北师大版九下《二次函数》全章ppt课件
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北师大版九年级数学下册.2二次函数的图象与性质课件
3
y 2x2
y 2x 2 1 向上
y轴
(0,1) 当x=0时， y随x的增 ymin 1 大而增大
y随x的增 大而减小
-4 -2
o2 4
y 2x2 1
x y 2x 2 1 向上
y轴
(0,-1)
当x=0时， ymin 1
y随x的增 大而增大
y随x的增 大而减小
任务二：二次函数 y ax 2 c 的图象与性质（指向目标二） 二次函数 y ax2与 y ax 2 c 的图象的关系： 二次函数 y ax 2 c 的图象可以由 y ax2 的图象平移得到：
任务一：二次函数 y ax2的图象与性质（指向目标一）
猜想：二次函数 y 1 x2 ，y 2x 2 ，y x 2 的图象是什么样的呢？ 2
其开口大小与a又有什么关系呢？
y
-4 -2 0 2 4 x
当a<0时，a越小，开口越小.
-3
y 1 x2 2
-6
y -92x 2 y x2
总结： a决定了抛物线的开口方向和开口大 小，a>0，图象开口向上，a<0，图象 开口向下，|a|越大，开口越小.
x<0递减 x>0递增
x<0递增 x>0递减
任务一：二次函数 y ax2的图象与性质（指向目标一） 画二次函数 y 2x 2的图象. 1.列表：完成下表：
x ··· -2 -1 0 1 2 ··· y ··· 8 2 0 2 8 ···
坐标
(-2,8) (-1,2) (0,0) (1,2) (2,8)
答案：1m > 1 2m < 2 3m 1或m 3 4m 2
2
评价标准： 答案正确加4分.
北师大版九年级数学下册课件：2.1二次函数 (共17张PPT
设人民币一年定期储蓄的年利率是 x,一年到期后,银行将本金和利息自动 按一年定期储蓄转存.如果存款额是 100元,那么请你写出两年后的本息和 y(元)的表达式(不考虑利息税).
y=100(x+1)²=100x²+200x+100.
二、新课讲解
用心想一想
1.两数的和是20，设其中一个数是x，你能写出这两数 之积y的表达式吗？
四、强化训练
1.下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1;
(2) y x 1 . x
(3) s=3-2t²;
(4) y
1 x2
； x
(5)y=(x+3)²-x²;
(6) v=10πr².
（1）（3） （6）
四、强化训练
2.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地
目前，我们已经学习了那几种类型的函数？
一、新课引入
变 量 之 间函 的数 关 系
一次函数 反比例函数
y=kx+b (k≠0)
正比例函数
y=kx (k≠0)
y=k/x (k≠0)
二次函数
二、新课讲解
用心想一想
某果园有100棵橙子树,平均每 棵树结600个橙子.现准备多种一 些橙子树以提高果园产量,但是如 果多种树,那么树之间的距离和每 一棵树所接受的阳光就会减少.根 据经验估计,每多种一棵树,平均每 棵树就会少结5个橙子.
例如: y=-5x²+100x+60000,y=100x²+200x+100.
老师提示: (1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数,且a≠0. (2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常 数项,但不能没有二次项.
y=100(x+1)²=100x²+200x+100.
二、新课讲解
用心想一想
1.两数的和是20，设其中一个数是x，你能写出这两数 之积y的表达式吗？
四、强化训练
1.下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1;
(2) y x 1 . x
(3) s=3-2t²;
(4) y
1 x2
； x
(5)y=(x+3)²-x²;
(6) v=10πr².
（1）（3） （6）
四、强化训练
2.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地
目前，我们已经学习了那几种类型的函数？
一、新课引入
变 量 之 间函 的数 关 系
一次函数 反比例函数
y=kx+b (k≠0)
正比例函数
y=kx (k≠0)
y=k/x (k≠0)
二次函数
二、新课讲解
用心想一想
某果园有100棵橙子树,平均每 棵树结600个橙子.现准备多种一 些橙子树以提高果园产量,但是如 果多种树,那么树之间的距离和每 一棵树所接受的阳光就会减少.根 据经验估计,每多种一棵树,平均每 棵树就会少结5个橙子.
例如: y=-5x²+100x+60000,y=100x²+200x+100.
老师提示: (1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数,且a≠0. (2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常 数项,但不能没有二次项.
北师大版九年级数学下册《二次函数——二次函数的图象与性质》教学PPT课件(4篇)
y随着x的增大而减小.
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,
y随着x的增大而增大.
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而减小.
最值
x=0时，y最小=0
x=0时，y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的，一般说
来，|a|越大，抛物线的开口就越小.
新知讲解
做一做：在同一直角坐标系中，画出二函数 y=2x2+1与y=2x2-1的图象．
y
y=− +2
1
y x 2 -2
2
y=−
-2 O
-2
-4
-6
2
4 x
归纳总结
二次函数y = ax2 +c的图象和性质:
a的符号
图
象
a>0
a<0
c>0
c<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
向上
向下
y轴（直线x=0）
y轴（直线x=0）
（0，c）
（0，c）
当x<0时，y随x增大而 当x<0时，y随x增大
(1)当c>0 时，向上平移c个单位;
(2)当c<0 时，向下平移︱c︱个单位.
上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.
练一练
二次函数y＝－3x2＋1的图象是将( D )
A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到
B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到
C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到
5
这两种呢?有没有其他形式的二次
3
函数？
4
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,
y随着x的增大而增大.
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而减小.
最值
x=0时，y最小=0
x=0时，y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的，一般说
来，|a|越大，抛物线的开口就越小.
新知讲解
做一做：在同一直角坐标系中，画出二函数 y=2x2+1与y=2x2-1的图象．
y
y=− +2
1
y x 2 -2
2
y=−
-2 O
-2
-4
-6
2
4 x
归纳总结
二次函数y = ax2 +c的图象和性质:
a的符号
图
象
a>0
a<0
c>0
c<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
向上
向下
y轴（直线x=0）
y轴（直线x=0）
（0，c）
（0，c）
当x<0时，y随x增大而 当x<0时，y随x增大
(1)当c>0 时，向上平移c个单位;
(2)当c<0 时，向下平移︱c︱个单位.
上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.
练一练
二次函数y＝－3x2＋1的图象是将( D )
A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到
B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到
C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到
5
这两种呢?有没有其他形式的二次
3
函数？
4
北师大版 九年级 数学下册 2.1二次函数概念 课件(共20张PPT)
不是二次函数.
是二次函数.
二次项系数: 3 一次项系数: -6
(5)y= _1_ -x x²
常数项: 4
(2) y=x+
_1_ x
不是二次函数.
不是二次函数. (6) v=8π r² 是二次函数.
(3) s=3-2t²是二次函数.
二次项系数: 8π
二次项系数: -2 一次项系数: 0 常数项: 3
一次项系为y个,那么请你写出y 与x之间的关系式.
总产量=果树的总数X每棵-5树x²+产10量0x+60000
y=(100+x)(600-5x)=
观察：函数①②③有什么共同点?
y=6x2①
S=-a²+30a y= -5x²+100x+60000
在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式表示的。
2
即
m 1 n2 1 n 22
一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形 菜园，和墙垂直的一边长为Xm，菜园的面积为Ym2， 求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。 当x=12m时，计算菜园的面积。
解：由题意得： Y=x(40-2x)
x
即：Y=-2x2+40x(0<x<20) m
解：S=a(60 - a)
2 = -a²+30a .
问题2
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子. 现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那 么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少. 根
据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙 子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种 树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减 少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结 5个橙子.
九年级数学北师大版下册课件：第二章 2.1 二次函数(共24张PPT)
第二章 二次函数 2．1 二次函数
◎学习目标 1. 探索并归纳二次函数的定义． 2. 能够表示简单变量之间的二次函数关系． 3. 能够利用尝试求值的方法解决实际问题．
◎新知梳理
1. 一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c(其中 a，b，c 是常
数，a ≠0 )的函数，叫做二次函数；其中 a 是二次
项系数，b 是 一次项系数 ， c 是 常数 ．
知识点 ：确定二次函数的表达式 3. 如图，长方形 ABCD 的长为 5 cm，宽为 4 cm， 如果将它的长和宽都减去 x(cm)，设它剩下的小长方形
AB′C′D′的周长为 y(cm)，面积为 S(cm2)，则 y 与
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/182021/9/18Saturday, September 18, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/182021/9/182021/9/189/18/2021 6:07:46 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/182021/9/182021/9/18Sep-2118-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/182021/9/182021/9/18Saturday, September 18, 2021
D．y＝120(1－2x)
3. 将二次函数 y＝100(x＋1)2＋30x－200 化成一般
形式为 y＝100x2＋230x－100 ． 4. 某体育用品商店试销一款成本为 50 元的排球，
◎学习目标 1. 探索并归纳二次函数的定义． 2. 能够表示简单变量之间的二次函数关系． 3. 能够利用尝试求值的方法解决实际问题．
◎新知梳理
1. 一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c(其中 a，b，c 是常
数，a ≠0 )的函数，叫做二次函数；其中 a 是二次
项系数，b 是 一次项系数 ， c 是 常数 ．
知识点 ：确定二次函数的表达式 3. 如图，长方形 ABCD 的长为 5 cm，宽为 4 cm， 如果将它的长和宽都减去 x(cm)，设它剩下的小长方形
AB′C′D′的周长为 y(cm)，面积为 S(cm2)，则 y 与
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/182021/9/18Saturday, September 18, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/182021/9/182021/9/189/18/2021 6:07:46 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/182021/9/182021/9/18Sep-2118-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/182021/9/182021/9/18Saturday, September 18, 2021
D．y＝120(1－2x)
3. 将二次函数 y＝100(x＋1)2＋30x－200 化成一般
形式为 y＝100x2＋230x－100 ． 4. 某体育用品商店试销一款成本为 50 元的排球，
2.2.2 二次函数的图象与性质(课件)九年级数学下册课件(北师大版)
的值和函数解析式 m+1>0 ①
解: 依题意有: m2+m=2 ②
解②得:m1=－2, m2=1
由①得:m>－1
∴ m=1 此时,二次函数为: y=2x2.
随堂练习
1.若二次函数y=axa2－2 的图象开口向下，则a 的值为( )
A.2
B. －2
C.4
D. －4
2.已知二次函数y=(2－a)xa2－14，在其图象对称轴的左侧，y
问题1. 抛物线y=2x2+1,y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么
？
二次函数 开口 方向
顶点 坐标
对称轴
10 8
y =2x2 向上 (0,0) y轴
6
y =2x2＋ 1
向上 (0,1)
y轴
4 2
y=2x2－1 向上 (0,-1) y轴 －4 －2 －2
y = 2x2＋1 y = 2x2－1
开口方向 对称轴 顶点
a>0，开口向上， a＜0，开口向下
y轴
原点（0，0）
（0，c）
增减性
a>0时，在对称轴左侧递 a>0时，在对称轴左侧递减， 减，在对称轴右侧递增； 在对称轴右侧递增；a<0时， a<0时，在对称轴左侧递 在对称轴左侧递增，在对 增，在对称轴右侧递减 称轴右侧递减
最值 最大（小）值是0 最大（小）值是c
(1)比较a，b，c，d 的大小； (2)说明a与c，b与d的数量关系.
解：（1）由抛物线的开口方向， 知a ＞ 0，b ＞ 0，c ＜ 0，d ＜ 0. 由抛物线的开口大小，知|a| ＞ |b|，|c| ＞ |d|， 因此a ＞ b，c ＜ d.∴ a ＞ b ＞ d ＞ c. （2）∵①与③，②与④分别关于x 轴对称， ∴①与③，②与④的开口大小相同，方向相反. ∴ a+c=0，b+d=0.
解: 依题意有: m2+m=2 ②
解②得:m1=－2, m2=1
由①得:m>－1
∴ m=1 此时,二次函数为: y=2x2.
随堂练习
1.若二次函数y=axa2－2 的图象开口向下，则a 的值为( )
A.2
B. －2
C.4
D. －4
2.已知二次函数y=(2－a)xa2－14，在其图象对称轴的左侧，y
问题1. 抛物线y=2x2+1,y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么
？
二次函数 开口 方向
顶点 坐标
对称轴
10 8
y =2x2 向上 (0,0) y轴
6
y =2x2＋ 1
向上 (0,1)
y轴
4 2
y=2x2－1 向上 (0,-1) y轴 －4 －2 －2
y = 2x2＋1 y = 2x2－1
开口方向 对称轴 顶点
a>0，开口向上， a＜0，开口向下
y轴
原点（0，0）
（0，c）
增减性
a>0时，在对称轴左侧递 a>0时，在对称轴左侧递减， 减，在对称轴右侧递增； 在对称轴右侧递增；a<0时， a<0时，在对称轴左侧递 在对称轴左侧递增，在对 增，在对称轴右侧递减 称轴右侧递减
最值 最大（小）值是0 最大（小）值是c
(1)比较a，b，c，d 的大小； (2)说明a与c，b与d的数量关系.
解：（1）由抛物线的开口方向， 知a ＞ 0，b ＞ 0，c ＜ 0，d ＜ 0. 由抛物线的开口大小，知|a| ＞ |b|，|c| ＞ |d|， 因此a ＞ b，c ＜ d.∴ a ＞ b ＞ d ＞ c. （2）∵①与③，②与④分别关于x 轴对称， ∴①与③，②与④的开口大小相同，方向相反. ∴ a+c=0，b+d=0.
北师大版九年级下册数学：2.1二次函数(共21张PPT)
Dx
解得x1=5，x2=-1(不合题意舍去) 答：水流的落地点D到A的距离是5m。
边观察边思考
1、二次函数y = x2+x-2 , y = x2 - 6x +9 , y = x2 – x+ 1
的图象如图所示。
yx2 x2
yx2 6x9
yx2 x1
(1).每个图象与x轴有几个交点？ 答：2个，1个，0个 (2).一元二次方程 x2+x-2=0 , x2 - 6x +9=0有几个根?
x
交
二
轴次
的函
交数 点与
点
两个交点 一个交点 没有交点
b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
升华提高
弄清一种关系------函数与一元二次方程的关系
如果抛物线 y=ax +2bx+c 与x轴有公共点(x 0,o),那
么x=x 就0 是方程 ax +2bx+c=0的一个根.
二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点
(1,0) (2,0) 于点＿＿＿ ＿. (1)球的飞行高度能否达到 15 m ? 若能,需要多少时间?
5.抛物线y=2x2-3x-5 与y轴交于点＿(＿0,-＿5) ＿,与 x轴交于点 (5/2,0) (-1,0) .
6.一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根是 x1= -2 ,x2=5/3, 那么抛物线y= 3 x2+x-10与 x轴的交点坐标是＿(-2＿,0)＿(5＿/3＿,0).
（1）有两个交点
b2 – 4ac > 0
（方程有两个不相等的实数根）
（2）有一个交点
b2 – 4ac= 0
北师大版九年级数学下册：2.1 二次函数 课件(共16张PPT)
笛卡尔是伟大数学家。据 说，某一天笛卡尔躺在床上休 息时，看到了天花板上趴着的 苍蝇，他为了用简易的方法表 示出苍蝇的位置而苦苦思索。 那时他产生了用形如围棋盘模
样的横线和纵线来表示位置
的想法，坐标由此诞生。笛
卡尔将坐标引入到数学中，从 而轻易地解决了与图形有关的 许多问题。
1.什么是二次函数？ 2.在实例中确定二 次函数表达式。
亲们，我攒了点私房钱 ， 今天去银行存款。银行一 年定期储蓄的年利率是x, 一年到期后，银行将本金 和利息自动按一年储蓄转 存。我存了1000美元，那 么请同学们写出两年后的
本息和y的表达式。
亲们，快帮帮我吧，我 不会算了。
同学们，在参观我 的庄园的过程中，你 们学到了什么？
我这个庄园，是一个矩形的，它 周长是2000米，它的宽为x,它的面积 为y,你能帮我列出面积和宽的关系式 吗？
让我想 想！！！
我这个庄园有100棵橙子树， 平均每棵树结600个橙子。现准 备多种一些橙子树以提高果园产 量，但是如果多种树，那么树之 间的距离和每一棵树所接受的阳 光就会减少。根据经验估计，每 多种一棵树，平均每棵树就会少 结5个橙子。
以上这些函数，我 们就叫它二次函数。
二次函数的一般式
二次函数一般式的 三个ຫໍສະໝຸດ 征：特征一：函数关系式 都是整式 特征二：化简后自变 量的最高次数是2 特征三：二次项系数 不为0.
某超市欲购进一种今年上
市的产品，购进价为20元/件。 为了调查这种产品的销路，该
超市进行了试销售，得知该产 品每天的销售量t(件)与每件的 销售价x(元/件)之间有如下关系： t=-3x+70。请写出该超市销售 这种产品每天的销售利润y(元) 与x之间的函数关系式。
问题呢？
样的横线和纵线来表示位置
的想法，坐标由此诞生。笛
卡尔将坐标引入到数学中，从 而轻易地解决了与图形有关的 许多问题。
1.什么是二次函数？ 2.在实例中确定二 次函数表达式。
亲们，我攒了点私房钱 ， 今天去银行存款。银行一 年定期储蓄的年利率是x, 一年到期后，银行将本金 和利息自动按一年储蓄转 存。我存了1000美元，那 么请同学们写出两年后的
本息和y的表达式。
亲们，快帮帮我吧，我 不会算了。
同学们，在参观我 的庄园的过程中，你 们学到了什么？
我这个庄园，是一个矩形的，它 周长是2000米，它的宽为x,它的面积 为y,你能帮我列出面积和宽的关系式 吗？
让我想 想！！！
我这个庄园有100棵橙子树， 平均每棵树结600个橙子。现准 备多种一些橙子树以提高果园产 量，但是如果多种树，那么树之 间的距离和每一棵树所接受的阳 光就会减少。根据经验估计，每 多种一棵树，平均每棵树就会少 结5个橙子。
以上这些函数，我 们就叫它二次函数。
二次函数的一般式
二次函数一般式的 三个ຫໍສະໝຸດ 征：特征一：函数关系式 都是整式 特征二：化简后自变 量的最高次数是2 特征三：二次项系数 不为0.
某超市欲购进一种今年上
市的产品，购进价为20元/件。 为了调查这种产品的销路，该
超市进行了试销售，得知该产 品每天的销售量t(件)与每件的 销售价x(元/件)之间有如下关系： t=-3x+70。请写出该超市销售 这种产品每天的销售利润y(元) 与x之间的函数关系式。
问题呢？
北师大版九下《二次函数》全章ppt课件
2
.
解析:∵一月份新产品的研发资金为a元,二月份起,每月新 产品的研发资金与上月相比增长率都是x,∴二月份研发资金 为a×(1+x),∴三月份的研发资金y=a×(1+x)×(1+x)=a(1+x)2. 故填a(1+x)2.
第二章
二次函数
在你打篮球或观看篮球比赛时,你是否 注意投篮时篮球的运行路线是什么样的?
【做一做】 设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后,银行将 本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款额是100元, 那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式.
与存款有关的知识: 1.银行的储蓄利率是随时间的变化而 变化的,也就是说,利率是一个变量. 2.利息=本金×利率×期数(时间). 3.本息和=本金+利息. 解:y=100(x+1)2=100x2+200x+100. 观察y=100x2+200x+100与y=-5x2+100x+60000的相同点.
检测反馈
1.下列说法正确的是 ( D ) A.二次函数y=x2图象上的点,其纵坐标的值随着x值的增大而增大 B.二次函数y=-x2图象上的点,其纵坐标的值随着x值的增大而增大 C.二次函数y=x2与y=-x2的图象开口方向不同，其对称轴都是y轴,y值都随着x 值的增大而增大 D.当x<0时，y=x2中y随x的增大而减小；当x>0时，y=-x2中y随x的增大而减小
(二)二次函数自变量的取值范围 自变量的取值范围是函数的一个有机组成部分,今后除 了解决最值问题外,一般不刻意讨论自变量的取值范围.
1.(2014· 兰州中考)下列函数解析式中,一定 为二次函数的是 ( C ) A.y=3x-1 C.s=2t2-2t+1 B.y=ax2+bx+c D.y=x2+
.
解析:∵一月份新产品的研发资金为a元,二月份起,每月新 产品的研发资金与上月相比增长率都是x,∴二月份研发资金 为a×(1+x),∴三月份的研发资金y=a×(1+x)×(1+x)=a(1+x)2. 故填a(1+x)2.
第二章
二次函数
在你打篮球或观看篮球比赛时,你是否 注意投篮时篮球的运行路线是什么样的?
【做一做】 设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后,银行将 本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款额是100元, 那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式.
与存款有关的知识: 1.银行的储蓄利率是随时间的变化而 变化的,也就是说,利率是一个变量. 2.利息=本金×利率×期数(时间). 3.本息和=本金+利息. 解:y=100(x+1)2=100x2+200x+100. 观察y=100x2+200x+100与y=-5x2+100x+60000的相同点.
检测反馈
1.下列说法正确的是 ( D ) A.二次函数y=x2图象上的点,其纵坐标的值随着x值的增大而增大 B.二次函数y=-x2图象上的点,其纵坐标的值随着x值的增大而增大 C.二次函数y=x2与y=-x2的图象开口方向不同，其对称轴都是y轴,y值都随着x 值的增大而增大 D.当x<0时，y=x2中y随x的增大而减小；当x>0时，y=-x2中y随x的增大而减小
(二)二次函数自变量的取值范围 自变量的取值范围是函数的一个有机组成部分,今后除 了解决最值问题外,一般不刻意讨论自变量的取值范围.
1.(2014· 兰州中考)下列函数解析式中,一定 为二次函数的是 ( C ) A.y=3x-1 C.s=2t2-2t+1 B.y=ax2+bx+c D.y=x2+
2.1 二次函数 课件(共32张PPT) 北师大版数学九年级下册
D
5．一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价格为y万元，则y与x之间的函数表达式为( ) A．y＝60(1－x)2 B．y＝60(1－x) C．y＝60－x2 D．y＝60(1＋x)2
A
6．矩形的周长为16cm,它的一边长为x cm,面积为y cm2. 求：（1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围； （2）当x=3时矩形的面积.
B
3．若函数y＝(m－2)x2＋4x－5(m是常数)是二次函数， 则( ) A．m≠－2 B．m≠2 C．m≠3 D．m≠－3
B
4．对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是 ( ) A．y＝mx2＋3x－1 B．y＝(m－1)x2 C．y＝(m－1)2x2 D．y＝(－m2－1)x2
①∵600-5x>0，x＞0，∴0≤x<120，且x为整数.②x>0.③∵20-x>0，∴0<x<20.
二次函数的自变量的取值范围是所有实数，但在实际问题中，它的自变量的取值范围会有一些限制.
列二次函数关系式
一个正方形的边长是12cm，若从中挖去一个长为2xcm，宽为(x+1)cm的小长方形．剩余部分的面积为ycm2.写出y与x之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数？
它会与某种函数有联系吗?
讲授新课
典例精讲
归纳总结
二次函数的定义及函数自变量取值范围
问题1：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
(1)问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？
5．一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价格为y万元，则y与x之间的函数表达式为( ) A．y＝60(1－x)2 B．y＝60(1－x) C．y＝60－x2 D．y＝60(1＋x)2
A
6．矩形的周长为16cm,它的一边长为x cm,面积为y cm2. 求：（1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围； （2）当x=3时矩形的面积.
B
3．若函数y＝(m－2)x2＋4x－5(m是常数)是二次函数， 则( ) A．m≠－2 B．m≠2 C．m≠3 D．m≠－3
B
4．对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是 ( ) A．y＝mx2＋3x－1 B．y＝(m－1)x2 C．y＝(m－1)2x2 D．y＝(－m2－1)x2
①∵600-5x>0，x＞0，∴0≤x<120，且x为整数.②x>0.③∵20-x>0，∴0<x<20.
二次函数的自变量的取值范围是所有实数，但在实际问题中，它的自变量的取值范围会有一些限制.
列二次函数关系式
一个正方形的边长是12cm，若从中挖去一个长为2xcm，宽为(x+1)cm的小长方形．剩余部分的面积为ycm2.写出y与x之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数？
它会与某种函数有联系吗?
讲授新课
典例精讲
归纳总结
二次函数的定义及函数自变量取值范围
问题1：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
(1)问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？
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增减性
最值
【做一做】 二次函数y=-x2的图象是什么形状?先想一想， 然后画出它的图象.它与二次函数y=x2的图象有什么关系?
-4 -3 -2 -1 -1 1 -2 -4 -6 -8 -10
0 2 3 4 x
y=-x2
2
y
指出二次函数y=-x2的正确图象,并指出其他图象的错误.
不正确，连 线不平滑.
… -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
描点,连线,如图所示.
第二章
二次函数
观察思考
观察下面的二次函数表达式:
学习新知
(1)y=x2 ；(2)y=-x2 ；(3)y=-2x2 ；(4)y=3x2 ；
(5)y=
1 2
x2.
它们有什么共同点和不同点? (3)(4)(5)与我们学习过的(1)(2)又有什 么不同点?
【想一想】
问题1 已知矩形的周长为40 cm,它的面积可能是100 cm2吗?可 能是75 cm2吗?还可能是多少?你能表示这个矩形的面积与其一边 长的关系吗?
2 解:(1)设其中一边长为x cm,则 x x =-x +20x=100, 2 解得x1=x2=10. 40 40 x x =-x2+20x=75, 2
二次函数的一般形式及自变量的取值范围 (一)二次函数的一般形式
1.二次函数的一般形式:y=ax2+bx+c (a≠0,b≠0,c≠0). 2.系数a≠0,但是b,c都可以为0. 3.二次函数的几种不同表示形式:(1)y=ax2(a≠0,b=0,c=0).(2) y=ax2+c (a≠0,b=0,c≠0).(3) y=ax2+bx (a≠0,b≠0,c=0).(4)一般形式:y=ax2+bx+c (a≠0,b≠0,c≠0).
1.二次函数y=2x2的图象是抛物线.
2.二次函数y=2x2的图象与二次函数 y=x2的图象的相同点:(1)开口方向相 同,都向上.(2)对称轴都是y轴(或直线 x=0).(3)顶点都是原点,坐标为(0,0).(4) 在y轴左侧,y值随x值的增大而减小； 在y轴右侧,y值随x值的增大而增大.(5) 都有最低点,即原点.函数都有最小值. 3.二次函数y=2x2的图象与二次函 数y=x2的图象的不同点:两个函数图 象的开口大小不同,y=2x2的图象在 y=x2的图象的内侧,开口较小,它的函 数值的增长速度较快.
y=2x2y=x2 Nhomakorabea【想一想】 在同一坐标系中作二次函数y=-x2和y=2x2的图象,会是什么样?
探究活动二:画出y=
1 2 2 x 的图象
1 2 【想一想】 在课本图2 - 4中画出y= x 的图象. 2 【问题】 它与二次函数 y=x2，y=2x2的图象有什么相同 和不同?
小结: 1.相同点:(1)开口方向相同,都向 上.(2)对称轴都是y轴(或直线 x=0).(3)顶点都是原点,坐标为 (0,0).(4)在y轴左侧,y值随x值的增大 而减小;在y轴右侧,y值随x值的增大 而增大.(5)都有最低点,即原点.函数 都有最小值.
(二)二次函数自变量的取值范围 自变量的取值范围是函数的一个有机组成部分,今后除 了解决最值问题外,一般不刻意讨论自变量的取值范围.
1.(2014· 兰州中考)下列函数解析式中,一定 为二次函数的是 ( C ) A.y=3x-1 C.s=2t2-2t+1 B.y=ax2+bx+c D.y=x2+
1 x
学习新知
这种运行路线所形成的图形在我们日常生活中无处不在,比如喷泉 流经过的路线、一些拱形桥的桥拱的形状、导弹运行的路线等.
画二次函数y=x2的图象
y 10
(1)列表.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2
8 6 4
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
(2)在直角坐标系 中描点.
检测反馈
1.下列说法正确的是 ( D ) A.二次函数y=x2图象上的点,其纵坐标的值随着x值的增大而增大 B.二次函数y=-x2图象上的点,其纵坐标的值随着x值的增大而增大 C.二次函数y=x2与y=-x2的图象开口方向不同，其对称轴都是y轴,y值都随着x 值的增大而增大 D.当x<0时，y=x2中y随x的增大而减小；当x>0时，y=-x2中y随x的增大而减小
展示：(1)自变量:橙子树的棵数、橙子树之间的距离、橙子树接受阳光 的多少等;因变量:橙子的个数、橙子的质量等. (2)如果设果园增种x棵橙子树,那么果园共有(100+x)棵树,平均每棵树结 (600-5x)个橙子. (3)果园橙子的总产量y与x之间的关系式为y=(x+100)(600-5x)=5x2+100x+60000.
二次函数的定义.
一般地,若两个变量x,y之间的对应关系可以表示成 y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的形式,则称y是x的二次函数.
[知识拓展] 理解二次函数概念的注意事项:①常数a≠0；②自变量x 的最高次数为2；③等号的右边是整式；④要确定二次函数的关系式,
只要确定a,b,c的值就可以了.
检测反馈
解析:A,y=3x-1是一次函数,故A错误;B,y=ax2+bx+c(a≠0)是二次函数, 故B错误;C,s=2t2-2t+1是二次函数,故C正确;D,y=x2+ 故D错误.故选C.
1 不是二次函数, x
2.已知二次函数y=1-3x+5x2,则其二次项系数a,一次项系数b, 常数项c分别是 ( D ) A.a=1,b=-3,c=5 C.a=5,b=3,c=1 B.a=1,b=3,c=5 D.a=5,b=-3,c=1
问题 请同学们观察赵州桥的桥拱的形状,它的形状可以近似地看成一种函 数图象,这和我们之前所学的函数图象一样吗?
体会函数的模型思想
【引例】 某果园有100棵橙子树,平均每棵树结600个橙子.现准 备多种一些橙子树以提高果园产量,但是如果多种树,那么树之间的距 离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树, 平均每棵树就会少结5个橙子. (1)问题中有哪些变量?其中哪些是自变量?哪 些是因变量? (2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多 少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子? (3)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写 出y与x之间的关系式.
二次函数y=-x2的性质
函数表达式 y=-x2
大致图象
开口方向
对称轴 顶点坐标
向下
y轴(或直线x=0)
原点(0,0) 当x<0时,y随x的增大而增大;当x>0 时,y随x的增大而减小 当x=0时,y有最大 值,最小值是0
增减性
最值
[知识拓展] 二次函数y=x2的图象与二次函数
y=-x2的图象的关系:(1)二次函数y=x2的图象与二次 函数y=-x2的图象关于x轴对称.(2)如果把两个图 象看成一个图形,这个图形是中心对称图形,对称 中心是坐标原点.
解得x1=5,x2=15. 40 x x 这个矩形的面积与其一边长的关系为S= =-x2+20x.
2
问题2 两数的和是20,设其中一个数是x,你能写出这两数之积y的表达式吗? 解:y=x(20-x)=-x2+20x.
二次函数的定义
【对比观察】 观察三个式子的共同点:
(1)y=-5x2+100x+60000；(2)y=100x2+200x+100； （3）y=-x2+20x.
y=2x2 y= x2
1 2
y=x2
和y= x2 的图象的外侧，开口较 1 大.y= x2中函数值的增长速度较慢.
2
1 2.不同点：y= 2 x2 的图象在y=2x2
强调：二次函数y=ax2(a≠0)中,二次项系数a的作用:(1)a确定了抛物线 的开口方向:①a>0时,开口向上；②a<0时,开口向下.(2)a确定了抛物线的 开口大小:①︱a︱越大,开口越小,函数值变化得越快；②︱a︱越小,开口 越大,函数值变化得越慢. [知识拓展] 二次函数y=ax2的图象和性质: 1.当a>0时:(1)开口向上.(2)对称轴都是y轴(或直线x=0).(3)顶点都是原 点,坐标为(0,0).(4)在y轴左侧,y值随x值的增大而减小;在y轴右侧,y值随x 值的增大而增大.(5)当x=0时,y最小=0. 2.当a<0时:(1)开口向下.(2)对称轴都是y轴(或直线x=0).(3)顶点都是原 点,坐标为(0,0).(4)在y轴左侧,y值随x值的增大而增大;在y轴右侧,y值随x 值的增大而减小.(5)当x=0时,y最大=0.
2 (3)用光滑的曲线连接各点. 1 -4 - -2 -1 0 3 2
1
2
3
4 x
二次函数y=x2的性质
【议一议】 对于二次函数y=x2的图象:
(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.
(2)图象与x轴有交点吗?如果有,交点坐标是什么? (3)当x<0时,随着x值的增大,y的值如何变化?当x>0时呢?
(4)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么?你是如何知道 的?
(5)图象是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?请你找 出几对对称点,并与同伴进行交流.
二次函数y=x2的性质
函数表达式 y=x2
大致图象
开口方向
对称轴 顶点坐标
向上
y轴(或直线x=0)
原点(0,0) 当x<0时,y随x的增大而减小;当x>0 时,y随x的增大而增大 当x=0时,y有最小 值,最小值是0
北师版九下（精品PPT） 第二章 二次函数
学习新知
赵州桥,又称大石桥、安济桥,是位于河北省赵县城南五里洨河上的一 座石拱桥,是我国古代石拱桥的杰出代表,其设计者是隋代杰出的工匠李 春,建造于公元605年.赵州桥的设计构思和工艺的精巧,在我国古桥中 是首屈一指的,据世界桥梁的考证,像这样的敞肩拱桥,欧洲到19世纪中 期才出现,比我国晚了一千二百多年,赵州桥的雕刻艺术,包括栏板、望 柱和锁口石等,其上狮象龙兽形态逼真,琢工的精致秀丽,不愧为文物宝 库中的艺术珍品.