数列解题技巧

第四讲数列与探索性新题型的解题技巧

【命题趋向】

从2007 年高考题可见数列题命题有如下趋势：

1. 等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有.

2. 数列中a n与S n之间的互化关系也是高考的一个热点.

3. 函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用.

4. 解答题的难度有逐年增大的趋势, 还有一些新颖题型, 如与导数和极限相结合等.

因此复习中应注意：

1. 数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决. 如通项公式、前n 项和公式等.

2. 运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本

量a i、d （或q）,掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算.

3. 分类讨论的思想在本章尤为突出. 学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q=1和q^l两种情况等等.

4. 等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外?如a n与S n的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等. 复习时，要及时总结归纳.

5. 深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是

学好本章的关键

6. 解题要善于总结基本数学方法. 如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果. 7．数列应用题将是命题的热点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用.

【考点透视】1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.

2．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能运用公

式解答简单的问题.

3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能运用公

式解决简单的问题.

4．数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位. 高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏. 解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度. 有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决

第1行

1 1

【例题解析】 考点1 正确理解和运用数列的概念与通项公式

理解数列的概念，正确应用数列的定义，能够根据数列的前几项写出数列的通项公 式? 典型例题

例1 .（2006年广东卷）在德国不来梅举行的第

48届世乒赛期间，某商店橱窗里

用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第 1堆只有1层，就一

个球；第2, 3, 4,…堆最底层（第一层）分别按图 4所示方式固定摆放，从第二层幵始，每层的小球自 然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球,

以f （n ）表示第n 堆的乒乓球总数，则f 3 ________ ; f

（n

） --------------------- （答案用n 表示）

球数。

数相当于n 堆乒乓球的低层数之和，即

f n a1 a2

所以：

n n 1 n 2

f(n)

6

例2. （2007年湖南卷理）将杨辉三角中的奇数换成 示的0-1三角数表.从上往下数，第

1次全行的数都为1的是第1行，第2次全

行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第 _____________ 行；第61 行中1的个数是 _________ 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 思路启迪：从图中观察各堆最低层的兵乓球数分别是

12,3,4,…推测出第n 层的

解答过程：显然

f 3

10.

第n 堆最低层（第一层）的乒乓球数,

a

n a

1 a

2

n n 1

，第n 堆的乒乓球数总

2

a n -(12 22 L n 2) - " " 1

2 2 2

1,偶数换成0,得到如图所

第5 行 1 1 0 0 1 1

思路启迪：计算图形中相应1的数量的特征，然后寻找它们之间的规律。

解：第1次全行的数都为1的是第2 1 = 1行，第2次全行的数都为1的是第221=3 行，第3次全行的数都为1的是第231 =7行，................... ，第n次全行的数都

为1的是第2n1行；第61行中1的个数是251

=32.

应填2n1，32

考点2数列的递推关系式的理解与应用

在解答给出的递推关系式的数列问题时，要对其关系式进行适当的变形，转化为常见的类型进行解题。如“逐差法”若a n a n 1n,且a11 ;我们可把各个差列

出来进行求和，可得到数列a n的通项.

再看“逐商法”即也n 1且a1 1，可把各个商列出来求积。

a n

另外可以变形转化为等差数列与等比数列，利用等差数列与等比数列的性质解决问题。例3.（2007年北京卷理）

数列a中，印2，a n 1 a n cn （C是常数，n 1,2,3,L ），且印，a?, a3成公比不为1的

等比数列.

（I）求C的值；（II ）求a.的通项公式.

解答过程:

2X n X n 1 X n 1 ,

X n

X n 1 X n 2 X n .

思路启迪：（1）由印，a 2, a 3成公比不为1的等比数列列方程求c ;

（2）可根据递推公式写出数列的前几项，然后分析每一项与该项的序号之间的关 系，归纳概括出an 与n 之间的一般规律，从而作出猜想，写出满足前 4项的该数 列的一个通项公式. 解：（I ） a 1

2， a 2 2 c ， a 3

2 3c ，

因为a 2， 83成等比数列，所以（2 c ）2 2（2 3c ），解得c 0或c 2 . 当c 0时，a t a 2 a 3，不符合题意舍去，故c 2 . （II ）当n > 2时，由于

a 2 a ! c ,

a 3 a ? 2c , L L , a n a n 1 (n 1)c , 所以 a n a 1

[1 2 L (n 1)]c 也卫

2

又 a 2， c 2，故 a n 2 n( n 1) n 2 n 2(n

2,3,L) ?

n 1时，上式也成立,

所以 a n n 2 n 2(n

1,2,L ).

小结：从特殊的事例，通过分析、归纳、抽象总结出一般规律，再进行科学地证

常用到，应引起足够的重视.

思路启迪：对递推关系变形，运用叠加法求得，特别注意的是对两边同时运用明，这是创新意识的具体体现，这种探索问题的方法, 在解数列的有关问题中经

例4.（2006年广东卷）已知数列x 满足X 2空，X n

2

x n 2，n 3,4,….右 lim 人 2，

n

(A) 3

2

(B) 3 (C) 4 (D) 5

X 3 X 2

X 1 X 3

数列递推关系是近几年高高数学的热点，主要是一些能转化为等差等比数

考点3数列的通项a n 与前n 项和S n 之间的关系与应用

a n 与S n 的关系：an

S n

=1，数列前

n 项和S n 和通项a .是数列中两个重要的量,

& Sn 1

n 2

代；对连续三项递推的关系a n 1

ka n

d 叶n 2

如果方程X 2

kx d=0有两个根、，则上递推关系式可化为

或a

n 1

a

n

a

n a n 1

X

4 X 3

L L L X n 1 X

X

2

X

4

2 X n

3 X n 1

X

n X n 1 X n 2 X

n

相叠加X

X 2 X 1 X 2 X n X n 1 .

QX 2 乞，

2 2X n X n 1 2X 1.

lim 2x n x n 1

n

n

im 2X

1

，

lim X

n

2， 2X 1 6

， X 1 3.

解答过程2:

X n

X n 2 得:

lim X

n

所以:

1 + -x 2

X n 1 X 1

1

X

n 2

2

，因为 L X 2 1

X 1 X 1，

2

lim X

n

2.

X i

3.

解答过程 3:

X n

X n 1 X n 2

得:

X n X n 1

X n 3

X 2 X i

n 1

1

X 1

，

从而X 3 X 2

X 4 X 3

3

X 1

叠加得:

X n X 2 X 1

X n X 2 lim X

n lim n

X 2 1

X 1 —

6

X

1

1 6X

1

从而X 1

小结: 列的递推关系式 对连续两项递推

a n ka n-1 d n 2,k 1，可转化为

在运用它们的关系式a n S n S ni 时，一定要注意条件n 2，求通项时一定要验证3!是 否适合。解决含a n 与S n 的式子问题时，通常转化为只含a n 或者转化为只S n 的式子. 例5.(2006年辽宁卷) 在等比数列a n 中,a i 2,前n 项和为s .,若数列a 1也是 等比数列，则S n 等于( )

(A) 2n 1 2

(B)

3n

(C)

2n

(D)

3n 1

命题目的：本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。 过程指引因数列a n 为等比，则a n 2q n1，因数列a n 1也是等比数列，则 即a n 2，所以S n 2n ，故选择答案C.

例6.已知在正项数列｛a n ｝中，S n 表示前n 项和且2 S? a n 〔，求a n . 思路启迪：转化为只含a n 或者只含S n 的递推关系式.

解答过程1:由已知2 .S ； a ； 1，得当n=1时，a 1=1 ;当n >2时,

a n

= S

l S -1

，代入已知有 2 S T S ;

S ; , 1，S n ,

S

n 1

- S n

1

，又 a

n

，S

n

S

n 1

，故」S 1

^S n

1 .

,S^' .S n ； 1， ，S ：是以1为首项，1为公差的等差数列,

,S ； n 故 a ； 2n 1.

a ； 1，得当 n=1 时，a 1=1 ;当 n > 2 时

对数列中的含n 的式子，注意可以把式子中的

n 换为n 1得到另外的式子。也可

因为S

a ； 1

2

，所以a

.2 . 2 a ； 1 a ； 1

1

2 2

4a n a ：

2a

2 a

n 1

2a

n 1

， a

n

2

2a ； a ； 1 2a ； 1 0

a n

a

n 1

2 0，因为

a

n

，

所以a

a n

2, 所以a n 2n 1 .

考点4. 数列中与n 有关的等式的理解与应用

S n 2 S ； 1.

解答过程2:由已知2 S ；