高等数学-6.3.3A教学课件

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第六章6.3.2—6.3.3—6.3.4教学课件(人教版)

∴
DF
＝-
FD
＝-
1 2
AD
＝-
1 2
7 2
,
4
＝
7 4
,
2
.
◆求点和向量坐标的常用方法（1）求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标. （2）在求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标.
解得
m＝2, n＝3.
2.三点共线问题例5 （1）已知OA ＝（3，4），OB ＝（7，12），OC ＝（9，16），求证：
A，B，C三点共线. （2）设向量OA ＝（k，12），OB ＝（4，5），OC ＝（10，k），当k 为何值时，A，B，C三点共线？
（1）【证明】 ∵ AB ＝OB -OA ＝（4，8）， AC ＝OC -OA ＝（6，12）， ∴ AC ＝ 3 AB ，即 AB 与 AC 共线.
1 2
＝
1,
1 2
.
∴ MD ＝- MB ，∴ MD ∥ MB .
又 MD 与 MB 有公共点M，∴ D，M，B三点共线.
◆应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤
训练题
如图，A（0，5），O（0，0），B（4，3），OC ＝ 1 OA ，OD ＝ 1 OB ，
4
2
AD与BC相交于点M，求点M的坐标.
训练题
［2019·湖北省荆州中学高一期末］已知向量OA ＝（3，-4），OB ＝（0，
-3），OC ＝（5-m，-3-m），若点A，B，C 不能构成三角形，则
实数m的取值为 5 . 4
3.向量共线在几何中的应用例5 如图，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作

高中数学新教材第二册第六章《6.3平面向量的基本定理及坐标表示》全套课件

其中实数t叫做参变数，简称参数.
（2）特殊：当t＝1 时，点M是中点，
O
2
M A
L
则OM＝OA OB (线段AB中点的向量表达式） 2
一、知识梳理
例2.设e1,e2是不共线的非零向量，且a = e1 - 2e2,b = e1 + 3e2 （1)证明：a,b可以作为一组基底；
（2)以a,b为基底，求向量c = 3e1 - e2的分解式；所以不存在，故a,b不共线，可以作为一组基底。
OA 1e1
a 1e1 2 e2
OB 2e2
一、知识梳理
如果e1 , e2 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量 a ，存在唯一一对实数 a1、a2，使 a = a1e1 + a2e2
我们把不共线的向量 e1 ，e2 叫做表示这一平面内所有
向量的一组基底，记为： e1，e2
新课引入
F1
F2
G
G与FG1,=FF2有1+什F2么关系? G=F1+F2叫做重力G的分解
类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量 λ1a1和λ2 a2,使a=λ1a1 + λ2 a2

若两个不共线向量互相垂直时 λ2 a2 a
把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解
A
DB AB AD a b
MA AC 1 (a b) 1 a 1 b
2
22
MD 1 DB 1 a 1 b
2
22
M
a
B
一、知识梳理
已知点M是三角形AOB的边AB的中点，若OA＝a，OB＝b，则OM 1（a b）

高等数学教学课件PPT

注（1）周期函数在每个周期上有相同的图形
（2）通常周期函数的周期是指最小正周期
（3）并非每个周期函数都有最小正周期
例：常量函数 f ( x) C
y
狄利克雷函数
1 f (x) 0
xQ x QC
1
概念
概念
集映
函
合射
逆映射
反函数
数
区邻间域
构造复合映射
构造
➢概念
设函数 f : D f (D) 是单射，则它存在逆映射 f 1 : f (D) D 称映射 f 1 为函数f 的反函数. 一般地， y f ( x), x D的反函数记成 y f 1( x), x f (D)
1, x 0
y
sgn
x
0,
x0
1, x 0
y
1
o
x
1
y
注分段函数不一定就是非初等函数！
2 1o 1 2 3 4 x
x x0
2
例5 设f(x)的定义域D=[0,1]，求下述函数的定义域
当 x1 x2 时，恒有 f ( x1) f ( x2 )
那么称函数f (x)在区间I上是单调增加的 o
类似可定义函数f (x)在区间I上是单调减少的
x1 x2 x
2．函数的单调性
设函数f (x) 的定义域为D，区间 I D
y
➢ 如果对于区间I上的任意两点x1及x2，
当 x1 x2 时，恒有 f ( x1) f ( x2 )
设f是从集合X到集合Y的映射
若
即Y中的任一元素y都是X中某元素的像,
则称f为X到Y上的映射或满射
若对X中任意两个不同的元素则称f为X到Y的单射

高等数学(同济第六版)课件第六章 6.3定积分物理应用

第三节定积分在物理学上的应用
一、变力沿直线所作的功
F a x
F
x+dx b
常力 F 沿直线对物体所作的功为：W=F · S 若力是变力： F F ( x )
dW F ( x )dx
W F ( x )dx
a
b
例1 一个带 +q 电量的点电荷放在 r 轴上坐标原点处, 产生一个电场．若将一个单位正电荷从r 轴上r = a 处沿 r 轴移动到 r = b处，求场力 F 所作的功．解取r为积分变量，
20 x 20 x dW2 (10 0.05)dx (10 )dx 4 80
x
功元素
1 20 x dW [ x (10 )]dx 10 80
20
功
W
0
1 20 x [ x (10 )]dx 10 80
＝217.5(千克米) ＝2131.5(焦耳)
l l 解取y为积分变量 y [ , ], 2 2 取任一小区间[ y , y+dy ] 小段的质量为 dy ,
小段与质点的距离为 r a y ,
2 2
m dx 引力 dF k 2 , 2 a y amdy dFx k 2 , 2 (a y )
3 2
l y 2 y dy
解建立坐标系如图
面积元素 2(a x )dx ,
dP ( x 2a ) 2(a x )dx
2a
o
a
2a
7 3 P 2( x 2a )(a x )dx a . 0 3
a
x
三、引力
质量分别为m1, m2相距为 r 的两个质点间的引力大小：F k m1m2 , 其中k为引力系数， r2 引力的方向沿着两质点的连线方向．例6 有一长度为l、线密度为的均匀细棒，在其中垂线上距棒 a 单位处有一质量为 m 的质点M，计算该棒对质点 M 的引力．

高等数学-6.3.2教学课件

试估计这批牛奶净含量的均值与方差 2 . 可以自己解决实际问题吗？
2．已知某种电子元件的寿命服从正态分布 N(, 2 ) ，现随
机抽取10个，测得各电子元件的寿命(单位：小时)如下：
3100 3480 2520 3700 2520 3200 2800 3800 3020 3260
试估计这种电子元件寿命的均值与方差 2 .
s 2 9 1 1 i 9 1 ( x i x _ ) 2 1 8 ( 3 2 2 2 0 1 0 1 1 1 3 2 ) 3 . 2 5
故得该日营业额均值的点估计值 ˆ 7 ，
方差 2 的点估计值为 ˆ2 3.25 .
X
94
1
95 n
9n3 96 Xi
i914 93
93 93
94 95
分析
我们只要2算.样出本甲方、差乙：两S位2员n工1的1得in1分(X的i 平X均)2值，
谁高就说明谁的服务态度更好
《高等数学》 (经济类专业适用）高等教育出版社
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退出
*
分析在实际问题中，当所研究的总体分布类型已知，
但分布中含有未知参数时，如何根据样本来估计未知参数，问题引导
这就是参数估计问题. 参数估计包括点估计和区间估计两类. 先来介绍点估计. 我们先初步了解一下，
什么是估计概念用样本的某一个统计量的值作为总体未知参数
的估计值，这种参数估计方法叫做点估计.
《高等数学》 (经济类专业适用）高等教育出版社
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*
1．书面作业必做：《习题集》中的“练习6.3.2” 选做：习题6.3的1 2．拓展作业

《高等数学》第6章3 幂级数

请双面打印/复印(节约纸张)高等数学主讲: 张小向第六章无穷级数第一节数项级数第二节反常积分判敛法第三节幂级数第四节傅里叶级数第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数§6.3 幂级数一. 函数项级数的基本概念 u1(x), u2(x), …, un(x), … ——定义在数集 A上的函数序列 Σ u (x) = u1(x) + u2(x) + …+ un(x) + … n=1 n ——定义在数集 A上的函数项级数 un(x) —— 通项 Sn(x) = k=1uk(x) —— 部分和 Σn ∞n=1 nΣ u (x) = u1(x) + u2(x) + …+ un(x) + …∞∞——定义在数集 A上的函数项级数收敛(发散)点x0∈D: n=1un(x0) 收敛(发散) Σ Σ 收敛(发散)域: n=1un(x) 的收敛(发散)点的全体和函数 S(x) = n=1un(x) Σ 其定义域为 n=1un(x) 的收敛域 Σ 余项 Rn(x) = S(x) − Sn(x) = k=n+1uk(x) Σ∞ ∞ ∞ ∞第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数例1. 几何级数 n=1xn−1 = 1 + x + x2 +…+ xn +… Σ 是定义在实数集∞ ∞∞例1. 几何级数n=1 xn−1 的收敛域为(−1, 1). Σ 当 x ∈ (−1, 1)时, Sn(x) = 1− xn , 1− x∞上的函数项级数.当|x| < 1时, n=1|xn−1| 收敛, Σ 故 n=1xn−1 (绝对)收敛. Σ 当|x| ≥ 1时, lim n→∞ 综上所述,n=1 ∞ ∞xn−1≠ 0, 故 n=1 Σxn−1发散.∞lim xn = 0, n→∞ lim Sn(x) = n→∞ 所以 n=1xn−1 = Σ 1 . 1− xΣ xn−1 的收敛域为 (−1, 1).1 , x ∈ (−1, 1). 1− x272365083@1请双面打印/复印(节约纸张)第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数例2. x + (x2 − x) + (x3 − x2) + … + (xn − xn−1) + … 是定义在实数集上的函数项级数. Sn(x) = xn,例3. 求下列级数的收敛域. ∞ xn (1) n=1 . Σ n! 解: 因为∀x ∈ lim n→∞ 所以 n=1 Σ∞, xn = lim |x| = 0. n! n→∞ n+1lim 当|x| < 1时, lim Sn(x) = n→∞ xn = 0, n→∞ lim 当 x = 1时, lim Sn(x) = n→∞ 1 = 1, n→∞ 当 x < −1 或 x > 1时, lim Sn(x)不存在. n→∞ 综上所述, 该级数的收敛域为(−1, 1], 0, x ∈ (−1, 1); 且和函数 S(x) = 1, x = 1.xn+1 (n+1)!∞ xn xn Σ 收敛, 因而 n=1 收敛. n! n! n ∞ x 可见 n=1 的收敛域为 . Σ n!第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数. n2 n |x| lim lim 解: n→∞ n x 2 = n→∞ n = |x|. n √n2 ∞ xn ∞ xn Σ 当|x| < 1时, n=1 2 收敛, 因而 n=1 2 收敛; Σ n n n ∞ xn lim 当|x| > 1时, n→∞ x 2 ≠ 0, 因而 n=1 2 发散. Σ n n ∞ xn ∞ 1 当|x| = 1 时, n=1 2 = n=1 2 收敛, 因而… Σ Σ n n ∞ xn 可见 n=1 2 的收敛域为[−1, 1]. Σ n(2) n=1 Σ∞xn(3)∞ (x−1)n Σ n n=1 2 n=x−1 + 2 +… 2 ⋅2 2|x−1| (x−1)n = lim n|x−1| nn n→∞ 2(n+1) 2 . 2(x−1)2n+1 lim n+1 解: n→∞ (x−1)2(n+1)∞ (x−1)n |x−1| 当 2 < 1 时, n=1 2nn 绝对收敛; Σ ∞ (x−1)n |x−1| 当 2 > 1 时, n=1 2nn 发散. Σ ∞ (x−1)n ∞ (−1)n 当 x = −1 时, n=1 2nn = n=1 n 收敛. Σ Σ当 x = 3 时, n=1 2nn = n=1 − 发散. Σ Σ n∞(x−1)n∞1第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数n+1 lim n+1 解: n→∞ (x−1)2(n+1)∞(x−1)n |x−1| 2 nn = 2 .(x−1)n (x−1)n(4) n=1 n Σ 解: lim n→∞∞ (−1)n1 n . 1+x当 2|x−1| |x−1|< 1 时, n=1 2nn Σ∞绝对收敛;un+1(x) 1 1 lim n un(x) = n→∞ n + 1 |1 + x| = |1 + x| .当 2> 1 时, n=1 2nn 发散. Σ∞当 |1+x| > 1 时, 该级数绝对收敛; 当 |1+x| < 1 时, 该级数发散. 收敛. 当 x = 0 时, n=1 n Σ∞ ∞当 x = −1 时, n=1 2nn = n=1 n Σ Σ∞(x−1)n∞(−1)n(−1)n∞ (−1)n 1 n = n=1 n 收敛. Σ 1+x ∞ 1 1 n = n=1 − 发散. Σ n 1+x当 x = 3 时, n=1 2nn = n=1 − 发散. Σ Σ n 可见 n=1 2nn 的收敛域为[−1, 3). Σ∞(x−1)n∞1当 x = −2 时, Σ n n=1(−1)n(x−1)n可见该级数的收敛域为(−∞, −2) ∪ [0, +∞).272365083@2请双面打印/复印(节约纸张)第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数二. 函数项级数的一致收敛性y 1S1(x), S2(x), …, Sn(x), … ——定义在数集 A上的函数序列 S(x) ——定义在数集 A上的函数若∀ε > 0, ∃N∈ , 当 n > N 时, |Sn(x) − S(x)| < ε (∀x ∈ A), 则称{Sn(x)}在A上一致收敛于S(x). 若 n=1un(x) 的部分和序列 {Sn(x)} 在数集 A上 Σ 一致收敛, 则称该级数在A上一致收敛.∞lim xn = 0 (0 < x <1) n→∞∀ε > 0, ∃N∈ , s.t. n > N ⇒ |xn−0| < ε y=x y = x2 y = x3 y = x4 y = x5 y = x6εO x1 x2 x3 x4 x5 1 x…第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数例4. 设0 < a < 1, 证明级数x + (x2 − x) + (x3 − x2) + … + (xn − xn−1) + …例5. 证明级数x + (x2 − x) + (x3 − x2) + … + (xn − xn−1) + …在[0, a]上一致收敛. 证明: 该级数的部分和为 Sn(x) = 在[0, a]上的和为 S(x) ≡ 0. xn, ,在(0, 1)上不一致收敛. 证明: 该级数的部分和为 Sn(x) = xn, 在(0, 1)上的和为 S(x) ≡ 0.N+1 取ε = 1/2, ∀N ∈ , ∃x = ______ ∈ (0, 1), 3/4 虽然 n = N + 1 > N, 但是 |xn − 0| = xn = 3/4 > ε ,max{[logaε ]+1, 1} 对∀ε > 0, ∃N = ________________∈当 n > N 时, |xn − 0| = xn ≤ an < aN ≤ ε (∀x ∈ [0, a]), 可见Sn(x)在[0, a]上一致收敛于S(x).可见Sn(x)在(0, 1)上不一致收敛.第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数定理1 (Cauchy一致收敛准则). Σ u (x)在A上一致收敛 n=1 n ⇔ ∀ε > 0, ∃N∈n+p k=n+1 k ∞定理2 (Weierstrass判别法, M判别法). 设函数项级数 n=1un(x) (x ∈ A) 与正项级数 Σ ,有n=1 n ∞, 当 n > N时, ∀p∈Σ a 满足下列条件+;∞∞Σ u (x) = |Sn+p(x) − Sn(x)| < ε (∀x ∈ A). ⇓ Weierstrass判别法维尔斯特拉斯 [德]1815~1897(1) |un(x)| ≤ an , ∀x∈A, ∀n∈ (2) n=1an 收敛, Σ 则 n=1un(x)在A上一致收敛. Σn=1 n ∞乾隆1736-1796 嘉庆1796-1821 道光1821-1851 咸丰1851-1862 同治1862-1875 光绪1875-1908 宣统1908-1911Σ u (x)的优级数∞272365083@3请双面打印/复印(节约纸张)第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数证明: ∀ε > 0, ∃N∈n+p, 当 n > N时, ∀p∈,有例6. 设0 < a < b, 证明级数n=1 (1+|x|)nΣ u (x) = |Sn+p(x) − Sn(x)| k=n+1 k = |un+1(x) + un+2(x) + … + un+p(x)| ≤ |un+1(x)| + |un+2(x)| + … + |un+p(x)| ≤ an+1 + an+2 + … + an+p < ε (∀x ∈ A). Σ 由Cauchy一致收敛准则可知 n=1 un(x)在 A上一致收敛.∞Σ∞x在A = {x ∈x| a ≤ |x| ≤ b}上一致收敛.|x| b证明: (1+|x|)n = (1+|x|)n ≤ (1+a)n 对于 ∀n∈+以及 ∀x∈A都成立.∞又因为正项级数 n=1 (1+a)n 收敛, Σ 由Weierstrass判别法可知 n=1 (1+|x|)n Σ 在A = {x ∈ | a ≤ |x| ≤ b}上一致收敛.∞bx第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数三. 一致收敛级数的性质回忆定理3. (1) un(x)在[a, b]上连续(∀n∈∞ ∞+)例2中的级数(2) n=1un(x) 在 [a, b]上一致收敛 Σ (3) n=1un(x) = S(x) Σ S(x)在[a, b]上连续.⇒x + (x2 − x) + (x3 − x2) + … + (xn − xn−1) + …的收敛域为(−1, 1], 其和函数 0, x ∈ (−1, 1); S(x) = 1, x = 1. S(x)在(−1, 1]上不连续, 尽管该级数中的每一项在(−1, 1]上都连续. 由例5可知该级数在(−1, 1]上不一致收敛.第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数定理4 (逐项积分). (1) un(x)在[a, b]上连续(∀n∈ 条件∞ ∞例7. 设S(x) = n=1 Σ+)∞π cosnx , 求 ∫ 0 S(x)dx. n2(2) n=1un(x) 在 [a, b]上一致收敛 Σ (3) n=1un(x) = S(x) Σ ① S(x)在[a, b]上可积; ② ∀x0, x∈[a, b], Σ ∫ x0 S(t)dt = n=1 (∫ x0 un(t)dt).x ∞ x⇒解:结论cosnx 1 ≤ 2 (∀x∈[0, π], ∀n∈ +) n2 n ⇒ ∞ 1 Σ 2 收敛 n=1 n ∞ cosnx 在 [0, π] 上一致收敛 Σ n=1 n2 ⇒ cosnx ∈ C[0, π] (∀n∈ +) n2 ∞ π π cosnx ∫ 0 S(x)dx = n=1 ∫ 0 n2 dx Σ ∞ π sinnx = n=1 ∫ 0 n3 dx = 0. Σ272365083@4请双面打印/复印(节约纸张)第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数定理5 (逐项求导).1 (1) un(x) ∈ C[a, b] (∀n∈+)条件(2) n=1un(x) 在[a, b]上收敛于S(x) ⇒ Σ (3) n=1un(x) 在[a, b]上一致收敛 Σ ′1 ① S(x) ∈ C[a, b] ;∞∞结论② S′(x) = n=1un(x). Σ ′∞sinnx 1 例8. un(x) = n3 ∈ C(−∞, +∞) (∀n∈ +) sinnx 1 ≤ n3 ∞ sinnx n3 ⇒ n=1 3 (绝对)收敛 Σ n ⇒ ∞ 1 收敛 Σ n=1 n3 sinnx ′ 1 ≤ n2 ∞ sinnx ′ n3 ⇒ n=1 n3 一致收敛 Σ ∞ 1 收敛 Σ n=1 n2 ∞ sinnx 1 Σ n3 的和函数 S(x) ∈ C(−∞, +∞) , n=1 ∞ cosnx ∞ sinnx ′ = n=1 2 . Σ 而且S′(x) = n=1 n3 Σ n第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数四. 幂级数的概念与性质 1. 幂级数的概念 Σ a (x − x0∞2. 幂级数的收敛性 lim 设 n=0anx0n 收敛, 则 n→∞ anx0n = 0, Σ 故 ∃M > 0, s.t. ∀n∈ |anx0n| < M. , x0•∞x − x0的幂级数 )nn=0 nO x • •= a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2 + … 其中 x0, an ∈ (n = 0, 1, 2, …) x0 = 0时, 对应的形式为 Σ a xn = a0 + a1x + a2x2 + … n=0 n∞若 |x| < |x0|, 令q = |x/x0|, 则 q < 1, |cnxn| = |cnx0n|⋅qn < M⋅qn. Σ 而 n=0M⋅qn 收敛, 所以 n=0|cnxn| 收敛. Σ∞ ∞ ∞xΣ 故对所有满足|x| < |x0|的x, n=0 cnxn 绝对收敛.第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数定理6 (Abel定理). (1) 若n=0 anxn 在x = x0 ≠ 0 处收敛, Σ 则对所有满足|x| < |x0|的x, Σ c xn n=0 n (2)∞ ∞ ∞定理7. 若存在非零实数x1, x2使幂级数n=0 anxn Σ 在x1处收敛, 在x2处发散, 则存在R > 0, 使得 (1) 当|x| < R 时, n=0anxn 绝对收敛; Σ (2) 当|x| > R 时, n=0anxn 发散. Σ −R 收敛半径 x1 R x2 O • • • x (−R, R) ——收敛区间∞ ∞∞绝对收敛. 在x = x0 ≠ 0 处发散,阿贝尔[挪威] 1802~1829 顺治1644-1662 康熙1662-1723 雍正1723-1736 乾隆1736-1796 嘉庆1796-1821 道光1821-1851 咸丰1851-1862 同治1862-1875 光绪1875-1908 宣统1908-1911若n=0 anxn Σ∞则对所有满足|x| > |x0|的x,n=0 nΣ c xn 发散.272365083@5请双面打印/复印(节约纸张)第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数注: 若 n=0 anxn 仅在 x = 0处收敛, Σ 则规定 n=0anxn 的收敛半径 R = 0; Σ 若 n=0anxn 在整个实数轴上收敛, Σ 则规定 n=1anxn 的收敛半径 R = +∞. Σ∞ ∞ ∞∞定理8. 若幂级数 n=0anxn 中an ≠ 0 (∀n∈ Σan n→∞∞), 且n+1 lim a = ρ 或 lim √|an| = ρ. n→∞ n则该幂级数的收敛半径 +∞, R = 1/ρ, 0, 当ρ = 0时; 当0 < ρ < +∞时; 当ρ = +∞时.an+1 注: 教材上证明了 lim a = ρ 的情形, n→∞ nlim 这里证明 n→∞ √|an| = ρ 的情形.n第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数lim 证明: (1) 若 n→∞ √|an| = ρ = 0, 则∀x ∈n n→∞ ∞,有(2) 若0 < ρ < +∞, 则∀x ∈n n→∞,有lim √|anxn| = ρ |x| = 0,∞nlim √|anxn| = ρ |x|.故n=0 |anxn| 收敛, 因而 n=0anxn 收敛. Σ Σ 可见, 此时R = +∞. (2) 若0 < ρ < +∞, 则∀x ∈n n→∞由正项级数的根值判别法知: ∞ ∞ Σ Σ |x| < 1/ρ 时 n=0 |anxn| 收敛, 因而 n=0anxn 收敛; Σ |x| > 1/ρ 时, lim anxn ≠ 0, 因而 n=0anxn 发散. n→∞ 可见, 此时R = 1/ρ . (3) 若ρ = +∞, 则∀x ≠ 0, lim √|anxn| = +∞. n→∞n ∞ ∞,有lim √|anxn| = ρ |x|.由正项级数的根值判别法知: ∞ Σ |x| < 1/ρ 时 n=0 |anxn| 收敛,Σ 因而 lim anxn ≠ 0, 故 n=0anxn 发散. 可见, … n→∞第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数例9. (1) n=1 n! 的收敛半径为_________. Σ +∞an+1 1 ρ = lim a = lim 1 n→∞ n→∞ (n+1)! n! n∞xn例9. (3) n=1 2nn 的收敛半径为_________. Σ 21 n+1 ρ = lim a = lim n+1 1 (n+1) 2nn n→∞ n→∞ 2 n a∞(x−1)n= limn→∞ ∞1 = 0. n+1= limn→∞n 1 =−. 2(n+1) 2(2) n=1 n2 的收敛半径为_________. Σ 1an+1 n lim ρ = lim a = n→∞ (n+1)2 = 1. n→∞ n2xn注① 幂级数在收敛区间端点的收敛性要看具体情况. 如例9(3), 收敛区间为(−1, 3). 在收敛区间的端点处,∞Σ n=1 2nn∞(x−1)n=条件收敛 (−1)n , x = −1; Σ n=1 n 可见, … ∞ 1 Σ −, x = 3, 发散 n=1 n272365083@6请双面打印/复印(节约纸张)第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数注② 缺项幂级数不满足定理8中的“∀an ≠ 0 (∀n∈ 例10. n=1 Σ∞)”.例10. n=1 Σ(n!)2x2n−1 的偶次项系数全为零. (2n)! [(n+1)!]2 ⋅(2n)! 2 u (x) lim n+1 = lim |x| n→∞ un(x) n→∞ [2(n+1)]!⋅(n!)2n→∞. (2n)! u (x) |x|2 lim n+1 = . n→∞ un(x) 4 当|x| < 2时, 该级数绝对收敛;∞ (n!)2x2n−1当|x| > 2时, 该级数发散. 所以该级数的收敛半径为R = 2, 收敛区间为(−2, 2). [(n+1)!]2 (n!)2 1 = 得R = 4, 注: 若直接由 lim n→∞ [2(n+1)]! (2n)! 4 则出错!= lim(n+1)2 |x|2 |x|2 = . (2n+2)⋅(2n+1) 4当|x| < 2时, 该级数绝对收敛; 当|x| > 2时, 该级数发散.第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数例10. n=1 Σ∞(n!)2x2n−1 . (2n)!3. 幂级数的代数运算设 n=0anxn 与 n=0bnxn 的收敛半径分别为R1, R2, Σ Σ(2n)!!∞ ∞该级数的收敛半径为R = 2, 收敛区间为(−2, 2).1 Σ 当x = ±2时, 该级数 = ± − n=1 (2n−1)!! . 2∞和函数分别为S1(x), S2(x), R = min{R1, R2}, 则当|x| < R时, 有 S1(x) ± S2(x) =n=0 anxn ±n=0 bnxn = n=0(an±bn)xn, Σ Σ Σ S1(x)⋅S2(x) = ( n=0anxn)⋅( n=0bnxn) Σ Σ = n=0 (a0bn + a1bn−1 + … + anb0)xn. Σ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞lim 因为 (2n−1)!! > 1, 故 n→∞ (2n−1)!! ≠ 0. Σ 因而级数 ± − n=1 (2n−1)!! 发散. 2 所以该幂级数的收敛域为(−2, 2).1∞(2n)!!(2n)!!(2n)!!第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数4. 幂级数的分析性质定理9. 设幂级数 n=0anxn 的收敛半径为R, Σ 0 < r < R, 则n=0 anxn Σ∞ ∞定理10. 设幂级数 n=0anxn 的收敛半径R > 0, Σ 和函数为S(x), 则 (1) S(x)在收敛域上连续. (2) 对于任意的 x ∈ (−R, R), 有 Σ S′(x) = n=0(anxn)′ = n=1nanxn−1, Σ∞ ∞∞在[−r, r]上一致收敛.∞证明: 由条件可知 n=0|anrn| 收敛. Σ 对于任意的 x ∈ [−r, r], n ∈ |anxn| ≤ |anrn|. Σ 由M判别法可知 n=0anxn 在 [−r, r] 上一致收敛.∞,有Σ n ∫ 0 S(t)dt = n=0 ∫ 0 an tndt = n=0 n+1xn+1. Σx x∞∞a(3) n=1nanxn−1 和 n=0 n+1xn+1 的收敛半 Σ Σ n 径的仍为R.∞∞a272365083@7请双面打印/复印(节约纸张)第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数例11. 求 n=0(−1)n Σ∞xn+1 n+1的和函数S(x).例12. 对于任意的x ∈ (−1,1), 有 f(x) = 1−x = 1 + x + x2 + … + xn + … (1) f ′(x) = f ″(x) =x解: 首先, 容易求得该幂级数的收敛域为(−1, 1]. 根据定理10(1), S(x)在(−1, 1]上连续.1 , x ∈ (−1, 1), Σ = 又因为 n=0 1+x ∞ x x dt Σ 所以 ln(1+x) = ∫ 0 1+t = n=0∫ 0 (−1)ntndt ∞ xn+1 = n=0(−1)n Σ , x ∈ (−1, 1). n+1∞1(−1)nxn1 = 1 + 2x + … + nxn−1 + … (2) (1−x)2 2 = 2+6x +…+ n(n−1)xn−2 + … (3) (1−x)3 1 x2 xn+1∫ 0 1−t = ln 1−x = x + + … + + … (4) n+1 2 注① 在(4)中令x = 1/2得, ln2 = n=0 (n+1)2n+1 . Σ∞dt而S(1) = lim S(x) = lim ln(1+x) = ln(1+1), 可见 S(x) = ln(1+x), x ∈ (−1, 1].x→1− x→1−1第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数注② x = −1时, n=0 n+1 = n=0 n+1 收敛, Σ Σ x = 1时, n=0 n+1 = n=0 n+1 收敛, Σ Σ 故 n=0 n+1 的收敛域为 [−1,1), Σ 其和函数S(x)在−1处右连续, 而 ln1 也在−1处右连续, 因而 1−x ∞ (−1)n+1 lim = S(−1) = x→−1+S(x) Σ n=0 n+1 1 = x→−1+ ln 1−x = −ln2. lim∞ ∞∞xn+1∞(−1)n+1例13. 求 n=1(−1)n+1n(n+1)xn 的和函数. Σ 解: ρ = lim n+1 = lim (n+1)(n+2) = 1. n(n+1) n→∞ an n→∞ x = ±1时, lim (−1)n+1n(n+1)xn ≠ 0.n→∞∞xn+1∞1axn+1可见, 该级数的收敛域为(−1, 1). 设 n=1 (−1)n+1n(n+1)xn = S(x), x ∈ (−1, 1), Σ 则 ∫ 0 S(t)dt = n=1 ∫ 0 (−1)n+1n(n+1)tndt Σx x ∞ ∞ ∞= n=1 (−1)n+1nxn+1 = x2g(x), Σ第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数设 n=1 (−1)n+1n(n+1)xn = S(x), x ∈ (−1, 1), Σ 则 ∫ 0 S(t)dt = n=1 ∫ 0 (−1)n+1n(n+1)tndt Σx x ∞ ∞∞= n=1 (−1)n+1nxn+1 = x2g(x), Σ 其中g(x) = n=1 (−1)n+1nxn−1, x ∈ (−1, 1). Σ Σ ∫ 0 g(t)dt = n=1 ∫ 0 (−1)n+1ntn−1dt = n=1 (−1)n+1xn Σx x ∞ ∞ ∞x2 故 ∫ S(t)dt = x2g(x) = (1+x)2 . x2 ′ 2x , 即由此可得 S(x) = (1+x)2 = (1+x)3x 0 n=1Σ (−1)n+1n(n+1)xn =∞2x , x ∈ (−1, 1). (1+x)3 2 27n+1 ∞ 1 Σ (−1) n(n+1) = S(−) = 8 . 注: 取x = 1/2 得 n=1 2n= 1+x . 上式两边对x求导得 g(x) = (1+x)2 .1x272365083@8请双面打印/复印(节约纸张)第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数例14. 求 n=1 2n−1 x2n−1 的和函数S(x). Σ(−1)n lim 解: n→∞ 2n+1 x2n+1 (−1)n−1 2n−1 = lim 2n−1 x2 2n−1 x n→∞ 2n+1∞(−1)n−1又因为S(0), 所以 S(x) = ∫ 0 S′(t)dt + S(0) = ∫0x x= x2. 可见该级数当|x| < 1时收敛, |x| > 1时发散,x = ±1时, 用Leibniz判别法可知该级数收敛,1 dt = arctanx, x ∈ (−1, 1). 1+t2结合 S(x) 和 arctanx 在[−1, 1]内的连续性得 S(x) = arctanx, x ∈ [−1, 1].(−1) Σ 注: 取x = 1得 − = arctan1 = S(1) = n=1 2n−1 . 4 π∞n−1所以该级数的收敛域为[−1, 1]. 根据定理10, S′(x) = n=1(−1)n−1x2n−2 = 1+x2 , Σ x ∈ (−1, 1).∞1第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数例15. 求 n=1 2n x2n−2 的和函数S(x), 并求 Σn=1∞2n−1Σ 2n 的值.2 2n−1 2n−2 = lim 2n+1 2 x x n→∞ 4n−2 2n∞S(x) = n=1 2n x2n−2 =n=1 n x2n−1 Σ Σ 2 = =∞2n−1∞1′2n−1x ∞ x2 n−1 ′ x 1 ′ x ′ Σ( ) = 2⋅ = 2 n=1 2 1 − x2/2 2 − x2 2 + x2 , (2 − x2)2∞lim n+1 解: n→∞ 2n+1 x2n可见该级数当|x| < √2时收敛, |x| > √2时发散,−= x2/2.∞−− − 其中 x ∈ (−√2, √2). 由此可得 n=1 2n = S(1) = 3. Σ2n−1− |x| = √2时, Σ 2n−1 x2n−2 = Σ 2n−1 发散. n=1 2n n=1 2 − − 所以该级数的收敛域为(−√2, √2).∞第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数回忆yy = 1−x2+x4−x6+x8 y = 1−x2+x4五. 函数展开为幂级数 1. 引例 (1) 1+x2 = 1 − x2 + … + (−1)nx2n + o(x2n). (2) n=0 (−1)nx2n = 1 − x2 + x4 − x6 + … Σ 的收敛半径为1, 收敛区间为(−1, 1), Σ (−1)nx2n = 1+x2 n=0∞ ∞11y=1 y= 1 1+x2 1−x2−1O1y=xy= 1−x2+x4−x61(|x| < 1).1 = 1−x2+x4−x6+x8−x10+…+(−1)nx2n + o(x2n). 1+x2272365083@9请双面打印/复印(节约纸张)第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数2. 函数在一点处的泰勒级数设 f(x)在 x0 的某邻域N(x0)内有任意阶导数, 则称幂级数f (n)(x ) Σ n! 0 (x−x0)n n=0∞f(x) 在 x0 = 0 处的泰勒级数 n=0 Σ f(x) ~ n=0 Σ∞∞f (n)(0) n x n!称为 f(x)的麦克劳林(Maclaurin)级数, 记为f (n)(0) n x. n!为 f(x) 在 x0 处的泰勒(Taylor)级数, 记为 f(x) ~ n=0 Σ∞泰勒[英] 1685~1731 康熙1662-1723 雍正1723-1736 乾隆1736-1796 泰勒[英] 1685~1731 麦克劳林[英] 1698~1746f (n)(x0) (x−x0)n. n!康熙1662-1723 雍正1723-1736 乾隆1736-1796第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数2. 函数可展为幂级数的条件定理11. 设 f(x)在x0的某邻域N(x0)内有任意阶导数, 则 f(x) 在 x0 处的泰勒级数在 N(x0)内收敛并以 f(x)为和函数 ⇔ f(x)在 x0 处的泰勒公式的余项满足n→∞3. 函数展开成幂级数的方法 (1) 直接法(将f(x)展成(x − x0)的幂级数) ① 求f (n)(x0), n = 0, 1, 2, … ② 求 n=0 Σ ③ 检验∞f (n)(x0) (x−x0)n的收敛半径R n! f (n+1)(ξ)lim Rn(x) = 0 (∀x∈ N(x0)).nlim Rn(x) = n→∞ (n+1)! (x−x0)n+1 = 0 lim n→∞ ④ 写出f(x)在x0处的幂级数展开式 f(x) = n=0 Σ∞证明的关键: Rn(x) = f(x) − k=0 Σf (n)(x0) (x−x0)k. n!f (n)(x0) (x−x0)n (指出x的范围) n!第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数例16. 将f(x) = ex展开为x的幂级数. 解: f (n)(0) = 1 (n = 0, 1, 2, …), Rn(x) = (n+1)! xn+1 (0 ≤ θ ≤ 1).e|x| 因为 |Rn(x)| ≤ (n+1)! |x|n+1, ∀x∈ eθ x例17. 将f(x) = cosx展开为x的幂级数. 解: f(0) = 1, f ′(0) = 0, f ′′(0) = −1, …, f (2k)(0) = (−1)k, f (2k+1)(0) = 0, (k ∈ ,x) n+1 x (0 ≤ θ ≤ 1). (n+1)! |x|n+1 因为|Rn(x)| ≤ , ∀x∈ , (n+1)!),Rn(x) =f(n+1)(θ所以 lim Rn(x) = 0 (∀x∈ ),n→∞由此可得 ex = n=0 Σ∞xn (∀x∈ n!所以 lim Rn(x) = 0 (∀x∈ ),n→∞).cosx = 1− (∀x∈ ).x2 x4 x6 x2n + − +…+ (−1)n +… 2! 4! 6! (2n)!272365083@10第六章无穷级数(2)间接法:①代换法, ②逐项求导, ③逐项积分, ④代数运算.例18. 因为§6.3 幂级数(∀x ∈).cos x = 1−+ …+ (−1)n +…x 22! x 2n(2n )! 所以cos2x = …−sin x = −x + +…+ (−1)n +1+…x 2n +1(2n +1)!x 33!sin x = x −+…+ (−1)n+…x 2n +1(2n +1)!x 33! 例19. 将f (x ) = ln(1+x )展开为x 的幂级数. 第六章无穷级数∞n =1(−1)n −1nΣ= ln2. 解: 其和函数S (x ) ∈C(−1, 1],11+x = Σ(−1)n −1x n −1(|x | < 1). ∞n =1逐项积分得ln(1+x ) = Σx n(|x | < 1). (−1)n −1n∞n =1 又因为Σ的收敛域为(−1, 1],∞n =1 x n (−1)n −1n再由ln(1+x ) ∈C(−1, 1]可得ln(1+x ) = Σx n (−1 <x ≤1).(−1)n −1n∞n=1 注:令x = 1得§6.3 幂级数第六章无穷级数例20. 将f (x ) = (1+x )α展开为x 的幂级数(α为解: 先求得f (x )的Maclaurin 级数:其收敛半径R = 1. 则(1+x )S ′(x ) = αS (x ), S (0) = 1. 由此可得S (x ) = (1+x )α, 即常数).(∗)1+αx+α(α−1) 2!x 2+…+ α…(α−n +1) n !xn+ …设其和函数为S (x ), x ∈(−1, 1), (1+x )α= 1+αx +α(α−1) 2!x 2+…+α…(α−n +1)n !x n +…§6.3 幂级数二项式级数但在区间(−1, 1)的端点处是否成立要对α讨论.第六章无穷级数(1+x )α= 1+αx +α(α−1) 2!x 2+…+α…(α−n +1)n !x n +…可以证明, 当α≤−1时, 的收敛域为(−1, 1);当−1< α< 0时, (∗)的收敛域为(−1, 1]; 当α> 0时, (∗)的收敛域为[−1, 1]. 因此, …(∗)1+αx +α(α−1) 2!x 2+…+α…(α−n +1) n !xn+ …§6.3 幂级数例21. 求下例函数在指定点处的泰勒展式.(|x +4| < 7),(|x +4| < 3). (1) f (x ) = xx 2−2x −3, x 0= −4. 第六章无穷级数解: f (x ) = x x 2−2x −3 = −( + ), 1 4 1 x + 1 3 x −31 x −3= −−1 7 1 1−(x +4)/7 (|x +4| < 3),1 x +1= −−1 3 1 1−(x +4)/3 = −−Σ( )n1 3 x +43 ∞n =0 = −−Σ( )n1 7 x +47 ∞n =0 f (x ) = −[ ]1 4 −−Σ( )n 1 3 x +43 ∞n =0 −−Σ( )n 37 x +47∞n =0 = −−Σ( + )(x +4)n 1 4 ∞n =0 1 3n +1 3 7n +1§6.3 幂级数(2) f (x ) = sin x , x 0= π/6.解: sin x = sin[(x −−)+−]π6π6 = −cos(x −−)+ sin(x −−), π6 1 2√3 2 π6 cos(x −−) = 1 −(x −−)2+…+ (x −−)2n+…π6 π6 π6 1 2! (−1)n(2n )! sin(x −−) = (x −−) −(x −−)3+…π6π6 π6 1 3!(−1)n(2n +1)! π6 + (x −−)2n +1+…sin x = −+ (x −−) −(x −−)2+…1 2 √32π6 π6 π6π612⋅2! + (x −−)2n+ (x −−)2n +1+ …(−1)n 2⋅(2n )! (−1)n √3 2⋅(2n +1)! 第六章无穷级数§6.3 幂级数(∀x ∈).解:(3) f (x ) =故∀x ∈(−1, 1),第六章无穷级数e x1−x , x 0= 0. e x= Σ∞n =0 x nn !, 1 1−x= Σx n , ∞n =0 e x1−x= ( Σ)⋅( Σx n )∞n =0 x n n ! ∞n =0 1 1!= 1 + (1+ )x + (1+ + )x2+ (1+ + + )x3+ …1 1! 1 2!1 1! 1 2! 1 3!§6.3 幂级数∀x ∈.∀x ∈(−1, 1).第六章无穷级数求收敛半径直接R = 1/ρ已知等式化为正项级数, 讨论敛散性代换法, 逐项求导/积分, 代数运算间接函数展开为幂级数幂级数求和(ρ= lim|a n +1/a n |, 公式lim|a n |1/n ) Σ|…| 求表达式S (z ) = lim S n (z ) f (n )(x 0)/n !, 检验R n (x )代换法, 逐项求导/积分, 代数运算间接1+αx + Σ⎯⎯⎯⎯⎯x n = (1+x )α, x ∈(−1, 1). α…(α−n +1)n !∞n =2 小结§6.3 幂级数Σx n = , Σ(−x )n = , x ∈(−1, 1). ∞n =11 1−x ∞n =1 1 1+x Σ⎯=e x , Σ= sin x , x ∈. ∞n =0 x n n ! ∞n =0 (−1)n x 2n +1(2n +1)!。

重大社2024《高等数学》教学课件第三章 1、2、3节

令f′(x)=0，得驻点x1=1，x2=3
x
( ，1)
1
(1，3)
3
(3, )
f x
＋
0
－
0
＋
f x
↗
4
↘
0
↗
知，f(1)=4为函数f(x)的极大值。
f(3)=0为f(x)的极小值。
第二节函数的极值
解法2
因为该函数的定义域为（-∞，+∞），
f′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3)
（4）列表讨论：
x
(, 0)
(0, )
f x
0
－0＋ຫໍສະໝຸດ f x↘-5
↗
所以，当
x 0时， y极小值 = 5
例2 求
1 3
f ( x) x 4 x 4 的极值.
3
解（1）函数的定义域为 ,
（2）求导数 f ( x) x 4
2
（3）令 f ( x) 0，得驻点 x1 2, x2 2 （将定义域分成三个区间）
y 2x 3
y 2 0
引入2
导数与单调性的关系
1
y x 1
2
1
y 0
2
3.1
函数单调性的判别法
3.1.1单调性的判定定理
定
设函数 f ( x) 在 (a, b) 内可导，
理 (1)如果在 (a, b) 内， f ( x) 0 则函数 f ( x)在 (a, b)内单调增加，
于是，当
即，当
x0
x0
时，有
时，有
f ( x) f (0) 0
sin x x

高教社2024高等数学第五版教学课件-6.3 二阶微分方程

表达式有关。下面举例详细说明，请大家注意把握其数学思想方法。
例6 解二阶常系数线性非齐次微分方程
″ − 2 ′ − 3 = (3 + 1) 2
解（1）求原方程所对应的齐次方程的通解
特征方程为
2 − 2 − 3 = 0
特征根
1 = 3, 2 = −1
所以齐次方程的通解为：
1 3 + 2 −
″ + ′ + = ()
（6.3.7）
的一个特解，则
= 1 1 + 2 2 + ∗
（6.3.8）
是二阶常系数线性非齐次微分方程（6.3.7）通解。其中1 , 2 为任意常数。
定理3中，齐次方程两个线性无关的解已容易求出，剩下的问题是如
何求非齐次方程（6.3.7）的特解 ∗ 。其实，该特解与右边自由项()
2 + 4 + 13 = 0
其解为共轭复根 1,2 = −2 ± 3
所以原方程的通解为 = −2 (1 3 + 2 3 )
（6.3.6）
2、二阶常系数线性非齐次微分方程
定理3 若1 , 2 是齐次方程
″ + ′ + = 0
的两个线性无关的特解， ∗ 是非齐次方程
第六章常微分方程
第三节二阶微分方程
一、可降阶的二阶微分方程
【引例1】解微分方程
解
两边积分一次
两边再积分一次
2
2
=

(是常数)
= ′ = ‫ = ׬‬+ 1
1
2
= ‫ (׬‬+ 1 ) = 2 + 1 + 2

合肥工业大学-高等数学-上-6-3-定积分在物理学中的应用资料

的两质点之间的引力为 F
k
m1m2 r2
，其中 k
为引力系数，且引力的方
向沿着两质点的连线方向．
如果考虑的不是两个质点之间的引力，而是一根细棒对一个质点的引力，或者是一根细棒对另一根细棒的引力，就不能直接运用上述公式，此时的问题相对复杂一些，现举例说明用定积分的微元法计算一根细棒对一个质点的引力．
解如图建立坐标系，并取 x 为积分变量．
⑴⑵ x 的的变变化化范范围围[[0a,,aa]]，，类在似[a我, a们] 上得任到取压小力区的间微[元x, x为 dx] ，对应
于[x, x dx] 上窄条所dF受的2b压力g近x 似a2于 x2 dx ，
(a x) 2 y dx g 2ba g(a x) a2 x2dx,
解设第 n 次击打后，桩被打进地下 xn 米，第 n 次击打时，
汽锤所作功为Wn (n 1, 2,3) ．由题设，当桩被打进地下的深度
为 x 时，土层对桩的阻力的大小为 kx ，所以
W1
x1 0
kxdx
k 2
x12
，
W2
x2 x1
kxdx
k 2
(
x22
x12
a
所故以所压受力的元压素力为为dF 2b g(a x) a2 x2 dx ，故所受压力为
FF
aa 0a
22bb aa
gg(xa
a ax2 )
xa22dx
x2
d23xa2bag2b（ g牛（顿牛）顿．）．
例 6.3.4 某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l 为对称轴，闸门的
上部为矩形 ABCD，下部由二次抛物线与线段 AB（长度为米）围成．当
1
闸门下部承受的水压力为

高等数学(上) 第3版教学课件6-3 一阶线性微分方程

;
例1.求微分方程′ + ∙ = − 的通解
解法1： ∵ = ,
Q = −
代入非齐次的通解公式得
= − ‫ ׬ ׬‬− ‫ ׬‬+
= − ‫ ׬‬− +

∙
只写一个原函数
例1. 求微分方程 ′ + 2 = 0的通解
解：这是一阶线性齐次微分方程
() = sec 2
代入通解公式得, =
通解
= −
− ‫ ׬‬2
齐次方程 ′ + =
的解 = − ‫ ׬‬
《高等数学》
第三节一阶线性微分方程
基础课教学部
第三节一阶线性微分方程
一、引入
二、基本概念
三、齐次方程的解法
四、经典实例
五、非齐次方程的解法
一、引入
实际问题中，事物总是不断的运动变化.
空气流动
气温变化
植物生长
？直接得出函数结构非常困难.
! 建立函数、导数、微分之间的等式（微分方程）
二.基本概念
设 = ()− ‫ ׬‬
是非齐次的通解

把C换成
C(x)！
怎么求解
呢?
常数变易法
令 = () − ‫ ׬‬
′ = ′ − ‫ ׬‬

,
则
− () − ‫ ׬‬

,
代入方程 y′ + = ()中整理
′ − ‫ ׬‬
= − ‫ ׬‬

(න ‫ ׬‬

+ )
其中为任意常数，3个积分均只写一个原函数

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2020/8/3
例1 某农场试种新品种水稻，已知该新品种水稻亩产量
服从 X N(,82) . 现从该农场的水稻田中随机抽16亩进行
实割实测，得到平均亩产量为412.5kg.试以95%的置信水平计算该新品种水稻的亩产量均值的置信区间.
解根据题意知 X N(,82) ，总体方差 2 已知，
(n 1)s2 ,
1
(n 1)s2 2
(n1)s2 (n1)s2
（3）写出方差 2 的置信区间： ( 2
,
)
1
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2020/8/3
例3 某食品公司对近几年的禽蛋的月销售量进行调查，现随机抽取12个月销售量（单问位题：引万导千克），得方差s2 3.72.
求正态总体均值的置信区间
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2020/8/3
（1）因 1 0 .9 5，则 0.05，查标准正态分布表得
临界值 1.96 ；
（2）由已知，x412.5，n16 ， 8 ， 1.96；
计算区间端点得，x 416.42，x 408.58 ；
设总体 X~N(,2) ，其问中题引导已知，而为未知参数，
X1,X2, ,Xn正是态取总自体总均体值X （的方一差个已样知本）.根的据表6－4，
U置X信区间~怎N么(0,求1)呢？ n
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2020/8/3
分析
我们已经介绍了确定标准正态分布临界值的方法.根据
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2020/8/3
归纳
正态总体方差 2 已知，总体均值的置信区间的求解步骤为：
（1）根据给定的，查标准正态分布表得临界值
（2）由样本值，求出 x ，并计算区间端点值
（3）写出均值
x n
的置信区间:
(x ,x )
n
n
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思考
1.求满足PU0.05的U分布的临界值 . 2.求满足 PT0.05,n24 的t分布的临界值 .
3.求满足 P12 2 0 .9 0，n11的 2 分布
的临界值 1 , 2 .
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2020/8/3
分析
用点估计法来估计总体的参数十分简单易行,但由于样本的随机性,参数的点估情计景值引仅入仅是未知参数的一个近似值．那么估计量的值与参数真值之间到底相差多少? 它没有给出这个近似值的点误估差计范能围做. 什然么而呢实？际需要对这些估计值的精确程度作出说明，即希望估计出一个范围，并且知道这个范围包含参数真值的可有靠何度不，足这？样的范围通常用区间形式给出，区置间信是区什间么为呢：？
(n1)s2 (n1)s2
2
,
1
.
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2020/8/3
归纳总体方差 2 置信区间的求解步骤为：
（1）根据给定的，查 2 分布临界值表得 1 和 2 的值；（2）由样本值，求出 s 2 ，并计算区间端点值：
元，已知理赔额 X~N(,2) ，试求总体均值的置信
水平为0.95的置信区间．
3、某超市连续统计了十二个月的销售额（单位：万元），
得方差 s2 0.305 ，如果销售额 X~N(,2) ，试求方
差 2 的置信水平为95%的置信区间.
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n
n
（3）从而得的置信水平为95%的置信区间为（408.58， 416.42）.
说明：该新品种水稻的平均亩产量估计在408.58 kg 到416.42kg之间，这个估计的可靠度达95%.
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2020/8/3
分析第二，正态总体均值（方差未知）的置信区间.
P 21P 22 2
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2020/8/3
分析
在介绍统计量 2 (n问1题2)S引2 导的时候，我们已经介绍根
据 2 分布临界值正表态（分附布录的表样3）本可方以差得是到具 2 分布的临界
值 1、（ 212)体.在的一数次值抽s 2样，后正，态样总本体方方差差是具体的数值 s 2 ，
1．书面作业
必做：《习题集》中的“练习6.3.3”
选做：习题6.3中的2、3
2．拓展作业
（1）根据本节内容和自己的专业、特长，上网阅读、查找相关资料，自行学习区间估计。
（2）以小组为单位，依据本节课所学知识编写与生活或专业相关的问题（小组之间循环解答）．
3．上机操作
利用软件Excel求解课堂练习并解决拓展作业问题.
正态分布，求该地旅游者日平均消费额的置信水平为如何把置信区间的求解步骤应
95%的置信区间. 用到求解实例中呢？
解根据题意知 X N(,2)，总体方差 2 未知，
求正态总体均值的置信区间
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2020/8/3
（1）置信水平 1 9 5 % ，则 0.05, 查t分布临界
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2020/8/3
分析第三，正态总体方差的置信区间
上面给出了总体均值的区间估计，在实际问题中要考问题引导
虑精度或稳定性时，需要对正态总体的方差 2 进行区间估计.
第三种类型，正态总体方差的
设总体 X~N(,2) ，其中， 2 未知，X1,X2, ,Xn
设总体 X~N(,2)，其中， 2 未知，X1,X2, ,Xn
问题引导
是取自总体X 的一个样本.
由§6.3.1中第的（二表方种6差－类未4型知知，：）正的T态置总SX信体区均n间值~t(n1)
观察
怎么求呢？
统计量T 所服从的t分布不依赖于任何未知参数.
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（ 1.87， 10.72）
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2020/8/3
1、设随机变量X 服从正态分布，即X~N(,2.82) ，已知
一个容量为10的样本，其均值 x1500，求总体均值的置信区间（置信水平为0.95）.
2、某保险公司要估计去年投保人的平均理赔额，随机地抽取25个投保人，得理赔均值为739.98元，标准差为312.70
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2020/8/3
分析
在介绍统计量 T ＝ X －的时候，我们已经介绍了
S/ n
确定t分布临界值的方法问. 题根引据导t分布临界值表（附录表2）
可以查到t分布正的态临分界布值的样.本均值、样本在一次抽样方后差，是样具本体均的值数、值样本x 方、差s 2是，具体的数值
x 、 s 2 ，可以确定总正体态均总值体均值的置信的区置间信区间为:
（1）置信水平1 9 5 % ，0.05，n=12, 查 2 分布
临界表得值: 1 3 .8 1 6 ,2 2 1 .9 2 ;
（2）由已知，s2 3.75，n12 ，2 21.92，1 3.816 ；
计算区间端点得，（n1)s2 10.72 ，（n 1)s2 1.87 ；
1
2
（3）从而得 2 的置信水平为95%的置信区间为
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2020/8/3
概念设 X1,X2, ,Xn 是取自总体 X 的一个样本，是
总体分布中的未知参数. 对于给定的 (01) ，若存在
统计量 ˆ 1 和 ˆ 2 ，使得：Pˆ问1 题引导ˆ2 1，（6.19）
则称区间 (ˆ1 ,ˆ2 ) 为参数的置信水平为 1 的置信区间， 1 叫做置具信体水地平说或，置到信底度什. 么是区间估
置信区间怎么求呢？
是取自总体X的一个样本. 下面讨论方差 2 的置信水平为
1 的置信区间.
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2020/8/3
由§6.3.1中的表6－4知: 2(n 12)S2~2(n1)
其临界值满足关系式: P 1 2 2 1
即对于给定的置信水平 1(01)， 2 分布的临界值 1、（ 212)，有:
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2020/8/3
2 分布： 2(n 12)S2~2(n1)
2 分布的临界值 1 、 2 满足：
P 1 2 2 1
P 21
1,
2
P 2 2
2
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2020/8/3
值表得 2.0639;
（2）由已知， x80，s12 ，n25 ，2.0639；
计算区间端点得，x s 84.95 ， x s 75.05 ；
n