生活中的优化问题举例导学案及练习题
《生活中的优化问题举例》导学案
生活中的优化问题举例学习目标 1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．知识点 生活中的优化问题(1)生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题． (2)利用导数解决优化问题的实质是求函数最值． (3)解决优化问题的基本思路：上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．类型一 平面几何中的最值问题例1 如图所示，在二次函数f (x )＝4x －x 2的图象与x 轴所围成图形中有一个内接矩形ABCD ，求这个矩形面积的最大值．解 设点B 的坐标为(x,0)，且0<x <2， ∵f (x )＝4x －x 2图象的对称轴为x ＝2， ∴点C 的坐标为(4－x,0)， ∴|BC |＝4－2x ，|BA |＝f (x )＝4x －x 2.∴矩形面积为y ＝(4－2x )(4x －x 2)＝16x －12x 2＋2x 3， ∴y ′＝16－24x ＋6x 2＝2(3x 2－12x ＋8)， 令y ′＝0，解得x ＝2±233，∵0<x <2，∴x ＝2－233.∵当0<x <2－233时，y ′>0，函数递增；当2－233<x <2时，y ′<0，函数递减，∴当x ＝2－233时，矩形面积取到最大值y max ＝3293.反思与感悟 平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值．跟踪训练1 某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场．如图，圆形广场的圆心为O ，半径为100 m ，并与北京路一边所在直线l 相切于点M .点A 为上半圆弧上一点，过点A 作l 的垂线，垂足为点B .市园林局计划在△ABM 内进行绿化．设△ABM 的面积为S (单位：m 2)，∠AON ＝θ(单位：弧度)．(1)将S 表示为θ的函数；(2)当绿化面积S 最大时，试确定点A 的位置，并求最大面积．解 (1)由题干图知BM ＝AO sin θ＝100sin θ，AB ＝MO ＋AO cos θ＝100＋100cos θ，则S ＝12MB ·AB ＝12×100sin θ×(100＋100cos θ)＝5 000(sin θ＋sin θcos θ)，θ∈(0，π)．(2)S ′＝5 000(2cos 2θ＋cos θ－1) ＝5 000(2cos θ－1)(cos θ＋1)．令S ′＝0，得cos θ＝12或cos θ＝－1(舍去)，此时θ＝π3.所以当θ＝π3时，S 取得最大值，S max ＝3 750 3 m 2，此时AB ＝150 m ，即点A 到北京路一边l 的距离为150 m.类型二 立体几何中的最值问题例2 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为64π3立方米．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱体部分每平方米建造费用为3千元，半球体部分每平方米建造费用为4千元．设该容器的总建造费用为y 千元．(1)将y 表示成r 的函数，并求该函数的定义域；(2)确定r 和l 为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用． 解 (1)因为容器的体积为64π3 立方米，所以4πr 33＋πr 2l ＝64π3，解得l ＝643r 2－4r 3.所以圆柱的侧面积为2πrl ＝2πr (643r 2－4r 3)＝128π3r －8πr 23，两端两个半球的表面积之和为4πr 2. 所以y ＝(128π3r －8πr 23)×3＋4πr 2×4＝128πr＋8πr 2. 又l ＝643r 2－4r3>0⇒r <432，所以定义域为(0,432)．(2)因为y ′＝－128πr 2＋16πr ＝16π(r 3－8)r 2，所以令y ′>0，得2<r <432； 令y ′<0，得0<r <2.所以当r ＝2米时，该容器的建造费用最小，为96π千元，此时l ＝83米．引申探究例2中，若r ∈(0,1]，求最小建造费用． 解 由例2(2)可知，y ＝128πr ＋8πr 2在(0,1]上单调递减，∴当r ＝1时，y min ＝136π. ∴最小建造费用为136π千元．反思与感悟 (1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，在此基础上解决与实际相关的问题．(2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程．跟踪训练2 周长为20 cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________ cm 3. 答案4 00027π解析 设矩形的长为x cm ， 则宽为(10－x ) cm (0<x <10)． 由题意可知圆柱体积为 V ＝πx 2(10－x )＝10πx 2－πx 3. ∴V ′＝20πx －3πx 2，令V ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)或x ＝203，且当x ∈(0，203)时，V ′(x )>0，当x ∈(203，10)时，V ′(x )<0，∴当x ＝203时，V (x )max ＝4 00027π cm 3.类型三 实际生活中的最值问题 命题角度1 利润最大问题例3 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎨⎧10.8－130x 2，0<x ≤10，108x －1 0003x 2，x >10.(1)求年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值．解 (1)当0<x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －x 330－10；当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝98－1 0003x－2.7x .所以W ＝⎩⎨⎧8.1x －x 330－10，0<x ≤10，98－1 0003x－2.7x ，x >10.(2)当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元．反思与感悟 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有 (1)利润＝收入－成本．(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪训练3 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解 (1)因为当x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，所以a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为 y ＝2x －3＋10(x －6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润为 f (x )＝(x －3)[2x －3＋10(x －6)2]＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6.从而f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可得，x ＝4是函数f (x )在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点． 所以当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． 命题角度2 费用(用材)最省问题例4 已知A 、B 两地相距200 km ，一只船从A 地逆水行驶到B 地，水速为8 km /h ，船在静水中的速度为v km/h(8<v ≤v 0)．若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当v ＝12 km/h 时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？ 解 设每小时的燃料费为y 1，比例系数为k (k >0)， 则y 1＝k v 2，当v ＝12时，y 1＝720， ∴720＝k ·122，得k ＝5.设全程燃料费为y ，由题意，得 y ＝y 1·200v －8＝1 000v 2v －8，∴y ′＝2 000v (v －8)－1 000v 2(v －8)2＝1 000v 2－16 000v (v －8)2.令y ′＝0，得v ＝16， ∴当v 0≥16，即v ＝16 km/h 时，全程燃料费最省，y min ＝32 000(元)； 当v 0<16，即v ∈(8，v 0]时，y ′<0， 即y 在(8，v 0]上为减函数，∴当v ＝v 0时，y min ＝1 000v 2v 0－8(元)．综上，当v 0≥16时，即v ＝16 km/h 时全程燃料费最省， 为32 000元；当v 0<16，即v ＝v 0时全程燃料费最省，为1 000v 2v 0－8元．反思与感悟 (1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f ′(x )＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．跟踪训练4 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值． 解 (1)设隔热层厚度为x cm ，由题设，每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5，再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5， 而建造费用为C 1(x )＝6x .因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)． (2)f ′(x )＝6－ 2 400(3x ＋5)2.令f ′(x )＝0，即 2 400(3x ＋5)2＝6，解得x ＝5，x ＝－253(舍去)．当0<x <5时，f ′(x )<0；当5<x <10时，f ′(x )>0，故当x ＝5时，f (x )取到最小值，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70.答 当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值为70万元．1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为( ) A ．4 B ．6 C ．4.5 D ．8答案 A解析 设底面边长为x ，高为h ， 则V (x )＝x 2·h ＝256，∴h ＝256x2.∴S (x )＝x 2＋4xh ＝x 2＋4x ·256x 2＝x 2＋4×256x ，∴S ′(x )＝2x －4×256x 2.令S ′(x )＝0，解得x ＝8，判断知当x ＝8时，S (x )取得最小值． ∴h ＝25682＝4.2．某产品的销售收入y 1(万元)是产品x (千台)的函数，y 1＝17x 2；生产总成本y 2(万元)也是x 的函数，y 2＝2x 3－x 2(x >0)，为使利润最大，应生产( ) A ．9千台 B ．8千台 C ．6千台 D ．3千台 答案 C解析 构造利润函数y ＝y 1－y 2＝18x 2－2x 3(x >0)，y ′＝36x －6x 2，由y ′＝0，得x ＝6(x ＝0舍去)，x ＝6是函数y 在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点．3．将一段长100 cm 的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆形，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为________ cm. 答案100π4＋π解析 设弯成圆形的一段铁丝长为x ，则另一段长为100－x . 设正方形与圆形的面积之和为S ，则正方形的边长a ＝100－x 4，圆的半径r ＝x2π.故S ＝π(x2π)2＋(100－x 4)2(0<x <100)．因此S ′＝x 2π－252＋x 8＝x 2π－100－x8，令S ′＝0，则x ＝100π4＋π.由于在(0,100)内，函数只有一个导数为0的点，问题中面积之和的最小值显然存在，故当x ＝100π4＋πcm 时，面积之和最小． 4．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元． 答案 160解析 设底面长为x ，由题意得底面宽为4x .设总造价为y ，则y ＝20x ×4x ＋10×1×(2x ＋2×4x )，即y ＝20x ＋80x＋80，y ′＝20－80x 2，令y ′＝0，得x ＝2.∴当x ＝2时，y min ＝160(元)．5．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x (单位：元，0≤x ≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件． (1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ 解 (1)设商品降价x 元，则多卖出的商品件数为kx 2. 若记商品一个星期的获利为f (x )，则有f (x )＝(30－x －9)(432＋kx 2)＝(21－x )(432＋kx 2)． 由已知条件，得24＝k ×22，于是有k ＝6.所以f (x )＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072，x ∈[0,21]．(2)根据(1)得，f ′(x )＝－18x 2＋252x －432 ＝－18(x －2)(x －12)．当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x [0,2) 2 (2,12) 12 (12,21] f ′(x ) － 0 ＋ 0 － f (x )↘极小值↗极大值↘故当x ＝12时，f (x )取得极大值． 因为f (0)＝9 072，f (12)＝11 664.所以定价为30－12＝18(元)，才能使一个星期的商品销售利润最大．1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )；(2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和使f ′(x )＝0的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值． 2．正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路．另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用．课时作业一、选择题1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A ．8 B.203 C ．－1 D ．－8答案 C解析 原油温度的瞬时变化率f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1(0≤x ≤5)，所以当x ＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.2．若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则当其表面积最小时底面边长为( )A.3V B.32V C.34V D.23V答案 C解析 设底面边长为x ， 则表面积S ＝32x 2＋43xV (x >0)， ∴S ′＝3x 2(x 3－4V )．令S ′＝0，得x ＝34V .3．如果圆柱轴截面的周长l 为定值，则体积的最大值为( ) A.⎝⎛⎭⎫l 63π B.⎝⎛⎭⎫l 33π C.⎝⎛⎭⎫l 43π D.14⎝⎛⎭⎫l 43π 答案 A解析 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，体积为V ， 则4r ＋2h ＝l ，∴h ＝l －4r 2.∴V ＝πr 2h ＝l2πr 2－2πr 3⎝⎛⎭⎫0<r <l 4， 则V ′＝l πr －6πr 2.令V ′＝0，得r ＝0或r ＝l6，而r >0，∴r ＝l6是其唯一的极值点．∴当r ＝l6时，V 取得最大值，最大值为⎝⎛⎭⎫l 63π. 4．用边长为120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为( ) A ．120 000 cm 3 B ．128 000 cm 3 C ．150 000 cm 3 D ．158 000 cm 3 答案 B解析 设水箱底边长为x cm ，则水箱高h ＝60－x2(cm)．水箱容积V (x )＝x 2h ＝60x 2－x 32(0<x <120)， V ′(x )＝120x －32x 2.令V ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)或x ＝80.可判断得当x ＝80 cm 时，V 取最大值为128 000 cm 3.5．某公司生产一种产品， 固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 3900＋400x ，0≤x ≤390，90 090，x >390，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是( )A ．150B ．200C ．250D ．300 答案 D解析 由题意得，总利润P (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 3900＋300x －20 000，0≤x ≤390，70 090－100x ，x >390，令P ′(x )＝0，得x ＝300，即当每年生产300单位的产品时，总利润最大．故选D.6．圆柱形金属饮料罐的体积一定，要使生产这种金属饮料罐所用的材料最省，它的高与底面半径比为( )A ．2∶1B ．1∶2C ．1∶4D ．4∶1 答案 A解析 设其体积为V ，高与底面半径分别为h ，r ，则V ＝πr 2h ，即h ＝V πr 2. 由题意知，当表面积S 最小时所用材料最省．S ＝2πr 2＋2πrh ＝2πr 2＋2πr V πr 2＝2πr 2＋2V r. 令S ′＝4πr －2V r 2＝0，得r ＝3V 2π， 当r ＝3V 2π时，h ＝V π(3V 2π)2＝34V π. 则h ∶r ＝2∶1时，表面积S 最小．二、填空题7. 如图，将直径为d 的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x 的积成正比(强度系数为k ，k >0)．要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x 应为________．答案 33d 解析 设断面高为h ，则h 2＝d 2－x 2.设横梁的强度函数为f (x )，则f (x )＝kxh 2＝kx (d 2－x 2)，0<x <d .令f ′(x )＝k (d 2－3x 2)＝0，解得x ＝±33d (舍去负值)． 当0<x <33d 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当33d <x <d 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． 所以函数f (x )在定义域(0，d )内只有一个极大值点x ＝33d . 所以当x ＝33d 时，f (x )有最大值． 8．某箱子的容积与底面边长x 的关系为V (x )＝x 2·60－x 2(0<x <60)，则当箱子的容积最大时，箱子的底面边长为________．答案 40解析 V (x )＝－12x 3＋30x 2， 由V ′(x )＝－32x 2＋60x ＝－32x (x －40)＝0， 得x ＝0(舍去)，x ＝40.∴当底面边长为40时，箱子的容积最大．9．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p 元，则销售量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2.问该商品零售价定为________元时毛利润最大．(毛利润＝销售收入－进货支出)答案 30解析 由题意知，毛利润等于销售额减去成本，即L (p )＝pQ －20Q ＝Q (p －20)＝(8 300－170p －p 2)(p －20)＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000，所以L ′(p )＝－3p 2－300p ＋11 700.令L ′(p )＝0，解得p ＝30或p ＝－130(舍)．此时，L (30)＝23 000.因为在p ＝30附近的左侧L ′(p )>0，右侧L ′(p )<0，所以L (30)是极大值，根据实际问题的意义知，L (30)是最大值．10．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/小时)的函数解析式可以表示为y ＝1128 000x 3－380x ＋8，x ∈(0,120]，且甲、乙两地相距100千米，则当汽车以________千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地的耗油量最少． 答案 80解析 当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为y 升，依题意得，y ＝(1128 000x 3－380x ＋8)·100x＝ 1 1 280x 2＋800x －154(0<x ≤120)． 则y ′＝x 640－800x 2＝x 3－803640x 2(0<x ≤120)． 令y ′＝0，得x ＝80，当x ∈(0,80)时，y ′<0，该函数递减；当x ∈(80,120)时，y ′>0，该函数递增，所以当x ＝80时，y 取得最小值．11．某厂生产某种产品x 件的总成本为c (x )＝1 200＋275x 3(万元)，已知产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，产量定为________件时总利润最大． 答案 25解析 由题意知502＝k 100，解得k ＝25×104. ∴产品的单价P ＝25×104x ＝500x. ∴总利润L (x )＝x 500x－1 200－275x 3 ＝500x －1 200－275x 3， L ′(x )＝250x －12－225x 2， 令L ′(x )＝0，得x ＝25，∴当x ＝25时，总利润最大．三、解答题12．一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10千米时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1千米所需的费用总和最少？解 设速度为每小时v 千米时，燃料费是每小时p 元，那么由题设知p ＝k v 3，因为v ＝10，p ＝6，所以k ＝6103＝0.006.于是有p ＝0.006v 3. 又设船的速度为每小时v 千米时，行驶1千米所需的总费用为q 元，那么每小时所需的总费用是(0.006v 3＋96)元，而行驶1千米所用时间为1v 小时，所以行驶1千米的总费用为q ＝1v(0.006v 3＋96)＝0.006v 2＋96v .q ′＝0.012v －96v 2＝0.012v 2(v 3－8 000)， 令q ′＝0，解得v ＝20.当v <20时，q ′<0；当v >20时，q ′>0，所以当v ＝20时，q 取得最小值．即当速度为20千米/小时时，航行1千米所需的费用总和最少．13．用长为18 m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？解 设长方体的宽为x m ，则长为2x m ，高为h ＝18－12x 4＝(4.5－3x ) m(0<x <32)． 故长方体的体积为V (x )＝2x 2(4.5－3x )＝(9x 2－6x 3) m 3(0<x <32)． 从而V ′(x )＝18x －18x 2＝18x (1－x )．令V ′(x )＝0，解得x ＝0(舍去)或x ＝1，因此x ＝1.当0<x <1时，V ′(x )>0；当1<x <32时，V ′(x )<0， 故在x ＝1处V (x )取得极大值，并且这个极大值就是V (x )的最大值．从而最大体积V ＝V (1)＝9×12－6×13＝3(m 3)，此时长方体的长为2 m ，高为1.5 m. 故当长方体的长为2 m ，宽为1 m ，高为1.5 m 时，体积最大，最大体积为3 m 3.四、探究与拓展14．某民营企业生产甲、乙两种产品，根据以往经验和市场调查，甲产品的利润与投入资金成正比，乙产品的利润与投入资金的算术平方根成正比，已知甲、乙产品分别投入资金4万元时，所获得利润(万元)情况如下：该企业计划投入资金10万元生产甲、乙两种产品，那么可获得的最大利润(万元)是( ) A.92B.6516C.358D.174 答案 B解析 ∵k 1甲产品的利润与投入资金成正比，∴设y 1＝k 1x ，当投入4万时，利润为1万，即4k 1＝1，得k 1＝14，即y 1＝14x . ∵乙产品的利润与投入资金的算术平方根成正比，∴设y 2＝k 2x ，当投入4万时，利润为2.5万，即4k 2＝52，得2k 2＝52， 即k 2＝54，即y 2＝54x . 设乙产品投入资金为x ， 则甲产品投入资金为10－x,0≤x ≤10，则销售甲、乙两种产品所得利润为y ＝14(10－x )＋54x ， 则y ′＝－14＋58x ＝5－2x 8x， 由y ′>0，得5－2x >0，即0<x <254， 由y ′<0，得5－2x <0，即x >254， 即当x ＝254时，函数取得极大值同时也是最大值，此时 y ＝14(10－254)＋54·254＝1516＋5016＝6516. 15．某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车的投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x ，年销售量也相应增加，年销售量y 关于x 的函数为y ＝3 240(－x 2＋2x ＋53)，则当x 为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？(年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量)解 由题意得，本年度每辆车的投入成本为10(1＋x )，每辆车的出厂价为13(1＋0.7x )，年利润为f (x )＝[13(1＋0.7x )－10(1＋x )]·y＝(3－0.9x )×3 240×(－x 2＋2x ＋53) ＝3 240(0.9x 3－4.8x 2＋4.5x ＋5)，则f ′(x )＝3 240(2.7x 2－9.6x ＋4.5)＝972(9x －5)(x －3)，由f ′(x )＝0，解得x ＝59或x ＝3(舍去)， 当x ∈(0，59)时，f ′(x )>0，f (x )是增函数； 当x ∈(59，1)时，f ′(x )<0，f (x )是减函数． 所以当x ＝59时，f (x )取极大值，f (59)＝20 000. 因为f (x )在(0,1)内只有一个极大值，所以它是最大值．所以当x ＝59时，本年度的年利润最大，最大利润为20 000万元．。
学案10：§3.4 生活中的优化问题举例
§3.4 生活中的优化问题举例自主预习·探新知情景引入现实生活中，当汽车行驶距离一定时，我们希望汽油的使用效率最高，即每千米路程的汽油消耗量最少或每升汽油能够使汽车行驶最长的路程．如何使汽油的使用效率最高？新知导学1．在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中___________的取值范围．2．实际优化问题中，若只有一个极值点，则极值点就是______点． 3．解决优化问题的基本思路：预习自测1．某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y (万元)与营运年数x (x ∈N *)满足y ＝－x 2＋12x －25，则每辆客车营运多少年使其营运年平均利润最大( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．62．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( ) A ．13万件 B ．11万件 C ．9万件D ．7万件3．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R 与年产量x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2 (0≤x ≤400)80 000 (x >400)，则总利润最大时，每年生产的产品是( ) A ．100 B ．150 C ．200D ．3004．在周长为l 的矩形中，面积的最大值为_______.5．某蛋糕店某种蛋糕每个成本为6元，每个售价为x (6<x <11)元，该蛋糕年销售量为m 万个，若已知5858－m 与⎝⎛⎭⎫x －2142成正比，且售价为10元时，年销售量为28万个． (1)求该蛋糕年销售利润y 关于售价x 的函数关系式；(2)求售价为多少时，该蛋糕的年利润最大，并求出最大年利润．互动探究·攻重难互动探究解疑 命题方向1 利润最大问题典例 1 当前，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生课外学习的一种趋势．假设某网校的套题每日的销售量y (单位：千套)与销售价格x (单位：元/套)满足的函数关系式为y ＝mx －2＋4(x －6)2，其中2<x <6，m 为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套． (1)求m 的值；(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(精确到0.1)『规律方法』 利润最大，效率最高等实际问题，关键是弄清问题的实际背景，将实际问题用函数关系表达，再求解． 跟踪练习1某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：p＝3x4x＋32(x∈N＋)．(1)写出该厂的日盈利额T(元)用日产量x(件)表示的函数关系式；(2)为获最大日盈利，该厂的日产量应定为多少件？命题方向2费用(用料)最省问题典例2 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中，每小时耗油量y(L)关于行驶速度x(km/h)的函数解析式可以表示为：y＝1128 000x3－380x＋8(0<x≤120)．已知甲、乙两地相距100 km.(1)当汽车以40 km/h的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？『规律方法』本题属于费用最低问题，此种类型的题目解决的关键是正确地理解题意列出函数的解析式，利用导数求其最值时，要注意函数的定义域的限制．跟踪练习2某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p(万元)和宿舍与工厂的距离x (km)的关系为：p ＝1 000x ＋5(2≤x ≤8)．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条简易便道，已知修路每公里成本为5万元，工厂一次性补贴职工交通费12(x 2＋25)万元．设f (x )为建造宿舍、修路费用与给职工的补贴之和． (1)求f (x )的表达式；(2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f (x )最小，并求最小值．命题方向3 面积、容积最大问题典例3 有一块边长为a 的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器．为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？『规律方法』 1.利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤：(1)分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y ＝f (x )；(2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)把所得数学结论回归到数学问题中，看是否符合实际情况并下结论．其基本流程是2．面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．跟踪练习3已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的长和宽．学科核心素养解决优化问题的注意事项解决生活中的优化问题应注意以下几点：(1)当问题涉及多个变量时，应根据题意分析它们的关系，列出变量间的关系式．(2)在建立函数模型的同时，应根据实际问题确定出函数的定义域，忽视定义域易造成错解．(3)在实际问题中，由f′(x)＝0常常得到定义域内的根只有一个，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点处的函数值比较，也可以判断该极值就是最大(小)值．(4)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考察，不符合实际意义的应舍去，例如：长度、宽度、销售价格应为正数．(5)对实际应用问题能够进行数学建模，但在问题解决的过程中，如果含有字母参数，那么要注意分类讨论．在分类讨论的过程中，如果在定义域内f′(x)>0(或f′(x)<0)，那么可以直接根据单调性求最值．如果在定义域内f′(x)＝0有解，那么在极值点或端点处可取最值．如果采用换元法，那么要注意新变量的取值范围．典例4 从边长为2a的正方形铁片的四个角各裁去一小块边长为x的正方形(如图)，再将四边向上折起，做成一个无盖的长方体铁盒，要求长方体的高度x与底面正方形的边长的比值不超过常数t，那么x取何值时，容积V有最大值？『规律方法』 解决优化问题的方法很多，如判别式法、基本不等式法、线性规则法、配方法、数形结合法和单调性法等．不少优化问题可以化为求函数的最值问题，导数方法是解决这类问题的有效方法． 跟踪练习4受金融危机的影响，三峡某旅游公司经济效益出现了一定程度的滑坡．现需要对某一景点进行改造升级，提高旅游增加值．经过市场调查，旅游增加值y 万元与投入x 万元之间满足：y ＝5150x －ax 2－ln x 10，x 2x －12∈[t ，＋∞)，其中t 为大于12的常数．当x ＝10时，y ＝9.2. (1)求y ＝f (x )的解析式和投入x 的取值范围； (2)求旅游增加值y 取得最大值时对应的x 值．易混易错警示含参数的函数求最值时，注意极值与参数取值的关系典例5 甲、乙两地相距s km ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km/h ，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v (km/h)的平方成正比，比例系数为b ；固定部分为a 元．(1)把全程运输成本y (元)表示为速度v (km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？[错解] (1)依题意得汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为s v ，全程运输成本为y ＝a ·sv ＋b v 2·sv ＝s ⎝⎛⎭⎫a v ＋b v ，所求函数及其定义域为y ＝s ⎝⎛⎭⎫a v ＋b v ，v ∈(0，c ]．(2)由题意知s 、a 、b 、v 均为正数， 由y ′＝s ⎝⎛⎭⎫b －av 2＝0得v ＝±a b ，又0<v ≤c ，所以当v ＝ab b时，全程运输成本y 最小． [错解分析] 第(2)问中abb与c 未进行比较大小而直接得出结论，故错误． [正解] ①若ab b ≤c ，则v ＝ab b 是使y 的导数为0的点，且当v ∈⎝⎛⎦⎤0，a b 时，y ′≤0；v ∈⎣⎡⎦⎤a b ，c 时，y ′≥0.所以当v ＝ab b 时，全程运输成本y 最小． ②若abb>c ，v ∈(0，c ]，此时y ′<0，即y 在(0，c ]上为减函数．所以当v ＝c 时，y 最小． 综上可知，为使全程运输成本y 最小． 当ab b ≤c 时，行驶速度v ＝ab b ；当ab b>c 时，行驶速度v ＝c .参考答案新知导学 1．自变量 2．最优 预习自测 1．【答案】C【解析】由题意得每辆客车营运的年平均利润为y x ＝－x －25x ＋12，∴(y x )′＝－1＋25x 2＝25－x 2x 2， 令25－x 2x2＝0，得x ＝5.当0<x <5时，(y x )′>0，当x >5时，(yx)′<0，∴当0<x <5时，年平均利润递增，当x >5时，年平均利润递减，即当x ＝5时，年平均利润取最大值． 2．【答案】C【解析】∵y ＝－13x 3＋81x －234，∴y ′＝－x 2＋81(x >0)．令y ′＝0得x ＝9，令y ′<0得x >9，令y ′>0得0<x <9， ∴函数在(0,9)上单调递增，在(9，＋∞)上单调递减， ∴当x ＝9时，函数取得最大值．故选C ． 3．【答案】D【解析】由题意，总成本为：C ＝20 000＋100x ，所以总利润为P ＝R －C ＝⎩⎪⎨⎪⎧300x －x 22－20 000 0≤x ≤40060 000－100x x >400，P ′＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x 0≤x ≤400－100 x >400，令P ′＝0，当0≤x ≤400时，得x ＝300；当x >400时，P ′<0恒成立，易知当x ＝300时，总利润最大． 4．【答案】l 216【解析】设一边长为x ，则另一边长为12(l －2x )，其面积S ＝12x (l －2x ) (0<x <l2)，由S ′＝12l －2x ＝0得x ＝l 4，此时S ＝l 216.5．解：(1)由题意，设5858－m ＝k ⎝⎛⎭⎫x －2142， 由x ＝10时，m ＝28，解得k ＝2， ∴m ＝－2⎝⎛⎭⎫x －2142＋5858＝－2x 2＋21x ＋18. ∴y ＝m (x －6)＝(－2x 2＋21x ＋18)(x －6) ＝－2x 3＋33x 2－108x －108(6<x <11)．(2)∵y ′＝－6x 2＋66x －108＝－6(x －2)(x －9)，令y ′＝0，则x ＝9或x ＝2(舍)， 当6<x <9时y ′>0；当9<x <11时y ′<0.∴故x ＝9，即售价为9元时，年利润最大，最大为135万元．互动探究·攻重难互动探究解疑 命题方向1 利润最大问题典例1 解：(1)当x ＝4时，y ＝21，代入函数关系式y ＝m x －2＋4(x －6)2，得m2＋16＝21，解得m ＝10.(2)由(1)可知，套题每日的销售量为y ＝10x －2＋4(x －6)2，所以每日销售套题所获得的利润为f (x )＝(x －2)·⎣⎡⎦⎤10x －2＋4(x －6)2＝10＋4(x －6)2(x －2)＝4x 3－56x 2＋240x －278(2<x <6)，所以f ′(x )＝12x 2－112x ＋240＝4(3x －10)(x －6)(2<x <6)． 令f ′(x )＝0，得x ＝103或x ＝6(舍去)．当x ∈(2，103)时， f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x ∈(103，6)时， f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．所以x ＝103是函数f (x )在区间(2,6)上的极大值点，也是最大值点，所以当x ＝103≈3.3时，函数f (x )取得最大值．故当销售价格约为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大． 跟踪练习1解：(1)由题意可知次品率p ＝日产次品数/日产量，每天生产x 件，次品数为xp ，正品数为x (1－p )． 因为次品率p ＝3x4x ＋32，当每天x 件时， 有x ·3x4x ＋32件次品，有x ⎝⎛⎭⎫1－3x 4x ＋32件正品．所以T ＝200x ⎝⎛⎭⎫1－3x 4x ＋32－100x ·3x4x ＋32＝25·64x －x 2x ＋8(x ∈N ＋)．(2)T ′＝－25·(x ＋32)·(x －16)(x ＋8)2，由T ′＝0得x ＝16或x ＝－32(舍去)．当0<x ≤16时，T ′≥0；当x ≥16时，T ′≤0；所以当x ＝16时，T 最大．即该厂的日产量定为16件，能获得最大日盈利．命题方向2 费用(用料)最省问题典例2 解：(1)当x ＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了10040＝2.5(h)，要耗油⎝⎛⎭⎫1128 000×403－380×40＋8×2.5＝17.5(L)． 答：当汽车以40 km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5 L. (2)当速度为x km/h 时，汽车从甲地到乙地行驶了100x h ，设耗油量为h (x )L.依题意得h (x )＝⎝⎛⎭⎫1128 000x 3－380x ＋8·100x ＝11 280x 2＋800x －154(0<x ≤120)， h ′(x )＝x 640－800x 2＝x 3－803640x 2(0<x ≤120)．令h ′(x )＝0，得x ＝80.当x ∈(0,80)时，h ′(x )<0，h (x )是减函数； 当x ∈(80,120]时，h ′(x )>0，h (x )是增函数． ∴当x ＝80时，h (x )取到极小值h (80)＝11.25.因为h (x )在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值．故当汽车以80 km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25 L. 跟踪练习2解：(1)f (x )＝1 000x ＋5＋5x ＋12(x 2＋25)整理得f (x )＝12(x ＋5)2＋1 000x ＋5(2≤x ≤8)．(2)f ′(x )＝(x ＋5)－1 000(x ＋5)2＝(x ＋5)3－1 000(x ＋5)2由f ′(x )＝0得x ＝5；所以f (x )在[2,5]上单调递减，在[5,8]上单调递增； 故当x ＝5时，f (x )取得最小值150.综上所述，宿舍应建在离工厂5 km 处，可使总费用f (x )最小，最小值为150万元． 命题方向3 面积、容积最大问题典例3 解：设截下的小正方形边长为x ，容器容积为V (x )，则做成的长方体形无盖容器底面边长为a －2x ，高为x ， V (x )＝(a －2x )2x,0<x <a2.即V (x )＝4x 3－4ax 2＋a 2x,0<x <a2.实际问题归结为求V (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，a 2上的最大值点．为此，先求V (x )的极值点．在开区间⎝⎛⎭⎫0，a 2内， V ′(x )＝12x 2－8ax ＋a 2.令V ′(x )＝0，得12x 2－8ax ＋a 2＝0.解得x 1＝16a ，x 2＝12a (舍去)． x 1＝16a 在区间⎝⎛⎭⎫0，a 2内，x 1可能是极值点．且 当0<x <x 1时，V ′(x )>0；当x 1<x <a 2时，V ′(x )<0. 因此x 1是极大值点，且在区间⎝⎛⎭⎫0，a 2内，x 1是惟一的极值点，所以x ＝16a 是V (x )的最大值点． 即当截下的小正方形边长为16a 时，容积最大． 跟踪练习3解：如图所示，设出AD 的长，进而求出AB ，表示出面积S ，然后利用导数求最值．设AD ＝2x (0<x <2)，则A (x,0)，AB ＝y ＝4－x 2，∴矩形面积为S ＝2x (4－x 2)(0<x <2)，即S ＝8x －2x 3，S ′＝8－6x 2，令S ′＝0，解得x 1＝23，x 2＝－23(舍去)． 当0<x <23时，S ′>0； 当23<x <2时，S ′<0， 所以，当x ＝23时，S 取得最大值，此时S 最大值＝3239. 即矩形的长和宽分别为83、433时，矩形的面积最大． 典例4 解：V ＝(2a －2x )2·x ＝4x 3－8ax 2＋4a 2x ⎝⎛⎭⎫0<x ≤2at 1＋2t ，令V ′＝0，解得x ＝a 3或x ＝a (舍去)． ①当a 3<2at 1＋2t ，即t >14时，V 在定义域内有惟一极值点x ＝a 3. 由问题的实际意义可知当x ＝a 3时，V max ＝1627a 3. ②当a 3≥2at 1＋2t ，即0<t ≤14时，对任意的x ≤a 3，都有V ′>0，所以V 在定义域内为增函数， 故当x ＝2at 1＋2t 时，V max ＝2at 1＋2t ·⎝⎛⎭⎫2a －4at 1＋2t 2＝8a 3t (1＋2t )3. 跟踪练习4解：(1)∵当x ＝10时，y ＝9.2，即5150×10－a ×102－ln 1＝9.2，解得a ＝1100. ∴f (x )＝5150x －x 2100－ln x 10. ∵x 2x －12≥t 且t >12，∴6<x ≤12t 2t －1. 即投入x 的取值范围是⎝⎛⎦⎤6，12t 2t －1.(2)对f (x )求解，得f ′(x )＝5150－x 50－1x＝－x 2－51x ＋5050x ＝－(x －1)(x －50)50x. 令f ′(x )＝0，得x ＝50或x ＝1(舍去)．当x ∈(6,50)时，f ′(x )>0，因此，f (x )在(6,50]上是增函数；当x ∈(50，＋∞)时，f ′(x )<0，因此，f (x )在[50，＋∞)上是减函数．∴x ＝50为极大值点．当12t 2t －1≥50，即t ∈⎝⎛⎦⎤12，2544时，投入50万元改造时取得最大增加值； 当6<12t 2t －1<50，即t ∈⎝⎛⎭⎫2544，＋∞时，投入12t 2t －1万元改造时取得最大增加值．。
生活中的优化问题举例导学案
《生活中的优化问题举例》导学案学科：高二数学课型：新授课课时：2课时编写时间：___ 3. 2编写人：孙圣斌审核人：朱丽中班级：姓名：【导案】【学习目标】1．能够利用导数解决实际问题中的优化问题。
2．通过利用导数解决实际问题，学会将实际问题转化为数学问题，掌握利用导数求解实际问题中的最值问题的方法。
3．体会数学是从实践中来的，又将应用到实践中去；体会数学的应用价值，提高学习数学的兴趣，坚定学好数学的信心。
【教学重、难点】利用导数求解实际问题中的最值问题。
【学案】1．优化问题生活中经常遇到求________、________、________等问题，这些问题通常称为________。
2．解决优化问题的基本思路上述解决优化问题的过程是一个典型的________的过程。
3．例题分析【例1】在高为H，底面半径为R的圆锥内作一内接圆柱体，则圆柱体的底面半径为多大时：（1）圆柱体的体积最大？（2）圆柱体的表面积最大？【练1】将一段长为100cm的铁丝截成两段，一段弯成一个正方形，另一段弯成一个圆，问如何截使得正方形与圆的面积之和最小？【例2】已知A、B两地相距200千米，一只船从A地逆水而行到B地，水速为8千米/小时，船在静水中的速度为v千米/小时。
（8＜v≤v0）若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比。
当v=12千米/小时时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？【练2】甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入。
在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x元与年产量t吨满足函数关系x=2000t。
若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元（以下称s为赔付价格）。
将乙方的年利润ω元表示为年产量t吨的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量。
【例3】某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x、y（单位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形；要求框架围成的总面积为8m2，问x、y分别为多少（精确到）时用料最省？【练3】一有盖容器是底面为正方形的直四棱柱，当它的容积为定值时，底面边长和侧棱如何选取，才能使所用材料最省。
精品导学案：生活中的优化问题举例
精品导学案：第三章第4节 生活中的优化问题举例课前预习学案一、预习目标了解解决优化问题的思路和步骤二、预习内容1．概念：优化问题：_______________________________________________________ 2.回顾相关知识：（1）求曲线y=x 2+2在点P(1,3)处的切线方程.（2）若曲线y=x 3上某点切线的斜率为3，求此点的坐标。
3：生活中的优化问题，如何用导数来求函数的最小(大)值？4.解决优化问题的基本思路是什么？三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标1.要细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y 与自变量x ，把实际问题转化为数学问题，即列出函数解析式()y f x =，根据实际问题确定函数()y f x =的定义域；2.要熟练掌握应用导数法求函数最值的步骤，细心运算，正确合理地做答.重点：求实际问题的最值时，一定要从问题的实际意义去考察，不符合实际意义的理论值应予舍去。
难点：在实际问题中，有()0f x '=常常仅解到一个根，若能判断函数的最大（小）值在x 的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大（小）值。
二、学习过程1.汽油使用效率最高的问题阅读例1，回答以下问题：（1）是不是汽车速度越快，汽油消耗量越大？（2）“汽车的汽油使用效率最高”含义是什么？（3）如何根据图3.4-1中的数据信息，解决汽油的使用效率最高的问题？2.磁盘最大存储量问题阅读背景知识，思考下面的问题：问题：现有一张半径为的磁盘，它的存储区是半径介于r与R的环形区域。
（1）是不是r越小，磁盘的存储量越大？（2）r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？3饮料瓶大小对饮料公司利润的影响阅读背景知识，思考下面的问题：（1）请建立利润y与瓶子半径r的函数关系。
生活中的优化问题举例导学案及练习题
生活中的优化问题举例导学案及练习题【学习要求】1了解导数在解决实际问题中的作用2掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题【学法指导】1在利用导数解决实际问题的过程中体会建模思想2感受导数知识在解决实际问题中的作用，自觉形成将数学理论与实际问题相结合的思想，提高分析问题、解决问题的能力1在经济生活中，人们常常遇到最优化问题例如，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些都是2利用导数解决最优化问题的实质是3解决优化问题的基本思路是上述解决优化问题的过程是一个典型的过程引言数学于生活，寓于生活，用于生活在我们的生活中处处存在数学知识，只要你留意，就会发现经常遇到如何才能使“选址最佳”“用料最省”“流量最大”“利润最大”等问题，这些问题通常称为最优化问题，在数学上就是最大值、最小值问题导数可以解决这些问题吗？如何解决呢？探究点一面积、体积的最值问题问题如何利用导数解决生活中的最优化问题？例1学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128 d 2，上、下两边各空2 d，左、右两边各空1 d如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？跟踪训练1如图，四边形ABD是一块边长为4 的正方形地域，地域内有一条河流D，其经过的路线是以AB的中点为顶点且开口向右的抛物线(河流宽度忽略不计)新长城公司准备投资建一个大型矩形游乐园PQN，问如何施工才能使游乐园的面积最大？并求出最大面积探究点二利润最大问题例2某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料瓶子的制造成本是08πr2分，其中r(单位：)是瓶子的半径，已知每出售1 L的饮料，制造商可获利02分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6(1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？(2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？跟踪训练2某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式＝ax－3＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数已知销售价格为元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大探究点三费用(用材)最省问题例3已知A、B两地相距200 ，一只船从A地逆水行驶到B地，水速为8 /h，船在静水中的速度为v /h(8<v≤v0)若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当v＝12 /h时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？跟踪训练3现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为3海里/时，A地至B地之间的航行距离约为00海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为06)，其余费用为每小时960元(1)把全程运输成本(元)表示为速度x(海里/时)的函数；(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？【达标检测】1方底无盖水箱的容积为26，则最省材料时，它的高为()A4 B6 4 D82某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为(>0)已知贷款的利率为0048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去设存款利率为x，x∈(0,0048 6)，若使银行获得最大收益，则x的取值为()A0016 2 B0032 40024 3 D0048 63统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为＝1128 000x3－380x ＋8(0<x≤120)已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？。
学案2：3.4生活中的优化问题举例
3.4生活中的优化问题举例学习目标：1.掌握应用导数解决实际问题的基本思路．(重点)2．灵活用导数解决实际生活中的优化问题，提高分析问题，解决问题的能力．(难点) 预习提示：1.某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x (吨)与每吨产品的价格P (元/吨)之间的关系式为P ＝24 200－15x 2，且生产x 吨的成本为R ＝50 000＋200x (元)，问该产品每月生产多少吨才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入－成本)课堂探究：例1 用长为90 cm ，宽为48 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器．先在四角分别截掉一个大小相同的小正方形，然后把四边翻折90°，再焊接而成．则该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？变式训练：将一段长为100 cm 的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，则如何截可使正方形与圆的面积之和最小？．例2、某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m2，问x、y分别为多少时用料最省？(精确到0.001 m)变式训练：某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房，经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)例3、 某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为Q ＝3x ＋1x ＋1(x ≥0)，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元．若每件售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．(1)试将利润y (万元)表示为年广告费x (万元)的函数．如果年广告费收入100万元，企业是亏损还是盈利？(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？变式训练：已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C ＝100＋4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为p ＝25－18q ，求产量q 为何值时，利润L 最大？ 当堂达标：1．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( ) A ．13万件 B ．11万件C ．9万件D ．7万件2．某箱子的容积与底面边长x 的关系为V (x )＝x 2·⎝⎛⎭⎫60－x 2(0<x <60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为( )A ．30B ．40C ．50D ．353．把长60 cm 的铁丝围成矩形，当长为________cm ，宽为________cm 时，矩形面积最大．4．做一个无盖的圆柱形水桶，若需其体积是27π，且用料最省，求此时圆柱的底面半径为多少？答案：1.【提示】 根据题意，得每月生产x 吨时的利润为f (x )＝⎝⎛⎭⎫24 200－15x 2x －(50 000＋200x ) ＝－15x 3＋24 000x －50 000(x ≥0)． 由f ′(x )＝－35x 2＋24 000＝0， 解得x 1＝200，x 2＝－200(舍去)．因为f (x )在[0，＋∞)内只有一个极大值点x ＝200使f ′(x )＝0，故它就是最大值点，且最大值为f (200)＝－15×2003＋24 000×200－50 000＝3 150 000(元)． 所以每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元．课堂探究：例1 【自主解答】 设容器的高为x cm ，容器的容积为V (x )cm 3，则V (x )＝x (90－2x )(48－2x )＝4x 3－276x 2＋4 320x (0＜x ＜24)．所以V ′(x )＝12x 2－552x ＋4 320＝12(x 2－46x ＋360)＝12(x －10)(x －36)．令V ′(x )＝0，得x ＝10或x ＝36(舍去)．当0＜x ＜10时，V ′(x )＞0，即V (x )是增加的；当10＜x ＜24时，V ′(x )＜0，即V (x )是减少的．因此，在定义域(0,24)内，函数V (x )只有当x ＝10时取得最大值，其最大值为V (10)＝19 600(cm 3)．因此当容器的高为10 cm 时，容器的容积最大，最大容积为19 600 cm 3变式训练：【解】 设弯成圆的一段铁丝长为x cm ，则另一段长为(100－x ) cm ，正方形的边长为a ＝100－x 4cm ，圆的半径r ＝x 2πcm. 记正方形与圆的面积之和为S ，∴S ＝π⎝⎛⎭⎫x 2π2＋⎝⎛⎭⎫100－x 42＝4＋π16πx 2－252x ＋625(0＜x ＜100)．又S ′＝4＋π8πx －252， 令S ′＝0，则x ＝100π4＋π.∵S 是关于x 的二次函数，由其性质可知当x ＝100π4＋πcm 时，面积之和最小． 例2、 【自主解答】 依题意，有 xy ＋12·x ·x 2＝8， 所以y ＝8－x 24x ＝8x －x 4(0＜x ＜42)， 于是框架用料长度为l ＝2x ＋2y ＋2⎝⎛⎭⎫2x 2＝⎝⎛⎭⎫32＋2x ＋16x . l ′＝32＋2－16x2. 令l ′＝0，即32＋2－16x2＝0，解得x 1＝8－42，x 2＝42－8(舍去)． 当0＜x ＜8－42时，l ′＜0；当8－42＜x ＜42时，l ′＞0，所以当x ＝8－42时，l 取得最小值．此时，x ＝8－42≈2.343 m ，y ≈2.828 m.即当x 为2.343 m ，y 为2.828 m 时，用料最省．变式训练：【解】 设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，则f (x )＝(560＋48x )＋2 160×10 0002 000x＝560＋48x ＋10 800x(x ≥10，x ∈N *)， f ′(x )＝48－10 800x2， 令f ′(x )＝0得x ＝15，当x ＞15时，f ′(x )＞0；当0＜x ＜15时，f ′(x )＜0，因此当x ＝15时，f (x )取最小值f (15)＝2 000.故为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．例3、 【自主解答】 (1)由题意，每年产销Q 万件，共计成本为(32Q ＋3)万元．销售收入是(32Q ＋3)·150%＋x ·50%，∴年利润y ＝年收入－年成本－年广告费＝12(32Q ＋3－x )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32×3x ＋1x ＋1＋3－x ＝－x 2＋98x ＋352x ＋1(x ≥0)， ∴所求的函数关系式为y ＝－x 2＋98x ＋352x ＋1(x ≥0)．当x ＝100时，y <0，即当年广告费投入100万元时，企业亏损．(2)令f (x )＝y ＝－x 2＋98x ＋352x ＋1(x ≥0)可得 f ′(x )＝－2x ＋98x ＋1－－x 2＋98x ＋352x ＋12＝－x 2－2x ＋632x ＋12. 令f ′(x )＝0，则x 2＋2x －63＝0.∴x ＝－9(舍去)或x ＝7.又∴x ∈(0,7)时，f ′(x )>0；x ∈(7，＋∞)时，f ′(x )<0，∴f (x )极大值＝f (7)＝42.又∵在(0，＋∞)上只有一个极值点，∴f (x )max ＝f (x )极大值＝f (7)＝42.故当年广告费投入7万元时，企业年利润最大．变式训练：【解】 收入R ＝q ·p ＝q ⎝⎛⎭⎫25－18q ＝25q －18q 2. 利润L ＝R －C ＝⎝⎛⎭⎫25q －18q 2－(100＋4q )＝－18q 2＋21q －100(0＜q ＜200)， 所以L ′＝－14q ＋21.令L ′＝0， 即－14q ＋21＝0，解得q ＝84. 因为当0＜q ＜84时，L ′＞0；当84＜q ＜200时，L ′＜0，所以当q ＝84时，L 取得最大值，最大值为782.答：当产量为84时，利润取得最大值782.当堂达标：1．【解析】 y ′＝－x 2＋81，令y ′＝0，得x ＝9或x ＝－9(舍)． 当0＜x ＜9时y ′＞0；当x ＞9时，y ′＜0.故当x ＝9时函数有极大值，也是最大值．【答案】 C2．【解析】 V ′(x )＝⎝⎛⎭⎫30x 2－x 32′＝60x －32x 2，x ∈(0,60)．令V ′(x )＝0，得x ＝40. ∴当x ＝40，箱子的容积有最大值．【答案】 B3．【解析】 设长为x cm ，则宽为(30－x )cm ，所以面积S ＝x (30－x )＝－x 2＋30x ，由S ′＝－2x ＋30＝0，得x ＝15.【答案】 15,154．【解】 设底面半径为r ，则高h ＝27r 2. ∴S ＝2πr ·h ＋πr 2＝2πr ·27r 2＋πr 2＝54πr＋πr 2 S ′＝2πr －54πr 2，令S ′＝0，得r ＝3. 经验证，当r ＝3时，S 最小．答：圆柱的底面半径为3时用料最省．。
1.4生活中的优化问题举例
练习1、 一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个 正方形，要使两个正方形的面积和最小， 两段铁丝的长度分别是多少？
解：设两段铁丝的长度分别为x,l-x,
其中0<x<l 则两个正方形面积和为
S
=
s1
+ s2
=( x)2 4
+( l
- x)2 4
=
1 (2x2 16
-
2lx
+
l2
)
S 1 (4x 2l) 1 (2x l)
生活中经常遇到求利润最大、用料 最省、效率最高等问题，这些问题称 为优化问题，优化问题有时也称为最 值问题．解决这些问题具有非常重要 的现实意义．
通过前面的学习，我们知道，导数是求函 数最大（小）值的有力工具，本节我们运 用导数，解决一些生活中的优化问题。
类型一：求面积、容积的最大问题
例1、海报版面尺寸的设计： 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，
解：设版心的高为xdm，则版心的
1dm
m
宽 128 dm，此时四周空白面积为 2dm x
S( x) ( x 4)(128 2) 128 x
2x 512 8 ( x 0) x
S
'(
x
)
2
512 x2
2dm
S(
x)
2
x
512 x
8，S
'(
x)
2
512 x2
令S '(x) 0可解得x 1（6 x -16舍去）
V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).
令
V(x)= 60x - 3 x2 = 0 2
,解得x=0(舍去),x=40.且
生活中的优化问题导学案及练习题
生活中的优化问题导学案及练习题一、基础过关1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝13x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A．8 B.203 C．－1 D．－82．设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时底面边长为 ( )A.3VB.32VC.34V D．23V3．从边长为10 cm×16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为 ( )A．24 cm3 B．72 cm3 C．D．2．用边长为120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为 ( )A．120 000 cm3 B．128 000 cm3 C．150 000 cm3 D．158 000．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 c m，要使其体积最大，则其高为 ( )A.2033 cm B．100 cm C．20 cm D.20二、能力提升如图所示，某工厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁．当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________．7．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费 y2与到车站的距离成正比．如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．8．为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长为a米，高为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，问当a＝________，b＝____ ____时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计)．9．如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm) ，能使矩形广告面积最小？ 10．某商场预计2010年从1月份起前x个月，顾客对某种商品的需求总量 p(x)件与月份x的近似关系是p(x)＝12x(x＋1)(39－2x)(x∈N*，且x≤12)．该商品的进价q(x)元与月份x的近似关系是q(x)＝150＋2x(x∈N*，且x≤12)．(1)写出今年第x月的需求量f(x)件与月份x的函数关系式；(2)该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元？．一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h 时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需200元，火车的最高速度为100 km/h，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？三、探究与拓展。
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生活中的优化问题举例导学案及练习题
【学习要求】1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用
导数解决简单的实际生活中的优化问题.
【学法指导】1.在利用导数解决实际问题的过程中体会建模思想.2.感受导数知识在解决实际问题中的作用，自觉形成将数学理论
与实际问题相结合的思想，提高分析问题、解决问题的能力.
1.在经济生活中，人们常常遇到最优化问题.例如，为使经营
利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些都是
2.利用导数解决最优化问题的实质是 .
3.解决优化问题的基本思路是
上述解决优化问题的过程是一个典型的过程.
引言数学源于生活，寓于生活，用于生活.在我们的生活中处处存在数学知识，只要你留意，就会发现经常遇到如何才能使“选
址最佳”“用料最省”“流量最大”“利润最大”等问题，这些问
题通常称为最优化问题，在数学上就是最大值、最小值问题.导数可
以解决这些问题吗？如何解决呢？
探究点一面积、体积的最值问题
问题如何利用导数解决生活中的最优化问题？
例1 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传.现让
你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128 dm 2，上、下两边各空2 dm，左、右两边各空 1 dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？
跟踪训练1 如图，四边形ABCD是一块边长为4 km的正方形地域，地域内有一条河流MD，其经过的路线是以AB的中点M为顶点且开口向右的抛物线(河流宽度忽略不计).新长城公司准备投资建一个大型矩形游乐园PQCN，问如何施工才能使游乐园的面积最大？并求出最大面积.
探究点二利润最大问题
例2 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径，已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.
(1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？(2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
跟踪训练2 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y ＝ax－3＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.
(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
探究点三费用(用材)最省问题
例3 已知A、B两地相距200 km，一只船从A地逆水行驶到B 地，水速为8 km/h，船在静水中的速度为v km/h(8<v≤v0).若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当v＝12
km/h时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？
跟踪训练3 现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船
的最大航行速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500
海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的
燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每
小时960元.
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数；
(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？
【达标检测】
1.方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为( )
A.4
B.6
C.4.5
D.8
2.某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0).已知贷款的利率为0.048 6，
且假设银行吸收的存款能全部放贷出去.设存款利率为x，
x∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x的取值
为 ( )
A.0.016 2
B.0.032 4
C.0.024 3
D.0.048 6
3.统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量
y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y ＝1128 000x3－380x＋8(0<x≤120).已知甲、乙两地相距100千米，当汽车
以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？。