秩和检验
秩和检验
三、建立假设检验，确定检验水准
H0: 三组总体分布相同，即三组吞噬指数的总体 分布相同
H1: 三组总体分布不全相同，即三组吞噬指数的 总体分布不全相同
787.47
880.83
差值
10
27.88
1.15
154.72
结果展示： 根据样本数据分布类型，选择合适的表示方法 正态分布时，用均数和标准差表示（mean±SD） 偏态分布时，用中位数和四分位间距表示
两样本比较的秩和检验
例2、在河流监测断面优化研究中，研究者从某河流甲乙两个
断面分别随机抽取10和15个样本，测得其亚硝酸盐氮（mg/L）
表1 不同剂量组小鼠肝糖原含量（mg/100g）
小鼠对号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
中剂量组 620.16 866.50 641.22 812.91 738.96 899.38 760.78 694.95 749.92 793.94
高剂量组 958.47 838.42 788.90 815.20 783.17 910.92 758.49 870.80 862.26 805.48
要求掌握内容
计算机操作
配对比较的秩和检验 两样本比较的秩和检验 多个独立样本比较的秩和检验
结果的表达
配对比较的秩和检验
例1、某研究者欲研究保健食品对小鼠抗疲劳作用，将同种属的小鼠按性 别和年龄相同、体重相近配成对子，共10对，并将每对中的两只小鼠随 机分到保健食品两个不同的剂量组，过一定时期将小鼠处死，测得其肝 糖原含量（mg/100g），结果见表1，问不同剂量组的小鼠肝糖原含量有 无差别？
两样本比较的秩和检验
两样本比较的秩和检验在统计学中，当我们想要比较两个独立样本的时候，除了常见的 t检验等方法，秩和检验也是一种非常有用的工具。
那么，什么是两样本比较的秩和检验呢？让我们一起来深入了解一下。
想象一下，我们有两组数据，比如说一组是某药物治疗某种疾病的效果数据，另一组是使用安慰剂的效果数据。
我们想要知道这两组数据之间是否存在显著的差异，这时候秩和检验就可以派上用场了。
秩和检验的基本思想其实并不复杂。
它不关心数据的具体数值大小，而是关注数据的排序位置，也就是“秩”。
比如说，我们有一组数据是5、8、3、10、7，那么将它们从小到大排序就是 3、5、7、8、10。
对应的秩就是 1、2、3、4、5。
在进行两样本比较的秩和检验时，我们会把两个样本的数据混在一起进行排序，然后分别计算两个样本的秩和。
如果两个样本来自相同的总体，那么它们的秩和应该相差不大；反之，如果秩和相差很大，就说明两个样本很可能来自不同的总体。
为了更清楚地理解，让我们通过一个具体的例子来看看秩和检验是如何操作的。
假设我们要比较两种教学方法对学生考试成绩的影响。
我们有 A 方法教学下的 10 名学生成绩和 B 方法教学下的 12 名学生成绩。
首先，我们把这 22 个成绩放在一起从小到大排序，并给每个成绩赋予相应的秩。
假设排序后的成绩和秩如下：A 方法学生成绩：55（秩 2）、60（秩 4）、70（秩 7）、75（秩9）、80（秩 12）、85（秩 15）、90（秩 18）、95（秩 20）、100（秩 21）、98（秩 22）B 方法学生成绩：45（秩 1）、50（秩 3）、58（秩 5）、65（秩6）、72（秩 8）、78（秩 10）、82（秩 11）、88（秩 13）、92（秩14）、96（秩 16）、99（秩 17）、86（秩 19）然后计算 A 方法学生成绩的秩和（记为 T1）和 B 方法学生成绩的秩和（记为 T2）。
假设 T1 ＝ 156，T2 ＝ 110。
秩和检验数据要求
秩和检验数据要求
秩和检验（Rank Sum Test），也称为Mann-Whitney U检验，是一种非参数统计检验方法，用于比较两个独立样本的中位数是否相同。
这种检验不依赖于数据的分布，特别适用于分布未知或非正态分布的数据。
进行秩和检验时，对数据的要求通常包括：
1. 独立性：两个比较的样本应该是独立的，即一个样本的数据不应该受到另一个样本数据的影响。
2. 可比性：虽然秩和检验不要求数据必须来自正态分布，但是数据应该是有可比性的，意味着每个样本应该是一个总体的一部分。
3. 同质性：通常，秩和检验要求两个样本的总体分布应该是同质的，这意味着两个总体的分布不应该有显著的差异。
4. 样本大小：虽然秩和检验可以用于小样本数据，但是当样本大小非常小（例如，每个样本小于10）时，检验的准确性可能会受到影响。
5. 数据的数值性质：秩和检验适用于定量数据，可以是连续的或离散的。
对于分类数据，需要先转换为定量数据，例如，通过计算每个类别的频数或频率。
6. 无异常值：虽然秩和检验在一定程度上可以处理异常值，但是过多的异常值可能会影响检验的准确性。
在进行秩和检验之前，通常需要对数据进行适当的预处理，例如，将分类数据转换为数值，处理缺失值，以及将异常值纳入考虑。
此外，
还需要检查数据的分布特性，以确定秩和检验是否适合。
在某些情况下，可能需要使用秩和检验的改进版本，如Wilcoxon符号秩检验或Wilcoxon秩和检验，来处理特定类型的问题。
秩和检验
1、建立假设及确定检验水准 H0：差值总体水平为0。 H1：差值总体水平不为0。 α =0.05 2、计算T值 （1）求差：算出每对差值 （2）编秩：按差值绝对值大小从小到大编秩，并冠以 原差值的正负号。 A 若差值为0，可删去不计，不编秩。 B 若差值的绝对值相等，符号相反，则以平均秩 次作为每一个差值的秩次，保留原差值符号。 C 若差值完全相等，则按原秩号，不必平均。 （3）求秩和：将正负秩次分别相加，以秩和绝对值小 则为T。本例T=8。
3、确定值，判断结果。 （1）查表法：当n 50 时
得： T0.05,
若
11
= 10~56，（ T0.01,
11
=
5~61）
T+ 或 T- ：
落在范围内，则P>0.05; 落在范围外, 则P<0.05; 等于界值, 则P=0.05。
现T=8或58，故 0.01 < P<0.05
基本思想
注意：配对的对子数不能少于6。 本法的基本思想：若H0成立，则样本的正负秩和应较接近于T值的均数n（n+1 ）/4，T值不会很小。若正负秩和相差悬殊，则T值特别小，则在H0成立的情况下， 由于抽样误差所至的可能性很小，当P＜α 时，拒绝H0。 随着n增大，T的分布逐渐逼近均数为n（n+1）/4，方差为n（n+1）（2n+1） /24的正态分布。N＞50时，可用u-T代替秩和检验。
本例 T = 170 查表得： T0.05,
（10，2） （10，2）
= 84~146
T0.01,
所以 P < 0.01
= 79~151
（2）正态近似法：
当超过附表的范围时（n1>10, n2 - n1 >10）
医学统计学等级资料的秩和检验
在某些情况下，可以排除异常值以提高检验的稳定性。但应谨慎处理，确保不会排除对 总体分布有重要影响的值。
稳健统计方法
采用稳健统计方法可以在一定程度上减少异常值对检验结果的影响，如使用中位数、众 数等稳健统计量进行秩和检验。
06
秩和检验的展望
秩和检验的发展趋势
广泛应用
秩和检验作为一种非参数统计方法，在医 学、生物学、环境科学等秩和，判断 两组数据的优劣或差异性，从而 进行假设检验。
适用范围
适用于等级资料和连续变量资料， 尤其适用于小样本和不服从正态 分布的数据。
秩和检验的步骤
01
数据整理
对等级资料进行排序，并赋予相应 的秩。
确定检验统计量
根据秩和计算出检验统计量，如Z值、 H值等。
03
02
计算秩和
在蛋白质组学研究中，秩和检验 用于分析蛋白质表达水平在不同 样本之间的差异。
在其他领域的应用
环境卫生研究
在环境卫生研究中，秩和检验用于评估不同暴露水平对健康的影响。
心理学研究
在心理学研究中，秩和检验用于比较不同干预或实验条件下的心理状态或行为差异。
05
秩和检验的注意事项
样本量的问题
样本量过小
当样本量过小时，无法充分反映总体分布情况，可能导致 检验结果不准确。
等级资料
按照事物的属性特征进行等级划分所得的数据，如 疗效评价中的治愈、显效、好转、无效等。
计量资料
通过度量衡等方法获得的数据，如身高、体重等。
等级资料的特点
有序性
等级资料具有有序性，不同等级之间存在一定的顺序 关系。
差异性
不同等级之间存在差异，同一等级内的数据具有相似 性。
相对性
第七章秩和检验
RA RB
C 2 ,k1
N(N
1) / 12
(1 / nA
1 / nB )
P
二、随机区组设计资料的两两比较
H0：总体MA＝MB， H1：总体MA≠MB，
α=0.05
2b( A B) RA RB t , (b 1)(k 1)
P
3.确定Ｐ值范围并作推断
（1）若组数k=3且
时，
查附表8（P270 ）
H H P
H H P
（2）若组数k=3且
或 k≥3
或
时，H 或Hc 近似服从自
由度ｖ=k-1的ｘ2分布。按ｘ2的界
值表确定Ｐ的范围。
P
P
二、等级资料多个样本比较（例7.6）
1. 建立检验假设，确定检验水准
H0：总体M1＝M2 ＝M3 H1：总体M1，M2和M3 不全相同
3. 编秩次 (1)d=0 舍去不计，用以检验的有效对 子数n相应减少。 (2)│d│同，取平均秩 4.求秩和，并定检验统计量
T=Ｔ＋orＴ－ （核对：Ｔ＋＋Ｔ－＝（ｎ＋1）n／2
5.确定Ｐ值范围并作推断 (1)当有效对子数n≤50，查附表6的Ｔ
界值表（P268）
(2) 当 ｎ >50 时 , 按 正 态 近 似 公 式 （ 7.1 ） 相同秩次较多时，校正公式（7.2） 其中 为第j个相同秩次的个数。
第三节 成组设计多样本比较的 秩和检验
适用条件： （1）成组设计多样本计量资料的比较。 尤其是不满足参数检验条件的成组设计 多样本计量资料的比较。 （2）成组设计多样本等级资料的比较。
一、原始数据的多个样本比较（例7.5）
1. 建立检验假设，确定检验水准
H0：总体M1＝M2 ＝M3 H1：总体M1，M2和M3 不全相同；
成组两样本资料的秩和检验
数据转换
根据研究目的，对数据进行适当的转换，如对数转换或平方根转换。
秩次的计算与比较
计算秩次
比较秩次
根据数据的大小，为每个数据分配一个秩次。
比较两组数据的秩次分布，观察是否存在显 著差异。
结果解释与结论
要点一
结果解读
根据秩次比较结果，判断两组数据是否存在统计学上的显 著差异。
它利用了每个样本中观察值的秩次（ 即观察值的相对位置）来进行统计分 析，而不是直接使用观察值本身。
特点
1
无需假设数据符合正态分布，因此对非正态分布 的数据具有较好的稳健性。
2
不受异常值影响，对数据异常值的处理较为稳健。
3
适用于小样本数据或总体分布未知的情况。
应用场景
比较两组独立样本的总体分布是否存在显著差异，例如比较不同治疗方法 的效果。
假设前提
F检验要求数据来自正态分布的总 体；秩和检验对数据的分布没有 严格要求，可以处理非正态分布 或非参数数据。
秩和检验的注意事项
06
与建议
注意事项
异常值处理
在计算秩次之前，应识别并处 理可能的异常值，以避免对整 体数据造成过大影响。
数据分布
尽量避免数据过于集中或离散， 以减少误差。
数据类型
确保两样本数据均为连续变量 或等级变量，不适用于分类数 据。
数据处理方式
t检验通过计算均数和标准差来比较两组数据的均值；秩和检验依据数据的大小顺序排 列，然后计算秩次。
与卡方检验的频数与期望频数之间的差 异；秩和检验用于比较两组数据的整体分布是否一致。
数据类型
卡方检验通常用于处理分类数据；秩和检验适用于连续或 等级数据。
秩和检验方差公式推导
秩和检验方差公式推导一、秩和检验简介。
秩和检验（rank sum test）是一种非参数检验方法，用于比较两个独立样本或配对样本的分布情况，它不依赖于总体分布的具体形式，对总体分布的形状不做严格假设。
二、秩和检验方差公式的推导。
（一）两独立样本秩和检验（Mann - Whitney U检验）中方差的推导。
设两组样本量分别为n_1和n_2，且n = n_1 + n_2。
1. 定义秩次。
- 将两组数据混合后从小到大排序，每个数据对应的序号就是秩次。
设第一组样本的秩和为T_1。
2. 计算期望。
- 根据概率原理，在所有可能的排列下，第一组样本的每个数据取到每个秩次的概率是相等的。
- 混合后所有数据秩次之和为∑_i = 1^ni=(n(n + 1))/(2)。
- 第一组样本秩和T_1的期望E(T_1)=(n_1(n+1))/(2)。
3. 推导方差。
- 设R_ij表示第i组（i = 1,2）中第j个数据的秩次。
- 对于第一组样本，T_1=∑_j = 1^n_1R_1j。
- 根据方差的性质D(T_1)=∑_j = 1^n_1D(R_1j)+2∑_1≤slan t j。
- 计算D(R_ij)：- 对于单个秩次R_ij，它在1,2,·s,n中取值是等可能的。
- E(R_ij)=(n + 1)/(2)。
- D(R_ij)=(n(n + 1))/(12)。
- 计算Cov(R_1j,R_1k)（j≠ k）：- 由于Cov(R_1j,R_1k)=(-n(n + 1))/(12(n-1))。
- 代入上述方差公式可得：- D(T_1)=(n_1n_2(n + 1))/(12)（二）配对样本秩和检验（Wilcoxon符号秩和检验）中方差的推导。
设配对样本的对子数为n。
1. 计算差值并编秩。
- 先计算每对数据的差值d_i，然后对| d_i|从小到大编秩，若d_i = 0，则舍去该对数据，对子数n相应减少。
设正差值的秩和为T^+。
秩和检验
u
T n(n 1) / 4 0.5 n(n 1)( 2n 1) / 24
因为当n逐渐增大时，T分布逐渐接近于均数为
n(n 1) n
，
标准差为
n(n 1)( 2n 1) 24
的正态分布，可按正态分布
护士编号 （1） 1 2
表11-1 某医院培训前后护理质量评分
培训前评分 （2） 7 7 培训后评分 （3） 10 9 差值 （4） 3 2 0 1 3
秩次 （5） 8 6 -3 9
3
4 5
7
6 7
7
7 10
6
7 8 9 10 11 12
7
8 2 9 6 4 6
6
9 6 8 9 6 6
-1
1 4 -1 3 2 0
6 60 5 12
Ri
Ni Ri
1．建立假设
H0：任何两个总体分布的位置均相同
H1：任何两个总体分布的位置不同或不全相同
α=0.05 2．计算各样本的平均秩次
34 60 26 R1 6.8, R2 12, R3 5.2 5 5 5
3．列出两两比较的秩和检验计算表
4．确定P值，判断结果
进行u检验并做出结论。
配对比较秩和检验的基本思想：
如果检验假设成立，（本例即假设培训前 后评价结果相同），则正秩和与负秩和的绝对 值不会相差太大，n确定后，n个秩次之和为一 个常数 n(n 1)
2
，故把绝对值较小的秩和做
为T值时，不应过小，小于附表中T0.05的界值时， P<0.05,说明由抽样误差所致的可能性很小，于
秩和检验
2
1
3
2
4
3
5
4
6
5
7
6
8
7
9
8
10
9.5
11
11
12
12.5
13
14
83
步骤：
1、建立假设
H0 :生存日数分布相同 H1 :生存日数分布不相同
指定检验水平，α=0.05
2、选择统计学方法 编秩
分别求两组的秩和 T1=170, T2=83 计算检验统计量 取样本量小的秩和T=170 3、确定概率值 查表（两样本比较的秩和检验）
指定检验水平，α=0.05
2、选择统计学方法
编秩
分别求正负秩和 T+=26.5, T-=18.5 计算检验统计量 取T=18.5
3、确定概率值
由于n<=25，n=9,所以查T界值表双侧（配对 比较的符号秩和检验）0.10为8-37，由于 T=18.5，所以P值>0.10
做出专业结论:离子法和蒸馏法测定值的差别无 统计学意义。
第一节 配对两样本：符号秩和检验
离子交换法
蒸馏法
差
秩次
0.5
0
0.5
2
2.2
1.1
1.1
7
0
0
0
-
2.3
1.3
1
6
6.2
3.4
2.8
8
1
4.6
-3.6
-9
1.8
1.1
0.7
3.5
4.4
4.6
-0.2
-1
2.7
3.4
-0.7
-3.5
1.3
2.1
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配对设计资料的符号秩检验
• 检验目的 推断配对资料差值是否来自中位数为0的 总体 • 应用条件 差值d不服从正态分布
例
建立检验假设，确定检验水准 H0：差值的总体中位数等于0 H1：差值的总体中位数不等于0 ALPHA＝0.05
计算检验统计量T值 (1)求差值 (2)编秩 依差值的绝对值由小到大编秩 遇差值为0，舍去不计，n随之减少； 当差值绝对值相等，若符号不同，求平 均秩次；若符号相同，可顺次编秩，也可 求平均秩次。并将各秩次冠以原差值的正 、负号 (3)分别求正、负秩和 分别求正秩和与负 秩和，正秩和记为T+，负秩和记为T-。 任 取T+或T-为统计量
秩和检验基本步骤(3)
• 确定P值，得出结论
Z c 3.3069 得 0.05
P 0.001 ， ，查标准正态分布表 。按 检验水准 ，拒绝 H0 ，接受 H1 ，认为两总体分布位置不 同，故两种药物对高甘油三脂血症的疗效不 同。
多个独立样本秩和检验 (Kraskal-Wallis rank sum test, K-W test or H test)
3 n(n 1)(2n 1) (t j t j ) 24 48
完全随机设计两独立样本秩和检验 （Wilcoxon rank sum test）
Frank Wilcoxon 2 Sept 1892 - 18 Nov 1965
完全随机设计两独立样本秩和检验
• 基本思想： 假设含量为n1与n2的两个样本(且n1<n2) ，来自同一总体或分布相同的两个总体， 则n1样本的秩和与其理论秩和 n1 ( N 1) / 2 相差不大，即差值仅为抽样误差所致。当 二者相差悬殊，超出抽样误差可解释的范 围时，则有理由怀疑该假设，从而拒绝H0 。
检验
2
按摩乐口服液 山楂精降脂片
17 25 27 69 70 13 37 120
合计
87 38 64 189
秩和检验基本步骤(1)
• 建立检验假设，确定检验水准
H0：两总体分布位置相同 H1：两总体分布位置不同 0.05
秩和检验基本步骤(2)
• 编秩，求秩和，确定统计量T
表4 两种药物治疗高甘油三脂血症的疗效
两独立样本秩和检验
• 检验目的 推断两总体分布是否相同
两独立样本秩和检验
• 应用条件
定量资料
正态分布但方差不齐 偏峰分布或分布未知
等级资料
秩和检验基本步骤(1)
• 建立检验假设，确定检验水准
H0：两总体分布位置相同 H1：两总体分布位置不同 0.05
秩和检验基本步骤(2)
• 编秩，求秩和，确定统计量T
基于秩次的假设检验方法
内容
配对设计和单样本资料的符号秩和检验 完全随机设计两个独立样本秩和检验 完全随机设计多个独立样本秩和检验 随机化区组设计资料的秩和检验 多个样本间的多重比较
秩和检验的基本思想
1 4 10 11 12 13 14 15 80
106. 5
157. 5
2662.5
4252.5 7663
1384.5
5827.5 10292
秩和检验基本步骤(2)
• 编秩，求秩和，确定统计量T
本例，T=7663。
秩和检验基本步骤(3)
• 确定P值，得出结论 本例，用正态近似法
Z T n1 ( n1 n2 1 ) 2 0.5 n1n2 ( n1 n2 1 ) 12
确定P值，做出推断---查表法 当5<n≤50时，根据n和T查界值表(配对 比较的秩和检验用)。 当n ≤5时，应用符号秩检验不能得出双 侧有统计学意义的概率
确定P值，做出推断---正态近似法
随着n的增大，T分布逐渐逼近正态分布，其 n(n 1) / 4 均数 n(n 1)(2n 1) / 24 方差
2 i
• 相同秩较多时，
H Hc C
3 c 1 (t 3 t ) ( N N) j j
• 当组数K＝3，且各组例数n≤5时，可查H界 值表得到P值 ; • 当组数K或各组例数n超出H界值表时，由于 H0成立时H值近似地服从自由度=K-1的 CHI-SQUARE 分布，此时可由CHI-SQUARE 界值表得到P值。
秩和检验基本步骤(2)
• 编秩，求秩和，确定统计量T
如两组样本量相等，任取一组秩和作为 统计量T； 如两组样本量不等，以样本含量较小组 的秩和作为统计量T。
秩和检验基本步骤(3)
• 确定P值，得出结论—查表法 查T界值表（样本量小）
T
或
T
P 0.05 ，拒绝H0，可认 为两总体分布位置不同。 P 0.05 ，不拒绝H0，尚不能 认为两总体分布位置不同。
7663 69 ( 189 1 ) / 2 0.5 120 69 ( 189 1 ) / 12
3.0587
秩和检验基本步骤(3)
• 确定P值，得出结论
人数 疗效 无效 有效 按摩乐口 服液 17 25 27 69 山楂精降 脂片 70 13 37 120 合计 87 38 64 189
多个独立样本间的多重比较
• BON法
随机化区组设计资料的秩和检验
因为相同秩次较多 显效 合计 3 3 校正 c 1 (t j t j ) /( N N )
( 873 87 ) ( 383 38 ) ( 643 64 ) 1 0.8555 3 189 189
Zc
Z c
3.0587 0.8555
3.3069
正态近似法（样本量大）
Z T n1 ( n1 n2 1 ) 2 0.5 n1n2 ( n1 n2 1 ) 12
连续型校正
相同秩次较多时，
Zc Z c
3 c 1 (t 3 t ) /( N N) j j
两种药物治疗高甘油三脂血症的疗效 人数
疗效
无效 有效 显效 合计
T
秩和检验基本步骤(3)
• 确定P值，得出结论—正态近似法
当n1>10或(n2-n1)>10时，超出附表可查 范围，根据中心极限定理，这时的T分布近 似服从正态分布 均数 n1 ( N 1) / 2 方差 n1n2 ( N 1) /12 按标准正态分布确定P值并做出推断结论。
秩和检验基本步骤(3)
2 3 5 6 7 8 9 16 56
8 7 6 5 4 3 2 1
9 10
11 12
13 14
15 16
配对设计资料的符号秩检验
• Wilcoxon配对符号秩和检验的基本思想： 假定两种处理的效应相同，则差值的总体 分布为对称分布，并且差值的总体中位数 为0 若此假设成立，样本差值的正秩和与负秩 和应相差不大 当正负秩和相差悬殊，超出抽样误差可解 释的范围时，则有理由怀疑该假设，从而 拒绝
人数
疗效 按摩乐 山楂精 合计 口服液 降脂片 秩次 范围 平均 秩次 按摩乐 口服液
秩和
山楂精 降脂片
(1)
无效
(2)
17
(3)
70
(6)
44
(7)=(2) (6)
748
(8)=(3)( 6)
3080
有效
显效 合计
25
27 69
13
37 120
38
64 189
88～125
126～189
当n>50时，近似程度较满意。 计算标准正态统计量：
Z＝ T n(n 1) / 4 0.5 n(n 1)(2n 1) / 24
• 校正：排序时，出现相同秩次的现象称为 相持（tie）。当相持的情形较多时(如个 体数超过25％)，计算校正的统计量。
Zc＝ T n(n 1) / 4 0.5
William Kruskal 10 Oct 1919 (New York City) - 21 April 2005 (Chicago)
完全随机设计多个独立样本秩和检验
• 基本思想 与完全随机设计两个独立样本秩和检验相同
秩和检验基本步骤(2)
• 公式：
R 12 H 3( N 1 ) N ( N 1 ) ni