完全平方公式变形讲解82804
完全平方公式
完全平方公式的变形与应用一、完全平方公式的变形：完全平方公式222222()2,()2a b a ab b a b a ab b +=++-=-+在使用时常作如下变形：(1) 222222()2,()2a b a b ab a b a b ab +=+-+=-+(2) 2222()()4,()()4a b a b ab a b a b ab +=-+-=+-(3) 2222()()2()a b a b a b ++-=+ (4) 2222221[()()()]2a b c ab bc ca a b b c c a ++---=-+-+- (5) (a a 1+)2=2122++aa 1、 已知长方形的周长为40，面积为75，求分别以长方形的长和宽为边长的正方形面积之和是多少？2、 已知长方形两边之差为4，面积为12，求以长方形的长与宽之和为边长的正方形面积.3、 若一个整数可以表示为两个整数的平方和，证明：这个整数的2倍也可以表示为两个整数的平方和.4、 将长为64cm 的绳分为两段，各自围成一个小正方形，怎样分法使得两个正方形面积之和最小？5、 已知两数的和为10，平方和为52，求这两数的积.6、 已知α=x+1,b=x+2,c=x+3.求：α2+b 2+c 2－αb －bc －cα的值.二、完全平方公式的应用例析（一）根据公式的特点求字母的值已知36442++mx x 是完全平方式，则m 的值为（ ）（二）构造完全平方公式：1、x 4+6x 2+______=（ ___ + ___ ）2 ；m 2+3m+____=（m+___）22、4x 6y 4－_____+9=( _____- _____)2 ；(x+2y)2-8(x+2y)+16=( )2（三）直接用公式求代数式的值 当12s t =+时，代数式222s st t -+的值为 ．992=_______ （四）变形用公式求代数式的值1、已知x+y = –5，xy = 6，则22x y +的值是（ ）；2、已知已知m ＜1且m+m－１＝３，则m －m －1的值为（ ）. 3、已知：ab =60, 22a b +=169，则22a b -的值为（ ）； 4、已知a+1a =5,则=4221a a a++=_____；已知a 2+b 2+4a -2b+5=0,则a b a b +-=_____. （五）用公式解决实际问题1、如图，矩形ABCD 的周长是20cm ，以AB 、CD 为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH ，若正方形ABEF 和ADGH 的面积之和682cm ,那么矩形ABCD的面积是（ ）2、一个直角三角形的周长为5+13，已知斜边为13，求该三角形面积。
完全平方公式知识讲解
完全平方公式知识讲解
假设方程的两个解是x1和x2，那么根据求根公式的推导，可以得到
完全平方公式的一般形式如下：
x1 = (-b + √(b^2 - 4ac)) / (2a)
x2 = (-b - √(b^2 - 4ac)) / (2a)
首先，将 ax^2+bx+c=0 变形为 x^2 + (b/a)x + c/a = 0。
然后，将方程右侧的常数项移动到方程左侧，得到x^2+(b/a)x=-c/a。
接着，我们将方程左侧的平方项和一次项组合成一个完全平方，即(x + (b/2a))^2 = (1/4a^2)(b^2 - 4ac)。
继续变形，得到x + (b/2a) = √((b^2 - 4ac)/(4a^2))。
再将方程左侧的二次项系数变为1，即 x = -b/(2a) ± √((b^2 -
4ac)/(4a^2))。
最后，简化形式，得到 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
通过上述推导过程，我们得到了完全平方公式。
使用这个公式，可以
快速而准确地求解一元二次方程的解。
需要注意的是，完全平方公式适用于任意实数系数的二次方程。
但在
实际应用中，可能会遇到无实数解或有重复解的情况。
因此，在使用完全
平方公式求解一元二次方程时，需要根据情况进行判断和处理。
完全平方公式变形公式及常见题型
完全平方公式变形公式及常见题型加法形式的完全平方公式：(a + b)² = a² + 2ab + b²减法形式的完全平方公式：(a - b)² = a² - 2ab + b²这两个公式可以用来解决一些常见的数学题型，包括因式分解、求根、化简等。
下面将分别介绍这些题型并给出解题方法和例题。
1.因式分解：如果一个二次多项式可以进行因式分解，它的形式可以表示为(x+a)²或者(x-a)²。
通过比较系数，可以求解出a的值。
例题：将多项式x²+6x+9进行因式分解。
解：这个多项式可以整理成(x+3)²的形式，所以其因式分解为(x+3)²。
2.求根：可以利用完全平方公式来求解一个二次方程的根。
例题：求方程x²+6x+9=0的根。
解：可以通过变形公式x²+6x+9=(x+3)²得到，然后令(x+3)²=0，可以得到x=-3、所以方程的根为x=-33.化简：通过利用完全平方公式的变形，可以化简一个复杂的二次多项式。
例题：化简多项式x²+8x+16解：这个多项式可以整理成(x+4)²的形式。
4.求面积和周长：通过完全平方公式，可以求解一个平方区域的面积和周长。
例题：一个正方形的边长为x，求其周长和面积。
解：正方形的周长为4x，面积为x²。
5.求最值：通过完全平方公式，可以求解一个多项式的最大值或最小值。
例题：求多项式y = ax² + bx + c 的最小值。
解：可以通过完全平方公式将该多项式转化为(x+p)²+q的形式，从而得到最小值为q。
这只是完全平方公式的一些常见应用，还有很多其他的题型和解题方法。
希望这些例题和解题方法能够帮助你更好地理解和应用完全平方公式。
第5讲 完全平方公式(解析版)
第5讲 完全平方公式【知识点拨】考点1：完全平方公式完全平方公式：()2222a b a ab b +=++ 2222)(b ab a b a +-=-两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.知识要点：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：()2222a b a b ab +=+-()22a b ab =-+ ()()224a b a b ab +=-+ 考点2：添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.知识要点：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.考点3：补充公式2()()()x p x q x p q x pq ++=+++；2233()()a b a ab b a b ±+=±； 33223()33a b a a b ab b ±=±+±；2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++.【考点精讲】考点1：完全平方公式【例1】（2021秋•河南期末）下列计算正确的是（ ）A ．3a 2﹣a 2＝2B ．a 2•a 3＝a 6C ．（a 2）3＝a 6D ．（a ﹣2b ）2＝a 2﹣4b 2【解答】解：A .3a 2﹣a 2＝2a 2，故本选项不符合题意；B ．a 2•a 3＝a 5，故本选项不符合题意；C ．（a 2）3＝a 6，故本选项符合题意；D．（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，故本选项不符合题意；故选：C．【例2】（2021秋•增城区期末）若a2+b2＝10，ab＝﹣3，则（a﹣b）2＝．【解答】解：∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，a2+b2＝10，ab＝﹣3，∴（a﹣b）2＝10﹣2×（﹣3）＝10+6＝16．故答案为：16．【变式训练1】（2021秋•武威期末）下列计算中正确的是（）A．a2+b3＝2a5B．（3a）2＝6a2C．（a+2）2＝a2+4 D．（﹣a2）3＝﹣a6【解答】解：A．a2和b3不能合并，故本选项不符合题意；B．（3a）2＝9a2，故本选项不符合题意；C．（a+2）2＝a2+4a+4，故本选项不符合题意；D．（﹣a2）3＝﹣a6，故本选项符合题意；故选：D．【变式训练2】（2021秋•云南期末）已知x+＝5，那么x2+＝．【解答】解：∵x+＝5，∴x2+＝（x+）2﹣2＝25﹣2＝23．故答案为：23．【变式训练3】（2021•铜山区二模）下列运算正确的是（）A．a﹣（b+c）＝a﹣b+c B．2a2•3a3＝6a5C．a2+a2＝2a4D．（x﹣y）2＝x2﹣y2【解答】解：A、a﹣（b+c）＝a﹣b﹣c，故本选项不符合题意；B、2a2•3a3＝6a5，故本选项符合题意；C、a2+a2≠2a4，故本选项不符合题意；D、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，故本选项不符合题意；故选：B．【变式训练4】（2021秋•宛城区校级期中）阅读理解：已知a+b＝4，ab＝3，求a2+b2的值．解：∵a+b＝4，∴（a+b）2＝42，即a2+2ab+b2＝16．∵ab＝3，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝10．参考上述过程解答：（1）若x﹣y＝﹣3，xy＝﹣2，则x2+y2＝，（x+y）2＝；（2）若m+n﹣p＝﹣10，（m﹣p）n＝﹣12，求（m﹣p）2+n2的值．【解答】解：（1）∵x﹣y＝﹣3，xy＝﹣2，∴x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝9﹣4＝5，∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝5﹣4＝1，故答案为：5，1；（2）∵m+n﹣p＝﹣10，（m﹣p）n＝﹣12，∴（m﹣p）2+n2＝（m﹣p+n）2﹣2（m﹣p）n＝100+24＝124．【变式训练5】（2021春•金堂县期末）在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将上述等号右边的式子的各项系数排成下表，如图：（a+b）0＝1（a+b）1＝a+b（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3这个图叫做“杨辉三角”，请观察这些系数的规律，直接写出（a+b）5＝，并说出第7排的第三个数是．【解答】解：（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；第7排的第三个数是15，故答案为：a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；15；【变式训练6】（2021•牡丹江）下列运算正确的是（）A．a2•a5＝a10B．（a﹣2）2＝a2﹣4C．a6÷a2＝a3D．（﹣a2）4＝a8【解答】解：A、a2•a5＝a7，故选项计算错误；B、（a﹣2）2＝a2﹣4a+4，故选项计算错误；C、a6÷a2＝a4，故选项计算错误；D、（﹣a2）4＝a8，故选项计算正确；故选：D．考点2：完全平方公式的几何背景【例1】（2021春•滨湖区期中）有一张边长为a的正方形桌面，因实际需要，需将正方形边长增加b，木工师傅设计了如图所示的方案，该方案能验证的等式是（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab+b2【解答】解：如图：大正方形的面积为（a+b）2，图中四部分的面积和为：a2+ab+ab+b2，即a2+2ab+b2，因此有（a+b）2＝a2+2ab+b2，故选：A．【例2】（2021秋•香坊区期末）正方形的边长增加了2cm，面积相应增加了24cm2，则这个正方形原来的面积是（）A．15cm2B．25cm2C．36cm2D．49cm2【解答】解：设正方形的边长是xcm，根据题意得：（x+2）2﹣x2＝24，解得：x＝5．则这个正方形原来的面积是25cm2，故选：B．【变式训练1】（2021秋•长春期末）数学课上老师让同学们用若干个小矩形，拼成一个大矩形，如图所示，请你仔细观察图形，写出图中所表示的整式的乘法关系式为．【解答】解：由拼图可得，大长方形的长为a+2b，宽为a+b，所以面积为（a+2b）（a+b），根据各个部分面积和为a2+3ab+2b2，因此有（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，故答案为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．【变式训练2】（2021秋•福田区期末）如图，矩形ABCD的周长是10cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为17cm2，那么矩形ABCD的面积是（）A．3cm2B．4cm2C．5cm2D．6cm2【解答】解：设AB＝x，AD＝y，∵正方形ABEF和ADGH的面积之和为17cm2∴x2+y2＝17，∵矩形ABCD的周长是10cm∴2（x+y）＝10，∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，∴25＝17+2xy，∴xy＝4，∴矩形ABCD的面积为：xy＝4cm2，故选：B．【变式训练3】（2021秋•中山区期末）如图1是一个长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的正方形．（1）图2中的阴影正方形边长表示正确的序号为；①a+b；②b﹣a；③（a+b）（b﹣a）．（2）由图2可以直接写出（a+b）2，（b﹣a）2，ab之间的一个等量关系是；（3）根据（2）中的结论，解决下列问题：①x+y＝8，xy＝2，求（x﹣y）2的值；②两个正方形ABCD，AEFG如图3摆放，边长分别为x，y，若x2+y2＝16，BE＝2，直接写出图中阴影部分面积和．【解答】解：（1）阴影部分的正方形的边长为b﹣a，故答案为：②；（2）大正方形的边长为a+b，面积为（a+b）2，小正方形的边长为b﹣a，面积为（b﹣a）2，四块长方形的面积为4ab，所以有（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab，故答案为：（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab；（3）①由（2）的结论可得（x+y）2＝（y﹣x）2+4xy，把x+y＝8，xy＝2代入得，64＝（y﹣x）2+8，所以（y﹣x）2＝56，②由BE＝2，即x﹣y＝2，y＝x﹣2由拼图可得，阴影部分的面积为（x2﹣y2），即（x+y）（x﹣y）＝x+y＝2x﹣2，∵x2+y2＝16，即x2+（x﹣2）2＝16，也就是x2﹣2x﹣6＝0，解得x1＝1+，x2＝1﹣＜0（舍去），∴2x﹣2＝2+2﹣2＝2，答：阴影部分的面积和为2．【变式训练4】（2021春•宁波期末）如图所示为正方形的房屋结构平面图，其中主卧与客卧都是正方形，其面积之和比其余面积（阴影部分）多2.25m2，则主卧和客卧的周长之差为（）A．6m B．8m C．10m D．12m【解答】解：设主卧的边长为a米，客卧边长为b米根据题意得：（a2+b2）﹣[（a+b）2﹣（a2+b2）]＝2.25解得a﹣b＝1.5∴主卧与客卧的周长差为4（a﹣b）＝6故选：A．【变式训练5】（2021秋•东莞市校级期中）如图1，用4个相同边长是x，y的长方形和中间一个小正方形密铺而形成的大正方形．（1）若大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，则x﹣y值为；则x+y的值为；（2）若小长方形两边长为9﹣m和m﹣4，则大正方形的边长为；若满足（9﹣m）（m﹣4）＝4，则（9﹣m）2+（m﹣4）2的值为；（3）如图2，正方形ABCD的边长是c，它由四个直角边长分别是a，b的直角三角形和中间一个小正方形组成的，猜想a，b，c三边的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）∵大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，∴（x+y）2＝36，（x﹣y）2＝4，又∵x＞y＞0，∴x+y＝6，x﹣y＝2，故答案为：2，6；（2）大正方形的边长为x+y＝9﹣m+m﹣4＝5，∵（9﹣m）（m﹣4）＝4，∴（9﹣m）2+（m﹣4）2＝[（9﹣m）+（m﹣4）]2﹣2（9﹣m）（m﹣4）＝52﹣8＝17，故答案为：5，17；（3）a，b，c三边的数量关系为a2+b2＝c2．理由如下：由拼图可得，小正方形的边长为a﹣b，由大正方形的面积等于小正方形的面积与4个直角三角形的面积和可得，（a﹣b）2+ab×4＝c2，即a2+b2＝c2．【变式训练6】（2021秋•铜梁区校级期中）用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为a，b，a＞b）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为121，中间空缺的小正方形的面积为13，则下列关系式：①a+b＝11；②（a﹣b）2＝13；③ab＝27；④a2+b2＝76，其中正确的是（填序号）．【解答】解：∵大正方形的面积为121，∴大正方形的边长为11，即a+b＝11，因此①正确；又∵中间空缺的小正方形的面积为13，中间小正方形的边长为a﹣b，∴（a﹣b）2＝13，因此②正确；由拼图可知：4S矩形的面积＝S大正方形﹣S小正方形，∴4ab＝121﹣13，∴ab＝27，因此③正确；∵a+b＝11，ab＝27，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝112﹣2×27＝121﹣54＝67，因此④不正确；综上所述，正确的结论有①②③，故答案为：①②③．【课后巩固】一．选择题1．（2021秋•越秀区期末）若多项式9x2+mx+1是一个完全平方式，则m的值是（）A．±3 B．±6 C．3 D．±9【解答】解：∵多项式9x2+mx+1是一个完全平方式，∴9x2+mx+1＝（3x+1）2或9x2+mx+1＝（3x﹣1）2，即9x2+mx+1＝9x2+6x+1或9x2+mx+1＝9x2﹣6x+1，∴m＝6或m＝﹣6．故选：B．2．（2021秋•越秀区期末）已知a+b＝5，ab＝6，则a2+b2的值等于（）A．13 B．12 C．11 D．10【解答】解：∵a+b＝5，ab＝6，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝25﹣12＝13，故选：A．3．（2021秋•喀什地区期末）计算（a+b）2的正确结果是（）A．a2+b2B．a2﹣b2C．a2+b2+2ab D．a2﹣2ab+b2【解答】解：（a+b）2＝a2+b2+2ab．故选：C．4．（2021•呼伦贝尔）下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（x+y）2＝x2+y2C．（a5÷a2）2＝a6D．（﹣3xy）2＝9xy2【解答】解：A、a2•a3＝a5，故选项错误；B、（x+y）2＝x2+y2+2xy，故选项错误；C、（a5÷a2）2＝a6，故选项正确；D、（﹣3xy）2＝9x2y2，故选项错误；故选：C．5．（2021秋•永春县期中）用四个全等的长方形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积是144，小正方形的面积是4，若用a，b分别表示矩形的长和宽（a＞b），则下列关系中不正确的是（）A．a+b＝12 B．a﹣b＝2 C．ab＝35 D．a2+b2＝84【解答】解：A、根据大正方形的面积求得该正方形的边长是12，则a+b＝12，故A选项正确；B、根据小正方形的面积可以求得该正方形的边长是2，则a﹣b＝2，故B选项正确；C、根据4个矩形的面积和等于大正方形的面积减去小正方形的面积，即4ab＝144﹣4＝140，ab＝35，故C选项正确；D、（a+b）2＝a2+b2+2ab＝144，所以a2+b2＝144﹣2×35＝144﹣70＝74，故D选项错误．故选：D．6．（2021春•槐荫区期中）若a+b＝10，ab＝11，则代数式a2﹣ab+b2的值是（）A．89 B．﹣89 C．67 D．﹣67【解答】解：把a+b＝10两边平方得：（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100，把ab＝11代入得：a2+b2＝78，∴原式＝78﹣11＝67，故选：C．7．（2021春•西湖区校级月考）观察下列各式及其展开式（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5……请你猜想（2x﹣1）10的展开式中含x2项的系数是（）A．144 B．180 C．220 D．45【解答】解：由所给四组式子的系数规律可得左边式子的指数分别为6，7，8，9，10的等式，右边各项的系数分别为：1，6，15，20，15，6，1；1，7，21，35，35，21，7，1；1，8，28，56，70，56，28，8，1；1，9，36，84，126，126，84，36，9，1；1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1．故含x2项的系数为：22×（﹣1）8×45＝180故选：B．8．（2021春•石台县期末）如图所示，有三种卡片，其中边长为a的正方形1张，边长为a、b的矩形卡片4张，边长为b的正方形4张用这9张卡片刚好能拼成一个正方形，则这个正方形的面积为（）A．a2+4ab+4b2B．4a2+8ab+4b2C．4a2+4ab+b2D．a2+2ab+b2【解答】解：由题意，得a2+4ab+4b2故选：A．9．（2021秋•天心区校级期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（）A．（a﹣b）（﹣b﹣a）B．（﹣n2﹣m2）（m2+n2）C．D．（2x﹣3y）（2x+3y）【解答】解：A、原式＝b2﹣a2，本选项不合题意；B、原式＝﹣（m2+n2）2，本选项符合题意；C、原式＝q2﹣p2，本选项不合题意；D、原式＝4x2﹣9y2，本选项不合题意，故选：B．二．填空题10．（2021秋•东城区期末）如果x2﹣10x+m是一个完全平方式，那么m的值是25．【解答】解：∵x2﹣10x+m是一个完全平方式，∴m＝25．故答案为：25．11．（2021秋•长春期末）数学课上老师让同学们用若干个小矩形，拼成一个大矩形，如图所示，请你仔细观察图形，写出图中所表示的整式的乘法关系式为（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2．【解答】解：由拼图可得，大长方形的长为a+2b，宽为a+b，所以面积为（a+2b）（a+b），根据各个部分面积和为a2+3ab+2b2，因此有（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，故答案为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．12．（2021秋•肇源县期末）若多项式a2+ka+25是完全平方式，则k的值是±10．【解答】解：∵a2+ka+25是完全平方式，∴ka＝±2×a×5，∴k＝±10，故答案为：±10．13．（2021秋•顺城区期末）若9x2+mxy+4y2是一个完全平方式，则m＝±12．【解答】解：∵9x2+mxy+4y2是一个完全平方式，∴9x2+mxy+4y2＝（3x+2y）2，∴m＝±2×3×2＝±12．故答案为：±12．14．（2021秋•渝中区校级月考）如图，边长分别为a，b的两个正方形并排放在一起，当a+b＝16，ab＝60时阴影部分的面积为38．【解答】解：根据题意得：S阴影部分＝a2+b2﹣a2﹣b（a+b）＝a2+b2﹣a2﹣ab﹣b2＝（a2+b2﹣ab）＝[（a+b）2﹣3ab]，把a+b＝16，ab＝60代入得：S阴影部分＝38．故图中阴影部分的面积为38．故答案为38．15．（2021春•文登区期末）有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得图甲，将A、B并列放置后构造新的正方形得图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为2和20，则正方形A、B的面积之和为22．【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图甲得a2﹣b2﹣2（a﹣b）b＝2，即a2+b2﹣2ab＝2，由图乙得（a+b）2﹣a2﹣b2＝20，2ab＝20，所以a2+b2＝22，故答案为：22．16．若多项式x2+2kx+4是关于x的完全平方式，则k＝±2．【解答】解：∵x2+2kx+4是一个多项式的完全平方，∴2kx＝±2×2•x，∴k＝±2．故答案为：±2．17．（2021秋•海伦市期末）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的边长之和为5．【解答】解：设正方形A，B的边长分别为a，b．由题意由②得到ab＝6，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝1+24＝25，∵a+b＞0，∴a+b＝5，故答案为5．18．（2021秋•临颍县期末）如图，两个正方形的边长分别为a，b，若a+b＝10，ab＝20，则四边形ABCD 的面积为20．【解答】解：根据题意可得，四边形ABCD的面积＝（a2+b2）﹣﹣b（a+b）＝（a2+b2﹣ab）＝（a2+b2+2ab﹣3ab）＝[（a+b）2﹣3ab]；代入a+b＝10，ab＝20，可得：四边形ABCD的面积＝（10×10﹣20×3）÷2＝20．故答案为：20．三．解答题19．（2021秋•南关区校级期末）如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成相等的四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．（1）图②中阴影部分的正方形的边长等于m﹣n；（2）请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积：方法一：（m﹣n）2；方法二：（m+n）2﹣4mn；（3）根据（2），直接写出（m﹣n）2，（m+n）2，mn这三个代数式之间的等量关系．（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：对于任意的有理数x和y，若x+y＝9，xy＝18，求x﹣y的值．【解答】解：（1）图①被分割的四个小长方形的长为m，宽为n，拼成的图②整体是边长为m+n的正方形，中间是边长为m﹣n的小正方形，故答案为：m﹣n；（2）方法一：阴影部分是边长为m﹣n的正方形，因此面积为（m﹣n）2，方法二：大正方形的面积减去四个长方形的面积，即（m+n）2﹣4mn，故答案为：（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn；（3）由（2）得，（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；答：（m﹣n）2，（m+n）2，mn这三个代数式之间的等量关系为（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；（4）由（3）得，（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，所以（x﹣y）2＝92﹣4×18＝9，因此x﹣y＝3或x﹣y＝﹣3，答：x﹣y的值为3或﹣3．20．（2021秋•崆峒区期末）请认真观察图形，解答下列问题：（1）根据图①中条件，请用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和；（2）在（1）的条件下，如图②，两个正方形边长分别为a，b，如果a+b＝ab＝9，求阴影部分的面积．【解答】解：（1）方法一：两个正方形的面积和，即a2+b2，方法二：边长为a+b的正方形的面积减去两个空白的长方形的面积，即（a+b）2﹣2ab，因此有a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，（2）图②阴影部分的面积是两个边长分别为a、b的正方形的面积和减去两个直角三角形的面积，即a2+b2﹣a×a﹣（a+b）×b＝a2+b2﹣ab＝（a2+b2﹣ab）＝[（a+b）2﹣3ab]，当a+b＝ab＝9时，原式＝×（81﹣27）＝27，答：阴影部分的面积为27．21．（2021秋•集贤县期末）计算：（1）y（2x﹣y）+（x+y）2；（2）（﹣）2021×1.52021．【解答】解：（1）y（2x﹣y）+（x+y）2；＝2xy﹣y2+x2+2xy+y2＝4xy+x2；（2）（﹣）2021×1.52021＝（﹣）2021×（）2021＝（﹣）2021×（）2021×（）＝（﹣×）2021×＝（﹣1）2021×＝．22．（2021秋•中山区期末）如图1是一个长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的正方形．（1）图2中的阴影正方形边长表示正确的序号为②；①a+b；②b﹣a；③（a+b）（b﹣a）．（2）由图2可以直接写出（a+b）2，（b﹣a）2，ab之间的一个等量关系是（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab；（3）根据（2）中的结论，解决下列问题：①x+y＝8，xy＝2，求（x﹣y）2的值；②两个正方形ABCD，AEFG如图3摆放，边长分别为x，y，若x2+y2＝16，BE＝2，直接写出图中阴影部分面积和．【解答】解：（1）阴影部分的正方形的边长为b﹣a，故答案为：②；（2）大正方形的边长为a+b，面积为（a+b）2，小正方形的边长为b﹣a，面积为（b﹣a）2，四块长方形的面积为4ab，所以有（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab，故答案为：（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab；（3）①由（2）的结论可得（x+y）2＝（y﹣x）2+4xy，把x+y＝8，xy＝2代入得，64＝（y﹣x）2+8，所以（y﹣x）2＝56，②由BE＝2，即x﹣y＝2，y＝x﹣2由拼图可得，阴影部分的面积为（x2﹣y2），即（x+y）（x﹣y）＝x+y＝2x﹣2，∵x2+y2＝16，即x2+（x﹣2）2＝16，也就是x2﹣2x﹣6＝0，解得x1＝1+，x2＝1﹣＜0（舍去），∴2x﹣2＝2+2﹣2＝2，答：阴影部分的面积和为2．23．（2021秋•南安市期中）用4个长为a，宽为b的矩形拼成一个大正方形，并且正中间留下一个洞，这个洞恰好是一个小正方形．（1）用不同方法计算中间的小正方形的面积，聪明的你能发现什么？（2）当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多5cm时，它的面积就多75cm2，求中间小正方形的边长．【解答】解：（1）方法一，小正方形的边长为（a﹣b），因此，小正方形的面积是（a﹣b）2，方法二，大正方形的面积减去四个长方形的面积可得，小正方形的面积为：（a+b）2﹣4ab，可以发现（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，答：（a﹣b）2，或（a+b）2﹣4ab，可得（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；（2）解：依题意，得，解得，∴a﹣b＝5，答：小正方形的边长是5cm．24．（2021秋•东莞市校级期中）如图1，用4个相同边长是x，y的长方形和中间一个小正方形密铺而形成的大正方形．（1）若大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，则x﹣y值为2；则x+y的值为6；（2）若小长方形两边长为9﹣m和m﹣4，则大正方形的边长为5；若满足（9﹣m）（m﹣4）＝4，则（9﹣m）2+（m﹣4）2的值为17；（3）如图2，正方形ABCD的边长是c，它由四个直角边长分别是a，b的直角三角形和中间一个小正方形组成的，猜想a，b，c三边的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）∵大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，∴（x+y）2＝36，（x﹣y）2＝4，又∵x＞y＞0，∴x+y＝6，x﹣y＝2，故答案为：2，6；（2）大正方形的边长为x+y＝9﹣m+m﹣4＝5，∵（9﹣m）（m﹣4）＝4，∴（9﹣m）2+（m﹣4）2＝[（9﹣m）+（m﹣4）]2﹣2（9﹣m）（m﹣4）＝52﹣8＝17，故答案为：5，17；（3）a，b，c三边的数量关系为a2+b2＝c2．理由如下：由拼图可得，小正方形的边长为a﹣b，由大正方形的面积等于小正方形的面积与4个直角三角形的面积和可得，（a﹣b）2+ab×4＝c2，即a2+b2＝c2．25．（2021秋•盐池县期末）回答下列问题（1）填空：x2+＝（x+）2﹣2＝（x﹣）2+2（2）若a+＝5，则a2+＝23；（3）若a2﹣3a+1＝0，求a2+的值．【解答】解：（1）2、2．（2）23．（3）∵a2﹣3a+1＝0两边同除a得：a﹣3+＝0，移项得：a+＝3，∴a2+＝（a+）2﹣2＝7．26．（2021春•盐湖区期末）先化简，再求值：4（x﹣1）2﹣（2x+3）（2x﹣3），其中x＝﹣1．【解答】解：原式＝4（x2﹣2x+1）﹣（4x2﹣9）＝4x2﹣8x+4﹣4x2+9＝﹣8x+13，当x＝﹣1时，原式＝8+13＝21．27．（2021春•槐荫区期末）图1，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）图2中的阴影部分的面积为（m﹣n）2；（2）观察图2，三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；（3）若x+y＝﹣6，xy＝2.75，求x﹣y；（4）观察图3，你能得到怎样的代数恒等式呢？【解答】解：（1）图②中的阴影部分的面积为（m﹣n）2，故答案为：（m﹣n）2；（2）（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2，故答案为：（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；（3）（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝25，则x﹣y＝±5；（4）（2m+n）（m+n）＝2m（m+n）+n（m+n）＝2m2+3mn+n2．。
完全平方公式变形
完全平方公式变形$$ax^2+bx+c=0$$其中，a、b、c分别为一元二次方程的系数，x为未知数。
该公式的解可以通过以下的完全平方公式变形来求解。
首先，我们将一元二次方程的左边进行配方，即将$a(x^2+\frac{b}{a}x)+c=0$进行变形。
观察到，$x^2+\frac{b}{a}x$这一项具备完全平方的形式，我们可以将其改写为平方后的形式，即：$$x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2=\left(x+\frac{b }{2a}\right)^2$$这样，我们就将一元二次方程的左边配方成了完全平方的形式。
将该结果代入原始方程，可以得到：$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+c-\left(\frac{b}{2a}\right)^2=0$$继续化简，得到：$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\left(\frac{b}{2a}\right)^2-c $$再对方程两边取平方根，得到：$$x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\left(\frac{b}{2a}\right)^2-c}$$接下来，我们将求解x的过程分成两种情况讨论：情况一：当$\left(\frac{b}{2a}\right)^2-c\geq0$时，即方程有实数解。
在这种情况下，我们可以继续化简上述结果，得到：$$x=\pm\sqrt{\left(\frac{b}{2a}\right)^2-c}-\frac{b}{2a}$$这样，我们就得到了一元二次方程的两个实数解。
情况二：当$\left(\frac{b}{2a}\right)^2-c<0$时，即方程没有实数解，但有复数解。
在这种情况下，我们不能继续对方程进行化简，因为负数无法开平方根得到实数结果。
但是，我们可以通过引入虚数单位i来求解方程。
令$y=\pm\sqrt{c-\left(\frac{b}{2a}\right)^2}$，则方程可以写成：$$x=-\frac{b}{2a}\pm yi$$这样，我们就得到了一元二次方程的两个复数解。
完全平方公式讲解
完全平方公式讲解完全平方公式是一种求解二次方程的方法，通常用于解决含有未知数的平方项和一次项的方程。
这个公式的公式表达形式为：$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$完全平方公式在数学中具有广泛的应用，可以用来解决一元二次方程、分解因式、证明等问题。
首先，我们可以考虑一个特殊的二次多项式：$$(x+a)^2$$这里，a 是一个常数。
根据分配律，我们可以展开该二次多项式：$$(x+a)(x+a)=x^2+ax+ax+a^2$$合并相同项得到：$$x^2+2ax+a^2$$我们可以观察到，这个二次多项式中的平方项（$x^2$）和常数项（$a^2$）是完全平方的结构。
而一次项的系数项（$2ax$）是两个a的乘积的两倍。
这就是所谓的完全平方。
根据以上的推导，我们得出了完全平方的一般形式。
接下来，我们将利用完全平方公式来解决一元二次方程的问题。
对于一元二次方程$$ax^2+bx+c=0$$其中a、b、c是已知实数常数。
我们将该方程两边移项，并利用一种变形技巧，将方程转化为完全平方的形式。
具体步骤如下：1. 将方程两边移项，使等式右边等于0，得到$$ax^2+bx=-c$$2.对于方程的左边，我们将其利用完全平方公式进行变形。
如果我们能找到一个常数k，使得左边可以变为$(x+k)^2$的形式，那么我们就可以利用完全平方公式直接求解。
3. 考虑到$(x+k)^2=x^2+2kx+k^2$，我们可以发现，当$b=2k$时，方程的左边可以写成完全平方形式。
4. 所以，我们可以得到方程$$ax^2+2kx+k^2=-c$$5.然而，我们不能直接将方程的右边变为k的平方形式，因为我们无法确切地知道k的值。
所以，我们需要做一个额外的变形。
6. 我们可以再次考虑方程的两边，得到$$ax^2+2kx+k^2+c=0$$7.现在，我们成功地将方程转化为一个完全平方的形式。
进一步观察，我们可以发现，左边的二次项是$x^2$的系数与$a$的乘积，一次项是$x$的系数与$2k$的乘积，常数项则是$k^2+c$。
完全平方公式6种变形
完全平方公式6种变形在学习数学的过程中，学生们会遇到完全平方公式。
它是一种经典的数学概念，可以通过数学运算容易地计算出一个数的完全平方值。
本文将对完全平方公式的六种变形进行详细讨论。
首先，什么是完全平方公式？它是一种描述数的完全平方的特定的数学结构。
例如，完全平方公式为：(x + y)2 = x2 + 2xy + y2。
它表明，通过将一个数的完全平方和两个数伴随的系数相乘，就可以得到一个数的完全平方。
其次，完全平方公式有六种变形，它们分别是：1.方差公式：(x - y)2 = x2 - 2xy + y22.方和公式：(x + y)2 = x2 + 2xy + y23.方和差的和：(x + y)(x - y) = x2 - y24.方和差的差：(x - y)(x + y) = x2 + y25.方差和的和：(x - y)[2xy = x2 + y26.方差和的差：(x - y)[2xy = x2 - y2第一种变形就是平方差公式。
它表明，只要x和y值相减，系数相乘就可以得到两数之间的平方差值。
第二种变形是平方和公式，它表明，只要x和y值相加，系数相乘就可以得到两数之间的平方和值。
第三种变形是平方和差的和，它表明，当x与y的和乘以x与y的差时，就可以得到平方和差的和。
第四种变形是平方和差的差，它表明，当x与y的差乘以x与y的和时，就可以得到平方和差的差。
第五种变形是平方差和的和，它表明，当x与y的差乘以2xy时，就可以得到平方差和的和。
最后，第六种变形是平方差和的差，它表明，当x 与y的差乘以2xy时，就可以得到平方差和的差。
完全平方公式是一种经典的数学概念，熟练掌握它的变形是很重要的，能够帮助我们计算出一个数的完全平方值，使我们更快地解决数学问题。
因此，我们需要努力掌握和练习完全平方公式的六种变形，这样才能更好地学习数学。
在数学学习中，完全平方公式有六种变形，它们分别是：平方差公式、平方和公式、平方和差的和、平方和差的差、平方差和的和以及平方差和的差。
初中完全平方公式12种变形
初中完全平方公式12种变形在初中数学课中，完全平方公式一直是学习的重要内容。
它可以用来解决复杂的问题，它可以准确地表达一个问题，而且它有很多变形，其中有12种。
首先，完全平方公式的基本原理是，当一个多项式的项中存在平方项时，可以将其化简为完全平方公式的形式。
它的基本形式是x^2+2xy+y^2=a^2，其中a为一个实数。
其次，一元二次方程的12种变形分别是：（1）x^2+2xy+y^2=a^2；（2）x^2-2xy+y^2=a^2；（3）x^2+2xy-y^2=a^2；（4）x^2-2xy-y^2=a^2；（5）ax^2+2xy+y^2=b^2；（6）ax^2-2xy+y^2=b^2；（7）ax^2+2xy-y^2=b^2；（8）ax^2-2xy-y^2=b^2；（9）x^2+2axy+y^2=c^2；（10）x^2-2axy+y^2=c^2；（11）x^2+2axy-y^2=c^2；（12）x^2-2axy-y^2=c^2；然后，我们需要分析上述12种变形的特征和特点，以便于更好地理解其含义。
首先，这些变形有一个共性，即都是完全平方公式的形式，因此它们可以看作一类。
其次，它们的参数不同，例如，前四种的参数a、b、c都是实数，而后八种的参数a、b、c则是变量。
最后，这12种变形可以分为四类，即有系数a的变形，有常数b的变形，有变量c的变形，以及包含x和y的变形。
最后，要正确使用完全平方公式的12种变形，需要掌握其特征和使用方法。
首先，要明确它们的参数，例如有些是实数，而有些则是变量。
其次，要了解它们的共性和特点，例如上面提到的变形分为四类。
最后，要熟练掌握它们的解题方法，例如展开式的方法、变量的替换方法以及因式分解的方法。
这样，才能够更好地解决完全平方公式的12种变形，让自己更加深入地掌握这门学科知识。
总之，完全平方公式可以分为12种变形，它们有着自己的特征和特点，要正确使用它们，需要掌握其参数、共性和解题方法，这样才能更好地解决复杂的问题，为自己赢得一份好成绩。
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A
20
1.已知 x 1 6
x
，求
x2
1 x2
的值。
2.已知 x23x10，求
（1）
x2
1 x2
（2）
x3
1 x3
（3）
x4
1 x4
A
21
平方差公式、完全平方公式应用例说
例1 计算（1） (ab 1)a ( b 1)
（2） (2x3)2 (x3)
（3）102 2 2 2 . （4） 99 2
则k ___________。
(3)x2 12x m是完全平方式,则m ____
(4)请 把 4 x 4 1添 加 一 项 后 是 完 全 平 方 式
A
10
则 a ______完_ 。全平方式
（2） 已 知 ，4 x 2 kxy 25 y 2是 完 全 平 方 式 ， 则k ___________。 (3)x2 12x m是完全平方式,则m _____ . (4)请 把 4 x 4 1添 加 一 项 后 是 完 全 平 方 式 ， 可 以 添 加 ____________.
（ 2） 已 知 x y 9, xy 8, 则 x2 y2 ________。
（ 3） 已 知 (x y)2 25,(x y)2 16, 则 xy ________。
A
4
则 a 2 公 b式2 变 形_ _的_ _应_ _用_ _ 。 （ 2） 已 知 x y 9, xy 8,
a2
1
a2
(a 1)2 a
2进行运算。
解：由 a2
a a
1
6，可知a
0，因此可得
1 a2 a 1 a 1 1 ，
6
a
a
a 1 5。 a6
a2
1
1
1 36 3 3 。
a4 a2 1
a2
1 a2
1
(a 1)2 1 Aa
( 5)2 1 6
11
11
17
• 1、已知 m 2 n 2 6 m 1 n 3 0 0 4 ，求m+n
A
26
例5 解不等式 (3 x 4 )3 ( x 4 ) 9 (x 2 )2
A
27
例六：( 2 1 ) ( 2 2 1 ) ( 2 4 1 ) ( 2 8 1 ) ( 2 1 1 6 ) ( 2 3 1 2 ) 1
A
28
的值
2.已知 x2y24x6y130，x,y都是有理数，求
x y的值
A
18
4.说明不论x,y取何值，代数式 x2y26x4y15
的值总是正数.
5已知 x2y22x4y50求 1 (x 1)2 xy 的值。 2
6.已知a+b=－6，ab=8，求（1）a2 b2 ；（2）(ab)2
7.已知：a+b=8，ab=16+ c 2 ，求的值 (abc)2002
A
22
例题：
求：
A
23
例2 计算 （1）(ab1 )a (b1 )
（2）.(m2np)2
A
24
例3 当 a 1 ,b 1 时 ( 3 a ， 2 b )3 a ( 2 求 b ) ( a 2 b ) 2
的值.
A
25
例4 求证：当n为整数时，两个连续奇数的 平方差 (2n1)2(2n1)2是8的倍数.
A
19
• 练一练
• 1.已知 (ab)5,ab3求 (a b)2 与 3(a2 b2)
的值。
2．已知 ab6,ab4求 a b 与 a 2 b 2 的值。
3.已知 ab4,a2b24 求a 2 b 2 与 ( a b ) 2 的值.
4.已知 (ab)2 80(ab)2 60求 a 2 b 2 及ab的值
A
14
完全平方式
证明：x, y不论是什么有理数, 多项式x2+y2 4x8y25的值 总是正数。并求出它的最小值。
A
15
完全平方式
计算
①(a+b+3)2
② (2x-y-1)2
三个数和的完全平方等于这三个数的平 方和，再加上每两数乘积的2倍。
A
16
例 2已 知 a 2 a a 1 6 ， 试 求 a 4 a a 2 2 1 的 值 。
则 x2 y2 ________。 （ 3） 已 知 (x y)2 25,(x y)2 16
则 xy ________。
A
5
则 x 2 y 2 公_式_ _变_ _形_ _的_ 。应用
（ 3） 已 知 (x y)2 25,(x y)2 16, 则 xy ________。
A
1
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
首平方，尾平方， 2倍 首尾 放中央
A
2
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
a2+b2= (a+b)2-2ab (a-b)2+2ab
(a+b)2-(a-b)2= 4ab
A
3
公式变形的应用
（ 1） 已 知 a b 1, ab 2, 则 a2 b2 ________。
A
11
（ 2） 则k
已_知__，_4_x_完__全k_x_y_平。2方5 y式是 完
全
平
方
式
，
(3)x2 12x m是 完 全平 方 式,则m ____
(4)请 把 4 x 4 1添 加 一 项 后 是 完 全 平 方 式
可 以 添 加 ____________.
A
12
完全平方式
A
13
完全平方式
A
6
公式变形的应用
A
7
完全平方式
能够还原成(a±b)2的代数式叫做完 全平方式
一个数如果是另外一个数的平方， 那么这个数叫做平方数A8源自完全平方式A9
完全平方式
（ 1） 已 知 ， x2 ax 16是 完 全 平 方 式 ，
则a _______。
（2） 已 知 ，4 x 2 kxy 25 y 2是 完 全 平 方 式 ，