江苏省苏州市2014-2015学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案
苏州市2014-2015学年第二学期期末调研测试
高一数学 2015.6
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1．已知集合{}1,0,1A =
-，{}0,1,2B =，则A B = ▲ ．
2．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号产品有16件．那么此样本的容量n = ▲ ．
3．已知点(1,3)A ，(4,1)B ，则向量AB
的模为 ▲ ．
4．数据2，4，5，3，6的方差 ▲ ．
5．如图所示，此程序框图运行后输出s 的值是 ▲ ．
6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边为a ，b ，c ，若a b c
c o s A c o s B c o s C
==，则△ABC 是 ▲
三角形．
7．袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为 ▲ ．
8．已知变量x y ，满足约束条件2
203x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩
，则目标函数2x y -的最大值是 ▲ ．
9．已知(0,)απ∈，4
5
cos α
=-，则()4tan πα+= ▲ ．
10．已知数列
{}n a 满足120a n a a ++=，132
a =，则{}n a 的前10项和等于 ▲ ．
11．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为2
1 5.060.15l x x =-和2
2l x =，其中x 为销售量（单位：辆）
．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为 ▲ 万元．
12．设E ，F 分别是Rt △ABC 的斜边BC 上的两个三等分点，已知AB ＝6，AC ＝3，则A
E A
F ⋅=
▲ ． 13．已知函数
2
2
,
()(),x sinx f x x cos x α⎧+⎪=⎨-++⎪⎩00
x x ≥<是奇函数，则sin α= ▲ ． 14．若0x >，0y >，()1xy x y -+
=，则x y +的取值范围为 ▲ ．
二、解答题（本大题共6小题，共计90分） 15．（本小题满分14分） 已知函数
()()f x Asin x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，02
π
ϕ<<
）的周期为π，且图象
上有一个最低点为2(,3)3
M π
-． (Ⅰ）求
()f x 的解析式；
(Ⅱ）求函数()f x 的单调增区间．
16．（本小题满分14分）
已知函数
()f x x a =-，其中0a >．
(Ⅰ）当1a =时，求不等式2()2f x ≤的解集；
(Ⅱ）已知函数()(2)2()g x f x a f x =++的最小值为4，求实数a 的值．
17．（本小题满分14分） 设等差数列
{}n a 的前n 项和为n S ，满足24a =，530S =． (Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；
(Ⅱ）若12n n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
18．（本小题满分16分）
已知函数()1x f x a =-（1a >）． (Ⅰ）若2a =，求函数
()f x 的定义域、值域；
(Ⅱ）若函数()f x 满足：对于任意(],1x ∈-∞，都有()10f x +≤．试求实数a 的取值范
围．
19．（本小题满分16分）
如图，在一条直路边上有相距A 、B 两定点，路的一侧是一片荒地，某人用三块
长度均为100米的篱笆（不能弯折），将荒地围成一块四边形地块ABCD （直路不需要围），经开垦后计划在三角形地块ABD 和三角形地块BCD 分别种植甲、乙两种作物．已知两种作物的年收益都与各自地块的面积的平方成正比，且比例系数均为k （正常数），设DAB α∠=． (Ⅰ）当60α︒
=时，若要用一块篱笆将上述两三角形地块隔开，现有篱笆150米，问是否够用，说明理由？
(Ⅱ）求使两块地的年总收益最大时，角α的余弦值？
20．(本小题满分16分) 已知数列
{}n a 中，11a =，在1a ，2a 之间插入1个数，在2a ，3a 之间插入2个数，在3a ，
4a 之间插入3个数，…，在n a ，1n a +之间插入n 个数，使得所有插入的数和原数列{}n a 中
的所有项按原有顺序构成一个正项等差数列{}n b ．
(Ⅰ）若3
11a =，求{}n b 的通项公式；
(Ⅱ）设数列
{}n b 的前n 项和为n S ，n b μ=+（λ，μ为常数）
，求{}n a 的通项公式．。
江苏省苏州市相城区2025届九年级物理第一学期期末学业质量监测试题含解析
江苏省苏州市相城区2025届九年级物理第一学期期末学业质量监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题1．用图甲的滑轮组运送货物上楼，每件货物重100N，每次运送的量不定，图乙记录了在整个过程中滑轮组的机械效率随货物重力增加而变化的图象。
若不计绳重和摩擦，下列说法正确的是（）A．同一物体越上升，重力做功越多，重力势能越来越小；B．该滑轮组的动滑轮重50N；C．运送4件货物时，滑轮组的机械效率为80%；D．其它条件不变，改变图甲中的绕绳方式，滑轮组机械效率将改变；2．甲、乙为两段材料、长度均相同，但横截面积不同的电阻丝.将它们按如图所示方式串联在电路中，则通电一段时间后（）A．甲电阻丝温度升高得多B．乙电阻丝放出的热量多C．甲电阻丝通过的电流大D．乙电阻丝消耗的电能多3．如图所示电路，电源电压保持不变，当闭合开关S，调节滑动变阻器阻值从最大变化到最小，两个电阻的“U－I”关系图像如图所示。
则下列判断正确的是（）A．电源电压为10VB．定值电阻R1的阻值为20ΩC．变阻器滑片在中点时，电流表示数为0.3AD．滑动变阻器R2的阻值变化范围为0～10Ω4．如图所示，是研究磁场对通电导线作用的实验装置。
当接通电源，有电流由A至B通过导体AB时，它受到磁场力作用而向左运动，则（）A．只改变磁场方向时，导线AB将向右运动，机械能将转化为电能B．只改变电流方向时，导线AB将向右运动，电能转化为机械能C．电流方向和磁场方向同时改变时，导线AB仍将向右运动D．电流方向和磁场方向同时改变时，导线AB将向右运动5．质量为5kg的汽油，用去一半后，剩下的汽油（）A．密度、比热容、热值都变为原来的一半B．密度不变，比热容、热值变为原来的一半C．密度、比热容变为原来的一半，热值不变D．密度、比热容、热值都不变6．下列数据最符合生活实际的是A．LED手电筒中的电流约为20A B．我国家庭电路的电压约为36VC．家用空调工作时的功率约为1000W D．我国电网的标准频率是100Hz7．如图所示，当带电体接触验电器的金属球时，下列说法正确的是A．若带电体带正电荷，则这些正电荷就通过金属杆全部转移到金属箔上B．若带电体带负电荷，则这些负电荷就通过金属杆全部转移到金属箔上C．若带电体带正电荷，则验电器就有一部分电子转移到带电体上D．若带电体带负电荷，则验电器就有一部分正电荷转移到带电体上8．下列说法中正确的是( )A．吸盘能牢牢吸在玻璃上，说明分子间存在引力B．糖在热水中溶解得快，说明温度越高，分子的热运动越剧烈C．弹簧能够被压缩，说明分子间有空隙D．尘土飞扬，说明分子在不停地运动9．小华视物时成像情况如图所示，医生向她介绍激光手术：通过激光烧蚀厚度均匀的透明眼角膜，使之改变形状，实现视力矫正．手术后的眼角膜形状应为下列图中的A．B．C．D．10．通过大量研究，得出物体浸在液体中受到浮力大小的普遍规律的科学家是A．伽利略B．牛顿C．阿基米德D．欧姆11．如图甲所示，电源电压恒定，R1是定值电阻，R2是滑动变阻器，闭合开关S，移动滑动变阻器的滑片P，从B端至A端的过程中，两电压表示数随电流表示数交化的图象如图乙所示，则A．电源电压为20VB．整个电路的最大功率为14.4WC．滑动变阻器的最大阻值为10ΩD．EF是V1表示数随A表示数变化的图象12．一位初中生用30s从坡底爬上了9m高的山坡．他爬坡时的功率与下列哪一个最接近()A．几瓦B．十几瓦C．一百多瓦D．一千多瓦二、填空题13．如图所示的电路中，当开关闭合时，灯不发光，电压表示数为0；当开关断开时，灯仍不发光，电压表示数为6V，则电路中故障是灯________（选填“短路”或“断路”），电源两端电压接近______V。
江苏省苏州市2024-2025学年高一上学期期中调研考试语文试卷含答案
2024~2025学年第一学期高一期中调研试卷语文（答案在最后）2024.11一、现代文阅读（36分）（一）现代文阅读Ⅰ（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成下面小题。
材料一：中国古典诗歌创造了中国文学的辉煌。
它以高贵的形式，华彩的节奏，典雅的词汇，隽永的意境，造出了充满魅力的诗意世界。
音乐、色彩和非凡想象力的综合，传达着古老文明的神韵。
寄情于田园，流连于山水，微风中的燕子，细雨中的游鱼，大漠的孤烟，春江的花月，在露水的晶莹中颤动的花枝，在深深庭院中无望的等待……这一切，经过无数代诗人编织而成的永久的心灵声音，是这个建立在农业文明基础上的古老民族的骄傲。
十九世纪下半叶开始的灾难，促使人们对原有的一切产生怀疑。
当时的普遍想法是，苟能救亡图存而宁肯抛却一切。
中国诗界更是如此。
打破山林宁静，装进工业时代的喧嚣，由经典的节律和音韵造出的完美受到轻蔑。
五四时代，人们要做的事，就是竭力把他们新发现的白话诗，做得完全不同于以往的圆润剔透的古典诗。
用当时流行的话说，就是“要把诗做得不像诗”。
这里有一种“破坏”，也有一种从头做起的创造。
新诗的最初实践者，他们为寻求诗与人们的现时生活状态的契合而创作，他们把目光投向了个人以外的社会群体。
新诗的纪元几乎就是从书写个人以外的社会生活开始的。
郭沫若《女神》集中，那些凤凰再生美妙歌唱，那些要把日月吞下去的天狗狂呼，诗人有时用“我们”，有时用“我”，代表的都是时代和时代的人们。
一个从封建时代中解放出来的“我”，在为一个解放的时代而召唤和欢呼。
闻一多说《女神》：“不独艺术上他的作品与旧诗词相去最远，最要紧的是他的精神完全是时代的精神——二十世纪底时代的精神。
”新诗在它的草创期也留下了许多弊端。
人们面对新诗普遍忽视诗性的现象，一直有一种“眷念的失落”的情绪。
几乎在新诗草创同时，一些诗人便感到新诗艺术表现方面存在匮缺，开始了关于诗的艺术的思考与呼唤。
徐志摩和闻一多为代表的“新月派”，几乎可以说是专为艺术的探究而诞生的一个群体。
江苏省苏州市常熟市2023-2024学年高一下学期期中调研数学试题(含答案)
常熟市2023-2024学年高一下学期期中调研数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若复数满足(是虚数单位），则的虚部是（ ）A.B. C.D. 2. 设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ）A.B. C. D.3. 已知，都是锐角，，，则（ ）A.B. C. D.4. 沪苏通长江公铁大桥（如图1）是中国自主设计建造、世界上首座跨度超千米的公铁两用斜拉桥．已知主塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内乘客两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图2），设乘客眼睛离地面的距离为，．若，，在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则根据以上数据可计算主塔高为（ ）．A.B.C.D.5. 将曲线上所有点向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线，则的方程为（ ）A. B. z 1z =-i z 1e 2e ()12R m e ke k =-+∈ 1225n e e =+k =5252-25-25αβ35=cos α()5sin 13αβ-=cos β=1665336556656365AB A 30ADE ∠=︒45ACE ∠=︒DM CN h ==()0,0CD a h a =>>D C E AD AC AB AB h +h +)1a h+)1a h-+1π:2sin 6C y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭π62C 2C π2sin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭π2sin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭C. D. 6. 已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为（ ）A.B. 4C.D. 67. 在平行四边形中，，分别在边，上，，，与相交于点，记，，则（ ）A. B. C. D. 8. 已知锐角中，，则边上的高的取值范围为（ ）A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 函数的图象的一条对称轴可以是（ ）A. B. C. D. 10. 已知复数，是方程两根，则（）A.B. C. D. 11. 窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形，是正八边形边上任意一点，则下列结论正确的是（ ）的12sin2y x =1π2sin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭z 11z -=24i z ++i 1-1+ABCD E F AD CD 3AE ED =DF FC =AF BE G BC a = BA b = =AG 361111a b - 361111a b-+631111a b -631111a b-+ABC V π6AB C ==AB (0,3+(3,3+(3,3+(6,3+()()πsin 23f x x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R 5π12x =-π12x =-π12x =5π12x =1z 2z 210x x ++=121z z +=121z z ==212z z =33121z z ==ABCDEFGH P ABCDEFGHA. 在上投影向量为B.C. 的最大值为2D. 若在线段上（含端点），且，则的取值范围为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知角满足，则______．13. 《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了：已知三角形三边，，，求面积的公式．这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即：．现有的三边，，满足，且的面积，若点是边的中点，则______．14. 已知函数，若为奇函数，为偶函数，且上至少有2个实根，至多有3个实根，则函数的对称轴为______（写出一个即可），正整数的所有可能取值之和为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15 已知向量，，．的.AD AB1)AB+ AF AE HG HFAF AE HG HF⋅⋅=⋅⋅ ()()PA PB PE PF +⋅+P BC AP x AB y AH =+x y +[1,2+αsin cos αα-=sin2α=a b c S S =ABC V a b c ::1:2:a b c =ABC V =S D AB =CD ()()πsin 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭π4f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭π4f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()f x =π0,6⎛⎫⎪⎝⎭()f x ω()1,1OA =-()2,3OB =- ()1,2OC m m =--（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值．16. 复数平面内表示复数的点分别满足下列条件：（1）位于第四象限；（2）位于第一象限或第三象限；（3）位于直线上．求实数的取值范围．17. 已知函数的最大值为3．（1）若的定义域为，求的单调递增区间；（2）若，，求的值．18. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周脾算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成，如图1所示）．类比“赵爽弦图”，可构造如图2所示的图形，它是由3个全等的，，与中间一个小等边拼成的一个较大的等边．记的面积为，的面积为，的面积为．（1）若，求；（2）设，当时，求以及值．19. 如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则的的AB OC ⊥m OA BCP m ()()22815514i z m m m m =-++--y x =m ()22sin cos cos f x x x x x m =+-+()f x []0,π()f x 01125x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭0π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦0cos2x ACF △BAD V CBE △DEF V ABC V DEF V 1S ABD △2S ABC V 3S 13AF AD = 13S S π06BAD θθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭23S S =θAF AD Ox Oy π0π,2θθθ⎛⎫<<≠ ⎪⎝⎭1e 2e x y xOy θθ12OM xe ye =+把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．已知在仿射坐标系下，．（1）求向量，的仿射坐标；（2）当时，求；（3）设，若对恒成立，求的最大值．(),x y OM(),OM x y = θ()3,1OA = ()1,1OB =2OA OB + -OA OB π3θ=cos AOB ∠AOB α∠=OA tOB -≥R t ∀∈cos α常熟市2023-2024学年高一下学期期中调研数学简要答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】AC【10题答案】【答案】BD【11题答案】【答案】BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】①. （答案不唯一）②. 51四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）（2）【16题答案】【答案】（1）或（2）或或（3）【17题答案】【答案】（1）单调递增区间为和（2【18题答案】【答案】（1）（2）【19题答案】【答案】（1）（2（379π4x=5m=2m=23m-<<57m<<2m<-35m<<7m>293m=π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦5π,π6⎡⎤⎢⎥⎣⎦413π12θ=()()7,3,2,0。
江苏省苏州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试 数学含答案
苏州市2023~2024学年第二学期学业质量阳光指标调研卷高一数学（答案在最后）2024.6注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）､多项选择题（第9题~第11题）､填空题（第12题~第14题）､解答题（第15题~第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名､调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 为虚数单位，已知复数11i z =+，则||z =（）A.12B.2C.D.22.sin164sin 44cos16sin 46-= （）A.12-B.2C.12D.23.某射击运动员射击6次，命中的环数如下：7，9，6，9，10，7，则关于这组数据的说法正确的是（）A.极差为10B.中位数为7.5C.平均数为8.5D.4.某科研单位对ChatGPT 的使用情况进行满意度调查，在一批用户的有效问卷（用户打分在50分到100分之间的问卷）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，估计这批用户问卷的得分的第75百分位数为（）A.78.5B.82.5C.85D.87.55.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若6b =，2c =，60B =︒，则A =（）A.45︒B.60︒C.75︒D.105︒6.已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若//l m ，//l α，//m β，则//αβB.若l m ⊥，l α⊥，//m β，则//αβC.若//αβ，l ⊂α，m β⊂，则//l mD.若l m ⊥，l α⊥，m β⊥，则αβ⊥7.在ABC 中，已知2cos 2cos 22cos A B C +=，则ABC 的形状一定为（）A .等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形8.长篇评弹《玉蜻蜓》在江南可谓家喻户晓，是苏州评弹的一颗明珠.为了让更多年轻人走近评弹､爱上经典，苏州市评弹团在保留原本精髓的基础上，打造了《玉蜻蜓》精简版，将长篇压缩至三场，分别是《子归》篇､《认母》篇､《归宗》篇.某班级开展对《玉蜻蜓》的研究，现有三位学生随机从三篇中任意选一篇研究，记“三人都没选择《子归》篇”为事件M ，“至少有两人选择的篇目一样”为事件N ，则下列说法正确的是（）A.M 与N 互斥B.()()P M P MN = C.M 与N 相互独立D.()()1P M P N +<二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数2()sin 2233f x x x =+-，则（）A.()f x 的最小正周期为2π B.()2f x ≥-C.()f x 的图象关于直线π6x=对称 D.()f x 在区间π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增10.已知复数1z ，2z ，3z ，则下列说法正确的有（）A.1212||||||z z z z = B.若120z z ->，则12z z >C.若120z z =，则1212||||z z z z -=+ D.若1213z z z z =且10z ≠，则23z z =11.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G ，H 分别为AB ，1CC ，11A D ，1DD 的中点，则（）A.1B D ⊥平面EFGB.//AH 平面EFGC.点1B ，D 到平面EFG 的距离相等D.平面EFG 截该正方体所得截面的面积为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设向量(1,3)m = ，(4,2)n =- ，p m n λ=+，若m p ⊥ ，则实数λ的值为___________.13.在直角三角形ABC 中，已知CH 为斜边AB 上的高，AC =2BC =，现将BCH V 沿着CH 折起，使得点B 到达点B '，且平面B CH '⊥平面ACH ，则三棱锥B ACH '-的外接球的表面积为___________.14.在ABC 中，已知cos 21sin 2cos 212C C C =++，则3sin 2sin A B +的最大值为___________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，E ，F ，G 分别为线段AD ，BC ，PB 的中点.（1）求证：AG ⊥平面PBC ；（2）求证：//PE 平面AFG .16.一个袋子中有大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4），从袋中不放回地依次随机摸出两个球.设事件A =“第一次摸到红球”，B =“第二次摸到黑球”，C =“摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”.（1）用数组()12,x x 表示可能的结果，1x 是第一次摸到的球的标号，2x 是第二次摸到的球的标号，试用集合的形式写出试验的样本空间Ω；（2）分别求事件A ，B ，C 发生的概率；（3）求事件A ，B ，C 中至少有一个发生的概率.17.如图，在平面四边形ABCD 中，已知AC 与BD 交于点E ，且E 是线段BD 的中点，BCE 是边长为1的等边三角形.（1）若sin 14ABD ∠=，求线段AE 的长；（2）若:AB AD =AE BD <，求sin ADC ∠.18.如图，在平行四边形ABCD 中，已知3A π=，2AB =，1AD =，E 为线段AB 的中点，F 为线段BC 上的动点（不含端点）.记BF mBC =.（1）若12m =，求线段EF 的长；（2）若14m =，设AB xCE yDF =+ ，求实数x 和y 的值；（3）若CE 与DF 交于点G ，AG EF ∥，求向量GE 与GF的夹角的余弦值.19.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知侧面11CDD C 为矩形，60BAD ABC ∠=∠=︒，3AB =，2AD =，1BC =，1AA =，12AE EA =uu u r uuu r ，2AF FB = .（1）求证：平面DEF 平面1A BC ；（2）求证：平面11ADD A ⊥平面ABCD ；（3）若三棱锥1E A BC -的体积为33，求平面1A BC 与平面ABCD 的夹角的余弦值.苏州市2023~2024学年第二学期学业质量阳光指标调研卷高一数学2024.6注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）､多项选择题（第9题~第11题）､填空题（第12题~第14题）､解答题（第15题~第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名､调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 为虚数单位，已知复数11i z =+，则||z =（）A.12B.2C.D.2【答案】B 【解析】【分析】利用复数的商的运算法则求得z ，进而可求||z .【详解】11i 1i 1i 1i (1i)(21i)z --====-++-，则2||2z ==.故选：B .2.sin164sin 44cos16sin 46-= （）A.12-B. C.12D.32【解析】【分析】利用诱导公式与两角差的正弦公式化简求值.【详解】()()sin164sin 44cos16sin 46sin 18016sin 9046cos16sin 46-=---()1sin16cos 46cos16sin 46sin 1646sin 302=-=-=-=-.故选：A.3.某射击运动员射击6次，命中的环数如下：7，9，6，9，10，7，则关于这组数据的说法正确的是（）A.极差为10B.中位数为7.5C.平均数为8.5D.【答案】D 【解析】【分析】利用极差、中位数、平均数、标准差的定义，根据条件逐一对各个选项分析判断即可得出结果.【详解】某射击运动员射击6次，命中的环数从小到大排列如下：6，7，7，9，9，10，对A ，极差为1064-=，故A 错误；对B ，中位数为7982+=，故B 错误；对C ，平均数为677991086+++++=，故C 错误；对D ，标准差为=，故D 正确.故选：D4.某科研单位对ChatGPT 的使用情况进行满意度调查，在一批用户的有效问卷（用户打分在50分到100分之间的问卷）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，估计这批用户问卷的得分的第75百分位数为（）A.78.5B.82.5C.85D.87.5【答案】B【分析】根据百分位数计算规则计算可得.【详解】因为()0.010.0250.035100.70.75++⨯=<，()0.010.0250.0350.02100.90.75+++⨯=>，所以第75百分位数位于[)80,90，设为x ，则()()0.010.0250.035100.02800.75x ++⨯+-=，解得82.5x =.故选：B5.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，若b =，2c =，60B =︒，则A =（）A.45︒B.60︒C.75︒D.105︒【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理求出C ，即可求出A .【详解】由正弦定理sin sin c b C B=，则32sin 22sin 2c B C b ⨯===，又c b <，所以60C B <=︒，所以45C =︒，所以180604575A =︒-︒-︒=︒.故选：C6.已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若//l m ，//l α，//m β，则//αβB.若l m ⊥，l α⊥，//m β，则//αβC.若//αβ，l ⊂α，m β⊂，则//l mD.若l m ⊥，l α⊥，m β⊥，则αβ⊥【答案】D 【解析】【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可.【详解】对于A ：若//l m ，//l α，则//m α或m α⊂，又//m β，则//αβ或α与β相交，故A 错误；对于B ：若l m ⊥，l α⊥，则//m α或m α⊂，又//m β，则//αβ或α与β相交，故B 错误；对于C ：若//αβ，l ⊂α，则//l β，又m β⊂，则l 与m 平行或异面，故C 错误；对于D ：若l m ⊥，l α⊥，则//m α或m α⊂，若//m α，则在平面α内存在直线c ，使得//m c ，又m β⊥，则c β⊥，又c α⊂，所以αβ⊥；若m α⊂，又m β⊥，所以αβ⊥；综上可得，由l m ⊥，l α⊥，m β⊥，可得αβ⊥，故D 正确.故选：D7.在ABC 中，已知2cos 2cos 22cos A B C +=，则ABC 的形状一定为（）A.等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形【答案】C 【解析】【分析】利用二倍角公式及正弦定理将角化边，即可判断.【详解】因为2cos 2cos 22cos A B C +=，所以22212sin 12sin 22sin A B C -+-=-，所以222sin sin sin A B C +=，由正弦定理可得222+=a b c ，所以ABC 为直角三角形.故选：C8.长篇评弹《玉蜻蜓》在江南可谓家喻户晓，是苏州评弹的一颗明珠.为了让更多年轻人走近评弹､爱上经典，苏州市评弹团在保留原本精髓的基础上，打造了《玉蜻蜓》精简版，将长篇压缩至三场，分别是《子归》篇､《认母》篇､《归宗》篇.某班级开展对《玉蜻蜓》的研究，现有三位学生随机从三篇中任意选一篇研究，记“三人都没选择《子归》篇”为事件M ，“至少有两人选择的篇目一样”为事件N ，则下列说法正确的是（）A.M 与N 互斥B.()()P M P MN = C.M 与N 相互独立D.()()1P M P N +<【答案】B 【解析】【分析】计算事件M 和事件N 的概率，由互斥事件的性质和相互独立事件的定义，对选项进行判断即可.【详解】三个人随机选三篇文章研究，样本空间共33327⨯⨯=种，事件M ：“三人都没选择《子归》篇”共有：2228⨯⨯=，所以()827P M =，事件N ：“至少有两人选择的篇目一样”共有27621-=种，所以()1272P N =，()()1P M P N +>，所以M 与N 不互斥，A 错误，D 错误；事件MN 共有2338++=种，所以()782P MN =，B 正确；因为()()()P MN P M P N ≠，所以C 错误.故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数2()sin 2f x x x =+-，则（）A.()f x 的最小正周期为2π B.()2f x ≥-C.()f x 的图象关于直线π6x =对称 D.()f x 在区间π,04⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增【答案】BD 【解析】【分析】利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简，在根据正弦函数的性质计算可得.【详解】因为2()sin 2sin 22f x x x x x=+=+132sin 2cos 222x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==，故A 错误；因为π1sin 213⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭x ，所以()2f x ≥-，故B 正确；因为πππ2sin 2663f ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象不关于直线π6x =对称，故C 错误；当π,04x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则,ππ233π6x ⎛⎫-∈ ⎝+⎪⎭，又sin y x =在ππ,63⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 在区间π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故D 正确.故选：BD10.已知复数1z ，2z ，3z ，则下列说法正确的有（）A .1212||||||z z z z = B.若120z z ->，则12z z >C.若120z z =，则1212||||z z z z -=+ D.若1213z z z z =且10z ≠，则23z z =【答案】ACD 【解析】【分析】A 项，表达出12||z z 和12||||z z ，即可得出相等；B 项，作出示意图即可得出结论；C 项，写出12||z z -和12||z z +的表达式，利用120z z =得出两复数的实部和虚部的关系，即可得出结论；D 项，对1213z z z z =进行化简即可得出结论.【详解】由题意，设12i,i,,,,Rz a b z c d a b c d =+=+∈A 项，()()()12i i i z z a b c d ac bd bc ad =++=-++=12z z ==∴1212||||||z z z z =,A 正确；B 项，当120z z ->时，若两复数是虚数1z ，2z 不能比较大小，B 错误；C 项，()()1212i,i z z a c b d z z a c b d -=-+-+=+++，12z z -==12z z +==，当120z z =时，12120z z z z ==0=，∴0,0a b ==，,c d 任取，或0,0c d ==，,a b 任取，即12,z z 至少有一个为0∴1212z z z z -=+=（其中至少有两项为0），C 正确；D 项，∵1213z z z z =，∴()1230z z z -=，∵10z ≠，∴230z z -=，即23z z =，D 正确；故选：ACD.11.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G ，H 分别为AB ，1CC ，11A D ，1DD 的中点，则（）A.1B D ⊥平面EFGB.//AH 平面EFGC.点1B ，D 到平面EFG 的距离相等D.平面EFG 截该正方体所得截面的面积为【答案】ACD 【解析】【分析】取BC 的中点L ，11C D 的中点K ，1AA 的中点M ，即可得到正六边形LEMGKF 为平面EFG 截该正方体所得截面，求出截面面积，即可判断D ；根据线面垂直的判定定理说明A ，证明1//AD 平面EFG ，即可说明B ，根据正方体的性质判断D.【详解】如图，取BC 的中点L ，11C D 的中点K ，1AA 的中点M ，连接GK 、KF 、FL 、LE 、EM 、MG 、11A C 、MF 、AC 、1AD ，则11//GK A C ，//EL AC ，11////A C AC MF ，所以//GK MF ，所以G 、K 、F 、M 四点共面，又//EL MF ，所以L 、E 、F 、M 四点共面，同理可证//KF ME ，所以K 、E 、F 、M 四点共面，正六边形LEMGKF 为平面EFG 截该正方体所得截面，又12EL AC ===，所以216sin 602LEMGKF S =⨯⨯⨯︒=D 正确；因为AC ⊥平面11DBB D ，1DB ⊂平面11DBB D ，所以1AC DB ⊥，则1EL DB ⊥同理可证1FL DB ⊥，又EL FL L = ，,EL FL ⊂平面LEMGKF ，所以1DB ⊥平面LEMGKF ，即1B D ⊥平面EFG ，故A 正确；因为1//GM AD ，GM ⊂平面LEMGKF ，1AD ⊄平面LEMGKF ，所以1//AD 平面LEMGKF ，即1//AD 平面EFG ，又1AH AD A = ，1,AH AD ⊂平面11AD A A ，平面EFG ⋂平面11AD A A GM =，所以AH 不平行平面EFG ，故B 错误；设O 为正方体的中心，即O 为1DB 的中点，根据正方体的性质可知1EF DB O = ，即1DB 交平面LEMGKF 于点O ，所以点1B ，D 到平面LEMGKF 的距离相等，即点1B ，D 到平面EFG 的距离相等，故D 正确.故选：ACD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设向量(1,3)m = ，(4,2)n =- ，p m n λ=+，若m p ⊥ ，则实数λ的值为___________.【答案】15##0.2【解析】【分析】求出p，利用m p ⊥ ，即可求出实数λ的值.【详解】由题意，(1,3)m = ，(4,2)n =- ，p m n λ=+，∴()4,32p λλ=+-∵m p ⊥ ，∴()()143320λλ⨯++-=，解得：15λ=，故答案为：15.13.在直角三角形ABC 中，已知CH 为斜边AB 上的高，AC =2BC =，现将BCH V 沿着CH 折起，使得点B 到达点B '，且平面B CH '⊥平面ACH ，则三棱锥B ACH '-的外接球的表面积为___________.【答案】13π【解析】【分析】证明,,HA HB HC '两两垂直，由,,HA HB HC '的边长，求出外接球半径，求表面积即可.【详解】直角三角形ABC 中，AC =2BC =，则斜边4AB =，30A = ，CH 为斜边AB 上的高，则CH =3AH =，1HB =，平面B CH '⊥平面ACH ，平面B CH ' 平面ACH CH =，B H CH '⊥，B H '⊂平面B CH '，则B H '⊥平面ACH ，又AH CH ⊥，所以,,HA HB HC '两两垂直，HC =3HA =，1HB '=，则三棱锥B ACH '-的外接球半径1322R ==，所以三棱锥B ACH '-的外接球表面积为24π13πS R ==.故答案为：13π.14.在ABC 中，已知cos 21sin 2cos 212C C C =++，则3sin 2sin A B +的最大值为___________.【解析】【分析】利用二倍角公式化简，即可求出C ，从而得到π3A B +=，从而将3sin 2sin A B +转化为A 的三角函数，再利用辅助角公式计算可得.【详解】因为cos 21sin 2cos 212C C C +=++，所以222cos sin 12sin cos 2cos 112C C C C C -+=+-+，即()()()cos sin cos sin 132cos cos sin 2C C C C C C C -+=+，所以cos sin 1113tan 2cos 222C C C C -=-=，所以tan C =，又()0,πC ∈，所以2π3C =，则π3A B +=，所以π3sin 2sin 3sin 2sin 3A B A A ⎛⎫+=+-⎪⎝⎭()ππ3sin 2sin cos 2cos sin 2sin33A A A A A A ϕ=+-==+，取ϕ为锐角，其中sinϕ=，cos ϕ=1sin 2ϕ=>，所以π6ϕ>，所以当π2A ϕ+=时3sin 2sin AB +.【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出C 的值，从而将3sin 2sin A B +转化为A 的三角函数，结合辅助角公式求出最大值.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，E ，F ，G 分别为线段AD ，BC ，PB 的中点.（1）求证：AG ⊥平面PBC ；（2）求证：//PE 平面AFG .【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先证BC ⊥平面PAB ，有BC AG ⊥，再由AG PB ⊥，可证AG ⊥平面PBC ；（2）连接BE 交AF于点H ，由AHE FHB ≅ ，得H 为BE 中点，可得//GH PE ，线面平行的判定定理得//PE 平面AFG .【小问1详解】底面ABCD 为矩形，所以BC AB ⊥，PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，则PA BC ⊥，AB PA A = ，,AB PA ⊂平面PAB ，则BC ⊥平面PAB ，AG ⊂平面PAB ，所以BC AG ⊥，又PA AB =，G 为PB 中点，则AG PB ⊥，,BC PB ⊂平面PBC ，BC PB B = ，所以AG ⊥平面PBC .【小问2详解】连接BE 交AF 于点H ，连接GH ，由四边形ABCD 为矩形，,E F 分别为,AD BC 中点，所以AHE FHB ≅ ，则BH HE =，即H 为BE 中点，又因为G 为BP 中点，有//GH PE ，GH Ì平面AFG ，PE ⊄平面AFG ，所以//PE 平面AFG .16.一个袋子中有大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4），从袋中不放回地依次随机摸出两个球.设事件A =“第一次摸到红球”，B =“第二次摸到黑球”，C =“摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”.（1）用数组()12,x x 表示可能的结果，1x 是第一次摸到的球的标号，2x 是第二次摸到的球的标号，试用集合的形式写出试验的样本空间Ω；（2）分别求事件A ，B ，C 发生的概率；（3）求事件A ，B ，C 中至少有一个发生的概率.【答案】（1）()()()()()()()()()()()(){}Ω1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4,3,1,3,2,3,4,4,1,4,2,4,3=（2）()12P A =，()14P B =，()13P C =（3）()34P A B C ⋃⋃=【解析】【分析】（1）根据事件的定义列出样本空间即可；（2）根据古典概型概率计算公式计算即可；（3）根据古典概型概率计算公式计算即可.【小问1详解】样本空间()()()()()()()()()()()(){}Ω1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4,3,1,3,2,3,4,4,1,4,2,4,3=，Ω共有12个基本事件；【小问2详解】事件A 的基本事件为：()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4共6个基本事件，所以()12P A =，事件B 的基本事件为：()()(){}1,3,2,3,4,3共3个基本事件，所以()14P B =，事件C 的基本事件为：()()()(){}1,42,4,4,1,4,2共4个基本事件，所以()13P C =，【小问3详解】事件A ，B ，C 中至少有一个发生的基本事件为：()()()()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,44,1,4,2,4,3共9个基本事件，所以()34P A B C ⋃⋃=.17.如图，在平面四边形ABCD 中，已知AC 与BD 交于点E ，且E 是线段BD 的中点，BCE 是边长为1的等边三角形.（1）若sin 14ABD ∠=，求线段AE 的长；（2）若:AB AD =AE BD <，求sin ADC ∠.【答案】（1）12（2）7【解析】【分析】（1）由sin 14ABD ∠=，有cos 14ABD ∠=，又120AEB ∠= ，AEB △中，()sin sin BAE AEB ABD ∠=∠+∠，求值后由正弦定理求线段AE 的长；（2）在AED △和AEB △中，余弦定理得22222AB AD AE +=+，又:AB AD =解得13AE =，在ACD 中，由余弦定理求cos ADC ∠，再得sin ADC ∠.【小问1详解】因为BCE 为等边三角形，所以120AEB ∠= ，又sin 14ABD ∠=，所以cos 14ABD ∠=，在AEB △中，()()sin sin 180sin BAE AEB ABD AEB ABD ⎡⎤∠=-∠+∠=∠+∠⎣⎦，所以21sin sin cos cos sin 7BAE AEB ABD AEB ABD ∠=∠∠+∠∠=，由正弦定理得sin sin AE BEABD BAE =∠∠，21sin 114sin 2217BE ABD AE BAE ⋅∠===∠.【小问2详解】()cos cos 180cos AED AEB AEB ∠=-∠=-∠ ，1DE BE ==，在AED △中，由余弦定理，2222cos AD AE DE AE DE AED =+-⋅⋅∠，在AEB △中，由余弦定理，2222cos AB AE BE AE BE AEB =+-⋅⋅∠两式相加得222222222AB AD AE DE BE AE +=++=+，因为:AB AD =，所以设AB =，AD =，则AE =，在AEB △中，120AEB ∠= ，由余弦定理得，2222cos AB AE BE AE BE AEB =+-⋅⋅∠，得2211310112m m ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭，化简得23m =由0m >，解得1m =或13m =，当1m =时，3AE BD =>，不合题意，舍去；当13m =时，13AE BD =<，符合题意，所以13AE =，43AC AE EC =+=，73AD ==，在DCE △中，1CE DE ==，120DEC ︒=∠，可得CD =，在ACD中，由余弦定理，222cos 2AD CD AC ADC AD CD+-∠==⋅，所以sin 7ADC ∠=.18.如图，在平行四边形ABCD 中，已知3A π=，2AB =，1AD =，E 为线段AB 的中点，F 为线段BC 上的动点（不含端点）.记BF mBC =.（1）若12m =，求线段EF 的长；（2）若14m =，设AB xCE yDF =+ ，求实数x 和y 的值；（3）若CE 与DF 交于点G ，AG EF ∥，求向量GE 与GF的夹角的余弦值.【答案】（1）2（2）68,1111x y =-=（3）7-【解析】【分析】（1）由向量的线性运算可得1122EF AD AB =+，两边平方可求解；（2）由已知可得34DF DC CF AB AD =+=- ，12CE CB BE AD AB =+=--，可得结论；（3）利用向量的线性关系可得1255GE AB AD =-- ，933510GF AD AB =-+，计算可得结论.【小问1详解】若12m =，则1122BF BC AD == ，12BE AB =-，所以1122EF BF BE AD AB =-=+ ，两边平方可得22222211117()(2)(12122)44424EF AD AB AD AD AB AB =+=++=+⨯⨯⨯+= ，所以2EF =；【小问2详解】若14m =，则1144BF BC AD == ，所以34CF AD =-，34DF DC CF AB AD =+=- ①，12CE CB BE AD AB =+=-- ②，由①②可得681111AB CE DF =-+；【小问3详解】1122EF EB BF AB mBC AB mAD =+=+=+，1122EC EB BC AB BC AB AD =+=+=+ ，设2EG EC AB AD λλλ==+ ，又122AG AE EG AE AB AD AB AD λλλλ+=+=++=+，又AG EF ∥，所以1212m λλ=+①，由EG EC λ= ，可得GE CE λ= ，所以CE CG CE λ-=，所以(1)CG CE λ=- ，所以11(1)(1)()(1)22CG CE AB BC CB CD λλλλ-=-=---=-+ ，由BF mBC = ，可得(1)CF m CB =- ，11CB CF m=-所以11(1)12CG CE CF CD m λλλ--=-=+-，又,,D F G 三点共线，所以11112m λλ--+=-②，联立①②解11,23m λ==，所以1142EG AB AD =+ ，所以1142GE AB AD =--，111111242424CG CB CD BC DC AD AB =+=--=-- ，21111(32464GF CF CG AD AD AB AD AB =-=----=-+ ），所以2211111111····64422412168GE GF AD AB AB AD AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫=-+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111112412484=+--=-，又2222111111113()4216444444GE AB AD AB AB AD AD =--=++=++=，所以||2GE =，同理可得||6GF = ，所以1214cos ,726GE GF -==-.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是用基底表示向量后，求向量模或者夹角就可以利用公式直接计算.19.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知侧面11CDD C 为矩形，60BAD ABC ∠=∠=︒，3AB =，2AD =，1BC =，1AA =，12AE EA =uu u r uuu r ，2AF FB =.（1）求证：平面DEF 平面1A BC ；（2）求证：平面11ADD A ⊥平面ABCD ；（3）若三棱锥1E A BC -的体积为3，求平面1A BC 与平面ABCD 的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）19或7.【解析】【分析】（1）由已知可得//EF 平面1A BC ，//DF 平面1A BC ，从而可证结论；（2）由余弦定理可得23DC =，从而可证AD CD ⊥，进而结合已知可证CD ⊥平面11ADD A ，可证结论；（3）延长,AD BC 交于N ，过1A 作1A M AD ⊥于M ，过M 作MH BN ⊥于H ，连接1A H ，可得1A HM ∠为平面1A BC 与平面ABCD 所成二面角的平面角，求解即可.【小问1详解】因为12AE EA =uu u r uuu r ，2AF FB = ，所以1EF A B ∥，又1A B ⊂平面1A BC ，EF ⊄平面1A BC ，所以//EF 平面1A BC ，2AF FB = ，3AB =，可得2AF =，又2AD =，60BAD ∠=︒，所以ADF △是等边三角形，所以2DF =，60AFD ∠=︒，又60ABC ∠=︒，所以DF BC ∥，又BC ⊂平面1A BC ，DF ⊄平面1A BC ，//DF 平面1A BC ，又DF EF F = ，又,DF EF ⊂平面DEF ，所以平面DEF 平面1A BC ；【小问2详解】由侧面11CDD C 为矩形，可得1CD DD ⊥，连接CF ，可得BCF △是等边三角形，所以60BFC ∠=︒，所以60DFC ∠=︒，又2DF =，1CF =，由余弦定理可得22211221232DC =+-⨯⨯⨯=，所以222DC CF DF +=，所以90FCD ∠=︒，所以30FDC ∠=︒，所以90ADC ∠=︒，所以AD CD ⊥，又1AD DD D = ，1,AD DD ⊂平面11ADD A ，所以CD ⊥平面11ADD A ，又CD ⊂平面ABCD ，所以平面11ADD A ⊥平面ABCD ；【小问3详解】延长,AD BC 交于N ，可得ABN 是等边三角形，过1A 作1A M AD ⊥于M ，由（1）可知//EF 平面1A BC ，所以三棱锥1E A BC -的体积即为三棱锥1F A BC -的体积，又三棱锥1F A BC -的体积等于三棱锥1A BCF -的体积，由（2）可知平面11ADD A ⊥平面ABCD ，且两平面的交线为AD ，所以AM ⊥平面ABCD ，所以111111331133223B F BCF A C V S A M A M -==⨯⨯⨯⨯= ，解得14A M =，过M 作MH BN ⊥于H ，连接1A H ，AM ⊥平面ABCD ，BN ⊂平面ABCD ，所以AM BN ⊥，又1HM A M M ⋂=，1,HM A M ⊂平面1A MH ，所以BN ⊥平面1A MH ，又1A H ⊂平面1A MH ，1BN A H ⊥，所以1A HM ∠为平面1A BC 与平面ABCD 所成二面角的平面角，若12A AD π∠<，则点M 在线段AD 上，且为AD 中点，又117AA =，由勾股定理可得1AM =，所以2MN =，所以3MH =131619A H =+=，所以1357cos 1919A HM ∠==，所以平面1A BC 与平面ABCD 的夹角的余弦值为5719；若12A AD π∠>，则点M 在线段DA 延长线上，此时13,7MH A H ==，11321cos 727MH A HM A H ∠===.。
江苏省扬州市扬州中学2024-2025学年高一上学期11月期中数学试题(含答案)
江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试题高一数学 2024.11试卷满分:150分，考试时间:120分钟注意事项:1.作答前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码2.将选择题答案填写在答题卡的指定位置上(用2B 铅笔填涂)，非选择题一律在答题卡上作答（用0.5mm 黑色签字笔作答），在试卷上答题无效。
3.考试结束后，请将答题卡交监考人员。
一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每题给出的四个选项中只有一项是最符合题意的。
1.已知集合，，则（ ）A. B. C. D. 或2. 已知为常数，集合，集合，且，则的所有取值构成的集合元素个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D.43.设为奇函数，且当时，，则当时，（ ）A. B. C. D. 4．函数的值域为（ ）A. B. C. D. 5.已知函数的定义域为，则函数）A. B. C. D. 6. 若不等式的解集为，那么不等式的解集为（ ）{|02}A x x =<<{|14}B x x =<<A B = {|02}x x <<{|24}x x <<{|04}x x <<{2|x x <4}x >a {}260A x x x =+-=∣{20}B x ax =-=∣B A ⊆a ()f x 0x ≥()2f x x x =+0x <()f x =2x x +2x x -2x x --2x x -+x x y 211-++=(]2，∞-()2，∞-()20，[)∞+，2(2)f x +(3,4)-()g x =(1,6)(1,2)(1,6)-(1,4)20ax bx c ++>{}12x x -<<()()2112a x b x c ax ++-+>A. B. 或C. 或 D. 7.命题在单调增函数，命题在上为增函数，则命题是命题的（ ）条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要8. 已知,则的最大值为（ ）A. B. C. D.二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分。
2013-2014第二学期高一数学期末试卷(苏州原稿)
2013～2014学年第二学期期末调研测试高一数学 201４．6注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含填空题（第1题 - 第14题）、解答题（第15题 - 第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4. 如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．参考公式：样本数据12,,,n x x x L 的方差∑=-=n i i x x ns 122)(1，其中∑==n i i x nx 11一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答．题卡相应位置上．．．．．．．． 1. 已知集合]2,3[-=A ，]3,1[-=B ，则A B ⋂= ▲ ．2. 学校进行体质抽测，计划在高中三个年级中共抽取160人，已知高一、高二、高三学生数比例为5:5:6，则应在高一分配 ▲ 个名额． 3. 函数12sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为 ▲ ．4. 若一组样本数据4,5,7,9,a 的平均数为6，则该组数据的方差2s = .5. 将一根长为4米的木棍锯成两段，则锯成的两段都大于1米的概率是 ▲ ．6. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出k 的值是 ▲ ．7. 已知变量x ，y 满足220,220,0,x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则3z x y =+的最小值是 ▲ ．8. 一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球，其中有2只白球、1只红球、1只黄球，从中一次随机取出2只球，则“恰有1只球是白球”的概率是 ▲ ．9. 已知函数)(x f y =是奇函数，当0<x 时，2()(R)f x x ax a =+∈，且(2)8f =，则a =▲ ．10. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0211=-++-m m m a a a ，5812=-m S ，则=m▲ ．11. 若4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为 ▲ ．12. 如图，平面内有三个向量、、,其中与与OB 的夹角为120°，与的夹角为30°,且|OA |＝|OB |＝1，|OC |＝若OC ＝mOA uu r +nOB uuu r （,R m n ∈）,则m n +的值为 ▲ ．13．已知函数()28log ,3f x x =-若关于x 的方程()()2210f x f x +-=的实根之和为m ，则()f m 的值是 ▲ ． 14.已知0>a ，0>b ，11121=+++b b a ，则b a +的最小值是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分14分）已知函数2()5f x x x a =-+．（1）当4-=a 时，求不等式2)(≥x f 的解集；（2）对任意R x ∈，若2)(-≥x f 恒成立，求实数a 的取值范围．O ABC16．（本小题满分14分）已知,cos )x x m =+a ，(cos ,cos )x x m =-b ，记()f x =⋅a b ． (1) 求函数)(x f 的解析式； (2) 当]3,6[ππ-∈x 时, )(x f 的最小值是4- , 求此时函数)(x f 的最大值, 并求出相应的x 的值．17. （本小题满分14分）设数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，且()1113N 2n n n n a a *++=∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若,log 22n n n a a b +=求数列{}n b 的前n 项和n S ．18. （本小题满分16分）如图，在ABC ∆中，4=AB ，1=AC ，60=∠BAC .（1）求BC 的长和ACB ∠sin 的值；（2）延长AB 到M ，延长AC 到N ，连结MN ，若四边形BMNC 的面积为33，求BM CN ⋅uuu r uuu r的最大值．19. （本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径称为M 到N 的一条“折线路径”，所有“折线路径”中长度最小的称为M 到N 的“折线距离” ．如图所示的路径123MD D D N 与路径MEN 都是M 到N 的“折线路径”．某地有三个居民区分别位于平面xOy 内三点)1,8(-A ，)2,5(B ，)14,1(C ，现计划在这个平面上某一点(),P x y 处修建一个超市．（1）请写出点P 到居民区A 的“折线距离”d 的表达式（用,x y 表示，不要求证明）； （2）为了方便居民，请确定点P 的位置，使其到三个居民区的“折线距离”之和最小．20. （本小题满分16分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，向量1(,)4n n AB S a =-uu u r ，其中*N n ∈，1(1,)2CD =-uu u r ，且满足//AB uu u r ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在正整数M ，使得当M n >时，1473278n a a a a a ->L 恒成立？若存在，求出M 的最小值；若不存在，请说明理由；（3）若数列{}n b 对任意的*N n ∈都有12132121212n n n n n n nb a b a b a b a b a ---+++++=--L ,求数列{}n b 的通项公式．x2013～2014学年第二学期期末调研测试高一数学参考答案及评分标准 201４．6一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．]2,1[- 2．60 3．4π 4．165 ５．216．3 7．6- 8．23 9．6 10．15 11．725- 12．12 13．3 14．23二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．解：（1）当4-=a 时，由不等式2)(≥x f ，得2542,x x --≥即2560,x x --≥()()610,x x ∴-+≥ ………………………４分 ∴不等式2)(≥x f 的解集为}{1,6.x x x ≤-≥或 ………………………７分（2）Q 任意R x ∈， 2)(-≥x f 恒成立，∴R x ∈，不等式252x x a -+≥-恒成立， 2R,52x a x x ∴∈≥-+-恒成立． ………………………9分2251752,24x x x ⎛⎫-+-=--+ ⎪⎝⎭Q ∴当52x =时，252x x -+-的最大值为17.4 ………………………12分∴当174a ≥时，2)(-≥x f 恒成立． ………………………14分 16．解: (1) (),cos )(cos ,cos )f x x x m x x m =⋅=+⋅-a b22cos cos x x x m =+- ………………３分 (2)2221)62sin(22cos 12sin 23)(m x m x x x f -++=-++=π ……6分 ∵,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦, ∴]65,6[62πππ-∈+x , ∴]1,21[)62sin(-∈+πx , ……9分 ∴22114, 4.22m m -+-=-∴= ………………11分 ∴254211)(max -=-+=x f , 此时262x ππ+=, 6x π=. …………14分17．解：（1）设等比数列{}n a 的公比为0>q ，()1113N 2n n n n a a *++=∈Q ， 1223113,2113.4a a a a ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩ 111131'21131.4a q a q q ⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭∴⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩…………3分 11,2a q ∴==, ………………………………………6分∴12.n n a -= ………………………………………7分（2）()141n n b n -=+-Q ……………………………………………………9分∴()()()()12110414241n n S n -⎡⎤=++++++⋅⋅⋅++-⎣⎦()()()12104441121-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n n ………………11分 ()21314n n n -+-= 21223326n n n ++--= ………………………14分18．解：（1）由余弦定理,得13cos 2222=∠⋅⋅-+=BAC AC AB AC AB BC ，∴13=BC . ………………………3分 由正弦定理,得sin sin AB BC ACB BAC=∠∠，4sin sin AB BAC ACB BC ⋅∠∴∠=== ………………………6分 （2）343323421=+⋅⋅=+=∆∆BMNC ABC AMN S S S ， ………………………8分 设y CN x BM ==,，0,0x y >>， 则有3423)1)(4(21=++y x ，∴16)1)(4(=++y x ∴124=++y x xy ， ………10分 ∵0,0x y >>，∴xy y x xy y x 442124=⋅≥-=+， ∴0124≤-+xy xy ，∴26≤≤-xy ，∴xy 的最大值为4，当且仅当1,4==y x 时等号成立． ………………………14分 1cos 602,2BM CN xy xy ︒∴⋅==≤uuu r uuu r ∴当4,1BM CN ==时，BM CN ⋅uuu r uuu r 的最大值为2． ………………………16分19．解：（1）点P 到居民区A 的“折线距离”18-++=y x d ，R y x ∈,．………3分（2）点P 到居民区A 、B 、C 的“折线距离”之和为1412518-+-+-+-+-++=y x y x y x d ， ………6分 下面分别确定x 和y 的值，使d 最小． 令1581-+-++=x x x d ，14212-+-+-=y y y d ， Q 132,512,1585114,8132,8x x x x d x x x x x x x +>⎧⎪+<≤⎪=++-+-=⎨--<≤⎪⎪--≤-⎩ ∴当1=x 时，1d 的最小值为13. ………10分 Q 2317,1411,214121415,123171y y y y d y y y y y y y ->⎧⎪+<≤⎪=-+-+-=⎨-+<≤⎪⎪-+≤⎩ ∴当2=y 时，2d 最小值为13， ………14分答:当点P 取在)2,1(时，到三个居民区的“折线距离”之和最小为26. ………16分20．解：（1）由已知1(,)4n n AB S a =-uu u r ，1(1,)2CD =-uu u r ， Q //AB uu u r CD ，∴212-=n n a S . …………………2分 当1=n 时，211=a ． 当2≥n 时，111112(2)2222n n n n n n n a S S a a a a ---⎛⎫=-=---=- ⎪⎝⎭， 12n n a a -∴=（2≥n ）， ∴所以，数列{}n a 是首项为21，公比为2的等比数列，故22-=n n a ．………………5分 （2） (35)125(34)21473222n n n n a a a a --++++--⋅⋅==L L ,76782=a ，假设存在满足题意的正整数M ，使得当M n >时，1473278n a a a a a -⋅⋅>L 恒成立, 则有762)53(>-n n ， ………………8分 即0152532>--n n ，∴解得319-<n 或8>n ， N n *∈Q ,8n ∴>.∴存在满足题意的min 8M =． ………………10分（3）∵12132121212nn n n n n n b a b a b a b a b a ---⋅+⋅++++=--L …①对任意*N n ∈都成立， ∴当2≥n 时，111223322111212n n n n n n n b a b a b a b a b a -------⋅+⋅++++=--L ………②， ………………12分②式两边同乘以2，得12132231221n n n n n n b a b a b a b a b a n ----⋅+⋅++++=--L ………③①-③,得12n n b a =，∴(2)n b n n =≥， ………………15分 在①式中令1=n ，得2111=a b ，∵211=a ，∴11=b . ∴*(N )n b n n =∈． ………16分。
2024-2025学年江苏省苏州市常熟市高一第一学期期中考试数学试题 (含答案)
2024-2025学年江苏省常熟市高一第一学期期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题p:“∃x∈R，x+2≤0”，则命题p的否定为( )A. ∃x∈R，x+2>0B. ∀x∈R，x+2>0C. ∃x∉R，x+2>0D. ∀x∈R，x+2≤02.已知x>0，则x−1+4x的最小值为( )A. 4B. 5C. 3D. 23.已知函数y=f(x)的定义域为[−2,1]，则函数y=f(2x+1)的定义域为( )A. RB. [−2,1]C. [−3,3]D. [−32,0]4.若函数f(x)=(m2−2m−2)x2−m是幂函数，且y=f(x)在(0,+∞)上单调递减，则实数m的值为( )A. 3B. −1C. 1+3D. 1−35.常熟“叫花鸡”，又称“富贵鸡”，既是常熟的特产，也是闻名四海的佳肴，以其鲜美、香喷、酥嫩著称。
双十一购物节来临，某店铺制作了300只“叫花鸡”，若每只“叫花鸡”的定价是40元，则均可被卖出;若每只“叫花鸡”在定价40元的基础上提高x(x∈N∗)元，则被卖出的“叫花鸡”会减少5x只.要使该店铺的“叫花鸡”销售收入超过12495元，则该店铺的“叫花鸡”每只定价应为( )A. 48元B. 49元C. 51元D. 50元6.已知f(x)是奇函数，对于任意x1，x2∈(−∞,0)(x1≠x2)，均有(x2−x1)(f(x2)−f(x1))>0成立，且f(2)=0，则不等式xf(x−2)<0的解集为( )A. (−2,0)∪(2,4)B. (−∞,−2)∪(2,4)C. (2,4)D. (−2,0)∪(0,2)7.通过研究发现：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)−b为奇函数，则函数f(x)=x3−3x2图象的对称中心为( ) 参考公式：(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3A. (0,0)B. (1,2)C. (1,−2)D. (2,−4)8.已知正实数a，b满足a+b=4，则代数式1b +b+1a的最小值为( )A. 5+12B. 5+14C. 54D. 25+2二、多选题：本题共3小题，共18分。
苏州市金阊区2024-2025学年数学四年级第一学期期末考试试题含解析
苏州市金阊区2024-2025学年数学四年级第一学期期末考试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、填空题。
（每题2分，共20分）1．过平行四边形的一个顶点向它的对边作一条高，可以把平行四边形分成一个三角形和一个（__________）形．2．按要求在括号里填上一个适当的数字。
（1）商是一位数：（________）62÷51 （________）18÷45（2）商是两位数：（________）29÷38 （________）67÷263．十位、百位、千位、万位、亿位是几个不同的（________）．4．从574里面连续减去7，最多能减（____）次．5．353÷3口，要使商是两位数，口可以填（_____），4口6÷46，要使商是一位数，口最大填（______）．6．在一个口袋里放了形状、大小一样的球，其中有5个红球、3个黄球和2个绿球。
从任意摸一个球，摸后放回，一共有（______）种可能，摸出（______）球的可能性最小，要使拿到这种球的可能性最大，至少还要加（______）个。
7．如图，A点的位置用数对表示是（4，5），C点的位置用数对表示是（_____），如果图书馆的位置用数对表示是（7，2），那么，它在（_____）点．8．据统计，从2020年3月1日至5月31日，为了抗击肺炎疫情，中国已向200多个国家和地区出□了防疫物资，其中，口罩70600000000只。
横线上的数读作（________），“6”在（________）位上，表示6个（________）。
9．5000000平方米＝（________）公顷＝（________）平方千米10．最大填几？65________678≈65万二、选择题（每题2分，共10分）11．下图中，已知∠2＝150°，则∠4＝（）。
湖北省武汉市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学质量检测试题(含答案)
湖北省武汉市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学质量检测试题注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知，则（ ）3i z =+1i z =+A ．B ．C ．D ．42i -42i+2i -2i+2．当时，曲线与直线的交点个数为（ ）()0,2πx ∈2cos y x =+13y x=A ．2B ．3C ．4D ．53．已知，，则在上的投影向量为（ ）()2,0a =()1,1b =a b A ．B ．C ．D ．()2,1()1,1()2,1()2,24．已知，，则下列说法正确的是（ ）1z 2z ∈C A ．若，，则B ．若，则3z ∈C 1323z z z z =12z z =12z z =12=z z C ．若，则D ．1212z z z z +=-120z z ⋅=1212z z z z +=-5．如图所示，角（）的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，其终边与x π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 单位圆的交点为，分别过点作轴的垂线，过点作轴的垂线交角的终边于，，P A x B y x T S 根据三角函数的定义，．现在定义余切函数，满足，则下列tan x AT =cot y x =1cot tan x x =表示正确的是（ ）A ．B ．cot x OT =cot 6．已知单位向量，互相垂直，若存在实数a b则（ ）t =A ．B ．122-±1-1C ．该校高一年级男生身高的极差介于至之间15cm 25cmD ．该校高一年级男生身高的平均数介于到之间170cm 175cm 10．阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置，其提供阻力的运动过程可近似为单摆运动．若某阻尼器离开平衡位置的位移（单位：）和时间（单位：）满足函数y m x s 关系：（，，），某同学通过“五点法”计算了一个周期内()sin y A x ωϕ=+0A >0ω>π2ϕ<的部分数据如下（其中，，，为未知数），则下列有关函数的描述正确的是a b c d ()y f x =（ ）x ωϕ+0π2π3π22πx a43b103d()f x 03cA ．函数的图象关于点对称()f x 16,03⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．函数的图象可由函数的图象向右平移个单位得到()f x sin y A x ω=13C ．函数的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4()f x D ．函数的图象与函数的图象重合()f x ππ3cos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭11．在棱长为2的正方体中，是的中点，下列说法正确的是（ ）1111ABCD A B C D -Q 1CC A ．若是线段上的动点，则三棱锥的体积为定值P 1AC P BQD -B ．三棱锥外接球的半径为1A BQD -666C ．若与平面，平面，平面所成的角分别为（），则AQ AC 1AD 1AB i θ1,2,3i =321cos 2ii θ==∑D ．若平面与正方体各个面所在的平面所成的二面角分别为，则ABQ ()1,,6i i θ= 612sin 4ii θ==∑三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知，，则．()tan 1αβ+=()tan 2αβ-=tan 2α=(1)若为线段的中点，求证：E BP (2)求二面角的余弦值C AB P --18．某市根据居民的月用电量实行三档阶梯电价，为了深入了解该市第二档居民用户的用电情况，该市统计局用比例分配的分层随机抽样方法，从该市所辖M BC(1)若点在线段上（不包括端点）范围；M AC(2)若点在线段上，求M BA(3)若点在线段上，作为奇函数．据此，判断函数在定义域内是否存在，使得函数()y f x a b =+-()y V x =0x 在上的图象是中心对称图形，若存在，求及对称中心；若不存在，说明理()y V x =()00,x 0x由．3．B【分析】根据投影向量的定义及向量的坐标运算求解．【详解】由已知，2b =a选项D ，取，则，，D 错；1212i,z 12i z =+=-122z z +=12(12i)(12i)4i z z -=--+=-故选：B ．5．D【分析】利用三角形相似，即可求解.【详解】由图象可知，，OBS TAO 则，即，OB BSAT OA =1BS AT OB OA ⋅=⋅=所以.11cot tan BS xAT x ===故选：D 6．D【分析】根据向量数量积的运算律和定义，列等式，即可求解.【详解】因为()()()()()222111111a t b t a b t a t a b t b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-⋅-+=-+-+⋅+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，1122t t t =-+-=-，，()()()()221111a t b a t bt +-=+-=+-()()()()221111t a b t a bt -+=-+=+-又与的夹角为，()1a t b +- ()1t a b-+ 60所以，即，()22211cos 60t t ⎡⎤-=+-⎣⎦ ()24411t t -=+-解得.13t =-±故选：D.7．A【分析】利用两角和与差的余弦公式，正弦的二倍角公式及诱导公式变形可得．【详解】1cos 20cos 40cos 20(cos 60cos 40)cos 202︒-︒︒=︒-︒︒[cos(5010)cos(4010)]cos 20=︒+︒-︒-︒︒(cos50cos10sin 50sin10cos50cos10sin 50sin10)cos 20=︒︒-︒︒-︒︒-︒︒︒2sin 50sin10cos 20=-︒︒︒2cos 20cos 40cos80=-︒︒︒2sin 20cos 20cos 40cos80sin 20-︒︒︒=︒．2sin 40cos 40cos802sin 80cos80sin1602sin 204sin 204sin 20-︒︒︒-︒︒-︒===︒︒︒sin 2014sin 204-︒==-︒故选：A ．8．C【分析】根据对称性，周期性，最值举例说明ABD 错误，解方程判断C 正确．【详解】选项A ，，，ππ()sin()sin(π)122f -=-+-=-πππ()sin sin π1()222f f =+=≠-即不可能恒成立，A 错；()()f x f x -=选项B ，，()()πsin π)+sin(2+2πsin sin 2f x x x x x+=+=-+即不可能恒成立，B 错；(π)()f x f x +=选项C ，，()sin 2sin cos sin (12cos )f x x x x x x =+=+由得或，()0f x =sin 0x =1cos 2x =-，则由得，由得，[π,π]x ∈-sin 0x =π,0,πx =-1cos 2x =-2π2π,33x =-即在上有5个不同的实根，C 正确；()0f x =[]π,π-选项D ，，D 错．πππ2()sin sin 124422f =+=+>故选：C ．9．AC【分析】根据统计表．结合中位数定义判断A （利用频数），再由众数定义判断B ，由极差定义判断C ，求出身高期望值判断D ．【详解】选项A ，由统计表，身高小于170的频数为360，身高不小于170的频数为cm cm 340，因此身高的中位数小于170，A 正确；cm 选项B ，由统计表身高的众数在区间上，结合选项A 的判断知B 错误；[)170,175选项C ，由统计表，身高的极差最大为，最小为，C 正确；18015525cm -=17516015cm -=选项D ，身高的平均值为，D 错．601575120162518016752401725100177516893cm60120180240100......⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈++++故选：AC ．10．BC【分析】根据五点法求出的解析式，然后结合正弦函数的性质，诱导公式判断各选项．()f x 【详解】由五点法知，从而，，由正弦函数性质知，41073323b +==13a =133d =3c =-，，，，3A =2ππ131233ω==-π1023ϕ⨯+=π6ϕ=-所以，ππ()3sin()26f x x =-选项A ，，A 错；16π16π()3sin()33236f =⨯-=选项B ，，其图象可由的图象向右平移πππ1()3sin()3sin ()2623f x x x =-=-π3sin 2y x=个单位得到，B 正确；13选项C ，函数的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为，C()f x 22104()(23)433-+=正确；选项D ，，D 错．πππππππ()3sin()3sin()3cos()2623223f x x x x =-=+-=-+故选：BC ．11．ACD【分析】对于A ，连接交于点，连接，可证得∥平面，进而进行判断，AC BD O OQ 1AC BDQ 对于B ，根据线面垂直的判定定理可证得平面，设为等边三角形的外心，OQ ⊥1A BDG 1A BD过作平面的垂线，则三棱锥外接球的球心在此直线上，然后求解，对于G 1A BD 1A BQD -C ，取的中点，连接，可得与平面，平面，平面11,DD BB ,M N ,,,AM AN MQ NQ AQ AC 1AD 所成的角分别，然后求它们的余弦值即可，对于D ，由题意可得1AB ,,QAC QAM QAN ∠∠∠平面平面，平面平面，为二角面的平面ABQM ⊥11BCC B ABQM ⊥11ADD A QBC∠Q AB C --角，为二面角的平面角，然后求出它们的正弦值判断.1QBB ∠1Q AB B --【详解】对于A ，连接交于点，连接，AC BD O OQ 因为四边形为正方形，所以为的中点，ABCD O AC 因为是的中点，所以∥，Q 1CC OQ 1AC 因为平面，平面，所以∥平面，1AC ⊄BDQ OQ ⊂BDQ 1AC BDQ 因为是线段上的动点，所以点到平面的距离为定值，P 1AC P BDQ对于B ，因为平面，平面，所以1CC ⊥ABCD BD ⊂ABCD 因为，，平面，AC BD ⊥1AC CC C = 1,AC CC ⊂1ACC 所以平面，因为平面，所以BD ⊥1ACC 1AC ⊂1ACC BD ⊥A B AC ⊥对于D ，因为∥，MQ CD AB 因为平面，AB ⊥11BCC B AB 所以平面平面ABQM ⊥BCC AB ⊥BCC B BQ故选：ACD关键点点睛：此题考查线面垂直，面面垂直，考查线面角，面面角，解题的关键是根据正方体的性质结合线面角和面面角的定义找出线面角和面面角，考查空间想象能力和计算能力，属于难题.12．3-时，由定义知，，x m ={}[]m m m ==()()0f x g x ==时，，，，12m x m <≤+{}[]x m x ==()f x m x =-()()g x x m f x =-≠时，，，，，112m x m +<<+{}1x m =+[]x m =()f x m x =-()(1)()g x x m f x =-+≠所以（），i x i =0,1,2,,2024i =⋅⋅⋅()()1202412024111012202410122025202520252n i i x =⋅+=+++⋅⋅⋅+=⋅=∑由偶函数对称性可知，．112101220242025ni i x ==⨯=∑故2024.方法点睛：本题考查函数新定义，关键是正确理解新定义并进行转化应用，解题方法是根据新定义对的值进行分类讨论，从而确定函数值并判断是否有．x ()()f x g x =15．(1)π2B =(2)16【分析】（1）利用两你用和与差的正弦公式对已知等式变形可求得角；B （2）由面积建立的关系，利用基本不等式求得的最小值，得面积最小值．也可用,,a b c b 角表示出边，然后利用正弦函数性质得面积的最小值．A ,a c 【详解】（1）因为，()πsin cos 2cos sin 3B C C B C ⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭所以．13sin cos sin cos cos 2cos sin cos 22B C C B C B C C ⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭．sin cos sin cos cos sin cos 3cos cos B C C B C C B B C +-=+．因为最大，所以，()sin 1cos 3cos cos B C B C-=b cos 0C ≠从而，sin 13cos B B -=即，所以，即或（舍）sin 3cos 1B B -=π1sin 32B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ππ36B -=π5π36B -=从而．π2B =（2）法一：设面积为，，ABC S 1422S b b=⨯⨯=因为，所以，又，所以，π2B =222b a c =+12S ac=4b ac =所以，22222422161664a c a c b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=≤=所以，8b ≥当且仅当时取等号，所以，面积的最小值为16．a c =216S b =≥ABC 法二：由边上的高为4，可得，即，AC 4sin A c =4sin c A =同理，444πsin cos sin 2a C AA ===⎛⎫- ⎪⎝⎭，116161622sin cos sin 2ABC S ac A A A ===≥△当且仅当即时取等号．π4A =a c =面积的最小值为16．ABC 16．(1)最大值，最小值，单调递增区间为，．2222-3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦Z k ∈(2)或．22a =-22a =【分析】（1）由三角公式化简函数为形式，然后根据正弦函数的性质求()sin()f x A x ωϕ=+解；（2）方程化为或，求得在上有三个根，因此在()2f x =()f x a=()2f x =[]0,π()f x a =上有且仅有一个不同于的实数根，从而根据正弦函数性质可得结论．[]0,ππ0,,π4x =【详解】（1）由题意，()()31cos 21cos 22sin 2122x x f x x +-=-+-化简得，()()π2sin 2cos 222sin 24f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭当，时，ππ22π42x k +=+Z k ∈即，，取得最大值；ππ8x k =+Z k ∈()f x 22当，时，ππ22π42x k +=-Z k ∈，，CD AP ∴⊥CD BP ⊥又，为中点.CA CP =D ∴AP 又为中点，E BP DE AB ∴∥又，，AB BP ⊥BP DE ∴⊥，平面，平面.CD DE D = ,CD DE ⊂CDE BP ∴⊥CDE （2）作于，连接，DF AB ⊥F CF 平面，平面，则，CD ⊥ PAB AB ⊂PAB CD AB ⊥又因为，平面，CD DF D ⋂=,CD DF ⊂CDF 平面，而平面，.AB ∴⊥CDF CF ⊂CDF AB CF ∴⊥又，为的中点，所以，CB CP CA == ,D F ∴,AP AB DF PB ∥又，.BP AB ⊥DF AB ∴⊥则即为二面角的平面角.CFD ∠C AB P --在中，.Rt CDF △cos DF CFD CF ∠=设，，则.CB CA a ==AC CB ⊥1222CF AB a ==因为，在中，，12BP AP =Rt ABP ()()222222BP BP AB a -==则，，.63BP a =1626DF BP a ==636cos 322aCFD a∠==18．(1)0.016m =(2)不正确(3)78.26【分析】（1）利用频率和为1列式即可得解；（2）求出85%分位数后判断即可；（3）利用方差公式推导总样本方差计算公式，从而得解.【详解】（1）根据频率和为1，可知，()0.0090.0220.0250.028101m ++++⨯=可得.0.016m =（2）由题意，需要确定月均用电量的85%分位数，因为，()0.0280.0220.025100.75++⨯=，()0.0280.0220.0250.016100.91+++⨯=所以85%分位数位于内，[)230,240从而85%分位数为.0.850.7523010236.252340.910.75-+⨯=>-所以小明的估计不正确.（3）由题意，A 区的样本数为，样本记为，，，，平均数记为；1000.440⨯=1x 2x L 40x x B 区的样本数，样本记为，，，，平均数记为；1000.440⨯=1y 2y L 40y y C 区样本数为，样本记为，，，，平均数记为.1000.220⨯=1z 2z L 20z z 记抽取的样本均值为，.ω0.42130.42230.2233221ω=⨯+⨯+⨯=设该市第二档用户的月均用电量方差为，则根据方差定义，总体样本方差为2s ()()()40402022221111100i j k i i i s x y z ωωω===⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑()()()4040202221111100i j k i i i x x x y y y z z z ωωω===⎡⎤=-+-+-+-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑因为，所以，()401ii x x =-=∑()()()()404011220iii i x x x x x x ωω==--=--=∑∑同理，()()()()404011220jji i yyy y yy ωω==--=--=∑∑，()()()()202011220kki i zz z z zz ωω==--=--=∑∑因此()()()()4040404022222111111100100i j i i i i s x x x y y y ωω====⎡⎤⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑，()()202022111100k i i z z z ω==⎡⎤+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑代入数据得()()222114024.2402132214012.340223221100100s ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎦=⨯+⨯-+⨯-⎣+⨯由，得BMG BCA △∽△2x21123x B G =+1cos B MG ∠显然，设1//A M AB 'AM '=从而112A E A M M E ''''=+=在中，1Rt A E C ' 21A E E '+化简得，解得231628a +=关键点点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键。
2014-2015年江苏省苏州市高一上学期期末数学试卷与答案Word版
2014-2015学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将符合要求的答案涂在答题卷上）1．（4.00分）若集合M={x|2﹣x＜0}，N={x|x﹣3≤0}，则M∩N为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，3] B．（﹣∞，3]C．（2，3]D．（1，3]2．（4.00分）“”是“A=30°”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也必要条件3．（4.00分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）内单调递增的是（）A．y=x3 B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+1 D．y=2﹣x4．（4.00分）已知sinα=，α是第二象限的角，则cos（π﹣α）=（）A．B．C．D．5．（4.00分）已知f（x）=，若f（x）=3，则x的值为（）A．1或B．±C．D．1或或6．（4.00分）将函数y=sin（2x+）图象上的所有点向左平移个单位，得到的图象的函数解析式是（）A．y=sin（2x+）B．y=sin（2x+）C．y=sin（2x﹣）D．y=sin2x 7．（4.00分）△ABC中，已知a=2，b=2，A=60°，则B=（）A．60°B．30°C．60°或120°D．120°8．（4.00分）若x满足不等式|2x﹣1|≤1，则函数y=（）x的值域为（）A．[0，）B．（﹣∞，]C．（0，1]D．[，1]9．（4.00分）函数在区间[5，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[6，+∞）B．（6，+∞）C．（﹣∞，6]D．（﹣∞，6）10．（4.00分）设f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a，b，α，β均为非零实数，若f（2012）=﹣1，则f（2013）等于（）A．﹣1 B．1 C．0 D．2二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将答案填写在题中横线上）11．（4.00分）函数的定义域是．12．（4.00分）若sinα+2cosα=0，则sin2α﹣sinαcosα=．13．（4.00分）已知f（x）是以2为周期的奇函数，在区间[0，1]上的解析式为f（x）=2x，则f（11.5）=．14．（4.00分）f（x）是R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=2x+1，若f（m）=5，则m的值为．15．（4.00分）某项工程的流程图如图（单位：天）：根据图，可以看出完成这项工程的最短工期是天．三、解答题（本大题共8小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（8.00分）计算：log24+（﹣1）0﹣（）+cos．17．（10.00分）设a，b，c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，S是△ABC的面积，已知a=4，b=5，S=5．（1）求角C；（2）求c边的长度．18．（12.00分）已知函数f（x）=a+b x（b＞0，b≠1）的图象过点（1，4）和点（2，16）．（1）求f（x）的表达式；（2）解不等式f（x）＞（）；（3）当x∈（﹣3，4]时，求函数g（x）=log2f（x）+x2﹣6的值域．19．（12.00分）设f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，当a，b∈（0，+∞）时，均有f（a•b）=f（a）+f（b），已知f（2）=1．求：（1）f（1）和f（4）的值；（2）不等式f（x2）＜2f（4）的解集．20．（12.00分）已知f（x）=4cosxsin（x+）﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．21．（8.00分）某项工程的横道图如下．（1）求完成这项工程的最短工期；（2）画出该工程的网络图．22．（14.00分）已知函数f（x）=x2+（a+1）x﹣b2﹣2b，且f（x﹣1）=f（2﹣x），又知f（x）≥x恒成立．求：（1）y=f（x）的解析式；（2）若函数g（x）=log2[f（x）﹣x﹣1]，求函数g（x）的单调区间．23．（14.00分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/时）．2014-2015学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将符合要求的答案涂在答题卷上）1．（4.00分）若集合M={x|2﹣x＜0}，N={x|x﹣3≤0}，则M∩N为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，3] B．（﹣∞，3]C．（2，3]D．（1，3]【解答】解：由M中不等式变形得：x＞2，即M=（2，+∞），由N中不等式变形得：x≤3，即N=（﹣∞，3]，则M∩N=（2，3]，故选：C．2．（4.00分）“”是“A=30°”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也必要条件【解答】解：“A=30°”⇒“”，反之不成立．故选：B．3．（4.00分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）内单调递增的是（）A．y=x3 B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+1 D．y=2﹣x【解答】解：对于A，y=x3是定义域R上的奇函数，∴不满足题意；对于B，y=|x|+1是定义域R上的偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，满足题意；对于C，y=﹣x2+1是定义域R上的偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，∴不满足题意；对于D，y=2﹣x是定义域R上非奇非偶的函数，∴不满足题意．故选：B．4．（4.00分）已知sinα=，α是第二象限的角，则cos（π﹣α）=（）A．B．C．D．【解答】解：∵sinα=，α是第二象限的角，∴cosα=﹣=﹣=﹣，∴cos（π﹣α）=﹣cosα=﹣（﹣）=．故选：A．5．（4.00分）已知f（x）=，若f（x）=3，则x的值为（）A．1或B．±C．D．1或或【解答】解：若x≤﹣1，由f（x）=3得f（x）=x+2=3，解得x=1，不满足条件，若﹣1＜x＜2，由f（x）=3得f（x）=x2=3，解得x=或﹣（舍），故x=满足条件，若x≥2，由f（x）=3得f（x）=2x=3，解得x=，不满足条件，综上x=，故选：C．6．（4.00分）将函数y=sin（2x+）图象上的所有点向左平移个单位，得到的图象的函数解析式是（）A．y=sin（2x+）B．y=sin（2x+）C．y=sin（2x﹣）D．y=sin2x 【解答】解：将函数y=sin（2x+）的图象向左平移个单位长度，得到y=sin[2（x+）+]=sin（2x++）=sin（2x+），故选：A．7．（4.00分）△ABC中，已知a=2，b=2，A=60°，则B=（）A．60°B．30°C．60°或120°D．120°【解答】解：∵由正弦定理可得：sinB====sin30°．∴B=30°+k360°或B=150°+k360°，k∈Z，又∵0＜B＜180°，a=2＞b=2，∴由大边对大角可得：0＜B＜60°，∴B=30°．故选：B．8．（4.00分）若x满足不等式|2x﹣1|≤1，则函数y=（）x的值域为（）A．[0，）B．（﹣∞，]C．（0，1]D．[，1]【解答】解：由不等式|2x﹣1|≤1解得，0≤x≤1；则≤≤1；故函数y=（）x的值域为[，1]；故选：D．9．（4.00分）函数在区间[5，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[6，+∞）B．（6，+∞）C．（﹣∞，6]D．（﹣∞，6）【解答】解：令t=x2﹣2（a﹣1）x+1，则二次函数t的对称轴为x=a﹣1，且f（x）=g（t）=2t，根据f（x）在区间[5，+∞）上是增函数，故二次函数t在区间[5，+∞）上是增函数，故有a﹣1≤5，解得a≤6，故选：C．10．（4.00分）设f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a，b，α，β均为非零实数，若f（2012）=﹣1，则f（2013）等于（）A．﹣1 B．1 C．0 D．2【解答】解：由题意得：f（2012）=asin（2012π+α）+bcos（2012π+β）=asinα+bcosβ=﹣1，则f（2013）=asin（2013π+α）+bcos（2013π+β）=﹣（asinα+bcosβ）=1，故选：B．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将答案填写在题中横线上）11．（4.00分）函数的定义域是（0，1] ．【解答】解：∴0＜x≤1∴函数的定义域为（0，1]故答案为：（0，1]12．（4.00分）若sinα+2cosα=0，则sin2α﹣sinαcosα=．【解答】解：∵sinα+2cosα=0，∴移项后两边同除以cosα可得：tanα=﹣2，∴由万能公式可得：sin2α===﹣，cos2α===﹣，∴sin2α﹣sinαcosα==﹣=．故答案为：．13．（4.00分）已知f（x）是以2为周期的奇函数，在区间[0，1]上的解析式为f（x）=2x，则f（11.5）=﹣1．【解答】解：∵f（x）是以2为周期的奇函数，∴f（11.5）=f（12﹣0.5）=f（﹣0.5）=﹣f（0.5）=﹣1；故答案为：﹣1．14．（4.00分）f（x）是R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=2x+1，若f（m）=5，则m的值为±2．【解答】解：若m≥0，则由f（m）=5得f（m）=2m+1=5，即2m=4，解得m=2，∵f（x）是偶函数，∴f（﹣2）=f（2）=5，则m=±2，故答案为：±215．（4.00分）某项工程的流程图如图（单位：天）：根据图，可以看出完成这项工程的最短工期是7天．【解答】解：由题意可知：工序①→工序②工时数为2；工序②→工序③工时数为2．工序③→工序⑤工时数为2，工序⑤→工序⑥工时数为1，所以所用工程总时数为：2+2+2+1=7天．故答案为：7．三、解答题（本大题共8小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（8.00分）计算：log24+（﹣1）0﹣（）+cos．【解答】解：原式====1．17．（10.00分）设a，b，c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，S是△ABC的面积，已知a=4，b=5，S=5．（1）求角C；（2）求c边的长度．【解答】解：（1）由题知，由S=absinC得，，解得，又C是△ABC的内角，所以或；（2）当时，由余弦定理得==21，解得；当时，=16+25+2×4×5×=61，解得．综上得，c边的长度是或．18．（12.00分）已知函数f（x）=a+b x（b＞0，b≠1）的图象过点（1，4）和点（2，16）．（1）求f（x）的表达式；（2）解不等式f（x）＞（）；（3）当x∈（﹣3，4]时，求函数g（x）=log2f（x）+x2﹣6的值域．【解答】解：（1）由题知解得或（舍去）∴数f（x）=4x，（2）f（x）＞（），∴4x＞（），∴22x＞∴2x＞x2﹣3解得﹣1＜x＜3∴不等式的解集为（﹣1，3），（3）∵g（x）=log2f（x）+x2﹣6=log24x+x2﹣6=2x+x2﹣6=（x+1）2﹣7，∴x∈（﹣3，4]，∴g（x）min=﹣7，当x=4时，g（x）max=18∴值域为[﹣7，18]19．（12.00分）设f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，当a，b∈（0，+∞）时，均有f（a•b）=f（a）+f（b），已知f（2）=1．求：（1）f（1）和f（4）的值；（2）不等式f（x2）＜2f（4）的解集．【解答】解：（1）∵f（a•b）=f（a）+f（b），令a=b=1得，f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0；令a=b=2，则f（4）=f（2）+f（2）=2；（2）∵f（x2）＜2f（4），∴f（x2）＜f（16）；∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，∴0＜x2＜16；故﹣4＜x＜0或0＜x＜4；故不等式f（x2）＜2f（4）的解集为（﹣4，0）∪（0，4）．20．（12.00分）已知f（x）=4cosxsin（x+）﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵，=4cosx（）﹣1=sin2x+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），所以函数的最小正周期为π；（Ⅱ）∵﹣≤x≤，∴﹣≤2x+≤，∴当2x+=，即x=时，f（x）取最大值2，当2x+=﹣时，即x=﹣时，f（x）取得最小值﹣1．21．（8.00分）某项工程的横道图如下．（1）求完成这项工程的最短工期；（2）画出该工程的网络图．【解答】（8分）解：（1）2+3+1+3=9，所以完成这项工程的最短工期为9天．…（3分）（2）画出该工程的网络图如下：…（5分）22．（14.00分）已知函数f（x）=x2+（a+1）x﹣b2﹣2b，且f（x﹣1）=f（2﹣x），又知f（x）≥x恒成立．求：（1）y=f（x）的解析式；（2）若函数g（x）=log2[f（x）﹣x﹣1]，求函数g（x）的单调区间．【解答】解：（1）∵f（x﹣1）=f（2﹣x），∴f（x）的对称轴为x=；…（1分）又∵函数f（x）=x2+（a+1）x﹣b2﹣2b，∴﹣=，解得a=﹣2，∴f（x）=x2﹣x﹣b2﹣2b；…（1分）又∵f（x）≥x恒成立，即x2﹣x﹣b2﹣2b≥x恒成立，也即x2﹣2x﹣b2﹣2b≥0恒成立；∴△=（﹣2）2﹣4（﹣b2﹣2b）≤0，…（1分）整理得b2+2b+1≤0，即（b+1）2≤0；∴b=﹣1，…（2分）∴f（x）=x2﹣x+1；…（1分）（2）∵g（x）=log2[x2﹣x+1﹣x﹣1]=log2（x2﹣2x），…（1分）令u=x2﹣2x，则g（u）=log2u；由u=x2﹣2x＞0，得x＞2或x＜0，…（2分）当x∈（﹣∞，0）时，u=x2﹣2x是减函数，当x∈（2，+∞）时，u=x2﹣2x是增函数；…（2分）又∵g（u）=log2u在其定义域上是增函数，…（1分）∴g（x）的增区间为（2，+∞），减区间为（﹣∞，0）．…（2分）23．（14.00分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/时）．【解答】解：（Ⅰ）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b再由已知得，解得故函数v（x）的表达式为．（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200当20≤x≤200时，当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．答：（Ⅰ）函数v（x）的表达式（Ⅱ） 当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法函数的 性 质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数yxoM 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的 性 质定义图象判定方法 函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x ．．．)．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(．．x)．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．辆/小时．。