2020-2021学年高考数学(理)考点：分类加法计数原理与分步乘法计数原理

1考点11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理一般形式区别分类加法计数原理完成一件事有n 类不同方案，在第1类方案中有m 1种不同的方法，在第2类方案中有m 2种不同的方法，…，在第n 类方案中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m 1＋m 2＋…＋m n 种不同的方法分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任何一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成分步乘法计数原理完成一件事需要n 个步骤，做第1步有m 1种不同的方法，做第2步有m 2种不同的方法，…，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m 1×m 2×…×m n 种不同的方法概念方法微思考1．在解题过程中如何判定是用分类加法计数原理还是分步乘法计数原理？提示 如果已知的每类办法中的每一种方法都能完成这件事，应该用分类加法计数原理；如果每类办法中的每一种方法只能完成事件的一部分，就用分步乘法计数原理． 2．两种原理解题策略有哪些？ 提示 ①明白要完成的事情是什么；②分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系； ③有无特殊条件的限制； ④检验是否有重复或遗漏．1．（2018•上海）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设1AA 是2正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以1AA 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）A ．4B ．8C ．12D ．16【答案】D【解析】根据正六边形的性质，则111D A ABB -，111D A AFF -满足题意， 而1C ，1E ，C ，D ，E ，和1D 一样，有248⨯=， 当11A ACC 为底面矩形，有4个满足题意， 当11A AEE 为底面矩形，有4个满足题意， 故有84416++= 故选D ．2．（2020•上海）已知{3A =-，2-，1-，0，1，2，3}，a 、b A ∈，则||||a b <的情况有__________种． 【答案】18【解析】当3a =-，0种， 当2a =-，2种， 当1a =-，4种； 当0a=，6种，3当1a =，4种； 当2a =，2种， 当3a =，0种，故共有：2464218++++=． 故答案为：18．3．（2018•新课标Ⅰ）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有__________种．（用数字填写答案） 【答案】16【解析】方法一：直接法，1女2男，有122412C C =，2女1男，有21244C C = 根据分类计数原理可得，共有12416+=种，方法二，间接法：336420416C C -=-=种， 故答案为：16．4．（2018•上海）某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为__________（结果用数值表示） 【答案】180【解析】根据题意，分2步分析：①，学生甲必须参赛且不担任四辩，则甲可以担任一、二、三辩，有3种情况，②，在剩下的5名学生中任选3人，安排到其他三个辩手的位置，有3560A =种情况， 则有360180⨯=种不同的安排方法种数； 故答案为：180．1．（2020•金安区校级模拟）2016里约奥运会期间，小赵常看的6个电视频道中有2个频道在转播奥运比赛．若小赵这时打开电视，随机打开其中一个频道，若在转播奥运比赛，则停止换台，否则就进行换台，那么，小赵所看到的第三个电视台恰好在转播奥运比赛的不同情况有( ) A ．6种 B ．24种C ．36种D ．42种【答案】B4【解析】第一步从4个没转播的频道选出2个共有24A 种，在把2个报道的频道选1个有12A 种，根据分步计数原理小赵所看到的第三个电视台恰好在转播奥运比赛的不同情况有214224A A =种．故选B ．2．（2019•西湖区校级模拟）从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a ，b ，组成复数a bi +，其中虚数有( ) A ．36个 B ．42个 C ．30个 D ．35个【答案】A【解析】a ，b 互不相等且为虚数，∴所有b 只能从{1，2，3，4，5，6}中选一个有6种，a 从剩余的6个选一个有6种，∴根据分步计数原理知虚数有6636⨯=（个)．故选A ．3．（2020•汉阳区校级模拟）学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》、《茶馆》、《天籁》、《马蹄声碎》四部话剧，每天一部，受多种因素影响，话剧《雷雨》不能在周一、周四上演；《茶馆》不能在周一、周三上演；《天籁》不能在周三、周四上演；《马蹄声碎》不能在周一、周四上演，则所有的可能情况有( )种． A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】由题意，周一只能上演《天籁》，周四只能上演《茶馆》， 故周二上演《雷雨》，周三上演《马蹄声碎》； 或者周二上演《马蹄声碎》，周三上演《雷雨》． 故所有的可能情况有2种， 故选C ．4．（2020•沙坪坝区校级模拟）设集合1{(A a =，2a ，3a ，4a ，5a ，6)|{1i a a ∈-，1}，1i =，2，3，4，5，6}，那么集合A 中满足条件“12345622a a a a a a -+++++”的元素的个数为( ) A ．35 B ．50C ．60D ．180【答案】B5【解析】集合1{(A a =，2a ，3a ，4a ，5a ，6)|{1i a a ∈-，1}，1i =，2，3，4，5，6}， 要满足“12345622a a a a a a -+++++”由题可得：i a 中有2个1-，4个1，或3个1-，3个1，或4个1-，2个1，共三类情况符合条件．所以A 中满足条件“12345622a a a a a a -+++++”的元素的个数为：23466650++=；故选B ．5．（2020•安徽模拟）中国足球队超级联赛的积分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某球队打完3场比赛，则该球队积分情况共有几种( ) A ．8 B ．9C ．10D ．11【答案】B【解析】打完3场比赛，可能出现的胜负情况为：三胜，二胜一平，二胜一负，一胜二平，一胜二负，一胜一平一负；三平，二平一负，一平二负；三负；对应的积分依次为：9，7，6，5，3，4，3，2，1，0；共9种积分情况． 故选B ．6．（2020•吉林模拟）一只蚂蚁从正四面体A BCD -的顶点A 出发，沿着正四面体A BCD -的棱爬行，每秒爬一条棱，每次爬行的方向是随机的，则蚂蚁第1秒后到点B ，第4秒后又回到A 点的不同爬行路线有( )A ．6条B ．7条C ．8条D ．9条【答案】B【解析】根据已知，可作出右图， 由图知，不同的爬行路线有7条， 故选B ．67．（2020•青羊区校级模拟）由数字0，1，2，3组成的无重复数字的4位数中，比2019大的数的个数为( ) A ．10 B ．11 C ．12 D ．13【答案】B【解析】根据题意，分2种情况讨论：①、当首位为3时，将剩下的三个数字全排列，安排在后面的三个数位，有336A =种情况，即有6个符合条件的4位数； ②，当首位为2时，若百位为1或3时，将剩下的两个数字全排列，安排在后面的两个数位，有2224A =种情况，即有4个符合条件的4位数；若首位为2，百位为0时，只有2031一个符合条件的4位数； 综上共有64111++=个符合条件的4位数； 故选B ．8．（2020•大同模拟）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有( ) A ．30种 B ．50种 C ．60种 D ．90种【答案】B【解析】①甲同学选择牛，乙有2种，丙有10种，选法有121020⨯⨯=种，7②甲同学选择马，乙有3种，丙有10种，选法有131030⨯⨯=种， 所以总共有203050+=种． 故选B ．9．（2020•武侯区校级模拟）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有( )个． A ．324 B ．216 C ．180 D ．384【答案】A【解析】由题意知本题需要分类来解：当个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：231313343390C A C A C +=种； 当个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：23112313343333234C A C C C A C +=种， 根据分类计数原理得到共有90234324+=个． 故选A ．10．（2020•和平区校级二模）在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数有( ) A ．512 B ．192 C ．240 D ．108【答案】D【解析】能被5整除的四位数末位是0或5的数，因此分两类第一类，末位为0时，其它三位从剩下的数中任意排3个即可，有3560A =个， 第二类，米位为5时，首位不能排0，则首位只能从1，3，4，5选1个，第二位和第三位从剩下的任选2个即可，有124448A A =个， 根据分类计数原理得可以组成6048108+=个不同的能被5整除的四位数． 故选D ．11．（2020•阿拉善盟一模）将4名实习教师分配到高一年级三个班实习，每班至少安排一名教师，则不同的分配方案有( )种． A ．12 B ．36 C ．72 D ．108【答案】B【解析】第一步从4名实习教师中选出2名组成一个复合元素，共有246C =种，8第二步把3个元素（包含一个复合元素）安排到三个班实习有336A =种， 根据分步计数原理不同的分配方案有6636⨯=种． 故选B ．12．（2019•河南模拟）某省示范高中将6名教师分配至3所农村学校支教，每所学校至少分配一名教师，其中甲必去A 校，乙、丙两名教师不能分配在同一所学校的不同分配方法数为( ) A ．36 B ．96 C ．114 D ．130【答案】D【解析】甲去A 校，再分配其他5个人，①如果都不去A 校，则分配方法有2222216A ⨯⨯⨯=种； ②如果5人分成1，1，3三组，则分配方法有313533()42C C A -=种； ③如果5人分成1，2，2三组，则分配方法有2213533322()72C C C A A -=种； 由加法原理可得不同分配方法有164272130++=种． 故选D ．13．（2019•西湖区校级模拟）已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡．若顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有( )种 A ．19 B ．26 C ．7 D ．12【答案】B【解析】顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，①当甲丙丁顾客都不选微信时，则甲有2种选择，当甲选择现金时，其余2人222A =种， 当甲选择支付宝时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选支付宝或现金，故有112215C C +=， 故有257+=种，②当甲丙丁顾客都不选支付宝时，则甲有2种选择，当甲选择现金时，其余2人222A =种， 当甲选择微信时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选微信或现金，故有112215C C +=，9故有257+=种，③当甲丙丁顾客都不选银联卡时，若有人使用现金，则12326C A =种， 若没有人使用现金，则有22326C A =种， 故有6612+=种，根据分步计数原理可得共有776626+++=种， 故选B ．14．（2019•诸暨市模拟）假如某人有壹元、贰元、伍元、拾元、贰拾元、伍拾元、壹佰元的纸币各两张，要支付贰佰壹拾玖(219)元的货款（不找零），则有__________种不同的支付方式． 【答案】6【解析】9元的支付有两种情况，522++或者5211+++， ①当9元采用522++方式支付时，200元的支付方式为2100⨯，或者1100250⨯+⨯或者110015022010⨯+⨯+⨯+共3种方式， 10元的支付只能用1张10元， 此时共有1313⨯⨯=种支付方式； ②当9元采用5211+++方式支付时：200元的支付方式为2100⨯，或者1100250⨯+⨯或者110015022010⨯+⨯+⨯+共3种方式， 10元的支付只能用1张10元， 此时共有1313⨯⨯=种支付方式； 所以总的支付方式共有336+=种． 故答案为：6．15．（2020•泰安二模）北京大兴国际机场为4F 级国际机场、大型国际枢纽机场、国家发展新动力源，于2019年9月25日正式通航．目前建有“三纵一横”4条跑道，分别叫西一跑道、西二跑道、东一跑道、北一跑道，如图所示；若有2架飞往不同目的地的飞机要从以上不同跑道同时起飞，且西一跑道、西二跑道至少有一道被选取，则共有__________种不同的安排方法．（用数字作答）．10【答案】10【解析】①西一跑道、西二跑道均被选取，有222A =种起飞方式； ②西一跑道、西二跑道只有一道被选取，有1122228C C A =种起飞方式； 由分类计数原理可知，满足条件的安排方法有2810+=种． 故答案为：10．16．（2020•杜集区校级模拟）某排有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，则不同的坐法有__________种． 【答案】120【解析】先排6个空座位，由于空座位是相同的，则只有1种情况，其中有5个空位符合条件， 再将4人插入5个空位中，则共有451120A ⨯=种情况， 故答案为：120．17．（2020•宝山区一模）2019年女排世界杯共有12支参赛球队，赛制采用12支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有__________场球赛． 【答案】66【解析】根据题意利用组合数得2121211662C ⨯==． 故答案为：66．。