连续函数平均值与积分中值定理浅析

的长度皆为 b
－ n
a，记 第
i
小区间的右端点记为
xi （
i
=
1，
2，…，n） ，相应的 n 个值为 f（ x1 ） ，f（ x2 ） ，…，f（ xn ） ，其算术平
∑ 均 值 为
f（ x1 ）
+ f（ x2 ） + … + f（ xn ） n
=
1 n
n
f（ xi）
i =1
=
∑ b
1 －
a
n i =1
【关键词】连续函数； 平均值； 定积分； 积分中值定理
积分中值定理揭示了积分值与函数值内在关系是将复
杂函数的积分化 为 简 单 函 数 积 分 的 基 础 方 法 ，也 是 定 义 函
数平均值的利器． 事实上，函数平均值的概念源于定积分中
值定理，其性质的 研 究 为 连 续 函 数 在 统 计 领 域 的 应 用 奠 定
b
∫ 上连续，则在区间［a，b］上至少存在一点 ξ，使得 f（ x） dx = a
f（ ξ） （ b － a） ．
三、函数的加权平均值与广义的积分中值定理
在实际应用中，经常需要讨论如下式给出的 n 个量 f1 ，
f2 ，…，fn 的“加权平均值”
g1 f1 + g2 f2 + … + gn fn g1 + g2 + … + gn
了理论基础．
但在教学中，若直接给出连续函数 f（ x） 在区间［a，b］
∫ 上平均值的定义为b
1 －
a
b
f（
a
x）
dx．
初学者往往不甚理解，须循循善诱，先由有限量的算术
平均值结合极限方 法，引 出 连 续 函 数 平 均 值 定 义 以 及 连 续
函数加权平均值和 几 何 平 均 值 的 定 义 和 性 质 ，加 强 学 习 者
f（ x1 ）
+
f（
x2 ） + n
…
+
f（
xn ）
，再取当
n→
∞
时的极限：
∑ lim f（ x1 ）
n→∞ห้องสมุดไป่ตู้
+ f（ x2 ） + … + f（ xn ） n
=
1 n
n
lim
n→∞
i =1
f（
xi ）
，
这个极限存在与否及其计算，取决于 f（ x） 在点 xi 在区
间［a，b］上的分布状况等．
若将区间［a，b］分割成 n 个相等的小区间，每个小区间
结论 1 连续函数的平均值介于函数的最大值与最小
值之间，即 m ≤ fS［a，b］≤ M． 因为函数 f（ x） 在区间［a，b］上是连续的，根据连续函
数的介值定理，在区间［a，b］上必定存在点 ξ，使得 f（ ξ） =
fS［a，b］，即证明了积分中值定理． 定理 1 （ 积分中值定理） 如果函数 f（ x） 在区间［a，b］
在（ 2） 式中，如果所有的权因子 gi 都相等，则量 μ 恰好 是前面定义的算术平均值，见（ 1） 式．
类似地，可定义连续函数 f（ x） 在区间［a，b］上的加权
平均值为
b
∫ f（ x） g（ x） dx
fJ［a，b］ = a b
，
（ 3）
∫ g（ x） dx a
其中 g（ x） ≥ 0，也称 g（ x） 为“权函数”．
=
μ，
（ 2）
其中 gi 是 fi 的对应权，称为“权因子”，可为任意正值．
例如，在计算以 不 同 方 式 或 不 同 条 件 观 测 同 一 物 理 量
或其他量的均值时，常 常 会 对 不 同 可 靠 程 度 的 数 据 赋 予 不
同的“权”． 若 设 g1 ，g2 ，…，gn 分 别 是 位 于 x 轴 上 质 点 f1 ， f2 ，…，fn 的重量，（ 2） 式中的 μ 则表示重心的位置．
f（
xi ）
Δxi ，
其中 Δxi
=
b
－ n
a（
i
= 1，2，…，n） ．
当 n 很大时，f（ x） 在每个小区间［xi－1 ，xi］上任意点处的
函数值与 f（ xi ） 相差甚小，即当取 n → ∞ 时的极限，则fS［a， b］收敛于 f（ x1 ） ，f（ x2 ） ，…，f（ xn ） 的算术平均值，即
∫ fS［a，b］ =
b
1 －
a
b
f（
a
x）
dx．
（ 1）
从而，可以应用定积分研究和计算连续函数的平均值，
反之，也可利用函数平均值的相关性质研究定积分．
二、函数的算术平均值与积分中值定理
b
∫ 由积分性质： m（ b － a） ≤ f（ x） dx ≤ M（ b － a） ， a
其中函数 f（ x） 在区间［a，b］上连续，可得如下结论．
结论 2 连续函数的加权平均值介于函数的最大值与
最小值之间，即 m ≤ fJ［a，b］≤ M．
数学学习与研究 2019. 6
高教视野
GAOJIAO SHIYE
13
证明 由 m ≤ f（ x） ≤ M，两端乘 g（ x） ，且 g（ x） ≥ 0，
得 mg（ x） ≤ f（ x） g（ x） ≤ Mg（ x） ，
对定积分概念和应用的认识．
一、函数算术平均值的定义
以有限个量
f1 ，f2 ，…，fn
的 算 术 平 均 值 f1
+
f2
+… n
+
fn
为基础，若要计算连续函数 f（ x） 对应于区间［a，b］上任意 x
的无穷多个量的平均值fS［a，b］，首先想到取出 f（ x） 的有限
个 函 数 值， 如 f（ x1 ） ，f（ x2 ） ，…，f（ xn ） ， 其 平 均 值 为
两端积分，得
b
b
b
∫ ∫ ∫ m g（ x） dx ≤ f（ x） g（ x） dx ≤ M g（ x） dx，
a
a
a
b
∫ f（ x） g（ x） dx
所以有 m ≤ a b
≤ M，
∫ g（ x） dx a
于是 m ≤ fJ［a，b］≤ M．
根据结论 2 和连续函数的介值定理，有fJ［a，b］ = f（ ξ） ， 其中 ξ ∈ ［a，b］，也就证明了广义的积分中值定理．
高教视野
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连续函数平均值与积分中值定理浅析
◎刘晓莉 戎海武 郭肖雯 杨庚华 （ 佛山科学技术学院，广东 佛山 528000）
【摘要】在积分学教学中，渗透连续与离散化思想，通过 连续函数平均值 的 定 义，展 示 定 积 分 的 本 质 是 积 分 和 的 极 限值这一特 征 以 及 函 数 平 均 值 与 积 分 中 值 定 理 的 相 互 应 用，开阔学习者的视野，提高应用能力．
fS［a，b］
=
lim
n→∞
f（
x1 ）
+ f（ x2 ） + … + f（ xn ） n
∑ =
b
1 －
lim a n→∞
n i =1
f（
xi ）
Δxi ．
n
b
∑ ∫ 又 f（ x）
连续，因此
lim
n→∞
i =1
f（
ξi ）
Δxi
=
f（ x） dx，
a
故连续函数 f（ x） 在［a，b］上的算术平均值就定义为