A．20≤x≤30B．20≤x≤45C．15≤x≤30D．15≤x≤45【解答】解：设该厂每天获得的利润为y元，则y＝（160﹣2x）•x﹣（500+30x）＝﹣2x2+130x ﹣500（0＜x＜80）．由题意，知﹣2x2+130x﹣500≥1300，解得：20≤x≤45，所以日销量在20至45件（包括20和45）之间时，每天获得的利润不少于1300元．故选：B．7．（4分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对应的边分别为a，b，c．若∠C＝30°，a＝c，则∠B等于（）A．45°B．105°C．15°或105°D．45°或135°【解答】解：∵a＝c，∴由正弦定理得sin A＝sin C＝×＝，∴A＝45°或135°，当A＝45°，则B＝180°﹣45°﹣30°＝105°，当A＝135°，则B＝180°﹣135°﹣30°＝15°，即B＝15°或105°故选：C．8．（4分）某校为了了解学生近视的情况，对四个非毕业年级各班的近视学生人数做了统计，每个年级都有7个班．如果某个年级的每个班的近视人数都不超过5人，则认定该年级为“学生视力保护达标年级”．这四个年级各班近视学生人数情况统计如表：从表中数据可知：一定是“学生视力保护达标年级”的是（）A．初一年级B．初二年级C．高一年级D．高二年级【解答】解：能反应“学生视力保护达标年级”的是平均值和方差：平均数：与每一个数据有关，更能反映全体的信息；方差：方差和标准差都是反映这组数据波动的大小，方差越大，数据的波动越大．故选：A．二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9．（4分）若实数a，b满足0＜a＜2，0＜b＜1，则a﹣b的取值范围是（﹣1，2）．【解答】解：∵0＜b＜1，∴﹣1＜﹣b＜0，∵0＜a＜2，∴﹣1＜a﹣b＜2，故答案为：（﹣1，2）10．（4分）公比为2的等比数列{a n}中，若a1+a2＝3，则a3+a4的值为12．【解答】解：∵公比为2的等比数列{a n}中，a1+a2＝3，∴a3+a4＝q2（a1+a2）＝22×3＝12．故答案为：12．11．（4分）如图，若N＝5，则输出的S值等于．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S＝++…+的值．而S＝++…+＝1﹣＝．故答案为：．12．（4分）函数f（x）＝（x＞0）的最大值为﹣3，此时x的值为2．【解答】解：函数f（x）＝（x＞0），分离常数化简为：f（x）＝﹣x+1﹣（x＞0），∵x+≥＝4，当且仅当x＝2时取等号．∴﹣x﹣≤﹣4因此：f（x）＝﹣x+1﹣≤﹣3．即f（x）的最大值为﹣3，此时的x＝2．故答案为：﹣3，2．13．（4分）高一某研究性学习小组随机抽取了100名年龄在10岁到60岁的市民进行问卷调查，并制作了频率分布直方图（如图），从图中数据可知a＝0.035．现从上述年龄在20岁到50岁的市民中按年龄段采用分层抽样的方法抽取30人，则在[20，30）年龄段抽取的人数应为10．【解答】解：根据频率和为1，得10a＝1﹣（0.020+0.025+0.015+0.005），解得a＝0.035；又市民年龄在20～50岁的人数为100×（1﹣0.020×10﹣0.005×10）＝75，且在[20，30）年龄段内的人数是100×0.025×10＝25，则采用分层抽样的方法抽取30人，在[20，30）年龄段抽取的人数应为30×＝10．故答案为：0.035，10．14．（4分）设数列{a n}使得a1＝0，且对任意的n∈N*，均有|a n+1﹣a n|＝n，则a3所有可能的取值构成的集合为{﹣3，﹣1，1，3}；a64的最大值为2016．【解答】解：①∵a1＝0，且对任意的n∈N*，均有|a n+1﹣a n|＝n，∴n＝1时，|a2﹣0|＝1，解得a2＝±1．∴a2＝1，则|a3﹣1|＝2，解得a3＝3，﹣1．∴a2＝﹣1，则|a3+1|＝2，解得a3＝﹣3，1．∴a3所有可能的取值构成的集合为{﹣3，﹣1，1，3}．②对任意的n∈N*，均有|a n+1﹣a n|＝n，可得：a n+1﹣a n＝±n，取a n+1﹣a n＝n，a1＝0时，数列{a n}单调递增，可得：a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝（n﹣1）+（n﹣2）+…+1+0＝，则a64的最大值＝＝2016．故答案为：{﹣3，﹣1，1，3}，2016．三．解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（12分）已知公差不为零的等差数列{a n}满足a1＝1，a2是a1与a5的等比中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝，判断数列{b n}是否为等比数列．如果是，求数列{b n}的前n项和S n，如果不是，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），则由a1＝1得a2＝a1+d＝1+d；a5＝a1+4d＝1+4d．因为a2是a1与a5的等比中项，所以，即（1+d）2＝1+4d，解得d＝0（舍）或d＝2，故数列{a n}的通项公式为a n＝a1+（n﹣1）•d＝2n﹣1．（Ⅱ）由，得：（1）当n＝1时，．（2）当n≥2时，．故数列{b n}为以2为首项，4为公比的等比数列，则有．16．（12分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠ADC＝60°，CD＝2．（Ⅰ）若AD＝BD＝3，求△ABC的面积；（Ⅱ）若AD＝2，BD＝4，求sin B的值．【解答】解：（Ⅰ）解法一：当AD＝BD＝3时，△ABD的面积ACD的面积△ABC的面积．解法二：当AD＝BD＝3时，过点A作AE⊥BC于点E，如上图所示．因为∠ADC＝60°，所以又因为CD＝2，所以BC＝BD+CD＝5．所以：△ABC的面积．（Ⅱ）解法一：当AD＝2，BD＝4时，∠ADB＝180°﹣∠ADC＝120°；在△ADB中，由余弦定理AB2＝AD2+BD2﹣2AD•BD cos∠ADB，即：解得：．在△ADB中，由正弦定理得，即，解得：．解法二：当AD＝2，BD＝4时，过点A作AE⊥BC于点E，如图所示，∵∠ADC＝60°，∴DE＝AD cos∠ADE＝2×cos60°＝1，又因为BD＝4，所以BE＝BD+DE＝5．所以：故．17．（12分）某家电专卖店试销A、B、C三种新型空调，连续五周销售情况如表所示：（Ⅰ）求A型空调平均每周的销售数量；（Ⅱ）为跟踪调查空调的使用情况，从该家电专卖店第二周售出的A、B型空调销售记录中，随机抽取一台，求抽到B型空调的概率；（Ⅲ）已知C型空调连续五周销量的平均数为7，方差为4，且每周销售数量C1，C2，C3，C4，C5互不相同，求C型空调这五周中的最大销售数量．（只需写出结论）【解答】解：（Ⅰ）结合表格得：A型空调平均每周的销售数量（台）；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）第二周售出A型号8台，B型号12台，设“随机抽取一台，抽到B型空调”为事件D，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）则事件D包含12个基本事件，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）而所有基本事件个数为8+12＝20，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）所以；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（III）10台．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）18．（8分）高一某班级在学校数学嘉年华活动中推出了一款数学游戏，受到大家的一致追捧．游戏规则如下：游戏参与者连续抛掷一颗质地均匀的骰子，记第i次得到的点数为x i，若存在正整数n，使得x1+x2+…+x n＝6，则称n为游戏参与者的幸运数字．（Ⅰ）求游戏参与者的幸运数字为1的概率；（Ⅱ）求游戏参与者的幸运数字为2的概率．【解答】解：（Ⅰ）设“游戏参与者的幸运数字为1”为事件A﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）由题意知x1＝6，抛掷了1次骰子，相应的基本事件空间为ΩA＝{1，2，3，4，5，6}，共有6个基本事件，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）而A＝{6}，只有1个基本事件，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）设“游戏参与者的幸运数字为2”为事件B，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）由题意知x1+x2＝6，抛掷了2次骰子，相应的基本事件空间为ΩB＝{（x1，x2）|1≤x1≤6，1≤x2≤6，x1∈N，x2∈N}，共有36个基本事件，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）而B＝{（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）}，共有5个基本事件，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）。
2015_2016海淀区高中一年级下学期期末数学试题和答案解析
海淀区高一年级第二学期期末练习数学 2016.7本试卷共100分.考试时间90分钟.一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 不等式2230x x +-<的解集为 （ ）A. {|31}x x x <->或B. {|13}x x x <->或C. {|13}x x -<<D. {|31}x x -<< 2. 若等差数列{}n a 中，33=a ，则{}n a 的前5项和5S 等于 （ ）A ．10B ．15C ．20D ． 303．当3a =，5b =，7c =时，执行如图所示的程序框图，输出的m 值为 （ ）A ．12B ．12-C ．2D ． 2-4．设,,a b c ∈R 且a b >，则下列不等式成立的是 （ ） A ．b c a c -<- B ．22ac bc >C ．11a b < D ．1b a<5．若向面积为2的ABC ∆内任取一点P ，并连接PB ，PC ，则PBC ∆的面积小于1的概率为（ ）A.14 B. 12 C. 23 D. 346．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x （件）与单价P （元）之间的关系为P ＝160－2x ，生产x 件所需成本为C （元），其中C ＝500＋30x 元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x 的取值范围是 （ ）A. 20≤x ≤30B. 20≤x ≤45C. 15≤x ≤30D. 15≤x ≤457. 在ABC ∆中，A ∠，B ∠，C ∠所对应的边分别为a ，b ，c . 若30C ∠=︒，a =，则B ∠等于（ ）A. 45︒B. 105︒C. 15︒或105︒D. 45︒或135︒8．某校为了了解学生近视的情况，对四个非毕业年级各班的近视学生人数做了统计，每个年级都有7个班.如果某个年级的每个班的近视人数都不超过5人，则认定该年级为“学生视力保护达标年级”.这四个年级各班近视学生人数情况统计如下表：）A. 初一年级B.初二年级C.高一年级D.高二年级二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9．若实数,a b 满足02a <<，01b <<，则a b -的取值范围是 ． 10．公比为2的等比数列{}n a 中，若123a a +=，则34a a +的值为 ．11．如图，若5=N ，则输出的S 值等于_________．12．函数24()(0)x x f x x x-+-=>的最大值为_________， 此时x 的值为_________．13．高一某研究性学习小组随机抽取了100名年龄在10岁到60岁的市民进行问卷调查，并制作了频率分布直方图（如图），从图中数据可知a = .现从上述年龄在20岁到50岁的市民中按年龄段采用分层抽样的方法抽取30人，则在[)20,30年龄段抽取的人数应为_________．14．设数列{}n a 使得10a =，且对任意的*n ∈N ，均有1||n n a a n +-=，则3a 所有可能的取值构成的集合为 ；64a 的最大值为 .三．解答题：本大题共4小题，共44分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 满足11a =，2a 是1a 与5a 的等比中项（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设2n a n b =，判断数列{}n b 是否为等比数列. 如果是，求数列{}n b 的前n 项和n S ，如果不是，请说明理由.16. （本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，60ADC ∠=︒，=2CD .（Ⅰ）若3AD BD ==，求ABC ∆的面积； （Ⅱ）若=2AD ，=4BD ,求sin B 的值.（Ⅱ）为跟踪调查空调的使用情况，从该家电专卖店第二周售出的A 、B 型空调销售记录中，随机抽取一台，求抽到B 型空调的概率；（III ）已知C 型空调连续五周销量的平均数为7，方差为4，且每周销售数量C 1，C 2，C 3，C 4，C 5互不相同，求C 型空调这五周中的最大销售数量.（只需写出结论）18. （本小题满分8分）高一某班级在学校数学嘉年华活动中推出了一款数学游戏，受到大家的一致追捧.游戏规则如下：游戏参与者连续抛掷一颗质地均匀的骰子，记第i 次得到的点数为i x ，若存在正整数n ，使得126n x x x +++=，则称n 为游戏参与者的幸运数字.（Ⅰ）求游戏参与者的幸运数字为1的概率； （Ⅱ）求游戏参与者的幸运数字为2的概率.海淀区高一年级第二学期期末练习参考答案 2016.7数 学阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.1.D2.B3.B4.A5.D6.B7.C8.A二、填空题:本大题共6小题，每小题4分，共24分.(有两空的小题每空2分)9. (1,2)- 10. 12 11.5612. 3-, 2 13. 035.0 , 10 14. {3,1,1,3}-- , 2016三、解答题: 本大题共4小题，共44分.15．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d （0≠d ），则由11a =得211a a d d =+=+；51414a a d d =+=+.--------------------------2分因为2a 是1a 与5a 的等比中项，所以2215a a a =⋅，即2(1)14d d +=+， --------------------------4分解得0d =（舍）或2d =， --------------------------5分 故数列{}n a 的通项公式为1(1)21n a a n d n =+-⋅=-.--------------------------6分（Ⅱ）由2n a nb =，得（1）当1n =时，11220a b ==≠--------------------------7分（2）当2n ≥时，12123122422n n a n n a n n b b ----===--------------------------9分 故数列{}n b 为以2为首项，4为公比的等比数列，有()111422411143n n n n q S b q --=⋅=⋅=⨯---.-------------------------12分16. （Ⅰ）解法一：当3AD BD ==时， ABD ∆的面积11sin 3322ABD S AD BD ADB ∆=⋅⋅⋅∠=⋅⋅=-----------2分 ACD ∆的面积11sin 322222ACD S AD CD ADC ∆=⋅⋅⋅∠=⋅⋅⋅=-----------4分 ABC ∆的面积424ABC ABD ACD S S S ∆∆∆=+=+=-----------5分解法二：当3AD BD ==时，过点A 作BC AE ⊥于点E ,如上图所示,--------2分 因为060=∠ADC ，所以23360sin 3sin 0=⨯=∠=ADE AD AE .----------4分 又因为=2CD ，所以5=+=CD BD BC . 所以ABC ∆的面积431521=⋅=∆AE BC S ABC .---------5分（Ⅱ）解法一：当2AD =，4BD =时，180120ADB ADC ∠=︒-∠=︒ ----------6分 在ADB ∆中，由余弦定理ADB BD AD BD AD AB ∠⋅-+=cos 2222 -----------7分28214224222=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯⨯-+=故AB =分 在ADB ∆中，由正弦定理得sin sin AB ADADB B=∠∠， -----------10分2sin B=∠，整理得sin 14B ∠==. -----------12分解法二：当2AD =，4BD =时，过点A 作BC AE ⊥于点E ,如图所示, -----------6分 因为060=∠ADC ，所以360sin 2sin 0=⨯=∠=ADE AD AE . ---------7分160cos 2cos 0=⨯=∠=ADE AD DE , -----------9分 又因为4BD =，所以5=+=DE BD BE .所以7222=+=BE AE AB . -----------10分所以sin 14AE B AB ===-----------12分17．解：（Ⅰ）A 型空调平均每周的销售数量12+8+15+22+18=155（台）； ----------4分 （Ⅱ）设“随机抽取一台，抽到B 型空调”为事件D ， ----------5分 则事件D 包含12个基本事件， ----------6分 而所有基本事件个数为81220+=， ----------7分所以()123205P D ==； ----------8分（III ）10台. ------------12分18．解:（Ⅰ）设“游戏参与者的幸运数字为1 ”为事件A -------------1分 由题意知61=x ，抛掷了1次骰子，相应的基本事件空间为{}6,5,4,3,2,1=ΩA ，共有6个基本事件， -------------2分而{}6=A ，只有1个基本事件， ------------3分 所以61)(=A P ------------4分（Ⅱ）设“游戏参与者的幸运数字为2”为事件B ， ------------5分 由题意知621=+x x ，抛掷了2次骰子，相应的基本事件空间为(){}N N ∈∈≤≤≤≤=Ω212121,,61,61,x x x x x x B ， 共有36个基本事件， -----------6分 而{})1,5(),2,4(),3,3(),4,2(),5,1(=B ，共有5个基本事件， ----------7分 所以365)(=B P . -----------8分注：第8题、第14题、第17题（Ⅲ）参考解答见海淀教研网.第8题、第14题、第17题（Ⅲ）参考解答8.解：根据题目要求，如果符合“学生视力保护达标年级”，则需要该年级7个班的近视人数都不超过5人.为了便于说明，不妨设某年级各班的近视人数分别为）（7i 1≤≤i x ，并且1i x +≤i x .A. 初一年级：平均值为2，方差为2. 易知1471=∑=i ix且14)2(712=-∑=i i x .由于14<16，所以42<-i x ,由于只有7个样本且都为整数，所以可以把14分解成以下两种形式：①22212314++=；②222221122214++++=对于情况①，只能有一种情况：0,1,2,2,2,2,5；而情况②中可以有0,0,2,2,3,3,4和0,1,1,2,2,4,4这两种情况.B. 初二年级：平均值为1，方差大于0.如果出现的不符合的情况，在满足各班人数和为7的前提下，除了7x ，其他各班都尽量小即可，本选项的反例有以下两种：0,0,0,0,0,0,7；0,0,0,0,0,1,6.C. 高一年级：中位数为3，众数为4.易知34=x ，由于众数为4，可知765x x x ，，三个中至少有两个为4，如果出现的不符合的情况，则需要，465==x x 且57>x 即可，由于众数为4，所以其他每班的人数必须各不相同，所以本项的反例前六个班的近视人数只有0,1,2,3,4,4一种.D. 高二年级：平均值为3，中位数为4.易知44=x ，如果出现的不符合的情况，需要让321,,x x x 尽量小，所以令0321===x x x ，同时为了让7x 尽量的大，则只需令465==x x ,由已知可知2171=∑=i ix，所以此时97=x ，当然，对于本选项的反例还可以举出如下几种：0,0,1,4,4,4,8；0,0,0,4,4,5,8；0,0,2,4,4,4,7；0,1,1,4,4,4,7；0,0,0,4,4,6,7；0,0,0,4,5,5,7； 0,0,1,4,4,5,7；0,0,3,4,4,4,6；0,1,2,4,4,4,6；1,1,1,4,4,4,6；0,0,0,4,5,6,6；0,0,1,4,4,6,6； 0,0,1,4,5,5,6；0,0,2,4,4,5,6；0,1,1,4,4,5,6.综上，本项所涉及的三种情况均符合班的近视人数都不超过5人，所以初一年级符合“学生视力保护达标年级”.14. 设数列{}n a 使得10a =，且对任意的*n ∈N ，均有1||n n a a n +-=，则3a 所有可能的取值构成的集合为 ；64a 的最大值为 .解析: 设1n n n a a b +-=，则（1）若11b =， 22b =，则33a =若11b =-，22b =，则31a = 若11b =， 22b =-，则31a =- 若11b =-，12b =-，则33a =-（2）6411263a a b b b -=++⋅⋅⋅+注意到10a =，||n b n =，得 6412632016a ≤++⋅⋅⋅+=17.（Ⅲ）解：由于C 型空调的每周销售数量54321，，，，C C C C C 互不相同，所以不妨设54321C C C C C <<<<，因为C 型空调连续五周销量的平均数为7，方差为4， 所以3551i i=∑=C，20）7-（51i 2i =∑=C .为了让C 型空调这五周中的最大周销售数量最大，即只需让5C 最大即可 ， 由于20）7-（51i 2i=∑=C，所以易知115≤C ， 当115=C 时，由于3551i i=∑=C，20）7-（51i 2i =∑=C ，所以2441i i=∑=C，421(7)4i i C =-=∑此时必然有64321====C C C C ，而与题目中所要求的每周销售数量54321，，，，C C C C C 互不相同矛盾，故115≠C . 当105=C 时，由于3551i i=∑=C，20）7-（51i 2i =∑=C ，所以2541i i=∑=C，11）7-（41i 2i =∑=C ，且37-i ≤C ，若不存在37-i =C 的情况，则∑=41i 2i）7-（C的最大值为11101144<=+++，所以必有37-1=C ，即41=C ，而此时2142i i=∑=C，2）7-（42i 2i =∑=C ， 易知8，7，6432===C C C ，符合题意，故C 型空调的五周中的最大周销售数量为10台.。
2015-2016年北京市清华附中高一(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
2015-2016学年北京市清华附中高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题1．（5分）已知集合U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，3，4}，B＝{2，4}，则集合（∁U A）∪B＝（）A．{2}B．{4}C．{1，3}D．{2，4}2．（5分）x2＞0是x＞0的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也必要条件3．（5分）在等比数列{a n}中，a2＝6，a3＝﹣18，则a1+a2+a3+a4＝（）A．26B．40C．54D．804．（5分）设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n．若a1＝d＝1，则的最小值为（）A．10B．C．D．+25．（5分）为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，可以将函数y＝sin2x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度6．（5分）已知平面向量，满足||＝||＝2，（+2）•（﹣）＝﹣6，则与的夹角为（）A．B．C．D．7．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）＝f（x）．当0≤x≤1时，f（x）＝x2．若直线y＝x+a与函数y＝f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是（）A．0B．0或C．或D．0或8．（5分）设△ABC，P0是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有则（）A．∠ABC＝90°B．∠BAC＝90°C．AB＝AC D．AC＝BC二、填空题9．（5分）已知两点A（1，1），B（﹣1，2），若＝，则C点坐标是．10．（5分）在等差数列{a n}中，2（a1+a4+a7）+3（a9+a11）＝24，则此数列的前13项之和等于．11．（5分）设函数，则实数a的取值范围是．12．（5分）若正数a，b满足a+b＝10，则+的最大值为．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），函数y＝e x的图象与y轴的交点为B，P 为函数y＝e x图象上的任意一点，则的最小值．14．（5分）已知点A（，），B（，1），C（，0），若这三个点都在函数f（x）＝sinωx的图象上，则正数ω的所有取值的集合为．三、解答题.15．（13分）已知{a n}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{b n}满足b1＝4，b4＝20，且{b n﹣a n}为等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和．16．（13分）已知函数f（x）＝sin x cos x+cos2x﹣．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的单调递减区间；（3）若函数f（x）在区间[0，m]上恰好有10个零点，求正数m的最小值．17．（13分）如图，A、B是单位圆O上的点，C、D分别是圆O与x轴的两个交点，△ABO 为正三角形．（1）若点A的坐标为，求cos∠BOC的值；（2）若∠AOC＝x（0＜x＜），四边形CABD的周长为y，试将y表示成x的函数，并求出y的最大值．18．（13分）已知函数f（x）＝（x2+ax+a）e﹣x，其中a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若存在m，n∈（2，3），且m≠n，使得f（m）＝f（n），求实数a的取值范围．19．（14分）设函数f（x）＝ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R．（1）当a＝0时，求证：f（x）＜x，对任意的x∈（0，+∞）成立；（2）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；（3）若∀x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范围．20．（14分）设集合S＝{x|x＝，k∈N*}．（1）请写出S的一个4元素，使得子集中的4个元素恰好构成等差数列；（2）若无穷递减等比数列{a n}中的每一项都在S中，且公比为q，求证：q∈（0，）；（3）设正整数n＞1，若S的n元子集A满足：对任意的x，y∈A，且x≠y，有|x﹣y|≥，求证：n≤15．2015-2016学年北京市清华附中高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）已知集合U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，3，4}，B＝{2，4}，则集合（∁U A）∪B＝（）A．{2}B．{4}C．{1，3}D．{2，4}【解答】解：集合U＝{1，2，3，4}，A＝{1，3，4}，B＝{2，4}，∴∁U A＝{2}，∴（∁U A）∪B＝{2，4}．故选：D．2．（5分）x2＞0是x＞0的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也必要条件【解答】解：由x2＞0得到：x≠0，而x≠0推不出x＞0，不是充分条件，由x＞0能推出x≠0，是必要条件，∴x2＞0是x＞0的必要不充分条件，故选：B．3．（5分）在等比数列{a n}中，a2＝6，a3＝﹣18，则a1+a2+a3+a4＝（）A．26B．40C．54D．80【解答】解：∵等比数列{a n}中，a2＝6，a3＝﹣18，∴＝﹣3，＝﹣2∴a1+a2+a3+a4＝﹣2+6﹣18+54＝40故选：B．4．（5分）设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n．若a1＝d＝1，则的最小值为（）A．10B．C．D．+2【解答】解：∵等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n．a1＝d＝1，∴＝＝1++＝≥+＝，当且仅当，即n＝4时，取最小值．故选：B．5．（5分）为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，可以将函数y＝sin2x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：∵函数y＝sin（2x﹣）＝sin[2（x﹣）]，∴为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，可以将函数y＝sin2x的图象向右平移个单位长度故选：A．6．（5分）已知平面向量，满足||＝||＝2，（+2）•（﹣）＝﹣6，则与的夹角为（）A．B．C．D．【解答】解：；∴＝＝＝﹣6；∴；∵；∴．故选：C．7．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）＝f（x）．当0≤x≤1时，f（x）＝x2．若直线y＝x+a与函数y＝f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是（）A．0B．0或C．或D．0或【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，当0≤x≤1时，f（x）＝x2，∴当﹣1≤x≤0时，0≤﹣x≤1，f（﹣x）＝（﹣x）2＝x2＝f（x），又f（x+2）＝f（x），∴f（x）是周期为2的函数，又直线y＝x+a与函数y＝f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，其图象如下：当a＝0时，直线y＝x+a变为直线l1，其方程为：y＝x，显然，l1与函数y＝f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点；当a≠0时，直线y＝x+a与函数y＝f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，由图可知，直线y＝x+a与函数y＝f（x）相切，切点的横坐标x0∈[0，1]．由得：x2﹣x﹣a＝0，由△＝1+4a＝0得a＝﹣，此时，x0＝x＝∈[0，1]．综上所述，a＝﹣或0故选：D．8．（5分）设△ABC，P0是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有则（）A．∠ABC＝90°B．∠BAC＝90°C．AB＝AC D．AC＝BC【解答】解：设||＝4，则||＝1，过点C作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设HP0＝a，则由数量积的几何意义可得，＝||•||＝||2﹣（a+1）||，•＝﹣a，于是•≥••恒成立，整理得||2﹣（a+1）||+a≥0恒成立，只需△＝（a+1）2﹣4a＝（a﹣1）2≤0即可，于是a＝1，因此我们得到HB＝2，即H是AB的中点，故△ABC是等腰三角形，所以AC＝BC．故选：D．二、填空题9．（5分）已知两点A（1，1），B（﹣1，2），若＝，则C点坐标是．【解答】解：∵＝，∴＝＝＝．故答案为：．10．（5分）在等差数列{a n}中，2（a1+a4+a7）+3（a9+a11）＝24，则此数列的前13项之和等于26．【解答】解：等差数列{a n}中，2（a1+a4+a7）+3（a9+a11）＝24，∴6a4+6a10＝24，∴2a7＝4，即a7＝2．则此数列的前13项之和S13＝＝13a7＝26．故答案为：26．11．（5分）设函数，则实数a的取值范围是﹣3＜a＜1．【解答】解：函数f（x）为分段函数，当a≥0时，＜1，得0≤a＜1．当a＜0时，＜1，解得a＞﹣3，即﹣3＜a＜0，故答案为：﹣3＜a＜1．12．（5分）若正数a，b满足a+b＝10，则+的最大值为．【解答】解：正数a，b满足a+b＝10，令y＝+，则y2＝a+2+b+3+2，∵a+b＝10，∴15＝a+2+b+3≥2（当a+2＝b+3时等号成立），∴y2≤30，∴+的最大值为．故答案为：．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），函数y＝e x的图象与y轴的交点为B，P 为函数y＝e x图象上的任意一点，则的最小值1．【解答】解：由题意可知A（1，0），B（0，1），故＝（0，1）﹣（1，0）＝（﹣1，1），设P（x0，），所以＝（x0，），故＝﹣x0+，构造函数g（x）＝﹣x+e x，则g′（x）＝﹣1+e x，令其等于0可得x＝0，且当x＜0时，g′（x）＜0，当x＞0时，g′（x）＞0，故函数g（x）在x＝0处取到极小值，故g min（x）＝g（0）＝1，故的最小值为：1故答案为：114．（5分）已知点A（，），B（，1），C（，0），若这三个点都在函数f（x）＝sinωx的图象上，则正数ω的所有取值的集合为{ω|ω＝8k+2，k∈N}∩{ω|ω＝12k+2，或12k+4，k∈N}∪{2，4}．．【解答】解：若三个点都在函数f（x）＝sinωx的图象上，则有sin（ω•）＝，sin（ω•）＝1，sinω•＝0，则，即，求得正数ω的所有取值的集合为：{ω|ω＝8k+2，k∈N}∩{ω|ω＝12k+2，或12k+4，k∈N}∪{2，4}．故答案为：{ω|ω＝8k+2，k∈N}∩{ω|ω＝12k+2，或12k+4，k∈N}∪{2，4}．三、解答题.15．（13分）已知{a n}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{b n}满足b1＝4，b4＝20，且{b n﹣a n}为等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和．【解答】解：（1）∵{a n}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，∴3+3d＝12，解得d＝3，∴a n＝3+（n﹣1）×3＝3n．设等比数列{b n﹣a n}的公比为q，则q3＝＝＝8，∴q＝2，∴b n﹣a n＝（b1﹣a1）q n﹣1＝2n﹣1，∴b n＝3n+2n﹣1（n＝1，2，…）．（2）由（1）知b n＝3n+2n﹣1（n＝1，2，…）．∵数列{a n}的前n项和为n（n+1），数列{2n﹣1}的前n项和为1×＝2n﹣1，∴数列{b n}的前n项和为n（n+1）+2n﹣1．16．（13分）已知函数f（x）＝sin x cos x+cos2x﹣．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的单调递减区间；（3）若函数f（x）在区间[0，m]上恰好有10个零点，求正数m的最小值．【解答】解：（1）f（x）＝sin x cos x+cos2x﹣．＝sin2x+cos2x+﹣，＝sin（2x+）最小正周期T＝＝＝π，f（x）的最小正周期π；（2）令2kπ+≤2x+≤2kπ+，（k∈Z），解得：kπ+≤x≤kπ+，（k∈Z），∴函数的单调递减区间为：[kπ+，kπ+]（k∈Z）；（3）函数f（x）在区间[0，m]上恰好有10个零点，由正弦函数周期性，可知：f（x）＝0，sin（2x+）＝0，解得：2x+＝kπ，（k∈Z），∴x＝﹣，∴当k＝10，x＝，正数m的最小值．17．（13分）如图，A、B是单位圆O上的点，C、D分别是圆O与x轴的两个交点，△ABO 为正三角形．（1）若点A的坐标为，求cos∠BOC的值；（2）若∠AOC＝x（0＜x＜），四边形CABD的周长为y，试将y表示成x的函数，并求出y的最大值．【解答】解：（1）∵△ABO为正三角形，∴∠BOA＝60°，∵点A的坐标为，∴tan∠AOC＝，∴sin∠AOC＝，cos∠AOC＝，∴cos∠BOC＝cos（∠AOC+60°）＝cos∠AOC cos60°﹣sin∠AOC sin60°＝．（2）由余弦定理可知AC＝＝2sin，BD＝＝2sin （﹣），AB＝OB＝1，CD＝2，∴＝＝＝，0＜x＜∴当x＝时，y max＝5．18．（13分）已知函数f（x）＝（x2+ax+a）e﹣x，其中a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若存在m，n∈（2，3），且m≠n，使得f（m）＝f（n），求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）＝（x2+ax+a）e﹣x，∴f′（x）＝﹣，①a﹣2＞0即a＞2时，2﹣a＜0，令f′（x）＞0，解得：2﹣a＜x＜0，令f′（x）＜0，x＞0或x＜2﹣a，∴f（x）在（﹣∞，2﹣a）递减，在（2﹣a，0）递增，在（0，+∞）递减；②a﹣2＝0即a＝2时，f′（x）＝﹣＜0，f（x）在R递减；③a﹣2＜0即a＜2时，2﹣a＞0，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜2﹣a，令f′（x）＜0，x＞2﹣a或x＜0，∴f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，2﹣a，）递增，在（2﹣a，+∞）递减；（2）由（1）得：2＜2﹣a＜3，解得：﹣1＜a＜0．19．（14分）设函数f（x）＝ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R．（1）当a＝0时，求证：f（x）＜x，对任意的x∈（0，+∞）成立；（2）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；（3）若∀x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）a＝0时，f（x）＝ln（x+1），定义域是（﹣1，+∞），令g（x）＝ln（x+1）﹣x，g′（x）＝﹣1＝﹣＜0，∴g（x）在（0，+∞）递减，∴g（x）＜g（0）＝0，故f（x）＜x，对任意的x∈（0，+∞）成立；（2）函数f（x）＝ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，x∈（﹣1，+∞）．f′（x）＝，令g（x）＝2ax2+ax﹣a+1．（i）当a＝0时，g（x）＝1，此时f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，无极值点．（ii）当a＞0时，△＝a2﹣8a（1﹣a）＝a（9a﹣8）．①当0＜a≤时，△≤0，g（x）≥0，f′（x）≥0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，无极值点．②当a＞时，△＞0，设方程2ax2+ax﹣a+1＝0的两个实数根分别为x1，x2，x1＜x2．∵x1+x2＝﹣，∴x1＜﹣，x2＞﹣．由g（﹣1）＞0，可得﹣1＜x1＜﹣，∴当x∈（﹣1，x1）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x∈（x1，x2）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x∈（x2，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．因此函数f（x）有两个极值点．（iii）当a＜0时，△＞0．由g（﹣1）＝1＞0，可得x1＜﹣1＜x2．∴当x∈（﹣1，x2）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x∈（x2，+∞）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．因此函数f（x）有一个极值点．综上所述：当a＜0时，函数f（x）有一个极值点；当0≤a≤时，函数f（x）无极值点；当a＞时，函数f（x）有两个极值点．（3）由（2）可知：①当0≤a≤时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．∵f（0）＝0，∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，符合题意．②当＜a≤1时，由g（0）≥0，可得x2≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．又f（0）＝0，∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，符合题意．③当1＜a时，由g（0）＜0，可得x2＞0，∴x∈（0，x2）时，函数f（x）单调递减．又f（0）＝0，∴x∈（0，x2）时，f（x）＜0，不符合题意，舍去；④当a＜0时，设h（x）＝x﹣ln（x+1），x∈（0，+∞），h′（x）＝＞0．∴h（x）在（0，+∞）上单调递增．因此x∈（0，+∞）时，h（x）＞h（0）＝0，即ln（x+1）＜x，可得：f（x）＜x+a（x2﹣x）＝ax2+（1﹣a）x，当x＞1﹣时，ax2+（1﹣a）x＜0，此时f（x）＜0，不合题意，舍去．综上所述，a的取值范围为[0，1]．20．（14分）设集合S＝{x|x＝，k∈N*}．（1）请写出S的一个4元素，使得子集中的4个元素恰好构成等差数列；（2）若无穷递减等比数列{a n}中的每一项都在S中，且公比为q，求证：q∈（0，）；（3）设正整数n＞1，若S的n元子集A满足：对任意的x，y∈A，且x≠y，有|x﹣y|≥，求证：n≤15．【解答】解：（1）S的一个4元素恰好构成等差数列，S＝{}（2）由题意，数列{a n}是无穷递减等比数列，q是有理数，设，（a，b互质），∴为S中的数（k∈N*），则b必为1；∴，（a∈N+），∴q∈（0，]；（3）证明：在（0，）∪S中，对任意的x，y∈A，且x≠y，有|x﹣y|≥，∴在（0，）∪S中的元素个数不超过．最多有7个数．在（，1）∪S中，满足条件有1，，，…，最多8个数，∴7+8≤15，即n≤15．得证．。
北京市东城区2015-2016学年高一下学期期末数学试卷含解析
2015-2016学年北京市东城区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．不等式x2+2x＜3的解集是（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣3＜x＜1}C．{x|x＜﹣3或x＞1}D．{x|x＜﹣1或x＞3}2．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校购进了《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》和《西游记》若干套，如果每班每学期可以随机领取两套不同的书籍，那么该校高一（1）班本学期领到《三国演义》和《水浒传》的概率为（）A．B．C．D．3．已知a＜b＜0，则（）A．a2＜ab B．ab＜b2C．a2＜b2D．a2＞b24．某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是（）A．=﹣10x+200 B．=10x+200 C．=﹣10x﹣200 D．=10x﹣2005．已知非零向量，不共线，且=，则向量=（）A．+B．+C．﹣D．﹣6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．37．已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．a1d＜0，dS3＜0 B．a1d＞0，dS3＞0 C．a1d＞0，dS3＜0 D．a1d＜0，dS3＞0 8．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为（）A．尺B．尺C．尺D．尺二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）9．某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取______名学生．10．如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为______．11．若非零向量，满足||=||，（2+）•=0，则与的夹角为______．12．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则∠A的度数为______．13．设x＞0，y＞0．且+=1，则xy的最大值为______．14．已知平面向量，和在同一平面内且两两不共线，关于非零向量的分解有如下四个命题：①给定向量，总存在向量，使=+；②给定向量和，总存在实数λ和μ，使=λ+μ；③给定单位向量和正数μ，总存在单位向量和实数λ，使=λ+μ；④给定正数λ和μ，总存在单位向量和单位向量，使=λ+μ．则所有正确的命题序号是______．三、解答题：本大题共6小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，﹣2），B（3，2），D（﹣3，﹣1），以线段AB，AD为邻边作平行四边形ABCD．求（I）点C的坐标；（II）平行四边形ABCD的面积．16．已知{a n}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n﹣a n}为等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和．17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a•cosB．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．18．为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月投递的快递件数记录结果中分别随机抽取8天的数据如下：甲公司某员工A：32 33 33 35 36 39 33 41乙公司某员工B：42 36 36 34 37 44 42 36（I）根据两组数据完成甲、乙两个快递公司某员工A和某员工B投递快递件数的茎叶图，并通过茎叶图，对员工A和员工B投递快递件数作比较，写出一个统计结论：统计结论：______（II）请根据甲公司员工A和乙公司员工B分别随机抽取的8天投递快递件数，试估计甲公司员工比乙公司员工该月投递快递件数多的概率．19．已知关于x的不等式（ax﹣1）（x﹣2）＞2的解集为A，且3∉A．（I）求实数a的取值范围；（II）求集合A．20．对于项数为m的有穷数列{a n}，记b k=max{a1，a2，…，a k}（k=1，2，…，m），即b k为a1，a2，…，a k中的最大值，并称数列{b k}是{a n}的控制数列．如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5．（I）若各项均为正整数的数列{a n}的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有符合条件的数列{a n}；（II）设m=100，若a n=|2n﹣4|，{b n}是{a n}的控制数列，求（b1﹣a1）+（b2﹣a2）+…+（b100﹣a100）的值；=C（C为常数，k=1，2，…，m）．（III）设{b n}是{a n}的控制数列，满足a k+b m﹣k+1求证：b k=a k（k=1，2，…，m）．2015-2016学年北京市东城区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．不等式x2+2x＜3的解集是（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣3＜x＜1}C．{x|x＜﹣3或x＞1}D．{x|x＜﹣1或x＞3}【考点】一元二次不等式的解法．【分析】把不等式化为（x+3）（x﹣1）＜0，求出解集即可．【解答】解：∵不等式x2+2x＜3，∴x2+2x﹣3＜0，即（x+3）（x﹣1）＜0，解得﹣3＜x＜1，所以该不等式的解集是{x|﹣3＜x＜1}．故选：B．2．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校购进了《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》和《西游记》若干套，如果每班每学期可以随机领取两套不同的书籍，那么该校高一（1）班本学期领到《三国演义》和《水浒传》的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】确定基本事件的个数，即可求出相应的概率．【解答】解：∵每班每学期可以随机领取两套不同的书籍，∴共有C42=6种方法，该校高一（1）班本学期领到《三国演义》和《水浒传》，有1种方法，∴所求概率为，故选：D．3．已知a＜b＜0，则（）A．a2＜ab B．ab＜b2C．a2＜b2D．a2＞b2【考点】不等式的基本性质．【分析】利用排除法，当a=﹣2，b=﹣1，则A，B，C不成立，根据基本不等式的性质即可判断D．【解答】解：∵a＜b＜0，当a=﹣2，b=﹣1，则A，B，C不成立，根据基本性质可得a2＞b2，故选：D4．某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是（）A．=﹣10x+200 B．=10x+200 C．=﹣10x﹣200 D．=10x﹣200【考点】回归分析．【分析】本题考查的知识点是回归分析的基本概念，根据某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，故回归系数应为负，再结合实际进行分析，即可得到答案．【解答】解：由x与y负相关，可排除B、D两项，而C项中的=﹣10x﹣200＜0不符合题意．故选A5．已知非零向量，不共线，且=，则向量=（）A．+B．+C．﹣D．﹣【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】直接利用向量的运算法则化简求解即可．【解答】解：非零向量，不共线，且=，=，可得：向量=+．故选：A．6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．3【考点】条件语句；循环语句．【分析】本题主要考查条件语句与循环语句的基本应用，属于容易题．【解答】解：第一次运行程序时i=1，s=3；第二次运行程序时，i=2，s=2；第三次运行程序时，i=3，s=1；第四次运行程序时，i=4，s=0，此时执行i=i+1后i=5，推出循环输出s=0，故选B7．已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．a1d＜0，dS3＜0 B．a1d＞0，dS3＞0 C．a1d＞0，dS3＜0 D．a1d＜0，dS3＞0 【考点】等差数列的前n项和．【分析】a3，a4，a8成等比数列，可得=a3•a8，化为：3a1+5d=0，可得a1与d异号，进而判断出结论．【解答】解：∵a3，a4，a8成等比数列，∴=a3•a8，∴=（a1+2d）•（a1+7d），d≠0，化为：3a1+5d=0，可得a1与d异号，∴a1d＜0，dS3=d（3a1+3d）=﹣2d2＜0，故选：A．8．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为（）A．尺B．尺C．尺D．尺【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：由题意可得：每天织布的量组成了等差数列{a n}，a1=5（尺），S30=9×40+30=390（尺），设公差为d（尺），则30×5+=390，解得d=．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）9．某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B 专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取40名学生．【考点】分层抽样方法．【分析】根据全校的人数和A，B两个专业的人数，得到C专业的人数，根据总体个数和要抽取的样本容量，得到每个个体被抽到的概率，用C专业的人数乘以每个个体被抽到的概率，得到结果．【解答】解：∵C专业的学生有1200﹣380﹣420=400，由分层抽样原理，应抽取名．故答案为：4010．如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为0.18．【考点】几何概型．【分析】根据几何槪型的概率意义，即可得到结论．【解答】解：正方形的面积S=1，设阴影部分的面积为S，∵随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，∴几何槪型的概率公式进行估计得，即S=0.18，故答案为：0.18．11．若非零向量，满足||=||，（2+）•=0，则与的夹角为120°．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据两个向量的数量积的值，整理出两个向量之间的关系，得到两个向量的数量积2倍等于向量的模长的平方，写出求夹角的公式，得到结果．【解答】解：设与的夹角为θ，∵非零向量，满足||=||，∴（2+）•=2•+||2=2||•||cosθ+||2=0，∴cosθ=﹣∵0°≤θ≤180°∴θ=120°，故答案为：120°12．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则∠A 的度数为90°．【考点】正弦定理．【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sinA 的值进而求得A．【解答】解：∵bcosC+ccosB=asinA，∴sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA=sin2A，∵sinA≠0，∴sinA=1，∴由于A为三角形内角，可得A=90°，故答案为：90°．13．设x＞0，y＞0．且+=1，则xy的最大值为3．【考点】基本不等式．【分析】直接根据x，y为正实数，且满足+=1利用基本不等式即可得到答案．【解答】解：∵x＞0，y＞0．∴1=+，即xy≤3．当且仅当x=，y=2时取等号．∴xy的最大值为3．故答案为：3．14．已知平面向量，和在同一平面内且两两不共线，关于非零向量的分解有如下四个命题：①给定向量，总存在向量，使=+；②给定向量和，总存在实数λ和μ，使=λ+μ；③给定单位向量和正数μ，总存在单位向量和实数λ，使=λ+μ；④给定正数λ和μ，总存在单位向量和单位向量，使=λ+μ．则所有正确的命题序号是①②．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据向量加法的三角形法则，可判断①；根据平面向量的基本定理可判断②③；举出反例λ=μ=1，||＞2，可判断④．【解答】解：∵平面向量，和在同一平面内且两两不共线，①给定向量，总存在向量=﹣，使=+，故①正确；②由向量，和在同一平面内且两两不共线，故给定向量和，总存在实数λ和μ，使=λ+μ，故②正确；③给定单位向量和正数μ，不一定存在单位向量和实数λ，使=λ+μ，故③错误；④当λ=μ=1，||＞2时，不总存在单位向量和单位向量，使=λ+μ，故④错误．故答案为：①②．三、解答题：本大题共6小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，﹣2），B（3，2），D（﹣3，﹣1），以线段AB，AD为邻边作平行四边形ABCD．求（I）点C的坐标；（II）平行四边形ABCD的面积．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）根据向量的坐标即可求出C的坐标，（Ⅱ）根据向量的数量积的运算和同角的三角函数的关系，以及平行四边形的面积即可求出．【解答】解：（I），，点C的坐标为（1，3）．（II）．，，∴S ABCD=||•||•sin＜＞=12．16．已知{a n}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n﹣a n}为等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即可求数列的通项公式；（2）利用分组求和的方法求解数列的和，由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求解数列的和．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由题意得d===3．∴a n=a1+（n﹣1）d=3n（n=1，2，…）．∴数列{a n}的通项公式为：a n=3n；设等比数列{b n﹣a n}的公比为q，由题意得：q3===8，解得q=2．∴b n﹣a n=（b1﹣a1）q n﹣1=2n﹣1．从而b n=3n+2n﹣1（n=1，2，…）．∴数列{b n}的通项公式为：b n=3n+2n﹣1；（2）由（1）知b n=3n+2n﹣1（n=1，2，…）．数列{3n}的前n项和为n（n+1），数列{2n﹣1}的前n项和为=2n﹣1．∴数列{b n}的前n项和为n（n+1）+2n﹣1．17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a•cosB．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由bsinA=a•cosB，由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，化简整理即可得出．（2）由sinC=2sinA，可得c=2a，由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，代入计算即可得出．【解答】解：（1）∵bsinA=a•cosB，由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，∵sinA≠0，∴sinB=cosB，B∈（0，π），可知：cosB≠0，否则矛盾．∴tanB=，∴B=．（2）∵sinC=2sinA，∴c=2a，由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，∴9=a2+c2﹣ac，把c=2a代入上式化为：a2=3，解得a=，∴．18．为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月投递的快递件数记录结果中分别随机抽取8天的数据如下：甲公司某员工A：32 33 33 35 36 39 33 41乙公司某员工B：42 36 36 34 37 44 42 36（I）根据两组数据完成甲、乙两个快递公司某员工A和某员工B投递快递件数的茎叶图，并通过茎叶图，对员工A和员工B投递快递件数作比较，写出一个统计结论：统计结论：通过茎叶图可以看出，乙公司某员工B投递快递件数的平均值高于甲公司某员工A投递快递件数的平均值（II）请根据甲公司员工A和乙公司员工B分别随机抽取的8天投递快递件数，试估计甲公司员工比乙公司员工该月投递快递件数多的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．【分析】（I）根据条件，可得某员工A和某员工B投递快递件数的茎叶图，从而得出统计结论；（II）确定基本事件的个数，可估计甲公司员工比乙公司员工该月投递快递件数多的概率．【解答】解：（I）某员工A和某员工B投递快递件数的茎叶图如下：统计结论：通过茎叶图可以看出，乙公司某员工B投递快递件数的平均值高于甲公司某员工A投递快递件数的平均值．（其它正确的结论照样给分）…（II）设事件A i为“甲公司某员工A在抽取的8天中，第i天投递的快递件数”，事件B i为“乙公司某员工B在抽取的8天中，第i天投递的快递件数”，i=1，2， (8)设事件C为“甲公司某员工A比乙公司某员工B投递的快递件数多”．由题意知C=A4B4∪A5B4∪A6B2∪A6B3∪A6B4∪A6B5∪A6B8∪A8B2∪A8B3∪A8B4∪A8B5UA8B8因此．…因此可以估计甲公司员工比乙公司员工该月投递快递件数多的概率为．…19．已知关于x的不等式（ax﹣1）（x﹣2）＞2的解集为A，且3∉A．（I）求实数a的取值范围；（II）求集合A．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】（I）根据题意，把x=3代入（ax﹣1）（x﹣2）≤2中，求出a的取值范围；（II）根据（ax﹣1）（x﹣2）＞2，讨论a的取值，求出对应不等式的解集．【解答】解：（I）∵3∉A，∴当x=3时，有（ax﹣1）（x﹣2）≤2，即3a﹣1≤2；解得a≤1，即a的取值范围是{a|a≤1}；…（II）（ax﹣1）（x﹣2）＞2，∴（ax﹣1）（x﹣2）﹣2＞0，∴ax2﹣（2a+1）x＞0，…当a=0时，集合A={x|x＜0}；…当时，集合；…当时，原不等式的解集A为空集；…当时，集合；…当0＜a≤1时，集合．…20．对于项数为m的有穷数列{a n}，记b k=max{a1，a2，…，a k}（k=1，2，…，m），即b k 为a1，a2，…，a k中的最大值，并称数列{b k}是{a n}的控制数列．如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5．（I ）若各项均为正整数的数列{a n }的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有符合条件的数列{a n }；（II ）设m=100，若a n =|2n ﹣4|，{b n }是{a n }的控制数列，求（b 1﹣a 1）+（b 2﹣a 2）+…+（b 100﹣a 100）的值；（III ）设{b n }是{a n }的控制数列，满足a k +b m ﹣k+1=C （C 为常数，k=1，2，…，m ）． 求证：b k =a k （k=1，2，…，m ）．【考点】数列的应用．【分析】（Ⅰ）根据控制数列的定义，进行列举即可得到数列{a n }； （Ⅱ）确定b 1=a 1=2，a 2=0，b 2=2，n ≥3时，总有b n =a n ，从而求（b 1﹣a 1）+（b 2﹣a 2）+…+（b 100﹣a 100）的值；（Ⅲ）依题意可得b k+1≥b k ，根据a k +b m ﹣k+1=C ，a k+1+b m ﹣k =C ，证明a k+1﹣a k =b m ﹣k+1﹣b m ﹣k ≥0，即证得结论．【解答】解：（I ）若各项均为正整数的数列{a n }的控制数列为2，3，4，5，5， 则数列{a n }可能为：①2，3，4，5，1；②2，3，4，5，2；③2，3，4，5，3；④2，3，4，5，4；⑤2，3，4，5，5．…（II ）∵a n =|2n ﹣4|，{b n }是{a n }的控制数列，∴b 1=a 1=2，a 2=0，b 2=2．当n ≥3时，b n =a n ，∴（b 1﹣a 1）+（b 2﹣a 2）+…+（b 100﹣a 100）=2．…证明：（III ）因为b k =max {a 1，a 2，…a k }，b k+1=max {a 1，a 2，…a k ，a k+1}，所以b k+1≥b k ．…因为a k +b m ﹣k+1=C ，a k+1+b m ﹣k =C ，所以a k+1﹣a k =b m ﹣k+1﹣b m ﹣k ≥0，即a k+1≥a k ．…因此，b k =a k ．…2016年9月19日。