辽宁省大连市2021届高三数学双基考试试题 理(含解析)

辽宁省大连市2020届高三数学双基考试试题 理（含解析）

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.其中试题1-11中每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；试题12为多选题，有两个选项正确，只选一个且对得2分，有一个错选项得0分）

1.已知集合{

}

2

|3100,A x x x =--<{

}

|22x

B x =<，则A B =（ ）

A. (2,1)-

B. (5,1)-

C. ?

D. {0}

【答案】A 【解析】 【分析】

先分别求得集合A 与集合B ,再根据交集运算即可求解. 【详解】集合{

}

2

|3100,A x x x =--<{

}

|22x

B x =< 即{}|25,A x x =

-<<{}|1B x x =<

由交集运算可得{}{}{}|25|1|21x x x x x A x B =-<

故选:A

【点睛】本题考查了一元二次不等式与指数不等式的解法,交集的运算,属于基础题. 2.设1i z =--，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

【答案】B 【解析】 【分析】

根据共轭复数的定义,可先求得z ,进而得到z 在复平面内对应点所在的象限. 【详解】1i z =--

由共轭复数的定义可知1i z =-+

z 在复平面内对应点为()1,1-

所以z 在复平面内对应点在第二象限 故选:B

【点睛】本题考查了共轭复数的定义,复数在复平面内的几何意义,属于基础题. 3.命题“2

,40x x ?∈-≥R ”的否定是（ ） A. ,x ?∈R 240x -≤ B. ,x ?∈R 240x -< C. ,x ?∈R 240x -≥ D. ,x ?∈R 240x -<

【答案】D 【解析】 【分析】

根据全称命题的否定形式,即可求解.

【详解】由全称命题的否定,“2

,40x x ?∈-≥R ”的否定 为,x ?∈R 240x -< 故选:D

【点睛】本题考查了含有量词的命题的否定,全称量词的否定形式,属于基础题.

4.为了解某商品销售量y （件）与销售价格x （元/件）的关系，统计了(),x y 的10组值，并画成散点图如图，则其回归方程可能是（ ）

A. 10198?y

x =-- B. 10198?y

x =-+ C. 10198?y

x =+ D. 10198?y

x =- 【答案】B 【解析】

根据图象可知，线性回归系数为负，回归截距为正，故B 满足题意 故选B ．

5.已知二面角l αβ--的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，且,b c αβ⊥⊥，则b 与c 所成的角的大小为（ ）

A. 120°

B. 90°

C. 60°

D. 30°

【答案】C 【解析】 【分析】

,b c αβ⊥⊥，直线,b c 的方向向量,b c 分别是平面,αβ的法向量，根据二面角与法向量的关

系，即可求解.

【详解】设直线,b c 的方向向量,b c ，,b c αβ⊥⊥， 所以,b c 分别是平面,αβ的法向量， 二面角l αβ--的大小为60°，

,b c 的

夹角为060或0120，

因为异面直线所的角为锐角或直角， 所以b 与c 所成的角为060. 故选:C.

【点睛】本题考查二面角与二面角平面的法向量的关系，属于基础题. 6.下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间,2ππ??

???

上单调递减的是（ ） A. cos y x =

B. 2|sin |y x =

C. cos 2

x

y =

D.

tan y x =

【答案】B 【解析】 【分析】

根据解析式,判断出最小正周期,及函数的单调递减区间,即可判断. 【详解】对于A, cos y x

=最小正周期为2π,所以A 错误;

对于B,结合函数图像可知2sin y x =的最小正周期为π,在,2ππ??

???

上单调递减,所以B 正确; 对于C, cos 2

x y =的最小正周期为4π,所以C 错误;

对于D,tan y x =的最小正周期为π,在区间,2ππ??

???

上单调递增,所以D 错误. 综上可知,B 为正确选项. 故选:B

【点睛】本题考查了函数的周期性与单调性的应用,根据解析式及函数的图像即可判断,属于基础题.

7.“剑桥学派”创始人之一数学家哈代说过：“数学家的造型，同画家和诗人一样，也应当是美丽的”；古希腊数学家毕达哥拉斯创造的“黄金分割”给我们的生活处处带来美；我国古代数学家赵爽创造了优美“弦图”.“弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为α，则sin 2α等于（ ）

A.

35

B.

45

C.

725

D.

2425

【答案】D 【解析】 【分析】

设直角三角形的两条直角边中较短的边为a ,较长的边为b .根据两个正方形的面积,结合勾股定理求得a 与b 的关系,进而求得sin α和cos α, 再由正弦的二倍角公式即可求得sin 2α. 【详解】设直角三角形的两条直角边中较短的边为a ,较长的边为b ,即a b < 因为大正方形的面积为25,小正方形的面积为1 所以大正方形的边长为5 由勾股定理可知2225a b += 每个直角三角形的面积为

()1

25164

?-= 所以

1

62

ab =

则

2225 1

6

2

a b

ab

?+=

?

?

=

??

解方程组可得

3

4

a

b

=

?

?

=

?

所以

34

sin,cos

55

αα

==

由正弦的二倍角公式可知

3424

sin22sin cos2

5525

ααα

==??=

故选:D

【点睛】本题考查了三角形中三角函数值的求法,正弦的二倍角公式应用,属于基础题.

8.已知直线l过抛物线2

:8

C y x

=的焦点，并交抛物线C于A、B两点，|16

|

AB=，则弦AB 中点M的横坐标是（）

A. 3

B. 4

C. 6

D. 8

【答案】C

【解析】

【分析】

根据抛物线方程画出图像,结合抛物线定义及梯形中位线性质,即可求得AB中点M的横坐标. 【详解】直线l过抛物线2

:8

C y x

=的焦点, 交抛物线C于A、B两点

则其焦点坐标为()

2,0

F,准线方程为2

x=-

过A向准线作垂直交准线于P点,过B向准线作垂直交准线于Q点,过M向准线作垂直交准线于N,交y轴于H,如下图所示:

设()()

1122

,,,

A x y

B x y

由抛物线定义可知,,AF AP BF BQ ==

由16AB =,可知16AB AF BF AP BQ =+=+= 因为M 为AB 的中点, 由梯形的中位线性质可知()11

16822

MN AP BQ =

+=?= 则826MH MN NH =-=-= 即M 的横坐标是6 故选:C

【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系,过焦点的直线与弦长关系,中点坐标公式及梯形中位线性质的应用,属于基础题.

9.一件刚出土的珍贵文物要在博物馆大厅中央展出，需要设计各面是玻璃平面的无底正四棱柱将其罩住，罩内充满保护文物的无色气体.已知文物近似于塔形，高1.8米，体积0.5立方米，其底部是直径为0.9米的圆形，要求文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3米，文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2米，气体每立方米1000元，则气体费用最少为（ ）元

A. 4500

B. 4000

C. 2880

D. 2380

【答案】B 【解析】 【分析】

根据题意,先求得正四棱柱的底面棱长和高,由体积公式即可求得正四棱柱的体积.减去文物的体积,即可求得罩内的气体体积,进而求得所需费用.

【详解】由题意可知, 文物底部是直径为0.9米的圆形,文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3米

所以由正方形与圆的位置关系可知,底面正方形的边长为0.920.3 1.5m +?=

文物高1.8米,文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2米 所以正四棱柱的高为1.80.22m += 则正四棱柱的体积为231.52 4.5V m =?= 因为文物体积为30.5m

所以罩内空气的体积为34.50.54m -= 气体每立方米1000元

所以共需费用为410004000?=元 故选:B

【点睛】本题考查了棱柱的结构特征与体积求法,由空间位置关系求得棱柱的棱长,属于基础题.

10.设1,F 2F 是双曲线22

22,1x y C a b

-=(0,0)a b >>的两个焦点，P 是双曲线C 上一点，若

126PF PF a +=，且12F PF ∠为120?，则双曲线C 的离心率为（ ）

【答案】D 【解析】 【分析】

根据双曲线定义及126PF PF a +=,可用a 分别表示出12PF PF 、

,在12F PF ?中应用余弦定理可得a c 、的关系,进而求得双曲线的离心率.

【详解】设1,F 2F 分别是双曲线22

22,1x y C a b

-=的左右两个焦点,P 为双曲线右支上一点

由双曲线定义可知122PF PF a -= 而126PF PF a +=

所以121262PF PF a PF PF a ?+=??-=??,解得12

42PF a

PF a ?=??=??

因为12120F PF ∠=,122F F c =

所以在12F PF ?中由余弦定理可得2

22

12

1212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-?∠

代入可得222416442122c s 0o c a a a a =???+- 化简可得227c a =

所以双曲线的离心率为e ==

故选:D

【点睛】本题考查了双曲线的定义及简单应用,双曲线中焦点三角形中余弦定理的应用,双曲线离心率的求法,属于基础题.

11.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志是“连续10日，每天新增疑似病例不超过7人”.过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下： 甲地：总体平均数为3，中位数为4； 乙地：总体平均数为1，总体方差大于0； 丙地：总体平均数为2，总体方差为3； 丁地：中位数为2，众数为3；

则甲、乙、两、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是（ ） A. 甲地 B. 乙地 C. 丙地 D. 丁地

【答案】C 【解析】 【分析】

平均数与中位数,不能限制极端值的出现,因而可能会出现超过7人的情况;方差体现的是数据的离散情况,不知道方差的具体值,不能判断是否出现超过7人的情况;众数是出现次数多的数据,不能限制极端值的大小.

【详解】对于甲地, 总体平均数为3,中位数为4.平均数与中位数,不能限制极端值的出现,因而可能会出现超过7人的情况,所以甲地不符合要求;

对于乙地, 总体平均数为1,总体方差大于0.没有给出方差具体的大小,如果方差很大,有可能出现超过7人的情况,所以乙地不符合要求;

对于丁地：中位数为2,众数为3. 中位数与众数不能限制极端值的大小,因而可能出现超过7人的情况,所以丁地不符合要求;

对于丙地,根据方差公式()()()

2222

123110s x x x x x x ??=

-+-+-+???????

.若出现大于7的数值m ,则()()()

2222

2312 3.610s m x x x x ??

=

-+-+-+???>????

,与总体方差为3矛盾,因而不会出现超过7人的情况出现. 综上可知,丙地符合要求. 故选:C

【点睛】本题考查了平均数、众数、中位数与方差表示数据的特征,对数据整体进行估算,属于中档题.

12.若点()11,,A x y ()22,B x y ()12x x <是函数1,1

()ln ,1x e x f x x x ?-+≤=?>?

的图象上任意两，且函数

()f x 在点A 和点B 处的切线互相垂直，则下列结论正确的是（ ）

A. 10x <

B. 101x <<

C. 2

1

x x 最大值为e

D. 12x x 最

大值为e 【答案】D 【解析】 【分析】

根据12x x <,分三种情况讨论: 121x x <≤,121x x ≤<或121x x ≤<.对函数()f x 求导,由导数的几何意义及函数()f x 在点A 和点B 处的切线互相垂直,即可得12x x 、的关系,进而判断选项即可.

【详解】因为1,1

()ln ,1x e x f x x x ?-+≤=?>?

,点()11,,A x y ()22,B x y ()12x x <

所以,1

'()1,1x e x f x x x

?-≤?

=?>??

因为()f x 在点A 和点B 处的切线互相垂直

由导数几何意义可知, ()f x 在点A 和点B 处的切线的斜率之积为1- 当121x x <≤时,满足()()

121x x

e e -?-=-,即12121x x x x e e e +?==-

因为120x x e +>,所以方程无解.即不存在121x x <≤时使得()f x 在点A 和点B 处的切线互相垂直

当121x x ≤<时,满足()

12

11x

e x

-?=-,即12x e x =.因为21>x ,所以11x e > 所以1>0x ,所以A 、B 错误;

对于C,可知1211x x e x x =

,令()x

e g x x

=,()1x ≤ 所以()()

221''x x

x x e x e xe e g x x x x ??--===

? ??

?

令()'0g x =,得1x =

所以当1x <时, ()'0g x <,则()x

e g x x =在1x <时单调递减

所以()x

e g x x

=在1x =时取得极小值,即最小值

()1

min 11

e g e ==,无最大值,所以C 错误;

对于D,可知1121x

x x x e =? 令()x

h x xe =,()1x ≤

则()'x

x

h x e xe =+

令()()'10x

h x e x =+=,

解得1x =-

所以当1x <-时, ()'0h x <,则()x

h x xe =在1x <-时单调递减

当11x -<≤时, ()'0h x >,则()x

h x xe =在11x -<≤时单调递增

所以()x

h x xe =在1x =-时取得极小值,即最小值为()min 11h e

-=-.

当1x =时取得最大值, ()max 1h e =,所以D 正确.

当121x x ≤<时,满足12

11

1x x ?

=-,即121x x ?=- 此方程无解,所以不成立. 综上可知,D 为正确选项.

故选:D

【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性与最值中的综合应用,分类讨论思想的综合应用,属于难题.

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题-第23题为选考题，考生根据要求做答.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上，16题第一空2分，第二空3分） 13.已知向量a ，b 的夹角为,4

π||2,a =||2b =，则a b ?=________.

【答案】2. 【解析】 【分析】

根据向量数量积的定义,可直接求得a b ?. 【详解】设向量a ,b 的夹角为α

由向量数量积定义可知||||cos a b a b α??= 代入可得22cos

24

a b π

??==

故答案为:2

【点睛】本题考查了向量数量积的定义及求法,属于基础题. 14.已知定义在R 上的奇函数()x x

f x e ae -=+，则a 的值为________.

【答案】-1. 【解析】 【分析】

根据定义域为R 的奇函数满足(0)0f =,代入即可求得a 的值. 【详解】因为()x x

f x e ae -=+是定义在R 上的奇函数

所以满足(0)0f = 代入可得0

1(0)0f e ae

a -=++==

解得1a =- 故答案为:1-

【点睛】本题考查了奇函数的性质与简单应用,注意只有当定义域为R 时奇函数才满足

(0)0f =,属于基础题.

15.我国南宋数学家秦九留撰写的名著《数书九章》第五卷提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长，求三角形面积的公式.设三角形的三条边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S

可由公式S p 为三角形周长的一半，这个公式也被称

为“海伦—秦九韶”公式，现有一个三角形的边长满足4c =，6p ，则三角形面积的最大

值为________.

【答案】【解析】 【分析】

根据题意,求得+a b 的值,结合三角形的面积公式,由基本不等式即可求得面积的最大值. 【详解】因为4c =,1

62

p

a b c

所以1248a b +=-=

而S =

(6)(6)

2

a b -+-=

而由基本不等式可知()(6)(6)

122

a b a b -+-=-+=????

所以S ≤当且仅当66a b -=-时取得最大值,此时4a b ==

即三角形面积的最大值为

故答案为: 【点睛】本题考查了对新定义的理解和应用,基本不等式在求最值中的应用,属于基础题.

16.在ABC ?中，若()sin sin cos sin 0A B B C +-=，则角A 的值为__________，当

sin 22sin 2B C +取得最大值时，tan 22tan 2B C +的值为__________________．

【答案】 (1). 4

π. (2). 9

2-.

【解析】 【分析】

（1）将sin sin()C A B =+代入条件等式，化简可得()sin sin cos 0B A A -=，由sin 0B ≠， 可得tan 1A =，结合A 的范围，求得4

A π

=；

（2）由3

,2242

A B C π

π==-，sin 22sin 22sin 2cos 2)B C C C C ?+=-=- 其中1sin tan

2???=

==，当sin 22sin 2B C +取得最大值时，

22,22,2

2

C k C k k Z π

π

?π?π-=+

=++

∈，由sin ,cos ,tan ???的值，结合诱导公式求

出tan 2,tan 2C B ，即可得出结论.

【详解】()sin sin cos sin 0A B B C +-=， 得()sin sin cos sin()0A B B A B +-+=

()sin sin cos sin cos cos sin 0A B B A B A B +--=， ()sin sin cos 0B A A -=，由sin 0B >，

sin cos 0A A -=，tan 1A =，

0,4

A A π

π<<∴=

；

（2）由3

,2242

A B C π

π=

=-，

sin 22sin 22sin 2cos 2)B C C C C ?+=-=-

其中1sin tan

2???=

==，

当sin 22sin 2B C +取得最大值时，

22,22,2

2

C k C k k Z π

π

?π?π-=+

=++

∈，

sin()cos 2tan 2tan()22sin cos()2

C π

?π??π??+=+=

==--+， 31

tan 2tan(2)tan()tan 22

B C ππ??=-=-=-=-，

9

tan 22tan 22

B C +=-.

故答案为: (1)

4

π. (2).92-.

【点睛】本题考查三角恒等变换求角，考查化简三角函数求最值，属于中档题.

三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，且060ABC ∠=，PA PC AB ==，过侧面PAD ?中线AE 的一个平面α与直线PD 垂直，并与此四棱锥的面相交，交线围成一个平面图形.

（1）画出这个平面图形，并证明PD ⊥平面α；

（2）若PB PD =，求平面α与平面PAB 所成的锐二面角的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2

. 【解析】 【分析】

（1）连接,AC CE ，ACE ?即为所求，由已知可知AD PA =，E 为PD 中点，得AE PD ⊥，同理有CE PD ⊥，即可得出结论；

（2）连接BD ，交AC 于O ，连接PO ，可证PO ⊥面ABCD ，设2PA PC AB ===, 求出点,,,P A B D 坐标，求出平面PAB 法向量，由（1）得面α的一个法向量为DP ，根据空间向量二面角公式，即可求解.

【详解】（1）连接,AC CE ，ACE ?即为所求，

∵ABCD 是菱形，∴AD AB =，又∵PA AB =，∴AD PA =， ∵E 为PD 中点，∴AE PD ⊥，同理CE PD ⊥， 又∵AE

CE E =，,AE CE α?，∴PD α⊥；

（2）连接BD ，交AC 于O ，连接PO ，

∵ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，且O 为,AC BD 中点， ∵PA PC =，∴AC PO ⊥，同理BD PO ⊥，又∵AC

BD O =，

,AC BD ?平面ABCD ，∴PO ⊥面ABCD ，

以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设2PA PC AB ===，∵060ABC ∠=，∴2,3AC BD ==

())()(0,1,0,3,0,0,3,0,0,3A B

D P --

()()(3,0,3,3,1,0,0,1,3DP AB AP ===.

∵PD α⊥，∴平面α的一个法向量为(3,0,3DP =，

设平面PAB 的一个法向量为(),,n x y z =，

则·0·0n AB n AP ?=?=?，即30

30

x y y z ?+=??=??，设1x =，则3,1y z =-=，

()

1,3,1n =-，

设平面α与平面PAB 所成的锐二面角大小为θ， 则·2310

cos cos ,6?5

n DP n DP n DP

θ==

=

=，

综上平面α与平面PAB 所成的锐二面角余弦值为

10

5

.

【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查空间向量法求二面角，考查计算能力，属于中档题. 18.已知数列{}n a 满足：n a n ??????

是公比为2的等比数列，2n n a ??

????是公差为1的等差数列.

（I ）求12,a a 的值；

（Ⅱ）试求数列{}n a 的前n 项和n S .

【答案】（I ）1228

a a =??=?；（Ⅱ）1

(1)22+=-?+n n S n .

【解析】 【分析】

（Ⅰ）根据等比数列的定义与等差数列的定义,可得关于12,a a 的方程组,解方程组即可求得

12,a a 的值.

（Ⅱ）根据（Ⅰ）求得数列{}n a 的通项公式,可知数列{}n a 为等差数列与等比数列的乘积.由错位相减法即可求得数列{}n a 的前n 项和n S .

【详解】（Ⅰ）方法一：n a n ??

????

构成公比为2的等比数列

21

221

a a ∴

=? 214a a ∴=

又2n n a ??

????

构成公差为1的等差数列

21

21122a a ∴-=,解得12

28a a =??=?

方法二：

n a n ??

????

构成公比为2的等比数列, 11

12,n n a n a n

+∴=1(1)

2n n n a a n ++∴=.①

又

2n n a ??

????

构成公差为1的等差数列, 11122n n

n n

a a ++∴

-=② 由①②解得：2n

n a n =?

12

2

8a a =??=? （Ⅱ）

1

122,1

n n n a a n -=?= 2n n a n ∴=?

123n n S a a a a =+++???+1231222322n n =?+?+?+???+? 234121222322n n S n +∴=?+?+?+???+?

两式作差可得：

23122222n n n S n +-=+++???+-?

()1212212

n n n n S +-=

-?--

1(1)22n n n S +=?---,

1(1)22n n S n +∴=-?+.

【点睛】本题考查了等差数列与等比数列通项公式的简单应,错位相减法求数列前n 项和,属于基础题.

19.某校辨论队计划在周六、周日各参加一场辨论赛，分别由正、副队长负责，已知该校辩论队共有10位成员（包含正、副队长），每场比赛除负责人外均另需3位队员（同一队员可同

时参加两天的比赛，正、副队长只能参加一场比赛）.假设正副队长分别将各自比赛通知的信息独立、随机地发给辩论队8名队员中的3位，且所发信息都能收到. （1）求辩论队员甲收到队长或副队长所发比赛通知信息的概率；

（2）记辩论队收到正副队长所发比赛通知信息的队员人数为随机变量X ，求X 的分布列及其数学期望. 【答案】（1）3964；（2）分布列见解析，()398

E X =. 【解析】 【分析】

（1）根据已知条件甲队员收到正副队长的通知信息概率均为3

8

，没有收到正副队长的通知信

息概率均为

5

8

，根据相互独立同时发生的概率公式，可求出甲队员没有收到正队长也没收到副队长所发比赛通知信息的概率，由对立事件的概率关系，即可求解；

（2）由题意可得随机变量X 可取值为3，4，5，6，根据古典概型的概率，分别求出3,4,5,6X =的概率，可得到分布列，按照期望公式，即可得出结论. 【详解】（1）设事件A 表示：辩论队员甲收到队长的通知信息， 则()38

P A =

，()

5

8P A =，

设事件B 表示：辩论队员甲收到副队长的通知信息， 则()()

35

,88

P B P B =

=， 设事件C 表示；辩论队员甲收到队长或副队长的通知信息，

则()()()

2

53911864

P C P A P B ??=-=-=

???，

所以辩论队员甲收到队长或副队长的通知信息的概率为3964

； （2）由题意可得随机变量X 可取值为3，4，5，6，

则()()321188653535

8888115

3,45656C C C C P X P X C C C C ======， ()122875358815528C C C P X C C ===，()358535

885

628

C C P X C C ===， 所以随机变量X 的分布列为：

其数学期望()115155393456565628288

E X =?

+?+?+?=. 【点睛】本题考查相互对立同时发生的概率以及利用对立事件求概率，考查随机变量的分布列和期望，属于中档题. 20.已知函数()ln f x x =. （1）试判断函数()()1

ax

g x f x x =++的单调性； （2）若函数()()()()1

10h x f

x f x ax a -=-+->在()0,∞+上有且仅有一个零点，

①求证：此零点是()h x 的极值点；

②求证：12

2132

e a e -

<<-. 1.65,ln 20.7,ln 3 1.1≈≈≈） 【答案】（1）见解析；（2）①证明见解析；②证明见解析. 【解析】 【分析】

（1）求出()()

()()()

2

2

221

2211111x a x a x a

x g x x

x x x x ++++++'=+

==+++，由0x >，得12x x +≥ ，对参数a 分类讨论，当4a ≥-时，()0g x '≥恒成立，求出单调区间；当4a

，令

()2()0,210g x x a x '=+++=，求出方程的根，即可求得结论；

（2）①求出(),()h x h x '，可判断()h x '

在()0,∞+单调递增，根据零点存在性定理可得，

()()00,ln 1x a ?∈+，使得()00h x '=，结合()h x '的单调性，可得

()00,x x ∈,()()00,,h x x x '<∈+∞时，()0h x '>，()h x 在()00,x 单调递减，()0,x +∞单调

递增，()h x 在()0,∞+上有且仅有一个零点，此零点为极小值点0x ；

②由①得()()0000

h x h x ?=??='??，0011x a e x =-+，且()()0

00001ln 101x x x e x x --++

=+，整理得0011x a e x =-

+，且()()0

000

01ln 101

x x x e x x --++=+，0x 为函数 ()()()1ln 11

x x

u x x e x x =--++

+()()()

0,ln 1x a ∈+的零点，通过求导判断()u x 的单调性，结合零点存在性定理，可求01,12x ??∈ ???

，根据()11x v x e x =-+在1,12??

???单调递增，即可

求出结论.

【详解】（1）∵()()

()()()

2

2

22

12211111x a x a x a

x g x x

x x x x ++++++'=+

==+++， ∵0x >，∴1

222x a a x

+

++≥++，∴4a ≥-时，()0g x '≥恒成立， 所以()g x 在()0,∞+单调递增，没有单调递减区间.

4a

时，设()()2

21m x x a x =+++，则对称轴02

02

a x +=

-

>，240a a ?=+>， 解不等式()0m x >可得：()

22a x -+>，或()22

a

x -+<，

所以此时()g x 的单调递增区间为()20,

2a ?

-+-

???和()22a ??

-++ ?+∞ ???. 单调递减区间是()()22

22a a ?-+-+

???

， 综上：4

a ≥-时，单调递增区间是()0,∞+，没有单调递减区间：

4a

时，单调递增区间为()20,

2a ?

?-+ ?

???和()22a ??

-+ ?+∞ ???

， 单调递减区间是()()2222a a ?-+-+

???

；