2019.4西城一模数学答案
北京市西城区2019届高三4月统一测试(一模)数学(理)试题word含答案
的直线与椭圆 W 相交于不同的两点 C , D （不与点 A, B 重合） .
（Ⅰ）当 n 0 ，且直线 CD x 轴时， 求四边形 ACBD 的面积； （Ⅱ）设 n 1 ，直线 CB 与直线 x 4 相交于点 M ，求证： A, D, M 三点共线 .
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
6．如图，阴影表示的平面区域 W 是由曲线 x y 0 ， x 2 y2 2 所围成的 . 若 点 P( x, y) 在 W 内（含边界），则 z 4 x 3y 的最大值和最小值分别为
（A） 5 2 ， 7 （B） 5 2 ， 5 2 （C） 7 ， 5 2 （D） 7 ， 7
平面 CDQ 平面 BEF ？若存在，求 出 BQ 的值，若不存在，说明理由．
BE
17．（本小题满分 13 分） 为培养学生的阅读习惯， 某校开展了为期一年的“弘扬传统文化， 阅读经典名
著”活动 . 活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各 10 名学生的阅读 量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无 法确认，在图中以 a 表示 .
16．（本小题满分 14 分） 如图，在多面体 ABCDEF 中，梯形 ADEF 与平行四边形 ABCD 所在平面互相垂
直， AF // DE ， DE
AD ， AD
BE ， AF
AD
1 DE
1 ， AB
2.
2
（Ⅰ）求证： BF // 平面 CDE ；
（Ⅱ）求二面角 B EF D 的余弦值；
（Ⅲ）判断线段 BE 上是否存在点 Q ，使得
那么实数 a 的取值范围是 ____．
12．某四棱锥的三视图如图所示，那么此四棱锥的体积为 ____．
北京市西城区2019届高三4月统一测试(一模)数学文试题(解析版)
北京市西城区高三统一测试数学（文科） 2019.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集U =R ，集合{|02}A x x =<<，{3,1,1,3}B =--，则集合()U A B =ð（A ）{3,1}-- （B ）{3,1,3}-- （C ）{1,3} （D ）{1,1}-答案：B考点：集合的运算解析：U A =ð{|02}x x x ≤≥或， 所以，()U A B =ð{3,1,3}--2．若复数1i2iz -=-，则在复平面内z 对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 答案：D考点：复数的运算，复数的几何意义。
解析：1i 2i z -=-＝(1i)(2+i)31555i -=-，对应的点为（31,55-），在第四象限。
3．下列函数中，值域为R 且在区间(0,)+∞上单调递增的是（A ）22y x x =+ （B ）12x y += （C ）31y x =+ （D ）(1)||y x x =- 答案：C考点：函数的单调性。
解析：（A ）22y x x =+的值域不是R ，是［－1，＋∞），所以，排除； （B ）12x y +=的值域是（0，＋∞），排除；（D ）(1)||y x x =-＝22,0,0x x x x x x ⎧-≥⎪⎨-+<⎪⎩，在（0，12）上递减，在（12，＋∞）上递增，不符。
只有（C ）符合题意。
4. 执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为（A ）4 （B ）5 （C ）7 （D ）9 答案：D考点：程序框图。
解析：第1步：S ＝－3，k ＝3；第2步：S ＝－12，k ＝5；第3步：S ＝13，k ＝7； 第4步：S ＝2，k ＝9，退出循环，此时，k ＝9 5. 在△ABC 中，已知2a =，1sin()3A B +=，1sin 4A =，则c ＝ （A ）4（B ）3（C ）83（D ）43答案：C考点：正弦定理。
2019年北京市西城区高三年级一模数学(理)试题和答案
北京市西城区高三统一测试数学（理科） 2019.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集U =R ，集合{|02}A x x =<<，{3,1,1,3}B =--，则集合()UA B =（A ）{3,1}-- （B ）{3,1,3}-- （C ）{1,3} （D ）{1,1}-2．若复数1i2iz -=-，则在复平面内z 对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限3. 执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为 （A ）4（B ）5（C ）7（D ）9输出 开始否 结束是4．下列直线中，与曲线C ：12,()24x t t y t =+⎧⎨=-+⎩为参数没有公共点的是 （A ）20x y += （B ）240x y +-= （C ）20x y -=（D ）240x y --=5. 设 ,,a b m 均为正数，则“b a >”是“a m ab m b+>+”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件6．如图，阴影表示的平面区域W 是由曲线0x y -=，222x y +=所围成的. 若点(,)P x y 在W 内（含边界），则43z x y =+的最大值和最小值分别为（A ）52，7-（B ）52，52-（C ）7，52-（D ）7，7-7. 团体购买公园门票，票价如下表：W Oyx现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数之差为 （A ）20 （B ）30 （C ）35 （D ）408. 如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线422x y +=围成的平面区域的直径为（A（B ）3（C ）（D ）4第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 在等比数列{}n a 中，21a =，58a =，则数列{}n a 的前n 项和n S =____．10．设1F ，2F 为双曲线2222 1(0,0)x y C a b a b-=>>：的两个焦点，若双曲线C 的两个顶点恰好将线段12F F 三等分，则双曲线C 的离心率为____．11．函数()sin2cos2f x x x =+的最小正周期T =____；如果对于任意的x ∈R 都有()f x a ≤，那么实数a 的取值范围是____．12．某四棱锥的三视图如图所示，那么此四棱锥的体积为____．13. 能说明“若sin cos αβ=，则36090k αβ+=⋅+，其中k ∈Z ”为假命题的一组α，β的值是___．14．如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为a ，b ，c . 例如，图中上档的数字和9a =. 若a ，b ，c 成等差数列，则不同的分珠计数法有____种.侧(左)视图 正(主)视图俯视图 221三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在△ABC 中，已知222a c b mac +-=，其中m ∈R . （Ⅰ）判断m 能否等于3，并说明理由；（Ⅱ）若1m =-，27b =，4c =，求sin A ．16．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，梯形ADEF 与平行四边形ABCD 所在平面互相垂直，//AF DE ，DE AD ⊥，AD BE ⊥，112AF AD DE ===，2AB =.（Ⅰ）求证：//BF 平面CDE ； （Ⅱ）求二面角B EF D --的余弦值； （Ⅲ）判断线段BE 上是否存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ？若存在，求DABCEF出BQBE的值，若不存在，说明理由．17．（本小题满分13分）为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动.活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a 表示.（Ⅰ）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值， 求图中a 的所有可能取值；（Ⅱ）将甲、乙两组中阅读量超过．．15本的学生称为“阅读达人”. 设3a ，现从所有“阅读达人”里任取3人，求其中乙组的人数X 的分布列和数学期望.（Ⅲ）记甲组阅读量的方差为20s . 在甲组中增加一名学生A 得到新的甲组，若A 的阅读量为10，则记新甲组阅读量的方差为21s ；若A 的阅读量为20，则记新甲组阅读量乙1 2 07 2 2 1 0 1 2 3 6 6 a8 6 2 1 0 1 2 4 4 甲的方差为22s ，试比较20s ，21s ，22s 的大小.（结论不要求证明）18．（本小题满分13分）设函数2()e 3x f x m x =-+，其中∈m R ．（Ⅰ）当()f x 为偶函数时，求函数()()h x xf x =的极值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点，求m 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆W :2214x y m m +=的长轴长为4，左、右顶点分别为,A B ，经过点(,0)P n 的直线与椭圆W 相交于不同的两点,C D （不与点,A B 重合）.（Ⅰ）当0n =，且直线CD ⊥x 轴时， 求四边形ACBD 的面积；（Ⅱ）设1n =，直线CB 与直线4x =相交于点M ，求证：,,A D M 三点共线.20．（本小题满分13分）如图，设A 是由n n ⨯(2)n ≥个实数组成的n 行n 列的数表，其中ij a (,1,2,,)i j n =表示位于第i 行第j 列的实数，且{1,1}ij a ∈-.定义1122st s t s t sn tn p a a =(,1,2,,)s t n =为第s 行与第t 行的积. 若对于任意,s t （st ），都有0st p =，则称数表A 为完美数表. （Ⅰ）当2n =时，试写出一个符合条件的完美数表； （Ⅱ）证明：不存在10行10列的完美数表； （Ⅰ）设A 为n 行n 列的完美数表，且对于任意的1,2,,i l =和1,2,,j k =，都有1ij a =，证明：kl n ≤.北京市西城区高三统一测试数学（理科）参考答案及评分标准 2019.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．D 4．C5．C 6．A 7．B 8．B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1122n --10．311． π；a 12．4313．答案不唯一，如110α=，20β= 14．32注：第11题第一问3分，第二问2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当3m =时，由题可知 2223a c b ac +-=，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，……………… 3分 得2223cos 22a cb B ac +-==． ……………… 4分这与cos [1,1]B ∈-矛盾，所以m 不可能等于3 . ……………… 6分（Ⅱ）由（Ⅰ），得 1cos 22m B ==-，所以2π3B =. ……………… 7分因为b =4c =，222a c b ac +-=-， 所以216284a a +-=-，解得6a =-（舍）或2a =. ……………… 9分在△ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B=， ……………… 11分得sin sina B Ab ===. ……………… 13分16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由底面ABCD 为平行四边形，知//AB CD ，又因为AB ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以//AB 平面CDE . ……………… 2分 同理//AF 平面CDE ， 又因为ABAF A =，所以平面//ABF 平面CDE . ……………… 3分 又因为BF ⊂平面ABF ，所以//BF 平面CDE . ……………… 4分 （Ⅱ）连接BD ,因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF平面ABCD AD =，DE AD ⊥，所以DE ⊥平面ABCD . 则DE DB ⊥. 又因为DE AD ⊥，AD BE ⊥，DE BE E =，所以AD ⊥平面BDE ，则AD BD ⊥.故,,DA DB DE 两两垂直，所以以,,DA DB DE 所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系， ……………… 6分 则(0,0,0)D ，(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(1,1,0)C -，(0,0,2)E ，(1,0,1)F ，所以(0,1,2)BE =-,(1,0,1)EF =-，(0,1,0)=n 为平面DEF 的一个法向量.设平面BEF 的一个法向量为(,,)x y z =m ，由0BE ⋅=m ，0EF ⋅=m ，得20,0,y z x z -+=⎧⎨-=⎩令1z =，得(1,2,1)=m . ………………8分所以6cos ,||||3⋅<>==m n m n m n .如图可得二面角B EF D --为锐角，所以二面角B EF D --的余弦值为63.………………10分 （Ⅲ）结论：线段BE 上存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF . ………………11分证明如下：设(0,,2)([0,1])BQ BE λλλλ==-∈，所以(0,1,2)DQ DB BQ λλ=+=-.设平面CDQ 的法向量为(,,)a b c =u ，又因为(1,1,0)DC =-，DA B C EyxzF所以0DQ ⋅=u ，0DC ⋅=u ，即(1)20,0,b c a b λλ-+=⎧⎨-+=⎩……………… 12分若平面CDQ ⊥平面BEF ，则0⋅=m u ，即20a b c ++=， …………… 13分 解得1[0,1]7λ=∈.所以线段BE 上存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ，且此时17BQ BE =. 14分17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）甲组10名学生阅读量的平均值为12681011121217211010+++++++++=，乙组10名学生阅读量的平均值为124412131616(10)20981010a a+++++++++++=. …………… 2分由题意，得981010a+>，即2a <. ……………… 3分 故图中a 的取值为0或1. …………… 4分 （Ⅱ）由图可知，甲组“阅读达人”有2人，乙组“阅读达人”有3人.由题意，随机变量X 的所有可能取值为：1，2，3. ……………… 5分且212335C C 3(1)C 10P X ⋅===，122335C C 3(2)C 5P X ⋅===， 3335C 1(3)C 10P X ===. 8分 所以随机变量的分布列为：………… 9分X所以3319()123105105E X =⨯+⨯+⨯=. …………10分 （Ⅲ）222102s s s <<. ………… 13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由函数()f x 是偶函数，得()()f x f x -=，即22e()3e 3xx m x m x ---+=-+对于任意实数x 都成立，所以0m =. ……………… 2分此时3()()3h x xf x x x ==-+，则2()33h x x '=-+.由()0h x '=，解得1x =±. ……………… 3分 当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-上单调递增. ……… 5分 所以()h x 有极小值(1)2h -=-，()h x 有极大值(1)2h =. ……… 6分（Ⅱ）由2()e 30xf x m x =-+=，得23ex x m -=.所以“()f x 在区间[2,4]-上有两个零点”等价于“直线y m =与曲线23()ex x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点”. ……… 8分对函数()g x 求导，得223()e xx x g x -++'=. ……………… 9分 由()0g x '=，解得11x =-，23x =. ……… 10分 当x 变化时，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以()g x 在(2,1)--，(3,4)上单调递减，在(1,3)-上单调递增. …… 11分 又因为2(2)e g -=，(1)2e g -=-，36(3)(2)e g g =<-，413(4)(1)e g g =>-， 所以当4132e e m -<<或36e m =时，直线y m =与曲线23()ex x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点. 即当4132e em -<<或36e m =时，函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点. … 13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，得244a m ==， 解得1m =. …………… 2分所以椭圆W 方程为2214x y +=. ……………… 3分当0n =，及直线CD ⊥x 轴时，易得(0,1)C ,(0,1)D -. 且(2,0)A -,(2,0)B .所以||4AB =，||2CD =，显然此时四边形ACBD 为菱形，所以四边形ACBD 的面积为14242⨯⨯=. 5分（Ⅱ）当直线CD 的斜率k 不存在时，由题意，得CD 的方程为1x =，代入椭圆W的方程，得C，(1,D ， 易得CB的方程为2)y x =-.则(4,M,(6,AM =,(3,AD =, 所以2AM AD =，即,,A D M 三点共线. ………… 7分 当直线CD 的斜率k 存在时，设CD 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，11(,)C x y ，22(,)D x y ，联立方程22(1), 1,4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，得2222(41)8440k x k x k +-+-=. … 9分 由题意，得0∆>恒成立，故2122841k x x k +=+，21224441k x x k -=+. ……… 10分 直线CB 的方程为11(2)2y y x x =--. 令4x =，得112(4,)2y M x -. ………… 11分 又因为(2,0)A -，22(,)D x y ，则直线AD ，AM 的斜率分别为222AD y k x =+，113(2)AM y k x =-， ……… 12分 所以21211221123(2)(2)23(2)3(2)(2)AD AM y y y x y x k k x x x x --+-=-=+--+. 上式中的分子 211221123(2)(2)3(1)(2)(1)(2)y x y x k x x k x x --+=----+121225()8kx x k x x k =-++22224482584141k k k k k k k -=⨯-⨯+++ 0=， 所以0AD AM k k -=.所以,,A D M 三点共线. ………… 14分20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）答案不唯一. 如： (3)分（Ⅱ）假设存在10行10列的完美数表A .根据完美数表的定义，可以得到以下两个结论：（1）把完美数表的任何一列的数变为其相反数（即1+均变为1-，而1-均变为1+），得到的新数表是完美数表；（2）交换完美数表的任意两列，得到的新数表也是完美数表. ……… 5分 完美数表A 反复经过上述两个结论的变换，前三行可以为如下形式：x 共列y 共列z 共列w 共列在这个新数表中，设前三行中的数均为1的有x 列，前三行中“第1, 2行中的数为1，且第3行中的数为-1”的有y 列，前三行中“第1, 3行中的数为1，且第2行中的数为-1”的有z 列，前三行中“第1行中的数为1，且第2, 3行中的数为-1”的有w 列（如上表所示）， 则10x y z w +++= ○1由120p =，得x y z w +=+； ○2 由130p =，得x z y w +=+； ○3 由230p =，得x w y z +=+. ○4 解方程组○1，○2，○3，○4，得52x y z w ====. 这与,,,x y z w ∈N 矛盾，所以不存在10行10列的完美数表. …………… 8分 （Ⅲ）记第1列前l 行中的数的和112111l a a a X +++=，第2列前l 行中的数的和122222l a a a X +++= ，……，第n 列前l 行中的数的和12n n ln n a a a X +++=，因为对于任意的1,2,,i l =和1,2,,j k =，都有1ij a =，所以12k X X X l ====. …………… 9分又因为对于任意,s t （st ），都有0st p =， 所以22212n X X X ln +++=. ……………… 11分又因为22222221212n k X X X X X X l k ++++++=≥，所以2ln l k ≥，即kl n ≤. ………… 13分。
2019北京市西城区初三一模数学试题及答案
2019北京西城初三一模数 学2019.4考生须知1.本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分。
考试时间120分钟。
2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和学号。
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上.在试卷上作答无效。
4.在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回 第1-8题均有四个选项。
符合题众的选项只有一个。
1.下列图形中，是圆锥的侧面展开图的为2.实数a,b,c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是A. a>bB. a=b>0C. ac>0D. |a |>|c |3. 方程组{2x −y =05x +2y =9的解为A. {x =−1y =7B. {x =3y =6C. {x =1y =3D. {x =−1y =24. 如图，点D 在BA 的延长线，AE ∥BC 若∠DAC=100°∠B=65°，则∠EAC 的度数为 A. 65°B. 35°C. 30°D. 40°5.广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中离太阳系最近的一颗恒星称为“比邻星”，它距离太阳系约4.2光年.光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，1光年约为9 500 000 000 000千米，则“比邻星”距离太阳系约为(A) 4×1013千米(B) 4×1012千米(C) 9.5×1013千米(D) 9.5×1012千米 6. 如果a 2+3a+1=0,那么代数式（a 2+9a+6）·2a 2a+3的值为 A. 1B. -1C. 2D. -27. 三名快递员某天的工作情况如图所示，其中点A 1，A 2，A 3的横、纵坐标分别表示甲、乙、丙三名快递员上午派送快递所用的时间和件数；点B 1, B 2，B 3,的横、纵坐标分别表示甲、乙、丙三名快递员下午派送快递所用的时间和件数。
【精品高考数学试卷】2019年北京市西城区高考数学一模试卷(理科)+答案
2019年北京市西城区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设全集U R =，集合{|02}A x x =<<，{3B =-，1-，1，3}，则集合()(U A B =I ð)A ．{3-，1}-B ．{3-，1-，3}C ．{1，3}D ．{1-，1}2．（5分）若复数12iz i-=-，则在复平面内z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为( )A ．4B ．5C ．7D ．94．（5分）下列直线中，与曲线()12,:24x t C t y t =+⎧⎨=-+⎩为参数没有公共点的是( )A ．20x y +=B ．240x y +-=C ．20x y -=D ．240x y --=5．（5分）设a ，b ，m 均为正数，则“b a >”是“a m ab m b+>+”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．（5分）如图，阴影表示的平面区域W 是由曲线0x y -=，222x y +=所围成的．若点(,)P x y 在W 内（含边界），则43z x y =+的最大值和最小值分别为( )A ．527-B ．5252-C ．7，52-D ．7，7-7．（5分）团体购买公园门票，票价如表： 购票人数 1~5051~100100以上 门票价格13元/人 11元/人9元/人现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数之差为( ) A ．20B ．30C ．35D ．408．（5分）如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线422x y +=围成的平面区域的直径为( ) A 432B ．3C ．22D ．4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在等比数列{}n a 中，21a =，58a =，则数列{}n a 的前n 项和n S = ．10．（5分）设1F ，2F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，若双曲线C 的两个顶点恰好将线段12F F 三等分，则双曲线C 的离心率为 ．11．（5分）函数()sin 2cos2f x x x =+的最小正周期T = ；如果对于任意的x R ∈都有()f x a …，那么实数a 的取值范围是 ．12．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为 ．13．（5分）能说明“若sin cos αβ=，则36090k αβ+=︒+︒g ，其中k Z ∈”为假命题的一组α，β的值是 ．14．（5分）如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为a ，b ，c ．例如，图中上档的数字和9a =．若a ，b ，c 成等差数列，则不同的分珠计数法有 种．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在ABC ∆中，已知222a c b mac +-=，其中m R ∈． （Ⅰ）判断m 能否等于3，并说明理由； （Ⅱ）若1m =-，27b =4c =，求sin A ．16．（14分）如图，在多面体ABCDEF 中，梯形ADEF 与平行四边形ABCD 所在平面互相垂直，//AF DE ，DE AD ⊥，AD BE ⊥，112AF AD DE ===，2AB = （Ⅰ）求证：//BF 平面CDE ； （Ⅱ）求二面角B EF D --的余弦值；（Ⅲ）判断线段BE 上是否存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ？若存在，求出BQBE的值，若不存在，说明理由．17．（13分）为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动．活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a 表示．（Ⅰ）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值，求图中a 的所有可能取值； （Ⅱ）将甲、乙两组中阅读量超过15本的学生称为“阅读达人”．设3a =，现从所有“阅读达人”里任取3人，求其中乙组的人数X 的分布列和数学期望．（Ⅲ）记甲组阅读量的方差为20s ．在甲组中增加一名学生A 得到新的甲组，若A 的阅读量为10，则记新甲组阅读量的方差为21s ；若A 的阅读量为20，则记新甲组阅读量的方差为22s ，试比较20s ，21s ，22s 的大小．（结论不要求证明）18．（13分）设函数2()3x f x me x =-+，其中m R ∈． （Ⅰ）当()f x 为偶函数时，求函数()()h x xf x =的极值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[2-，4]上有两个零点，求m 的取值范围．19．（14分）已知椭圆22:14x y W m m+=的长轴长为4，左、右顶点分别为A ，B ，经过点(,0)P n 的直线与椭圆W 相交于不同的两点C ，D （不与点A ，B 重合）． （Ⅰ）当0n =，且直线CD x ⊥轴时，求四边形ACBD 的面积；（Ⅱ）设1n =，直线CB 与直线4x =相交于点M ，求证：A ，D ，M 三点共线．20．（13分）如图，设A 是由(2)n n n ⨯…个实数组成的n 行n 列的数表，其中(ij a i ，1j =，2，⋯，)n 表示位于第i 行第j 列的实数，且{1ij a ∈，1}-．定义1122(st s t s t sn tn p a a a a a a s =++⋯+，1t =，2，⋯，)n 为第s 行与第t 行的积．若对于任意s ，()t s t ≠，都有0st p =，则称数表A 为完美数表．（Ⅰ）当2n =时，试写出一个符合条件的完美数表； （Ⅱ）证明：不存在10行10列的完美数表；（Ⅲ）设A 为n 行n 列的完美数表，且对于任意的1i =，2，⋯，l 和1j =，2，⋯，k ，都有1ij a =，证明：kl n „．2019年北京市西城区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．【解答】解：根据题意，全集U R =，集合{|02}A x x =<<，则{|0U A x x =„ð或2}x … 又由{3B =-，1-，1，3}，则集合(){3U A B =-I ð，1-，3}； 故选：B ． 【解答】解：Q 1(1)(2)312(2)(2)55i i i z i i i i --+===---+， ∴在复平面内z 对应的点的坐标为31(,)55-，位于第四象限．故选：D ．【解答】解：当1k =时，12312S +==--，3k =，2S <成立， 1(3)11(3)2S +-==---，5k =，2S <成立，11121312S -==+，7k =，2S <成立， 1132113S +==-，9k =，2S <不成立， 输出，9k =， 故选：D ．【解答】解：曲线C 参数方程为：()12,24x t t y t =+⎧⎨=-+⎩为参数，①2⨯-②得，240x y --=，故曲线C 为斜率为2的直线，选项中斜率为2的直线为C ，D ． 而D 与曲线C 重合，有无数个公共点，排除． 故选：C ．【解答】解：a Q ，b ，m 均为正数，∴由a m ab m b+>+得()()b a m a b m +>+， 即ab bm ab am +>+，即bm am >，m Q 是正数，b a ∴>，成立，即“b a >”是“a m ab m b+>+”的充要条件， 故选：C ．【解答】解：由题意可知直线平移直线043x y =+，当直线经过A 上取得最小值，平移到与222x y +=相切于B 时，取得最大值，(1,1)B --，最小值为：7-；由22243x y x y z⎧+=⎨+=⎩可得：22258180x zx z -+-=，△22644(8)250z z =--⨯=，解得52z =，52z =-（舍去）， 所以则43z x y =+的最大值和最小值分别为：52；7-． 故选：A ．【解答】解：990Q 不能被13整除，∴两个部门人数之和：51a b +…， （1）若51100a b +剟，则11 ()990a b +=得：90a b +=，① 由共需支付门票费为1290元可知，11131290a b +=② 解①②得：150b =，60a =-，不符合题意．（2）若100a b +…，则9 ()990a b +=，得110a b +=③ 由共需支付门票费为1290元可知，150a 剟，51100b 剟， 得11131290a b +=④， 解③④得：70a =人，40b =人故两个部门的人数之差为704030-=人， 故选：B ．【解答】解：曲线422x y +=围成的平面区域，关于x ，y 轴对称，设曲线上的点(,)P x y ，可得2222913||()422OP x y x =+=--„． 所以曲线422x y +=围成的平面区域的直径为：3． 故选：B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 【解答】解：21a =Q ，58a =352a a q ∴=， 即3528a q a ==，即2q =， 首项112a =， 则数列{}n a 的前n 项和11(12)122122n n n S --==--，故答案为：1122n --．【解答】解：双曲线C 的两个顶点恰好将线段12F F 三等分， 可得1223a c =g ，则3c a =，即3ce a==． 故答案为：3．【解答】解：()sin 2cos22)4f x x x x π=+=+，即函数的周期22T ππ==， 若对于任意的x R ∈都有()f x a „， 则()max a f x …，即当sin(2)14x π+=时，()f x 2即()2max f x =， 则2a …，故答案为：π，2a …．【解答】解：几何体的直观图如图：是长方体的一部分， 长方体的棱长为：2，1，2， 四棱锥的体积为：1412233⨯⨯⨯=．故答案为：43．【解答】解：若sin cos αβ=，则36090()k k Z αβ=︒+︒±∈g ，命题中36090k αβ=︒+︒-g ，()k Z ∈，要否定命题，只须从36090()k k Z αβ=︒+︒+∈g 中找一个反例即可，如110α=︒，20β=︒，（答案不唯一，再如120α=︒，30β=︒等，只要满足36090()k k Z αβ=︒+︒+∈g 且36090()k k Z αβ≠︒+︒-∈g 即可作为反例．故填：110α=︒，20β=︒．【解答】解：根据题意，a ，b ，c 的取值范围都是从7~14共8个数字，故公差d 范围是3-到3，①当公差0d =时，有188C =种， ②当公差1d =±时，b 不取7和14，有16212C ⨯=种， ③当公差2d =±时，b 不取7，8，13，14，有1428C ⨯=种， ④当公差3d =±时，b 只能取10或11，有1224C ⨯=种， 综上共有8128432+++=种， 故填：32三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．【解答】解：（Ⅰ）当3m =时，由题可知2223a c b ac +-=， 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，（3分）得2223cos 22a cb B ac +-==． ⋯⋯⋯⋯（4分）这与cos [1B ∈-，1]矛盾，所以m 不可能等于3．⋯⋯⋯（6分） （Ⅱ）由（Ⅰ），得1cos 22m B ==-，所以23B π=．⋯⋯（7分）因为b =4c =，222a c b ac +-=-， 所以216284a a +-=-，解得6a =-（舍)或2a =．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9分） 在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a bA B=，⋯⋯⋯⋯⋯⋯（11分）得sin sina B Ab ===．（13分） 【解答】解：（Ⅰ）由底面ABCD 为平行四边形，知//AB CD ， 又因为AB ⊂/平面CDE ，CD ⊂平面CDE ， 所以//AB 平面CDE ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分） 同理//AF 平面CDE ， 又因为AB AF A =I ，所以平面//ABF 平面CDE ．⋯⋯⋯⋯⋯（3分） 又因为BF ⊂平面ABF ，所以//BF 平面CDE ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分） （Ⅱ）连接BD ，因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF ⋂平面ABCD AD =，DE AD ⊥， 所以DE ⊥平面ABCD ．则DE DB ⊥． 又因为DE AD ⊥，AD BE ⊥，DE BE E =I ， 所以AD ⊥平面BDE ，则AD BD ⊥．故DA ，DB ，DE 两两垂直，所以以DA ，DB ，DE 所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系，⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6分）则(0D ，0，0)，(1A ，0，0)，(0B ，1，0)，(1C -，1，0)，(0E ，0，2)，(1F ，0，1)， 所以(0,1,2)BE =-u u u r ，(1,0,1)EF =-u u u r ，(0n =r，1，0)为平面DEF 的一个法向量．设平面BEF 的一个法向量为(m x =r，y ，)z ，由0m BE =u u u r r g ，0m EF =u u ur r g ，得20,0,y z x z -+=⎧⎨-=⎩令1z =，得(1m =r，2，1)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8分）所以cos m <r，6||||m n n m n >==r rg r r r ．如图可得二面角B EF D --为锐角， 所以二面角B EF D --6⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分） （Ⅲ）结论：线段BE 上存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（11分） 证明如下：设(0,,2)([0,1])BQ BE λλλλ==-∈u u u r u u u r， 所以(0,1,2)DQ DB BQ λλ=+=-u u u r u u u r u u u r．设平面CDQ 的法向量为(u a =r，b ，)c ，又因为(1,1,0)DC =-u u u r ， 所以0u DQ =u u u r r g ，0u DC =u u ur r g ，即(1)20,0,b c a b λλ-+=⎧⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎨-+=⎩（12分） 若平面CDQ ⊥平面BEF ，则0m u =r rg ，即20a b c ++=，⋯⋯⋯⋯⋯⋯（13分） 解得1[0,1]7λ=∈．所以线段BE 上存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ，且此时17BQ BE =．⋯⋯（14分） 【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）甲组10名学生阅读量的平均值为12681011121217211010+++++++++=，乙组10名学生阅读量的平均值为124412131616(10)20981010a a+++++++++++=． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分）由题意，得981010a+>，即2a <．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3分） 故图中a 的取值为0或1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分）（Ⅱ）由图可知，甲组“阅读达人”有2人，乙组“阅读达人”有3人． 由题意，随机变量X 的所有可能取值为：1，2，3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分）且2123353(1)10C C P X C ===g ，1223353(2)5C C P X C ===g ，33351(3)10C P X C ===．⋯⋯（8分） 所以随机变量X 的分布列为：⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9分）所以3319()123105105E X =⨯+⨯+⨯=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分） （Ⅲ）222102s s s <<．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（13分）【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由函数()f x 是偶函数，得()()f x f x -=， 即22()33x x me x me x ---+=-+对于任意实数x 都成立， 所以0m =．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分）此时3()()3h x xf x x x ==-+，则2()33h x x '=-+． 由()0h x '=，解得1x =±．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3分） 当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-上单调递增．⋯⋯⋯⋯⋯（5分） 所以()h x 有极小值(1)2h -=-，()h x 有极大值h （1）2=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6分）（Ⅱ）由2()30xf x me x =-+=，得23x x m e-=．所以“()f x 在区间[2-，4]上有两个零点”等价于“直线y m =与曲线23()xx g x e -=，[2x ∈-，4]有且只有两个公共点”． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8分） 对函数()g x 求导，得223()xx x g x e -++'=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9分）由()0g x '=，解得11x =-，23x =．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分） 当x 变化时，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以()g x 在(2,1)--，(3,4)上单调递减，在(1,3)-上单调递增．⋯⋯⋯⋯⋯（11分） 又因为2(2)g e -=，(1)2g e -=-，36(3)(2)g g e =<-，413(4)(1)g g e=>-， 所以当4132e m e -<<或36m e=时，直线y m =与曲线23()xx g x e -=，[2x ∈-，4]有且只有两个公共点． 即当4132e m e -<<或36m e=时，函数()f x 在区间[2-，4]上有两个零点．⋯⋯（13分） 【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，得244a m ==，解得1m =．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分）所以椭圆W 方程为2214x y +=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3分）当0n =，及直线CD x ⊥轴时，易得(0,1)C ，(0,1)D -．且(2,0)A -，(2,0)B ． 所以||4AB =，||2CD =，显然此时四边形ACBD 为菱形，所以四边形ACBD 的面积为14242⨯⨯=．⋯⋯（5分）（Ⅱ）当直线CD 的斜率k 不存在时，由题意，得CD 的方程为1x =，代入椭圆W 的方程，得C ，(1,D ，易得CB的方程为2)y x =-．则(4,M，(6,AM =u u u u r，(3,AD =u u u r ，所以2AM AD =u u u u r u u u r，即A ，D ，M 三点共线．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（7分）当直线CD 的斜率k 存在时，设CD 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，联立方程22(1),1,4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得2222(41)8440k x k x k +-+-=．⋯⋯⋯（9分） 由题意，得△0>恒成立，故2122841k x x k +=+，21224441k x x k -=+．⋯⋯⋯⋯⋯（10分）直线CB 的方程为11(2)2yy x x =--．令4x =，得112(4,)2y M x -．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（11分）又因为(2,0)A -，2(D x ，2)y ， 则直线AD ，AM 的斜率分别为222AD y k x =+，113(2)AM y k x =-，⋯⋯⋯⋯⋯（12分） 所以21211221123(2)(2)23(2)3(2)(2)AD AM y y y x y x k k x x x x --+-=-=+--+． 上式中的分子22211221121212224483(2)(2)3(1)(2)(1)(2)25()82584141k k y x y x k x x k x x kx x k x x k k k kk k ---+=----+=-++=⨯-⨯+++，所以0AD AM k k -=．所以A ，D ，M 三点共线．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（14分） 【解答】（Ⅰ）解：由题意，可写出如下的完美数表：此时，12112112221(1)110p a a a a =+=⨯-+⨯=，∴此完美数表符合条件．（Ⅱ）证明：假设存在10行10列的完美数表A ． 根据完美数表的定义，可以得到以下两个结论：（1）把完美数表的任何一列的数变为其相反数（即1+均变为1-，而1-均变为1)+，得到的新数表是完美数表；（2）交换完美数表的任意两列，得到的新数表也是完美数表． 完美数表A 反复经过上述两个结论的变换，前三行可以为如下形式：在这个新数表中，设前三行中的数均为1的有x 列，前三行中“第1，2行中的数为1，且第3行中的数为1-”的有y 列，前三行中“第1，3行中的数为1，且第2行中的数为1-”的有z 列，前三行中“第1行中的数为1，且第2，3行中的数为1-”的有w 列（如上表所示），则10x y z w +++=①由120p =，得x y z w +=+； ② 由130p =，得x z y w +=+； ③ 由230p =，得x w y z +=+．④解方程组①，②，③，④，得52x y z w ====． 这与x ，y ，z ，w N ∈矛盾， 所以不存在10行10列的完美数表．（Ⅲ）证明：记第1列前l 行中的数的和112111l a a a X ++⋯+=，第2列前l 行中的数的和122222l a a a X ++⋯+=，⋯⋯，第n 列前l 行中的数的和12n n ln n a a a X ++⋯+=， Q 对于任意的1i =，2，⋯，l 和1j =，2，⋯，k ，都有1ij a =，∴12k X X X l ==⋯==．又Q 对于任意s ，()t s t ≠，都有0st p =，∴22212n X X X ln ++⋯+=． 又Q 22222221212n k X X X X X X l k ++⋯+++⋯+=…， 2ln l k ∴…，即kl n „．。
【精品高考数学试卷】西城区2019届高三一模数学(理)试题+答案
北京市西城区高三统一测试数学（理科） 2019.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集U =R ，集合{|02}A x x =<<，{3,1,1,3}B =--，则集合()U A B =I ð （A ）{3,1}-- （B ）{3,1,3}-- （C ）{1,3} （D ）{1,1}-2．若复数1i2iz -=-，则在复平面内z 对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限3. 执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为 （A ）4 （B ）5（C ）7 （D ）94．下列直线中，与曲线C ：12,()24x t t y t =+⎧⎨=-+⎩为参数没有公共点的是 （A ）20x y += （B ）240x y +-= （C ）20x y -=（D ）240x y --=输出 开始否 结束是5. 设 ,,a b m 均为正数，则“b a >”是“a m ab m b+>+”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件6．如图，阴影表示的平面区域W 是由曲线0x y -=，222x y +=所围成的. 若点(,)P x y 在W 内（含边界），则43z x y =+的最大值和最小值分别为（A ）52，7-（B ）52，52- （C ）7，52- （D ）7，7-7. 团体购买公园门票，票价如下表：购票人数 1~50 51~100 100以上 门票价格13元/人11元/人9元/人现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数之差为 （A ）20 （B ）30 （C ）35 （D ）408. 如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线422x y +=围成的平面区域的直径为 （A ）432 （B ）3（C ）22 （D ）4x OyW第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 在等比数列{}n a 中，21a =，58a =，则数列{}n a 的前n 项和n S =____．10．设1F ，2F 为双曲线2222 1(0,0)x y C a b a b-=>>：的两个焦点，若双曲线C 的两个顶点恰好将线段12F F 三等分，则双曲线C 的离心率为____．11．函数()sin2cos2f x x x =+的最小正周期T =____；如果对于任意的x ∈R 都有()f x a ≤，那么实数a 的取值范围是____．12．某四棱锥的三视图如图所示，那么此四棱锥的体积为____．13. 能说明“若sin cos αβ=，则36090k αβ+=⋅+o o ，其中k ∈Z ”为假命题的一组α，β的值是___．14．如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为a ，b ，c . 例如，图中上档的数字和9a =. 若a ，b ，c 成等差数列，则不同的分珠计数法有____种.侧(左)视图 正(主)视图俯视图 221三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在△ABC 中，已知222a c b mac +-=，其中m ∈R . （Ⅰ）判断m 能否等于3，并说明理由； （Ⅱ）若1m =-，27b =，4c =，求sin A ．16．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，梯形ADEF 与平行四边形ABCD 所在平面互相垂直， //AF DE ，DE AD ⊥，AD BE ⊥，112AF AD DE ===，2AB =.（Ⅰ）求证：//BF 平面CDE ； （Ⅱ）求二面角B EF D --的余弦值； （Ⅲ）判断线段BE 上是否存在点Q ，使得 平面CDQ ⊥平面BEF ？若存在，求 出BQBE的值，若不存在，说明理由．17．（本小题满分13分）为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动. 活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a 表示.（Ⅰ）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值， 求图中a 的所有可能取值；（Ⅱ）将甲、乙两组中阅读量超过．．15本的学生称为“阅读达人”. 设3a =，现从所有“阅读达人”里任取3人，求其中乙组的人数X 的分布列和数学期望.（Ⅲ）记甲组阅读量的方差为20s . 在甲组中增加一名学生A 得到新的甲组，若A 的阅读量为10，则记新甲组阅读量的方差为21s ；若A 的阅读量为20，则记新甲组阅读量的方差为22s ，试比较20s ，21s ，22s 的大小.（结论不要求证明）乙1 2 07 2 2 1 0 1 2 3 6 6 a8 6 2 1 0 1 2 4 4 甲DABCEF18．（本小题满分13分）设函数2()e 3x f x m x =-+，其中∈m R ．（Ⅰ）当()f x 为偶函数时，求函数()()h x xf x =的极值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点，求m 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆W :2214x y m m +=的长轴长为4，左、右顶点分别为,A B ，经过点(,0)P n 的直线与椭圆W 相交于不同的两点,C D （不与点,A B 重合）.（Ⅰ）当0n =，且直线CD ⊥x 轴时， 求四边形ACBD 的面积；（Ⅱ）设1n =，直线CB 与直线4x =相交于点M ，求证：,,A D M 三点共线.20．（本小题满分13分）如图，设A 是由n n ⨯(2)n ≥个实数组成的n 行n 列的数表，其中ij a (,1,2,,)i j n =L 表示位于第i 行第j 列的实数，且{1,1}ij a ∈-.定义1122st s t s t sn tn p a a =(,1,2,,)s t n =L 为第s 行与第t 行的积. 若对于任意,s t （s t ¹），都有0st p =，则称数表A 为完美数表.（Ⅰ）当2n =时，试写出一个符合条件的完美数表； （Ⅱ）证明：不存在10行10列的完美数表；（Ⅰ）设A 为n 行n 列的完美数表，且对于任意的1,2,,i l =L 和1,2,,j k =L ，都有1ij a =，证明：kl n ≤.北京市西城区高三统一测试数学（理科）参考答案及评分标准 2019.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．D 4．C 5．C 6．A 7．B 8．B 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1122n -- 10．311． π；a12．4313．答案不唯一，如110α=o ，20β=o14．32注：第11题第一问3分，第二问2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当3m =时，由题可知 2223a c b ac +-=，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-， (3)分得2223cos 22a cb B ac +-==．……………… 4分 这与cos [1,1]B ∈-矛盾，所以m 不可能等于 3 . ……………… 6分（Ⅱ）由（Ⅰ），得 1cos 22m B ==-，所以2π3B =. ……………… 7分因为b =4c =，222a c b ac +-=-， 所以216284a a +-=-，解得6a =-（舍）或2a =. ……………… 9分在△ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B=，……………… 11分得sin 2321sin 21427a B A b ==⨯=. …………… 13分16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由底面ABCD 为平行四边形，知//AB CD ，又因为AB ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以//AB 平面CDE . ……………… 2分 同理//AF 平面CDE ， 又因为AB AF A =I ，所以平面//ABF 平面CDE . ……………… 3分 又因为BF ⊂平面ABF ，所以//BF 平面CDE . ……………… 4分 （Ⅱ）连接BD ,因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF I 平面ABCD AD =，DE AD ⊥， 所以DE ⊥平面ABCD . 则DE DB ⊥.又因为DE AD ⊥，AD BE ⊥，DE BE E =I ， 所以AD ⊥平面BDE ，则AD BD ⊥.故,,DA DB DE 两两垂直，所以以,,DA DB DE 所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系， ……………… 6分 则(0,0,0)D ，(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(1,1,0)C -，(0,0,2)E ，(1,0,1)F ，所以(0,1,2)BE =-u u u r ,(1,0,1)EF =-u u u r，(0,1,0)=n DEF 设平面BEF 的一个法向量为(,,)x y z =m ，由0BE ⋅=u u u r m ，0EF ⋅=u u u r m ，得20,0,y z x z -+=⎧⎨-=⎩令1z =，得(1,2,1)=m . ………………8分所以6cos ,||||3⋅<>==m n m n m n .如图可得二面角B EF D --为锐角，DA BC Eyxz F所以二面角B EF D --.………………10分 （Ⅲ）结论：线段BE 上存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF . ………………11分证明如下：设(0,,2)([0,1])BQ BE λλλλ==-∈u u u r u u u r，所以(0,1,2)DQ DB BQ λλ=+=-u u u r u u u r u u u r.设平面CDQ 的法向量为(,,)a b c =u ，又因为(1,1,0)DC =-u u u r，所以0DQ ⋅=u u u r u ，0DC ⋅=u u u r u ，即(1)20,0,b c a b λλ-+=⎧⎨-+=⎩ (12)分若平面CDQ ⊥平面BEF ，则0⋅=m u ，即20a b c ++=， (13)分解得1[0,1]7λ=∈.所以线段BE 上存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ，且此时17BQ BE =. …… 14分17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）甲组10名学生阅读量的平均值为12681011121217211010+++++++++=，乙组10名学生阅读量的平均值为124412131616(10)20981010a a+++++++++++=. (2)分由题意，得981010a+>，即2a <. ……………… 3分 故图中a 的取值为0或1. ……………… 4分（Ⅱ）由图可知，甲组“阅读达人”有2人，乙组“阅读达人”有3人. 由题意，随机变量X 的所有可能取值为：1，2，3. (5)分且212335C C 3(1)C 10P X ⋅===，122335C C 3(2)C 5P X ⋅===， 3335C 1(3)C 10P X ===. …… 8分 所以随机变量的分布列为：……………… 9分所以3319()123105105E X =⨯+⨯+⨯=. ………………10分 （Ⅲ）222102s s s <<. ……………… 13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由函数()f x 是偶函数，得()()f x f x -=，即22e()3e 3xx m x m x ---+=-+对于任意实数x 都成立，所以0m =. ………… 2分此时3()()3h x xf x x x ==-+，则2()33h x x '=-+.由()0h x '=，解得1x =±. ……………… 3分 当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-上单调递增. …………… 5分 所以()h x 有极小值(1)2h -=-，()h x 有极大值(1)2h =. ……………… 6分（Ⅱ）由2()e 30xf x m x =-+=，得23ex x m -=.所以“()f x 在区间[2,4]-上有两个零点”等价于“直线y m =与曲线23()ex x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点”. ……………… 8分 对函数()g x 求导，得223()e xx x g x -++'=. ……………… 9分 X由()0g x '=，解得11x =-，23x =. ……………… 10分 当x 变化时，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以()g x 在(2,1)--，(3,4)上单调递减，在(1,3)-上单调递增. …………… 11分 又因为2(2)e g -=，(1)2e g -=-，36(3)(2)e g g =<-，413(4)(1)eg g =>-， 所以当4132e e m -<<或36e m =时，直线y m =与曲线23()ex x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点. 即当4132e e m -<<或36e m =时，函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点. ……… 13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，得244a m ==， 解得1m =. ……………… 2分所以椭圆W 方程为2214x y +=. ……………… 3分当0n =，及直线CD ⊥x 轴时，易得(0,1)C ,(0,1)D -. 且(2,0)A -,(2,0)B . 所以||4AB =，||2CD =，显然此时四边形ACBD 为菱形，所以四边形ACBD 的面积为14242⨯⨯=. …… 5分（Ⅱ）当直线CD 的斜率k 不存在时，由题意，得CD 的方程为1x =，代入椭圆W 的方程，得C ，(1,D ，易得CB 的方程为2)y x =-.则(4,M ,(6,AM =u u u u r ,(3,2AD =u u u r ,所以2AM AD =u u u u r u u u r，即,,A D M 三点共线. ……………… 7分当直线CD 的斜率k 存在时，设CD 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，11(,)C x y ，22(,)D x y ，联立方程22(1), 1,4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，得2222(41)8440k x k x k +-+-=. ……… 9分 由题意，得0∆>恒成立，故2122841k x x k +=+，21224441k x x k -=+. …………… 10分 直线CB 的方程为11(2)2y y x x =--. 令4x =，得112(4,)2y M x -. ………… 11分 又因为(2,0)A -，22(,)D x y ， 则直线AD ，AM 的斜率分别为222AD y k x =+，113(2)AM y k x =-， …………… 12分 所以21211221123(2)(2)23(2)3(2)(2)AD AM y y y x y x k k x x x x --+-=-=+--+. 上式中的分子 211221123(2)(2)3(1)(2)(1)(2)y x y x k x x k x x --+=----+ 121225()8kx x k x x k =-++22224482584141k k k k k k k -=⨯-⨯+++ 0=， 所以0AD AM k k -=.所以,,A D M 三点共线. ……………… 14分20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）答案不唯一. 如：……………… 3分（Ⅱ）假设存在10行10列的完美数表A .根据完美数表的定义，可以得到以下两个结论：（1）把完美数表的任何一列的数变为其相反数（即1+均变为1-，而1-均变为1+），得到的新数表是完美数表；（2）交换完美数表的任意两列，得到的新数表也是完美数表. ……………… 5分 完美数表A 反复经过上述两个结论的变换，前三行可以为如下形式：x 1442443共列y 1442443共列z 1442443共列w 1442443共列在这个新数表中，设前三行中的数均为1的有x 列，前三行中“第1, 2行中的数为1，且第3行中的数为-1”的有y 列，前三行中“第1, 3行中的数为1，且第2行中的数为-1”的有z 列，前三行中“第1行中的数为1，且第2, 3行中的数为-1”的有w 列（如上表所示），则10x y z w +++= ○1由120p =，得x y z w +=+； ○2 由130p =，得x z y w +=+； ○3 由230p =，得x w y z +=+. ○4 解方程组○1，○2，○3，○4，得52x y z w ====. 这与,,,x y z w ∈N 矛盾，所以不存在10行10列的完美数表. ………… 8分 （Ⅲ）记第1列前l 行中的数的和112111l a a a X +++=L ，第2列前l 行中的数的和 122222l a a a X +++=L ，……，第n 列前l 行中的数的和12n n ln n a a a X +++=L ， 因为对于任意的1,2,,i l =L 和1,2,,j k =L ，都有1ij a =，所以12k X X X l ====L . ………… 9分 又因为对于任意,s t （s t ¹），都有0st p =，所以22212n X X X ln +++=L . …………… 11分 又因为22222221212n k X X X X X X l k ++++++=L L ≥， 所以2ln l k ≥，即kl n ≤. …………… 13分。
2019年【西城一模】北京市西城区高三一模试卷数学(理)试题及答案
高考数学精品复习资料2019.5北京市西城区高三一模试卷数 学（理科） 20xx.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集U =R ，集合2{|0}A x x =<≤，{|1}B x x =<，则集合()U A B =ð（ ）（A ）(,2]-∞（B ）(,1]-∞（C ）(2,)+∞（D ）[2,)+∞2. 已知平面向量(2,1)=-a ，(1,1)=b ，(5,1)=-c . 若()//k +a b c ，则实数k 的值为（ ） （A ）2（B ）12（C ）114（D ）114-3．在极坐标系中，过点π(2,)2且与极轴平行的直线方程是（ ） （A ）2ρ=（B ）2θπ=（C ）cos 2ρθ= （D ）sin =2ρθ4．执行如图所示的程序框图，如果输入2,2a b ==，那么输出的a 值为（ ） （A ）4 （B ）16 （C ）256 （D ）3log 165．下列函数中，对于任意x ∈R ，同时满足条件()()f x f x =-和(π)()f x f x -=的函数是（ ） （A ）()sin =f x x （C ）()cos =f x x （B ）()sin cos =f x x x （D ）22()cos sin =-f x x x6． “8m <”是“方程221108x y m m -=--表示双曲线”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件7．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了()n n *∈N 年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 等于（ ） （A ）3 （B ）4（C ）5（D ）68. 如图，设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（ ）（A ） 4个 （B ）6个（C ）10个（D ）14个BADC. P第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．设复数1ii 2ix y -=++，其中,x y ∈R ，则x y +=______． 10. 若抛物线2:2C y px =的焦点在直线240x y +-=上，则p =_____；C 的准线方程为_____．11．已知一个正三棱柱的所有棱长均等于2，它的俯视图是一个边长为2的正三角形，那么它的侧（左）视图面积的最小值是________.12．若不等式组1,0,26,ax y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≥≥≤≤表示的平面区域是一个四边形，则实数a 的取值范围是_______.13. 科技活动后，3名辅导教师和他们所指导的3名获奖学生合影留念（每名教师只指导一名学生），要求6人排成一排，且学生要与其指导教师相邻，那么不同的站法种数是______. （用数字作答）14．如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，2AB =，1CD =，(0)BC a a =>，P 为线段AD （含端点）上一个动点，设AP xAD =，PB PC y ⋅=，对于函数()y f x =，给出以下三个结论：○1 当2a =时，函数()f x 的值域为[1,4]； A BD CP○2 (0,)a ∀∈+∞，都有(1)1f =成立；○3 (0,)a ∀∈+∞，函数()f x 的最大值都等于4. 其中所有正确结论的序号是_________.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知222b c a bc +=+.（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）如果cos =B ，2b =，求△ABC 的面积.16．（本小题满分13分）在某批次的某种灯泡中，随机地抽取200个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a ，b 的值；（Ⅱ）某人从灯泡样品中随机地购买了()*∈n n N 个，如果这n 个灯泡的等级情况恰好与按．三个．．等级分层抽样．．．．．．所得的结果相同，求n 的最小值； （Ⅲ）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用，若以上述频率作为概率，用X 表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求X 的分布列和数学期望.17．（本小题满分14分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形，E 是CD 的中点，1D E CD ⊥，22AB BC ==.（Ⅰ）求证：1⊥BC D E ； （Ⅱ）求证：1B C // 平面1BED ；（Ⅲ）若平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为π3，求线段1D E 的长度.18．（本小题满分13分）已知函数2ln ,,()23,,x x x a f x x x x a >⎧⎪=⎨-+-⎪⎩≤ 其中0a ≥．（Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）如果对于任意12,x x ∈R ，且12x x <，都有12()()f x f x <，求a 的取值范围.19．（本小题满分14分）已知椭圆2212x W y +=：，直线l 与W 相交于,M N 两点，l 与x 轴、y 轴分别相交于C 、D 两点，O 为坐标原点.1（Ⅰ）若直线l 的方程为210x y +-=，求OCD ∆外接圆的方程；（Ⅱ）判断是否存在直线l ，使得,C D 是线段MN 的两个三等分点，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.20．（本小题满分13分）在数列{}n a 中，1()n a n n*=∈N . 从数列{}n a 中选出(3)k k ≥项并按原顺序组成的新数列记为{}n b ，并称{}n b 为数列{}n a 的k 项子列. 例如数列1111,,,2358为{}n a 的一个4项子列.（Ⅰ）试写出数列{}n a 的一个3项子列，并使其为等差数列；（Ⅱ）如果{}n b 为数列{}n a 的一个5项子列，且{}n b 为等差数列，证明：{}n b 的公差d 满足108d -<<； （Ⅲ）如果{}n c 为数列{}n a 的一个(3)m m ≥项子列，且{}n c 为等比数列，证明：1231122m m c c c c -++++-≤.北京市西城区高三一模试卷参考答案及评分标准高三数学（理科） 20xx.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C 2．B 3．D 4．C 5．D 6．A 7．A 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．25-10．8 4x =-11． 12．(3,5) 13．4814．○2,○3注：第10题第一问2分，第二问3分. 第14题若有错选、多选不得分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为 222b c a bc +=+，所以 2221cos 22b c a A bc +-==， ……………… 3分 又因为 (0,π)∈A ，所以 π3A =. ……………… 5分（Ⅱ）解：因为 cos =B ，(0,π)∈B ，所以 sin 3B ==. ………………7分 由正弦定理sin sin =a bA B ， ………………9分 得 sin 3sin ==b Aa B. ………………10分 因为 222b c a bc +=+，所以 2250--=c c ，解得 1=c 因为 0>c ，所以 1=c . ………………11分故△ABC 的面积1sin 22S bc A ==. ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：0.15a =，30b =. ……………… 2分 （Ⅱ）解：由表可知：灯泡样品中优等品有50个，正品有100个，次品有50个，所以优等品、正品和次品的比例为50:100:501:2:1=. ……………… 4分 所以按分层抽样法，购买灯泡数24()*=++=∈n k k k k k N ，所以n 的最小值为4． ……………… 6分 （Ⅲ）解：X 的所有取值为0,1,2,3. ……………… 7分由题意，购买一个灯泡，且这个灯泡是次品的概率为0.10.150.25+=， ……… 8分 从本批次灯泡中购买3个，可看成3次独立重复试验， 所以033127(0)C (1)464P X ==⨯-=， 1231127(1)C (1)4464P X ==⨯⨯-=， 2213119(2)C ()(1)4464P X ==⨯-=，33311(3)C ()464P X ==⨯=. ……………… 11分 所以随机变量X 的分布列为：………………12分所以X 的数学期望2727913()0123646464644E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………13分（注：写出1(3,)4X B ，3311()C ()(1)44k kk P X k -==-，0,1,2,3k =. 请酌情给分）17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 和侧面11BCC B 是矩形，所以 BC CD ⊥，1BC CC ⊥， 又因为 1=CDCC C ，所以 BC ⊥平面11DCC D ， ………………2分 因为 1D E ⊂平面11DCC D ， 所以1BC D E ⊥. ………………4分（Ⅱ）证明：因为 1111//, BB DD BB DD =，所以四边形11D DBB 是平行四边形. 连接1DB 交1D B 于点F ，连接EF ，则F 为1DB 的中点. 在1∆B CD 中，因为DE CE =，1DF B F =，所以 1//EF B C . ………………6分 又因为 1⊄B C 平面1BED ，⊂EF平面1BED ，所以 1//B C 平面1BED . (8)（Ⅲ）解：由（Ⅰ）可知1BC D E ⊥， 又因为 1D E CD ⊥，BCCD C =，1所以 1D E ⊥平面ABCD . ………………9分设G 为AB 的中点，以E 为原点，EG ，EC ，1ED 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴 如图建立空间直角坐标系，设1D E a =，则11(0,0,0), (1,1,0), (0,0,), (0,1,0), (1,2,), (1,0,0)E B D a C B a G . 设平面1BED 法向量为(,,)x y z =n ， 因为1(1,1,0), (0,0,)EB ED a ==，由10,0,EB ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得0,0.x y z +=⎧⎨=⎩令1x =，得(1,1,0)=-n . ………………11分 设平面11BCC B 法向量为111(,,)x y z =m ， 因为1(1,0,0), (1,1,)CB CB a ==，由10,0,CB CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m得11110,0.x x y az =⎧⎨++=⎩令11z =，得(0,,1)a =-m . ………………12分由平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为π3， 得||π|cos ,|cos 3⋅<>===m n m n m n ， ………………13分 解得1a =. ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，得()(ln )ln 1f x x x x ''==+，其中0x >， ……………… 2分所以 (1)1f '=， 又因为(1)0f =，所以函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-. ……………… 4分（Ⅱ）解：先考察函数2()23g x x x =-+-，x ∈R 的图象，配方得2()(1)2g x x =---， ……………… 5分所以函数()g x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞单调递减，且max ()(1)2g x g ==-.……………… 6分因为对于任意12,x x ∈R ，且12x x <，都有12()()f x f x <成立，所以 1a ≤. ……………… 8分 以下考察函数()ln h x x x =，(0,)x ∈+∞的图象， 则 ()ln 1h x x '=+，令()ln 10h x x '=+=，解得1e=x . ……………… 9分 随着x 变化时，()h x 和()h x '的变化情况如下：即函数()h x 在1(0,)e 上单调递减，在1(,)e +∞上单调递增，且min 11()()e e==-h x h . ……………… 11分因为对于任意12,x x ∈R ，且12x x <，都有12()()f x f x <成立，所以 1e≥a . ……………… 12分因为 12e->-（即min max ()()h x g x >）， 所以a 的取值范围为1,e[1]. ……………… 13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为直线l 的方程为210x y +-=，所以与x 轴的交点(1,0)C ，与y 轴的交点1(0,)2D . ……………… 1分则线段CD 的中点11(,)24，||CD ==， ……………… 3分 即OCD ∆外接圆的圆心为11(,)24，半径为1||2CD =， 所以OCD ∆外接圆的方程为22115()()2416x y -+-=. ……………… 5分 （Ⅱ）解：结论：存在直线l ，使得,C D 是线段MN 的两个三等分点.理由如下：由题意，设直线l 的方程为(0)y kx m km =+≠，11(,)M x y ，22(,)N x y ， 则 (,0)mC k-，(0,)D m ， ……………… 6分 由方程组2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(12)4220k x kmx m +++-=， ……………… 7分 所以 2216880k m ∆=-+>， （*） ……………… 8分由韦达定理，得122412kmx x k-+=+, 21222212m x x k -=+. ……………… 9分 由,C D 是线段MN 的两个三等分点，得线段MN 的中点与线段CD 的中点重合. 所以 1224120km x x k mk-+==+-， ………………10分 解得2k =±……………… 11分 由,C D 是线段MN 的两个三等分点，得||3||MN CD =.12|x x -= ……………… 12分即 12||3||mx x k-==，解得 m = ……………… 13分 验证知（*）成立.所以存在直线l ，使得,C D 是线段MN 的两个三等分点，此时直线l 的方程为2y x =±，或2y x =-±. ……………… 14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：答案不唯一. 如3项子列12，13，16； ……………… 2分 （Ⅱ）证明：由题意，知1234510b b b b b >>>>>≥， 所以 210d b b =-<. ……………… 3分 若 11b = ，由{}n b 为{}n a 的一个5项子列，得212b ≤， 所以 2111122d b b =--=-≤. 因为 514b b d =+，50b >，所以 515411d b b b =-=->-，即14d >-. 这与12d -≤矛盾. 所以 11b ≠.所以 112b ≤， ……………… 6分 因为 514b b d =+，50b >， 所以 51511422d b b b =-->-≥，即18d >-，综上，得108d -<<. ……………… 7分 （Ⅲ）证明：由题意，设{}n c 的公比为q ，则 211231(1)m m c c c c c q q q -++++=++++.因为{}n c 为{}n a 的一个m 项子列， 所以 q 为正有理数，且1q <，111()c a a*=∈N ≤. 设 (,Kq K L L*=∈N ，且,K L 互质，2L ≥）. 当1K =时，因为 112q L =≤，所以 211231(1)m m c c c c c q q q -++++=++++211111()()222≤-++++m ， 112()2-=-m ，所以 112312()2m m c c c c -++++-≤. ……………… 10分当1K ≠时，因为 11111m m m m K c c q a L---==⨯是{}n a 中的项，且,K L 互质，所以 1*()-=⨯∈m a KM M N ，所以 211231(1)m m c c c c c q q q -++++=++++1232111111()----=++++m m m m M K K L K LL . 因为 2L ≥，*K M ∈N ，， 所以 21112311111()()2()2222m m m c c c c --++++++++=-≤.综上， 1231122m m c c c c -++++-≤. ……………… 13分。
北京市西城区2019年高三一模数学试题及答案(理科)
电池购销合同合同编号：_____________甲方（购方）：_____________地址：_____________联系人：_____________电话：_____________乙方（销方）：_____________地址：_____________联系人：_____________电话：_____________鉴于甲方希望购买乙方提供的电池产品，乙方愿意根据以下条款和条件供应该产品，双方达成如下合同：1. 产品描述与规格乙方同意出售以下电池产品给甲方，产品的具体描述、规格、数量、单价和总价如下：产品名称 | 型号/规格 | 数量 | 单价 | 总价-- | - | - | - |（电池产品描述） | （型号/规格） | （数量） | （单价） | （总价）2. 质量保证乙方保证所提供的电池产品符合相关质量标准，并在交付之日起___个月内对任何由于制造缺陷引起的问题提供免费更换或维修服务。
3. 交付乙方应在合同签订后的___个工作日内将产品交付给甲方。
交付地点为甲方指定的下述地址：_____________4. 付款条件甲方应在合同签订之日起___个工作日内，通过银行转账的方式向乙方支付合同总价的___%作为预付款，余款在产品交付并验收合格后的___个工作日内支付。
5. 运输与保险乙方负责产品的运输，并承担运输过程中的风险。
乙方还应为产品投保运输险，保险费用包含在产品价格中。
6. 验收甲方应在收到产品后___个工作日内完成验收。
如产品符合合同规定的规格和质量要求，甲方应签发验收合格证书给乙方。
7. 违约责任如一方违反合同条款，违约方应承担违约责任，并赔偿对方因此遭受的直接损失。
8. 争议解决双方因执行本合同而发生的任何争议，应首先通过友好协商解决。
如协商不成，任何一方均可向乙方所在地人民法院提起诉讼。
9. 其他本合同一式两份，甲乙双方各执一份。
本合同自双方授权代表签字盖章之日起生效。
甲方代表（签字）：_____________日期：_____________乙方代表（签字）：_____________日期：_____________（注：以上合同仅为示例，具体条款需根据实际情况调整，并建议在签订前由法律专业人士审核。
2019西城一模数学试题及答案
西 城 区 九 年 级 统 一 测 试2019.4一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个． 1．下列图形中，是圆锥的侧面展开图的为2．实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（A ）a b >（B ）0a b +>（C ）0ac > （D ）a c >3．方程组20,529x y x y -=⎧⎨+=⎩的解为（A ）1,7x y =-⎧⎨=⎩ （B ）3,6x y =⎧⎨=⎩（C ）1,2x y =⎧⎨=⎩（D ）1,2x y =-⎧⎨=⎩4．如图，点D 在BA 的延长线上，AE ∥BC ．若∠DAC =100°，∠B =65°，则∠EAC 的度数为 （A ）65° （B ）35°（C ）30° （D ）40°5．广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中离太阳系最近的一颗恒星称为“比邻星”，它距离太阳系约4.2光年．光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，1光年约为9 500 000 000 000千米，则“比邻星”距离太阳系约 （A ）4×1013千米 （B ）4×1012千米（C ）9.5×1013千米 （D ）9.5×1012千米6．如果2310a a ++=，那么代数式229263a a a a ⎛⎫++⋅⎪+⎝⎭的值为 （A ）1 （B ）1- （C ）2 （D ） 2-7．三名快递员某天的工作情况如图所示，其中点A 1，A 2，A 3的横、纵坐标分别表示甲、乙、丙三名快递员上午派送快递所用的时间和件数；点B 1，B 2，B 3的横、纵坐标分别表示甲、乙、丙三名快递员下午派送快递所用的时间和件数． 有如下三个结论：①上午派送快递所用时间最短的是甲； ②下午派送快递件数最多的是丙； ③在这一天中派送快递总件数最多的是乙． 上述结论中，所有正确结论的序号是 （A ）①② （B ）①③ （C ）② （D ）②③8．中国科学技术馆有“圆与非圆”展品，涉及了“等宽曲线”的知识．因为圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”．除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形（图1）．它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形．图2是等宽的勒洛三角形和圆．下列说法中错误的是（A ） 勒洛三角形是轴对称图形 （B ）图1中，点A 到BC 上任意一点的距离都相等（C ） 图2中，勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF 的中心O 1的距离都相等 （D ） 图2中，等宽的勒洛三角形和圆，它们的周长相等二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如图，在线段AD ，AE ，AF 中，△ABC 的高是线段________．10在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是__________． 11．分解因式：225ab a -= ．12．如图，点O ，A ，B 都在正方形网格的格点上，将△OAB绕点O 顺时针旋转后得到△OA′B′，点A ，B 的对应点 A′，B′也在格点上，则旋转角α（0180α<<）的度数 为_________°．13．用一组a ，b 的值说明命题“对于非零实数a ，b ，若a b <，则11a b>”是错误的，这组值可以是a = ，b = ．14．如图，在矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，将矩形ABCD沿AE 所在直线折叠，点D 恰好落在边BC 上的点F 处． 若DE =5，FC =4，则AB 的长为________．15．小芸一家计划去某城市旅行，需要做自由行的攻略，父母给她分配了一项任务：借助网络评价选取该城市的一家餐厅用餐．小芸根据家人的喜好，选择了甲、乙、丙三家餐厅，对每家餐厅随机选取了1000条网络评价，统计如下：（说明：网上对于餐厅的综合评价从高到低，依次为五星、四星、三星、二星和一星．） 小芸选择在 （填“甲”、“乙”或“丙”）餐厅用餐，能获得良好用餐体验（即评价不低于四星）的可能性最大．16．高速公路某收费站出城方向有编号为A ，B ，C ，D ，E 的五个小客车收费出口，假定各收费出口每20分钟通过小客车的数量分别都是不变的．同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口20分钟一共通过的小客车数量记录如下：在A ，B ，C ，D ，E 五个收费出口中，每20分钟通过小客车数量最多的收费出口的编号三、解答题（本题共68分，第17﹣22题，每小题5分，第23﹣26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．计算：052sin 60(2019)-︒--π．18．解不等式组4(21)31,385x x x x -<+⎧⎪-⎨<⎪⎩．19．下面是小东设计的“作圆的一个内接矩形，并使其对角线的夹角为60°”的尺规作图过程． 已知：⊙O ．求作：矩形ABCD ，使得矩形ABCD 内接于⊙O ，且其对角线AC ，BD 的夹角为60°． 作法：如图，①作⊙O 的直径AC ；②以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，交直线AC 上方的圆弧于点B ；③连接BO 并延长交⊙O 于点D ； ④连接AB ，BC ，CD ，DA ．所以四边形ABCD 就是所求作的矩形．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明．证明：∵点A ，C 都在⊙O 上， ∴OA = OC ．同理OB =OD ．∴四边形ABCD 是平行四边形． ∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC =90°（__________）（填推理的依据）．∴四边形ABCD 是矩形．∵AB =______ =BO ， ∴∠AOB =60°．∴四边形ABCD 是所求作的矩形．20．已知关于x 的一元二次方程20x bx c ++=．（1）当2c b =-时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的非零实数根，写出一组满足条件的b ，c 的值，并求此时方程的根．21．如图，在△ABC中，AC=BC，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF．（1）求证：四边形DFCE是菱形；（2）若∠A=75°，AC=4，求菱形DFCE的面积．22．在平面直角坐标系xOy中，直线l：y x b=+与x轴交于点A（2-，0），与y轴交于点B．双曲线kyx=与直线l交于P，Q两点，其中点P的纵坐标大于点Q的纵坐标．（1）求点B的坐标；（2）当点P的横坐标为2时，求k的值；（3）连接PO，记△POB的面积为S，若112S<<，直接写出k的取值范围．23．如图，AB是⊙O的直径，CB与⊙O相切于点B．点D在⊙O上，且BC=BD，连接CD 交⊙O于点E．过点E作EF⊥AB于点H，交BD于点M，交⊙O于点F．（1）求证：∠MED=∠MDE；（2）连接BE，若ME=3，MB=2，求BE的长．小腾根据学习函数的经验，分别对函数1y ，2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y ，2y 与x 的几组对应值；（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x ，1y ），（x ，2y ），并画出函数1y ，2y 的图象；（3）结合函数图象，解决问题：连接BC ，当△BCD 是以CD 为腰的等腰三角形时， DA 的长度约为___________cm ．25．某公司的午餐采用自助的形式，并倡导员工“适度取餐，减少浪费”．该公司共有10个部门，且各部门的人数相同．为了解午餐的浪费情况，公司从这10个部门中随机抽取了A ，B 两个部门，进行了连续四周（20个工作日）的调查，得到这两个部门每天午餐浪费饭菜的重量，以下简称“每日餐余重量”（单位：千克），并对这些数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a . A 部门每日餐余重量的频数分布直方图如下（数据分成6组：0≤x <2，2≤x <4，4≤x <6，6≤x <8，8≤x <10，10≤x ≤12）：b . A 部门每日餐余重量在6≤x <8这一组的是： 6.1 6.6 7.0 7.0 7.0 7.8c . B 部门每日餐余重量如下：1.42.8 6.9 7.8 1.9 9.73.14.6 6.9 10.86.9 2.67.5 6.9 9.5 7.88.4 8.39.4 8.8d .根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m ，n 的值； （2）在A ，B 这两个部门中，“适度取餐，减少浪费”做得较好的部门是 （填“A ”或“B ”），理由是 ； （3）结合A ，B 这两个部门每日餐余重量的数据，估计该公司（10个部门）一年（按240个工作日计算）的餐余总重量．26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x mx n =-+． （1）当2m =时，①求抛物线的对称轴，并用含n 的式子表示顶点的纵坐标；②若点A （2-，1y ），B （2x ，2y ）都在抛物线上，且21y y >，则2x 的取值范围 是_____；（2）已知点P （1-，2），将点P 向右平移4个单位长度，得到点Q ．当3n =时，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求m 的取值范围．27．如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，BA =BC ．将线段AB 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AD ，E 是边BC 上的一动点，连接DE 交AC 于点F ，连接BF ．（1）求证：FB =FD ；（2）点H 在边BC 上，且BH =CE ，连接AH 交BF 于点N ．①判断AH 与BF 的位置关系，并证明你的结论；②连接CN ．若AB =2，请直接写出线段CN 长度的最小值．28．在平面直角坐标系xOy 中，对于两个点P ，Q 和图形W ，如果在图形W 上存在点M ，N（M ，N 可以重合）使得PM =QN ，那么称点P 与点Q 是图形W 的一对平衡点．（1）如图1，已知点A （0，3），B (2，3)．①设点O 与线段AB 上一点的距离为d ，则d 的最小值 是________，最大值是______；②在13(,0)2P ，2(1,4)P ，3(3,0)P -这三个点中，与点O 是线段AB 的一对平衡点的是_________；（2）如图2，已知⊙O 的半径为1，点D 的坐标为（5，0）．若点E （x ，2）在第一象限，且点D 与点E 是⊙O 的一对平衡点，求x 的取值范围；（3）如图3，已知点H (3-，0)，以点O 为圆心，OH 长为半径画弧交x 轴的正半轴于点K ．点C (a ，b )（其中b ≥0）是坐标平面内一个动点，且OC =5，⊙C 是以点C 为圆心，半径为2的圆．若HK 上的任意两个点都是⊙C 的一对平衡点，直接写出b 的取值范围．北京市西城区2019年九年级统一测试数学试卷答案及评分参考2019.4一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．AF．10．3x≥．11．(5)(5)a b b+-．12．90．13．答案不唯一，如：a=1-，b=1．14．8．15．丙．16．B．三、解答题（本题共68分，第17﹣22题，每小题5分，第23﹣26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）17．解：原式=521+………………………………………………………4分=4．……………………………………………………………………5分18．解：原不等式组为4(21)31,385x xxx-<+⎧⎪-⎨<⎪⎩．解不等式①，得1x<．……………………………………………………………2分解不等式②，得4x>-．…………………………………………………………4分∴原不等式组的解集为41x-<<．………………………………………………5分19．解：（1）补全的图形如图所示：……………………………3分（2）直径所对的圆周角是直角，AO．…………………………………………………5分20．（1）证明：∵2c b=-，∴24b c∆=-……………………………………1分24(2)b b=--2(2)4b=-+．………………………………………………………2分∵2(2)0b-≥，∴2(2)40b-+>，即0∆>．∴方程有两个不相等的实数根．…………………………………………3分（2）解：由题意可知，24b c=，0c≠．以下答案不唯一，如：当2b=，1c=时，……………………………………………………………4分方程为2210x x++=．解得121x x==-．…………………………………………………………5分①②21．（1）证明：∵D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，∴DE=12BC=FC，DF=12AC=EC．…………………………………………………………1分∵AC=BC，∴DE=FC=DF=EC．………………………………………………………2分∴四边形DFCE是菱形．…………………………………………………3分（2）解：过点E作EH⊥BC于点H，如图．∵AC=BC，∴∠A =∠B．∵∠A=75°，∴∠C =180°－∠A－∠B=30°．∵AC=4，∴CE=CF=2．在Rt△EHC中，EH=12CE=1，∴菱形DFCE的面积=CF·EH=2．…………………………………………5分22．解：（1）∵直线l：y x b=+与x轴交于点A（2-，0），∴02b=-+，解得2b=．…………………………………………………1分∵直线l：2y x=+与y轴交于点B，令0x=，则2y=，∴点B的坐标为（0，2）．…………………………………………………2分（2）∵点P在直线l：2y x=+上，且点P的横坐标为2，∴点P的纵坐标为4．∵点P在双曲线kyx=上，∴8k=．………………………………………………………………………3分（3）314k-<<-或534k<<．…………………………………………………5分23．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CB与⊙O相切于点B，∴CB⊥AB．………………………………………………………………1分∴∠ABC=90°．∵EF⊥AB于点H，∴∠AHE=90°．∴∠ABC=∠AHE．∴CB∥EF．∴∠C=∠MED．……………………………………………………………2分∵BC=BD，∴∠MED =∠MDE ． ………………………………………………………3分（2）解：如图．∵AB 是⊙O 的直径，AB ⊥EF ，∴BE =BF ． ……………………………………………………………………4分∴∠BDE =∠BEF ．∵∠DBE =∠EBM ，∴△DBE ∽△EBM ． …………………………………………………………5分 ∴BD BEBE BM=． ∴2BE BD BM =⋅．∵∠MED =∠MDE ，∴ME =MD =3．∵MB =2，∴BD = MB +MD =5．∴210BE =．∴BE = ………………………………………………………………6分24．解：本题答案不唯一，如：（1）4.58；…………………………………………………………………………2分（2）图象如图所示；……………………………4分（3）1.4或4.74． ……………………………………………………………………6分25．解：（1）6.8，6.9； ……………………………………………………………………2分（2）A ，A 部门每日餐余重量的平均数、中位数都比B 部门的小，说明A 部门“适度取餐，减少浪费”做得较好；………………………………………………4分（3）(6.4 6.6)2 6.5+÷=（千克）， ………………………………………………5分6.510240⨯⨯=15600（千克）． ………………………………………………6分 答：估计该公司一年的餐余总重量约为15600千克．26．解：（1）①∵2m =，∴抛物线为22y x x n =-+．∵212x -=-=， ∴抛物线的对称轴为直线1x =． …………………………………………1分 ∵当1x =时，121y n n =-+=-， ∴顶点的纵坐标为1n -． …………………………………………………2分 ②22x <-或24x >． …………………………………………………………4分（2）∵点P （1-，2）向右平移4个单位得到点Q ，∴点Q 的坐标为（3，2）．∵3n =，∴抛物线为23y x mx =-+．当抛物线经过点Q （3，2）时，22333m =-+，解得103m =． 当抛物线经过点P （1-，2）时，22(1)3m =-++，解得2m =-．当抛物线的顶点在线段PQ 上时，21224m -=，解得2m =±． 结合图象可知，m 的取值范围是2m ≤-或2m =或103m >． ……………6分 27．（1）证明：∵∠ABC =90°，BA =BC ，∴∠BAC =∠ACB =45°．∵AB 绕点A 逆时针旋转90°得到AD ，∴∠BAD =90°，AB =AD ．∴∠DAF =∠BAD －∠BAC =45°．∴∠BAF =∠DAF ． …………………………………………………………1分 ∵AF =AF ，∴△BAF ≌△DAF ．∴FB =FD ． …………………………………………………………………2分（2）①AH 与BF 的位置关系：AH ⊥BF ． ……………………………………………3分 证明：连接DC ，如图．∵∠ABC +∠BAD =180°，∴AD ∥BC ．∵AB =BC =AD ，∴四边形ABCD 是平行四边形．∵∠ABC =90°，∴四边形ABCD 是矩形．∴AB =DC ，∠ADC =∠DCB =90°．∴∠ABH =∠DCE ．∵BH =CE ，∴△ABH ≌△DCE ．∴∠BAH =∠CDE ．∵△BAF ≌△DAF ，∴∠ABF =∠ADF ．∴∠BAH ＋∠ABF =∠CDE ＋∠ADF =∠ADC =90°．∴∠ANB =180°－(∠BAH ＋∠ABF )=90°．∴AH ⊥BF ． ……………………………………………………………5分1． …………………………………………………………………………7分28．解：（1）①32分②1P ； …………………………………………………………………………3分（2）设点D （5，0）与⊙O 上一点的距离为1d ，则146d ≤≤．设点E （x ，2）与⊙O 上一点的距离为2d ，连接OE ，如图，则211OE d OE -≤≤+．∵点D 与E 是⊙O ∴16OE -≤且14OE +≥．∴37OE ≤≤．过点E 作EF ⊥OD 于点F ．∵点E 在第一象限，∴OF =x ，EF =2．∴在Rt △OEF 中，22224OE OF EF x =+=+．当OE =3时，2234x =+，解得x （舍负）．同理，当OE =7时，可得x =．∴x ≤≤ ……………………………………………………………5分（35b ≤≤． ………………………………………………………………7分。
北京市西城区2019-2020学年高考第四次模拟数学试题含解析
北京市西城区2019-2020学年高考第四次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设函数()f x 在定义城内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x '=的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】根据()f x 的图象可得()f x 的单调性，从而得到()f x '在相应范围上的符号和极值点，据此可判断()f x '的图象. 【详解】由()f x 的图象可知，()f x 在(),0-∞上为增函数，且在()0,∞+上存在正数,m n ，使得()f x 在()()0,,,m n +∞上为增函数， 在(),m n 为减函数，故()f x '在()0,∞+有两个不同的零点，且在这两个零点的附近，()f x '有变化， 故排除A ，B.由()f x 在(),0-∞上为增函数可得()0f x '≥在(),0-∞上恒成立，故排除C. 故选：D. 【点睛】本题考查导函数图象的识别，此类问题应根据原函数的单调性来考虑导函数的符号与零点情况，本题属于基础题.2．已知三棱锥P ﹣ABC 的顶点都在球O 的球面上，PA 2=PB 14=，AB ＝4，CA ＝CB 10=，面PAB ⊥面ABC ，则球O 的表面积为（ ） A ．103πB ．256πC ．409πD ．503π【答案】D 【解析】 【分析】由题意画出图形，找出△PAB 外接圆的圆心及三棱锥P ﹣BCD 的外接球心O ，通过求解三角形求出三棱锥P ﹣BCD 的外接球的半径，则答案可求. 【详解】如图；设AB 的中点为D ； ∵PA 2=，PB 14=，AB ＝4，∴△PAB 为直角三角形，且斜边为AB ，故其外接圆半径为：r 12=AB ＝AD ＝2； 设外接球球心为O ；∵CA ＝CB 10=，面PAB ⊥面ABC ，∴CD ⊥AB 可得CD ⊥面PAB ；且DC 226CA AD =-=. ∴O 在CD 上；故有：AO 2＝OD 2+AD 2⇒R 2＝（6-R ）2+r 2⇒R 6=； ∴球O 的表面积为：4πR 2＝4π25036π⨯= ⎪⎝⎭.故选：D.【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，考查思维能力与计算能力，属于中档题.3．在ABC V 中，12BD DC =u u u v u u u v ，则AD uuu v=（ ）A ．1344+AB AC u u u v u u u v B ．21+33AB AC u u u v u u u v C ．12+33AB AC u u uv u u u v D ．1233AB AC -u u u v u u u v在,AB AC 上分别取点E F 、,使得12,2AE EB AF FC ==u u u r u u u r u u u r u u u r,可知AEDF 为平行四边形，从而可得到2133AD AE AF AB AC u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r=+=+，即可得到答案．【详解】如下图，12BD DC =u u u r u u u r ，在,AB AC 上分别取点E F 、,使得12,2AE EB AF FC ==u u u r u u u r u u u r u u u r,则AEDF 为平行四边形，故2133AD AE AF AB AC u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r=+=+,故答案为B.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，考查了学生逻辑推理能力，属于基础题．4．某歌手大赛进行电视直播，比赛现场有6名特约嘉宾给每位参赛选手评分，场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后，现场嘉宾的评分情况如下表，场内外共有数万名观众参与了评分，组织方将观众评分按照[)70,80，[)80,90，[]90,100分组，绘成频率分布直方图如下： 嘉宾 A BC D EF评分969596 89 9798嘉宾评分的平均数为1x ，场内外的观众评分的平均数为2x ，所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为x ，则下列选项正确的是（ ） A ．122x x x +=B ．122x x x +>C ．122x x x +<D ．12122x x x x x +>>>计算出1x 、2x ，进而可得出结论. 【详解】由表格中的数据可知，196959689979895.176x +++++=≈，由频率分布直方图可知，2750.2850.3950.588x =⨯+⨯+⨯=，则12x x >， 由于场外有数万名观众，所以，12212x x x x x +<<<. 故选：B. 【点睛】本题考查平均数的大小比较，涉及平均数公式以及频率分布直方图中平均数的计算，考查计算能力，属于基础题. 5．已知函数，其中04?,?04b c ≤≤≤≤，记函数满足条件：(2)12{(2)4f f ≤-≤为事件A ，则事件A 发生的概率为 A ．14B ．58C ．38D ．12【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 由(2)12{(2)4f f ≤-≤得4212424b c b c ++≤⎧⎨-+≤⎩，分别以,b c 为横纵坐标建立如图所示平面直角坐标系，由图可知，()12P A =.6．某大学计算机学院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲从人工智能领域的语音识别、人脸识别，数据分析、机器学习、服务器开发五个方向展开研究，且每个方向均有研究生学习，其中刘泽同学学习人脸识别，则这6名研究生不同的分配方向共有（ ） A ．480种 B ．360种 C ．240种 D ．120种【答案】B 【解析】 【分析】将人脸识别方向的人数分成：有2人、有1人两种情况进行分类讨论，结合捆绑计算出不同的分配方法数. 【详解】当人脸识别方向有2人时，有55120A =种，当人脸识别方向有1人时，有2454240C A =种，∴共有360种.故选：B 【点睛】本小题主要考查简单排列组合问题，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题. 7．已知1cos ,,32πααπ⎛⎫=-∈⎪⎝⎭,则()sin πα+= ( ) A 22B ．22C ．22D ．13【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可． 【详解】1cos 3α=-Q ，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2122sin 1cos 19αα∴=-=-=()sin sin 3παα∴+=-=-本题正确选项：B 【点睛】本题考查诱导公式的应用，同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力．8．已知集合{|A x y ==，2{|}10B x x x =-+≤，则A B I =( )A ．[12]-， B ．[1-C ．(1-D ．⎡⎣【答案】C 【解析】 【分析】计算A ⎡=⎣，(]1,2B =-，再计算交集得到答案.【详解】{|A x y ⎡==⎣=，(]2{|},1012x x B x -=-+=≤，故1(A B -=I . 故选：C . 【点睛】本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力.9．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：====，则按照以上规律，若=“穿墙术”，则n =（ ）A ．48B ．63C ．99D ．120【答案】C 【解析】 【分析】观察规律得根号内分母为分子的平方减1，从而求出n. 【详解】解：观察各式发现规律，根号内分母为分子的平方减1 所以210199n =-= 故选：C. 【点睛】本题考查了归纳推理，发现总结各式规律是关键，属于基础题.10．已知直线l ：310kx y k --+=与椭圆22122:1(0)x yC a b a b+=>>交于A 、B 两点，与圆2C ：()()22311x y -+-=交于C 、D 两点.若存在[]2,1k ∈--，使得AC DB =u u u r u u u r，则椭圆1C 的离心率的取值范围为（ ）A．⎣⎦B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知直线过定点即为圆心，由此得到,A B 坐标的关系，再根据点差法得到直线的斜率k 与,A B 坐标的关系，由此化简并求解出离心率的取值范围. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，且线:310l kx y k --+=过定点()3,1即为2C 的圆心，因为AC DB =u u u r u u u r ，所以1212236212C D C D x x x x y y y y +=+=⨯=⎧⎨+=+=⨯=⎩，又因为2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩，所以()()2222221212b x x a y y -=--， 所以2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+，所以[]2232,1b k a=-∈--，所以2212,33b a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22212,33a c a -⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()2121,33e ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以e ∈⎣⎦. 故选：A. 【点睛】本题考查椭圆与圆的综合应用，着重考查了椭圆离心率求解以及点差法的运用，难度一般.通过运用点差法达到“设而不求”的目的，大大简化运算. 11．已知函数()2cos (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围（ ） A ．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(0,2]【答案】B 【解析】 【分析】 由ππ32x -≤≤,可得πππ333ππ32x ωωω--≤--≤,结合cos y x =在[π,0]-上单调递增,易得ππ,[π,0]33ππ32ωω⎡⎤--⊆-⎢⎥⎣⎦-,即可求出ω的范围. 【详解】 由ππ32x -≤≤,可得πππ333ππ32x ωωω--≤--≤, 0x =时,π(0)2cos 3f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,而ππ,320⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,又cos y x =在[π,0]-上单调递增,且π[π,0]3--∈, 所以ππ,[π,0]33ππ32ωω⎡⎤--⊆-⎢⎥⎣⎦-,则πππ33ππ0230ωωω⎧--≥-⎪⎪⎪-≤⎨⎪>⎪⎪⎩,即2230ωωω≤⎧⎪⎪≤⎨⎪>⎪⎩,故203ω<≤. 故选:B. 【点睛】本题考查了三角函数的单调性的应用,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.12．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为2c ，过左焦点1F 作斜率为1的直线交双曲线C 的右支于点P ，若线段1PF 的中点在圆222:O x y c +=上，则该双曲线的离心率为（ ） AB． C1 D．1【答案】C 【解析】 【分析】设线段1PF 的中点为A ，判断出A 点的位置，结合双曲线的定义，求得双曲线的离心率. 【详解】设线段1PF 的中点为A ，由于直线1F P 的斜率是1，而圆222:O x y c +=，所以()0,A c .由于O 是线段12F F 的中点，所以222PF OA c ==，而1122PF AF ===，根据双曲线的定义可知122PF PF a -=，即2222c c a -=，即21222ca==+-.故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线的定义和离心率的求法，考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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北京市西城区2019年九年级统一测试
数学试卷答案及评分参考 2019.4
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9
．AF ．
10．3x ≥． 11．(5)(5)a b b +-． 12
．90．
13．答案不唯一，如：a =1-，b =1． 14．8． 15．丙． 16．B ．
三、解答题（本题共68分，第17﹣22题，每小题5分，第23﹣26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）
17．解：原式=521+- ………………………………………………………4分 =4+． ……………………………………………………………………5分
18．解：原不等式组为4(21)31,385
x x x x -<+⎧⎪-⎨<⎪⎩． 解不等式①，得1x <． ……………………………………………………………2分 解不等式②，得4x >-． …………………………………………………………4分 ∴原不等式组的解集为41x -<<． ………………………………………………5分
19．解：（1）补全的图形如图所示： ……………………………3分
（2）直径所对的圆周角是直角，
AO ． …………………………………………………5分
20．（1）证明：∵2c b =-，
∴24b c ∆=- ……………………………………1分
24(2)b b =--
2(2)4b =-+． ………………………………………………………2分 ∵2(2)0b -≥，
∴2(2)40b -+>，即0∆>．
∴方程有两个不相等的实数根． …………………………………………3分
（2）解：由题意可知，24b c =，0c ≠．
以下答案不唯一，如：
当2b =，1c =时， ……………………………………………………………4分 方程为2210x x ++=．
解得121x x ==-． …………………………………………………………5分 ① ②
21．（1）证明：∵D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，
∴DE=1
2
BC=FC，
DF=1
2
AC=EC．…………………………………………………………1分
∵AC=BC，
∴DE=FC=DF=EC．………………………………………………………2分
∴四边形DFCE是菱形．…………………………………………………3分
（2）解：过点E作EH⊥BC于点H，如图．
∵AC=BC，
∴∠A =∠B．
∵∠A=75°，
∴∠C =180°－∠A－∠B=30°．
∵AC=4，
∴CE=CF=2．
在Rt△EHC中，EH=1
2
CE=1，
∴菱形DFCE的面积=CF·EH=2．…………………………………………5分22．解：（1）∵直线l：y x b
=+与x轴交于点A（2-，0），
∴02b
=-+，解得2
b=．…………………………………………………1分∵直线l：2
y x
=+与y轴交于点B，
令0
x=，则2
y=，
∴点B的坐标为（0，2）．…………………………………………………2分（2）∵点P在直线l：2
y x
=+上，且点P的横坐标为2，
∴点P的纵坐标为4．
∵点P在双曲线
k
y
x
=上，
∴8
k=．………………………………………………………………………3分
（3）
3
1
4
k
-<<-或
5
3
4
k
<<．…………………………………………………5分
23．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CB与⊙O相切于点B，
∴CB⊥AB．………………………………………………………………1分
∴∠ABC=90°．
∵EF⊥AB于点H，
∴∠AHE=90°．
∴∠ABC=∠AHE．
∴CB∥EF．
∴∠C=∠MED．……………………………………………………………2分
∵BC=BD，
∴∠C=∠MDE．
∴∠MED=∠MDE．………………………………………………………3分（2）解：如图．
∵AB是⊙O的直径，AB⊥EF，
∴BE=BF．……………………………………………………………………4分
∴∠BDE=∠BEF．
∵∠DBE=∠EBM，
∴△DBE∽△EBM．…………………………………………………………5分
∴BD BE
BE BM
=．
∴2
BE BD BM
=⋅．
∵∠MED=∠MDE，
∴ME=MD=3．
∵MB=2，
∴BD= MB+MD=5．
∴210
BE=．
∴BE=………………………………………………………………6分24．解：本题答案不唯一，如：
（1）4.58；…………………………………………………………………………2分
（2）图象如图所示；
……………………………4分（3）1.4或4.74．……………………………………………………………………6分25．解：（1）6.8，6.9；……………………………………………………………………2分（2）A，A部门每日餐余重量的平均数、中位数都比B部门的小，说明A部门“适度取餐，减少浪费”做得较好；………………………………………………4分（3）(6.4 6.6)2 6.5
+÷=（千克），………………………………………………5分
6.510240
⨯⨯=15600（千克）．………………………………………………6分答：估计该公司一年的餐余总重量约为15600千克．
26．解：（1）①∵2m =，
∴抛物线为22y x x n =-+．
∵212
x -=-
=， ∴抛物线的对称轴为直线1x =． …………………………………………1分 ∵当1x =时，121y n n =-+=-， ∴顶点的纵坐标为1n -． …………………………………………………2分 ②22x <-或24x >． …………………………………………………………4分
（2）∵点P （1-，2）向右平移4个单位得到点Q ，
∴点Q 的坐标为（3，2）．
∵3n =，
∴抛物线为23y x mx =-+．
当抛物线经过点Q （3，2）时，22333m =-+，解得103
m =． 当抛物线经过点P （1-，2）时，22(1)3m =-++，解得2m =-．
当抛物线的顶点在线段PQ 上时，2
1224
m -=，解得2m =±． 结合图象可知，m 的取值范围是2m ≤-或2m =或103
m >． ……………6分 27．（1）证明：∵∠ABC =90°，BA =BC ，
∴∠BAC =∠ACB =45°．
∵AB 绕点A 逆时针旋转90°得到AD ，
∴∠BAD =90°，AB =AD ．
∴∠DAF =∠BAD －∠BAC =45°．
∴∠BAF =∠DAF ． …………………………………………………………1分 ∵AF =AF ，
∴△BAF ≌△DAF ．
∴FB =FD ． …………………………………………………………………2分
（2）①AH 与BF 的位置关系：AH ⊥BF ． ……………………………………………3分 证明：连接DC ，如图．
∵∠ABC +∠BAD =180°，
∴AD ∥BC ．
∵AB =BC =AD ，
∴四边形ABCD 是平行四边形．
∵∠ABC =90°，
∴四边形ABCD 是矩形．
∴AB =DC ，∠ADC =∠DCB =90°．
∴∠ABH =∠DCE ．
∵BH =CE ，
∴△ABH ≌△DCE ．
∴∠BAH =∠CDE ．
∵△BAF ≌△DAF ，
∴∠ABF =∠ADF ．
∴∠BAH ＋∠ABF =∠CDE ＋∠ADF =∠ADC =90°．
∴∠ANB =180°－(∠BAH ＋∠ABF )=90°．
∴AH ⊥BF ． ……………………………………………………………5分
1． …………………………………………………………………………7分
28．解：（1）①32分
②1P ； …………………………………………………………………………3分
（2）设点D （5，0）与⊙O 上一点的距离为1d ，则146d ≤≤．
设点E （x ，2）与⊙O 上一点的距离为2d ，连接OE ，如图，
则211OE d OE -≤≤+．
∵点D 与E 是⊙O ∴16OE -≤且14OE +≥．
∴37OE ≤≤．
过点E 作EF ⊥OD 于点F ．
∵点E 在第一象限，
∴OF =x ，EF =2．
∴在Rt △OEF 中，22224OE OF EF x =+=+．
当OE =3时，2234x =+，解得x =（舍负）．
同理，当OE =7时，可得x =
x ≤ ……………………………………………………………5分
（35b ≤≤． ………………………………………………………………7分。