最新北师大版九年级数学上册第二章 一元二次方程2.3用公式法解一元二次方程第二课时
第二节 用公式法求解一元二ห้องสมุดไป่ตู้方程 (二 )
辽阳市十六中 数学组
2014.9
回顾与复习
2
配方法解方程 2x2-9x+8=0
9 解 : x x 4 0. 1.化1:把二次项系数化为1; 2 9 2 2.移项:把常数项移到方程的右边 x x 4. 2 2 2 3.配方:方程两边都加上一次项系 9 9 9 2 x x 4. 数一半的平方; 2 2 4 4 9 17 4.变形:方程左边分解因式,右边 x . 合并同类项; 4 16 9 17 5.开方:根据平方根意义,方程 x . 4 4 两边开平方; 9 17 9 17 x 或x 4 4 4 4 6.求解:解一元一次方程; 9 17 9 17 7.定解:写出原方程的解. x1 ; x2 . 4 4
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在一块长 16 m、宽 12 m 的矩形荒地上，要建造一个 花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半．你能 给出设计方案吗？
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小明的设计方案如图 2-5 所示，其中花园四 周小路的宽度都相等． 通过解方程，他得到小路的宽为 2 m.
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小亮的设计方案如图 2-6 所示，其中花园每个角 上的扇形都相同． （1）你认为小明的结果对吗？为什么？ （2）你能帮小亮求出图 2-6 中的 x 吗？ （3）你还有其他设计方案吗？与同伴交流．
(5) 如何设未知数？怎样列方程？
(6)
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在一块长为１６m，宽为１２m的矩形荒地上，要建造一个 花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半。你觉得这个方 案能实现吗？若可以实现，你能给出具体的设计方案吗？
(7) 如何设未知数？怎样列方程？
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问题解决 1.在一幅长90cm、宽60cm的风景画的四周外围镶上一条宽 度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面 积是整个挂图面积的72%，那么金边的宽应该是多少？
(6)
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在一块长为１６m，宽为１２m的矩形荒地上，要建造一个 花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半。你觉得这个方 案能实现吗？若可以实现，你能给出具体的设计方案吗？
(7)
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在一块长为１６m，宽为１２m的矩形荒地上，要建造一个 花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半。你觉得这个方 案能实现吗？若可以实现，你能给出具体的设计方案吗？
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回顾与复习
用公式法解方程 2x2-9x+8=0
1.变形:化已知方程为一 2 2 b 4ac 9 4 2 8 17 0. 般形式; b b 2 4ac 2.确定系数:用a,b,c写出 x 各项系数; 2a 3.计算: b2-4ac的值; 9 17 4.代入:把有关数值代入 2 2 公式计算; 9 17 . 5.定根:写出原方程的根. 4 9 17 9 17 x1 ; x2 . 4 4
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随堂练习
对于本课花园设计问题，小颖的设计方案如图所示， 你能帮她求出图中的 x 吗？．
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在一块长为１６m，宽为１２m的矩形荒地上，要建造一个 花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半。你觉得这个方 案能实现吗？若可以实现，你能给出具体的设计方案吗？
(1)
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在一块长为１６m，宽为１２m的矩形荒地上，要建造一个 花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半。你觉得这个方 案能实现吗？若可以实现，你能给出具体的设计方案吗？
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在一块长为１６m，宽为１２m的矩形荒地上，要建造一个 花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半。你觉得这个方 案能实现吗？若可以实现，你能给出具体的设计方案吗？
(3)
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在一块长为１６m，宽为１２m的矩形荒地上，要建造一个 花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半。你觉得这个方 案能实现吗？若可以实现，你能给出具体的设计方案吗？
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在一块长为１６m，宽为１２m的矩形荒地上，要建造一个 花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半。你觉得这个方 案能实现吗？若可以实现，你能给出具体的设计方案吗？
(5)
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在一块长为１６m，宽为１２m的矩形荒地上，要建造一个 花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半。你觉得这个方 案能实现吗？若可以实现，你能给出具体的设计方案吗？
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解a 2, b 9, c 8.
回顾与复习
• 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式:
b b 4ac 2 x . b 4ac 0 . 2a
2
b 2 - 4 ac 叫做一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0（a ≠ 0）的根的 判别式，通常用希腊字母“Δ” 来表示． 当 b 2 - 4 ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 b 2 - 4 ac = 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 b 2 - 4 ac < 0 时，方程没有实数根．
图（2）
图（2）和图（3）做比较，你认 为哪一幅图是按要求镶上的金色 纸边，你将如何设未知数从而列 出方程？ 图（3） 2014.9
问题解决 2．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长 25 m），另三边用木栏围成，木栏长 40 m． （1） 鸡场的面积能达到 180 m2 吗？能达到 200 m2 吗？ （2）鸡场的面积能达到 250 m2 吗？ 如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
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问题解决
3．如图，圆柱的高为 15 cm，全面积（也称表 面积）为 200 π cm2，那么圆柱底面半径为多少？
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问题解决
4.如图，由点 P（14，1），A（a，0），B（0，a） （a > 0）确定的△PAB的面积为 18，求 a 的值．
D
C
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反思归纳:
通过本节课的学习， 你有哪些感悟？还有 哪些困惑？
2.3用公式法解一元二次方程(第2课时)-北师大版九年级数学上册教学案
北师大版数学九年级上册第二章第3节用公式法解一元二次方程（第2课时）导学案【教学目标】1．理解一元二次方程根的判别式；2．不解方程，会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根和两个实数根是否相等．教学重点：一元二次方程根的判别式教学难点：理解一元二次方程根的判别式【教学过程】[知识回顾：]一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式是：x ＝－b ±b 2－4ac 2a(其中b 2―4ac ≥0)． 这个公式成立的条件是：b 2―4ac ≥0．那么，有没有b 2―4ac ＜0的一元二次方程呢？如果有，这样的方程的解的情况又是怎样的？[问题探究：]对于方程x 2－2x ＋3＝0，有a ＝1，b ＝－2，c ＝3，得b 2―4ac ＝(－2) 2―4×1×3＝－8＜0,不满足b 2―4ac ≥0的条件，所以该方程不能用求根公式求解．事实上，将方程x 2－2x ＝―3，配方，得x 2－2x ＋1＝―3＋1，即(x －1) 2＝－2．∵x 取任何实数时，总有左边＝(x －1) 2≥0,而右边＝－2＜0,∴x 取任何实数时，都不能使(x －1) 2＝－2成立，即方程(x －1) 2＝－2无实数根．也就是方程x 2－2x ＋3＝0无实数根．[归纳总结，得出结论：]对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，(1) 当b 2―4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根，（x ＝－b ±b 2－4ac 2a） (2) 当b 2―4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根，（x 1＝x 2＝－b 2a） (3) 当b 2―4ac ＜0时，方程无实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的情况可以由b 2―4ac 来判定．我们把b 2―4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式，通常用“△”（读：delta ）来表示．[例1]不解方程，判断下列方程的根的情况：(1) 2x 2＋5＝7x ； (2) 4x (x －1)＋1＝0； (3) (x ＋1)(4x ＋1)＝2x ．[跟踪练习1]1．不解方程，判断下列方程的根的情况：(1) 5x 2＋x ＝7； (2) 25x 2＋20x ＋4＝0； (3) x 2－2x ＋3=0．[例2]若关于x的一元二次方程(k－1) x 2＋2x－2＝0有两个不相等实数根，求k的取值范围．[跟踪练习2]1．关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0无实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜1B．m≥1C．m≤1D．m＞12．关于x的一元二次方程x2＋kx－2＝0根的情况是()A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定3．已知关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋3＝0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是________．4．已知关于x的一元二次方程kx2－2(k＋1)x＋k－1＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围；5．关于x的一元二次方程(k－2)x2－2kx＋k＝6有两个实数根，求k的取值范围；[本课知识、方法总结：]1．我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，记作：△＝b2－4ac，(1)当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；即x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b―b2－4ac2a；(2)当△＝0时，方程有两个相等的实数根；即x1＝x2＝－b2a．(3)当△＜0时，方程无实数根．反过来也成立．[拓展延伸：]1．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏总长40m．(1) 鸡场的面积能达到180m2吗？(2) 鸡场的面积能达到200m2吗？(3) 鸡场的面积能达到250m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．（提示：设平行于墙的一边为x m）答案例1（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根；[跟踪练习1]1．（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程有两个不相等的实数根；例2 解：根据题意，得⎩⎨⎧△＝4－4×(－2)×(k －1)＞0k －1≠0 解得k ＞12且k ≠1． [跟踪练习2]1．D2．A3．k ＜－1144．k 的取值范围是k ＞－13且k ≠0． 5．k 的取值范围是k ≥32且k ≠2． [拓展延伸：]1．解：设平行于墙的一边长为x 米，则垂直于墙的一边长为40－x 2米，鸡场的面积为x ·40－x 2平方米． （1）当x ·40－x 2＝180时，解得 x 1＝20－210，x 2＝20＋210（不合题意，舍去）．∴鸡场的面积能达到180m 2，此时鸡场平行于墙的一边长为（20－210）米，垂直于墙的一边长为（10＋2010）米．（2）当x ·40－x 2＝200时，解得 x 1＝x 2＝20．∴鸡场的面积能达到200m 2，此时鸡场平行于墙的一边长为20米，垂直于墙的一边长为10米．（3）当x ·40－x 2＝250时，整理，得 x 2－40x ＋500＝0．∵△＝1600－4×1×500＜0，∴该方程没有实数根．∴鸡场的面积不能达到250m 2．。
九年级数学上册-用公式法解一元二次方程
－1 且 k≠0，综上，k 的取值范围为 k≥－1.
7. 已知关于 x 的方程 x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0. (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)已知方程的一个根为 x＝0，求代数式(2m－1)2 ＋(3＋m)(3－m)＋7m－5 的值(要求先化简再求值)．
解：设AB为xm，则BC为（50-2x）m， 根据题意得方程：x（50-2x）=300， 2x2-50x+300=0， 解得；x1=10，x2=15， 当x1=10时50-2x=30＞25（不合题意，舍去）， 当x2=15时50-2x=20＜25（符合题意）． 答：当砌墙宽为15米，长为20米时，花园面积为300 平方米
故当矩形温室的长为 28 m，宽为 14 m 时，蔬菜种 植区域的面积是 288 m2.
◎拓展提升
6. (2017·齐齐哈尔)若关于 x 的方程 kx2－3x－94 ＝ 0 有实数根，则实数 k 的取值范围是( C )
A．k＝0
B．k≥－1 且 k≠0
C．k≥－1
D．k＞－1
【解析】当 k＝0 时，方程为－3x－49＝0，解得 x＝
老师提示:在检验时,方 程的根一定要符合问题 的实际意义.否则,舍去.
12m
探究2 我—小亮,我的设计我做主！
我的设计方案如图所示.其中花园每个角上的扇形都 相同你能通过解方程,帮我得到扇形的半径x是多少吗?
16m
12m xm
探究2 我—小颖 ,我的设计我做主！
我的设计方案如图所示.其中花园是两条互相垂直
②当 b2－4ac____<_0________时，一元二次方程 ax2 ＋bx＋c＝0(a≠0)无实数根．
北师版九年级上册数学精品教学课件 第二章 一元二次方程 第2课时 利用一元二次方程解决面积问题
故左右边衬的宽为 7 6 3 3 1.4.
4
21 cm
试一试：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单
地解决上面的问题？
例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6 cm，BC
= 8 cm. 点 P 沿 AC 边从点 A 向终点 C 以 1 cm/s 的速度移
动；同时点 Q 沿 CB 边从点 C 向终点 B 以 2 cm/s 的速度
解得
x1= 17 3 229
10.71(舍)，x2=
17 229 3
0.62.
∴x≈0.62，则 3x≈1.86，2x≈1.24.
答：横、竖小路的宽度分别为 1.86 米、1.24 米.
方法点拨
我们利用“图形经过平移，它的面积大小不 会改变”的性质，把纵、横两条路平移，使列方 程容易些（目的是求出小路的宽，至于实际施工， 仍可按原图的位置修路）.
整理，得 x2 − 15x − 250 = 0.
解得 x1 = −10(舍)，x2 = 25，所以 2x = 50. 答：铁板的长 50 cm，宽为 25 cm.
3.如图，要设计一个宽 20 cm，长为 30 cm 的矩形图案，
其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为 2∶3 ，
若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一，
上个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半.
16 m
想一想，你会怎么 设计这片荒地？
看一看：下面几位同学的设计方法是否合理？
12 m
小明设计：如右图所示，其中花园四周小路的宽都相等.
通过解方程，得到小路的宽为 2 m 或 12 m.
问题：他的结果对吗？你能将小明的解答过程重现吗？
解：设小路的宽为 x m，根据题意得：
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《2-3用公式法求解一元二次方程》同步练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《2.3用公式法求解一元二次方程》同步练习题（附答案）一．选择题1．下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）A．x2+1＝0B．x2﹣2x+1＝0C．x2+x+1＝0D．x2+2x﹣1＝0 2．用公式法解一元二次方程2x2+3x＝1时，化方程为一般式当中的a、b、c依次为（）A．2，﹣3，1B．2，3，﹣1C．﹣2，﹣3，﹣1D．﹣2，3，1 3．若关于x的一元二次方程kx2+4x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＜4B．k≤4C．k＜4且k≠0D．k≤4且k≠0 4．当k＜﹣时，关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣（2k﹣1）x+k＝0的根的情况是（）A．两个相等的实根B．两个不相等的实根C．无实根D．无法判断5．若关于x的方程kx2+4x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥﹣4且k≠0B．k≥﹣4C．k＞﹣4 且k≠0D．k＞﹣46．用公式法解方程6x﹣8＝5x2时，a、b、c的值分别是（）A．5、6、﹣8B．5、﹣6、﹣8C．5、﹣6、8D．6、5、﹣8 7．下列方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）A．2x2﹣7x+8＝0B．16x2+9＝24x C．3x2+x﹣5＝0D．7x2+1＝08．若关于x的方程x2+8x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值为（）A．8B．﹣16C．16D．﹣329．关于x的方程ax2﹣2x+1＝0有两个实数根，则a的取值范围是（）A．a≤1B．a＜1C．a≤1且a≠0D．a＜1且a≠0 10．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣2x﹣1＝0B．x2﹣2x+1＝0C．x2﹣1＝0D．x2+2x+3＝0 11．下面方程中，有两个不等实数根的方程是（）A．x2+x﹣1＝0B．x2﹣x+1＝0C．x2﹣x+＝0D．x2+1＝012．如果关于x的方程ax2+x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是（）A．a B．a且a≠0C．a D．a且a≠013．已知关于x的一元二次方程x2﹣m＝2x有实数根，则m的取值范围是（）A．m＞﹣1B．m≥﹣1C．m＞0D．m≥014．一元二次方程x2﹣3x+3＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个相等的实数根D．没有实数根15．如果一次函数y＝（m+1）x+m的图象不经过第一象限，那么关于x的一元二次方程x2+2x ﹣m＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定16．当4c＞b2时，方程x2﹣bx+c＝0的根的情况是（）A．有两个不等实数根B．有两个相等实数根C．没有实数根D．不能确定有无实数根二．填空题17．若a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+1＝0的两根，且等腰三角形三边长分别为a、b、4，则n的值为．18．若实数a，b满足a2+ab﹣b2＝0，则＝．19．当t时，关于x的方程x2﹣3x+t＝0可用公式法求解．20．已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+3）x+k+1＝0有实数根，则实数k的取值范围是．21．若关于x的方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，实数k的值为．22．已知关于x的方程kx2﹣2（k+1）x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．23．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4＝0有两个不相等的整数根，若k为正整数，则k＝．24．方程（x+1）（x﹣2）＝1的根是．25．若关于x的一元二次方程x2+6x+4m＝0有两个相等的实数根，则m的值为．三．解答题26．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x﹣1＝0有实数根，求m的取值范围．27．解方程：（1）．（2）4x2﹣12x+5＝0．28．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，求m的取值范围．29．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，求实数k的值．30．用适当方法解下列方程（1）3x2﹣2x﹣2＝0（2）x2﹣6x+9＝（5﹣2x）231．已知关于x的一元二次方程x2+6x+a+3＝0有两个相等的实数根，求a的值及此时这个方程的根．32．解方程：x2﹣3（2x+1）＝0．33．已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．求实数k 的取值范围．34．已知关于x的方程是，说明：不论m取任意实数，原方程一定有实数根．35．解方程：x2﹣6＝4x﹣2x236．已知：关于x的方程x2+2kx+k2﹣1＝0．（1）试说明无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程有一个根为3，试求2k2+12k+2022的值．参考答案一．选择题1．解：A、Δ＝﹣4＜0，方程没有实数根；B、Δ＝0，方程有两个相等的实数根；C、Δ＝1﹣4＝﹣3＜0，方程没有实数根；D、Δ＝4+4＝8＞0，方程有两个不相等的实数根．故选：D．2．解：∵方程2x2+3x＝1化为一般形式为：2x2+3x﹣1＝0，∴a＝2，b＝3，c＝﹣1．故选：B．3．解：∵关于x的一元二次方程kx2+4x+1＝0有实数根，∴△≥0且k≠0，则16﹣4k≥0且k≠0，解得：k≤4且k≠0，故选：D．4．解：∵a＝k﹣2，b＝﹣（2k﹣1），c＝k，∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2k﹣1）]2﹣4×（k﹣2）×k＝4k+1．∵当k＜﹣时，Δ＝4k+1＜0．∴该方程无实数根．故选：C．5．解：当k＝0时，原方程为﹣4x+1＝0，解得：x＝，∴k＝0符合题意；当k≠0时，∵方程kx2﹣4x﹣1＝0有实数根，∴Δ＝（﹣4）2+4k≥0，解得：k≥﹣4且k≠0．综上可知：k的取值范围是k≥﹣4．故选：B．6．解：原方程可化为：5x2﹣6x+8＝0；∴a＝5，b＝﹣6，c＝8；故选C．7．解：A、Δ＝（﹣7）2﹣4×2×8＝49﹣64＜0，方程没有实数根，所以A选项错误；B、方程变形为16x2﹣24x+9＝0，Δ＝（﹣24）2﹣4×16×9＝0，方程两个相等的实数根，所以B选项错误；C、Δ＝12﹣4×3×（﹣5）＝1+60＞0，方程有两个不相等的实数根，所以C选项正确；D、Δ＝02﹣4×7×1＜0，方程没有实数根，所以D选项错误．故选：C．8．解：∵方程x2+8x﹣m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即82﹣4（﹣m）＝0，解得m＝﹣16，故选：B．9．解：ax2﹣2x+1＝0有两个实数根，当a＝0时，方程化为﹣2x+1＝0，解得：x＝，不合题意；故a≠0，则有b2﹣4ac＝4﹣4a≥0，解得：a≤1，则m的取值范围是a≤1且a≠0．故选：C．10．解：A、∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，∴有不相等的实数根；B、∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，∴有相等的实数根；C、∵Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×1×（﹣1）＝4＞0，∴有不相等的实数根；D、∵Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×3＝﹣8＜0，∴没有实数根．故选：D．11．解：A、∵Δ＝b2﹣4ac＝1+4＝5＞0，∴方程有两个不相等的实数根．B、∵Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4＝﹣3＜0，∴方程没有实数根．C、∵Δ＝b2﹣4ac＝1﹣1＝0，∴方程有两个相等的实数根．D、移项后得，x2＝﹣1∵任何数的平方一定是非负数．∴方程无实根．故错误．故选：A．12．解：当a＝0时，原方程为x﹣1＝0，解得：x＝1；当a≠0时，有Δ＝12﹣4a×（﹣1）＝1+4a≥0，解得：a≥﹣且a≠0．综上可知：若关于x的方程ax2+x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围为a≥﹣．故选：A．13．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣m＝2x，即x2﹣2x﹣m＝0有实数根，∴△≥0，即4+4m≥0，∴m≥﹣1．故选：B．14．解：∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×3＝﹣3＜0，∴方程没有实数根，故选：D．15．解：∵一次函数y＝（m+1）x+m的图象不经过第一象限，∴m+1＜0且m＜0，∴m＜﹣1，∴Δ＝22﹣4×1×（﹣m）＝4（m+1）＜0，∴方程没有实数根．故选：C．16．解：∵4c＞b2，∴b2﹣4c＜0，∴方程x2﹣bx+c＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4c＜0，∴方程无实数根，故选：C．二．填空题17．解：∵等腰三角形三边长分别为a、b、4，∴有a＝4或b＝4和a＝b两种情况，当a＝4或b＝4时，代入方程可得42﹣6×4+n+1＝0，解得n＝7，此时方程为x2﹣6x+8＝0，解得x＝2或x＝4，此时三角形的三边为2、4、4，满足条件；当a＝b时，即方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即（﹣6）2﹣4（n+1）＝0，解得n＝8，此时方程为x2﹣6x+9＝0，解得x1＝x2＝3，则三角形的三边为3、3、4，满足条件；综上可知n的值为7或8，故答案为：7或8．18．解：a2+ab﹣b2＝0△＝b2+4b2＝5b2．a＝＝b∴＝．故答案是：19．解：∵关于x的方程x2﹣3x+t＝0可用公式法求解，∴Δ＝b2﹣4ac≥0，即Δ＝32﹣4×1×t＝9﹣4t≥0，∴t≤．故答案为≤．20．解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+3）x+k+1＝0有实数根，∴，解得：k≥﹣且k≠0．故答案为：k≥﹣且k≠0．21．解：∵a＝k﹣1，b＝﹣（2k﹣2），c＝﹣3，∴Δ＝b2﹣4ac＝（2k﹣2）2﹣4×（k﹣1）×（﹣3）＝4k2+4k﹣8＝0，解得：k＝1或k＝﹣2，∵k﹣1≠0，∴k≠1，∴k＝﹣2，故答案为﹣2．22．解：∵a＝k，b＝﹣2（k+1），c＝k﹣1，Δ＝b2﹣4ac＝12k+4＞0，即k＞﹣方程有两个不相等的实数根，则二次项系数不为零k≠0．∴k＞﹣且k≠0故答案为k＞﹣且k≠0．23．解：根据题意得：Δ＝4﹣4（2k﹣4）＝20﹣8k＞0，解得：k＜，∵k为正整数，得到k＝1或2，利用求根公式表示出方程的解为x＝﹣1±，∵方程的解为整数，∴5﹣2k为完全平方数，∴k的值为2．故答案为2．24．解：整理得：x2﹣x﹣3＝0，b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13，x＝，x1＝，x2＝，故答案为：x1＝，x2＝．25．解：∵关于x的一元二次方程x2+6x+4m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即62﹣4×4m＝0，解得m＝，故答案为：m＝．三．解答题26．解：根据题意得m﹣2≠0且Δ＝22﹣4（m﹣2）×（﹣1）≥0，解得m≥1且m≠2．27．解：（1）两边都乘以（x﹣1），得：2（x﹣2）+x﹣1＝﹣2，解得：x＝1，检验：当x＝1时，最简公分母x﹣1＝0，所以x＝1是原分式方程的增根，则原分式方程无解；（2）∵4x2﹣12x+5＝0，∴（2x﹣1）（2x﹣5）＝0，则2x﹣1＝0或2x﹣5＝0，解得：x1＝，x2＝28．解：∵（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，∴Δ＝b2﹣4ac≥0，∴4﹣4（m﹣2）≥0，∴m≤3，又知（m﹣2）x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，即m﹣2≠0，解得m≠2，故m≤3且m≠2．29．解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，∴，解得：k＝﹣2．30．解：（1）这里a＝3，b＝﹣2，c＝﹣2，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣2）＝28x＝＝＝∴x1＝，x2＝；（2）（x﹣3）2﹣（5﹣2x）2＝0（x﹣3+5﹣2x）（x﹣3﹣5+2x）＝0即（2﹣x）（3x﹣8）＝0∴2﹣x＝0或3x﹣8＝0∴x1＝2，x2＝．31．解：∵方程x2+6x+a+3＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝62﹣4（a+3）＝24﹣4a＝0，∴a＝6．把a＝6代入原方程，得x2+6x+9＝（x+3）2＝0，解得：x1＝x2＝﹣3．∴这个方程的根为﹣3．32．解：∵x2﹣3（2x+1）＝0，∴x2﹣6x﹣3＝0，∵△＝（﹣6）2﹣4×（﹣3）＝48＞0，∴x＝＝3±2，∴x1＝3+2，x2＝3﹣2．33．解：∵关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，∴[2（k﹣1）]2﹣4（k2﹣1）＞0，∴k2﹣2k+1﹣k2+1＞0，整理得，﹣2k+2＞0，解得k＜1．故实数k的取值范围为k＜1．34．解：（1）当m＝﹣2时，是一元一次方程，有一个实根；（2）当m≠﹣2时，Δ＝b2﹣4ac＝（m+2）2+20，∵（m+2）2＞0，∴（m+2）2+20＞0∴方程有两个不等实根；综合上述，m为任意实数时，方程均有实数根．35．解：方程整理得：3x2﹣4x﹣6＝0，∵a＝3，b＝﹣4，c＝﹣6，∴△＝16+72＝88，则x1＝，x2＝．36．解：（1）∵Δ＝（2k）2﹣4×1×（k2﹣1）＝4k2﹣4k2+4＝4＞0，∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）因为方程有一个根为3，所以9+6k+k2﹣1＝0，即k2+6k＝﹣8所以2k2+12k+2022＝2（k2+6k）+2022＝﹣16+2022＝2006．。
9年级数学北师大版上册教案第2章《用公式法求解一元二次方程》
教学设计用公式法求解一元二次方程一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生通过前几节课的学习，认识了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0),并且已经能够熟练地将一元二次方程化成它们的一般形式；在上一节课的基础上，大部分学生能够利用配方法解一元二次方程，但仍有一部分认知较慢、运算不扎实的同学不能够熟练使用配方法解一元二次方程.二、教学任务分析公式法实际上是配方法的一般化和程式化，然后再利用总结出来的公式更加便利地求解一元二次方程。
所以首先要夯实上节课的配方法，在此基础上再进行一般规律性的探求——推导求根公式，最后，用公式法解一元二次方程。
其中，引导学生自主的探索，正确地导出一元二次方程的求根公式是本节课的重点、难点之一；正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解方程，提高学生的综合运算能力是本节课的另一个重点和难点。
为此，本节课的教学目标是：①在教师的指导下，学生能够正确的导出一元二次方程的求根公式，并在探求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力。
②能够根据方程的系数，判断出方程的根的情况，在此过程中，培养学生观察和总结的能力.③通过正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力。
④通过在探求公式过程中同学间的交流、使用公式过程中的小技巧的交流，进一步发展学生合作交流的意识和能力三、教学过程分析本课时分为以下七个教学环节：第一环节：回忆巩固；第二环节：公式的推导；第三环节：公式的运用；第四环节：巩固运用；第五环节：感悟与收获；第六环节：检测反馈；第七环节：布置作业。
第一环节；回忆巩固1.一元二次方程的一般形式是_____________________________________2.一元二次方程 0962=-+x x 二次项系数a 为____，一次项系数b 为_______， 常数项c 为________，ac b 42-=____________3.方程01872=--x x 的解为_____________________第二环节 公式的推导活动内容：配方法推导一元二次方程的求根公式提出问题：解一元二次方程：ax 2+bx+c=0(a ≠0)学生在演算纸上自主推导、并针对自己推导过程中预见的问题在小范围内自由研讨。
北师大版九年级数学上册第二章2.3用公式法解一元二次方程(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用物理抛物线运动的例子来演示一元二次方程的基本原理。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程的基本概念。一元二次方程是形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是常数，且a≠0。它是解决许多现实问题的有力工具，尤其在物理学、经济学等领域有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何使用公式法解决实际问题中的一元二次方程。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元二次方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
2.教学难点
-求根公式中各个参数的代入和计算过程，尤其是根号内判别式的计算；
-理解并应用根的判别式Δ来判断根的性质，包括Δ>0、Δ=0、Δ<0三种情况；
-在实际问题中，如何将问题转化为标准的一元二次方程形式，以便应用求根公式；
-对于系数a、b、c为分数或小数时，如何进行精确计算。
举例：在解决一元二次方程2x² - 5x + 3 = 0时，学生可能会在计算判别式Δ时出错，或者在将分数系数化简为整数时遇到困难。教师需要针对性地解释和演示如何进行这些计算，以及如何避免常见的计算错误。
用公式法求解一元二次方程课件北师大版数学九年级上册
c=0
Δ=b2－4ac<0 方程没有实数根
知2－讲
特别说明：(1)由Δ=b2－4ac 的符号可判定ax2＋bx＋c=
0(a ≠ 0)的根的情况. 反之，由ax2＋bx＋c= 0(a ≠ 0)的根的
情况也可得到Δ=b2－4ac 的符号.
(2)一元二次方程有实数根(或有两个实数根)包括有两
2k－1=0 的根的情况为(
A. 有两个相等的实数根
B. 没有实数根
C. 有两个不等的实数根
D. 无法判断
)
知2－练
思路导引：
解：∵ a=1，b=－2(k＋1)，c=－k2＋2k－1，
∴ Δ =b2－4ac=［－2(k＋1)］2－4×1×(－k2＋2k－
1)=8＋8k2>0.
当方程中的a，b，c含有字母时，求出
第二章 一元二次方程
3 用公式法求解一元二次方程
1 课时讲授 用公式法解一元二次方程
一元二次方程根的判别式
2 课时流程
逐点
导讲练
课堂
小结
作业
提升
知识点 1 用公式法解一元二次方程
知1－讲
1. 求根公式：对于一元二次方程ax2＋bx＋c= 0(a ≠ 0)，当
b2－4ac
≥ 0 时，它的根是x =
知1－练
(3)x2－2x＋3=0.
解：这里a=1，b=－2，c=3 .
∵ b2 －4ac=(－2)2 －4×1×3=－8<0，
∴方程无实数根.
知1－练
知1－练
1-1. 用公式法解下列方程：
(1)y2－2y－2=0；
解：这里 a＝1，b＝－2，c＝－2.
九年级数学上册第二章一元二次方程2.3用公式法求解一元二次方程第2课时课件新版北师大版
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
第二课时
一块矩形菜地的面积是120 m2,如果它的长减少2 m,那么菜地就 变成正方形,则原菜地的长是 12 m.
12345
1.把一个小球以20 m/s的速度竖直向上抛出,它在空中的高度h(m)
与运动时间t(s)满足关系式h=20t-5t2,当h=20时,小球的运动时间为
()
A.20 s
B.2 s
解:设垂直于墙的一边长为x m,得 x(58-2x)=200. 解得x1=25,x2=4. 则平行于墙的另一边长为8 m或50 m. 答:矩形的长为25 m,宽为8 m或矩形的长为50 m,宽为4 m.
关闭
答案
编后语
• 常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分 钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？
遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。 • 三、课后“静思2分钟”大有学问 • 我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过 程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的 课后复习30分钟。
新北师大版九年级数学上册《用公式法求解一元二次方程》优质课课件(共18张PPT)
解：(1)设该项绿化工程原计划每天完成 x m2，根据题意
46 000－22 000 46 000－22 000
得：
x
－
1.5x
＝4，解得 x＝2 000，经
检验，x＝2 000 是原方程的解，答：该绿化项目原计划每天完
成 2 000 平方米 (2)设人行道的宽度为 x 米，根据题意得，(20
－3x)(8－2x)＝56，解得 x1＝2 或 x2＝236(不合题意，舍去)．答： 人行道的宽为 2 米
2.3 用公式法求解一元二次方程
1．对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当 b2－4ac≥0 时， －b± b2－4ac
它的根 x＝
2a
，我们把这个式子称为一元二次方程的
求根公式，用求根公式解一元二次方程称为 公式法 ．
2．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac>0时，
－1＋ 5
－1－ 5
则方程(x＋2)*5＝0 的解为x1＝ 2 ，x2＝ 2
．
15．用公式法解方程：
(1)7x2－6x＝5
3＋2 11
3－2 11
解：x1＝ 7 ，x2＝ 7
(2)x(2x－4)＝5－8x
－2＋ 14
－2－ 14
解：x1＝ 2 ，x2＝ 2
16．解方程 2x2＋4 3x＝2 2.有一位同学解答如下： 这里 a＝ 2，b＝4 3，c＝2 2，∴b2－4ac＝(4 3)2－4× 2
(2)x2－2 3x＋3＝0 解：∵Δ＝12－4×3＝0，∴x1＝x2＝ 3
知识点二：根的判别式 6．下列关于x的方程有实数根的是( D ) A．x2＋1＝0 B．x2＋x＋1＝0 C．x2－x＋1＝0 D．x2－x－1＝0 7．(2014·宁波)已知命题“关于x的一元二次方程x2＋bx＋1 ＝0，当b<0时，必有实数解”，能说说这个命题是假命题的 反例是( A ) A．b＝－1 B．b＝2 C．b＝－2 D．b＝0
2022年北师大版九上第二章《一元二次方程》同步练习6(2.3)
第二章 一元二次方程周周测62.3 用公式法求解一元二次方程1．方程x 2－4x ＝0中，b 2－4ac 的值为( )A ．－16B ．16C ．4D ．－42．方程x 2＋x －1＝0的一个根是( )A ．1－ 5 B.1－52 C ．－1＋ 5 D.－1＋523．下列关于x 的方程有实数根的是( )A ．x 2＋1＝0B ．x 2＋x ＋1＝0C ．x 2－x ＋1＝0D ．x 2－x －1＝04. 一元二次方程x 2－4x ＋4＝0的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定5. 若关于x 的一元二次方程x 2＋2(k －1)x ＋k 2－1＝0有实数根，则k 的取值范围是( )A ．k≥1B ．k ＞1C ．k ＜1D ．k≤16. 若关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋4x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )A ．k ＜5B ．k ＜5，且k≠1C ．k≤5，且k≠1D ．k ＞57. a ，b ，c 为常数，且(a －c)2>a 2＋c 2，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的情况是( )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C．无实数根 D．有一根为08. 用求根公式法解得某方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根互为相反数，则( )A．b＝0 B．c＝0 C．b2－4ac＝0 D．b＋c＝09. 若关于x的一元二次方程x2－2x－k＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx－k的大致图象是( )A B C D10．已知关于x的方程x2＋(1－m)x＋＝0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是________．11．若实数范围内定义一种运算“*”，使a*b＝(a＋1)2－ab，则方程(x＋2)*5＝0的解为__________．12. 已知等腰三角形的一腰长x满足方程x2－12x＋31＝0，其周长为20，则腰长x的值为________．13. 已知一元二次方程(m－3)x2＋2mx＋m＋1＝0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)当m在取值范围内取最小正偶数时，求方程的根．14. 如图，某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长10 m)，另三边用木栏围成，中间隔有一道木栏，木栏的总长为23 m.(1)请你设计一个鸡场，使该鸡场的面积达到40 m2；(2)你能设计一个面积为50 m2的鸡场吗？请说明理由．15. 已知一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0.(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．答案：1---9 BADBD BBAB10. 011. x 1＝－1＋52，x 2＝－1－5212. 6＋ 513. (1)∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝b 2－4ac ＝4m 2－4(m－3)(m ＋1)＞0，解得m ＞－32，∴m ＞－32且m≠3. (2)当m 在取值范围内取最小正偶数，即m ＝2时，方程是－x 2＋4x ＋3＝0，解得x 1＝2＋7，x 2＝2－7.14. (1)设鸡场的宽为x m ，则另一边长为(23－3x)m ，依题意得x(23－3x)＝40，解得x 1＝5，x 2＝83，当x ＝5时，23－3x ＝8<10；当x ＝83时，23－3x ＝15>10，不符合题意，舍去．∴鸡场的宽为5 m ，就能使该鸡场的面积达到40 m 2.(2)不能，理由：依题意得x(23－3x)＝50，整理得3x 2－23x ＋50＝0，∵b 2－4ac ＝529－600＝－71<0，∴该方程无解，∴不能设计出面积为50 m 2的鸡场．15. (1)证明：∵Δ＝b 2－4ac ＝(2k ＋1)2－4(k 2＋k)＝1>0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)∵方程有两个不相等的实数根，∴AB＝AC 不成立，∴要使△ABC 是等腰三角形，则AB 与AC 其中一条边与BC 相等，即方程必有一根为5，∴52－5(2k ＋1)＋k 2＋k ＝0，解得k ＝4或k ＝5，经检验k ＝4或k ＝5符合题意，则k 的值为4或5.第三章检测题一、选择题(每小题3分，共30分)1．事件A ：打开电视，它正在播广告；事件B ：抛掷一个均匀的骰子，朝上的点数小于7；事件C ：在标准大气压下，温度低于0 ℃P (A )、P (B )、P (C )，则P (A )、P (B )、P (C )的大小关系正确的是( B )A ．P (C )＜P (A )＝P (B ) B ．P (C )＜P (A )＜P (B )C ．P (C )＜P (B )＜P (A )D ．P (A )＜P (B )＜P (C )2．从1，2，－3三个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是( B )A ．0 B.13 C.23 D ．1 3．如图，2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A 和B ，在余下的7个点中任取一点C ，使△ABC 为直角三角形的概率是(D )A.12B.25C.37D.474．袋子里有4个球，标有2，3，4，5，先抽取一个并记住，放回，然后再抽取一个，问抽取的两个球数字之和大于6的概率是( C )A.12B.712C.58D.345．掷两枚普通正六面体骰子，所得点数之和为11的概率为( A )A.118B.136C.112D.1156．用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色．那么可配成紫色的概率是( D )A.14B.34C.13D.12,第6题图) ,第7题图)7．如图所示的两个转盘中，指针落在每一个数上的机会均等，那么两个指针同时落在偶数上的概率是( C )A.1925B.1025C.625D.5258．有三张正面分别写有数字－1，1，2的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为a 的值，然后再从剩余的两张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为b 的值，则点(a ，b )在第二象限的概率是( B ) A.16 B.13 C.12 D.23 9．从长为10 cm ，7 cm ，5 cm ，3 cm 的四条线段中任选三条能够组成三角形的概率是( C )A.14B.13C.12D.3410．如图，在平面直角坐标系中，点A 1，A 2在x 轴上，点B 1，B 2在y 轴上，其坐标分别为A 1(1，0)，A 2(2，0)，B 1(0，1)，B 2(0，2)，分别以A 1，A 2，B 1，B 2其中的任意两点与点O 为顶点作三角形，所作三角形是等腰三角形的概率是( D )A.34B.13C.23D.12二、填空题(每小题3分，共18分)11．一个布袋中装有3个红球和4个白球，这些除颜色外其他都相同．从袋子中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为__47__． 12．一水库里有鲤鱼、鲫鱼、草鱼共2 000尾，小明通过多次捕捞试验，发现鲤鱼、草鱼的概率是51%和26%，则水库里有__460__尾鲫鱼．13．在一个不透明的袋子中有10个除颜色外均相同的小球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为40%，估计袋中白球有__4__个．14．有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙能打开同一把锁，第三把钥匙能打开另一把锁．任意取出一把钥匙去开任意一把锁，一次能打开锁的概率是__12__． 15．袋中装有4个完全相同的球，分别标有1，2，3，4，从中随机取出一个球，以该球上的数字作为十位数，再从袋中剩余3个球中随机取出一个球，以该球上的数字作为个位数，所得的两位数大于30的概率为__12__． 16．一天晚上，小伟帮妈妈清洗茶杯，三个茶杯只有颜色不同，其中一个无盖．突然停电了，小伟只好把杯盖与茶杯随机地搭配在一起，则花色完全搭配正确的概率是__16__． 三、解答题(共72分)17．(10分)小明有2件上衣，分别为红色和蓝色，有3条裤子，其中2条为蓝色、1条为棕色．小明任意拿出1件上衣和1条裤子穿上．请用画树状图或列表的方法列出所有可能出现的结果，并求小明穿的上衣和裤子恰好都是蓝色的概率．解：画树状图：P (都是蓝色)＝26＝1318．(10分)在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌，它们分别标有数字1，2，3，，再随机摸取一张纸牌．(1)计算两次摸取纸牌上数字之和为5的概率；(2)甲、乙两个人进行游戏，如果两次摸出纸牌上数字之和为奇数，则甲胜；如果两次摸出纸牌上数字之和为偶数，则乙胜．这是个公平的游戏吗？请说明理由．解：(1)14(2)这个游戏公平，理由如下 ：两次摸出纸牌上数字之和为奇数(记为事件B )有8个，P (B )＝816＝12，两次摸出纸牌上数字之和为奇数与和为偶数的概率相同，所以这个游戏公平19．(10分)甲、乙两个袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片上所标有的三个数值为－7，－1，3.乙袋中的三张卡片所标的数值为－2，1，，用x 表示取出的卡片上的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用y 表示取出卡片上的数值，把x 、y 分别作为点A 的横坐标和纵坐标．(1)用适当的方法写出点A (x ，y )的所有情况；(2)求点A 落在第三象限的概率．解：(1)列表：－7 －1 3－2 (－7，－2) (－1，－2) (3，－2)1(－7，1) (－1，1) (3，1) 6(－7，6) (－1，6) (3，6) 可知，点A 共有9种情况 (2)由(1)知点A 的坐标共有9种等可能的情况，点A 落在第三象限(事件A )共有(－7，－2)，(－1，－2)两种情况，∴P (A )＝2920．(10分)分别把带有指针的圆形转盘A 、B 分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一个小区域内标上数字(如图所示)．欢欢、乐乐两个人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针所指两区域的数字之积为奇数，则欢欢胜；若指针所指两区域的数字之积为偶数，则乐乐胜；若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘．(1)试用列表或画树状图的方法，求欢欢获胜的概率；(2)请问这个游戏规则对欢欢、乐乐双方公平吗？试说明理由．解：(1)共有12种情况，积为奇数的情况有6种，所以欢欢胜的概率是612＝12(2)由(1)得乐乐胜的概率为1－12＝12，两人获胜的概率相同，所以游戏公平 21．(10分)现有一项资助贫困生的公益活动由你来主持，每位参与者交赞助费5元．活动规则如下：如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成6个相等的扇形，参与者转动这两个转盘，转盘停止后，指针各指向一个数字(若指针在分格线上，则重转一次，直到指针指向某一数字为止)．若指针最后所得的数字之和为12，则获一等奖，奖金20元；数字之和为9，则获二等奖，奖金10元；数字之和为7，则获三等奖，奖金5元；其余的均不得奖．此次活动所集到的资助费除支付获奖人员的奖金外，其余全部用于资助贫困生的学习和生活．(1)分别求出此次活动中获得一等奖、二等奖、三等奖的概率；(2)若此项活动有2 000人参加，活动结束后至少有多少赞助费用于资助贫困生．解：(1)P (一等奖)＝136；P (二等奖)＝19；P (三等奖)＝16 (2)(136×20＋19×10＋16×5)×2 000＝5 000，5×2 000－5 000＝5 000，即活动结束后至少有5 000元用于资助贫困生22．(10分)甲、乙、丙3人聚会，每人带了一件从外盒包装上看完全相同的礼物(里面的东西只有颜色不同)，将3件礼物放在一起，每人从中随机抽取一件．(1)下列事件是必然事件的是( A )A ．乙抽到一件礼物B ．乙恰好抽到自己带来的礼物C ．乙没有抽到自己带来的礼物D ．只有乙抽到自己带来的礼物(2)甲、乙、丙3人抽到的都不是自己带来的礼物(记为事件A )，请列出事件A 的所有可能的结果，并求事件A 的概率．解：(2)依题意可画树状图：(直接列举出6种可能结果也可)符合题意的只有两种情况：①乙丙甲，②丙甲乙，∴P (A )＝26＝1323．(12分)袋中装有大小相同的2个红球和2个绿球．(1)先从袋中摸出1个球放回，混合均匀后再摸出1个球．①求第一次摸到绿球，第二次摸到红球的概率；②求两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率；(2)先从袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，则两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率是多少？请直接写出结果．解：(1)①画树状图得：∵共有16种等可能的结果，第一次摸到绿球，第二次摸到红球的有4种情况，∴第一次摸到绿球，第二次摸到红球的概率为：416＝14；②∵两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的有8种情况，∴两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率为：816＝12 (2)23。