绝对值、相反数、倒数的性质及应用
绝对值、相反数、倒数的性质及应用
一、【知识大串联】
1.相反数的概念关键要理解“只有符号不同”的含义,规定零的相反数是零;
2.互为相反数指的是一对数,甲、乙两数互为相反数包括甲是乙的相反数,乙也是甲的相反数;
3.相反数的几何意义:表示互为相反数的两个点(除0外)分别在原点O的两边,并且到原点的距离相等。
4.多重符号化简的依据就是相反数的意义,化简的结果是由“-”号的个数来决定的,简称:奇负偶正。
5.什么是一个数的绝对值呢?从数轴上看,一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离。注意,这里的距离,是以单位长度为度量单位的,是一个非负的量。
6.一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数;零的绝对值是零。
7.两个负数,绝对值大的反而小。
8.绝对值的性质:
(1)若a为有理数,则︱a︱≥0.
(2)绝对值为某一正数的有理数有两个,它们互为相反数;互为相反数的两个数的绝对值相等。
(3)若︱a︱=a,则a≥0.
(4)若︱a︱+︱b︱+︱c︱+︱d︱+…+︱m︱=0,则︱a︱=0︱b︱=0,︱c︱=0,︱d︱
=0,…,︱m︱=0, 即a=0,b=0,c=0,d=0,…,m=0.
(5)最小的绝对值为0,但无最大的绝对值。
9.相反数的性质:若a、b互为相反数,则a+b=0.
10.倒数的性质:若a、b互为倒数,则ab=1.
【精练】若a、b互为相反数,c、d互为倒数,则a+b+cd+1= .
解:因为a、b互为相反数,c、d互为倒数
所以a+b=0,cd=1 所以a+b+cd+1=0+1+1=2
二、【典例分析】
1.利用概念
例1.5的相反数是() A. -5 B. 5 C. D.
解析:根据相反数的概念:只有符号不同的两个数叫做互为相反数,易知本题选A
例2.绝对值为4的实数是 A. ±4 B. 4 C. -4 D. 2
解析:求绝对值等于4的数用绝对值几何定义比较直观,绝对值等于4的整数即在数轴上到原点距离等于4的整数点表示的数,故本题选A
2.用性质特征
3.例3.-2的绝对值是()A.2 B.-2 C.±2 D.
解析:由绝对值的特征:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0. 所以-2的绝对值是2
例4.若a与2 互为相反数,则|a+2|等于() A. 0 B. -2 C.2 D. 4 解析:由相反数的特征若a、b两数互为相反数,则a+b=0,反之也成立.可知a+2=0,再由绝对值的特征可得本题选A
例5若a、b、c都是负数,且︱x-a︱+︱y-b︱+︱z-c︱=0,则xyz是()
A 负数
B 非负数
C 正数D非正数
解:由绝对值性质,得:x-a=0,y-b=0,z-c=0 所以x=a,y=b,z=c 因为a<0,b<0,c<0 所以xyz=abc<0 即xyz为负数,故选A。
例6已知a的绝对值是它自身;b的相反数是它自身;c的倒数是它自身,则结果不唯一的是()。A ab B ac C bc D abc
解:已知a的绝对值是它自身,则a为非负数;b的相反数是它自身,则b=0;c的倒数是它自身,则c= ±1,ab=0,bc=0,abc=0, 都是唯一的,故选B。
例7若︱a-3︱-3+a=0,则a的取值范围是()A a ≤3 B a >3 C a≥3 D a>3 解:因为︱a-3︱-3+a=0 所以︱a-3︱=3-a
因为a-3与3-a互为相反数所以a-3≤0,即a≤3,故选A.
3.解决实际问题
例8 质检员抽查某种零件的长度,超过规定长度的记为正数,不足规定长度的记为负数.检查结果如下:第一个为0.13毫米,第二个为-0.2毫米,第三个为-0.1毫米,第四个为0.15毫米,则长度最小的零件是第几个?哪一个零件与规定长度的误差最小?
解析: ∵|-0.2|>|0.15|>|0.13|>|-0.1|
∴长度最小的是第二个,与规定长度的误差最小的是第三个.
三、【考题警示】
1.整体代换
例9. 若|a-2|=2-a,求a的取值范围。
解析:根据已知条件等式的结构特征,我们把a-2看作一个整体,那么原式变形为|a-2|=-(a-2),又由绝对值概念知a-2≤0,故a的取值范围是a≤2。
2.数形结合
※例10.(全国初中数竞学赛试题)设x是实数,y=|x-1|+|x+1|。下列四个结论:
A 、y没有最小值;B、只有一个x使y取到最小值;
C、有有限多个x(不只一个)使y取到最小值;
D 、有无穷多个x使y取到最小值。其中正确的是[ ]。
解析:我们知道,|x|的几何意义是表示数轴上点x到原点的距离。类似地可知,|x-a|的几何意义是表示数轴上点x到点a的距离。一些有关绝对值的竞赛题,利用上述绝对值的几何意义,借助数形结合,常常会得到妙解。原问题可转化为求x取那些值时,数轴上点x 到点1与点-1的距离之和为最小。
从数轴上可知,区间[-1,1]上的任一点x到点1与点-1的距离之和均为2;区间[-1,1] 之外的点x 到点1与点-1的距离之和均大于2。所以函数y=|x-1|+|x+1|当-1≤x≤1时,取得最小值2。故选(D)。
3.分类
例11.已知|x|=3,|y|=2,且xy<0,则x+y的值等于()
A.5或-5 B.1或-1 C.5或1 D.-5或-1
解析:|x|=3,|y|=2,所以x=±3,y=±2,又因为xy<0,x、y异号。
所以有两种情况:(1)当x=3,y=-2时,x+y=1。
(2)当x=-3,y=2时x+y=-1。故选B。
绝对值与相反数(提高)知识精讲
绝对值与相反数(提高) 【学习目标】 1.借助数轴理解绝对值和相反数的概念; 2.知道|a|的绝对值的含义以及互为相反数的两个数在数轴上的位置关系; 3.会求一个数的绝对值和相反数,并会用绝对值比较两个负有理数的大小; 4.通过应用绝对值解决实际问题,体会绝对值的意义和作用. 【要点梳理】 要点一、相反数 1.定义:如果两个数只有符号不同,那么称其中一个数为另一个数的相反数.特别地,0的相反数是0. 要点诠释: (1)“只”字是说仅仅是符号不同,其它部分完全相同. (2)“0的相反数是0”是相反数定义的一部分,不能漏掉. (3)相反数是成对出现的,单独一个数不能说是相反数. (4)求一个数的相反数,只要在它的前面添上“-”号即可. 2.性质: (1)互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁,且与原点的距离相等(这两个点关于原点对称). (2)互为相反数的两数和为0. 要点二、多重符号的化简 多重符号的化简,由数字前面“-”号的个数来确定,若有偶数个时,化简结果为正,如-{-[-(-4)]}=4 ;若有奇数个时,化简结果为负,如-{+[-(-4)]}=-4 . 要点诠释: (1)在一个数的前面添上一个“+”,仍然与原数相同,如+5=5,+(-5)=-5.(2)在一个数的前面添上一个“-”,就成为原数的相反数.如-(-3)就是-3的相反数,因此,-(-3)=3. 要点三、绝对值 1.定义:在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值,例如+2的绝对值等于2,记作|+2|=2;-3的绝对值等于3,记作|-3|=3.
要点诠释: (1)绝对值的代数意义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.即对于任何有理数a 都有: (2)绝对值的几何意义:一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离,离原点的距离越远,绝对值越大;离原点的距离越近,绝对值越小. (3)一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的. 2.性质: (1)0除外,绝对值为一正数的数有两个,它们互为相反数. (2)互为相反数的两个数(0除外)的绝对值相等. (3)绝对值具有非负性,即任何一个数的绝对值总是正数或0. 要点四、有理数的大小比较 1.数轴法:在数轴上表示出这两个有理数,左边的数总比右边的数小. 如:a 与b 在数轴上的位置如图所示,则a <b . 2.法则比较法: 两个数比较大小,按数的性质符号分类,情况如下: 两数同号 同为正号:绝对值大的数大 同为负号:绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 -数为0 正数与0:正数大于0 负数与0:负数小于0 要点诠释: 利用绝对值比较两个负数的大小的步骤:(1)分别计算两数的绝对值;(2)比较绝对值的大小: (3)判定两数的大小. 3. 作差法:设a 、b 为任意数,若a-b >0,则a >b ;若a-b =0,则a =b ;若a-b <0,a <b ;反之成立. (0)||0 (0)(0)a a a a a a >??==??-
5绝对值倒数相反数综合练习题
绝对值、倒数、相反数练习题 一、选择题 1. -2的绝对值是( ) (A )-2. (B )2. (C )-21. (D )21 . 2. -m的相反数是( ) (A )-m. (B )m. (C )m 1. (D )m 1-. 3. 下列说法错误的是( ) (A )0的相反数是0. (B )正数的相反数是负数. (C )一个数的相反数必是正数. (D )互为相反数的两个数到原点的距离相等. 4. 若a =34 ,则a 的值为( ) (A )34. (B )43. (C )34或34-. (D )43或43-. 5. 绝对值等于本身的有理数共有( ) (A )1个. (B )2个. (C )0个. (D )无数个. 6. 下列各组数中,互为相反数的有( ) ⑴ 3. 2 与 -2. 3 ⑵ -(- 4)与 – 8 ⑶ – (- 8)与 – 8 ⑷ -21与-[-(-21 )] (A )1组. (B )2组. (C )3组. (D )4组. 7. 下列式子正确的是( ) (A )3-->2--. (B )0< 2-. (C )5 -<4--. (D )8--=)8(--. 8. 下列说法正确的个数有( ) ⑴所有的有理数都能在数轴上找到唯一的一点 ⑵数轴上每一点都表示有理数 ⑶0是最小的有理数 ⑷因为负数小于零,所以0 31?? ??-- (A )1个. (B )2个. (C )3个. (D )0个. 9. 以下是关于5.1-这个数在数轴上的位置的描述,其中正确的描述是( ) (A )在25 - 左边. (B )在0. 1右边. (C )在原点与34-之间. (D )在56-左边. 10. 在数轴上2-与2之间的有理数有( ) (A )5个. (B )4个. (C )3个. (D )无数个. 二、填空题 11. 最大的负整数是________,最小的正整数是_____________. 12. -2在原点___边,距原点____个单位长度,数5在数轴上距原点____个单位, -5距5___个单位. 13. _________的相反数是本身. 14. ()8--是_________的相反数. ()2-+是___________的相反数. 15. 在数轴上表示离开原点的距离是3,那么a =__________.
相反数倒数绝对值专题复习 (2)
1.(2020?遵义)在0,﹣2,5,,﹣0.3中,负数的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 2.(2020?南通)如果水位升高6m时水位变化记作+6m,那么水位下降6m时水位变化记作()A.﹣3m B.3m C.6m D.﹣6m 3.(2014?凉山州)在实数,,0,,,﹣1.414,有理数有() A.1个B.2个C.3个D.4个4.(2020?宁德)有理数a,b在数轴上对应点的位置如图所示,下列各式正确的是() A.a+b<0 B.a﹣b<0 C.a?b>0 D.>0 5.(2020?永州)在数轴上表示数﹣1和2014的两点分别为A和B,则A和B两点间的距离为()A.2013 B.2014 C.2020 D.2020 6.(2020?湘潭)在数轴上表示﹣2的点与表示3的点之间的距离是() A.5 B.﹣5 C.1 D.﹣1 7.(2020?荆州)﹣2的相反数是() A.﹣B.﹣2 C.D.2 8.(2020?宁德)2020的相反数是() A.B.﹣C.2020 D.﹣2020 9.(2020?潜江)﹣3的绝对值是() A.3 B.﹣3 C.D. 10.(2020?丹东)﹣2020的绝对值是() A.﹣2020 B.2020 C.D.﹣11.(2020?泰州)﹣的绝对值是() A.﹣3 B.C.﹣D.3 12.(2020?恩施州)﹣5的绝对值是() A.﹣5 B.﹣C.D.5 13.(2020?徐州)﹣2的倒数是() A.2 B.﹣2 C.D.﹣14.(2020?鄂州)﹣的倒数是() A.B.3 C.﹣3 D.﹣15.(2020?成都)﹣3的倒数是() A.﹣B.C.﹣3 D.3 16.(2020?海南)﹣2020的倒数是() A.﹣B.C.﹣2020D.2020
绝对值相反数倒数习题课
绝对值相反数倒数 学习目标: 1、 进一步理解绝对值、相反数和倒数的意义。 2、 会用绝对值、相反数和倒数的意义解决相关的问题。 学习重点:进一步理解绝对值、相反数和倒数的意义。 学习难点:会用绝对值、相反数和倒数的意义解决相关的问题。 学习过程: ★绝对值 1、几何角度定义: ①在数轴上表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。 0的距离,即线段AO 的长度。 ②注意事项:在数轴上,数对应的是一个点;数的绝对值对应的是一条线段。 2、代数角度定义: ①一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值是0. ②非负数的绝对值等于它本身,非正数的绝对值等于它的相反数。 ③用数学式子表示:|a|=???≤-≥)0()0(a a a a |a|=?? ? ??<-=>) 0()0(0) 0(a a a a a 3、去掉绝对值的方法: 第一步通过比较大小确定出绝对值里面整体式子与0的大小关系; 第二部根据代数角度的定义去掉绝对值。 4、常见的结论: ①如果两个数的绝对值相等,那么这两个数相等或互为相反数。例如:|±2|=2。 ②如果|a|=|b|,那么a=b 或a=-b 。 ③如果一个数的绝对值是它本身,那么这个数是0和正数(非负数)。 ④|a|表示的是一个非负数,即|a|≥0. 练习 1、绝对值小于5.1的整数有。 2、绝对值大于2而不大于5的整数有。 3、|2|=,|- 2 1 |=,|3.14-π|=, 4、对于实数x ,若有x +|x|=0,则x 是数,(或x0)。 5、对于实数x ,若有x -|x|=0,则x 是数,(或x0)。 6、已知|a|=2,那么a=,已知|2y|=6,那么y=。 7、已知|x +2|=3,那么x=;已知|2 x -1|=1,那么x=。 8、已知|a|+|b|=0,那么a=,b=。 9、已知|a -1|+|b -2|=0,那么a=,b=。 10、已知|a +2|+2|b -3|=0,那么a=,b=,(a +b )2009=。 11、已知|a|=1,|b|=2,求a +b 的值。 12、已知|a|=1,|b|=2,且a <0,b >0,求a +b 的值。 13、已知|a|=5,|b|=3,且ab >0,求a +b 的值。
相反数和绝对值专项练习题
相反数与绝对值专项练习 一、选择题:(1)a的相反数是( ) (A)-a (B)1 a (C)- 1 a (D)a-1 (2)一个数的相反数小于原数,这个数是( ) (A)正数 (B)负数 (C)零 (D)正分数 (3)一个数在数轴上所对应的点向右移到5个单位长度后,得到它的相反数的对应点,则这个数是( ) (A)-2 (B)2 (C)2.5 (D)-2.5 (4)一个数在数轴上的对应点与它的相反数在数轴上的对应点的距离为0.5单位长,则这个数是( ) (A)0.5或-0.5 (B)0.25或-0.25 (C)0.5或-0.25 (D)-0.5或0.25 二、填空题 (1)一个数的倒数是它本身,这个数是________;一个数的相反数是它本身,这个数是__________; (2)-5的相反数是______,-3的倒数的相反数是____________ 。 (3)10 3 的相反数是________, 11 32 ?? - ? ?? 的相反数是_______,(a-2)的相反数是______; 三、判断题: (1)符号相反的数叫相反数;() (2)数轴上原点两旁的数是相反数;() (3)-(-3)的相反数是3;() (4)-a一定是负数;() (5)若两个数之和为0,则这两个数互为相反数;() (6)若两个数互为相数,则这两个数一定是一个正数一个负数。() 1.下列各数:2,0.5,2 3 ,-2,1.5,- 1 2 ,- 3 2 ,互为相反数的有哪几对? 2.化简下列各数的符号:(1)-(-17 3 ); (2)-(+ 23 3 ); (3)+(+3); (4)-[-(+9)] 。3.数轴上A点表示 +7,B、C两点所表示的数是相反数,且C点与A点的距离为 2,求B点和C点各对应什么数? 4.若a>0>b,且数轴上表示a的点A与原点距离大于表示b的点B 与原点的距离,试把a,-a,b,-b这四个数从小到大排列起来。 5.一个正数的相反数小于它的倒数的相反数,在数轴上,这个数对应的点在什么位置? 6.如果a,b表示有理数,在什么条件下,a+b和a-b互为相反数?a+b与a-b的积为2? 练习二(A级) 一、选择题: 1.已知a≠b,a=-5,|a|=|b|,则b等于( )(A)+5 (B)-5 (C)0 (D)+5或-5 2.一个数在数轴上对应的点到原点的距离为m,则这个数的绝对值为( ) (A)-m (B)m (C)±m (D)2m 3.绝地值相等的两个数在数轴上对应的两点距离为8,则这两个数为( ) (A)+8或- 8 (B)+4或-4 (C)-4或+8 (D)-8或+4 4.下面说法: <1>互为相反数的两数的绝对值相等;<2>一个数的绝对值等于本身,这个数不是负数;<3>若|m|>m,则m<0;<4>若|a|>|b|,则a>b,正确的有( ) A<1><2><3> B<1><2<4> C<1><3><4> D<2><3><4> 5.一个数等于它的相反数的绝对值,则这个数是( ) A)正数和零 B)负数或零 C)一切正数 D)所有负数6.已知|a|>a,|b|>b,且|a|>|b|,则( ) A)a>b (B)a|π|>|-3.3| B 10 3 ->|-3.3|>|π| C|π|> 10 3 ->|-3.3| D 10 3 ->|π|>|-3.3| 8.若|a|>-a,则( ) (A)a>0 (B)a<0 (C)a<-1 (D)1(完整版)相反数与绝对值练习题