2010高三数学高考专题训练：导数及其应用(旧人教版)
【免费】2010高考数学试题精编：导数的应用(含解析)
第十三章 导数 (二 导数的应用)【考点阐述】利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值． 【考试要求】（3）理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．【考题分类】（一）选择题（共2题）1.（江西卷理12）如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面,记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为()S t ((0)0S =)，则导函数()y S t '=的图像大致为A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】本题考查函数图像、导数图、导数的实际意义等知识，重点考查的是对数学的探究能力和应用能力。
最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除C ；总面积一直保持增加，没有负的改变量，排除B ；考察A 、D 的差异在于两肩位置的改变是否平滑，考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断，选择A 。
2.（山东卷文8）已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为31812343y x x =-+-，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（A ）13万件 (B)11万件 (C) 9万件 (D)7万件【答案】C【解析】令导数'2810y x =-+>，解得09x <<；令导数'2810y x =-+<，解得9x >，所以函数31812343y x x =-+-在区间(0,9)上是增函数，在区间(9,)+∞上是减函数，所以在9x =处取极大值，也是最大值，故选C 。
【命题意图】本题考查导数在实际问题中的应用，属基础题。
（二）解答题（共35题）1.（安徽卷理17）设a 为实数，函数()22,x f x e x a x =-+∈R。
(Ⅰ)求()f x 的单调区间与极值；(Ⅱ)求证：当ln 21a >-且0x >时，221x e x ax >-+。
文科数学2010-2019高考真题分类训练专题三导数及其应用第八讲导数的综合应用
专题三 导数及其应用第八讲 导数的综合应用2019年1.（2019全国Ⅲ文20）已知函数32()22f x x ax =-+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0<a <3时，记()f x 在区间[0，1]的最大值为M ，最小值为m ，求M m -的取值范围.2.（2019北京文20）已知函数321()4f x x x x =-+． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程；（Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M （a ），当M （a ）最小时，求a 的值．3.（2019江苏19）设函数()()()(),,,f x x a x b x c a b c =---∈R 、()f 'x 为f （）的导函数．（1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；（2）若a ≠b ，b =c ，且f （）和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中，求f （）的极小值；（3）若0,01,1a b c =<=…，且f （）的极大值为M ，求证M ≤427． 4.（2019全国Ⅰ文20）已知函数f （）=2sin －cos －，f ′（）为f （）的导数． （1）证明：f ′（）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若∈[0，π]时，f （）≥a ，求a 的取值范围．5.（2019全国Ⅰ文20）已知函数f （）=2sin －cos －，f ′（）为f （）的导数． （1）证明：f ′（）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若∈[0，π]时，f （）≥a ，求a 的取值范围．6.（2019全国Ⅱ文21）已知函数()(1)ln 1f x x x x =---.证明：（1）()f x 存在唯一的极值点；（2）()=0f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.7.（2019天津文20）设函数()ln (1)x f x x a x e =--，其中a R ∈.（Ⅰ）若0a ≤，讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）若10a e<<， （i ）证明()f x 恰有两个零点（ii ）设x 为()f x 的极值点，1x 为()f x 的零点，且10x x >，证明0132x x ->.8.（2019浙江22）已知实数0a ≠，设函数()=ln 0.f x a x x > （1）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间； （2）对任意21[,)e x ∈+∞均有()f x ≤ 求a 的取值范围. 注：e=2.71828…为自然对数的底数.2010-2018年一、选择题1．（2017新课标Ⅰ）已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则A ．()f x 在(0,2)单调递增B ．()f x 在(0,2)单调递减C ．()y f x =的图像关于直线1x =对称D ．()y f x =的图像关于点(1,0)对称2．（2017浙江）函数()y f x =的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数()y f x =的图像可能是x xA．B．xxC．D．3．（2016年全国I卷）若函数1()sin2sin3f x x x a x=-+在(,)-∞+∞单调递增，则a的取值范围是A．[1,1]-B．1[1,]3-C．11[,]33-D．1[1,]3--4．（2016年四川）已知a为函数3()12f x x x=-的极小值点，则a=A．4 B．2 C．4 D．25．（2014新课标2）若函数()lnf x kx x=-在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是A．(],2-∞-B．(],1-∞-C．[)2,+∞D．[)1,+∞6．（2014新课标2）设函数()xf xmπ=．若存在()f x的极值点x满足()22200x f x m+<⎡⎤⎣⎦，则m的取值范围是A．()(),66,-∞-⋃+∞B．()(),44,-∞-⋃+∞C．()(),22,-∞-⋃+∞D．()(),11,-∞-⋃+∞7．（2014辽宁）当[2,1]x∈-时，不等式32430ax x x-++≥恒成立，则实数a的取值范围是A ．[5,3]--B ．9[6,]8--C ．[6,2]--D ．[4,3]--8．（2014湖南）若1201x x <<<，则A ．2121ln ln x x e e x x ->-B ．2121ln ln x x e e x x -<-C ．1221x x x e x e >D ．1221x x x e x e <9．（2014江西）在同一直角坐标系中，函数22a y ax x =-+与2322y a x ax x a =-++ ()a R ∈的图像不可能．．．的是B10．（2013新课标2）已知函数()32f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是A ．∃()00,0x R f x ∈=B ．函数()y f x =的图像是中心对称图形C ．若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间()0,x -∞单调递减D ．若0x 是()f x 的极值点，则()0'0f x =11．（2013四川）设函数()f x =a R ∈，e 为自然对数的底数）．若存在[0,1]b ∈使(())f f b b =成立，则a 的取值范围是（ ）A ．[1,]eB ．[1,1]e +C ．[,1]e e +D ．[0,1]12．（2013福建）设函数()f x 的定义域为R ，00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论一定正确的是A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤B ．0x -是()f x -的极小值点C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x --的极小值点13．（2012辽宁）函数x x y ln 212-=的单调递减区间为 A ．(－1,1] B ．(0,1]C ． [1,+)D ．(0,+)14．（2012陕西）设函数()x f x xe =，则A ．1x =为()f x 的极大值点B ．1x =为()f x 的极小值点C ．1x =-为()f x 的极大值点D ．1x =-为()f x 的极小值点15．（2011福建）若0a >，0b >，且函数32()422f x x ax bx =--+在1x =处有极值，则ab 的最大值等于A ．2B ．3C ．6D ．9 16．（2011浙江）设函数()()2,,f x ax bx c a b c R =++∈，若1x =-为函数()x f x e 的一个极值点，则下列图象不可能为()y f x =的图象是A B C D17．（2011湖南）设直线x t = 与函数2()f x x =，()ln g x x = 的图像分别交于点,M N ，则当MN 达到最小时t 的值为 A ．1 B ．12 C 5 D 2 二、填空题18．（2016年天津）已知函数()(2+1),()x f x x e f x '=为()f x 的导函数，则(0)f '的值为____.19．（2015四川）已知函数()2x f x =，2()g x x ax =+(其中a ∈R )．对于不相等的实数12,x x ，设m ＝1212()()f x f x x x --，n ＝1212()()g x g x x x --．现有如下命题： ①对于任意不相等的实数12,x x ，都有0m >；②对于任意的a 及任意不相等的实数12,x x ，都有0n >；③对于任意的a ，存在不相等的实数12,x x ，使得m n =；④对于任意的a ，存在不相等的实数12,x x ，使得m n =-．其中真命题有___________(写出所有真命题的序号)．20．（2011广东）函数32()31f x x x =-+在x =______处取得极小值．三、解答题21．（2018全国卷Ⅰ）已知函数()ln 1=--x f x ae x ．(1)设2x =是()f x 的极值点．求a ，并求()f x 的单调区间；(2)证明：当1e a ≥时，()0≥f x ．22．（2018浙江）已知函数()ln f x x =．(1)若()f x 在1x x =，2x (12x x ≠)处导数相等，证明：12()()88ln 2f x f x +>-；(2)若34ln 2a -≤，证明：对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点．23．（2018全国卷Ⅱ）已知函数321()(1)3=-++f x x a x x ． (1)若3=a ，求()f x 的单调区间；(2)证明：()f x 只有一个零点．24．（2018北京）设函数2()[(31)32]e xf x ax a x a =-+++．(1)若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线斜率为0，求a ；(2)若()f x 在1x =处取得极小值，求a 的取值范围． 25．（2018全国卷Ⅲ）已知函数21()e xax x f x +-=． (1)求曲线()y f x =在点(0,1)-处的切线方程；(2)证明：当1a ≥时，()e 0f x +≥．26．（2018江苏）记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．(1)证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”；(2)若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值；(3)已知函数2()f x x a =-+，e ()xb g x x =．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”，并说明理由．27．（2018天津）设函数123()=()()()f x x t x t x t ---，其中123,,t t t ∈R ，且123,,t t t 是公差为d 的等差数列．(1)若20,1,t d == 求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；(2)若3d =，求()f x 的极值；(3)若曲线()y f x =与直线2()y x t =---求d 的取值范围．28．（2017新课标Ⅰ）已知函数2()()x x f x e e a a x =--．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()0f x ≥，求a 的取值范围．29．（2017新课标Ⅱ）设函数2()(1)x f x x e =-．(1)讨论()f x 的单调性；(2)当0x ≥时，()1f x ax +≤，求a 的取值范围．30．（2017新课标Ⅲ）已知函数2()ln (21)f x x ax a x =+++．(1)讨论()f x 的单调性；(2)当0a <时，证明3()24f x a--≤． 31．（2017天津）设,a b ∈R ，||1a ≤．已知函数32()63(4)f x x x a a x b =---+，()e ()x g x f x =．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）已知函数()y g x =和e x y =的图象在公共点00(,)x y 处有相同的切线，（i ）求证：()f x 在0x x =处的导数等于0；（ii ）若关于的不等式()e x g x ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，求b 的取值范围．32．（2017浙江）已知函数()(x f x x e -=-1()2x ≥． （Ⅰ）求()f x 的导函数；（Ⅱ）求()f x 在区间1[,)2+∞上的取值范围．33．（2017江苏）已知函数32()1f x x ax bx =+++(0,)a b >∈R 有极值，且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：23b a >；34．（2016年全国I 卷）已知函数22()(2)(1)f x x e a x =-+-.(I)讨论()f x 的单调性；(II)若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.35．（2016年全国II 卷）已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--.(Ⅰ)当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程；(Ⅱ)若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围.36．（2016年全国III 卷）设函数()ln 1f x x x =-+．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）证明当(1,)x ∈+∞时，11ln x x x-<<； （III ）设1c >，证明当(0,1)x ∈时，1(1)x c x c +->．37．（2015新课标2）已知函数()ln (1)f x x a x =+-．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当()f x 有最大值，且最大值大于22a -时，求a 的取值范围．38．（2015新课标1）设函数()2e ln x f x a x =-．（Ⅰ）讨论()f x 的导函数()f x '零点的个数；（Ⅱ）证明：当0a >时()22lnf x a a a +≥． 39．（2014新课标2）已知函数32()32f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点（0，2）处的切线与x 轴交点的横坐标为－2．（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点．40．(2014山东）设函数())ln 2(2x xk x e x f x +-=（k 为常数， 2.71828e =L 是自然对数的底数）（Ⅰ）当0k ≤时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在()0,2内存在两个极值点，求k 的取值范围．41．（2014新课标1）设函数()()21ln 12a f x a x x bx a -=+-≠， 曲线()()()11y f x f =在点，处的切线斜率为0（Ⅰ）求b ； （Ⅱ）若存在01,x ≥使得()01a f x a <-，求a 的取值范围． 42．（2014山东）设函数1()ln 1x f x a x x -=++ ，其中a 为常数． （Ⅰ）若0a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性．43．(2014广东) 已知函数321()1()3f x x x ax a R =+++∈ （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0a <时，试讨论是否存在011(0,)(,1)22x ∈U ，使得01()()2f x f =．44．(2014江苏)已知函数x x x f -+=e e )(，其中e 是自然对数的底数．（Ⅰ）证明：)(x f 是R 上的偶函数；（Ⅱ）若关于x 的不等式)(x mf ≤1e -+-m x 在),0(+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）已知正数a 满足：存在),1[0+∞∈x ，使得)3()(0300x x a x f +-<成立．试比较1e -a与1e -a 的大小，并证明你的结论．45．（2013新课标1）已知函数2()()4x f x e ax b x x =+--，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处切线方程为44y x =+．（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）讨论()f x 的单调性，并求()f x 的极大值．46．（2013新课标2）已知函数2()x f x x e -=．（Ⅰ）求()f x 的极小值和极大值；（Ⅱ）当曲线()y f x =的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围．47．（2013福建）已知函数()1x a f x x e=-+（a R ∈，e 为自然对数的底数）． （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的极值；（Ⅲ）当1a =的值时，若直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，求k 的最大值．48．(2013天津)已知函数2l ()n f x x x =．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ） 证明：对任意的0t >，存在唯一的s ，使()t f s =．（Ⅲ）设（Ⅱ）中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =，证明：当2t e >时，有2ln ()15ln 2g t t <<． 49．（2013江苏）设函数()ln f x x ax =-，()x g x e ax =-，其中a 为实数．（Ⅰ）若()f x 在()1,+∞上是单调减函数，且()g x 在()1,+∞上有最小值，求a 的取值范围；（Ⅱ）若()g x 在()1,-+∞上是单调增函数，试求()f x 的零点个数，并证明你的结论．50．（2012新课标）设函数f ()=x e －a －2（Ⅰ）求()f x 的单调区间（Ⅱ）若1a =，k 为整数，且当0x >时，()()10x k f x x '-++>，求k 的最大值51．（2012安徽）设函数1()(0)x x f x ae b a ae=++> （Ⅰ）求()f x 在[0,)+∞内的最小值；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(2,(2))f 的切线方程为32y x =；求,a b 的值。
2010年高考数学一轮复习精品学案人教版A版――导数定积分
2010年高考数学一轮复习精品学案(人教版 A 版)导数、定积分一.【课标要求】1 •导数及其应用(1)导数概念及其几何意义①通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；②通过函数图像直观地理解导数的几何意义.(2)导数的运算①能根据导数定义求函数y=c, y=x, y=x2, y=x3, y=1/x, y=x的导数；②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如 f (ax+b))的导数；③会使用导数公式表•(3)导数在研究函数中的应用①结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；②结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。
(4)生活中的优化问题举例例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用.(5)定积分与微积分基本定理①通过实例(如求曲边梯形的面积、变力做功等)，从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念；②通过实例(如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系)，直观了解微积分基本定理的含义•(6)数学文化收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。
具体要求见本《标准》中”数学文化”的要求。
二.【命题走向】导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。
在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值，估计2010年高考继续以上面的几种形式考察不会有大的变化：(1)考查形式为：选择题、填空题、解答题各种题型都会考察，选择题、填空题一般难度不大，属于高考题中的中低档题，解答题有一定难度，一般与函数及解析几何结合，属于高考的中低档题；(2)2010年高考可能涉及导数综合题，以导数为数学工具考察：导数的物理意义及几何意义，复合函数、数列、不等式等知识。
2010-2019高考真题分类训练文数专题三 导数及其应用第八讲 导数的综合应用答案
专题三 导数及其应用 第八讲 导数的综合应用答案部分 2019年1.解析（1）2()622(3)f x x ax x x a '=-=-．令()0f x '=，得x =0或3ax =. 若a >0，则当(,0),3a x ⎛⎫∈-∞+∞⎪⎝⎭U 时，()0f x '>；当0,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭单调递增，在0,3a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减； 若a =0，()f x 在(,)-∞+∞单调递增； 若a <0，则当,(0,)3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭U 时，()0f x '>；当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在,,(0,)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减. （2）当03a <<时，由（1）知，()f x 在0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在,13a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，所以()f x 在[0,1]的最小值为32327a a f ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最大值为(0)=2f 或(1)=4f a -.于是 3227a m =-+，4,02,2,2 3.a a M a -<<⎧=⎨≤<⎩ 所以332,02,27,2 3.27a a a M m a a ⎧-+<<⎪⎪-=⎨⎪≤<⎪⎩ 当02a <<时，可知3227a a -+单调递减，所以M m -的取值范围是8,227⎛⎫⎪⎝⎭.当23a ≤<时，327a 单调递减，所以M m -的取值范围是8[,1)27.综上，M m -的取值范围是8[,2)27. 2.解析（Ⅰ）由321()4f x x x x =-+得23()214f x x x '=-+． 令()1f x '=，即232114x x -+=，得0x =或83x =．又(0)0f =，88()327f =，所以曲线()y f x =的斜率为1的切线方程是y x =与88273y x -=-，即y x =与6427y x =-．（Ⅱ）要证()6x f x x -剟，即证()60f x x--剟，令()(),[2,4]g x f x x x =-∈-．由321()4g x x x =-得23()24g'x x x =-． 令()0g'x =得0x =或83x =．(),()g'x g x 在区间[]2,4-上的情况如下：所以()g x 的最小值为6-，最大值为0． 故6()0g x -剟，即6()x f x x -剟．（Ⅲ）()()()[],2,4F x f x x a g x a x =--=-∈-，由（Ⅱ）知，()[]6,0g x ∈-， 当3a <-时，()(0)|(0)|3M F g a a a ≥=-=->； 当3a >-时，()(2)|(2)|63M F a g a a ≥-=--=+>； 当3a =-时，()3M a =． 综上，当()M a 最小时，3a =-．3.解析（1）因为a b c ==，所以3()()()()()f x x a x b x c x a =---=-．因为(4)8f =，所以3(4)8a -=，解得2a =．（2）因为b c =，所以2322()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-，从而2()3()3a b f 'x x b x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0f 'x =，得x b =或23a b x +=． 因为2,,3a ba b +都在集合{3,1,3}-中，且a b ≠， 所以21,3,33a b a b +===-．此时2()(3)(3)f x x x =-+，()3(3)(1)f 'x x x =+-．令()0f 'x =，得3x =-或1x =．列表如下：所以()f x 的极小值为2(1)(13)(13)32f =-+=-．（3）因为0,1a c ==，所以32()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++，2()32(1)f 'x x b x b =-++．因为01b <≤，所以224(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>，则()f 'x 有2个不同的零点，设为()1212,x x x x <．由()0f 'x =，得121133b b x x ++==．列表如下：所以()f x 的极大值()1M f x =． 解法一：()321111(1)M f x x b x bx ==-++()221111211(1)[32(1)]3999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭()2321(1)(1)227927b b b b b --+++=++23(1)2(1)(1)2272727b b b b +-+=-+(1)24272727b b +≤+≤．因此427M ≤． 解法二：因为01b <≤，所以1(0,1)x ∈．当(0,1)x ∈时，2()()(1)(1)f x x x b x x x =--≤-．令2()(1),(0,1)g x x x x =-∈，则1()3(1)3g'x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0g'x =，得1x =．列表如下：所以当13x =时，()g x 取得极大值，且是最大值，故max 14()327g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭．所以当(0,1)x ∈时，4()()27f x g x ≤≤，因此427M ≤．4.解析 （1）设()()g x f x '=，则()cos sin 1,()cos g x x x x g x x x '=+-=. 当π(0,)2x ∈时，()0g x '>；当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0g x '<，所以()g x 在π(0,)2单调递增，在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减. 又π(0)0,0,(π)22g g g ⎛⎫=>=-⎪⎝⎭，故()g x 在(0,π)存在唯一零点. 所以()f x '在(0,π)存在唯一零点.（2）由题设知(π)π,(π)0f a f =…，可得a ≤0.由（1）知，()f x '在(0,π)只有一个零点，设为0x ，且当()00,x x ∈时，()0f x '>；当()0,πx x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()00,x 单调递增，在()0,πx 单调递减.又(0)0,(π)0f f ==，所以，当[0,π]x ∈时，()0f x …. 又当0,[0,π]a x ∈„时，ax ≤0，故()f x ax …. 因此，a 的取值范围是(,0]-∞.5.解析 （1）设()()g x f x '=，则()cos sin 1,()cos g x x x x g x x x '=+-=. 当π(0,)2x ∈时，()0g x '>；当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0g x '<，所以()g x 在π(0,)2单调递增，在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减. 又π(0)0,0,(π)22g g g ⎛⎫=>=-⎪⎝⎭，故()g x 在(0,π)存在唯一零点. 所以()f x '在(0,π)存在唯一零点.（2）由题设知(π)π,(π)0f a f =…，可得a ≤0.由（1）知，()f x '在(0,π)只有一个零点，设为0x ，且当()00,x x ∈时，()0f x '>；当()0,πx x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()00,x 单调递增，在()0,πx 单调递减.又(0)0,(π)0f f ==，所以，当[0,π]x ∈时，()0f x …. 又当0,[0,π]a x ∈„时，ax ≤0，故()f x ax …. 因此，a 的取值范围是(,0]-∞.6.解析（1）()f x 的定义域为（0，+∞）.11()ln 1ln x f x x x x x-'=+-=-. 因为ln y x =单调递增，1y x=单调递减，所以()f x '单调递增，又(1)10f '=-<，1ln 41(2)ln 2022f -'=-=>，故存在唯一0(1,2)x ∈，使得()00f x '=.又当0x x <时，()0f x '<，()f x 单调递减；当0x x >时，()0f x '>，()f x 单调递增. 因此，()f x 存在唯一的极值点.（2）由（1）知()0(1)2f x f <=-，又()22e e 30f =->，所以()0f x =在()0,x +∞内存在唯一根x α=. 由01x α>>得011x α<<.又1111()1ln 10f f αααααα⎛⎫⎛⎫=---==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1α是()0f x =在()00,x 的唯一根. 综上，()0f x =有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数. 7.解析（Ⅰ）由已知，()f x 的定义域为(0,)+∞，且211e ()e (1)e x x xax f x a a x x x'-⎡⎤=-+-=⎣⎦， 因此当0a ≤时，21e 0x ax -> ，从而()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞内单调递增.（Ⅱ）（i ）由（Ⅰ）知21()x ax e f x x '-=.令2()1xg x ax e =-，由10a e<<，可知()g x 在(0,)+∞内单调递减，又(1)10g ae =->，且221111ln 1ln 1ln 0g a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故()0g x =在(0,)+∞内有唯一解，从而()0f x '=在(0,)+∞内有唯一解，不妨设为0x ，则011lnx a<<. 当()00,x x ∈时，()0()()0g x g x f x x x'=>=，所以()f x 在()00,x 内单调递增；当0(),x x ∈+∞时，()0()()0g x g x f x x x'=<=，所以()f x 在0(),x +∞内单调递减，因此0x 是()f x 的唯一极值点.令()ln 1h x x x =-+，则当1x >时，1()10h x x'=-<，故()h x 在(1,)+∞内单调递减，从而当1x >时，()()10h x h <= ，所以ln 1x x <-.从而1ln 111111ln ln ln ln 1e ln ln ln 1ln 0a f a h a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-+=< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又因为()0(1)0f x f >=，所以()f x 在(1,)+∞内有唯一零点.又()f x 在()00,x 内有唯一零点1，从而，()f x 在(1,)+∞内恰有两个零点.（ii ）由题意，()()010,0,f x f x '⎧=⎪⎨=⎪⎩即()120111ln 1x x ax e x a x e ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，从而1011201ln x x x x e x --=，即102011ln 1x x x x ex -=-.因为当1x >时，ln 1x x <- ，又101x x >>，故()102012011e 1x x x x x x --<=-，两边取对数，得120ln ln x x e x -<，于是()10002ln 21x x x x -<<-，整理得0132x x ->. 8.解析（Ⅰ）当34a =-时，3()ln 04f x x x =-+>．3()4f 'x x =-=， 所以，函数()f x 的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+∞）．（Ⅱ）由1(1)2f a≤，得04a <≤．当04a <≤时，()2f x a≤等价于22ln 0x a a --≥． 令1t a=，则t ≥．设()22ln ,g t t x t =≥，则()2ln g t g x ≥=．（i ）当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭≤()2ln g t g x ≥=．记1()ln ,7p x x x =≥，则1()p'x x ==. 故所以，()(1)0p x p ≥= ．因此，()2()0g t g p x ≥=≥．（ii ）当211,e 7x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()g t g =…．令211()(1),,e 7q x x x x ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，则()10q'x =>， 故()q x 在211,e 7⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以1()7q x q ⎛⎫ ⎪⎝⎭„．由（i ）得11(1)077q p p ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以，()<0q x ．因此()0g t g =>…．由（i ）（ii ）得对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，),()0t g t ∈+∞…，即对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()2f x a „． 综上所述，所求a的取值范围是0,4⎛ ⎝⎦．2010-2018年1．C 【解析】由2(1)()(2)x f x x x -'=-，02x <<知，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，排除A 、B ；又(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=， 所以()f x 的图象关于1x =对称，C 正确．2．D 【解析】由导函数的图象可知，()y f x =的单调性是减→增→减→增，排除 A 、C ；由导函数的图象可知，()y f x =的极值点一负两正，所以D 符合，选D ． 3．C 【解析】函数1()sin 2sin 3f x x x a x =-+在(,)-∞+∞单调递增，等价于2245()1cos2cos cos cos 0333f x x a x x a x '=-+=-++… 在(,)-∞+∞恒成立． 设cos x t =，则245()033g t t at =-++…在[1,1]-恒成立， 所以45(1)03345(1)033g a g a ⎧=-++⎪⎪⎨⎪-=--+⎪⎩……，解得1133a-剟．故选C ． 4．D 【解析】因为2()3123(2)(2)f x x x x '=-=+-，令()0f x '=，2x =±，当(,2)x ∈-∞-时()0f x '>，()f x 单调递增；当(2,2)x ∈-时()0f x '<，()f x 单调递减；当(2,)x ∈-+∞时()0f x '>，()f x 单调递增．所以2a =．故选D ． 5．D 【解析】∵()ln f x kx x =-，∴1()f x k x'=-，∵()f x 在（1，+∞）单调递增， 所以当1x > 时，1()0f x k x '=-≥恒成立，即1k x≥在（1，+∞）上恒成立，∵1x >，∴101x<<，所以k ≥1，故选D ．6．C 【解析】由正弦型函数的图象可知：()f x 的极值点0x 满足0()f x =，则22x k m πππ=+()k Z ∈，从而得01()()2x k m k Z =+∈．所以不等式()22200[]x f x m +<，即为2221()32k m m ++<，变形得21[1()]32m k -+>，其中k Z ∈．由题意，存在整数k 使得不等式21[1()]32m k -+>成立．当1k ≠-且0k ≠时，必有21()12k +>，此时不等式显然不能成立，故1k =-或0k =，此时，不等式即为2334m >，解得2m <-或2m >． 7．C 【解析】当(0,1]x ∈时，得321113()4()a x x x --+≥，令1t x=，则[1,)t ∈+∞，3234a t t t --+≥，令()g t =3234t t t --+，[1,)t ∈+∞，则()2981(1)(91)g x t t t t '=--+=-+-，显然在[1,)+∞上，()0g t '<，()g t 单调递减，所以max ()(1)6g t g ==-，因此6a -≥；同理，当[2,0)x ∈-时，得2a -≤．由以上两种情况得62a --≤≤．显然当0x =时也成立，故实数a 的取值范围为[6,2]--．8．C 【解析】设()ln xf x e x =-，则1()xf x e x'=-，故()f x 在(0,1)上有一个极值点，即()f x 在(0,1)上不是单调函数，无法判断1()f x 与2()f x 的大小，故A 、B 错；构造函数()x e g x x =，2(1)()x e x g x x -'=，故()g x 在(0,1)上单调递减，所以()()12g x g x >，选C ．9．B 【解析】当0a =，可得图象D ；记2()2af x ax x =-+， 232()2()g x a x ax x a a R =-++∈，取12a =，211()(1)24f x x =--，令()0g x '=，得2,23x =，易知()g x 的极小值为1(2)2g =，又1(2)4f =，所以(2)(2)g f >，所以图象A 有可能；同理取2a =，可得图象C 有可能；利用排除法可知选B ．10．C 【解析】若0c =则有(0)0f =，所以A 正确。
导数专题训练(含答案)
导数专题训练及答案专题一导数的几何意义及其应用导数的几何意义是高考重点考查的内容之一，常与解析几何知识交汇命题，主要题型是利用导数的几何意义求曲线上某点处切线的斜率或曲线上某点的坐标或过某点的切线方程，求解这类问题的关键就是抓住切点P(x0，f(x0))，P点的坐标适合曲线方程，P点的坐标也适合切线方程，P点处的切线斜率k＝f′(x0)．解题方法:(1) 解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”的问法．(2)解决“过某点的切线”问题，一般是设切点坐标为P(x0，y0)，然后求其切线斜率k＝f′(x0)，写出其切线方程．而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点．(3)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确．[例1]已知曲线y＝13x3＋43.(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程；(3)求斜率为4的曲线的切线方程．[变式训练]已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．专题二导数在研究函数单调性中的应用利用导数的符号判断函数的单调性，进而求出函数的单调区间，是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个重要应用，体现了数形结合思想．这类问题要注意的是f(x)为增函数⇔f′(x)≥0且f′(x)＝0的根有有限个，f(x)为减函数⇔f′≤0且f′(x)＝0的根有有限个．解题步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.②若已知函数f(x)的单调性，则将原问题转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题，再进行求解．[例2]设函数f(x)＝x e a－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间．[变式训练]设函数f(x)＝xekx(k≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增，求k的取值范围．专题三 导数在求函数极值与最值中的应用利用导数可求出函数的极值或最值，反之，已知函数的极值或最值也能求出参数的值或取值范围．该部分内容也可能与恒成立问题、函数零点问题等结合在一起进行综合考查，是高考的重点内容．解题方法：(1)运用导数求可导函数y ＝f(x)的极值的步骤：①先求函数的定义域，再求函数y ＝f(x)的导数f ′(x)；②求方程f ′(x)＝0的根；③检查f ′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值，可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．(3)当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值．[例3] 已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx 在区间(－2，1)内，当x ＝－1时取极小值，当x ＝23时取极大值．(1)求函数y ＝f (x )在x ＝－2时的对应点的切线方程；(2)求函数y ＝f (x )在[－2，1]上的最大值与最小值．[变式训练] 设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程与x 轴平行，求a ；(2)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围．专题四 导数在证明不等式中的应用在用导数方法证明不等式时，常构造函数，利用单调性和最值方法证明不等式．解题方法：一般地，如果证明f(x)＞g(x)，x ∈(a ，b)，可转化为证明F(x)＝f(x)－g(x)＞0，若F ′(x)＞0，则函数F(x)在(a ，b)上是增函数，若F(a)≥0，则由增函数的定义知，F(x)＞F(a)≥0，从而f(x)＞g(x)成立，同理可证f(x)＜g(x)，f(x)＞g(x)．[例4] 已知函数f (x )＝ln x －（x －1）22. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)证明：当x ＞1时，f (x )＜x －1.[变式训练] 已知函数f (x )＝a e x －ln x －1.(1)设x ＝2是f (x )的极值点，求a ，并求f (x )的单调区间；(2)证明：当a ≥1e 时，f (x )≥0.专题五 定积分及其应用定积分的基本应用主要有两个方面：一个是求坐标平面上曲边梯形的面积，另一个是求变速运动的路程(位移)或变力所做的功．高考中要求较低，一般只考一个小题．解题方法：(1)用微积分基本定理求定积分，关键是找出被积函数的原函数，这就需要利用求导运算与求原函数是互逆运算的关系来求原函数．(2) 利用定积分求平面图形的面积的步骤如下：①画出图形，确定图形范围；②解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限；③确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置；④计算定积分，求出平面图形面积．(3)利用定积分求加速度或路程(位移)，要先根据物理知识得出被积函数，再确定时间段，最后用求定积分方法求出结果．[例5] 已知抛物线y ＝x 2－2x 及直线x ＝0，x ＝a ，y ＝0围成的平面图形的面积为43，求a 的值．[变式训练] (1)若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则∫20f (x )d x ＝ ____；(2)在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝a (a ＞0)与抛物线y ＝x 2所围成的封闭图形的面积为823，则a ＝____．专题六 化归与转化思想在导数中的应用化归与转化就是在处理问题时，把待解决的问题或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已解决或易解决的问题，最终求得问题的解答．解题方法：与函数相关的问题中，化归与转化思想随处可见，如，函数在某区间上单调可转化为函数的导数在该区间上符号不变，不等式的证明可转化为最值问题等．[例6] 设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数． (1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．[变式训练] 如果函数f(x)＝2x2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．答案例1 解：(1)因为P (2，4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，所以在点P (2，4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4.所以曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y －13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20，所以切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)， 即y ＝x 20·x －23x 30＋43.因为点P (2，4)在切线上，所以4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，所以x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，所以(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.(3)设切点为(x 1，y 1)，则切线的斜率k ＝x 21＝4，得x 0＝±2.所以切点为(2，4)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－43， 所以切线方程为y －4＝4(x －2)和y ＋43＝4(x ＋2)，即4x －y －4＝0和12x －3y ＋20＝0.变式训练 解：(1)因为f (2)＝23＋2－16＝－6，所以点(2，－6)在曲线上．因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，所以在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝3×22＋1＝13，所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.(2)设切点坐标为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，所以直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16.又因为直线l 过点(0，0)，所以0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得x 30＝－8，所以x 0＝－2，y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，所以k ＝3×(－2)2＋1＝13，所以直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．例2 解：(1)因为f (x )＝x e a －x ＋bx ，所以f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b .依题设，知⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝2e ＋2，f ′（2）＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1.解得a ＝2，b ＝e.(2)由(1)知f (x )＝x e 2－x ＋e x .由f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x >0知，f ′(x )与1－x ＋e x －1同号． 令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1.所以，当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增． 故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g (x )>0，x ∈(－∞，＋∞)．综上可知，f ′(x )>0，x ∈(－∞，＋∞)． 故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．变式训练 解：(1)f ′(x )＝(1＋kx )e kx (k ≠0)， 令f ′(x )＝0得x ＝－1k (k ≠0)．若k >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 若k <0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减． (2)由(1)知，若k >0时，则当且仅当－1k ≤－1，即k ≤1，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．若k <0时，则当且仅当－1k ≥1，即k ≥－1时，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．综上可知，函数f (x )在(－1，1)上单调递增时，k 的取值范围是[－1，0)∪(0，1]．例3 解：(1)f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b .又x ＝－1，x ＝23分别对应函数取得极小值、极大值的情况，所以－1，23为方程－3x 2＋2ax ＋b ＝0的两个根．所以a ＝－12，b ＝2，则f (x )＝－x 3－12x 2＋2x . x ＝－2时，f (x )＝2，即(－2，2)在曲线上． 又切线斜率为k ＝f ′(x )＝－3x 2－x ＋2， f ′(－2)＝－8，所求切线方程为y －2＝－8(x ＋2)， 即为8x ＋y ＋14＝0.(2)x 在变化时，f ′(x )及f (x )的变化情况如下表： ↘↗↘则f (x )在[－2，1]上的最大值为2，最小值为－32.变式训练 解：(1)因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ， 所以f ′(x )＝[2ax －(4a ＋1)]e x ＋[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x .所以f ′(1)＝(1－a )e.由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1. 此时f (1)＝3e ≠0. 所以a 的值为1.(2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x .若a >12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝2处取得极小值．若a ≤12，则当x ∈(0，2)时，x －2<0，ax －1≤12x －1<0，所以f ′(x )>0.所以2不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.例4 (1)解：f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x，x ∈(0，＋∞)． 由f ′(x )＞0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－x 2＋x ＋1＞0，解得0＜x ＜1＋52. 故f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋52. (2)证明：令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(0，＋∞)． 则有F ′(x )＝1－x 2x .当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )＜0， 所以F (x )在[1，＋∞)上单调递减，故当x ＞1时，F (x )＜F (1)＝0，即当x ＞1时，f (x )＜x －1.变式训练 (1)解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x －1x .由题设知，f ′(2)＝0，所以a ＝12e 2. 从而f (x )＝12e 2e x －ln x －1，f ′(x )＝12e 2e x －1x . 当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增． (2)证明：当a ≥1e 时，f (x )≥e xe －ln x －1. 设g (x )＝e x e －ln x －1，则g ′(x )＝e x e －1x . 当0<x <1时，g ′(x )<0；当x >1时，g ′(x )>0. 所以x ＝1是g (x )的最小值点． 故当x >0时，g (x )≥g (1)＝0. 因此，当a ≥1e 时，f (x )≥0.例5 解：作出y ＝x 2－2x 的图象如图所示．(1)当a ＜0时，S ＝∫0a (x 2－2x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2|0a ＝－a 33＋a 2＝43，所以(a ＋1)(a －2)2＝0， 因为a ＜0，所以a ＝－1. (2)当a ＞0时， ①若0＜a ≤2，则S ＝－∫a 0(x 2－2x )d x ＝ －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2|a 0＝a 2－a 33＝43， 所以a 3－3a 2＋4＝0， 即(a ＋1)(a －2)2＝0. 因为a ＞0，所以a ＝2. ②当a ＞2时，不合题意． 综上a ＝－1或a ＝2.变式训练 解析：(1)因为f (x )＝x 3＋x 2f ′ 所以f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(x )， 所以f ′(1)＝3＋2f ′(1)， 所以f ′(1)＝－3，所以∫20f (x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫14x 4＋13x 3f ′（1）|20＝－4.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝a 可得A (－a ，a )，B (a ，a )，S ＝ (a －x 2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －13x 3|＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a －13a a ＝4a 323＝823， 解得a ＝2. 答案：(1)－4 (2)2例6 解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝e x·1＋ax 2－2ax （1＋ax 2）2.①当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0， 解得x 1＝32，x 2＝12. 综合①，可知： ↗↘↗所以，x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点． (2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a ＞0， 知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立， 因此Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0， 由此并结合a ＞0，知0＜a ≤1.变式训练 解析：显然函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， y ′＝4x －1x ＝4x 2－1x .由y ′＞0，得函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞； 由y ′＜0，得函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，12，由于函数在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以⎩⎨⎧k －1＜12＜k ＋1，k －1≥0，解得1≤k ＜32. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32。
专题16 导数及其应用小题综合(学生卷)-十年(2015-2024)高考真题数学分项汇编(全国通用)
专题16导数及其应用小题综合考点十年考情（2015-2024）命题趋势考点1导数的基本计算及其应用（10年4考）2020·全国卷、2018·天津卷2016·天津卷、2015·天津卷1.掌握基本函数的导数求解，会导数的基本计算，会求切线方程，会公切线的拓展，切线内容是新高考的命题热点，要熟练掌握2.会利用导数判断函数的单调性及会求极值最值，会根据极值点拓展求参数及其他内容，极值点也是新高考的命题热点，要熟练掌握3.会用导数研究函数的零点和方程的根，会拓展函数零点的应用，会导数与函数性质的结合，该内容也是新高考的命题热点，要熟练掌握4.会构建函数利用导数判断函数单调性比较函数值大小关系，该内容也是新高考的命题热点，要熟练掌握考点2求切线方程及其应用（10年10考）2024·全国甲卷、2023·全国甲卷、2022·全国新Ⅱ卷2022·全国新Ⅰ卷、2021·全国甲卷、2021·全国新Ⅱ卷2021·全国新Ⅰ卷、2020·全国卷、2020·全国卷2020·全国卷、2019·江苏卷、2019·全国卷2019·天津卷、2019·全国卷、2019·全国卷2018·全国卷、2018·全国卷、2018·全国卷2018·全国卷、2017·全国卷、2016·全国卷2016·全国卷、2015·全国卷、2015·陕西卷2015·陕西卷考点3公切线问题（10年3考）2024·全国新Ⅰ卷、2016·全国卷、2015·全国卷考点4利用导数判断函数单调性及其应用（10年6考）2024·全国新Ⅰ卷、2023·全国新Ⅱ卷、2023·全国乙卷2019·北京卷、2017·山东卷、2016·全国卷2015·陕西卷、2015·福建卷、2015·全国卷考点5求极值与最值及其应用（10年5考）2024·上海卷、2023·全国新Ⅱ卷、2022·全国乙卷2022·全国甲卷、2021·全国新Ⅰ卷、2018·全国卷2018·江苏卷考点6利用导数研究函数的极值点及其应用（10年5考）2022·全国新Ⅰ卷、2022·全国乙卷、2021·全国乙卷、2017·全国卷、2016·四川卷5.要会导数及其性质的综合应用，加强复习考点7导数与函数的基本性质结合问题（10年6考）2024·全国新Ⅰ卷、2023·全国新Ⅰ卷、2022·全国新Ⅰ卷2021·全国新Ⅱ卷、2017·山东卷、2015·四川卷考点8利用导数研究函数的零点及其应用（10年6考）2024·全国新Ⅱ卷、2023·全国乙卷、2021·北京卷、2018·江苏卷、2017·全国卷、2015·陕西卷考点9利用导数研究方程的根及其应用（10年3考）2024·全国甲卷、2021·北京卷、2015·安徽卷2015·全国卷、2015·安徽卷考点10构建函数利用导数判断函数单调性比较函数值大小关系（10年3考）2022·全国甲卷、2022·全国新Ⅰ卷、2021·全国乙卷考点01导数的基本计算及其应用1．（2020·全国·高考真题）设函数e ()xf x x a=+．若(1)4e f '=，则a =．2．（2018·天津·高考真题）已知函数f (x )=exlnx ，()'f x 为f (x )的导函数，则()'1f 的值为．3．（2016·天津·高考真题）已知函数()(2+1)e ,()x f x x f x '=为()f x 的导函数，则(0)f '的值为.4．（2015·天津·高考真题）已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞，其中a 为实数，()f x '为()f x 的导函数，若()13f '=，则a 的值为．考点02求切线方程及其应用1．（2024·全国甲卷·高考真题）设函数()2e 2sin 1x xf x x+=+，则曲线()y f x =在点()0,1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）A ．16B ．13C ．12D ．232．（2023·全国甲卷·高考真题）曲线e 1xy x =+在点e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为（）A ．e4y x =B ．e 2y x =C ．e e 44y x =+D ．e 3e24y x =+3．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）曲线ln ||y x =过坐标原点的两条切线的方程为，．4．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是．5．（2021·全国甲卷·高考真题）曲线2x 1y x 2-=+在点()1,3--处的切线方程为．6．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知函数12()1,0,0x f x e x x <=>-，函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是．7．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（）A ．e b a <B ．e a b <C ．0e ba <<D ．0e ab <<8．（2020·全国·高考真题）若直线l 与曲线yx 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（）A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +129．（2020·全国·高考真题）函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（）A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．23y x =-D ．21y x =+10．（2020·全国·高考真题）曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为.11．（2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是.12．（2019·全国·高考真题）已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则A ．,1a eb ==-B ．,1a eb ==C ．1,1a eb -==D ．1,1a eb -==-13．（2019·天津·高考真题）曲线cos 2xy x =-在点()0,1处的切线方程为.14．（2019·全国·高考真题）曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为．15．（2019·全国·高考真题）曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为A ．10x y --π-=B ．2210x y --π-=C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+=16．（2018·全国·高考真题）设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为()A ．2y x=-B ．y x=-C ．2y x=D ．y x=17．（2018·全国·高考真题）曲线()1e xy ax =+在点()01，处的切线的斜率为2-，则=a ．18．（2018·全国·高考真题）曲线2ln y x =在点()1,0处的切线方程为．19．（2018·全国·高考真题）曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为．20．（2017·全国·高考真题）曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为．21．（2016·全国·高考真题）已知()f x 为偶函数，当0x ≤时，1()e x f x x --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程是.22．（2016·全国·高考真题）已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程是．23．（2015·全国·高考真题）已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7，则=a .24．（2015·陕西·高考真题）设曲线x y e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为．25．（2015·陕西·高考真题）函数x y xe =在其极值点处的切线方程为.考点03公切线问题1．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a .2．（2016·全国·高考真题）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b =．3．（2015·全国·高考真题）已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切,则a=．考点04利用导数判断函数单调性及其应用1．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）（多选）设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（）A ．3x =是()f x 的极小值点B ．当01x <<时，()2()f x f x <C ．当12x <<时，4(21)0f x -<-<D ．当10x -<<时，(2)()f x f x ->2．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知函数()e ln xf x a x =-在区间()1,2上单调递增，则a 的最小值为（）．A ．2eB ．eC ．1e -D ．2e -3．（2023·全国乙卷·高考真题）设()0,1a ∈，若函数()()1xx f x a a =++在()0,∞+上单调递增，则a 的取值范围是.4．（2019·北京·高考真题）设函数f （x ）=e x +a e −x （a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是．5．（2017·山东·高考真题）若函数()e xf x (e=2.71828L ,是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M 性质,下列函数中具有M 性质的是A ．()2xf x -=B ．()2f x x=C ．()-3xf x =D ．()cos f x x=6．（2016·全国·高考真题）若函数()1sin 2sin 3f x x x a x =-+在R 上单调递增，则a 的取值范围是A ．[]1,1-B ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．11,3⎡⎤--⎢⎣⎦7．（2015·陕西·高考真题）设()sin f x x x =-，则()f x =A ．既是奇函数又是减函数B ．既是奇函数又是增函数C ．是有零点的减函数D ．是没有零点的奇函数8．（2015·福建·高考真题）若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>>，则下列结论中一定错误的是（）A ．11f k k ⎛⎫<⎪⎝⎭B ．111f k k ⎛⎫>⎪-⎝⎭C ．1111f k k ⎛⎫<⎪--⎝⎭D ．111k f k k ⎛⎫>⎪--⎝⎭9．（2015·全国·高考真题）设函数'()f x 是奇函数()f x （x R ∈）的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(1,0)(1,)-È+¥C ．(,1)(1,0)-∞-- D ．(0,1)(1,)⋃+∞考点05求极值与最值及其应用1．（2024·上海·高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，定义集合()()(){}0000,,,M x x x x f x f x ∞=∈∈-<R ，在使得[]1,1M =-的所有()f x 中，下列成立的是（）A ．存在()f x 是偶函数B ．存在()f x 在2x =处取最大值C ．存在()f x 是严格增函数D ．存在()f x 在=1x -处取到极小值2．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）若函数()()2ln 0b cf x a x a x x =++≠既有极大值也有极小值，则（）．A ．0bc >B ．0ab >C ．280b ac +>D ．0ac <3．（2022·全国乙卷·高考真题）函数()()cos 1sin 1f x x x x =+++在区间[]0,2π的最小值、最大值分别为（）A ．ππ22-，B ．3ππ22-，C ．ππ222-+，D ．3ππ222-+，4．（2022·全国甲卷·高考真题）当1x =时，函数()ln bf x a x x=+取得最大值2-，则(2)f '=（）A ．1-B ．12-C ．12D ．15．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）函数()212ln f x x x =--的最小值为.6．（2018·全国·高考真题）已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是．7．（2018·江苏·高考真题）若函数()()3221f x x ax a R =-+∈在()0,+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为．考点06利用导数研究函数的极值点及其应用1．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知函数3()1f x x x =-+，则（）A ．()f x 有两个极值点B ．()f x 有三个零点C ．点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线2．（2022·全国乙卷·高考真题）已知1x x =和2x x =分别是函数2()2e x f x a x =-（0a >且1a ≠）的极小值点和极大值点．若12x x <，则a 的取值范围是．3．（2021·全国乙卷·高考真题）设0a ≠，若a 为函数()()()2f x a x a x b =--的极大值点，则（）A ．a b<B ．a b>C ．2ab a <D ．2ab a >4．（2017·全国·高考真题）若2x =-是函数21()(1)e x f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为．A ．1-B ．32e --C ．35e -D ．15．（2016·四川·高考真题）已知a 为函数f （x ）=x 3–12x 的极小值点，则a=A ．–4B ．–2C ．4D ．2考点07导数与函数的基本性质结合问题1．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）（多选）设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（）A ．3x =是()f x 的极小值点B ．当01x <<时，()2()f x f x <C ．当12x <<时，4(21)0f x -<-<D ．当10x -<<时，(2)()f x f x ->2．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知函数()f x 的定义域为R ，()()()22f xy y f x x f y =+，则（）．A ．()00f =B ．()10f =C ．()f x 是偶函数D ．0x =为()f x 的极小值点3．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（）A ．(0)0f =B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -=4．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数():f x ．①()()()1212f x x f x f x =；②当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>；③()f x '是奇函数．5．（2017·山东·高考真题）若函数()x y e f x = 2.71828...e =（是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质，下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为①=2xf x -（）②=3xf x -（）③3=f x x （）④2=2f x x +（）6．（2015·四川·高考真题）已知函数f （x ）＝2x ，g （x ）＝x 2＋ax （其中a ∈R ）.对于不相等的实数x 1，x 2，设m ＝1212()()f x f x x x --，n ＝1212()()g x g x x x --，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m ＞0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n ＞0；③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ；④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n.其中真命题有（写出所有真命题的序号）.考点08利用导数研究函数的零点及其应用1．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）（多选）设函数32()231f x x ax =-+，则（）A ．当1a >时，()f x 有三个零点B ．当0a <时，0x =是()f x 的极大值点C ．存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D ．存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心2．（2023·全国乙卷·高考真题）函数()32f x x ax =++存在3个零点，则a 的取值范围是（）A ．(),2-∞-B ．(),3-∞-C ．()4,1--D ．()3,0-3．（2021·北京·高考真题）已知函数()lg 2f x x kx =--，给出下列四个结论：①若0k =，()f x 恰有2个零点；②存在负数k ，使得()f x 恰有1个零点；③存在负数k ，使得()f x 恰有3个零点；④存在正数k ，使得()f x 恰有3个零点．其中所有正确结论的序号是．4．（2018·江苏·高考真题）若函数()()3221f x x ax a R =-+∈在()0,+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为．5．（2017·全国·高考真题）已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则=a A ．12-B ．13C ．12D ．16．（2015·陕西·高考真题）对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是A ．1-是()f x 的零点B ．1是()f x 的极值点C ．3是()f x 的极值D ．点(2,8)在曲线()y f x =上考点09利用导数研究方程的根及其应用1．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为．2．（2021·北京·高考真题）已知函数()lg 2f x x kx =--，给出下列四个结论：①若0k =，()f x 恰有2个零点；②存在负数k ，使得()f x 恰有1个零点；③存在负数k ，使得()f x 恰有3个零点；④存在正数k ，使得()f x 恰有3个零点．其中所有正确结论的序号是．3．（2015·安徽·高考真题）函数()32f x ax bx cx d =+++的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A ．0a >，0b <，0c >，0d >B ．0a >，0b <，0c <，0d >C ．0a <，0b <，0c >，0d >D ．0a >，0b >，0c >，0d <4．（2015·全国·高考真题）设函数()(21)x f xe x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（）A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭5．（2015·安徽·高考真题）设30x ax b ++=，其中,a b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是.（写出所有正确条件的编号）①3,3a b =-=-；②3,2a b =-=；③3,2a b =->；④0,2a b ==；⑤1,2a b ==.考点10构建函数利用导数判断函数单调性比较函数值大小关系1．（2022·全国甲卷·高考真题）已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（）A ．c b a>>B ．b a c>>C ．a b c >>D ．a c b>>2．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，则（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c<a<bD ．a c b<<3．（2021·全国乙卷·高考真题）设2ln1.01a =，ln1.02b =，1c =-．则（）A ．a b c<<B ．b<c<aC ．b a c<<D ．c<a<b。
【导与练】2010-2012年高考数学 试题汇编 第二节 导数的应用 理(含解析)
第二节导数的应用利用导数研究函数的单调性考向聚焦利用导数研究函数的单调性属于高考的重点考查内容,常见考查方式有三种:(1)求不含参函数的单调区间(容易题);(2)求含参函数的单调区间(难点是对参数的讨论,中档题);(3)由函数的单调区间(包括两种情况①函数在某区间上是单调增函数或单调减函数,②函数在某区间上存在单调区间),求参数的取值X围.高考试卷中本考点通常出现在解答题的第(1)问,有时与不等式交汇,难度不大,所占分值6分左右,并且持续的重点考查备考指津重视对分类讨论和等价转化数学思想方法的训练,强化两种题型的训练:一是求函数的单调区间,二是已知函数的单调性求参数的取值X围1.(2011年某某卷,理4)若f(x)=x2-2x-4ln x,则f'(x)>0的解集为( )(A)(0,+∞)(B)(-1,0)∪(2,+∞)(C)(2,+∞)(D)(-1,0)解析:法一:由题意知x>0,f'(x)=2x-2-,则f'(x)>0等价于2x-2->0,即>0,又x>0,∴2x2-2x-4>0,∴x>2.故选C.法二:因为f(x)的定义域为(0,+∞),所以排除选项B、D,由于f'(x)=2x-2-,把x=1代入f'(x),得f'(x)<0,因为选项A中含有1,所以排除选项A,故选C.答案:C.2.(2011年某某卷,理11)函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f'(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为( )(A)(-1,1) (B)(-1,+∞)(C)(-∞,-1) (D)(-∞,+∞)解析:设g(x)=f(x)-(2x+4),则g'(x)=f'(x)-2>0,∴g(x)在R上单调递增,且g(-1)=f(-1)-(-2+4)=0,当x>-1时,g(x)>g(-1)=0,即f(x)>2x+4,故此不等式的解集为(-1,+∞).故选B.答案:B.3.(2012年全国大纲卷,理20,12分)设函数f(x)=ax+cos x,x∈[0,π].(1)讨论f(x)的单调性;(2)设f(x)≤1+sin x,求a的取值X围.解:(1)f'(x)=a-sin x,①当a≥1时,f'(x)≥0,且仅当a=1,x=时,f'(x)=0,所以f(x)在[0,π]上是增函数;②当a≤0时,f'(x)≤0,且仅当a=0,x=0或x=π时,f'(x)=0, 所以f(x)在[0,π]上是减函数;③当0<a<1时,由f'(x)=0解得x1=arcsin a,x2=π-arcsin a. 当x∈[0,x1)时,sin x<a,f'(x)>0,f(x)是增函数;当x∈(x1,x2)时,sin x>a,f'(x)<0,f(x)是减函数;当x∈(x2,π)时,sin x<a,f'(x)>0,f(x)是增函数.(2)由f(x)≤1+sin x得f(π)≤1,aπ-1≤1,所以a≤.令g(x)=sin x-x(0≤x≤),则g'(x)=cos x-.当x∈(0,arccos )时,g'(x)>0,当x∈(arccos ,)时,g'(x)<0.又g(0)=g()=0,所以g(x)≥0,即x≤sin x(0≤x≤).当a≤时,有f(x)≤x+cos x.①当0≤x≤时,x≤sin x,cos x≤1,所以f(x)≤1+sin x;②当≤x≤π时,f(x)≤x+cos x=1+(x-)-sin(x-)≤1+sin x.综上,a的取值X围是(-∞,].4.(2011年卷,理18)已知函数f(x)=(x-k)2.(1)求f(x)的单调区间;(2)若对于任意的x∈(0,+∞),都有f(x)≤,求k的取值X围.解:(1)f'(x)=2(x-k)·+(x-k)2··=[2(x-k)+(x-k)2]=·[2k(x-k)+(x-k)2]=·[(x-k)(2k+x-k)]=·(x2-k2),令f'(x)=0,∵>0,∴x=±k.当k>0时,f(x)与f'(x)的情况如下表所示x (-∞,-k) -k (-k,k) k (k,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) ↗↘0 ↗所以f(x)的单调递增区间是(-∞,-k)和(k,+∞),单调递减区间是(-k,k).当k<0时,f(x)与f'(x)的情况如下表所示:x (-∞,k) k (k,-k) -k (-k,+∞) f'(x) - 0 + 0 -f(x) ↘0 ↗↘∴f(x)的单调递减区间是(-∞,k)和(-k,+∞),单调递增区间是(k,-k).(2)当k>0时,∵f(k+1)==>e-1=,∴不会有“对于任意的x∈(0,+∞),都有f(x)≤”.当k<0时,由(1)可知,f(x)在(0,+∞)的最大值是f(-k)=,要使“对于任意x∈(0,+∞),f(x)≤”,则需f(x)max ≤,即≤,∴4k2≤1,即-≤k<0.故当任意x∈(0,+∞),f(x)≤时,k 的取值X围是[-,0).本题第(1)问就是含参函数单调区间的求解问题,考查了分类讨论的数学思想.利用导数研究函数的极(最)值考向聚焦该考点主要从以下几个角度进行考查:(1)求函数的极值和最值;(2)由函数的极值求参数;(3)已知函数在给定区间上恒成立,求参数的取值X围;(4)利用最值证明不等式.这类试题在高考试卷中选择题、填空题、解答题都有可能出现,难度中档,所占分值4~5分.这类试题是高考考查的热点,且主要涉及多项式函数、幂函数、分式函数、以e为底的对数函数及以e为底的指数函数等备考指津强化对求函数极值和最值的方法步骤的训练,重视分类讨论和等价转化思想方法的运用,注意恒成立问题的解法训练5.(2012年某某卷,理7,5分)设函数f(x)=xe x,则( )(A)x=1为f(x)的极大值点(B)x=1为f(x)的极小值点(C)x=-1为f(x)的极大值点(D)x=-1为f(x)的极小值点解析:f'(x)=e x+xe x=(1+x)e x由f'(x)>0得1+x>0,x>-1,f'(x)<0得1+x<0,x<-1,∴f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,∴x=-1是f(x)的一个极小值点.答案:D.6.(2012年全国大纲卷,理10,5分)已知函数y=x3-3x+c的图像与x轴恰有两个公共点,则c 等于( )(A)-2或2 (B)-9或3(C)-1或1 (D)-3或1解析:∵函数y=x3-3x+c与x轴恰有两个公共点,∴函数y=x3-3x+c必有一个极值点为0(如图)或y'=3x2-3=3(x+1)(x-1),令y'=0,得x=±1,取x=1,令y=x3-3x+c=0,解得c=2,取x=-1,令y=x3-3x+c=0,解得c=-2.总之,c=±2.答案:A.7.(2012年某某卷,理8,5分)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=(1-x)f'(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )(A)函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)(B)函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)(C)函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)(D)函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)解析:由y=(1-x)f'(x)的图象知,x<-2或x>2时,f'(x)>0,-2<x<2时,f'(x)<0,∴f(x)在(-∞,-2)、(2,+∞)上单调递增,在(-2,2)上单调递减,∴f(x)极大值=f(-2),f(x)极小值=f(2).答案:D.8.(2011年某某卷,理8)设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=ln x的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时t的值为( )(A)1 (B)(C)(D)解析:如图:|MN|=f(t)-g(t)=t2-ln t(t>0),令h(t)=t2-ln t(t>0),h'(t)=2t-=,令h'(t)>0,得t>,令h'(t)<0,得0<t<,∴h(t)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增.∴当t=时,h(t)取最小值,即t=时,|MN|取最小值,故选D.答案:D.9.(2012年某某数学,14,5分)已知正数a,b,c满足:5c-3a≤b≤4c-a,cln b≥a+cln c,则的取值X围是.解析:本题考查不等式的性质、和导数的应用,考查化归和转化的能力.把5c-3a≤b≤4c-a变形为5·-3≤≤4·-1,∴5·-3≤4·-1,∴0<≤2;∴-3<5·-3≤≤4·-1≤7①又cln b≥a+cln c,∴c(ln b-ln c)>a,∴ln>-ln.设x=,h(x)=x-ln x(x≥),利用导数可以证明h(x)在(,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,∴h(x)≥h(1)=1,故ln≥1,∴≥e,②由①②可得e≤≤7.答案:[e,7]本题把不等式与导数隐含关系结合在一起,考法独特.10.(2011年某某卷,理12)函数f(x)=x3-3x2+1在x=处取得极小值.解析:f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f'(x)=0得x=0或x=2,令f'(x)>0得x<0或x>2,令f'(x)<0得0<x<2.∴当x=2时取得极小值.答案:211.(2012年卷,理18,13分)已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值;(2)当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-∞,-1]上的最大值.解:(1)由f(x)=ax2+1,g(x)=x3+bx,得f'(x)=2ax,g'(x)=3x2+b,∵曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,∴∴解得a=b=3,c=4,∴所求a,b的值为a=3,b=3.(2)令F(x)=f(x)+g(x)=x3+ax2+bx+1=x3+ax2+x+1,∴F'(x)=3x2+2ax+.令F'(x)=0得x1=-,x2=-.∵a>0,∴-<-.∴x,F(x),F'(x)的变化如下表:x(-∞,-) -(-,-) -(-,+∞) F'(x) + 0 - 0 + F(x) ↗极大值↘极小值↗∴f(x)+g(x)的递增区间为(-∞,-),(-,+∞),递减区间为(-,-).①当-≥-1,即0<a≤2时,函数F(x)在(-∞,-1]上递增,F(x)在区间(-∞,-1]上的最大值为F(-1)=a-a2.②当-<-1且-≥-1,即2<a≤6时,函数F(x)在区间(-∞,-)内递增,在区间(-,-1]上递减,F(x)在(-∞,-1]上的最大值为F(-)=1.③当-<-1,即a>6时,函数F(x)在区间(-∞,-)内递增,在(-,-)上递减,在(-,-1]上递增,又F(-)-F(-1)=1-a+=(-1)2>0,∴F(x)在区间(-∞,-1]上的最大值为F(-)=1.综上所述:当0<a≤2时,f(x)+g(x)的最大值为a-a2,当a≥2时,f(x)+g(x)的最大值为1.本题考查的是导数中较为常规的题目,考查的切线、单调性、极值、最值问题都是课本中要求的重点内容,也是学生掌握比较好的知识点,而题目的难点在于第二问中,利用单调性求极值和端点值比较求最值,考查了分类讨论思想的运用.12.(2012年某某卷,理16,13分)设f(x)=aln x++x+1,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的极值.解:(1)∵f(x)=aln x++x+1,∴f'(x)=-+,∵曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴,∴f'(1)=0,∴a-+=0,∴a=-1.(2)a=-1时,f(x)=-ln x++x+1,f'(x)=--+=(x>0)由f'(x)==0得x=1或x=-(舍去)f(x)与f'(x)的变化情况如下:x (0,1) 1 (1,+∞)f'(x) - 0 +f(x) 递减 3 递增由表知:f(x)极小值=f(1)=3.本题主要考查导数的几何意义及导数的应用,利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考必考知识,难度适中.13.(2012年某某卷,理21,14分)设a<1,集合A={x∈R|x>0},B={x∈R|2x2-3(1+a)x+6a>0},D=A∩B.(1)求集合D(用区间表示);(2)求函数f(x)=2x3-3(1+a)x2+6ax在D内的极值点.解:(1)设g(x)=2x2-3(1+a)x+6a,对称轴方程为x=,Δ=9(1+a)2-4×2×6a=9a2-30a+9=9(a-3)(a-),当a≤-1时x=≤0,g(0)=6a<0,方程2x2-3(1+a)x+6a=0有两根x1=<0,x2=>0.∴B=(-∞,x1)∪(x2,+∞),∴D=(x2,+∞)=(,+∞).当-1<a≤0时,x=>0,g(0)=6a≤0,方程2x2-3(1+a)x+6a=0有两根x1=≤0,x2=>0,∴B=(-∞,x1)∪(x2,+∞),∴D=(x2,+∞)=(,+∞),当0<a≤时x=>0,g(0)=6a>0,Δ≥0,方程2x2-3(1+a)x+6a=0有两根x1=,x2=满足0<x1≤x2,∴B=(-∞,x1)∪(x2,+∞),∴D=(0,x1)∪(x2,+∞)=(0,)∪(,+∞).当<a<1时,方程2x2-3(1+a)x+6a=0的判别式Δ=9a2-30a+9<0,B=R,∴D=(0,+∞).综上所述,当a≤0时,D=(,+∞)当0<a≤时,D=(0,)∪(,+∞),当<a<1时,D=(0,+∞).(2)∵f'(x)=6[x2-(1+a)x+a]=6(x-a)(x-1)(a<1)∴由f'(x)=0得x=a或x=1,由f'(x)>0(a<1)得x<a或x>1,f'(x)<0(a<1)得,a<x<1,∴f(x)在(-∞,a)上是增函数,在(a,1)上是减函数,(1,+∞)上是增函数;∴f(x)有极小值点1,极大值点a.当a≤0时,若<1,解得a>,矛盾.故f(x)在D内无极值点当0<a≤时,由于<1<显然成立,若a<成立,则3-a>,解得0<a<.∴f(x)在D内只有一个极大值点a;当<a<1时,f(x)在(0,a)上单调递增,在(a,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增成立.∴f(x)在D内有两个极值点a和1,综上,当a≤0时,f(x)在D内无极值点;当0<a≤时,f(x)在D内仅有一个极大值点a,无极小值点;当<a<1时,f(x)在D内有两个极值点,极大值点a,极小值点1.以集合、不等式为载体,考查导数的应用,借助于分类讨论思想,针对不同的a值,讨论f(x)的极值点是否存在,综合性强,难度较大.14.(2012年某某卷,理22,14分)已知a>0,b∈R,函数f(x)=4ax3-2bx-a+b.(1)证明:当0≤x≤1时,①函数f(x)的最大值为|2a-b|+a;②f(x)+|2a-b|+a≥0;(2)若-1≤f(x)≤1对x∈[0,1]恒成立,求a+b的取值X围.解:(1)①f'(x)=12ax2-2b=12a(x2-).当b≤0时,有f'(x)≥0,此时f(x)在[0,+∞)上单调递增.当b>0时,f'(x)=12a(x+)(x-),此时f(x)在[0,]上单调递减,在[,+∞)上单调递增.所以当0≤x≤1时,f(x)max=max|f(0),f(1)|=max|-a+b,3a-b|==|2a-b|+a.②由于0≤x≤1,故当b≤2a时,f(x)+|2a-b|+a=f(x)+3a-b=4ax3-2bx+2a≥4ax3-4ax+2a=2a(2x3-2x+1),当b>2a时,f(x)+|2a-b|+a=f(x)-a+b=4ax3+2b(1-x)-2a>4ax3+4a(1-x)-2a=2a(2x3-2x+1).设g(x)=2x3-2x+1,0≤x≤1,则g'(x)=6x2-2=6(x-)(x+),于是1 x 0(0,) (,1) g'(x) - 0 +g(x) 1 ↘极小值↗ 1所以,g(x)min=g()=1->0.所以当0≤x≤1时,2x3-2x+1>0.故f(x)+|2a-b|+a≥2a(2x3-2x+1)≥0.(2)由①知,当0≤x≤1,f(x)max=|2a-b|+a,所以|2a-b|+a≤1若|2a-b|+a≤1,则由②知f(x)≥-(|2a-b|+a)≥-1.所以-1≤f(x)≤1,对任意0≤x≤1恒成立的充要条件是即或在直角坐标系aＯb中,(*)所表示的平面区域为如图所示的阴影部分,其中不包括点B.作一组平行直线a+b=t(t∈R),得-1<a+b≤3,所以a+b的取值X围是(-1,3].本题主要考查利用导数研究函数的性质、线性规划等基础知识,同时考查推理论证能力,运算能力及分析问题解决问题的能力,考查分类讨论的数学思想及学生的创新意识. 15.(2012年某某卷,理20,14分)已知函数f(x)=e x+ax2-ex,a∈R.(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求函数f(x)的单调区间;(2)试确定a的取值X围,使得曲线y=f(x)上存在唯一的点P,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.解:(1)由于f'(x)=e x+2ax-e,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线斜率k=f'(1)=2a=0,所以a=0,即f(x)=e x-ex.此时f'(x)=e x-e,由f'(x)=0得x=1.当x∈(-∞,1)时,有f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,有f'(x)>0.所以f(x)的单调递减区间为(-∞,1),单调递增区间为(1,+∞).(2)设点P(x0,f(x0)),曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y=f'(x0)(x-x0)+f(x0),令g(x)=f(x)-f'(x0)(x-x0)-f(x0),故曲线y=f(x)在点P处的切线与曲线只有一个公共点P等价于函数g(x)有唯一零点.因为g(x0)=0,且g'(x)=f'(x)-f'(x0)=e x-+2a(x-x0).①若a≥0,当x>x0时,g'(x)>0,则x>x0时,g(x)>g(x0)=0;当x<x0时,g'(x)<0,则x<x0时,g(x)>g(x0)=0.故g(x)只有唯一零点x=x0.由P的任意性,a≥0不合题意.②若a<0,令h(x)=e x-+2a(x-x0),则h(x0)=0,h'(x)=e x+2a.令h'(x)=0,得x=ln(-2a),记x*=ln(-2a),则当x∈(-∞,x*)时,h'(x)<0,从而h(x)在(-∞,x*)内单调递减;当x∈(x*,+∞)时,h'(x)>0,从而h(x)在(x*,+∞)内单调递增.a.若x0=x*,由x∈(-∞,x*)时,g'(x)=h(x)>h(x*)=0;x∈(x*,+∞)时.g'(x)=h(x)>h(x*)=0.知g(x)在R上单调递增.所以函数g(x)在R上有且只有一个零点x=x*.b.若x0>x*,由于h(x)在(x*,+∞)内单调递增,且h(x0)=0,则当x∈(x*,x0)时有g'(x)=h(x)<h(x0)=0,g(x)>g(x0)=0;任取x1∈(x*,x0)有g(x1)>0.又当x∈(-∞,x1)时,易知g(x)=e x+ax2-(e+f'(x0))x-f(x0)+x0f'(x0)<+ax2-(e+f'(x0))x-f(x0)+x0f'(x0)=ax2+bx+c,其中b=-(e+f'(x0)),c=-f(x0)+x0f'(x0).由于a<0,则必存在x2<x1,使得a+bx2+c<0.所以g(x2)<0.故g(x)在(x2,x1)内存在零点.即g(x)在R上至少有两个零点.③若x0<x*,仿②并利用e x>,可证函数g(x)在R上至少有两个零点.综上所述,当a<0时,曲线y=f(x)上存在唯一点P(ln(-2a),f(ln(-2a))),曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.16.(2011年某某卷,理16)设f(x)=,其中a为正实数.(1)当a=时,求f(x)的极值点;(2)若f(x)为R上的单调函数,求a的取值X围.解:(1)f'(x)=e x,当a=时,若f'(x)=0,则4x2-8x+3=0,解得x1=,x2=,则当x变化时,f(x),f'(x)的变化情况如下表:x(-∞,) (,) (,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) ↗极大值↘极小值↗所以x1=是极小值点,x2=是极大值点.(2)若f(x)为R上的单调函数,则f'(x)在R上不变号,由a>0知ax2-2ax+1≥0在R上恒成立,则,解得0<a≤1,∴a的取值X围是(0,1].17.(2011年某某卷,理19)设f(x)=-x3+x2+2ax.(1)若f(x)在(,+∞)上存在单调递增区间,求a的取值X围;(2)当0<a<2时,f(x)在[1,4]上的最小值为-,求f(x)在该区间上的最大值. 解:(1)由f'(x)=-x2+x+2a=-(x-)2++2a,当x ∈[,+∞)时,f'(x)的最大值为f'()=+2a.令+2a>0,得a>-,所以,当a>-时,f(x)在(,+∞)上存在单调递增区间.(2)令f'(x)=0得两根x1=,x2=,所以f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增,当0<a<2时,有x1<1<x2<4,所以f(x)在[1,4]上的最大值为f(x2),又f(4)-f(1)=-+6a<0,即f(4)<f(1).所以f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)=8a-=-,得a=1,x 2=2,从而f(x)在[1,4]上的最大值为f(2)=.导数的综合应用考向聚焦导数的综合应用主要从以下角度考查:(1)利用导数研究多项式函数、幂函数、分式函数、以e为底的对数函数及以e为底的指数函数的性质以及求参数等综合问题;(2)求最值,以实际问题中的最优化问题形式呈现;(3)把导数与函数、方程、不等式、数列等结合起来综合考查;实际问题多为中低档难度的题目,综合考查则常在解答题的最后一问以压轴题呈现,具有一定的难度,所占分值为12~14分,为高考必考内容备考指导数的综合应用问题以导数应用为核心,以参数处理为主要特征,所以要重视参数处理能力的训练,重视代数变形技能的训练,重视问题等价转化能力的训练.强化以下几种题型的训练:(1)最值与不等式恒成立问题;(2)方程有解及解的个数讨论问题;(3)实际津应用问题18.(2012年新课标全国卷,理12,5分)设点P在曲线y=e x上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为( )(A)1-ln 2 (B)(1-ln 2)(C)1+ln 2 (D)(1+ln 2)解析:本题主要考查导数的综合应用及互反函数的简单性质.由题意知,y=e x与y=ln(2x)是一对互反函数,二者图象关于直线y=x对称,结合图象知,当|PQ|最小时,记点P应是斜率为1的直线与曲线y=e x的切点,设P(x0,y0),点P到直线y=x的距离为|PH|,易知此时|PQ|=2|PH|,由y'=e x知k=y'==1,∴x0=ln 2,∴P(ln 2,1),∴点P到直线x-y=0的距离|PH|==.∴|PQ|=2|PH|=(1-ln 2).答案:B.结合两个函数解析式的形式特征,应考虑到二者互为反函数,故其图象关于直线y=x对称,结合图象的对称性易知:当|PQ|最小时,点P应是斜率为1的直线与y=e x的切点,点Q是斜率为1的直线与y=ln(2x)的切点,并且|PQ|也等于某切点到直线y=x的距离的2倍,联系导数即可.19.(2011年某某卷,理10)函数f(x)=ax m(1-x)n在区间[0,1]上的图象如图所示,则m,n的值可能是( )(A)m=1,n=1(B)m=1,n=2(C)m=2,n=1(D)m=3,n=1解析:由选择项分析当n=1时,f(x)=ax m(1-x)=a(x m-x m+1),当m=1时,f(x)=a(x-x2),对称轴为x=,不合题意.当m=2时,f(x)=a(x2-x3),令f'(x)=a(2x-3x2)=0得x=0或x=,不合题意.当m=3时,f(x)=a(x3-x4),令f'(x)=a(3x2-4x3)=0得x=0或x=,不合题意.故选B.答案:B.20.(2012年某某数学,18,16分)若函数y=f(x)在x=x0处取得极大值或极小值,则称x0为函数y=f(x)的极值点.已知a,b是实数,1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点.(1)求a和b的值;(2)设函数g(x)的导函数g'(x)=f(x)+2,求g(x)的极值点;(3)设h(x)=f(f(x))-c,其中c∈[-2,2],求函数y=h(x)的零点个数.解:(1)由题设知f'(x)=3x2+2ax+b,且f'(-1)=3-2a+b=0,f'(1)=3+2a+b=0,解得a=0,b=-3.(2)由(1)知,f(x)=x3-3x.因为f(x)+2=(x-1)2(x+2),所以g'(x)=0的根为x1=x2=1,x3=-2,于是函数g(x)的极值点只可能是1或-2.当x<-2时,g'(x)<0;当-2<x<1时,g'(x)>0,故-2是g(x)的极值点.当-2<x<1或x>1时,g'(x)>0,故1不是g(x)的极值点.所以g(x)的极值点为-2.(3)令f(x)=t,则h(x)=f(t)-c,先讨论关于x的方程f(x)=d根的情况,d∈[-2,2].当|d|=2时,由(2)可知,f(x)=-2的两个不同的根为1或-2,注意到f(x)是奇函数,所以f(x)=2的两个不同的根为-1或2.当|d|<2时,因为f(-1)-d=f(2)-d=2-d>0,f(1)-d=f(-2)-d=-2-d<0,所以-2,-1,1,2都不是f(x)=d的根.由(1)知f'(x)=3(x+1)(x-1).①当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,于是f(x)是单调递增函数,从而f(x)>f(2)=2,此时f(x)=d无实根.同理,f(x)=d在(-∞,-2)上无实根.②当x∈(1,2)时,f'(x)>0,于是f(x)是单调增函数,又f(1)-d<0,f(2)-d>0,y=f(x)-d的图象不间断,所以f(x)=d在(1,2)内有唯一实根.同理,f(x)=d在(-2,-1)内有唯一实根.③当x∈(-1,1)时,f'(x)<0,故f(x)是单调减函数,又f(-1)-d>0,f(1)-d<0,y=f(x)-d的图象不间断,所以f(x)=d在(-1,1)内有唯一实根.由上可知:当|d|=2时,f(x)=d有两个不同的根x1,x2满足|x1|=1,|x2|=2;当|d|<2时,f(x)=d有三个不同的根x3,x4,x5满足|x i|<2,i=3,4,5.现考虑函数y=h(x)的零点.(ⅰ)当|c|=2时,f(t)=c有两个根t1,t2满足|t1|=1,|t2|=2,而f(x)=t1有三个不同的根,f(x)=t2有两个不同的根,故y=h(x)有5个零点.(ⅱ)当|c|<2时,f(t)=c有三个不同的根t3,t4,t5满足|t i|<2,i=3,4,5,而f(x)=t i(i=3,4,5)有三个不同的根,故y=h(x)有9个零点.综上可知,当|c|=2时,函数y=h(x)有5个零点;当|c|<2时,函数y=h(x)有9个零点.本题把函数、不等式、方程结合在一起考查,设计新颖,考查了数学知识的灵活转化能力.21.(2012年某某卷,理21,14分)若函数h(x)满足①h(0)=1,h(1)=0;②对任意a∈[0,1],有h(h(a))=a;③在(0,1)上单调递减.则称h(x)为补函数.已知函数h(x)=((λ>-1,p>0).(1)判断函数h(x)是否为补函数,并证明你的结论;(2)若存在m∈[0,1],使h(m)=m,称m是函数h(x)的中介元.记p=(n∈N+)时h(x)的中介元为x n,且S n=x i,若对任意的n∈N+,都有S n<,求λ的取值X围;(3)当λ=0,x∈(0,1)时,函数y=h(x)的图像总在直线y=1-x的上方,求p的取值X围. 解:(1)函数h(x)是补函数,证明如下:①h(0)=(=1,h(1)=(=0;②对任意a∈[0,1],有h(h(a))=h(()=(=[=a;③令g(x)=(h(x))p,有g'(x)==,因为λ>-1,p>0,所以当x∈(0,1)时,g'(x)<0,所以函数g(x)在(0,1)上单调递减,故函数h(x)在(0,1)上单调递减.(2)当p=(n∈N+),由h(x)=x,得λ+2-1=0(*)(ⅰ)当λ=0时,中介元x n=()n;(ⅱ)当λ>-1且λ≠0时,由(*)得=∈(0,1)或=∉[0,1];得中介元x n=()n.综合(ⅰ)(ⅱ):对任意的λ>-1,中介元为x n=()n(n∈N+),于是,当λ>-1时,有S n=()i=[1-()n]<,当n无限增大时,()n无限接近于0,S n无限接近于,故对任意的n∈N+,S n<成立等价于≤,即λ∈[3,+∞).(3)当λ=0时,h(x)=(1-x p,中介元为x p=(,(ⅰ)当0<p≤1时,≥1,中介元为x p=(≤,所以点(x p,h(x p))不在直线y=1-x的上方,不符合条件;(ⅱ)当p>1时,依题意只需(1-x p>1-x在x∈(0,1)时恒成立,也即x p+(1-x)p<1在x∈(0,1)时恒成立,设ϕ(x)=x p+(1-x)p,x∈[0,1],则ϕ'(x)=p[x p-1-(1-x)p-1],由ϕ'(x)=0得x=,且当x∈(0,)时,ϕ'(x)<0,当x∈(,1)时,ϕ'(x)>0,又因为ϕ(0)=ϕ(1)=1,所以当x∈(0,1)时,ϕ(x)<1恒成立.综上,p的取值X围是(1,+∞).22.(2012年某某卷,理20,14分)已知函数f(x)=x-ln(x+a)的最小值为0,其中a>0.(1)求a的值;(2)若对任意的x∈[0,+∞),有f(x)≤kx2成立,某某数k的最小值;(3)证明-ln(2n+1)<2(n∈N*).(1)解:f'(x)=1-=(x>-a),由f'(x)=0得x=1-a>-a,当x变化时,f'(x)、f(x)的变化情况如下表:x (-a,1-a) 1-a (1-a,+∞) f'(x) - 0 +f(x) ↘极小值↗所以f(x)在x=1-a处取得最小值,故f(1-a)=1-a=0,∴a=1.(2)解:当k≤0时,取x=1,有f(1)=1-ln 2>0,故k≤0不合题意.当k>0时,令g(x)=f(x)-kx2,即g(x)=x-ln(x+1)-kx2,则g'(x)=-2kx=,由g'(x)=0得x1=0或x2==-1>-1,①当x2=≤0,即k≥时,g'(x)<0在(0,+∞)上恒成立,故g(x)在[0,+∞)上单调递减,所以对任意x∈[0,+∞)时,g(x)≤g(0)=0,所以f(x)≤kx2在[0,+∞)上恒成立.∴k≥符合题意.②当x2=>0,即0<k<时,x∈(0,)时,g'(x)>0.故g(x)在(0,)上单调递增,故当取x0∈(0,)时,g(x0)>g(0)=0,所以f(x0)≤k不成立.∴0<k<时,不合题意.综上所述k≥,即k的最小值是.(3)证明:当n=1时,不等式左边=2-ln 3<2=右边,所以n=1时,不等式成立.当n≥2时,f()=[-ln(1+)]=-[ln(2i+1)-ln(2i-1)]=-ln(2n+1),在2中取k=,得f(x)≤(x≥0),故f()≤<(i∈N*,i≥2), 所以-ln(2n+1)=f()=f(2)+f()<2-ln 3+=2-ln 3+(-)=2-ln 3+1-<2,综上,-ln(2n+1)<2,n∈N*.本小题主要考查导数的运算,利用导数研究函数单调性,利用函数的最值解决恒成立问题,函数与不等式交汇问题的解法,同时考查分类讨论思想,考查综合分析和解决问题的能力,属难题.23.(2012年某某卷,理22,13分)已知函数f(x)=(k为常数,e=2.71828…是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.(1)求k的值;(2)求f(x)的单调区间;(3)设g(x)=(x2+x)f'(x),其中f'(x)为f(x)的导函数.证明:对任意x>0,g(x)<1+e-2.解:(1)由f(x)=,得f'(x)=,x∈(0,+∞),由于曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线与x轴平行,所以f'(1)=0,因此k=1.(2)由(1)得f'(x)=(1-x-xln x),x∈(0,+∞),令h(x)=1-x-xln x,x∈(0,+∞),当x∈(0,1)时,h(x)>0;当x∈(1,+∞)时,h(x)<0,又e x>0,所以x∈(0,1)时,f'(x)>0;x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,因此f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).(3)证明:因为g(x)=(x2+x)f'(x),所以g(x)=(1-x-xln x),x∈(0,+∞).因此对任意x>0,g(x)<1+e-2等价于1-x-xln x<(1+e-2).由(2),h(x)=1-x-xln x,x∈(0,+∞),所以h'(x)=-ln x-2=-(ln x-ln e-2),x∈(0,+∞),因此当x∈(0,e-2)时,h'(x)>0,h(x)单调递增;当x∈(e-2,+∞)时,h'(x)<0,h(x)单调递减;所以h(x)的最大值为h(e-2)=1+e-2,故1-x-xln x≤1+e-2,设ϕ(x)=e x-(x+1),因为ϕ'(x)=e x-1=e x-e0,所以x∈(0,+∞)时,ϕ'(x)>0,ϕ(x)单调递增,ϕ(x)>ϕ(0)=0,故x∈(0,+∞)时,ϕ(x)=e x-(x+1)>0,即>1,所以1-x-xln x≤1+e-2<(1+e-2)因此,对任意x>0,g(x)<1+e-2.24.(2012年新课标全国卷,理21,12分)已知函数f(x)满足f(x)=f'(1)e x-1-f(0)x+x2.(1)求f(x)的解析式及单调区间;(2)若f(x)≥x2+ax+b,求(a+1)b的最大值.解:(1)由已知得f'(x)=f'(1)e x-1-f(0)+x∴f'(1)=f'(1)-f(0)+1∴f(0)=1又f(0)=f'(1)e-1∴f'(1)=e∴f(x)=e x-x+x2由于f'(x)=e x-1+x,当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0∴f(x)单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为(0,+∞).(2)由已知可得e x-(a+1)x≥b①①若a+1<0,则对任意常数b,当x<0,且x<时可得e x-(a+1)x<b,此时①式不成立.②若a+1=0时,则(a+1)b=0③若a+1>0,设g(x)=e x-(a+1)x则g'(x)=e x-(a+1)当x∈(-∞,ln(a+1))时g'(x)<0;当x∈(ln(a+1),+∞)时,g'(x)>0∴g(x)在(-∞,ln(a+1))上单调递减,在(ln(a+1),+∞)上单调递增.∴g(x=g(ln(a+1))=a+1-(a+1)ln(a+1)所以f(x)≥x2+ax+b等价于b≤a+1-(a+1)ln(a+1)②∴(a+1)b≤(a+1)2-(a+1)2ln(a+1)令h(a)=(a+1)2-(a+1)2ln(a+1)则h'(a)=(a+1)[1-2ln(a+1)]∴h(a)在(-1,-1)上单调递增,在(-1,+∞)上单调递减故h(a)在a=-1处取得最大值从而h(a)≤,即(a+1)b≤当a=-1,b=时②式成立故f(x)≥x2+ax+b.综上知(a+1)b的最大值为.本题解答时,思路切入并不困难,尤其第(1)问,体现了导数运算及巧妙的赋值处理,来求得f'(1)=e,f(0)=1;但是第(2)问的解决难度相当大,貌似恒成立问题,但涉及两个参数,(a+1)b与x无法做到分离,基本感觉无思路状态,面对这种问题,分类讨论思想起了关键作用.最后还涉及视常数a为变量的转换问题,更突显了题目的难度与深度.25.(2012年某某卷,理22,13分)已知函数f(x)=e ax-x,其中a≠0.(1)若对一切x∈R,f(x)≥1恒成立,求a的取值集合.(2)在函数f(x)的图象上取定两点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))(x1<x2),记直线AB的斜率为k,问:是否存在x0∈(x1,x2),使f'(x0)>k成立?若存在,求x0的取值X围;若不存在,请说明理由. 解:(1)若a<0,则对一切x>0,f(x)=e ax-x<1,这与题设矛盾.又a≠0,故a>0而f'(x)=ae ax-1,令f'(x)=0得x=ln,当x<ln时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x>ln时,f'(x)>0,f(x)单调递增.故当x=ln时,f(x)取最小值f(ln)=-ln.于是对一切x∈R,f(x)≥1恒成立,当且仅当-ln≥1令g(t)=t-tln t,则g'(t)=-ln t.当0<t<1时,g'(t)>0,g(t)单调递增;当t>1时,g'(t)<0,g(t)单调递减,故当t=1时,g(t)取最大值g(1)=1.因此,当且仅当=1,即a=1时,①式成立.综上所述,a的取值集合为{1}.(2)由题意知,k==-1.令ϕ(x)=f'(x)-k=ae ax-,则ϕ(x1)=-[-a(x2-x1)-1]ϕ(x2)=[-a(x1-x2)-1].令F(t)=e t-t-1,则f'(t)=e t-1.当t<0时,F'(t)<0,F(t)单调递减;当t>0时,F'(t)>0,F(t)单调递增.故当t≠0时,F(t)>F(0)=0,即e t-t-1>0.从而-a(x2-x1)-1>0,-a(x1-x2)-1>0,又>0,>0,所以ϕ(x1)<0,ϕ(x2)>0.因为函数y=ϕ(x)在区间[x1,x2]上的图象是连续不断的一条曲线,所以存在c∈(x1,x2),使得ϕ(c)=0.又ϕ'(x)=a2e ax>0,ϕ(x)单调递增,故这样的c是唯一的,且c=ln.故当且仅当x∈(ln,x2)时,f'(x)>k综上所述,存在x0∈(x1,x2),使f'(x0)>k成立,且x0的取值X围为(ln,x2). 26.(2012年某某卷,理21,12分)设f(x)=ln(x+1)++ax+b(a,b∈R,a,b为常数),曲线y=f(x)与直线y=x在(0,0)点相切.(1)求a,b的值;(2)证明:当0<x<2时,f(x)<.(1)解:由y=f(x)过(0,0)点,得b=-1.由题设知y=f(x)在(0,0)点的切线斜率为,又y'|x=0=(++a)|x=0=+a,得a=0.(2)证明:法一:由基本不等式,当x>0时,2<x+1+1=x+2,故<+1.记h(x)=f(x)-,则h'(x)=+-=-<-=,令g(x)=(x+6)3-216(x+1),则当0<x<2时,g'(x)=3(x+6)2-216<0.因此g(x)在(0,2)内是减函数,又由g(0)=0,得g(x)<0,所以h'(x)<0.因此h(x)在(0,2)内是减函数,又h(0)=0,故h(x)<0.于是当0<x<2时,f(x)<,法二:由(1)知f(x)=ln(x+1)+-1,由基本不等式,当x>0时,2<x+1+1=x+2.故<+1.①令k(x)=ln(x+1)-x,则k(0)=0,k'(x)=-1=<0,故k(x)<0,即ln(x+1)<x.②由①②得,当x>0时,f(x)<x.记h(x)=(x+6)f(x)-9x,则当0<x<2时,h'(x)=f(x)+(x+6)f'(x)-9<x+(x+6)(+)-9=[3x(x+1)+(x+6)(2+)-18(x+1)]<[3x(x+1)+(x+6)(3+)-18(x+1)]=(7x-18)<0.因此h(x)在(0,2)内单调递减,又h(0)=0,所以h(x)<0,即f(x)<.27.(2011年某某卷,理18)某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+10(x-6)2,其中3<x<6,a为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.(1)求a的值;(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.解:(1)∵x=5时,y=11,∴+10=11,∴a=2.(2)由(1)可知,该商品每日的销售量y=+10(x-6)2,所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)=(x-3)[+10(x-6)2]=2+10(x-3)(x-6)2(3<x<6)从而,f'(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]=30(x-4)(x-6).于是,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x (3,4) 4 (4,6)f'(x) + 0 -f(x) 单调递增极大值42 单调递减由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点.所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42.答:当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.28.(2011年某某卷,理19)已知a>0,函数f(x)=ln x-ax2,x>0.(f(x)的图象连续不断) (1)求f(x)的单调区间;(2)当a=时,证明:存在x0∈(2,+∞),使f(x0)=f();(3)若存在均属于区间[1,3]的α,β,且β-α≥1,使f(α)=f(β),证明≤a≤.(1)解:f'(x)=-2ax=,x∈(0,+∞).令f'(x)=0,解得x=.当x变化,f'(x)、f(x)的变化情况如下表:x(0,) (,+∞) f'(x) + 0 -f(x) ↗极大值↘∴f(x)的单调递增区间是(0,),f(x)的单调递减区间是(,+∞).(2)证明:当a=时,f(x)=ln x-x2,由(1)得f(x)在(0,2)内单调递增,令g(x)=f(x)-f(),由于f(x)在(0,2)内单调递增,故f(2)>f(),即g(2)>0.取x'=e>2,则g(x')=<0,∴存在x0∈(2,x'),使g(x0)=0,即存在x0∈(2,+∞),使f(x0)=f().(3)证明:由f(α)=f(β)及(1)可知α<<β,从而f(x)在[α,β]上的最小值为f(α),又β-α≥1,α,β∈[1,3],∴1≤α≤2≤β≤3.∴,即.∴≤a≤.(2011年某某卷,理22)设函数f(x)=(x-a)2ln x,a∈R.(1)若x=e为y=f(x)的极值点,某某数a;(2)某某数a的取值X围,使得对任意的x∈(0,3e],恒有f(x)≤4e2成立.注:e为自然对数的底数.难题特色:本题(2)把不等式恒成立与求参数取值X围结合在一起命题.蕴含其中的还有利用导数研究函数的极值和最值问题、解不等式问题、分类讨论思想等.难点突破:对于第(2)问,①考虑到当x∈(0,1]时,ln x≤0,从而f(x)≤0,满足f(x)≤4e2,因此可只研究x∈(1,3e]的情况;②为求f(x)在(1,3e]上的最大值,可先研究f(x)在(1,3e]上的单调性;③对f(x)求导后,引进函数h(x)=2ln x+1-,先分析h(x)的单调性及零点情况,再得出f(x)的单调性;④解关于a的不等式时注意运用相关函数的单调性.解:(1)求导得f'(x)=2(x-a)ln x+=(x-a)(2ln x+1-).因为x=e是f(x)的极值点,所以f'(e)=(e-a)(3-)=0,解得a=e或a=3e,经检验,符合题意,所以a=e或a=3e.(2)①当0<x≤1时,对于任意的实数a,恒有f(x)≤0<4e2成立.②当1<x≤3e时,由题意,首先有f(3e)=(3e-a)2ln(3e)≤4e2,解得3e-≤a≤3e+.由(1)知f'(x)=(x-a)(2ln x+1-),令h(x)=2ln x+1-,则h(1)=1-a<0,h(a)=2ln a>0,且h(3e)=2ln(3e)+1-≥2ln(3e)+1-=2(ln(3e)-)>0.又h(x)在(0,+∞)内单调递增,所以函数h(x)在(0,+∞)内有唯一零点,记此零点为x0,则1<x0<3e,1<x0<a.从而,当x∈(0,x0)时,f'(x)>0;当x∈(x0,a)时,f'(x)<0;当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0,即f(x)在(0,x0)内单调递增,在(x0,a)内单调递减,在(a,+∞)内单调递增.所以要使f(x)≤4e2对x∈(1,3e]恒成立,只要成立.由h(x0)=2ln x0+1-=0,知a=2x0ln x0+x0.(iii)将(iii)代入(i)得4ln3x0≤4e2.又x0>1,注意到函数x2ln3x在(1,+∞)内单调递增,故1<x0≤e.再由(iii)以及函数2xln x+x在(1,+∞)内单调递增,可得1<a≤3e.由(ii)解得,3e-≤a≤3e+.所以3e-≤a≤3e.综上,a的取值X围为3e-≤a≤3e.(2011年某某卷,理21、文21,12分)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为立方米,且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元.设该容器的建造费用为y千元.(1)写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域;(2)求该容器的建造费用最小时的r.解:(1)设容器的容积为V,由题意知V=+πr2l,又V=,∴+πr2l=1分∴l=-=(-r)2分由l≥2r,得r≤2,∴0<r≤23分所以建造费用y=2πrl×3+4πr2c=2πr×(-r)×3+4πr2c4分∴y=-8πr2+4πcr2(0<r≤2)5分第(1)问赋分细则:(1)定义域0<r≤2直接写出没有求解过程扣1分;(2)函数表达式直接写出没有过程扣4分;(3)求函数表达式的代入过程对,但结果整理错误,扣1分.(2)由(1)得y'=--16πr+8πcr=(cr3-2r3-20)=(r3-)7分①当0<<2,即c>时,令y'=0,∴r=.∴当r∈(0,)时,y'<0,函数单调递减,当r∈(,+∞)时,y'>0,函数单调递增.∴r=是函数的极小值点,也是最小值点.9分②当≥2,即3<c≤时,当r∈(0,2),y'<0,函数单调递减;∴r=2是函数的最小值点.11分综上所述,当3<c≤时,容器的建造费用最小时r=2;当c>时,容器的建造费用最小时r=.12分第(2)问赋分细则:(1)导数求对得2分,导函数零点(等价形式也可以)求对得1分;(2)讨论的①中0<<2,c>二者出现一个即得1分;(3)若不讨论,直接判断导数符号得到结果扣4分;(4)若在分类讨论时,c的X围求解错误,其他全对,扣掉解不等式1分和结论1分;(5)解题最后没有结论扣1分.通过高考阅卷统计分析,造成失分的原因如下:(1)解题思路对,解题跨度大,跨过得分点.比如:本题不写+πr2l=,直接写出l=-=(-r);(2)忽略定义域的求解过程;忽略求函数解析式的求解过程.比如:本题没有解题过程,直接写出y=-8πr2+4πcr2,0<r≤2;(3)没有讨论意识,找不到讨论的原因和标准,比如本题误认为0<≤2,对不进行讨论;(4)没有写结论的习惯,比如本题第(1)问不写y=-8πr2+4πcr2(0<r≤2);第(2)问不写综上所述,当3<c≤时,容器的建造费用最小时r=2;当c>时,容器的建造费用最小时r=.。
十年真题(2010-2019)高考数学(理)分类汇编专题04 导数及其应用(新课标Ⅰ卷)(原卷版)
专题04导数及其应用历年考题细目表解答题2014 导数综合问题2014年新课标1理科21解答题2013 导数综合问题2013年新课标1理科21解答题2012 导数综合问题2012年新课标1理科21解答题2011 导数综合问题2011年新课标1理科21解答题2010 导数综合问题2010年新课标1理科21历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科05】函数f（）在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．2．【2018年新课标1理科05】设函数f（）＝3+（a﹣1）2+a．若f（）为奇函数，则曲线y＝f（）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y＝﹣2 B．y＝﹣C．y＝2 D．y＝3．【2016年新课标1理科07】函数y＝22﹣e||在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．4．【2015年新课标1理科12】设函数f（）＝e（2﹣1）﹣a+a，其中a＜1，若存在唯一的整数0使得f（0）＜0，则a的取值范围是（）A．[）B．[）C．[）D．[）5．【2014年新课标1理科11】已知函数f（）＝a3﹣32+1，若f（）存在唯一的零点0，且0＞0，则实数a 的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2）6．【2012年新课标1理科10】已知函数f（），则y＝f（）的图象大致为（）A．B．C．D．7．【2012年新课标1理科12】设点P在曲线上，点Q在曲线y＝ln（2）上，则|PQ|最小值为（）A．1﹣ln2 B．C．1+ln2 D．8．【2011年新课标1理科09】由曲线y，直线y＝﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．69．【2010年新课标1理科03】曲线y在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（）A．y＝2+1 B．y＝2﹣1 C．y＝﹣2﹣3 D．y＝﹣2﹣210．【2019年新课标1理科13】曲线y＝3（2+）e在点（0，0）处的切线方程为．11．【2013年新课标1理科16】若函数f（）＝（1﹣2）（2+a+b）的图象关于直线＝﹣2对称，则f（）的最大值为．12．【2010年新课标1理科13】设y＝f（）为区间[0，1]上的连续函数，且恒有0≤f（）≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组N个）区间[0，1]上的均匀随机数1，2，…N和y1，y2，…y N，由此得到N个点（i，y i）（i＝1，2，…，N），再数出其中满足y i≤f（i）（i＝1，2，…，N）的点数N1，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为．13．【2019年新课标1理科20】已知函数f（）＝sin﹣ln（1+），f′（）为f（）的导数．证明：（1）f′（）在区间（﹣1，）存在唯一极大值点；（2）f（）有且仅有2个零点．14．【2018年新课标1理科21】已知函数f（）+aln．（1）讨论f（）的单调性；（2）若f（）存在两个极值点1，2，证明：a﹣2．15．【2017年新课标1理科21】已知函数f（）＝ae2+（a﹣2）e﹣．（1）讨论f（）的单调性；（2）若f（）有两个零点，求a的取值范围．16．【2016年新课标1理科21】已知函数f（）＝（﹣2）e+a（﹣1）2有两个零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设1，2是f（）的两个零点，证明：1+2＜2．17．【2015年新课标1理科21】已知函数f（）＝3+a，g（）＝﹣ln（i）当a为何值时，轴为曲线y＝f（）的切线；（ii）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（）＝min{f（），g（）}（＞0），讨论h（）零点的个数．18．【2014年新课标1理科21】设函数f（）＝aeln，曲线y＝f（）在点（1，f（1））处得切线方程为y＝e（﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（）＞1．19．【2013年新课标1理科21】已知函数f（）＝2+a+b，g（）＝e（c+d），若曲线y＝f（）和曲线y＝g（）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y＝4+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若≥﹣2时，f（）≤g（），求的取值范围．20．【2012年新课标1理科21】已知函数f（）满足f（）＝f′（1）e﹣1﹣f（0）2；（1）求f（）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值．21．【2011年新课标1理科21】已知函数f（），曲线y＝f（）在点（1，f（1））处的切线方程为+2y﹣3＝0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）如果当＞0，且≠1时，f（），求的取值范围．22．【2010年新课标1理科21】设函数f（）＝e﹣1﹣﹣a2．（1）若a＝0，求f（）的单调区间；（2）若当≥0时f（）≥0，求a的取值范围．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：导数的概念及运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题，定积分与微积分基本定理.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：导数的运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题，定积分，预测明年本考点题目会比较稳定.备考方向以知识点导数的运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题，定积分为重点较佳.最新高考模拟试题1．已知函数10()ln ,0x x f x x x x⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，＜＞，若()()F x f x kx =-有3个零点，则k 的取值范围为( ) A ．(21e -，0) B ．(12e -，0) C ．(0，12e ) D ．(0，21e) 2．已知,(0,)2παβ∈，sin sin 0βααβ->，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．2παβ+< B ．2παβ+= C ．αβ< D ．αβ>3．已知函数()ln 2f x a x x =-+（a 为大于1的整数），若()y f x =与(())y f f x =的值域相同，则a 的最小值是（ ）（参考数据：ln20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln5 1.6094≈）A ．5B ．6C ．7D ．84．已知实数a ，b ，c ，d 满足ln 12113a c b d +-==+-，则22()()a c b d -+-的最小值为（ ） A ．8 B ．4 C ．2 D5．若函数()ln f x x a x =在区间()1,+∞上存在零点，则实数a 的取值范围为( )A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．()0,∞+ D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭6．已知函数1()2x a f x e ax x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，若对任意(0,)x ∈+∞，都有()()f x xf x '≥-成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ B．(,-?C ．3,2e 轹÷-+?ê÷ê滕D ．)é-+?êë7．已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x >时，有()()22f x xf x x '>+，则不等式()()()22018+2018420x f x f +-<＋的解集为( )A ．(),2016-∞-B ．()2016,2012--C ．(),2018-∞-D ．()2016,0- 8．已知函数35791131()135791113x x x x x x f x x =+-+-+-+，则使不等式(1)0f x ->成立的x 的最小整数为（ ）A ．-3B ．-2C ．-1D ．09．直线y ax =是曲线1ln y x =+的切线，则实数a =____．10．函数()2x f x ae x =-与()21g x x x =--的图象上存在关于x 轴的对称点，则实数a 的取值范围为_________．11．已知函数()1x f x e =-，若存在实数,()a b a b <使得()()f a f b =，则2+a b 的最大值为________.12．已知实数a ，b ，c 满足2121a c b c e a b e +--+++≤（e 为自然对数的底数），则22a b +的最小值是_______．13．已知直线x t =与曲线()()()ln 1,x f x x g x e =+=分别交于,M N 两点，则MN 的最小值为________14．曲线cos y a x =在6x π=处的切线l 的斜率为12，则切线l 的方程为_____． 15．已知函数22,0,(),0,x x x f x e x ⎧≤=⎨>⎩若方程2[()]f x a =恰有两个不同的实数根12,x x ，则12x x +的最大值是______．16．已知函数31,0()2,0ax x f x x ax x x -≤⎧=⎨-+->⎩的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围______. 17．已知函数()||ln (0)f x x a x a =-->.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）比较222222ln 2ln 3ln 23n n++⋯+ 与(1)(21)2(1)n n n -++的大小(n N +∈且)2n >，并证明你的结论. 18．已知函数()()21ln 2f x x x ax a =++∈R ． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若12,x x 为()f x 的两个极值点，证明：()()21212+44282f x f x a a x x f +++⎛⎫-> ⎪⎝⎭. 19．已知函数()ln(1)1(1)f x ax x a =+-+…. （Ⅰ）当1a =时，求()f x 的最大值； （Ⅱ）若1()e f x e +…对1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围. 20．对于函数()y f x =的定义域D ，如果存在区间[],m n D ⊆，同时满足下列条件：①()f x 在()()f x g x +上是单调函数；②当[],x m n ∈时，()f x 的值域为[]2,2m n ，则称区间()()f x g x +是函数()f x 的“单调倍区间”．已知函数()ln 2,0()02,0a x x x f x a a x ->⎧⎪=>≤ （1）若2a =，求()f x 在点()(),e f e 处的切线方程；（2）若函数()f x 存在“单调倍区间”，求a 的取值范围．21．已知函数2()(0)4x x a f x e a x ++=⋅≥+. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当[0,1)b ∈时，设函数22(3)()(2)(2)x e b x g x x x +-+=>-+有最小值()h b ，求()h b 的值域. 22．已知函数1()x f x xe alnx -=-（无理数 2.718e =…）．（1）若()f x 在(1,)+∞单调递增，求实数a 的取值范围：（2）当0a =时，设2()()e g x f x x x x=⋅--， 证明：当0x >时，ln 2ln 2()122g x ⎛⎫>-- ⎪⎝⎭．。
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数学20分钟专题突破
导数及其应用
一.选择题 1．函数)2(log log 2x x y x +=的值域是( )
A ．]1,(--∞
B ．),3[+∞
C ．]3,1[-
D ．),3[]1,(+∞⋃--∞
2.设函数()1
x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若M 属于P,则实数a 的取值范围是
( )
A.(-∞,1)
B.(0,1)
C.(1,+∞)
D. [1,+∞)
3.过坐标原点且与x 2
+y 2
-4x +2y +2
5=0相切的直线的方程为 ( )
A.y =-3x 或y =3
1x B. y =-3x 或y =-3
1x C.y =-3x 或y =-3
1x D. y =3x 或y =3
1x
4.若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）
A ．430x y --=
B ．450x y +-=
C ．430x y -+=
D ．430x y ++=
5.函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ． 4个 二.填空题
1.由曲线2
3x y -=与直线x y 2=所围成图形的面积为 。
2.函数1,(10)()cos ,(0)2
x x f x x x π+-≤<⎧⎪
=⎨≤≤⎪⎩的图象与x 轴所围成的封
闭图形的面积为
3.已知函数f （x ）是以2为周期的偶函数，且当)10(log ,12)(,)1,0(2f x f x x
则时-=∈ 的值为
三.解答题
设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值． （Ⅰ）求a 、b 的值；
（Ⅱ）若对于任意的[03]x ∈，，都有2
()f x c <成立，求c 的取值范围．
思路启迪：利用函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值构造方程组求a 、b 的值．
答案： 一.选择题 1. 选D
2. [解答过程]由0,,1;, 1.
1
x a x a a x x -<∴<<<<-当a>1时当a<1时
()()()
/
/2211,0.11111.
x x a x a x a a y y x x x x a ------⎛⎫=∴===> ⎪--⎝⎭--∴> 综上可得M 时, 1.a ∴>
故选C
3. [解答过程]解法1：设切线的方程为,
0.y kx kx y =
∴-= 又()()()22521,2,1.2
x y -++=∴-圆心为
21
3830., 3.3
k k k k =
∴+-=∴==- 1
,3.3
y x y x ∴==-或
故选A.
解法2:由解法1知切点坐标为1331(,),,,
2
222⎛
⎫- ⎪⎝⎭
由 ()()/
/
2
2
//
/
/113231(,)(,)22
22
5(2)1,22(2)210,2
.
1
13,.3
13,.3
x x
x x x x x y x y y x y y k y k y y x y x -⎛⎫⎡⎤-++= ⎪⎣⎦⎝⎭∴-++=-∴=-+∴==-==∴=-=
故选A.
4. [解答过程]与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=，即4y x =在某一点的导数为4，而34y x '=，所以4y x =在(1，1)处导数为4，此点的切线为430x y --=. 故选A.
5. [解答过程]由图象可见,在区间(,0)a 内的图象上有一个极小值点. 故选A.
二.填空题 1.
332
2. 1.5
3. 53
三.解答题
解答过程：（Ⅰ）2
()663f x x ax b '=++，
因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=．
即6630241230a b a b ++=⎧⎨
++=⎩，
．
解得3a =-，4b =．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，3
2
()29128f x x x x c =-++，
2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--．
当(01)x ∈，时，()0f x '>； 当(12)x ∈，时，()0f x '<； 当(23)x ∈，时，()0f x '>．
所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+． 则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为(3)98f c =+． 因为对于任意的[]03x ∈，，有2
()f x c <恒成立，
所以 2
98c c +<，
解得 1c <-或9c >， 因此c 的取值范围为(1)(9)-∞-+∞，，．。