复变函数与积分变换试题及答案

复变函数与积分变换试题（一）

一、填空（3分×10）

1．)31ln(i --的模

，幅角

。

2．-8i 的三个单根分别为： ， ， 。 3．Ln z 在 的区域内连续。 4．z z f =)(的解极域为：

。 5．xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f

。

6．=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s

。 7．指数函数的映照特点是： 。 8．幂函数的映照特点是：

。 9．若)(ωF =F [f (t )]，则)(t f = F )][(1ω-f

。 10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]=

。

二、(10分)

已知222

1

21),(y x y x v +-=，求函数),(y x u 使函数),(),()(y x iv y x u z f +=为

解析函数，且f (0)=0。

三、（10分）应用留数的相关定理计算

⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz

四、计算积分（5分×2） 1．⎰=-2||)

1(z z z dz

2．⎰

-c i z z

3

)(cos C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。

五、（10分）求函数)

(1

)(i z z z f -=

在以下各圆环内的罗朗展式。

1．1||0<-

六、证明以下命题：（5分×2）

（1）)(0t t -δ与o iwt e -构成一对傅氏变换对。 （2）)(2ωπδ=⎰∞

+∞-ω-dt e t i

七、（10分）应用拉氏变换求方程组⎪⎩

⎪

⎨⎧='+=+'+='++'0401

z y z y x z y x 满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。

八、（10分）就书中内容，函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。

复变函数与积分变换试题答案（一）

一、1．

2294

2ln π+ ，ππ

k arctg 22

ln 32+-

2.

3-i

2i

3-i

3. Z 不取原点和负实轴

4. 空集

5. 2z 6． 0

7.将常形域映为角形域

8. 角形域映为角形域

9.

⎰

∞+∞

-ωωπ

ωωd e F i )(21

10.

⎰

∞+-0

)(dt e t f st

二、解：∵

y u

x x v ∂∂-=-=∂∂ x

u

y y v ∂∂==∂∂∴c xy u += （5分）

c xy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=22212

1

)(

∵f (0)=0

c =0

（3分）

∴222222

)2(2)(2)(z i xyi y x i y x i xy z f -=+--=--

=

（2分）

三、解：原式=（2分）⎥⎦

⎤⎢

⎣⎡

--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1

Re 26

2

1π 01=z 12=z

（2分）⎥⎦

⎤⎢

⎣⎡

---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1

Re 26

4

3

π 33=z ∞=4z

231

2(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡--分）z z z s

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（=0

∴原式=（2分） 2

3126⨯⨯

i π=i 6

3π-

四、1．解：原式⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 22

1 （3分） z 1=0

z 2=1

]11[2+-=i π=0

（2分）

2．解：原式i

z z i

=''=

s co !

22πi z z i =-π=）（cos i i cos π-==1ich π-

五、1．解：

n

n i i z i i z i

i z i

i z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫

⎝⎛--⋅-=-+

⋅

⋅-=+-⋅-=0111111

)(111)(11)(分）（分）（分）（

1

1

)

(--∞

=-=∑n n n i z i

n n

n i z i )(1

-=∑∞

-=（2分）

2．解：⎪

⎭

⎫

⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=

i z i i z i z i i z z f 11)

(1

1)(1)(11)(2

分）（分）（

（1分）n

n i z i i z ∑∞

=⎪⎭⎫ ⎝⎛

---=

02

)(1

2

0)(11+∞

=-=∑n n n i z i 20

)(--∞=-=∑n n n i z i （2分） 六、1．解：∵

0)(0t i e t t t

i t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞

-=-⎰

（3分） ∴结论成立 （2）解：∵1)(2210

==ωπδπ=ωω-ω-∞

+∞

-⎰t

i t i e dw e

（2分）

∴)(2w πδ与1构成傅氏对

∴

)(2ωπδω=-∞+∞

-⎰

dt e t i

（2分）

七、解：∵⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧=+=++=++)

3(0)(4)()2(0

)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX

（3分）

S （2）-（1）：

∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=

s s s Y 111)(2⎪⎭

⎫ ⎝⎛++--=--=111121111

2

s s s s s s （3分）

∴cht e e t Y t

t -=--

=-12

1211)( 八、解：①定义；

②C-R 充要条件Th ； ③v 为u 的共扼函数

10分

复变函数与积分变换试题（二）

一、填空（3分×10）