高考数学总复习课件第9章平面解析几何
高考数学总复习
[解析] (1)设点 P 坐标为(x，y)，
依题意得x＋y 2·x－y 2＝t⇒y2＝t(x2－4)
北 师
⇒x42＋－y24t＝1，
大 版
轨迹 C 的方程为x42＋－y24t＝1(x≠±2)．
第9章 教师备课平台
高考数学总复习
(2)①当－1<t<0 时，曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆，设|QF1|
大
所以 cosθ＋1＋sinθ＋c≥0 恒成立，
版
即 c≥－(sinθ＋cosθ)－1 恒成立，
而－(sinθ＋cosθ)的最大值为 2，
所以 c≥ 2－1.
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[例 2] 已知 x，y 满足1x62 ＋2y52 ＝1，求 y－3x 的最大值与最
小值．
北
[解析] 令 y－3x＝b，则 y＝3x＋b，原问题转化为在椭圆1x62
[例 5] 据气象台预报：在 A 城正东方 300km 的 B 处有一 台风中心，正以每小时 40km 的速度向西北方向移动，在距台 北
师
风中心 250km 以内的地区将受其影响，问台风是否会影响 A 大 版
城？若影响，持续时间多长？
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[解析] 以 A 为圆心、250km 为半径作圆，当台风中心移
(0，－2)，由|D→P|＝|D→Q|，得 DH⊥PQ，kDH·kPQ＝－1，
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即3k2－t＋31k＋t 2·k＝－1，即 t＝1＋3k2， 3k2＋1
∵k2>0，∴t>1. 由②③得 0<t<4，结合④得到 1<t<4. 综上所述，－2<t<4.
③
北 师
大
④
版
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综上知：当 k＝± 2或 k＝32或 k 不存在时，l 与 C 只有一个公
北 师
共点；
大 版
当 k<－ 2或－ 2<k< 2，或 2<k<23时，l 与 C 有两个公共点；
当 k>23时，l 与 C 没有公共点．
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[例 4] 已知定点 A(－2,0)，B(2,0)，动点 P(x，y)，a＝(1，
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五、待定系数法的应用 待定系数法就是所研究的式子的结构是确定的，但它的系 北
求轨迹方程问题，用代数法判断直线与圆锥曲线的位置关系等．
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[例 1] 设 P(m，n)为圆 x2＋(y－1)2＝1 上任意一点，若不
等式 m＋n＋c≥0 恒成立，则 c 的取值范围是( )
A．－1－ 2≤c≤ 2－1
B. 2－1≤c≤ 2＋1
北
C．c≤－ 2－1
师
D．c≥ 2－1
动经过的直线 l 与圆相切或相交时，A 城将受影响，以 A 为原 北
师
点建立直角坐标系，则圆的方程为
大
版
x2＋y2＝2502，直线 l 的方程为 y＝－x＋300，
由yx＝2＋－y2x＝＋2350002 得 x2－300x＋550×25＝0，
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由于 Δ＝3002－4×550×25＝100×(900－550)>0，
∴16(1＋t)≥12，∴t≥－41.
北 师 大
版
所以当－14≤t<0 时，
曲线上存在点 Q 使∠F1QF2＝120°.
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②当 t<－1 时，曲线 C 为焦点在 y 轴上的椭圆，
设|QF1|＝r1，|QF2|＝r2，
则 r1＋r2＝2a＝2 －4t＝4 －t，
北
师
在△F1QF2 中，|F1F2|＝2c＝4 －1－t.
师
值等题型中起着关键性的作用，在本单元中考查的尤为突出， 大
版
故对其不容忽视．
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[例 6] (2012·枣庄模拟)已知 A、B、C 是椭圆 M：xa22＋yb22＝
1(a>b>0)上的三点，其中点 A 的坐标为(2 3，0)，BC 过椭圆 M
的中心，且A→C·B→C＝0，|B→C|＝2|A→C|(如图所示)．
大
版
∵∠F1QF2＝120°.由余弦定理，
得 4c2＝r12＋r22－2r1r2cos120°＝r12＋r22＋r1r2
＝(r1＋r2)2－r1r2≥(r1＋r2)2－r1＋2 r22 ＝3a2＝－12t，
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∴16(－1－t)≥－12t，∴t≤－4.
北 师
大
令 Δ＝0，解得 b＝±13.
版
故 y－3x 的最大值为 13，最小值为－13.
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二、分类讨论思想在解析几何中的应用
分类讨论是中学数学中最常用的数学思想之一，也是高考
中重点考查的数学思想，解决分类讨论问题的关键是恰当地划 北 师
分标准，分类的原则是做到不重不漏．
大 版
分类讨论思想在本单元中主要体现在判断两直线的位置关
系以及直线与圆锥曲线的位置关系上，需对其斜率存在的情况
进行分类讨论，对含参数的问题往往对参数进行分类讨论．
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[例 3] 已知双曲线 C：2x2－y2＝2 与点 P(1,2)，求过点 P
的直线 l 的斜率的取值范围，使 l 与 C 分别有一个公共点，两
所以当 t≤－4 时，曲线上存在点 Q 使∠F1QF2＝120°.
北
师
综上知，当 t<0 时，曲线上存在点 Q 使∠F1QF2＝120°的 t
大 版
的取值范围是－∞，－4∪－14
，
0.
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三、转化与化归思想的应用 转化与化归的思想是通过各种转换，把复杂或未知的化为 简单的、已知的，从而解决问题的思想．如把角换成斜率，把 北
＝r1，|QF2|＝r2，则 r1＋r2＝2a＝4.
北
在△F1QF2 中，|F1F2|＝2c＝4 1＋t.
师 大
∵∠F1QF2＝120°，由余弦定理，得
版
4c2＝r21＋r22－2r1r2cos120°
＝r21＋r22＋r1r2＝(r1＋r2)2－r1r2
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≥(r1＋r2)2－r1＋2 r22＝3a2＝12，
①当 Δ＝0，即 3－2k＝0，k＝23时，方程(*)有一个实根，l 与
北 师 大
C 有一个公共点．
版
②当 Δ>0，即 k<32时，又 k≠± 2，故当 k<－ 2或－ 2<k< 2
或 2<k<32时，方程(*)有两不等实根，l 与 C 有两个公共点．
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③当 Δ<0，即 kபைடு நூலகம்32时，方程(*)无解，l 与 C 无公共点．
北
个公共点，没有公共点．
师
大
[分析] 首先按直线斜率是否存在分两种情况，然后当直线 版
斜率存在时，设出直线的点斜式方程，联立直线与双曲线的方
程，按 Δ>0，Δ＝0 和 Δ<0 三种情况分别讨论．
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[解析] 当直线 l 的斜率不存在时，l 的方程为 x＝1，与曲
线 C 有一个公共点．当 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y－
北
2＝k(x－1)，代入 C 的方程，并整理得
师 大
(2－k2)x2＋2(k2－2k)x－k2＋4k－6＝0.
版
(*)
(1)当 2－k2＝0，即 k＝± 2时，方程(*)有一个根，l 与 C 有
一个公共点．
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(2)当 2－k2≠0，即 k≠± 2时，Δ＝[2(k2－2k)]2－4(2－k2)·(－ k2＋4k－6)＝16(3－2k)．
kPA)，b＝(1，kPB)为直线 PA、PB 的方向向量，且满足 a·b＝1
北
＋t(t≠0 且 t≠－1)．
师
大
(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程；
版
(2)当 t<0 时，曲线 C 的两焦点为 F1，F2，若曲线 C 上存在 点 Q 使得∠F1QF2＝120°，求 t 的取值范围．
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高考数学总复习
北 师 大 版
第9章 平面解析几何
高考数学总复习
教师备课平台
北 师
大
版
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高考数学总复习
一、数形结合的思想在解析几何中的应用 根据数学问题的条件和结论的内在联系，将抽象的数学语 北
师
言与直观的图形相结合，使抽象思维与形象思维相结合，这里 大
版
主要体现在两个方面：
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因此，A 城将受影响．
北
圆心 A 到直线 l 的距离为 150 2，又圆半径为 250，得弦长
师 大
版
为 2 2502－150 22，即为 264.58km，由于台风速度为每小时
40km，故持续时间约为 6.6 小时．
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四、函数与方程的思想在解析几何中的应用 函数与方程的思想在解决许多综合问题，例如求值、求最 北
师 大 版
＋2y52 ＝1 上找一点，使过该点的直线斜率为 3，且在 y 轴上有最
高考总复习一轮数学精品课件 第9章 平面解析几何 课时规范练76 定值与定点问题
解 (1)由点P到点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,可转化为点P到点F(1,0)
的距离等于到直线x=-1的距离,所以点P的轨迹是以F(1,0)为焦点,以x=-1为
准线的抛物线,所以曲线C的方程为y2=4x.
1 2 3 4 5 6
(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x3,y3),N(x4,y4),依题意,设直线 l 的方程为 y=k(x-1).
1 2 3 4 5 6
5.在平面直角坐标系Oxy中,点P到点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,记点P
的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)过点 F 且斜率不为零的直线 l 交椭圆
M,N
两点,若||
1 2 3 4 5 6
−
1
为定值,求实数
||
2
E:
4
λ 的值.
2
+ =1
3
于 A,B 两点,交曲线 C 于
+1 1
−
144( 2 +1)
(1-3 2 )2
2 -1
·
2
+1 1 2
=
1
1
2 -1
)= 2 · .
2
+1
1 2
,
1
2 +1
12 2 +1
3 2 -1
36
3 2 -1
·
=
1
为定值.
3
(2)解 以 MN 为直径的圆过定点(-2,0).
1 + 2 2
本 课 结 束
(1)求C的方程;
(2)若过左焦点F的直线与C交于P,Q两点,证明:以PQ为直径的圆经过定点.
高三数学课件：第九章 平面解析几何 9-3
[跟踪演练] 1．(2016·天津卷)已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M(0， 5)在圆 C 上，且圆心到直线 2x－y＝0 的距离为455，则圆 C 的 方程为____________________．
[解析] 设圆心为(a,0)(a>0)，则圆心到直线 2x－y＝0 的距离 d＝|2a4－＋01|＝455，得 a＝2，半径 r＝ a－02＋0－ 52＝3，所 以圆 C 的方程为(x－2)2＋y2＝9.
→
结合图形设 出圆心、半径→来自利用向量夹 角列式求解
→ 得结果
[解析] (1)解法一：设圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F ＝0，
1＋D＋F＝0， ∴3＋ 3E＋F＝0，
7＋2D＋ 3E＋F＝0，
D＝－2，
∴E＝－4
3
3，
F＝1，
∴△ABC 外接圆的圆心为1，233，故△ABC 外接圆的圆心
1＋2 3 32＝
21 3.
(2)由题意知该圆的半径为 1，设圆心坐标为 C(－1，a)(a>0)， 则 A(0，a)，又 F(1,0)，所以A→C＝(－1,0)，A→F＝(1，－a)，由题意 得A→C与A→F的夹角为 120°，得 cos120°＝1×－11＋a2＝－12，解得 a ＝ 3，所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－ 3)2＝1.
[答案] x2＋y2－2x－3＝0(x≠3 且 x≠－1)
考点突破 提能力
研一研 练一练 考点通关
考点一 求圆的方程——常考点 (1)(2015·全国卷Ⅱ)已知三点 A(1,0)，B(0， 3)，C(2，
3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )
5
21 2 5 4
A.3 B. 3 C. 3 D.3
旧教材适用2023高考数学一轮总复习第九章平面解析几何第6讲椭圆二课件
3．(2022·河南平顶山模拟)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)与直线 y＝x
＋3 只有一个公共点，且椭圆的离心率为 55，则椭圆 C 的方程为( )
A.42x52＋y52＝1
B．x52＋y42＝1
C.x92＋y52＝1
D．2x52 ＋2y02 ＝1
答案 B
解析 将直线方程 y＝x＋3 代入 C 的方程并整理得(a2＋b2)x2＋6a2x＋
2．直线 y＝kx＋1，当 k 变化时，此直线被椭圆x42＋y2＝1 截得的弦长的
最大值是( )
A．2 C．4
B．4 3 3 D．不能确定
答案 B
解析 直线恒过定点(0,1)，且点(0,1)在椭圆上，可设另外一个交点为(x， y)，则x42＋y2＝1，即 x2＝4－4y2，则弦长为 x2＋y－12＝ 4－4y2＋y2－2y＋1 ＝ －3y2－2y＋5，因为－1≤y≤1，所以当 y＝－13时，弦长最大为433.
2
PART TWO
核心考向突破
考向一 直线与椭圆的位置关系 例 1 已知直线 l：y＝2x＋m，椭圆 C：x42＋y22＝1.试问当 m 取何值时， 直线 l 与椭圆 C：
(1)有两个不重合的公共点；
解 将直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立，
y＝2x＋m，
①
得方程组x42＋y22＝1， ②
将①代入②，整理得 9x2＋8mx＋2m2－4＝0. ③ 方程③根的判别式 Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. (1)当 Δ>0，即－3 2<m<3 2时，方程③有两个不同的实数根，可知原方 程组有两组不同的实数解．这时直线 l 与椭圆 C 有两个不重合的公共点．
2023高考数学一轮总复习第九章平面解析几何第四节直线与圆圆与圆的位置关系pptx课件北师大版
第四节
直线与圆、圆与圆的位置关系
内
容
索
引
01
强基础 增分策略
02
增素能 精准突破
课标解读
衍生考点
核心素养
1.能根据给定直线、圆的方程,
判断直线与圆、圆与圆的位置 1.直线与圆的位置关系 直观想象
关系.
2.圆的切线与弦长问题 数学运算
2.能用直线和圆的方程解决一
3.圆与圆的位置关系
些简单的数学问题与实际问题.
设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,①
圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,②
若两圆相交,则有一条公共弦,其公共弦所在直线的方程可由①-②得到,即
(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.
(2)两个圆系方程
①过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方
典例突破
例1.(1)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法错误的
是(
)
A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
(2)(2021北京人大附中模拟)已知圆C过点(-1,0)和(1,0),且与直线y=x-1只有
对点演练
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.( × )
高考数学(理)人教通用版课件第九章平面解析几何96
A1(0，－a)，A2(0，a) __y_＝__±_ab_x_
离心率
e＝
c a
，e∈_(_1_，__＋__∞__) ，其中c＝___a_2_＋__b_2 _
性质
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝ 2a ， 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝ 2b ； a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
跟踪训练1 设双曲线x2－y32＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上， 且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是__(2___7_，__8_) _. 解析 如图，由已知可得 a＝1，b＝ 3，c＝2，从而|F1F2|＝4， 由对称性不妨设P在右支上， 设|PF2|＝m， 则|PF1|＝m＋2a＝m＋2， 由于△PF1F2为锐角三角形，
(2)(2017·全国Ⅲ)已知双曲线
C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为
y＝
5 2
x，且与椭圆1x22 ＋y32＝1 有公共焦点，则 C 的方程为
a，b，c的关系
c2＝_a_2＋__b_2_(c>a>0，c>b>0)
【概念方法微思考】
1.平面内与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定 为双曲线吗？为什么？
提示 不一定.当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线； 当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在； 当2a＝0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线. 2.方程Ax2＋By2＝1表示双曲线的充要条件是什么？ 提示 若A>0，B<0，表示焦点在x轴上的双曲线；若A<0，B>0，表示焦点 在y轴上的双曲线.所以Ax2＋By2＝1表示双曲线的充要条件是AB<0.
高考总复习一轮数学精品课件 第九章 平面解析几何 指点迷津(八)
(2)定义法:利用曲线的定义,判断曲线类型,再由曲线的定义直接写出曲线
方程;
(3)代入法(相关点法):题中有两个动点,一个为所求,设为(x,y),另一个在已
知曲线上运动,设为(x0,y0),利用已知条件找出两个动点坐标的关系,用所求
表示已知,即
0 = (,),
将 x0,y0 代入已知曲线即得所求曲线方程;
0 = (,),
= (),
(4)参数法:引入参数 t,求出动点(x,y)与参数 t 之间的关系
消去参数即
= (),
得所求轨迹方程;
(5)交轨法:引入参数表示两动曲线的方程,将参数消去,得到两动曲线交点
的轨迹方程.
一、直接法求轨迹方程
例1.已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0,O为坐标原点,动点P在圆C外,过点P作圆C
=(x1-x,-y)=(0,-y).
因为=λ,所以(0,y-y1)=λ(0,-y),
所以 y-y1=-λy,即 y1=(1+λ)y.
因为点
2 2
P(x1,y1)在椭圆 4 +y =1
2
+(1+λ)2y2=1
4
21
上,所以 4
2
+ 12 =1,所以 4 +(1+λ)2y2=1,所以
第九章
指点迷津(八)
求曲线轨迹方程的方法
曲线C与方程F(x,y)=0满足两个条件:(1)曲线C上点的坐标都是方程
F(x,y)=0的解;(2)以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.则称曲线C
为方程F(x,y)=0的曲线,方程F(x,y)=0为曲线C的方程.求曲线方程的基本方
高考数学总复习(人教A版,理科)配套课件第九章 平面解析几何 9.2
R A（理）
§9.2 两直线的位置关系
第九章 平面解析几何
基础知识·自主学习
要点梳理
1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线 l1、 l2， 其斜率分别为 k1、 k2， 则有 l1∥ l2 ⇔ k1＝k2 .特别地，当直线 l1、 l2 的斜率都不存在时， l1 与 l2
基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材
3.三种距离公式 (1)点 A(x1， y1)、 B(x2， y2)间的距离： 2 2 x － x ＋ y － y 2 1 2 1 |AB|＝ . (2)点 P(x0， y0)到直线 l： Ax＋By＋ C＝0 的距离： d＝
|Ax0＋By0＋C| A2＋B2
①
②
由①②联立，解得 a＝2，b＝2.
(1)l1⊥ l2，且 l1 过点 (－ 3，－ 1)； (2)∵l2 的斜率存在，l1∥l2，
∴直线 l1 的斜率存在， a k1＝k2，即 ＝1－a. b
相等，且 l1∥l2，
③
又∵坐标原点到这两条直线的距离
题型分类·深度剖析
题型一 两条直线的平行与垂直
思维启迪 解析 思维升华
a，b 的值.
即 b＝0.
(1)l1⊥l2， 且 l1 过点(－3， －1)； 又∵l1 过点(－3，－1)，
4 (2)l1∥l2，且坐标原点到这两 ∴－3a＋4＝0，即 a＝3(矛盾). ∴此种情况不存在，∴k2≠0.
条直线的距离相等 .
即 k1，k2 都存在， a ∵k2＝1－a，k1＝ ，l1⊥l2， b
2 ∴a＝2，b＝－2 或 a＝ ，b＝2. 3
题型分类·深度剖析
题型一 两条直线的平行与垂直
高考总复习一轮数学精品课件 第九章 平面解析几何 第七节 抛物线
方程为
5
x=- =- ,所以点
2 4
A 到抛物线 C 的准线的距离为
5
1+
4
=
9
.
4
增素能 精准突破
考点一京海淀一模)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点P在该抛物线上,
且P的横坐标为4,则|PF|=(
A.2
B.3
)
C.4
D.5
(2)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则
F
B.
1
0, 16
.
考点二
抛物线的标准方程与简单几何性质
典例突破
例2.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,点M是抛物线C上一点,
过点M作准线l的垂线,交l于点H,若|MH|=2,∠HFM=30°,则抛物线C的标准
方程为
.
答案 y2=6x
解析 因为抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离,
距离相等
,直线l叫做抛物线的
的点的轨
准线 .
设点M是抛物线上的任意一点,它到准线l的距离为d,则抛物线定义的表达
式为|MF|=d
微思考抛物线定义中,若直线l过点F,则点的轨迹会怎么样?
提示 若直线l过点F,则到点F与到直线l距离相等的点的轨迹是过点F且与l
垂直的直线.
2.抛物线的标准方程和简单几何性质
y=x+2,联立
=
+2,
2 = 2,
得x2-2px-p2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=2p,x1x2=-p2,不妨设x1>0,x2<0,
高考数学复习第九章解析几何9.8.1直线与圆锥曲线文市赛课公开课一等奖省优质课获奖课件
由xy22＝＋－y2m＝ 1 x1＋，b
消去 y，得
12＋m12x2－2mbx＋b2－1＝0.
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因为直线 y＝－m1 x＋b 与椭圆x22＋y2＝1 有两个不同的交点，
所以 Δ＝－2b2＋2＋m42>0.①
将线段 AB 中点 Mm22m＋b2，mm2＋2b2代入直线方程 y＝mx＋12解 得 b＝－m22m＋22.②
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[典题 1] (1)[2017·甘肃兰州检测]若直线 mx＋ny＝4 和
圆 O：x2＋y2＝4 没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆x92＋y42
＝1 的交点个数为( B )
A．至多一个 B．2
C．1
D．0
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[解析] ∵直线 mx＋ny＝4 和圆 O：x2＋y2＝4 没有交点，∴
解得 k＝－12.
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故此弦所在的直线方程为 y－1＝－12(x－1)， 即 x＋2y－3＝0. 解法二：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为 k， A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则xx441222＋ ＋yy222221＝ ＝11， ，① ② ①－②得x1＋x24x1－x2＋y1＋y22y1－y2＝0，
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(1)求椭圆 C 的方程； (2)当△AMN 的面积为 310时，求 k 的值．
a＝2， 解：(1)由题意得ac＝ 22，
a2＝b2＋c2， 解得 b＝ 2，所以椭圆 C 的方程为x42＋y22＝1.
y＝kx－1， (2)由x42＋y22＝1，
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得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.
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[解析] 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 抛物线方程为 y2＝2px， 则yy1222＝＝22ppxx21.， 两式相减可得 2p＝yx11－ －yx22×(y1＋y2) ＝kAB×2＝2，解得 p＝1， ∴抛物线 C 的方程为 y2＝2x.
2024年高考数学总复习第九章《平面解析几何》两条直线的位置关系
2024年高考数学总复习第九章《平面解析几何》§9.2两条直线的位置关系最新考纲1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.3.探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．1．两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.(ⅱ)当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2.②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2.(2)两条直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组1x ＋B 1y ＋C 1＝0，2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．2．几种距离(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2.概念方法微思考1．若两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率有什么关系？提示当两条直线l 1与l 2的斜率都存在时，12l l k k ⋅＝－1；当两条直线中一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，l 1与l 2也垂直．2．应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意什么？提示(1)将方程化为最简的一般形式．(2)利用两平行线之间的距离公式时，应使两平行线方程中x ，y 的系数分别对应相等．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.(×)(2)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.(√)(3)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2.(×)(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(√)(5)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k ，且线段AB 的中点在直线l 上．(√)题组二教材改编2．已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于()A.2B ．2－2 C.2－1D.2＋1答案C 解析由题意得|a －2＋3|1＋1＝1.解得a ＝－1＋2或a ＝－1－ 2.∵a >0，∴a ＝－1＋ 2.3．已知P (－2，m )，Q (m,4)，且直线PQ 垂直于直线x ＋y ＋1＝0，则m ＝________.答案1解析由题意知m －4－2－m＝1，所以m －4＝－2－m ，所以m ＝1.4．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________．答案－9解析＝2x ，＋y ＝3，＝1，＝2.所以点(1,2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0，即m ×1＋2×2＋5＝0，所以m ＝－9.题组三易错自纠5．直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m 等于()A ．2B ．－3C ．2或－3D ．－2或－3答案C解析直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有2m ＝m ＋13≠4－2m ＝2或－3.故选C.6．直线2x ＋2y ＋1＝0，x ＋y ＋2＝0之间的距离是______．答案324解析先将2x ＋2y ＋1＝0化为x ＋y ＋12＝0，则两平行线间的距离为d ＝|2－12|2＝324.7．若直线(3a ＋2)x ＋(1－4a )y ＋8＝0与(5a －2)x ＋(a ＋4)y －7＝0垂直，则a ＝________.答案0或1解析由两直线垂直的充要条件，得(3a ＋2)(5a －2)＋(1－4a )(a ＋4)＝0，解得a ＝0或a ＝1.题型一两条直线的平行与垂直例1已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0.(1)试判断l 1与l 2是否平行；(2)当l 1⊥l 2时，求a 的值．解(1)方法一当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为l 1：y ＝－a2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)，l 1∥l 2－a2＝11－a ，3≠－(a ＋1)，解得a ＝－1，综上可知，当a＝－1时，l1∥l2，a≠－1时，l1与l2不平行．方法二由A1B2－A2B1＝0，得a(a－1)－1×2＝0，由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0，∴l1∥l2(a－1)－1×2＝0，(a2－1)－1×6≠0，2－a－2＝0，(a2－1)≠6，可得a＝－1，故当a＝－1时，l1∥l2.a≠－1时，l1与l2不平行．(2)方法一当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不成立；当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2，故a＝0不成立；当a≠1且a≠0时，l1：y＝－a2x－3，l2：y＝11－ax－(a＋1)，·11－a＝－1，得a＝23.方法二由A1A2＋B1B2＝0，得a＋2(a－1)＝0，可得a＝23.思维升华(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．跟踪训练1(1)(2018·潍坊模拟)直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8，则“m＝－1或m＝－7”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由题意，当直线l1∥l2时，满足3＋m2＝45＋m≠5－3m8，解得m＝－7，所以“m＝－1或m＝－7”是“l1∥l2”的必要不充分条件，故选B.(2)(2018·青岛模拟)已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．①l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；②l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解①∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)－b ＝0，又∵直线l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.故a ＝2，b ＝2.②∵直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在．∴k 1＝k 2，即ab＝1－a .又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b .故a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.题型二两直线的交点与距离问题1．(2018·西宁调研)若直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于M ，N 两点，且MN 的中点是P (1，－1)，则直线l 的斜率是()A ．－23 B.23C ．－32D.32答案A解析由题意，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)－1，分别与y ＝1，x －y －7＝0联立解得1，又因为MN 的中点是P (1，－1)，所以由中点坐标公式得k ＝－23.2．若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为()A.95B.185C.2910D.295答案C解析因为36＝48≠－125，所以两直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910.3．已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是________．答案－16，解析方法一＝kx ＋2k ＋1，＝－12x ＋2，＝2－4k 2k ＋1，＝6k ＋12k ＋1.(若2k ＋1＝0，即k ＝－12，则两直线平行)∴又∵交点位于第一象限，，，解得－16<k <12.方法二如图，已知直线y ＝－12x ＋2与x 轴、y 轴分别交于点A (4,0)，B (0,2)．而直线方程y ＝kx ＋2k ＋1可变形为y －1＝k (x ＋2)，表示这是一条过定点P (－2,1)，斜率为k 的动直线．∵两直线的交点在第一象限，∴两直线的交点必在线段AB 上(不包括端点)，∴动直线的斜率k 需满足k P A <k <k PB .∵k P A ＝－16，k PB ＝12.∴－16<k <12.4．已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，若在坐标平面内存在一点P ，使|PA |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2，则P点坐标为________________．答案(1，－4)解析设点P 的坐标为(a ，b )．∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)．而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0.∵点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上，∴a －b －5＝0.①又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2，∴|4a ＋3b －2|42＋32＝2，即4a ＋3b －2＝±10，②由①②a ＝1，b ＝－4a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)277，－87思维升华(1)求过两直线交点的直线方程的方法先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．(2)利用距离公式应注意：①点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数化为相等．题型三对称问题命题点1点关于点中心对称例2过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________．答案x ＋4y －4＝0解析设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.命题点2点关于直线对称例3如图，已知A (4,0)，B(0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是()A ．33B ．6C ．210D ．25答案C解析直线AB 的方程为x ＋y ＝4，点P (2,0)关于直线AB 的对称点为D (4,2)，关于y 轴的对称点为C (－2,0)，则光线经过的路程为|CD |＝62＋22＝210.命题点3直线关于直线的对称问题例4直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是______________．答案x －2y ＋3＝0解析设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，－y ＋y 02＋2＝0，(y －y 0)，0＝y －2，0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上，∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0，即x －2y ＋3＝0.思维升华解决对称问题的方法(1)中心对称①点P (x ，y )关于Q (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)′＝2a －x ，′＝2b －y .②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．(2)轴对称①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，则有1，B ·b ＋n 2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．跟踪训练2已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求：(1)点P (4,5)关于l 的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程；(3)直线l 关于(1,2)的对称直线．解(1)设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)，∵k PP ′·k l ＝－1，即y ′－yx ′－x×3＝－1.①又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上，∴3×x ′＋x 2－y ′＋y 2＋3＝0.②由①②′＝－4x ＋3y －95，③′＝3x ＋4y ＋35.④把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2，y ′＝7，∴点P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)．(2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于l 对称的直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0，化简得7x ＋y ＋22＝0.(3)在直线l ：3x －y ＋3＝0上取点M (0,3)，关于(1,2)的对称点M ′(x ′，y ′)，∴x ′＋02＝1，x ′＝2，y ′＋32＝2，y ′＝1，∴M ′(2,1)．l 关于(1,2)的对称直线平行于l ，∴k ＝3，∴对称直线方程为y －1＝3×(x －2)，即3x －y －5＝0.妙用直线系求直线方程在求解直线方程的题目中，可采用设直线系方程的方式简化运算，常见的直线系有平行直线系，垂直直线系和过直线交点的直线系．一、平行直线系例1求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l 的方程．解由题意，设所求直线方程为3x ＋4y ＋c ＝0(c ≠1)，又因为直线过点(1,2)，所以3×1＋4×2＋c ＝0，解得c ＝－11.因此，所求直线方程为3x ＋4y －11＝0.二、垂直直线系例2求经过A (2,1)，且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程．解因为所求直线与直线2x ＋y －10＝0垂直，所以设该直线方程为x －2y ＋C ＝0，又直线过点A (2,1)，所以有2－2×1＋C ＝0，解得C ＝0，即所求直线方程为x －2y ＝0.三、过直线交点的直线系例3求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．解方法一－2y ＋4＝0，＋y －2＝0，得P (0,2)．∵l 3的斜率为34，且l ⊥l 3，∴直线l 的斜率为－43，由斜截式可知l 的方程为y ＝－43x ＋2，即4x ＋3y －6＝0.方法二设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0.又∵l ⊥l 3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，解得λ＝11.∴直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0.1．直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是()A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．不能确定答案C解析直线2x ＋y ＋m ＝0的斜率k 1＝－2，直线x ＋2y ＋n ＝0的斜率k 2＝－12，则k 1≠k 2，且k 1k 2≠－1.故选C.2．已知直线l 1：x ＋my ＋7＝0和l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0互相平行，则实数m 等于()A ．－1或3B ．－1C ．－3D ．1或－3答案A解析当m ＝0时，显然不符合题意；当m ≠0时，由题意得，m －21＝3m ≠2m7，解得m ＝－1或m ＝3，故选A.3．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为()A ．－10B ．－2C ．0D ．8答案A解析因为l 1∥l 2，所以k AB ＝4－mm ＋2＝－2.解得m ＝－8.又因为l 2⊥l 3，所以－1n ×(－2)＝－1，解得n ＝－2，所以m ＋n ＝－10.4．过点M (－3,2)，且与直线x ＋2y －9＝0平行的直线方程是()A ．2x －y ＋8＝0B ．x －2y ＋7＝0C ．x ＋2y ＋4＝0D ．x ＋2y －1＝0答案D 解析方法一因为直线x ＋2y －9＝0的斜率为－12，所以与直线x ＋2y －9＝0平行的直线的斜率为－12，又所求直线过M (－3,2)，所以所求直线的点斜式方程为y －2＝－12(x ＋3)，化为一般式得x ＋2y －1＝0.故选D.方法二由题意，设所求直线方程为x ＋2y ＋c ＝0，将M (－3，2)代入，解得c ＝－1，所以所求直线为x ＋2y －1＝0.故选D.5．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2之间的距离为()A.423B ．42 C.823D ．22答案C解析∵l 1∥l 2，∴a ≠2且a ≠0，∴1a －2＝a 3≠62a，解得a ＝－1，∴l 1与l 2的方程分别为l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，∴l 1与l 2的距离d ＝|6－23|2＝823.6．已知直线l1：y＝2x＋3，直线l2与l1关于直线y＝－x对称，则直线l2的斜率为()A.1 2B．－12C．2D．－2答案A解析直线y＝2x＋3与y＝－x的交点为A(－1,1)，而直线y＝2x＋3上的点(0,3)关于y＝－x的对称点为B(－3，0)，而A，B两点都在l2上，所以kl2＝1－0－1－(－3)＝12.7．已知直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，若l1⊥l2，则a＝________，此时点P的坐标为________．答案1(3,3)解析∵直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，且l1⊥l2，∴a×1＋1×(a－2)＝0，即a＝1＋y－6＝0，－y＝0，易得x＝3，y＝3，∴P(3,3)．8．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________.答案34 5解析由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，2×7＋m2－3，＝－12，＝35，＝315，故m＋n＝34 5 .9．直线l1：y＝2x＋3关于直线l：y＝x＋1对称的直线l2的方程为______________．答案x－2y＝0解析＝2x＋3，＝x＋1，解得直线l1与l的交点坐标为(－2，－1)，所以可设直线l2的方程为y＋1＝k(x＋2)，即kx－y＋2k－1＝0.在直线l上任取一点(1,2)，由题设知点(1,2)到直线l1，l2的距离相等，由点到直线的距离公式得|k －2＋2k －1|k 2＋1＝|2－2＋3|22＋1，解得k ＝12(k ＝2舍去)，所以直线l 2的方程为x －2y ＝0.10．已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为______________．答案6x －y －6＝0解析设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，＝－1，－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0.11．已知方程(2＋λ)x －(1＋λ)y －2(3＋2λ)＝0与点P (－2,2)．(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P 的距离d 小于42.(1)解显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线．∵方程可变形为2x －y －6＋λ(x －y －4)＝0，x －y －6＝0，－y －4＝0，＝2，＝－2，故直线经过的定点为M (2，－2)．(2)证明过P 作直线的垂线段PQ ，由垂线段小于斜线段知|PQ |≤|PM |，当且仅当Q 与M 重合时，|PQ |＝|PM |，此时对应的直线方程是y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.但直线系方程唯独不能表示直线x －y －4＝0，∴M 与Q 不可能重合，而|PM |＝42，∴|PQ |<42，故所证成立．12．已知三条直线：l 1：2x －y ＋a ＝0(a >0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是7510.(1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件：①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶5.若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．解(1)直线l 2：2x －y －12＝0，所以两条平行线l 1与l 2间的距离为d ＝7510，所以|a ＋12|5＝7510，即|a ＋12|＝72，又a >0，解得a ＝3.(2)假设存在点P ，设点P (x 0，y 0)．若P 点满足条件②，则P 点在与l 1，l 2平行的直线l ′：2x －y ＋c ＝0上，且|c －3|5＝12|c ＋12|5，即c ＝132或116，所以2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0；若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式，有|2x 0－y 0＋3|5＝25|x 0＋y 0－1|2，即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|，所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0；由于点P 在第一象限，所以3x 0＋2＝0不可能．联立方程2x 0－y 0＋132＝0和x 0－2y 0＋4＝0，0＝－3，0＝12，(舍去)联立方程2x 0－y 0＋116＝0和x 0－2y 0＋4＝0，＝19，0＝3718.所以存在点P 13．已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4，2)，(3,1)，则点C的坐标为()A．(－2,4)B．(－2，－4) C．(2,4)D．(2，－4)答案C解析设A(－4,2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，则2＝－1，2×－4＋x2，解得＝4，＝－2，∴BC所在直线方程为y－1＝－2－14－3(x－3)，即3x＋y－10＝0.同理可得点B(3,1)关于直线y＝2x的对称点为(－1,3)，∴AC所在直线方程为y－2＝3－2－1－(－4)(x＋4)，即x－3y＋10＝0.x＋y－10＝0，－3y＋10＝0，＝2，＝4，则C(2,4)．故选C.14．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为()A.5B.6C．23D．25答案A解析＝2x，＋y＝3，解得x＝1，y＝2.把(1,2)代入mx＋ny＋5＝0可得，m＋2n＋5＝0.∴m＝－5－2n.∴点(m，n)到原点的距离d＝m2＋n2＝(5＋2n)2＋n2＝5(n＋2)2＋5≥5，当n＝－2，m＝－1时取等号．∴点(m，n)到原点的距离的最小值为 5.15．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A (1,0)，B (0,2)，且AC ＝BC ，则△ABC 的欧拉线的方程为()A ．4x ＋2y ＋3＝0B ．2x －4y ＋3＝0C ．x －2y ＋3＝0D ．2x －y ＋3＝0答案B解析因为AC ＝BC ，所以欧拉线为AB 的中垂线，又A (1，0)，B (0,2)，故AB k AB ＝－2，故AB 的中垂线方程为y －1即2x －4y ＋3＝0.16．在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1.再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，又与直线l 重合．若直线l 与直线l 1关于点(2,4)对称，求直线l 的方程．解由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1：y ＝k (x －3)＋5＋b ，将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，则平移后的直线方程为y ＝k (x －3－1)＋b ＋5－2，即y ＝kx ＋3－4k ＋b ，∴b ＝3－4k ＋b ，解得k ＝34，∴直线l 的方程为y ＝34x ＋b ，直线l 1为y ＝34x ＋114＋b ，取直线l 上的一点，b P 关于点(2,4)－m ，8－b ∴8－b －3m 4＝34(4－m )＋b ＋114，解得b ＝98.∴直线l 的方程是y ＝34x ＋98，即6x －8y ＋9＝0.。