2018年高考考前猜题卷之大数据猜题卷数学(理)试题(解析版)
2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题解析(WORD版)
2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题解析一、选择题，本题共12小题，每小题5份，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设i i iz 211++-=，则=z （ C ） A.0 B.21C.1D.2【解析】()()()i i 22i2i 2i 1i 1i 12=+-=+-+-=z ，则1z ==，选C ．2. 已知集合{}02|2>--=x x x A ，则=A C R （ B ） A. {}21|<<-x x B.{}21|≤≤-x x C.{}{}2|1|>-<x x x x D.{}{}2|1|≥-≤x x x x解析：解不等式220x x -->得1x <-或2x >，所以{}12R C A x x =-≤≤，选B 3.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一杯，实现翻番。
为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计和该地图新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（ A ） A.新农村建设后，种植收入减少B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【解析】假设建设前收入为a ，建设后为2a ，所以种植收入建设前为60%a ⋅，建设后为37%2a ⋅；其他收入建设前为4%a ⋅，建设后为5%2a ⋅；养殖收入建设前为30%a ⋅，建设后为30%2a ⋅；所以不正确的是 A ．4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4233S S S +=，21=a ，则=5a （ B ） A.-12 B.-10 C.10 D.12 【解析】令{}n a 的公差为d ，由4233S S S +=，21=a得376)33(311-=⇒+=+d d a d a ，则10415-=+=d a a ，选B ．5.设函数()()ax x a x x f +-+=231，若()x f 为奇函数，则曲线()x f y =在点()0,0处的切线方程为（ D ）A.x y 2-=B.x y -=C.x y 2=D.x y = 【解析】()f x 为奇函数，1a ∴=，则x x x f +=3)(，13)(2+='x x f ，所以1)0(='f ，在点)0,0(处的切线方程为x y =，故选D ．6.在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =（ A ）A.3144AB AC - B.1344AB AC - C.3144AB AC + D.1344AB AC + 【解析】()1111+2222EB EA AB DA AB DB BA AB DB AB ==+=++=+ ()111131424244CB AB CA AB AB AB AC =+=++=-，选A ． 7.某圆柱的高为2，地面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ B ）A.172B.52C.3D.2 【解析】将三视图还原成直观图，并沿点A 所在的母线把圆柱侧面展开成如图所示的矩形，从点M 到点N 的运动轨迹在矩形中为直线段时路径最短，长度为52，故选B ．8.设抛物线x y C 4:2=的焦点为F ，过点()0,2-且斜率为32的直线与C 交于N M ,两点，则FM FN ⋅=（ D ）A.5B.6C.7D.8ABM (A【解析】由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=xy x y 4)2(322，解得⎩⎨⎧==21y x 或⎩⎨⎧==44y x ，不妨记)4,4(),2,1(N M ．又F 为)0,1(，所以8)4,3()2,0(=⋅=⋅，故选D ．9.已知函数()()()a x x f x g x x x e x f x ++=⎩⎨⎧>≤=,0,ln 0,，若()x g 存在2个零点，则a 的取值范围是（ C ）A.[)0,1-B.[)+∞,0C.[)+∞-,1D.[)+∞,1【解析】若)(x g 存在2个零点，即0)(=++a x x f 有2个不同的实数根，即)(x f y =与a x y --=的图像有两个交点，由图可知直线a x y --=不在直线1+-=x y 的上方即可，即1≤-a ，则1-≥a ．故选C ．10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成。
2018年全国各地高考数学(理科试卷及答案)(3)(K12教育文档)
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2018年高考数学理科试卷（江苏卷)数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题,每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1．已知集合{}8,2,1,0B，那么==A，{}8,6,1,1-=A．⋂B2．若复数z满足i1+⋅，其中i是虚数单位，则z的实部为．=zi23．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为．4．一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S的值为．5．函数()1log 2-=x x f 的定义域为 ．6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ．7．已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-+=222sin ππϕx x y 的图象关于直线3π=x 对称，则ϕ的值是 ．8．在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的右焦点()0,c F 到一条渐近线的距离为c 23，则其离心率的值是 ． 9．函数()x f 满足()()()R x x f x f ∈=+4，且在区间]2,2(-上，()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+≤<=02,2120,2cos x x x xx f π, 则()()15f f 的值为 ．10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ．11．若函数()()R a ax x x f ∈+-=1223在()+∞,0内有且只有一个零点,则()x f 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线x y l 2:=上在第一象限内的点，()0,5B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0=⋅，则点A 的横坐标为 ．13．在ABC ∆中,角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、, 120=∠ABC ,ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1=BD ，则c a +4的最小值为 ．14．已知集合{}*∈-==N n n x x A ,12|,{}*∈==N n x x B n ,2|．将B A ⋃的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则使得112+>n n a S 成立的n 的最小值为 ．二、解答题：本大题共6小题,共计90分．请在答题卡．．．指．定区域．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥． 求证：（1)11AB A B C 平面∥； （2）111ABB A A BC ⊥平面平面．16．（本小题满分14分）已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+= （1）求cos2α的值; （2）求tan()αβ-的值．17．（本小题满分14分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为此圆弧的中点)和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP△,要求,A B均在线段MN上，,C D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD和CDP△的面积，并确定sinθ的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1)求椭圆C 及圆O 的方程;（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程．19．（本小题满分16分)记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点"．（1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”； （2）若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点"，求实数a 的值；（3)已知函数2()f x x a =-+，e ()xb g x x=．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点"，并说明理由．20．（本小题满分16分）设{}n a 是首项为1a ,公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ,公比为q 的等比数列． （1)设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围；（2）若*110,,a b m q =>∈∈N ,证明:存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立,并求d 的取值范围(用1,,b m q 表示）．数学Ⅱ(附加题）21．【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4—1：几何证明选讲］（本小题满分10分）如图，圆O 的半径为2，AB 为圆O 的直径,P 为AB 延长线上一点，过P 作圆O 的切线，切点为C ．若23PC =，求 BC 的长．B ．［选修4—2:矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ． (1）求A 的逆矩阵1-A ;（2）若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(3,1)P '，求点P 的坐标． C ．［选修4—4:坐标系与参数方程］（本小题满分10分）在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=,求直线l 被曲线C 截得的弦长．D ．［选修4—5:不等式选讲](本小题满分10分）若x ，y ,z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．学科＃网22．（本小题满分10分)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P,Q分别为A 1B1，BC的中点．（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值;（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．23．(本小题满分10分）设*n ∈N ，对1,2，···,n 的一个排列12n i i i ，如果当s 〈t 时，有s t i i >，则称(,)s t i i 是排列12n i i i 的一个逆序，排列12n i i i 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1,2,3的一个排列231,只有两个逆序(2,1），（3,1),则排列231的逆序数为2．记()n f k 为1，2，···，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数．（1）求34(2),(2)f f 的值；（2）求(2)(5)n f n 的表达式（用n 表示)．数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共计70分．1．{1，8｝2．2 3．90 4．85．［2,+∞）6．3107．π6-8．29．210．4311．–3 12．313．9 14．27二、解答题15．本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．满分14分．证明：(1）在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，AB∥A1B1．因为AB⊄平面A1B1C,A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．（2）在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B．又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．又因为A1B∩BC=B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC,所以AB 1⊥平面A 1BC ． 因为AB 1⊂平面ABB 1A 1， 所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ．16．本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差)及二倍角的三角函数,考查运算求解能力．满分14分．解：(1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=． 因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=， 因此，27cos22cos 125αα=-=-． (2)因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈． 又因为5cos()αβ+=-，所以225sin()1cos ()αβαβ+=-+=， 因此tan()2αβ+=-． 因为4tan 3α=，所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--， 因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+．17．本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．满分14分． 解：(1)连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ,所以OH =10． 过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE =θ， 故OE =40cos θ，EC =40sin θ,则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ)，△CDP的面积为12×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ)．过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10．令∠GOK=θ0，则sinθ0=14，θ0∈（0，π6）．当θ∈［θ0，π2）时,才能作出满足条件的矩形ABCD,所以sinθ的取值范围是[14，1）．答:矩形ABCD的面积为800(4sinθcosθ+cosθ）平方米,△CDP的面积为1600（cosθ–sinθcosθ),sinθ的取值范围是[14，1）．(2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3,设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k(k>0），则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ)=8000k(sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，π2）．设f（θ）= sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，π2）,则222()cos sin sin(2sin sin1)(2sin1)(sin1)fθθθθθθθθ=--=-+-=--+′．令()=0fθ′，得θ=π6，当θ∈（θ0，π6)时，()>0fθ′，所以f（θ）为增函数;当θ∈(π6，π2)时，()<0fθ′,所以f（θ）为减函数，因此，当θ=π6时，f（θ）取到最大值．答：当θ=π6时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力．满分16分． 解：（1)因为椭圆C的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此,椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>,则22003x y +=， 所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+． 由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩,消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=． 因为00,0x y >，所以001x y =． 因此,点P的坐标为．②因为三角形OAB 的面积为26，所以2126AB OP ⋅=，从而42AB =． 设1122,,()(),A x y B x y ,由（*）得22000001,22448(2)x y x x ±-=，所以2222121()()x B y y x A =-+-222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+． 因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=，解得22005(202x x ==舍去),则2012y =,因此P 的坐标为102(,)． 综上，直线l 的方程为532y x =-+．19．本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．满分16分．解：（1）函数f （x ）=x ，g （x ）=x 2+2x —2，则f ′（x ）=1，g ′(x ）=2x +2． 由f （x ）=g (x ）且f ′（x ）= g ′（x ),得222122x x x x ⎧=+-⎨=+⎩，此方程组无解， 因此,f （x )与g （x ）不存在“S ”点．（2）函数21f x ax =-（），()ln g x x =, 则12f x ax g x x'='=（），（）．设x 0为f （x ）与g （x )的“S "点，由f （x 0)与g （x 0)且f ′（x 0）与g ′（x 0），得200001ln 12ax x ax x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，即200201ln 21ax x ax ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，（*)得01ln 2x =-，即120e x -=，则1221e 22(e )a -==． 当e2a =时,120e x -=满足方程组(＊），即0x 为f （x ）与g （x ）的“S ”点．因此，a 的值为e 2．（3）对任意a 〉0,设32()3h x x x ax a =--+．因为(0)0(1)1320h a h a a =>=--+=-<，,且h （x ）的图象是不间断的，所以存在0x ∈(0,1），使得0()0h x =,令03002e (1)x x b x =-,则b >0．函数2e ()()xb f x x a g x x=-+=，，则2e (1)()2()x b x f x x g x x-=-=′，′． 由f （x ）与g （x )且f ′（x ）与g ′（x )，得22e e (1)2xx b x a xb x x x ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，即00320030202e e (1)2e (1)2e (1)x x xx x x a x x x x x x x ⎧-+=⋅⎪-⎪⎨-⎪-=⋅⎪-⎩(**) 此时，0x 满足方程组（**），即0x 是函数f （x ）与g (x ）在区间（0,1）内的一个“S 点”． 因此,对任意a >0，存在b >0,使函数f （x ）与g (x ）在区间（0，+∞）内存在“S 点"． 20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分． 解：（1)由条件知:112(,)n n n a n d b -=-=． 因为1||n n a b b -≤对n =1，2，3,4均成立, 即1 12|()1|n n d ---≤对n =1，2，3,4均成立，即1≤1，1≤d ≤3，3≤2d ≤5，7≤3d ≤9，得7532d ≤≤． 因此，d 的取值范围为75[,]32．（2）由条件知:111(1),n n n a b n d b b q -=+-=．若存在d ，使得1||n n a b b -≤（n =2,3，···，m +1)成立，即1111|1|2,3,,(1())n b n d b q b n m -+--≤=+， 即当2,3,,1n m =+时,d 满足1111211n n q q b d b n n ---≤≤--．因为q ∈，则112n m q q -<≤≤，从而11201n q b n --≤-，1101n q b n ->-,对2,3,,1n m =+均成立．因此，取d =0时,1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立．下面讨论数列12{}1n q n ---的最大值和数列1{}1n q n --的最小值（2,3,,1n m =+）． ①当2n m ≤≤时，111 2222111()()()n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n -------+--+-==---， 当112mq <≤时,有2n m q q ≤≤，从而1() 20n n n n q q q ---+>．因此,当21n m ≤≤+时,数列12{}1n q n ---单调递增，故数列12{}1n q n ---的最大值为2m q m-． ②设()()21x f x x =-，当x >0时，ln 21(0(n )l 22)x f x x '=--<， 所以()f x 单调递减，从而()f x <f （0)=1．当2n m ≤≤时,111112111()()()nn n q q n n f q n n n n --=≤-=<-， 因此，当21n m ≤≤+时，数列1{}1n q n --单调递减，故数列1{}1n q n --的最小值为mq m． 因此，d 的取值范围为11(2)[,]m mb q b q m m-．数学Ⅱ(附加题）参考答案21．【选做题】A ．［选修4—1:几何证明选讲]本小题主要考查圆与三角形等基础知识,考查推理论证能力．满分10分． 证明：连结OC ．因为PC 与圆O 相切，所以OC ⊥PC ． 又因为PC =OC =2,所以OP ．又因为OB =2，从而B 为Rt△OCP 斜边的中点，所以BC =2． B ．[选修4—2:矩阵与变换］本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）因为2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ,det()221310=⨯-⨯=≠A ，所以A 可逆， 从而1-A 2312-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．（2）设P （x ，y ），则233121x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以13311x y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ， 因此，点P 的坐标为（3，–1)． C ．［选修4-4：坐标系与参数方程］本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 解：因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ，所以曲线C 的圆心为（2,0),直径为4的圆． 因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=, 则直线l 过A (4，0）,倾斜角为π6， 所以A 为直线l 与圆C 的一个交点． 设另一个交点为B ,则∠OAB =π6．连结OB ，因为OA 为直径,从而∠OBA =π2, 所以π4cos 6AB ==．因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为 D ．[选修4—5：不等式选讲］本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分． 证明:由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++． 因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥，当且仅当122xy z ==时,不等式取等号，此时244333x y z ===，，, 所以222x y z ++的最小值为4．22．【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力．满分10分．学科%网解：如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，设AC ,A 1C 1的中点分别为O ，O 1，则OB ⊥OC ，OO 1⊥OC ，OO 1⊥OB ，以1,{},OB OC OO 为基底,建立空间直角坐标系O −xyz ．因为AB =AA 1=2，所以1110,1,0,3,0,0,0,1,0,0,1,()()()()(2,3,0,2,0,1,2)()A B C A B C --．（1）因为P 为A 1B 1的中点，所以31(,2)2P -，从而131(,,2)(0,2,22),BP AC ==--，故111||310|cos ,|||||522BP AC BP AC BP AC ⋅==⋅⨯．因此,异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值为310．（2)因为Q 为BC 的中点,所以31(,0)2Q ，因此33(,0)2AQ =，11(0,2,2),(0,0,2)AC CC ==．设n =（x ，y ，z )为平面AQC 1的一个法向量，则10,0,AQ AC ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=n n 即330,2220.y y z ⎧+=⎪⎪+=⎩不妨取1,1)=-n ，设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ，则111||sin |cos |,|||CC CC CC |θ==⋅⋅==n n n ，所以直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为．23．【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．满分10分．解：（1）记()abc τ为排列abc 的逆序数，对1，2，3的所有排列，有(123)=0(132)=1(213)=1(231)=2(312)=2(321)=3ττττττ，，，，，，所以333(0)1(1)(2)2f f f ===，．对1，2，3,4的排列，利用已有的1，2,3的排列,将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置． 因此,4333(2)(2)(1)(0)5f f f f =++=．（2)对一般的n （n ≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n ,所以(0)1n f =． 逆序数为1的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以(1)1n f n =-．为计算1(2)n f +，当1,2，…，n 的排列及其逆序数确定后,将n +1添加进原排列，n +1在新排列中的位置只能是最后三个位置． 因此,1(2)(2)(1)(0)(2)n n n n n f f f f f n +=++=+．当n ≥5时，112544(2)[(2)(2)][(2)(2)][(2)(2)](2)n n n n n f f f f f f f f ---=-+-++-+…242(1)(2)4(2)2n n n n f --=-+-+⋯++=, 因此，n ≥5时，(2)n f =222n n --．绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试数学（理)（北京卷）本试卷共5页,150分。
2018年高等学校招生全国统一考试押题卷理科数学试卷(二)含解析
log 2
an 1 a1
log 2 2n
n，
nn 1
∴数列 bn 的前 n项和
，故选： C．
2
9．阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果是（
）
A ．12 【答案】 C
B．18
C．120
D．125
【解析】 第一次运行： a 0 1 1 ， i 1 为奇数， S 1 1 2 ， i 1 1 2；
3
16 B．
3
20 C．
3
D．8
【答案】 B
【解析】 由图可知该几何体底面积为 8，高为 2 的四棱锥，如图所示：
∴该几何体的体积 V
182
16 ，故选 B．
3
3
7．已知函数 f x Asin x ( A 0, 0,
示，则 f
（）
4
) 在一个周期内的图象如图所 2
A． 2 2
B． 2 2
C． 2
D． 2
4．已知曲线 y x4 ax2 1 在点 1， f 1 处切线的斜率为 8，则 f 1 （ ）
A．7 【答案】 B 【解析】 y
B．－ 4
C．－ 7
4x3 2ax， 4 2a 8 ， a 6， f
D．4 1 1a1
4 ，故选
B．
5．已知 a 1 ， b 2 ，且 a a b ，则向量 a 在 b方向上的投影为（
第二次运行： a 1 2 3 ， i 2 为偶数， S 3 2 6 ， i 2 1 3 ；
第三次运行： a 3 3 6 ， i 3 为奇数， S 6 6 12 ， i 3 1 4 ；
第四次运行： a 6 4 10 ， i 4 为偶数， S 10 12 120 ， i 4 1 5 ；
2018年高等学校招生全国统一考试押题卷理科数学试卷B含解析
故选 A．
2．已知集合 M x, y x y 2 ， N x, y x y 2 ，则集合 M N （ ）
A．0, 2
B． 2, 0
C．0, 2
D．2, 0
【答案】D
准考证号
装
只
卷
姓名
此
班级
【解析】解方程组
x x
2ac
2
B
0,
，
B
0,
3
故最大值为：
3
．故答案为：C．
8．若函数 f x 2x 4 a 存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则 a 的
取值范围为（
A． 0, 4
）
B． 0, & +
【答案】C
【解析】如图，若 f x 2x 4 a 存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，
A． 3 4
【答案】C
【解析】 i 1，
B． 7 8
C． 15 16
D． 31 32
（1） x 2 x 1, i 2 ，
（2） x 22x 1 1 4x 3,i 3，
（3） x 24x 318x 7,i 4，
（4） x 28x 7116x 15,i 5 ，
则 a 3，4 ，故选 C．
9．阿波罗尼斯（约公元前 262-190 年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距 离之比为常数 k （ k 0 且 k 1 ）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若
y y
2 2
，得
x y
2 0
．故
M
2018年高考真题——理科数学(全国卷Ⅰ)+Word版含解析
2018年高考真题——理科数学(全国卷Ⅰ)+Word版含解析2018年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷)理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设121iz i i-=++，则z =（ ） A ．0 B ．12C ．1D 25．设函数()()321f x xa x ax=+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为（ ）A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =（ ）A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ） A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 8．设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过点()20-，且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅=（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 9．已知函数()0ln 0x e x f x x x ⎧=⎨>⎩，≤，，()()g x f x x a =++，若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．[)10-，B ．[)0+∞，C ．[)1-+∞，D ．[)1+∞，10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ，ABC△的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为1p ，2p ，3p ，则（ ）A ．12p p = B ．13p p = C ．23pp =D ．123p p p =+11．已知双曲线2213x C y-=：，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN △为直角三角形，则MN =（ ） A ．32 B ．3 C ．23 D ．4 12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）A ．334B ．233C ．324D ．32 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若x y ，满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≤，则32z x y =+的最大值为________．14．记nS 为数列{}na 的前n 项和．若21nn Sa =+，则6S =________．15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．（用数字填写答案） 16．已知函数()2sin sin 2f x x x=+，则()f x 的最小值是________．三、解答题（共70分。
精品解析：2018年高考考前猜题卷之专家猜题卷理科数学试题
2018年高考考前猜题卷之专家猜题卷理数一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，其中是虚数单位，是复数的共轭复数，则复数（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化简原式，利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，求得复数，从而可得结果.【详解】，，故选C.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2.设全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指数函数的性质化简集合，利用由一元二次不等式的解法化简集合，利用补集与交集的定义求解即可.【详解】因为，又因为，，故选B.【点睛】本题主要考查了解一元二次不等式，求集合的补集与交集，属于容易题，在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇.3.为了节省材料，某市下水道井盖的形状如图1所示，其外围是由以正三角形的顶点为圆心，正三角形的边长为半径的三段圆弧组成的曲边三角形，这个曲边三角形称作“菜洛三角形”.现有一颗质量均匀的弹珠落在如图2所示的莱洛三角形内，则弹珠恰好落在三角形内的概率为（）学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用扇形面积公式与三角形面积公式求出莱洛三角形的面积以及三角形的面积，由几何概型概率公式可得结果.【详解】弹珠落在莱洛三角形内的每一个位置是等可能的，由几何概型的概率计算公式可知所求概率为莱洛三角形的面积），故选A.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时, 忽视验证事件是否等可能性导致错误.4.设，是双曲线：的左，右焦点，是右支上一点，若，且的最小内角为，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由双曲线的定义可知，结合，得，利用的最小内角为，由余弦定理可得，从而可得结果.【详解】由双曲线的定义可知，结合，得，又的最小内角为，由余弦定理得，即，，解得，故选C.【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．5.执行如图所示的程序框图，若输出的的值为，则输入的的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到关于的不等式组，从而可得结果.【详解】不成立，执行循环体；不成立，执行循环体；成立，结束循环，输出，，解得，故选D.【点睛】算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮，这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可6.设函数的图象的一条对称轴为直线，其中为常数，且，将曲线向右平移个周期之后，得到曲线，则在下列区间中，函数为增函数的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化简，利用，求得，利用可得结果.【详解】，的图象的一条对称轴为直线，，由，得，，当，即时函数为增函数，令，可得的增区间为，因为是的子集，所以符合题意，故选A.【点睛】本题主要考查三角函数的单调性、三角函数的图象变换，属于中档题.函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间；②若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.7.《九章算术》给出求羡除体积的“术”是：“并三广，以深乘之，又以袤乘之，六而一”.其中的“广”指羡除的三条平行侧棱的长，“深”指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离，“袤”指这两条侧棱所在平行线之间的距离.用现代语言描述：在羡除中，，，，，两条平行线与间的距离为，直线到平面的距离为，则该羡除的体积为.已知某羡除的三视图如图所示，则该羡除的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三视图可知该羡除的体积公式中所需数据，然后代入求解即可.【详解】由三视图还原几何体可知，羡除中，，底面是矩形，，平面平面间的距离，如图，取中点，连接，平面平面平面，由侧视图知直线到平面的距离，故选C.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.8.的展开式中含的项的系数为（）A. 30B. 60C. 90D. 120【答案】B【解析】【分析】展开式含的项来自，展开式通项为，令的指数等于，求出的值，即可求得展开式中的项的系数，从而可得结果.【详解】展开式含的项来自，展开式通项为，令，展开式中的系数为，所以的展开式中含的项的系数为为，故选B.【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.9.已知函数，，，且，若，则实数，，的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】是图象交点横坐标；是图象交点横坐标；是图象交点横坐标，作出图象，利用数形结合可得结果.【详解】同一坐标系内，分别作出函数的图象，如图，可得是图象交点横坐标；是图象交点横坐标；是图象交点横坐标；即分别是图中点的横坐标，由图象可得，，故选C.【点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数有零点函数在轴有交点方程有根函数与有交点.10.三棱锥各顶点均在球上，为该球的直径，，，三棱锥的体积为，则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由体积公式求出三棱锥的高，可得到平面，由正弦定理可得三角形的外接圆的半径，由勾股定理可得球半径，从而可得结果.【详解】如图，，三棱锥的体积为，所以，解得三棱锥的高为，设为三角形的外接圆的圆心，连接，则平面，因为为该球的直径，所以，连接，由正弦定理可知三角形的外接圆的直径为，由勾股定理可得球半径球的表面积为，故选D.【点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.11.在面积为1的中，，分别是，的中点，点在直线上，则的最小值是（）A. 1B.C.D. 2【答案】C【解析】【分析】以为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，设，结合三角形面积公式与平面向量数量积公式可得，利用二次函数的性质与基本不等式即可得结果.【详解】以为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，设，的面积为，，令，的最小值为（当且仅当取等号）,故选C.【点睛】平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数，求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单．12.已知数列满足，，，，若恒成立，则的最小值为（）A. 0B. 1C. 2D.【答案】D【解析】【分析】由，可得，利用裂项相消法可得结果.【详解】由题意知，，由，得，，恒成立，，故最小值为，故选D.【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若是偶函数，则__________．【答案】【解析】【分析】由可求得的值.【详解】是偶函数，，，，经检验符合题意，故答案为.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题. 已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由恒成立求解，（2）偶函数由恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.14.若变量满足约束条件，则的最小值为__________．【答案】【解析】先画出二元一次不等式所表示的可行域，目标函数为截距形，，直线的截距越大，值越小，可见最优解为，则的最小值为.15.已知直线：与抛物线交于点、，以为直径的圆经过原点，则抛物线的方程为__________．【答案】【解析】【分析】由，消去得，利用韦达定理结合可得结果.【详解】设，因为以为直径的圆经过原点，所以，即，由，消去得，，可得，，解得，抛物线的方程为，故答案为.【点睛】本题主要考查抛物线的方程，向量垂直的坐标表示，属于中档题.利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.16.如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，在位置时，观察点的俯角为，观察点的俯角为；在位置时，观察点的俯角为，观察点的俯角为，且，则，之间的距离为________．【答案】【解析】【分析】在中，由正弦定理可得，，在中，由余弦定理得，从而可得结果.【详解】在中，，由正弦定理可得，即，，由题意得，，在中，由余弦定理得，即，故答案为.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.数列的前项和为，已知，.（Ⅰ）证明：数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的前项和.【答案】(1)见解析;(2).【解析】【分析】(1)由，可得，即，从而可得结论；（2）由（1）知，，可得，利用错位相减法，结合等比数列求和公式，即可得结果.【详解】（1）证明：∵，∴，∴，又，∴，∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）知，，∴，∴，①. ②①-②得，∴.【点睛】本题主要考查等比数列的定义和等比数列的求和公式，以及错位相减法求数列的前项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.18.市政府为了促进低碳环保的出行方式，从全市在册的50000辆电动车中随机抽取100辆委托专业机构免费为它们进行电池性能检查，电池性能分为需要更换、尚能使用、较好、良好四个等级，并分成电动自行车和电动汽车两个群体分别进行统计，样本分布如下图.（Ⅰ）采用分层抽样的方法从电池性能较好的电动车中随机抽取9辆，再从这9辆中随机抽取2辆，求至少有一辆为电动汽车的概率；（Ⅱ）为提高市民对电动车的使用热情，市政府准备为电动车车主一次性发放补助，标准如下：①电动自行车每辆补助300元；②电动汽车每辆补助500元；③对电池需要更换的电动车每辆额外补助400元.利用样本估计总体，试估计市政府执行此方案的预算.【答案】(1);(2)见解析.【解析】【分析】(1)根据分层抽样的原理，电动自行车应抽取（辆），电动汽车应抽取（辆），由古典概型以及对立事件概率公式可得，所求概率；（2）设电动车车主能得到的补助为元，则可取，，，，结合组合知识，利用古典概型概率公式,求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望.【详解】（1）根据分层抽样的原理，电动自行车应抽取（辆），电动汽车应抽取（辆），则所求概率.（2）设电动车车主能得到的补助为元，则可取，，，.，，，，其分布列如下：电动车车主得到的补助的期望，则估计市政府执行此方案的预算为元.【点睛】本题主要考查分层抽样古典概型概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先正确要理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.19.在三棱柱中，侧面是边长为2的菱形，，.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若底面是以为直角顶点的直角三角形，且，求二面角的正弦值.【答案】(1)见解析;(2).【解析】【分析】(1)由菱形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，从而可得平面，进而可得结果；（2）由（1）可知，，，则，又，则平面，以为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴建立坐标系，求出平面的法向量与平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.【详解】（1）证明：连接，∵四边形是菱形，且，∴为等边三角形.取的中点，连接，，则，又∵，∴，∵，、平面，∴平面，又∵平面，∴.（2）由（1）及题意可知，，，则，又，则平面，以为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴建立如图所示的坐标系，则，，，，，∴，，，∴，∴，∴，设平面的法向量为，则，可得，故可取.设平面的法向量为，同理可取，∴，∴二面角的正弦值为.【点睛】本题主要考查利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20.过圆：上一动点作轴的垂线，交轴于点，点满足.（Ⅰ）求点的轨迹方程；（Ⅱ）设点的轨迹为曲线，过点的直线交曲线于，两点，过且与垂直的直线交圆于，两点，求四边形面积的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)设点的坐标为，点的坐标为，因为，所以，.利用点在圆上可得结果；（2）设直线的方程为，则：，联立，消去得，由韦达定理弦长公式可得的值，利用点到直线距离公式与勾股定理可得的值，从而可得四边形的面积，换元后，利用单调性可得结果.【详解】（1）设点的坐标为，点的坐标为，因为，所以，.因为点在圆上，所以.把，代入，得，即，所以点的轨迹方程为.（2）若直线与轴重合，则直线与轴垂直，则：，：，则，，于是四边形的面积.若直线与轴不重合，设直线的方程为，则：，设，，联立，消去得，所以，，则.易求得圆心到直线：的距离，所以.令，则，因为，所以.于是四边形的面积，所以，所以四边形面积的取值范围是.【点睛】本题主要考查逆代法求轨迹方程、直线与椭圆的位置关系，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.21.已知曲线的一条切线过点.（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）若，.①讨论函数的单调性；②当时，求证：.【答案】(1);(2)①见解析.②见解析.【解析】【分析】(1) 求出，设切点为，则切线方程为，由切线过点，可得，利用导数可得的最大值，从而可得结果；（2）①求出，分四种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；②要证明，只需证明，而，所以成立.【详解】（1），设切点为，则切线方程为，∵切线过点，∴，∴，∴，设，则，令，则，∴，∴.（2）当时，，∵，∴，.①（i）当时，在区间上是减函数，在区间上是增函数；（ii）当时，在区间上是减函数，在区间，上是增函数；（iii）当时，在区间上是增函数；（iv）当时，在区间上是减函数，在区间，上是增函数.②证明：当时，，要证明，只需证明，而，所以成立.【点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率及利用导数研究函数的单调性，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线交曲线于，两点.（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程和直线的参数方程；（Ⅱ）求的最大值.【答案】(1)见解析;(2).【解析】【分析】(1)线的参数方程利用平方法消去参数可得曲线的直角坐标方程，根据过点且倾斜角为，可得直线的参数方程；（2）把直线的参数方程（为参数）代入，得，根据直线参数方程的几何意义，结合韦达定理，辅助角公式利用三角函数的有界性即可得结果.【详解】（1）消去参数，得曲线的直角坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）.（2）把直线的参数方程（为参数）代入，得，所以且.因为点在椭圆的外侧，根据参数的几何意义可知，，不妨设，所以，，，其中，当时，取最大值，为.【点睛】本题考查参数方程和普通方程的转化、消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法.23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数，为实数.（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）求的最小值.【答案】(1);(2)2.【解析】【分析】(1)对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；（2），①当或时，；②当，且时，，从而可得结果.【详解】（1）当时，不等式，即，①当时，，无解；②当，且时，，得，解得，且；③当时，，无解.综上所述，不等式的解集为.（2），①当或时，；②当，且时，.综上所述，的最小值为2.【点睛】对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
2018年高考全国卷Ⅲ理数试题解析(精编版)(原卷版)
2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则A. B. C. D.2.A. B. C. D.3. 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是学￥科￥网...学￥科￥网...A. AB. BC. CD. D4. 若，则A. B. C. D.5. 的展开式中的系数为6. 直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是A. B.C. D.7. 函数的图像大致为A. AB. BC. CD. D8. 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则A. 0.7B. 0.6C. 0.4D. 0.39.的内角的对边分别为，，，若的面积为，则A. B. C. D. 10. 设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为A. B.C.D.11. 设是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为12. 设，，则A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知向量，，．若，则________．14. 曲线在点处的切线的斜率为，则________．15. 函数在的零点个数为________．16. 已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 等比数列中，．（1）求的通项公式；（2）记为的前项和．若，求．18. 某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：超过不超过（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：，19. 如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．（1）证明：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．20. 已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．21. 已知函数．（1）若，证明：当时，；当时，；（2）若是的极大值点，求．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22. [选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．（1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程．23. [选修4—5：不等式选讲]设函数．（1）画出的图像；（2）当，，求的最小值．。
全国高考2018届高三考前猜题卷(二)数学(理)试卷
全国高考2018届高三考前猜题卷（二）数学（理）试卷本试题卷共14页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设，其中为虚数单位，，是实数，则（）A. 1B.C.D.【答案】D【解析】，，是实数,故选D.2. 已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合A={x∣∣x2−2x−3<0}={x|−1<x<3},B={x|2x-1}={x|}，则A∩B={x|1⩽x<3}.故选：C.3. 一支田径队共有运动员98人，其中女运动员42人，用分层抽样的办法抽取一个样本，每名运动员被抽到的概率都是，则男运动员应抽取（）人A. 12B. 14C. 16D. 18【答案】C【解析】解：因为男运动员有56人，那么男：女=4:3，按照比例抽取的概率为，则则男运动员应抽取28*4/7=16人。
选A........................4. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个命题，错误的命题是（）A. 若，，，则B. 若，，，则C. 若，，，则D. 若，，则【答案】D【解析】A. 由m∥α,m∥β,α∩β=n,利用线面平行的判定与性质定理可得：m∥n，正确；B. 由α⊥β，m⊥α，n⊥β，利用线面面面垂直的性质定理可得m⊥n，正确。
2018年高考全国卷Ⅱ理数试题解析(精编版)(解析版)
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果.详解：选D.点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力.2. 已知集合，则中元素的个数为A. 9B. 8C. 5D. 4【答案】A【解析】分析：根据枚举法，确定圆及其内部整点个数.详解：，当时，；当时，；当时，；所以共有9个，选A.点睛：本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.3. 函数的图像大致为A. AB. BC. CD. D【答案】B【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：为奇函数，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．4. 已知向量，满足，，则A. 4B. 3C. 2D. 0【答案】B【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.详解：因为所以选B.点睛：向量加减乘：5. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果. 详解：因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.6. 在中，，，，则A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.详解：因为所以，选A.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.7. 为计算，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：根据程序框图可知先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此累加量为隔项.详解：由得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入，选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.8. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为，选C.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法： (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.9. 在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.详解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,所以,因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选C.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.10. 若在是减函数，则的最大值是A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定的最大值详解：因为，所以由得因此，从而的最大值为，选A.点睛：函数的性质：(1). (2)周期 (3)由求对称轴， (4)由求增区间;由求减区间.11. 已知是定义域为的奇函数，满足．若，则A. B. 0 C. 2 D. 50【答案】C【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．12. 已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先根据条件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率.详解：因为为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,由斜率为得，，由正弦定理得,所以，选D.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018年高考考前猜题卷之专家猜题卷理科数学试题(解析版)
2018年高考考前猜题卷之专家猜题卷理数一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知，其中是虚数单位，是复数的共轭复数，则复数（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化简原式，利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，求得复数，从而可得结果.【详解】，，故选C.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2. 设全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指数函数的性质化简集合，利用由一元二次不等式的解法化简集合，利用补集与交集的定义求解即可.【详解】因为，又因为，，故选B.【点睛】本题主要考查了解一元二次不等式，求集合的补集与交集，属于容易题，在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇.3. 为了节省材料，某市下水道井盖的形状如图1所示，其外围是由以正三角形的顶点为圆心，正三角形的边长为半径的三段圆弧组成的曲边三角形，这个曲边三角形称作“菜洛三角形”.现有一颗质量均匀的弹珠落在如图2所示的莱洛三角形内，则弹珠恰好落在三角形内的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用扇形面积公式与三角形面积公式求出莱洛三角形的面积以及三角形的面积，由几何概型概率公式可得结果.【详解】弹珠落在莱洛三角形内的每一个位置是等可能的，由几何概型的概率计算公式可知所求概率为莱洛三角形的面积），故选A.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时, 忽视验证事件是否等可能性导致错误.4. 设，是双曲线：的左，右焦点，是右支上一点，若，且的最小内角为，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由双曲线的定义可知，结合，得，利用的最小内角为，由余弦定理可得，从而可得结果.【详解】由双曲线的定义可知，结合，得，又的最小内角为，由余弦定理得，即，，解得，故选C.【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．5. 执行如图所示的程序框图，若输出的的值为，则输入的的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到关于的不等式组，从而可得结果.【详解】不成立，执行循环体；不成立，执行循环体；成立，结束循环，输出，，解得，故选D.【点睛】算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮，这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可6. 设函数的图象的一条对称轴为直线，其中为常数，且，将曲线向右平移个周期之后，得到曲线，则在下列区间中，函数为增函数的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化简，利用，求得，利用可得结果.【详解】，的图象的一条对称轴为直线，，由，得，，当，即时函数为增函数，令，可得的增区间为，因为是的子集，所以符合题意，故选A.【点睛】本题主要考查三角函数的单调性、三角函数的图象变换，属于中档题.函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间；②若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.7. 《九章算术》给出求羡除体积的“术”是：“并三广，以深乘之，又以袤乘之，六而一”.其中的“广”指羡除的三条平行侧棱的长，“深”指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离，“袤”指这两条侧棱所在平行线之间的距离.用现代语言描述：在羡除中，，，，，两条平行线与间的距离为，直线到平面的距离为，则该羡除的体积为.已知某羡除的三视图如图所示，则该羡除的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三视图可知该羡除的体积公式中所需数据，然后代入求解即可.【详解】由三视图还原几何体可知，羡除中，，底面是矩形，，平面平面间的距离，如图，取中点，连接，平面平面平面，由侧视图知直线到平面的距离，故选C.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.8. 的展开式中含的项的系数为（）A. 30B. 60C. 90D. 120【答案】B【解析】【分析】展开式含的项来自，展开式通项为，令的指数等于，求出的值，即可求得展开式中的项的系数，从而可得结果.【详解】展开式含的项来自，展开式通项为，令，展开式中的系数为，所以的展开式中含的项的系数为为，故选B.【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.9. 已知函数，，，且，若，则实数，，的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】是图象交点横坐标；是图象交点横坐标；是图象交点横坐标，作出图象，利用数形结合可得结果.【详解】同一坐标系内，分别作出函数的图象，如图，可得是图象交点横坐标；是图象交点横坐标；是图象交点横坐标；即分别是图中点的横坐标，由图象可得，，故选C.【点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数有零点函数在轴有交点方程有根函数与有交点.10. 三棱锥各顶点均在球上，为该球的直径，，，三棱锥的体积为，则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【分析】由体积公式求出三棱锥的高，可得到平面，由正弦定理可得三角形的外接圆的半径，由勾股定理可得球半径，从而可得结果.【详解】如图，，三棱锥的体积为，所以，解得三棱锥的高为，设为三角形的外接圆的圆心，连接，则平面，因为为该球的直径，所以，连接，由正弦定理可知三角形的外接圆的直径为，由勾股定理可得球半径球的表面积为，故选D.【点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.11. 在面积为1的中，，分别是，的中点，点在直线上，则的最小值是（）A. 1B.C.D. 2【解析】【分析】以为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，设，结合三角形面积公式与平面向量数量积公式可得，利用二次函数的性质与基本不等式即可得结果.【详解】以为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，设，的面积为，，令，的最小值为（当且仅当取等号）,故选C.【点睛】平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数，求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单．12. 已知数列满足，，，，若恒成立，则的最小值为（）A. 0B. 1C. 2D.【答案】D【解析】【分析】由，可得，利用裂项相消法可得结果. 【详解】由题意知，，由，得，，恒成立，，故最小值为，故选D.【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若是偶函数，则__________．【答案】【解析】【分析】由可求得的值.【详解】是偶函数，，，，经检验符合题意，故答案为.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题. 已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由恒成立求解，（2）偶函数由恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.14. 若变量，满足约束条件，则的最小值为__________．【答案】-7【解析】先画出二元一次不等式所表示的可行域，目标函数为截距形，，直线的截距越大，值越小，可见最优解为，则的最小值为.15. 已知直线：与抛物线交于点、，以为直径的圆经过原点，则抛物线的方程为__________．【答案】【解析】【分析】由，消去得，利用韦达定理结合可得结果.【详解】设，因为以为直径的圆经过原点，所以，即，由，消去得，，可得，，解得，抛物线的方程为，故答案为.【点睛】本题主要考查抛物线的方程，向量垂直的坐标表示，属于中档题.利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.16. 如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，在位置时，观察点的俯角为，观察点的俯角为；在位置时，观察点的俯角为，观察点的俯角为，且，则，之间的距离为________．【答案】【解析】【分析】在中，由正弦定理可得，，在中，由余弦定理得，从而可得结果.【详解】在中，，由正弦定理可得，即，，由题意得，，在中，由余弦定理得，即，故答案为.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 数列的前项和为，已知，.（Ⅰ）证明：数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的前项和.【答案】(1)见解析;(2).【解析】【分析】(1)由，可得，即，从而可得结论；（2）由（1）知，，可得，利用错位相减法，结合等比数列求和公式，即可得结果.【详解】（1）证明：∵，∴，∴，又，∴，∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）知，，∴，∴，①. ②①-②得，∴.【点睛】本题主要考查等比数列的定义和等比数列的求和公式，以及错位相减法求数列的前项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.18. 市政府为了促进低碳环保的出行方式，从全市在册的50000辆电动车中随机抽取100辆委托专业机构免费为它们进行电池性能检查，电池性能分为需要更换、尚能使用、较好、良好四个等级，并分成电动自行车和电动汽车两个群体分别进行统计，样本分布如下图.（Ⅰ）采用分层抽样的方法从电池性能较好的电动车中随机抽取9辆，再从这9辆中随机抽取2辆，求至少有一辆为电动汽车的概率；（Ⅱ）为提高市民对电动车的使用热情，市政府准备为电动车车主一次性发放补助，标准如下：①电动自行车每辆补助300元；②电动汽车每辆补助500元；③对电池需要更换的电动车每辆额外补助400元.利用样本估计总体，试估计市政府执行此方案的预算.【答案】(1);(2)见解析.【解析】【分析】(1)根据分层抽样的原理，电动自行车应抽取（辆），电动汽车应抽取（辆），由古典概型以及对立事件概率公式可得，所求概率；（2）设电动车车主能得到的补助为元，则可取，，，，结合组合知识，利用古典概型概率公式,求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望.【详解】（1）根据分层抽样的原理，电动自行车应抽取（辆），电动汽车应抽取（辆），则所求概率.（2）设电动车车主能得到的补助为元，则可取，，，.，，，，其分布列如下：电动车车主得到的补助的期望，则估计市政府执行此方案的预算为元.【点睛】本题主要考查分层抽样古典概型概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先正确要理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.19. 在三棱柱中，侧面是边长为2的菱形，，.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若底面是以为直角顶点的直角三角形，且，求二面角的正弦值.【答案】(1)见解析;(2).【解析】【分析】(1)由菱形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，从而可得平面，进而可得结果；（2）由（1）可知，，，则，又，则平面，以为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴建立坐标系，求出平面的法向量与平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.【详解】（1）证明：连接，∵四边形是菱形，且，∴为等边三角形.取的中点，连接，，则，又∵，∴，∵，、平面，∴平面，又∵平面，∴.（2）由（1）及题意可知，，，则，又，则平面，以为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴建立如图所示的坐标系，则，，，，，∴，，，∴，∴，∴，设平面的法向量为，则，可得，故可取.设平面的法向量为，同理可取，∴，∴二面角的正弦值为.【点睛】本题主要考查利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20. 过圆：上一动点作轴的垂线，交轴于点，点满足.（Ⅰ）求点的轨迹方程；（Ⅱ）设点的轨迹为曲线，过点的直线交曲线于，两点，过且与垂直的直线交圆于，两点，求四边形面积的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)设点的坐标为，点的坐标为，因为，所以，.利用点在圆上可得结果；（2）设直线的方程为，则：，联立，消去得，由韦达定理弦长公式可得的值，利用点到直线距离公式与勾股定理可得的值，从而可得四边形的面积，换元后，利用单调性可得结果.【详解】（1）设点的坐标为，点的坐标为，因为，所以，.因为点在圆上，所以.把，代入，得，即，所以点的轨迹方程为.（2）若直线与轴重合，则直线与轴垂直，则：，：，则，，于是四边形的面积.若直线与轴不重合，设直线的方程为，则：，设，，联立，消去得，所以，，则.易求得圆心到直线：的距离，所以.令，则，因为，所以.于是四边形的面积，所以，所以四边形面积的取值范围是.【点睛】本题主要考查逆代法求轨迹方程、直线与椭圆的位置关系，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.21. 已知曲线的一条切线过点.（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）若，.①讨论函数的单调性；②当时，求证：.【答案】(1);(2)①见解析.②见解析.【解析】【分析】(1) 求出，设切点为，则切线方程为，由切线过点，可得，利用导数可得的最大值，从而可得结果；（2）①求出，分四种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；②要证明，只需证明，而，所以成立. 【详解】（1），设切点为，则切线方程为，∵切线过点，∴，∴，∴，设，则，令，则，∴，∴.（2）当时，，∵，∴，.①（i）当时，在区间上是减函数，在区间上是增函数；（ii）当时，在区间上是减函数，在区间，上是增函数；（iii）当时，在区间上是增函数；（iv）当时，在区间上是减函数，在区间，上是增函数.②证明：当时，，要证明，只需证明，而，所以成立.【点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率及利用导数研究函数的单调性，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. [选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线交曲线于，两点.（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程和直线的参数方程；（Ⅱ）求的最大值.【答案】(1)见解析;(2).【解析】【分析】(1)线的参数方程利用平方法消去参数可得曲线的直角坐标方程，根据过点且倾斜角为，可得直线的参数方程；（2）把直线的参数方程（为参数）代入，得，根据直线参数方程的几何意义，结合韦达定理，辅助角公式利用三角函数的有界性即可得结果.【详解】（1）消去参数，得曲线的直角坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）.（2）把直线的参数方程（为参数）代入，得，所以且.因为点在椭圆的外侧，根据参数的几何意义可知，，不妨设，所以，，，其中，当时，取最大值，为.【点睛】本题考查参数方程和普通方程的转化、消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法.23. [选修4-5：不等式选讲]已知函数，为实数.（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）求的最小值.【答案】(1);(2)2.【解析】【分析】(1)对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；（2），①当或时，；②当，且时，，从而可得结果.【详解】（1）当时，不等式，即，①当时，，无解；②当，且时，，得，解得，且；③当时，，无解.综上所述，不等式的解集为.（2），①当或时，；②当，且时，.综上所述，的最小值为2.【点睛】对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
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2018年高考考前猜题卷之大数据猜题卷数学（理）试题一、单选题1．设复数满足，则（ ）A ． 3B ．C ． 9D ． 10【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的性质、模的计算公式即可得出． 【详解】满足==2﹣i ，则|z|==3．故选：A ． 【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的性质、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．已知全集U R =，集合2{|210}M x x x =--≥， {|N x y ==，则()U C M N ⋂=（ ）A ． {|1}x x ≤B ． 1{|1}2x x -<≤C ． 1{|1}2x x -<< D ． 1{|1}2x x -<< 【答案】C【解析】由题得{}11{|1}x|1{|1}22U M x x x N x C M x x =≥≤-=≤∴=-<<或 所以()U C M N ⋂= 1{|1}2x x -<<,故选C. 3．一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】分析：求出满足条件的正三角形ABC 的面积，再求出满足条件正三角形ABC 内的点到正方形的顶点A 、B 、C 的距离均不小于2的图形的面积，然后代入几何概型公式即可得到答案．详解：满足条件的正三角形ABC 如下图所示：其中正三角形ABC 的面积S 三角形=×16=4，满足到正三角形ABC 的顶点A 、B 、C的距离至少有一个小于2的平面区域如图中阴影部分所示， 则S 阴影=2π，则使取到的点到三个顶点A 、B 、C 的距离都大于2的概率是：P=1﹣=1﹣π，故选：A ．点睛：几何概型问题时，首先分析基本事件的总体， 再找所研究事件的区域，选择合适的度量方式，概率就是度量比，一般是长度、面积、体积.4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，过双曲线左焦点1F 且斜率为1的直线与其右支交于点M ，且以1MF 为直径的圆过右焦点2F ，则双曲线的离心率是（ ）A ．1 B ． C ． D ． 1【答案】A【解析】因为直线的斜率为1，所以124MF F π∠=. 因为以1MF 为直径的圆过右焦点2F ，所以122F F M π∠=，所以1222F F F M c ==，由双曲线的定义得122MF a c =+，由直角三角函数得)22211a c c a c a c e +=∴+=∴===， 故选A.点睛：本题在找关于离心率的方程时，要注意简洁.有的同学可能也可以得到离心率的方程，但是比较复杂，解题效率低，所以要辩证地思考,提高解题效率. 5．一个算法的程序框图如图所示，如果输出y 的值是1，那么输入x 的值是A ． 2-B ． 2-或2C ．D ． 2 【答案】A【解析】由程序框图知：算法的功能是求21? 0{10x x y x x -≥=-＜ 的值，∵输出的结果为1，当0x ≥ 时， 211x x -=⇒= ；当0x ＜ 时，112x x -=⇒=- ， 故选A ．6．已知函数的图象中相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么的图象（ ）A ． 关于点对称B ． 关于点对称C ． 关于直线对称D ． 关于直线对称【解析】【分析】由函数y=f（x）的图象与性质求出T、和，写出函数y=f（x）的解析式，再求f（x）的对称轴和对称中心．【详解】由函数y=f（x）图象相邻两条对称轴之间的距离为，可知其周期为π，所以ω==2，所以f（x）=sin（2x+）；将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后，得到函数y=sin[2（x+）+]图象．因为得到的图象关于y轴对称，所以2×+=kπ+，k∈Z，即=kπ﹣，k∈Z；又||＜，所以=﹣，所以f（x）=sin（2x﹣），令2x﹣=kπ，k∈Z，解得x=﹣，k∈Z；k=0时，得f（x）的图象关于点（，0）对称，A正确．故选：A．解决函数综合性问题的注意点（1）结合条件确定参数的值，进而得到函数的解析式．（2）解题时要将看作一个整体，利用整体代换的方法，并结合正弦函数的相关性质求解．（3）解题时要注意函数图象的运用，使解题过程直观形象化．7．如下图，网格纸上小正方形的边长为1，图中实线画的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱的长度为（）A．B．C．2D．【答案】D【解析】【分析】根据几何体的三视图还原几何体形状，判断最长的棱长，求解可得答案．【详解】利用“三线交汇得顶点”的方法，该几何体位四棱锥P﹣ABCD如图所示，其中，正方体棱长为2，故选：D．【点睛】由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.8．已知等差数列的第6项是展开式中的常数项，则（）A．160 B．C．350 D．【答案】D【解析】【分析】求出常数项得到a6，利用等差数列性质得到【详解】展开式中的常数项是由3个x和3个相乘得到的，所以常数项为••（﹣2）3=﹣160，∴a6=﹣160，则a2+a10=2a6=﹣320，故选：D．【点睛】在处理等差数列问题时，记住以下性质，可减少运算量、提高解题速度：若等差数列的前项和为，且，则①若，则；②、、、成等差数列．9．已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】若函数与g（x）=log2（x+a）的图象上存在关于y轴对称的点，则函数与g（x）=log2（x+a）的图象有交点，进而得到答案．【详解】若函数与的图象上存在关于y轴对称的点，则等价于方程f（x）=g（﹣x），在x＜0时有解．方程即﹣x+2x﹣=﹣x+log2（﹣x+a），即方程2x﹣﹣log2（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解．令m（x）=2x﹣﹣log2（﹣x+a），则m（x）在其定义域上是增函数，且x→﹣∞时，m（x）→﹣∞，当x→0时，m（x）→﹣log2a，∴﹣log2a＞0，∴log2a＜，∴a＜，综上所述，a∈（﹣∞，）．故选：B．【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．10．已知正四棱台的上、下底面边长分别为，高为2，则其外接球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】 【分析】外接球球心O 在正四棱台的上、下底面中心连线上，利用勾股定理构建外接球半径的方程即可. 【详解】由题意知，上、下底面对角线长的一半分别为1,2，如图所示，外接球球心O 在正四棱台的上、下底面中心连线上，设，则可得（r 为外接球的半径），所以，所以其外接球的表面积为故选：D 【点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解． (2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解11．平行四边形ABCD 中， 3AB =， 2AD =， 120BAD ∠=︒， P 是平行四边形ABCD 内一点，且1AP =，如AP xAB yAD =+，则32x y +的最大值为（ ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 【答案】B【解析】∵AP xAB yAD =+，∴2AP =()2xAB yAD +=9x 2+4y 2+2xy×3×2×（﹣12） =（3x+2y ）2﹣3•3x•2y≥（3x+2y ）2﹣34×（3x+2y ）2 =14×（3x+2y ）2；又2AP=1，即14×（3x+2y）2≤1，所以3x+2y≤2，当且仅当3x=2y，即x=13，y=12时，3x+2y取得最大值2．故选：B．12．设的三边长分别为，的面积为…，若，，则（）A．为递减数列B．为递增数列C．为递增数列，为递减数列D．为递减数列，为递增数列【答案】B【解析】【分析】由a n+1=a n可知△A n B n C n的边B n C n为定值a1，由b n+1+c n+1﹣2a1=及b1+c1=2a1得b n+c n=2a1，则在△A n B n C n中边长B n C n=a1为定值，另两边A n C n、A n B n的长度之和b n+c n=2a1为定值，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，根据b n+1﹣c n+1=，得b n﹣c n=，可知n→+∞时b n→c n，据此可判断△A n B n C n 的边B n C n的高h n随着n的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．【详解】b1=2a1﹣c1且b1＞c1，∴2a1﹣c1＞c1，∴a1＞c1，∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1，又b1﹣c1＜a1，∴2a1﹣c1﹣c1＜a1，∴2c1＞a1，∴，由题意，+a n ，∴b n+1+c n+1﹣2a n =（b n +c n ﹣2a n ），∴b n +c n ﹣2a n =0，∴b n +c n =2a n =2a 1，∴b n +c n =2a 1， 由此可知顶点A n 在以B n 、C n 为焦点的椭圆上，又由题意，b n+1﹣c n+1=，∴=a 1﹣b n ，∴b n+1﹣a 1=，∴b n ﹣a 1=，∴，c n =2a 1﹣b n =，∴[][]=[﹣]单调递增（可证当n=1时＞0）故选：B ． 【点睛】本题主要考查由数列递推式求数列通项、三角形面积海伦公式，综合考查学生分析解决问题的能力，有较高的思维抽象度，属于难题.二、填空题13．函数()()()4213f x x a x a x =--+-的导函数()'f x 是奇函数，则实数a =__________．【答案】3【解析】由题意()()()34213f x x a x a =--+-'是奇函数，所以()0f '=303a a -=⇒=，故答案为3．14．已知,x y 满足约束条件340{20x y x x y -+≥-≤+≥（,x y R ∈），则22x y +的最大值为_______. 【答案】8【解析】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示． 22x y +表示可行域内的点(),x y 到原点距离的平方．由图形可得，可行域内的点A 到原点的距离最大，且A 点的坐标为()2,2-，且OA =∴()22max8x y+=．答案： 815．已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的最小值为__________．【答案】16.【解析】由题意可知抛物线的焦点，准线为设直线的解析式为∵直线互相垂直∴的斜率为与抛物线的方程联立，消去得设点由跟与系数的关系得，同理∵根据抛物线的性质，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离 ∴，同理∴，当且仅当时取等号. 故答案为16点睛：（1）与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径；（2）圆锥曲线中的最值问题，可利用基本不等式求解，但要注意不等式成立的条件。