轴对称问题

轴对称应力状态分析

当作用力对称分布于回转体时，其内部的应力状态称为轴对称应力状态，轴对称应力状态的特点是:(1)通过旋转体轴线的子午面在变形过程中始终不会扭曲，所以在θ面上没有剪应力，即

p

θτ

=

Z

θτ

=0，所以

θ

σ就是一个主应力。（2）各应力分量与θ坐标无光，对θ的偏

导数为零。

采用圆柱坐标系时，轴对称的应力张量为：

ij 0

=0

00

P ZP

P Z

Z θ

σσσσ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ττ

设点a 的坐标为（P ,θZ)，应力状态为ij

σ，a 1

的坐标为（p p d +，d θθ+，z z d +），

应力状态为

ij ij

d σσ+，即

z z z ij ij z z

z

z

z

z

z z z

=z

z

z z d d d d d d d d d d θθθ

θθ

θθθθθσσθθσσσσθθσθ

σθ

∂∂∂⎛

⎫

+++

⎪

∂∂∂

⎪

∂∂∂ ⎪+++

+ ⎪∂∂∂

⎪

∂∂∂ ⎪++

+ ⎪

∂∂∂⎝

⎭ρρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρρρρτ

τρτ

τ

ρ

ττ

τρ

τρττ

τρτ

ρ 根据力的平衡条件=P ∑ρ0

；=0

P θ∑

；=0

Z P ∑

，可得以下圆柱坐标系的平衡微分

方程为：

z z

z

z 0z 0

z θ

σσσσ∂∂-⎫+

+

=⎪

⎪∂∂⎬

∂∂⎪++=⎪∂∂⎭ρρ

ρρρτ

ρρ

ττρ

ρ

在有些轴对称问题（例如圆柱体的均匀镦粗、挤压和拉拔等）中，由于

=d d ρθ

εε，由增量理论可知，当某两个正应变增量的分量相等时，其对应的应力也相等，所以=ρθ

σσ。

那么轴对称的平衡方程可简化为：

z z

z z =0

z =0z ρρ

ρρσρσρ

ρ∂∂⎫+

⎪

∂∂⎪

⎬

∂∂⎪

++⎪∂∂⎭

τ

τ

τ

轴对称的屈服应力： 1 Tresca 屈服准则

Tresca 认为当最大剪应力达到某定值时材料就会发生屈服，开始塑性变形阶段，即 max c

τ=，

由于屈服时的定值c 与应力状态无光，故可由单周俊宇拉伸实验或薄壁管扭转实验确定。单向均匀拉伸中

230

σσ==，屈服时

1s

σσ=，所以最大剪应力为：

13

1

132

2

2

s

c

σσσστ-=

=

==，

该剪应力也应等于纯剪屈服时的剪应力k ，所以当假定 123

σσσ≥≥，塑性条件可写成

31==2k

s σσσ-，该公式同样可用于轴对称问题中。

2 Mises 屈服准则

Mises 屈服准则可叙述如下：当等效应力σ达到某定值时，材料即行屈服，该定值与应力状态无光。或者材料处于塑性状态时，其等效应力为某一定值。因此，Mises 塑性条件可写成下式：

()()()()()()()222122331

222222

x y y z z x xy yz zx 1

=

21 =62 =c

σσσσσσσσσσσσστττ⎡⎤

-+-+-⎣

⎦⎡⎤-+-+-+++⎢

⎥⎣⎦

在单向均匀拉伸中，c=s

σ；在纯剪时，

13=k

σσ=-，带入上式得=c=3k σ，于是

Mises 塑性条件的表达式可写成：

()

()()()()()()2

22

2

2

1223312

2

2

2

2

222

x

y y z z x xy yz

zx =2=6k

6=2=6k s s σσσσσσσσ

σσσσστττσ⎫

-+-+-⎪⎬

-+-+-+++⎪

⎭

对于轴对称状态，由于子午面上没有相对应变

z ==0

θρθττ，Mises 屈服条件可简化为

()

()()()

()()

2

22

2

1223312

2

2

22

z z z =26=2s s ρ

θ

θρ

ρσσσσσσσσ

σσσσστσ⎫-+-+-⎪⎬

-+-+-+⎪

⎭

对于特殊的轴对称状态，

=ρθ

σσ，上式可继续简化为：