第20讲 等腰三角形

答案：A
3．(2009·温州)如图，△ABC 中，AB＝AC＝6，BC＝8，AE 平分 ∠BAC 交 BC 于点 E，点 D 为 AB 的中点，连结 DE，则△BDE 的周长 是( ) A．7＋ 5 C．4＋2 5 B．10 D．12
1 解析：∵AB＝AC，AE 平分∠BAC，∴AE⊥BC. AE 平分 BC，∴BE＝ BC＝4.又 D 为 2 1 1 AB 的中点，∴DE＝ AB＝3，DB＝ AB＝3，∴周长为 6＋4＝10. 2 2 答案：B
)
(1)已知等腰三角形的两条边长分别是 7 和 3， 则下列四个数中， 第三条边长是( A．8 B．7 C．4 D．3 (2)如图，等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，∠A＝20°.线段 AB 的垂直平分 线交 AB 于 D，交 AC 于 E，连结 BE，则∠CBE 等于( ) A．80° B．70° C．60° D．50°
解析： 过点 Q 作 QF⊥AC， AC 的延长线于 F.∵PE⊥AC， 交 ∴∠PEA ＝ ∠PED ＝ ∠QFC ＝ 90°.∵△ABC 为 等 边 三 角 形， ∴∠A＝ ∠ACB＝ ∠QCF＝60°.∵PA＝CQ，∴Rt△PAE≌Rt△QCF，∴AE＝CF，PE＝QF， ∴AE ＋ DE ＝ CF ＋ DE ， 即 AC ＝ EF ＝ 1 ， ∵∠PDE ＝ ∠QDF ， 1 1 1 ∴Rt△PDE≌Rt△QDF，∴DE＝DF，∴DE＝ EF＝ ×1＝ ，故选择 B. 2 2 2
解析： 延长 AD 交 BC 于点 E.∵DA＝DB＝DC； ∴∠ABD＝∠DAB＝20°， ∠DAC＝∠ACD ＝30°，∴∠BDC＝2∠BAD＋2∠DAC＝100°.Fra bibliotek答案：A
5．如图，在△ABC 中，AC＝DC＝DB，∠ACD＝100°，则∠B 等 于( ) A．50° B．40° C．25° D．20°
解：(1)因为已知三角形不是等腰三角形无法作中垂线，只能作中线或垂线． (2)证明：作△ABC 的角平分线 AD，则∠BAD＝∠CAD， 又∵∠B＝∠C，AD＝AD， ∴△ABD≌△ACD，∴AB＝AC.
知识点一 等腰三角形
1．概念及分类 有两边相等的三角形叫等腰三角形，有三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角 形，等腰三角形分为腰和底不相等的等腰三角形和腰和底相等的等腰三角形． 2．等腰三角形的性质 (1)等腰三角形两腰相等；等腰三角形的两个底角相等； (2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合，简称“三线合一”； (3)等腰(非等边)三角形是轴对称图形，它有一条对称轴． 3．等腰三角形的判定 (1)有两条边相等的三角形是等腰三角形； (2)有两角相等的三角形是等腰三角形．
)
3．下列命题中，错误的是( ) A．三角形两边之差小于第三边 B．三角形的外角和是 360° C．三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分 D．等边三角形即是轴对称图形，又是中心对称图形
解析：等边三角形是轴对称图形，而不是中心对称图形． 答案：D
4． 如图， △ABC 内有一点 D， DA＝DB＝DC， 且 若∠DAB＝20°， ∠DAC ＝30°，则∠BDC 的大小是( ) A．100° B．80° C．70° D．50°
(3)若等腰三角形的一个内角为 50°，则这个等腰三角形顶角的度数为 ________． (4)如图，BD 是△ABC 的角平分线，∠ABD＝36°，∠C＝72°，则图中 的等腰三角形有________个．
【点拨】(1)已知条件“两条边长”没有指明是腰长还是底边长，所以要分情况讨论．当 7 为腰长时，第三边长是 7；当 3 为腰长时，不成立． (2)本小题主要考查线段的垂直平分线的性质定理和三角形内角和定理．∵∠A＝20°， AB＝AC， ∴∠ABC＝80°. 又 DE 垂直平分 AB，∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝20°. ∴∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝80°－20°＝60°. (3)已知条件中“一个内角”没有指明是底角还是顶角，所以要分情况讨论．当 50°为顶 角时，所求顶角是 50°；当 50°为底角时，顶角为 80°. (4)本小题考查等腰三角形的判定，图中等腰三角形是△ABD、△BCD、△ABC.要想说 明一个三角形是等腰三角形，只要能找到两个相等的角或两条相等的边即可．本小题主要考 查“等角对等边”的应用．
4．(2008·湖州)已知等腰三角形的一个底角为 70°，则它的顶角为________度． 解析：考查等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和是 180°. 答案：40°
5． (2008·温州)文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等 腰三角形”这一命题时， 画出图形， 写出“已知”， “求证”(如图)， 她们对各自所作的辅助线描述如下： 文文：“过点 A 作 BC 的中垂线 AD，垂足为 D”； 彬彬：“作△ABC 的角平分线 AD”． 数学老师看了两位同学的辅助线作法后，说：“彬彬的作法是 正确的，而文文的作法需要订正．” (1)请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里． (2)根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程．
等腰△ABC 的两边长分别为 2 和 5，则第三边长为________．
【解析】当 2 为腰长时，2＋2<5，所以这种情况不存在；当 5 为腰长时，2＋5>5，所以 第三边长为 5.
【易错警示】①不知分情况讨论；②漏掉验证等腰三角形的存在性．
(
1．判断下列两个结论：①正三角形是轴对称图形；②正三角形是中心对称图形，结果是 ) A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
答案：D
4．在△ABC 中，AB＝AC，AB 的垂直平分线与 AC 所在的直线相交所得到锐角为 50°， 则∠B 等于________度．
答案：20 或 70
5．如图，四边形 ABCD 是平行四边形，△AB′C 和△ABC 关于 AC 所在的直线对称，AD 和 B′C 相交于点 O，连结 BB′. (1)请直接写出图中所有的等腰三角形 (不添加字母)； (2)求证：△AB′O≌△CDO.
知识点三 线段的中垂线
1．概念：垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线． 2 2．性质：线段中垂线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 3．判定：到一条线段的两个端点距离相等的点在中垂线上，线段的中垂线可以看作是到 线段两端点距离相等的点的集合．
类型一
等腰三角形的性质与判定
知识点二 等边三角形的性质与判定
1．性质：①等边三角形的内角都相等，且等于 60°；②等边三角形是轴对称图形，等边 三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都三线合一，它们所在的直线都是等边三角形 的对称轴． 2．判定：三个角相等的三角形是等边三角形；有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角 形．
解析： DE 垂直平分 AB 得 EA＝EB， 由 ∴∠B＝∠BAE， 又∵AE 平分∠BAC， ∴∠EAB ＝∠CAE， ∴∠B＝∠BAE＝∠CAE， 因此 A、 都成立． C ∵AE 平分∠BAC， ∴∠EAB＝∠CAE， 又 ED⊥AB，EC⊥AC，∴∠DEA＝∠CEA(等角的余角相等)，B 成立．
类型二 等边三角形的性质与判定
4 (1)一次函数 y＝ x＋4 分别交 x 轴、 轴于 A、 两点， x 轴上取一点， y B 在 使△ABC 3 为等腰三角形，则这样的点 C 最多有________个． (2)已知：如图，菱形 ABCD 中，E、F 分别是 CB、CD 上的点， BE＝DF. ①求证：AE＝AF. ②若 AE 垂直平分 BC，AF 垂直平分 CD，求证：△AEF 为等边 三角形．
答案：C
2．(2010·宁波)如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE 分 别是△ABC，△BCD 的角平分线，则图中的等腰三角形有( ) A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个
解析： ∵AB＝AC， ∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠ACB＝72°.∵BD， 分别是△ABC， CE △BCD 的角平分线，∴∠ABD＝∠CBD＝36°，∠BCE＝∠DCE＝36°，∴∠CDE＝∠A＋∠ABD＝ 72°， ∠CED＝∠DBC＋∠BCE＝72°， ∴图中的等腰三角形为△ABD， △BCE， △DCE， △BCD， △ABC 共 5 个．
解析：设∠B＝x°，则∠BCD＝x°，∠ACD＝180°－4x°，∴180°－4x°＝100°，∴x＝20°. 答案：D
6．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°.斜边 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D、交 BC 于点 E，AE 平分∠BAC，那么下列关系式中不成立的是 ( ) A．∠B＝∠CAE B．∠DEA＝∠CEA C．∠B＝∠BAE D．AC＝2EC
【点拨】本题考查三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定与性质．
【解答】(1)4 (2)证明：①∵四边形 ABCD 为菱形， ∴AB＝CD，∠B＝∠D. 又∵BE＝DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE＝AF . ②连结 AC，∵AE 垂直平分 BC，AF 垂直平分 CD， ∴AB＝AC＝AD . ∵AB＝BC＝CD＝DA， ∴△ABC 和△ACD 都是等边三角形，∴∠CAE＝∠BAE＝30°， ∠CAF＝∠DAF＝30°. ∴∠EAF＝∠CAE＋∠CAF＝60°. 又由①知 AE＝AF，∴△AEF 是等边三角形．
解：(1)△ABB′、△AOC 和△BB′C. (2)在▱ABCD 中，AB＝DC，∠ABC＝∠D. 由轴对称知，AB′＝AB，∠ABC＝∠AB′C. ∴AB′＝CD，∠AB′O＝∠D.在△AB′O 和△CDO 中，
∠AB′O＝∠D， ∠AOB′＝∠COD， AB′＝CD.
∴△AB′O≌△CDO(AAS)．
答案：D
7．如图，△ABC 和△DCE 都是边长为 4 的等边三角形，点 B、C、 E 在同一条直线上，连结 BD，则 BD 的长为( ) A. 3 B．2 3 C．3 3 D．4 3
BF 解析：过点 D 作 DF⊥BE 于点 F.在 Rt△BDF 中，∠DBF＝30°，BF＝6，∴cos30°＝ ， BD BF ∴BD＝ ＝4 3. cos30°