2020年高考数学考前冲刺 最后押题试卷及解析
成都市第七中学2020届高考冲刺押题(最后一卷)数学试卷含解析【含高考模拟卷15套】
成都市第七中学2020届高考冲刺押题（最后一卷）数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知点P 为双曲线()222210b x y a b a ->>=右支上一点，点12,F F 分别为双曲线的左右焦点，点I 是12PF F ∆的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有121213IPF IPF IF F S S S ∆∆∆-≥成立，则双曲线的离心率取值范围是（ ） A ．(]1,2B ．()1,2C ．(]0,3D ．(]1,32．如图所示的几何图形中，ABCD 为菱形，C 为EF 的中点，3EC CF ==，4BE DF ==，BE EF ⊥，DF EF ^，现在几何图形中任取一点，则该点取自Rt BCE ∆的概率为（ ）A ．19B ．18C ．17 D ．163．定义在R 上的函数()f x ，其导函数为()f x ¢，且()()2f x f x =+，()()f x f x -='-'，若当()0,1x ∈时，()0f x ¢<，则A ．()1lnln 302f f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭B ．()12lnln 302f f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭C ．()1ln ln 302f f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭ D ．()12ln ln 302f f ⎛⎫+> ⎪⎝⎭4．已知变量,x y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数3z x y =-的最大值是A ．-6B ．32-C ．-1D ．65．将函数()3sin(2)f x x ϕ=+，(0,)ϕπ∈的图象沿x 轴向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 满足(||)()g x g x =，则ϕ的值为（ ）A ．6πB ．3πC ．56πD ．23π6．函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则512f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．32-B ．12-C ．3D ．327．2002年在北京召开的国际数学家大会的会标是以我国古代数学家的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.设其中直角三角形中较小的锐角为θ，且4tan 23θ=，如果在弦图内随机抛掷1000米黑芝麻（大小差别忽略不计），则落在小正方形内的黑芝麻数大约为（ ）A ．350B ．300C ．250D ．2008．已知59290129(1)(2)(1)(1)...(1)x x a a x a x a x ++-=+-+-++-，则7a =（ ）A ．9B ．36C ．84D ．2439．如图，在△ABC 中，点,D E 是线段BC 上两个动点，且AD AE +u u u r u u u rx AB y AC =+u u u r u u u r ，则14x y+的最小值为（ ）A ．32 B ．2 C ．52 D ．9210．若复数z 满足()21213z i i -+=+(i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限11．一种画双曲线的工具如图所示，长杆OB 通过O 处的铰链与固定好的短杆OA 连接，取一条定长的细绳，一端固定在点A ，另一端固定在点B ，套上铅笔（如图所示）．作图时，使铅笔紧贴长杆OB ，拉紧绳子，移动笔尖M （长杆OB 绕O 转动），画出的曲线即为双曲线的一部分．若|OA|＝10，|OB|＝12，细绳长为8，则所得双曲线的离心率为（ ）A．65 B ．54 C ．32 D ．5212．已知sin()cos()66ππαα-=+，则cos2=α（ ） A ．1 B ．-1C ．12 D ．0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年江苏省高考数学押题试卷(6月份) (解析版)
2020年高考数学押题试卷（6月份）一、填空题（共14小题）.1．已知集合M＝{﹣1，0，1，2}，集合N＝{x|x2+x﹣2＝0}，则集合M∩N＝．2．已知复数（i是虚数单位），则z的共轭复数为．3．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在[50，100）中的频数为24，则n的值为．4．执行如图所示的算法流程图，则输出的b的值为．5．已知A、B、C三人在三天节日中值班，每人值班一天，那么A排在C后一天值班的概率为．6．底面边长和高都为2的正四棱锥的表面积为．7．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线经过点（﹣，6），且它的两条渐近线方程是y＝±3x，则该双曲线标准方程为．8．已知sinα+cosα＝，则sin2α+cos4α的值为．9．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若2a3﹣a5＝1，S10＝100，则S20的值为．10．埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其它分数都要写成若干个单位分数和的形式．例如可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人，不够；每人，余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得．形如（n＝5，7，9，11，…）的分数的分解：，，，按此规律，＝（n＝5，7，9，11，…）．11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x﹣2）2+y2＝4，点P是圆C外的一个动点，直线PA，PB分别切圆C于A，B两点．若直线AB过定点（1，1），则线段PO长的最小值为．12．已知正实数x，y满足，则的最小值为．13．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD，E，F分别为AD，DC的中点，AF与BE 交于点O．若，则∠DAB的余弦值为．14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝1，则的最大值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知向量，，且．（1）求的值；（2）若，求△ABC的面积S．16．如图直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝2AA1，AC⊥BC，D、E分别为A1C1、AB的中点．求证：（1）AD⊥平面BCD；（2）A1E∥平面BCD．17．如图，某大型厂区有三个值班室A、B、C．值班室A在值班室B的正北方向3千米处，值班室C在值班室B的正东方向4千米处．（1）保安甲沿CA从值班室C出发行至点P处，此时PC＝2．求PB的距离；（2）保安甲沿CA从值班室C出发前往值班室A，保安乙沿AB从值班室A出发前往值班室B，甲乙同时出发，甲的速度为5千米/小时，乙的速度为3千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为3千米（含3千米），试问有多长时间两人不能通话？18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：（a＞b＞0）过点（1，），离心率为．A，B是椭圆上两点，且直线OA与OB的斜率之积为．（1）求椭圆C的方程；（2）求直线AB的斜率；（3）设直线AB交圆O：x2+y2＝a2于C，D两点，且，求△COD的面积．19．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝（a n+λ）（λ为常数）对于任意的n∈N*恒成立．（1）当a1＝1时，求λ的值；（2）证明：数列{a n}是等差数列；（3）若a2＝2，关于m的不等式|S m﹣2m|＜m+1有且仅有两个不同的整数解，求λ的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）＝（a∈R，且a为常数）．（1）若函数y＝f（x）的图象在x＝e处的切线的斜率为（e为自然对数的底数），求a的值；（2）若函数y＝f（x）在区间（1，2）上单调递增，求a的取值范围；（3）已知x，y∈（1，2），且x+y＝3．求证：+≤0．附加题【选做题】本题包括，B，C三小题，每小题10分.请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-2：矩阵与变换]21．曲线x2+y2＝1在矩阵A＝（a＞0，b＞0）对应的变换下得到曲线＝1．（1）求矩阵A；（2）求矩阵A的特征向量．B.[选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)22．已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）＝2，直线l与曲线C相交于A，B两点，求线段AB的值．C．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c为正实数，满足a+b+c＝3，求的最小值．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．五个自然数1、2、3、4、5按照一定的顺序排成一列．（1）求2和4不相邻的概率；（2）定义：若两个数的和为6且相邻，称这两个数为一组“友好数”．随机变量X表示上述五个自然数组成的一个排列中“友好数”的组数，求X的概率分布和数学期望E （X）．25．已知n≥2，n∈N*，数列T：a1，a2，…，a n中的每一项均在集合M＝{1，2，…，n}中，且任意两项不相等，又对于任意的整数i，j（1≤i＜j≤n），均有i+a i≤j+a j．记所有满足条件的数列T的个数为b n．例如n＝2时，满足条件的数列T为1，2或2，1，所以b2＝2．（1）求b3；（2）求b n．参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合M＝{﹣1，0，1，2}，集合N＝{x|x2+x﹣2＝0}，则集合M∩N＝{1}．【分析】可以求出集合N，然后进行交集的运算即可．解：∵M＝{﹣1，0，1，2}，N＝{﹣2，1}，∴M∩N＝{1}．故答案为：{1}．2．已知复数（i是虚数单位），则z的共轭复数为1﹣i．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵＝，∴．故答案为：1﹣i．3．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在[50，100）中的频数为24，则n的值为60．【分析】由频率分布直方图求出[50，100）中的频率，再由在[50，100）中的频数，能求出n．解：由频率分布直方图得：[50，100）中的频率为：（0.004+0.012）×25＝0.4，因为在[50，100）中的频数为24，所以n＝＝60，故答案为：60．4．执行如图所示的算法流程图，则输出的b的值为8．【分析】按照程序框图一步一步代入求值，直到跳出循环，输出结果．解：a＝1，b＝1；b＝2，a＝2；b＝4，a＝3，b＝8，a＝4；跳出循环，输出b＝8，故答案为：8．5．已知A、B、C三人在三天节日中值班，每人值班一天，那么A排在C后一天值班的概率为．【分析】利用排列组合数公式易求三人值班有A种，A排在C后一天值班的情况有C A 种，相比即可．解：因为A、B、C三人在三天节日中值班有A＝6种，其中A排在C后一天值班的情况有C A＝2种，所以A排在C后一天值班的概率P＝＝，故答案是．6．底面边长和高都为2的正四棱锥的表面积为4+4．【分析】由已知中正四棱锥的底面边长为2，高为2，求出棱锥的侧高，进而求出棱锥的侧面积，加上底面积后，可得答案．解：如下图所示：正四棱锥S﹣ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝2，S0＝2，E为BC中点，在Rt△SOE中，OE＝AB＝1，则侧高SE＝＝，故棱锥的表面积S＝2×2+4×（×2×）＝4+4．故答案为：4+4．7．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线经过点（﹣，6），且它的两条渐近线方程是y＝±3x，则该双曲线标准方程为﹣x2＝1．【分析】根据题意，设要求双曲线的方程为x2﹣＝t，（t≠0），将点坐标代入计算可得t的值，将t的值代入计算双曲线的方程，变形为标准方程即可得答案．解：根据题意，要求双曲线的两条渐近线方程是y＝±3x，设其方程为x2﹣＝t，（t ≠0），又由双曲线经过点（﹣，6），则有（﹣）2﹣＝3﹣4＝t＝﹣1，则要求双曲线的方程为﹣x2＝1；故答案为：﹣x2＝1．8．已知sinα+cosα＝，则sin2α+cos4α的值为．【分析】将已知等式两边平方，利用二倍角公式可求sin2α的值，进而根据二倍角的余弦函数公式可求cos4α的值，即可得解．解：∵sinα+cosα＝，∴两边平方，可得1+sin2α＝，sin2α＝﹣，∴cos4α＝1﹣2sin22α＝1﹣2×（﹣）2＝，∴sin2α+cos4α＝﹣+＝．故答案为：．9．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若2a3﹣a5＝1，S10＝100，则S20的值为400．【分析】利用等差数列前n项和公式和通项公式列方程组，解得a1＝1，d＝2，由此能求出S20．解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，2a3﹣a5＝1，S10＝100，∴，解得a1＝1，d＝2，∴S20＝20×1+＝400．故答案为：400．10．埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其它分数都要写成若干个单位分数和的形式．例如可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人，不够；每人，余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得．形如（n＝5，7，9，11，…）的分数的分解：，，，按此规律，＝+（n＝5，7，9，11，…）．【分析】由已知中＝+，可以这样来理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，每人不够，每人余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得+，类比可推导出＝+．解：假定有两个面包，要平均分给n（n＝5，7，9，11，…）个人，每人不够，每人分则余，再将这分成n份，每人得，这样每人分得+．故＝+；故答案为：+11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x﹣2）2+y2＝4，点P是圆C外的一个动点，直线PA，PB分别切圆C于A，B两点．若直线AB过定点（1，1），则线段PO长的最小值为．【分析】设P（x0，y0），求出以AB为直径的圆的方程，与圆C联立，可得AB所在直线方程，代入（1，1），得P点轨迹，再由点到直线的距离公式求得线段PO长的最小值．解：设P（x0，y0），则PC的中点坐标为（），又|PC|＝，∴以PC为直径的圆的方程为，即x2+y2﹣（x0+2）x﹣y0y+2x0＝0，①又圆C：x2+y2﹣4x＝0，②①﹣②得：（x0﹣2）x+y0y﹣2x0＝0．∵直线AB过（1，1），∴x0﹣y0+2＝0．即点P的轨迹为x﹣y+2＝0．∴线段PO长的最小值为O到直线x﹣y+2＝0的距离等于．故答案为：．12．已知正实数x，y满足，则的最小值为2．【分析】直接利用关系式的变换和不等式的性质的应用求出结果．解：已知正实数x，y满足，整理得：，所以＝，所以（当且仅当y＝2x等号成立）故的最小值为2．故答案为：213．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD，E，F分别为AD，DC的中点，AF与BE 交于点O．若，则∠DAB的余弦值为．【分析】用表示出，根据条件列方程计算cos∠DAB．解：＝+，设＝λ＝+λ＝+2λ，∵B，O，E三点共线，∴+2λ＝1，即λ＝．∴＝＝+，＝+，∴＝＝﹣，∴5•＝（+）•（4﹣2）＝﹣2+．若，则﹣2＝，又AB＝2AD，＝AB•AD•cos∠DAB，∴6（4AD2﹣AD2）＝51（2AD•AD•cos∠DAB），解得cos∠DAB＝＝．故答案为：．14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝1，则的最大值为．【分析】由已知化切为弦可得3sin C＝sin B（sin A﹣cos A），结合正弦定理可得3c＝b（sin A ﹣cos A），得到，再由辅助角公式化积，利用正弦函数的有界性求得最大值．解：由＝1，得，∴4cos A sin B+3cos B sin A＝sin A sin B，∴3sin（A+B）+cos A sin B＝sin A sin B，即3sin C＝sin B（sin A﹣cos A），结合正弦定理可得3c＝b（sin A﹣cos A），∴．∵0＜A＜π，∴＜＜，则当A﹣时，取得最大值为．即的最大值为．故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知向量，，且．（1）求的值；（2）若，求△ABC的面积S．【分析】（1）由可得b（cos A﹣2cos C）+（a﹣2c）cos B＝0法一：根据正弦定理可得，sin B cos A﹣2sin B cos C+sin A cos B﹣2sin C cos B法二：根据余弦定理可得，b×＝0化简可得，然后根据正弦定理可求（2）由（1）c＝2a可求c，由||可求b，结合余弦定理可求cos A，利用同角平方关系可求sin A，代入三角形的面积公式S＝可求解：（1）法一：由可得b（cos A﹣2cos C）+（a﹣2c）cos B＝0根据正弦定理可得，sin B cos A﹣2sin B cos C+sin A cos B﹣2sin C cos B＝0∴（sin B cos A﹣sin A cos B）﹣2（sin B cos C+sin C cos B）＝0∴sin（A+B）﹣2sin（B+C）＝0∵A+B+C＝π∴sin C﹣2sin A＝0∴（法二）：由可得b（cos A﹣2cos C）+（a﹣2c）cos B＝0根据余弦定理可得，b×＝0整理可得，c﹣2a＝0∴＝2（2）∵由（1）可知c＝2a＝4∴b＝3∴cos A＝＝，sin A＝＝∴△ABC的面积S＝＝＝16．如图直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝2AA1，AC⊥BC，D、E分别为A1C1、AB的中点．求证：（1）AD⊥平面BCD；（2）A1E∥平面BCD．【分析】（1）只需证明BC⊥AD，DC⊥AD，证明即可AD⊥平面BCD（2）取BC中点O，连结DO、OE可得四边形A1DOE为平行四边形，即A1E∥OD，A1E∥平面BCD．【解答】证明：（1）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中CC1⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，∴CC1⊥BC，又∵AC⊥BC，AC∩CC1＝C，AC，CC1⊂平面AA1C1C，∴BC⊥平面AA1C1C，而AD⊂平面AA1C1C∴BC⊥AD…①又该直三棱柱中AA1⊥A1C1，CC1⊥A1C1，由已知AA1＝AC＝A1D，则∠A1DA＝，同理∠C1DC＝，则∠ADC＝，即CD⊥AD，由①BC⊥AD，BC∩CD＝C，BC，CD⊂平面BCD，∴AD⊥平面BCD；（2）取BC中点O，连结DO、OE，∵AE＝EB，CO＝BO∴OE平行等于AC，而A1D平行等于AC，∴A1D平行等于OE∴四边形A1DOE为平行四边形，∴A1E∥OD，而A1E⊄平面BCD，OD⊂平面BCD，∴A1E∥平面BCD．17．如图，某大型厂区有三个值班室A、B、C．值班室A在值班室B的正北方向3千米处，值班室C在值班室B的正东方向4千米处．（1）保安甲沿CA从值班室C出发行至点P处，此时PC＝2．求PB的距离；（2）保安甲沿CA从值班室C出发前往值班室A，保安乙沿AB从值班室A出发前往值班室B，甲乙同时出发，甲的速度为5千米/小时，乙的速度为3千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为3千米（含3千米），试问有多长时间两人不能通话？【分析】（1）在△PBC中，根据余弦定理计算PB；（2）设行进时间为t，得出两人距离关于t的函数，解不等式得出t的范围即可得出结论．解：（1）AC＝＝5，cos C＝＝，在△PBC中，由余弦定理可得：PB2＝PC2+BC2﹣2PC•BC•cos C＝4+16﹣2•2•4•＝，∴PB＝千米．（2）设两保安出发t小时后，甲保安到达M处，乙保安到达N处（0≤t≤1）．则AM＝5（1﹣t），AN＝3t，又cos A＝，则MN2＝25（1﹣t）2+9t2﹣2•5（1﹣t）•3t•＝52t2﹣68t+25，令MN＞3可得52t2﹣68t+25＞9，即13t2﹣17t+4＞0，又0≤t≤1，解得：0≤t＜．∴两保安有小时不能通话．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：（a＞b＞0）过点（1，），离心率为．A，B是椭圆上两点，且直线OA与OB的斜率之积为．（1）求椭圆C的方程；（2）求直线AB的斜率；（3）设直线AB交圆O：x2+y2＝a2于C，D两点，且，求△COD的面积．【分析】（1）由椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）当直线AB的斜率不存在时，k OA•k OB＜0，与条件矛盾；可设直线AB的方程为y ＝kx+m，代入椭圆方程x2+2y2＝4，运用韦达定理和直线的斜率公式，计算可得所求值；（3）不妨设直线AB的方程为y＝x+m，运用点到直线的距离公式和弦长公式，化简整理，结合三角形的面积公式，计算可得所求值．解：（1）因为e＝＝，所以a2＝2b2，设椭圆方程为+＝1，将点（1，）代入可得+＝1，解得b＝，则a＝2，则椭圆的方程为+＝1；（2）当直线AB的斜率不存在时，k OA•k OB＜0，与条件矛盾．所以直线AB的斜率存在．可设直线AB的方程为y＝kx+m，代入椭圆方程x2+2y2＝4，可得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2＝﹣，x1x2＝，于是y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝k2x1x2+km（x1+x2）+m2＝k2•+km（﹣）+m2＝，而k OA•k OB＝＝，即x1x2＝2y1y2，则＝2•，解得k2＝，即有k＝±，所以直线AB的斜率为±；（3）不妨设直线AB的方程为y＝x+m，即x﹣y+m＝0，因为原点O到直线AB的距离d＝，所以|CD|＝2＝2，由（2）当k＝时，x1+x2＝﹣m，x1x2＝m2﹣2，所以|AB|＝|x1﹣x2|＝•＝•，于是＝＝，解得m2＝3，因此△COD的面积S△OCD＝CD•d＝•2•＝2．19．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝（a n+λ）（λ为常数）对于任意的n∈N*恒成立．（1）当a1＝1时，求λ的值；（2）证明：数列{a n}是等差数列；（3）若a2＝2，关于m的不等式|S m﹣2m|＜m+1有且仅有两个不同的整数解，求λ的取值范围．【分析】（1）令n＝1，结合S1＝a1及题设条件可得2a1＝a1+λ，进而得解；（2）利用S n+1﹣S n＝a n及题设条件可得2a n+1＝（n+1）a n+1﹣na n+λ，进而得到2a n+1﹣2a n＝（n+1）a n+1﹣2na n+（n﹣1）a n﹣1，化简整理即可得证；（3）由（2）问题等价于，令，题目条件进一步转化为满足不等式t|m（m﹣3）|＜m+1的整数解只有两个，然后再分类讨论得出结论．解：（1）当n＝1时，，∴2a1＝a1+λ，解得λ＝a1＝1；（2）证明：由题意知，，∴2a n+1＝（n+1）a n+1﹣na n+λ，∴，∴2a n+1﹣2a n＝（n+1）a n+1﹣2na n+（n﹣1）a n﹣1，∴（n﹣1）a n+1+（n﹣1）a n﹣1＝2（n﹣1）a n，又n≥2，n∈N•，∴n﹣1＞0，∴a n+1+a n﹣1＝2a n对任意n≥2，n∈N•都成立，∴数列{a n}是等差数列；（3）由（2）可知，|S m﹣2m|＜m+1，即，即，∴，令，题目条件转化为满足不等式t|m（m﹣3）|＜m+1的整数解只有两个，若m＝1符合，则2t＜2，即t＜1；若m＝2符合，则2t＜3，即；若m＝3符合，则t为任意实数，即m＝3以外只能有1个m符合要求；当m≥4，m∈N•时，tm（m﹣3）＜m+1，解得，令x＝m+1≥5，则，令，则，当x≥5时，f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在[5，+∞）上单调递增，∴，∴，∴当时，至少存在m＝2，3，4满足不等式，不符合要求；当时，对于任意m≥4，m∈N•都不满足不等式，m＝1也不满足，此时只有m＝2，3满足；当时，只有m＝3符合；故，即，解得或，∴λ的取值范围为．20．（16分）已知函数f（x）＝（a∈R，且a为常数）．（1）若函数y＝f（x）的图象在x＝e处的切线的斜率为（e为自然对数的底数），求a的值；（2）若函数y＝f（x）在区间（1，2）上单调递增，求a的取值范围；（3）已知x，y∈（1，2），且x+y＝3．求证：+≤0．【分析】（1）根据导数的几何意义知f′（e）＝，由此构造方程求得结果．（2）将问题转化为ax+1﹣axlnx≥0且ax+1≠0，恒成立的问题，令φ（x）＝ax+1﹣axlnx，分别在a＝0，a＞0和﹣≤a＜0，或a≤﹣1时，结合函数单调性确定最小值，令φ（x）min≥0，从而求得a的取值范围．（3）根据（2）的结论可知f（x）在（1，2）上单调递增，分类讨论可确定≤2ln（2x﹣3），将不等关系代入所求不等式左侧，结合对数运算可整理得到结果．解：（1）由题意得：f′（x）＝＝，因为y＝f（x）的函数图象在x＝e处的切线的斜率为，所以f′（e）＝，所以，解得（ae+1）2＝（1﹣e）2，所以ae+1＝±（1﹣e），所以a＝﹣1或．（2）因为函数f（x）在（1，2）上单调递增，所以对于任意的x∈（1，2），都有f′（x）≥0恒成立，即ax+1﹣axlnx≥0且ax+1≠0，当a＝0，1≥0恒成立，满足题意，当a≠0时，由x≠﹣得：﹣，即a＞0，或﹣或a≤﹣1，令φ（x）＝ax+1﹣axlnx，则φ′（x）＝﹣alnx，①当a＞0且x∈（1，2）时，φ′（x）＜0，所以φ（x）在（1，2）上单调递减，要使得ax+1﹣axlnx≥0，即要求φ（2）≥0，即2a+1﹣2aln2≥0，解得a≥，所以a＞0满足题意，②当﹣≤a＜0或a≤﹣1，且x∈（1，2）时，φ′（x）＞0，所以φ（x）在（1，2）上单调递增，要使得ax+1﹣axlnx≥0，即要求φ（1）≥0，即a+1﹣aln1≥0，解得a≥﹣1，所以﹣≤a＜0或a＝﹣1，综上所述：a的取值范围是{﹣1}∪[﹣，+∞）．（3）证明：由（2）知：当a＝﹣1时，函数f（x）在（1，2）上单调递增，此时f（x）＝＝，当1＜x≤时，f（x）≤f（）＝﹣2ln，而2x﹣3≤0，所以（2x﹣3）f（x）≥﹣2ln（2x﹣3），即（2x﹣3）≥﹣2ln（2x﹣3），所以，当≤x＜2时，f（x）≥f（）＝﹣2ln，而2x﹣3≥0，所以（2x﹣3）f（x）≥﹣2ln（2x﹣3），即（2x﹣3）≥﹣2ln（2x﹣3），所以，综上，对于任意x∈（1，2），都有，所以≤2ln（2x﹣3）+2ln（2y﹣3）＝2ln（2x+2y﹣6）＝0，结论得证．附加题【选做题】本题包括，B，C三小题，每小题10分.请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-2：矩阵与变换]21．曲线x2+y2＝1在矩阵A＝（a＞0，b＞0）对应的变换下得到曲线＝1．（1）求矩阵A；（2）求矩阵A的特征向量．【分析】（1）推导出＝，从而，由点P'（x'，y'）在曲线＝1，得＝1．再由x2+y2＝1，能求出矩阵A．（2）由|λI﹣A|＝＝0，求出λ1＝3，λ2＝1，由此能求出矩阵A的特征向量．解：（1）P（x，y）为圆C上的任意一点，在矩阵A对应的变换下变为另一个点P'（x'，y'），则＝，即，又∵点P'（x'，y'）在曲线＝1，∴＝1．由已知条件可知，x2+y2＝1，∴a2＝9，b2＝1．∵a＞0，b＞0，∴a＝3，b＝1．∴A＝．（2）∵A＝．∴|λI﹣A|＝＝0，解得λ1＝3，λ2＝1，把λ1＝3代入|λI﹣A|x＝0，得＝，∴x2＝0，∴λ1＝3的特征向量为，把λ1＝1代入|λI﹣A|x＝0，得＝，∴x1＝0，∴λ2＝1的特征向量为．B.[选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)22．已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）＝2，直线l与曲线C相交于A，B两点，求线段AB的值．【分析】化曲线的参数方程为普通方程，化直线的极坐标方程为直角坐标方程，进一步化为参数方程的标准形式，代入曲线的普通方程，得到关于t的一元二次方程，再由根与系数的关系及弦长公式求解．解：由（α为参数），消去参数α，得；由ρ（sinθ+cosθ）＝2，得ρsinθ+ρcosθ﹣2＝0，即x+y﹣2＝0．设直线l的参数方程为，代入，得．∴，．∴|AB|＝|t1﹣t2|＝＝．C．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c为正实数，满足a+b+c＝3，求的最小值．【分析】根据条件，可得＝，然后利用柯西不等式求出其最小值即可．解：∵a，b，c为正实数且满足a+b+c＝3，∴，即，当且仅当，即时等号成立，∴的最小值为12．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．五个自然数1、2、3、4、5按照一定的顺序排成一列．（1）求2和4不相邻的概率；（2）定义：若两个数的和为6且相邻，称这两个数为一组“友好数”．随机变量X表示上述五个自然数组成的一个排列中“友好数”的组数，求X的概率分布和数学期望E （X）．【分析】（1）记“2和4不相邻”为事件A，则P（A）＝；（2）X的所有可能取值为0，1，2，结合排列组合的思想逐一求出每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望．解：（1）记“2和4不相邻”为事件A，则P（A）＝，所以2和4不相邻的概率为．（2）X的所有可能取值为0，1，2，P（X＝2）＝，P（X＝1）＝，P（X＝0）＝（先确定3的位置）或（P（X＝0）＝1﹣P （X＝1）﹣P（X＝2）＝）．所以X的分布列为X012P数学期望E（X）＝．25．已知n≥2，n∈N*，数列T：a1，a2，…，a n中的每一项均在集合M＝{1，2，…，n}中，且任意两项不相等，又对于任意的整数i，j（1≤i＜j≤n），均有i+a i≤j+a j．记所有满足条件的数列T的个数为b n．例如n＝2时，满足条件的数列T为1，2或2，1，所以b2＝2．（1）求b3；（2）求b n．【分析】（1）直接利用关系式的应用求出结果．（2）直接利用数列的通项公式的应用和递推关系式的应用求出结果．解：（1）若a1＝3，则1+3≤2+a2，故a2＝2，则a3＝1．若a2＝3，则2+a2≤3+a3，则a3≥2．故a2＝2，则a1＝1．若a3＝3，则a1＝1，a2＝2，或a1＝2，a2＝3．所以当n＝3时，满足条件的数列T为3，2，1；1，3，2；1，2，3；2，1，3．故满足条件的T为4．（2）设满足条件的数列T的个数为b n，显然b1＝1，b2＝2，b3＝3．不等式i+a i≤j+a j中取j＝i+1，则有i+a i≤i+1+a i+1，即a i≤1+a i+1．①当a1＝n，则a2＝n﹣1，同理a3＝n﹣2，…，a n＝1．②当a i＝n，（2≤i≤n），则a i+1＝n﹣1，同理a i+2＝n﹣2，…，a n＝i．即a i＝n以后的各项是唯一确定的．a i＝n之前的满足条件的数列的个数为b i﹣1．所以：当n≥2时，b n＝b n﹣1+b n﹣2+…+b1+1．（*）．当n≥3时，b n﹣1＝b n﹣2+b n﹣3+…+b1+1．代入（*）式得到b n＝b n﹣1+b n﹣1＝2b n﹣1，且满足b2＝2b1．所以对任意n≥2的，都有b n＝2b n﹣1，又b1＝1，所以．综上所述，满足条件的数列T的个数为2n﹣1．。
2020年高考数学冲刺压轴卷理[含答案].doc
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2020年高考数学冲刺压轴卷 理注意事项：1.本卷满分150分，考试时间120分钟。
答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ＝{x|2x>6}，B ＝{x|2x <32}，则A∩B＝A.(3，4)B.(4，5)C.(3，＋∞)D.(3，5)2.复数2i i i--(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.“2a >8”是“a 2>9”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为3π＋6，则x 等于A.4B.5C.6D.75.若函数f(x)＝sin(2x ＋φ)(－2π<φ<2π)的图象关于点(3π，0)对称，则f(6π)的值是 A.－12 B.32 C.－32 D.126.已知a＝10，a·b＝5102，且(b－a)·(b＋a)＝15，则向量a在b方向上的投影为A.12B.22C.52D.1027.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为A.2B.3C.4D.58.从0，1，2，3，4，5这6个数字中，任取3个组成一个无重复数字的三位数，则这样的三位数中偶数个数与奇数个数的比值为A.1B.32C.1312D.27239.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝l，c32sin(B＋C)cosC＝1－2cosAsinC，则△ABC的面积是A.34B.12C.34或32D.14或1210.设双曲线C：22221(0,0)x ya ba b-=>>的左、右焦点分别是F1，F2，过F1的直线交双曲线C的左支于M，N两点，若MF2＝F1F2，且2MF1＝NF1，则双曲线C的离心率是A.53B.32C.2D.5411.已知以正方体所有面的中心为顶点的多面体的各个顶点都在球O的球面上，且球O的表面积为20π，则该正方体的棱长为A.5B.25C.26D.612.设函数f(x)的定义域为R ，f'(x)是其导函数，若3f(x)＋f'(x)>0，f(0)＝1，则不等式f(x)>e －3x 的解集是A.(0，＋∞)B.(1，＋∞)C.(－∞，0)D.(0，1)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020高考文科数学冲刺压轴典型试题七及答案解析(4页)
2020高考文科数学冲刺压轴典型试题七12．已知关于x 的不等式m cos x ≥2－x 2在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上恒成立，则实数m 的取值范围为( )A ．[3，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞) 答案 C解析 因为cos x 和x 2都是偶函数，问题可以转化为当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，m cos x ≥2－x 2恒成立，在同一坐标系中画出f (x )＝m cos x 及g (x )＝2－x 2的图象如图所示，易知m ≥2；当m ＝2时，f (x )＝2cos x ，f ′(x )＝－2sin x ，又g ′(x )＝－2x ，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2上，－2sin x ≥－2x 恒成立，故f (x )≥g (x )恒成立，故m ≥2，故选C. 16．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且AF →＝3FB →，抛物线的准线l 与x 轴交于点C ，AA 1⊥l 于点A 1，若四边形AA 1CF 的面积为123，则p 的值为________．答案 22解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 且不妨设x 1>0，y 1>0.由AF →＝3FB →得⎝⎛⎭⎪⎫p 2－x 1，－y 1＝3⎝⎛⎭⎪⎫x 2－p 2，y 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧p 2－x 1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p 2，－y 1＝3y 2.所以x 1＋3x 2＝2p ，①作BB 1⊥l 于点B 1，由抛物线的定义得 |AF |＝|AA 1|＝x 1＋p2， |BF |＝|BB 1|＝x 2＋p2，由|AF |＝3|BF |得x 1＋p 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2， 所以x 1－3x 2＝p .②由①②解得x 1＝3p 2，故y 21＝3p 2，y 1＝3p . S 四边形AA 1CF ＝12(|AA 1|＋|CF |)·y 1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋p 2＋p ·3p ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫3p 2＋p 2＋p ·3p ＝123 解得p ＝2 2.20．(2019·河南新乡三模)已知函数f (x )＝12x 2－(a ＋1)x ＋a ln x . (1)当a ＝－4时，求f (x )的单调区间；(2)已知a ∈(1,2]，b ∈R ，函数g (x )＝x 3＋bx 2－(2b ＋4)x ＋ln x ，若f (x )的极小值点与g (x )的极小值点相等，证明：g (x )的极大值不大于54.解 (1)当a ＝－4时，f (x )＝12x 2＋3x －4ln x ，定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x ＋3－4x ＝x 2＋3x －4x ＝(x －1)(x ＋4)x，当x ＞1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，则f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)； 当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，则f (x )的单调递减区间为(0,1)． (2)证明：f ′(x )＝x 2－(a ＋1)x ＋a x ＝(x －1)(x －a )x ， g ′(x )＝3x 2＋2bx －(2b ＋4)＋1x＝(x －1)[3x 2＋(2b ＋3)x －1]x. 令p (x )＝3x 2＋(2b ＋3)x －1，因为a ∈(1,2]，所以f (x )的极小值点为a ，则g (x )的极小值点为a ，所以p (a )＝0，即3a 2＋(2b ＋3)a －1＝0，即b ＝1－3a 2－3a 2a，此时g (x )的极大值为g (1)＝1＋b －(2b ＋4)＝－3－b ＝－3－1－3a 2－3a 2a ＝32a －12a －32.因为a ∈(1,2]，所以32a －12a －32≤32×2－12×2－32＝54.故g (x )的极大值不大于54.21．(2019·山西太原模拟一)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，其离心率为12，点P 是椭圆C 上任一点，且△PF 1F 2的面积的最大值为 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)若斜率不为0的直线与椭圆C 相交于M ，N 两个不同点，且OMPN 是平行四边形，证明：四边形OMPN 的面积为定值．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ c a ＝12，12×2bc ＝3，a 2＝b 2＋c 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，b ＝3，a ＝2，椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－3)＝0，∴x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k2. ∵四边形OMPN 是平行四边形，∴OP→＝OM →＋ON →， ∴x 0＝x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，∴y 0＝y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝6m3＋4k 2，∴64k 2m 24×(3＋4k 2)2＋36m 23×(3＋4k 2)2＝1，∴4m 2＝3＋4k 2， 此时Δ＝(8km )2－16(3＋4k 2)(m 2－3)＝48×3m 2＞0， ∴x 1＋x 2＝－2k m ，x 1x 2＝1－3m 2， ∴|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝31＋k2|m|，点O到直线MN的距离为d＝|m|1＋k2，∴S四边形OMPN＝d·|MN|＝3.。
2020届上海市高考冲刺压轴数学模拟试卷(有答案)(精品)
上海高考压轴卷 数 学I1.1.若集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x+1＞0}，则A∩B= ．2.若（x+a ）7的二项展开式中，含x 6项的系数为7，则实数a= ． 3.不等式2x 2﹣x ﹣1＞0的解集是________.4.如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为 ．5.设i 为虚数单位，复数，则|z|= ．6.已知P 是抛物线y 2=4x 上的动点，F 是抛物线的焦点，则线段PF 的中点轨迹方程是 ． 7.在直三棱柱111A B C ABC -中，底面ABC 为直角三角形，2BAC π∠=，11AB AC AA ===. 已知Ｇ与Ｅ分别为11A B 和1CC 的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点）. 若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的最小值为。
8.若f （x ）=（x ﹣1）2（x ≤1），则其反函数f ﹣1（x ）= ．9.某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研发相互独立，则至少有一种新产品研发成功的概率为 ．10.已知首项为1公差为2的等差数列{a n }，其前n 项和为S n ，则= ．11.已知函数y=Asin （ωx +φ），其中A ＞0，ω＞0，|φ|≤π，在一个周期内，当时，函数取得最小值﹣2；当时，函数取得最大值2，由上面的条件可知，该函数的解析式为 ．12.数列{2n﹣1}的前n 项1，3，7， (2)﹣1组成集合（n ∈N *），从集合A n 中任取k （k=1，2，3，…，n ）个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为T k （若只取一个数，规定乘积为此数本身），记S n =T 1+T 2+…+T n ，例如当n=1时，A 1={1}，T 1=1，S 1=1；当n=2时，A 2={1，3}，T 1=1+3，T 2=1×3，S 2=1+3+1×3=7，试写出S n = ．13.关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D=0是该方程组有解的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分且必要条件D．既非充分也非必要条件14.数列{a n}满足：a1=，a2=，且a1a2+a2a3+…+a n a n+1=na1a n+1对任何的正整数n都成立，则的值为（）A．5032 B．5044 C．5048 D．505015.某工厂今年年初贷款a万元，年利率为r（按复利计算），从今年末起，每年年末偿还固定数量金额，5年内还清，则每年应还金额为（）万元．A．B．C．D．16.设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B、C两点，过B作AC的垂线交x轴于点D，若点D到直线BC的距离小于a+，则的取值范围为（）A．（0，1） B．（1，+∞）C．（0，）D．（，+∞）三．解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2020年江苏省高考数学考前最后押题试卷(一)
2020年江苏省高考数学考前最后押题试卷（一）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合A ={1,3}，B ={x|x 2−2x <0}，则集合A ∩B =______．2. 已知复数z 满足3+4i z =i(i 为虚数单位)，则|z|=______．3. 某工生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产量之比为1：2：3.现用分层抽样的方法抽取1个容量为n 的样本，若样本中A 种型号的产品有8件，则样本容量n 的值为______．4. 如图是某算法的伪代码，输出的结果S 的值为______．5. 由于新冠肺炎疫情，江苏紧急抽调甲、乙、丙、丁四名医生支援武汉和黄冈两市，每市分配2名医生，则甲、乙两人恰好分配在同一个城市的概率为______．6. 已知双曲线x 23−y 2b 2=1的两条渐近线与直线x =√3围成正三角形，则双曲线的离心率为______． 7. 若函数y =sin(ωx +φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则ω的值为______．8. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n =pn 2−2n +q(p,q ∈R,n ∈N ∗)，若a 1与a 5的等差中项为8，则p +q =______．9. 如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为______．10. 若cosα=2cos(α+π4)，则tan(α+π8)=______．11. 长为2的三个全等的等边三角形摆放成如图形状，其中B ，D 分别为AC ，CE 的中点，N 为GD 与CF 的交点，则AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =______．12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆C ：(x +4)2+(y −a)2=16上两个动点，且AB =2√11，若直线l ：y =2x 上存在唯一的一个点P ，使得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数a 的值为______．13. 已知函数f(x)=x 3−ax +1，g(x)=3x −2，若函数F(x)={f(x),f(x)≥g(x)g(x),f(x)<g(x)有三个零点，则实数a 的取值范围是______．14. 在△ABC 中，若tanA tanB +tanA tanC =3，则sin A 的最大值为______．二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）15.如图，在△ABC中，已知sin2A−√2sinA⋅sinC=sin2(A+C)−sin2C.)的值；(1)求cos(B+π3(2)若D是BC边上一点，AD=5，AC=7，DC=3，求AB的长．16.如图，在三棱锥P−ABC中，PC⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=PC，E，F分别是PA，PC的中点．求证：(1)AC//平面BEF；(2)PA⊥平面BCE．17.如图，在市中心有一矩形空地ABCD，AB=100m，AD=75m.市政府欲将它改造成绿化景观带，具体方案如下：在边AD，AB上分别取点M，N，在三角形AMN内建造假山，在以MN为直径的半圆内建造喷泉，其余区域栽种各种观赏类植物．(1)若假山区域面积为400m2，求喷泉区域面积的最小值；(2)若MN=100m，求假山区域面积的最大值．18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，其右焦点F 到其右准线的距离为1，离心率为√22，A ，B 分别为椭圆Γ的上、下顶点，过点F 且不与x 轴重合的直线l 与椭圆Γ交于C ，D 两点，与y轴交于点P ，直线AC 与BD 交于点Q ．(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)当CD =85√2时，求直线l 的方程；(3)求证：OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值．19. 设f(x)=a(x −1)2−e x +ex ，g(x)=e x (x −1)+12ax 2−(a +e)x ，a ∈R ，其中e 为自然对数的底数(e =2.7182…)．(1)当a =e 时，求g(x)在(1,g(1))处的切线方程；(2)设F(x)=f(x)+g(x)，求F(x)的单调区间；(3)当x ≥1时，f(x)≤0恒成立，求a 的取值范围．20. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，b n =Sn a n (n ∈N ∗).若{b n }是公差不为0的等差数列，且b 2b 7=b 11． (1)求数列{b n }的通项公式；(2)证明：数列{a n }是等差数列；(3)记c n =Sn 2a n ，若存在k 1，k 2∈N ∗(k 1≠k 2)，使得c k 1=c k 2成立，求实数a 1的取值范围．21. 已知矩阵A =[2a 2b]，点P(3,−1)在矩阵A 对应的变换作用下得到点P′(3,5)． (1)求a 和b 的值；(2)求矩阵A 的特征值．22. 已知直线l 的参数方程为{x =2+12t y =m +√32t ，点P(1,2)在直线1上． (1)求m 的值；(2)以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 1：ρ=4与直线l 交于两点A 、B ，求|PA|⋅|PB|的值．23. 设a ，b ，c 都是正数，求证：(b+c)2a +(c+a)2b +(a+b)2c ≥4(a +b +c)．24. 已知直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长均相等，且∠BAD =60°，M 是侧棱DD 1的中点，N 是棱C 1D 1上的点．(1)求异面直线BD 1与AM 所成角的余弦值；(2)若二面角M −AC −N 的大小为π4，试确定点N 的位置．25.已知(1−x)2020=a0+a1x+a2x2+⋯+a2020x2020．(1)求a1+a2+⋯+a2020的值；(2)求1a0+1a1+1a2+⋯+1a2020的值．答案和解析1.【答案】{1}【解析】解：∵A={1,3}，B={x|0<x<2}，∴A∩B={1}．故答案为：{1}．可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．本题考查了列举法、描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】5【解析】解：∵3+4iz =i，∴z=3+4ii=(3+4i)(−i)−i2=4−3i，则|z|=√42+(−3)2=5．故答案为：5．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】48【解析】解：设出样本容量为n，∵由题意知产品的数量之比依次为1：2：3，∴11+2+3=8n，∴n=48，故答案为：48．设出样本容量，根据在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等得到比例式，解出方程中的变量n，即为要求的样本容量．本题主要考查分层抽样的应用，抽样选用哪一种抽样形式，要根据题目所给的总体情况来决定，若总体个数较少，可采用抽签法，若总体个数较多且个体各部分差异不大，可采用系统抽样，若总体的个体差异较大，可采用分层抽样．4.【答案】18【解析】解：模拟算法的运行过程，如下；i=1，S=2，S=2+1=3，i=3，S=3+3=6，i=5，S=6+5=11，i=7，S=11+7=18，i=9；终止循环，输出S=18．故答案为：18．模拟算法的运行过程，即可得出程序运行后输出的S值．本题考查了程序的运行问题，是基础题．5.【答案】16【解析】解：抽调甲、乙、丙、丁四名医生支援武汉和黄冈两市，每市分配2名医生，基本事件总数n=C42A22=12，甲、乙两人恰好分配在同一个城市包含的基本事件个数m=C22C22A22=2，甲、乙两人恰好分配在同一个城市的概率为p=mn =212=16．故答案为：16．基本事件总数n=C42A22=12，甲、乙两人恰好分配在同一个城市包含的基本事件个数m=C22C22A22=2，由此能求出甲、乙两人恰好分配在同一个城市的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】2√33【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．求出双曲线的渐近线方程，利用两条渐近线与直线x=√3围成正三角形，求出渐近线的倾斜角，然后求解离心率即可．【解答】解：双曲线x23−y2b2=1的两条渐近线与直线x=√3围成正三角形，所以双曲线的渐近线的倾斜角为30°和150°，所以√3=√33，所以b=1，所以c=2，所以双曲线的离心率为：e=ca =√3=2√33．故答案为：2√33．7.【答案】ω=4【解析】解：根据函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象，知A(5π24,y0)，C(11π24,−y0)，设x=a是其中一条对称轴，(b,0)是B，C的对称中心，则A关于x=a对称的点为B(2a−5π24,y0)，同时2a−5π24+11π242=b，即2a+6π24=2b，即2b−2a=π4，则b−a=π8，则T4=b−a=π8，即T=π2，则2πω=π2，则ω=4，故答案为：4．根据三角函数的对称性，利用对称轴和对称中心的关系建立方程，求出与周期的关系进行计算即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的对称性建立方程关系是解决本题的关键．8.【答案】2【解析】解：∵a1与a5的等差中项为8，故a3=8，设公差为d，则S n=n(a1+a n)2=n[a3−2d+a3+(n−3)d]2=n[16−(n−5)d]2=−12n2d+12(16+5d)n，∵S n=pn2−2n+q，∴{−12d=p12(16+5d)=−2q=0，解得p=2，q=0，∴p+q=2．故答案为：2．根据等差数列的前n项和S n，建立方程关系即可求p，q的值；本题主要考查数列通项公式的应用以及等差数列的前n项和S n的计算，要求熟练掌握相应的公式．9.【答案】2√3【解析】解：∵某种螺帽是由一个半径为R=2的半球体挖去一个正三棱锥P−ABD构成的几何体，该正三棱锥P−ABCD的底面三角形ABC内接于半球底面大圆，顶点P在半球面上，设BC中点为D，连结AD，过点P作P⊥平面ABC，交AD于O，则AO=PO=R=2，AD=3，∴AB=BC=2√3，∴S△ABC=12×2√3×3=3√3，∴被挖去的正三棱锥体积：V=13×PO×S△ABC=13×2×3√3=2√3．故答案为：2√3．设BC中点为D，连结AD，过点P作P⊥平面ABC，交AD于O，则AO=PO=R=2，AD=3，AB=BC=2√3，由此能求出被挖去的正三棱锥体积．本题考查正三棱锥体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．10.【答案】3(√2+1)【解析】解：∵cosα=2cos(α+π4)，∴cos(α+π8−π8)=2cos(α+π8+π8)，∴cos(α+π8)cosπ8+sin(α+π8)sinπ8=2cos(α+π8)cosπ8−2sin(α+π8)sinπ8，化为：cos(α+π8)cos π8=3sin(α+π8)sin π8， ∴tan(α+π8)=3tan π8， ∵tan π4=2tan π81−tan 2π8=1，解得tan π8=√2−1．∴tan(α+π8)=3√2−1=3(√2+1)，故答案为：3(√2+1)．cosα=2cos(α+π4)，可得cos(α+π8−π8)=2cos(α+π8+π8)，利用和差公式、同角三角函数基本关系式及其倍角公式即可得出．本题考查了和差公式、同角三角函数基本关系式及其倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 11.【答案】72【解析】解：由图可知∠FCD =∠GDC =60°，所以△NCD 为等边三角形，则ND =CD =NC ，即N 为GD 中点，连接GC ，则GC ⊥AE ，则AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CG ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CG ⃗⃗⃗⃗⃗ +CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CG⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2×1+0+1×2×cos120°+1×√3×cos30°=3−1+32=72， 故答案为：72．结合等边三角形性质得到N 为GD 中点，进而利用平面向量数量积的运算性质计算即可得到答案 本题考查平面向量数量积的运算，涉及等边三角形性质，数形结合思想，属于中档题．12.【答案】2或−18【解析】解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，AB 的中点M(x 1+x 22,y 1+y 22)，圆C ：(x +4)2+(y −a)2=16的圆心C(−4,a)，半径r =4，圆心C(−4,a)到AB 的距离|CM|=√16−11=√5，直线l ：y =2x 上存在唯一的一个点P ，使得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，设P(x,2x)，则(x 1−x,y 1−2x)+(x 2−x,y 2−2x)=(−4,a)，∴{x 1+x 2−2x =−4y 1+y 2−4x =a ，∴{x 1+x 22=x −2y 1+y 22=2x −a 2，∴M(x −2,2x +a 2)， ∴|CM|=√(x +2)2+(2x −a 2)2=√5，整理，得5x 2+(4−2a)x +a 24−1=0，∵直线l ：y =2x 上存在唯一的一个点P ，使得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴△=(4−2a)2−20(a 24−1)=0， 整理，得a 2+16a −36=0，解得a =2或a =−18．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，圆C ：(x +4)2+(y −a)2=16的圆心C(−4,a)，半径r =4，求出圆心C(−4,a)到AB 的距离为√5，设P(x,2x)，则(x 1−x,y 1−2x)+(x 2−x,y 2−2x)=(−4,a)，AB 中点M(x −2,2x +a 2)，|CM|=√(x +2)2+(2x −a 2)2=√5，从而5x 2+(4−2a)x +a 24−1=0，由直线l ：y =2x 上存在唯一的一个点P ，使得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，△=(4−2a)2−20(a 24−1)=0，由此能求出a ．本题考查实数值的求法，考查点到直线的距离公式、直线与圆相切、中点坐标公式等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．13.【答案】a >3518【解析】解：由题意可得f′(x)=3x 2−a ，当a ≤0时，函数f(x)在R 上单调递增，F(x)至多两个零点，不满足题意，当a >0时，令f′(x)=3x 2−a =0，解得x =±√a 3， 易得函数f(x)在(−∞,−√a 3)，(√a 3,+∞)上单调递增，在(−√a 3,√a3)上单调递减， 在同一坐标系中，分别作出函数f(x)，g(x)的图象，根据图象可知：当f(√a 3)>0时，F(x)有且仅有一个零点；当f(√a3)=0时，F(x)有且仅有一个零点；f(√a3)<0时，要使得F(x)有三个不同的零点，则f(23)<0，或者{f(23)≥0√a 3<23，解得a >3518．故答案为：a >3518．求导可得f′(x)=3x 2−a ，当a >0时，令f′(x)=3x 2−a =0，解得x =±√a3，在同一坐标系中，分别作出函数f(x)，g(x)的图象，根据图象可知：f(√a 3)<0时，要使得F(x)有三个不同的零点，则f(23)<0，或者{f(23)≥0√a 3<23，进而解得a 的范围． 本题主要考查了导数的性质及其应用，考查了分类讨论思想，属于中档题．14.【答案】√215【解析】 【分析】本题考查三角函数的切化弦，及两角和的正弦公式和诱导公式的运用，同时考查正弦定理和余弦定理的运用，属于中档题．运用切化弦和两角和的正弦公式及诱导公式，再由正弦定理、余弦定理，即可得答案． 【解答】解：在△ABC 中，tanAtanB +tanAtanC =3， ∴sinAcosBcosAsinB +sinAcosCcosAsinC =3． ∴sinA(cosBsinC+cosCsinB)cosAsinBsinC =3，即sinAsin(C+B)cosAsinBsinC =3，∴sin 2A cosAsinBsinC =3． 根据正弦定理得：a 2bccosA=3．∴a 2=3bccosA ．又根据余弦定理得：a 2=b 2+c 2−2bccosA ， ∴b 2+c 2−2bccosA =3bccosA ． ∴cosA =b 2+c 25bc≥2bc 5bc =25．当且仅当b =c 时等号成立， ∴cos 2A ≥425．∴1−sin 2A ≥425，即sin 2A ≤2125， ∴sinA ≤√215．故答案为：√215．15.【答案】解：(1)因为A+B+C=π，sin2A−√2sin A⋅sin C=sin2(A+C)−sin2C，所以由正弦定理可知BC2−√2BC⋅AB=AC2−AB2，BC2+AB2−AC2=√2BC⋅AB，cos B=BC2+AB2−AC22BC⋅AB =√22．因为在△ABC中，B∈(0,π)，所以B=π4．所以cos(B+π3)=cos B cos π3−sin B sin π3=√22×12−√22×√32=√2−√64．(2)由余弦定理可知，在△ACD中，cos C=DC2+AC2−AD22AC⋅DC =32+72−522×7×3=114，因为C∈(0,π)，所以sin C>0，sin C=√1−cos2C=5√314．由正弦定理可知，在△ABC中，ABsinC =ACsinB，所以5√314=√22，所以AB=5√62．【解析】(1)由已知结合正弦定理及余弦定理可求cos B，进而可求B，然后结合和差角公式即可求解；(2)由已知结合余弦定理可求cos C，然后结合同角平分关系可求sin C，然后结合正弦定理可求．本题主要考查了一下定理，正弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．16.【答案】证明：(1)∵E，F分别是PA，PC的中点，∴EF//AC，∵EF⊂平面BEF，AC⊄平面BEF，∴AC//平面BEF．(2)∵PC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PC⊥BC，∵AC⊥BC，AC∩PC=C，∴BC⊥平面PAC，∵PA⊂平面PAC，∴PA⊥BC，∵AC=PC，E是PA中点，∴CE⊥PA，∵CE∩BC=C，∴PA⊥平面BCE．【解析】(1)推导出EF//AC，由此能证明AC//平面BEF．(2)推导出PC⊥BC，AC⊥BC，从而BC⊥平面PAC，进而PA⊥BC，推导出CE⊥PA，由此能证明PA⊥平面BCE．本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间思维能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)设∠ANM=θ，θ∈(0 , π2)，半圆的直径MN=2r，半圆的圆心为O．在直角三角形AMN中，∠MAN=π2，∴AM=2rsinθ，AN=2rcosθ．∵假山区域面积为400m2，∴12AM⋅AN=12×2rsinθ×2rcosθ=r2sin2θ=400，∴r2=400sin2θ，∴喷泉区域面积S=π2r2=200πsin2θ≥200π，当且仅当sin2θ=1，即θ=π4时取等号，此时r=20．∵点O到CD的距离d1=AD−12AM，点O到BC的距离d2=AB−12AN，∴d1=75−rsinθ=75−10√2>20=r，即d1>r，d2=100−rcosθ=100−10√2>20=r，即d2>r．∴以MN为直径的半圆区域一定在矩形广场内．∴当θ=π4时，喷泉区域面积取得最小值200πm2．答：喷泉区域面积的最小值为200πm2．(2)由(1)知，若MN=100m，则2r=100，AM=100sinθ，AN=100cosθ．∴点O到CD的距离d1=75−rsinθ=75−50sinθ，点O到BC的距离d2=100−50cosθ，∵以MN为直径的半圆区域在矩形广场内，∴{d1≥rd2≥r，即{75−50sinθ≥50100−50cosθ≥50，∴sinθ≤12．又∵θ∈(0 , π2)，∴θ∈(0 , π6]．∴假山区域面积S=12AM⋅AN=12×100sinθ×100cosθ=2500sin2θ，∵θ∈(0 , π6],∴2θ∈(0 , π3],∴当θ=π6时，假山区域面积的最大值为1250√3m．答：假山区域面积的最大值为1250√3m．【解析】(1)设∠ANM=θ，θ∈(0 , π2)，半圆的直径MN=2r，半圆的圆心为O.可得AM=2rsinθ，AN=2rcosθ.由假山区域面积列式求得r2=400sin2θ，得到喷泉区域面积S=π2r2=200πsin2θ≥200π，此时θ=π4，r=20.求出点O到CD的距离与点O到BC的距离均大于r.可得以MN为直径的半圆区域一定在矩形广场内．得到当θ=π4时，喷泉区域面积取得最小值200πm2．(2)由(1)知，若MN =100 m ，则2r =100，AM =100sinθ，AN =100cosθ.分别求出点O 到CD 的距离d 1与点O 到BC 的距离d 2，由题意得{d 1≥r d 2≥r ，由此列式求得θ的范围，写出假山区域面积S ，利用三角函数求得最大值．本题考查根据实际问题选择函数模型，考查利用三角函数求最值，考查计算能力，是中档题． 18.【答案】(1)解：由题意可知{ a 2c −c =1e =c a =√22a >0 所以a =√2，c =1，所以b 2=a 2−c 2=1，所以椭圆的标准方程为x 22+y 2=1；(2)解：因为直线l 不与x 轴重合，所以斜率不为0． 因为l 过点F(1,0)，所以设直线l 的方程为x =my +1． 由{x =my +1x 22+y 2=1得(m 2+2)y 2+2my −1=0． 设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，则y 1+y 2=−2m m 2+2，y 1y 2=−1m 2+2，则CD 2=(m 2+1)(y 1−y 2)2=(m 2+1)[(y 1+y 2)2−4y 1y 2]=(m 2+1)[(−2mm 2+2)2−4⋅(−1m 2+2)]=8(m 2+1)2(m 2+2)2．因为CD =85√2，所以8(m 2+1)2(m 2+2)2=12825，得m 2=3，所以m =±√3， 所以直线l 的方程为x =±√3y +1；(3)证明：在x =my +1中令x =0得y =−1m ，所以P(0,−1m )，由(1)可得A(0,1)，B(0,−1)， 而直线AC 的方程为y −1=y 2−1x 2x ，直线BD 的方程为y +1=y 1+1x 1x.由此得到y Q =x 2y 1+x 2+x 1y 2−x1x 2y 1+x 2−x 1y 2+x 1=(my 2+1)y 1+(my 2+1)+(my 1+1)y 2−(my 1+1)(my 2+1)y 1+(my 2+1)−(my 1+1)y 2+(my 1+1)=2my 1y 2+y 1+y 2+m(y 2−y 1)m(y 1+y 2)+(y 1−y 2)+2(∗)．不妨设y 1>y 2，则y 1=−m+√2√m2+1m 2+2①，y 2=−m−√2√m2+1m 2+2②，所以y 1−y 2=2√2√m2+1m 2+2③.将①②③代入(∗)式，得 y Q =2m(−1m 2+2)+−2m m 2+2−m⋅2√2√m 2+1m 2+2m⋅(−2m m 2+2)+2√2√m 2+1m 2+2+2=√2m√m 2+12√2√m 2+1+4=−m ，所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1m )⋅(x Q ,y Q )=−y Q m =−−m m =1为定值．【解析】(1)由右焦点F 到其右准线的距离为1，离心率为√22，及a ，b ，c 之间的关系求出a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；(2)设直线l 的方程，与椭圆联立，求出两根之和及两根之积，进而求出弦长|CD|的表达式，由题意可得参数的值，进而写出直线l 的方程；(3)由(2)令x =0，可得P 的坐标，设直线AC ，BD 的方程，两式联立求出交点Q 的纵坐标，进而求出数量积OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值． 本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，及数量积的求法，属于中难题．19.【答案】解：(1)当a =e 时，g(x)=e x (x −1)+12ex 2−2ex ，g′(x)=e x (x −1)+e x +ex −2e ， g′(1)=e +e −2e =0， g(1)=e2−2e =−32e ，所以g(x)在(1,g(1))处的切线方程为y +3e 2=0，即y =−3e2．(2)F′(x)=f′(x)+g′(x)=2a(x −1)−e x +e +e x +ax −(a +e)=(x −1)(e x +3a)， ①当a ≥0时，e x +3a >0，所以当x >1时，F′(x)>0， ②当a <0时，F′(x)=0，得x =1，x =ln(−3a)， 若ln(−3a)=1，即a =−e3时，则F′(x)≥0恒成立， 所以F(x)单调递增区间为(−∞,+∞)， 若ln(−3a)<1时，即−e 3<a <0时，令F′(x)>0，解得x >1或x <ln(−3a)， 令F′(x)<0，解得ln(−3a)<x <1，所以F(x)单调递增区间为(−∞,ln(−3a))和(1,+∞)，单调递减区间(ln(−3a),1)， 若ln(−3a)>1时，即−e 3>a 时，令F′(x)>0，解得x <1或x >ln(−3a)， 令F′(x)<0，解得1<x <ln(−3a)，所以F(x)单调递增区间为(−∞,1)和(ln(−3a),+∞)，单调递减区间(1,ln(−3a))． (3)f′(x)=2a(x −1)−e x +e ，①当a ≥0时，则f′(x)在x ≥1时恒成立，所以f(x)在(1,+∞)上单调递减， 所以当x ≥1时，f(x)<f(1)=0， 所以当x ≥1时，f(x)≤0恒成立．②当a <0时，令φ(x)=f′(x)=0，则φ′(x)=2a −e x ， 当a ≤e2，即x ≥1时，φ′(x)<0，所以φ(x)单调递减， 所以φ(x)≤φ(1)=0，即f′(x)≤0，所以f(x)单调递减， 所以当x ≥1时，f(x)≤f(1)=0，恒成立，当a >e 2时，令φ′(x)=0，则x =ln2a >1，当x >ln2a 时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增， 因为φ(x)在(−∞,ln2a)上单调递增，且φ(1)=0，所以在(1,ln2a)上φ(x)>0，所以f′(x)>0，所以f(x)单调递增，所以当x∈(1,ln2a)时，f(x)>f(1)=0，不满足条件，所以a的取值范围是(−∞,e2].【解析】(1)当a=e时，g(x)=e x(x−1)+12ex2−2ex，求导数，进而得k切=g′(1)，所以切线方程为y−g(1)=k切(x−1)，化简即可得出答案．(2)求导得F′(x)=f′(x)+g′(x)=(x−1)(e x+3a)，分两种情况①当a≥0时，②当a<0时讨论函数单调性；在②中分若ln(−3a)=1，若ln(−3a)<1时，若ln(−3a)>1时，三种情况讨论单调性．(3)求导得f′(x)=2a(x−1)−e x+e，分两种情况①当a≥0时，②当a<0时，讨论函数f(x)单调性，最值，进而可得结论．本题考查切线方程，函数的单调性，恒成立问题，导数的几何意义，解题关键是利用分类讨论思想的应用，属于中档题．20.【答案】解：(1)设{b n}是公差不为0的等差数列的公差为d，由于b1=S1a1=1，所以b n=1+(n−1)d．由于b2b7=b11．所以(1+d)(1+6d)=1+10d，整理得2d2−d=0，所以d=12．故b n=12(n+1)．(2)由于b n=S na n (n∈N∗)．所以S na n =12(n+1)，则有2S n=(n+1)a n，①则2S n+1=(n+2)a n+1②，②−①得：2a n+1=(n+2)a n+1−(n+1)a n，所以a n+1n+1−a nn=0，所以数列{a nn}为常数列．则：a nn =a11=a1，所以a n=na1，所以a n+1−a n=a1．所以：数列{a n}是等差数列；(3)由于b n=S na n (n∈N∗)．所以S n=n+12a n=n(n+1)2a1，c n=S n2a n n(n+1)a12na n+1=n(n+1)a12na n+1，所以c n+1−c n=(n+2)(n+1)a12(n+1)a n+1+1−n(n+1)a12na n+1=(n+1)(n+2)a12na1+1(12n−nn+2)．当n∈N+时，nn+2=1−2n+2∈[13,1)．显然a1≠0，①若a1<0，则12a1>1，所以12a1−nn+2<0恒成立．所以：c n+1−c n<0，即c n+1<c n，所以数列{c n}为单调递减．不存在c k1=c k2成立．②若a1>log23，则121<13，所以121−nn+2<0恒成立．所以：c n+1−c n<0，即c n+1<c n，所以数列{c n}为单调递减函不存在c k1=c k2成立．③若a1=log23，则121=13，所以当n=1时，121−nn+2=0．故存在c1=c2．④当0<a1<log23，所以13<12a1<1．当n<221−1时，所以c n+1>c n，故数列{c n}为单调递增．当n>22a1−1时，所以c n+1<c n，故数列{c n}为单调递减．【解析】(1)直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式．(2)利用递推关系式的应用和等差数列的定义的应用求出数列为等差数列．(3)利用分类讨论思想的应用和存在性问题的应用及假设法的应用求出实数a1的取值范围．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的递推关系式的应用，分类讨论思想的应用，函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．21.【答案】解：(1)∵矩阵A=[2a2b]，点P(3,−1)在矩阵A对应的变换作用下得到点P′(3,5)．∴[2a2b ][3−1]=[35]，∴{6−a=36−b=5，解得a=3，b=1．(2)由(1)知A=[2321]，矩阵A特征行列式为f(λ)=∣∣∣λ−2−3−2λ−1∣∣∣=λ2−3λ−4，令f(λ)=0，得矩阵A的特征值为λ1=−1，λ2=4．【解析】(1)推导出[2a 2b ][3−1]=[35]，由此能求出a ，b ． (2)由A =[2321]，得矩阵A 特征行列式为f(λ)=∣∣∣λ−2−3−2λ−1∣∣∣=λ2−3λ−4，由此能求出矩阵A 的特征值．本题考查矩阵的性质和应用、特征值的计算，解题时要注意特征值与特征向量的计算公式的运用． 22.【答案】解：(1)由于点P(1,2)在直线1上． 直线l 的参数方程为{x =2+12ty =m +√32t, 故代入直线的参数方程得到：{1=2+12t2=m +√32t, 解得m =2+√3． (2)曲线C 1：ρ=4，由ρ2=x 2+y 2转换为直角坐标方程为：x 2+y 2=16， 由于圆与直线l 交于两点A 、B ，把直线的参数方程代入圆的方程得到：t 2+(5+2√3)t −5+4√3=0， 故：t 1t 2=4√3−5(t 1和t 2为A 、B 对应的参数)． 故：|PA|⋅|PB|=|t 1t 2|=4√3−5．【解析】本题考查直线的参数方程及简单曲线的极坐标方程． (1)直接把点的坐标代入直线的参数方程求出结果．(2)利用(1)的结论，把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果．23.【答案】证明：∵(b +c)2≥4bc ，(c +a)2≥4ac ，(a +b)2≥4ab ，当且仅当a =b =c 时取等号， ∴(b+c)2a +(c+a)2b +(a+b)2c ≥4bc a +4ac b+4ab c =4abc(1a 2+1b 2+1c 2)，由1a 2+1b 2≥2ab ，1b 2+1c 2≥2bc ，1a 2+1c 2≥2ac ，相加可得1a 2+1b 2+1c 2≥1ab +1bc +1ca ，当且仅当a =b =c 取得等号， 则4abc(1a 2+1b 2+1c 2)≥4(a +b +c)， 则(b+c)2a+(c+a)2b+(a+b)2c≥4(a +b +c)．【解析】运用基本不等式，得(b+c)2a+(c+a)2b+(a+b)2c≥4bc a+4ac b+4ab c，再推得1a 2+1b 2+1c 2≥1ab +1bc +1ca ，结合不等式的性质，即可得证．本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式和累加法，以及不等式的性质，考查推理能力，属于基础题． 24.【答案】解：(1)连结BD ，取AB 的中点E ，∵直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长均相等，∴底面ABCD 是菱形， ∵∠BAD =60°，∴△ABD 是正三角形，∴DE ⊥AB ，∵AB//DC ，∴DE ⊥DC ，∵直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，DD 1⊥平面ABCD ， ∴DD 1⊥DC ，DD 1⊥DE ，分别以直线DE ，DC ，DD 1为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 设直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，则D(0,0，0)，A(√3,−1,0)，B(√3,1，0)，C(0,2，0)，D 1(0,0，2)，M(0,0，1)， ∴BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,−1,2)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1，1)， 设异面直线BD 1与AM 所成角为θ，则cosθ=|BD1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2×√5=√105， ∴异面直线BD 1与AM 所成角的余弦值为√105．(2)由(1)知AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,3，0)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1，1)，设平面AMC 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3x +3y =0m⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3x +y +z =0，取y =1，得m ⃗⃗⃗ =(√3,1，2)，设N(0,λ,2)，0≤λ≤2，则CN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,λ−2,2)， 设平面ACN 的法向量n⃗ =(a,b ，c)， 则{n ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3a +3b =0n ⃗ ⋅CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ−2)b +2c =0，取b =1，得n ⃗ =(√3,1,2−λ2)，∵二面角M −AC −N 的大小为π4， ∴cos π4=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=2√2×√(1−λ2)2+4=√22，解得λ=2，∴当二面角M −AC −N 的大小为π4，点N 与点C 1重合．【解析】(1)连结BD ，取AB 的中点E ，底面ABCD 是菱形，△ABD 是正三角形，DE ⊥AB ，DE ⊥DC ，DD 1⊥DC ，DD 1⊥DE ，分别以直线DE ，DC ，DD 1为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BD 1与AM 所成角的余弦值．(2)求出平面AMC 的法向量和平面ACN 的法向量，利用向量法推导出当二面角M −AC −N 的大小为π4，点N 与点C 1重合．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查满足二面角的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 25.【答案】解：(1)(1−x)2020=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 2020x 2020． 令x =0，可得：a 0=1．令x =1，可得：0=a 0+a 1+a 2+⋯+a 2020，解得：a 1+a 2+⋯+a 2020=−1． (2)由(1−x)2020=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 2020x 2020．两边分别求导：2020(1−x)1999=a 1+2a 2x +⋯+2020a 2020x 1999，令x =0，可得a 1=2020=∁20201； 2020×1999(1−x)1998=2a 2+3×2a 3x +⋯+2020×199a 2020x 1998，令x =0，可得a 2=2020×19992=∁20202；……，可得：a k=2020×1999×……[2020−(k−1)]k!=∁2020k，……，∴1a k =1∁2020k=k!(2020−k)!2020!，∴1a0+1a1+1a2+⋯+1a2020=12020![2020!+1!×1999！+2！×1998！+⋯…+2020！]．【解析】(1)(1−x)2020=a0+a1x+a2x2+⋯+a2020x2020.令x=0，可得：a0.令x=1，可得：0=a0+ a1+a2+⋯+a2020，解得：a1+a2+⋯+a2020．(2)由(1−x)2020=a0+a1x+a2x2+⋯+a2020x2020.两边分别求导可得：1a k =1∁2020k=k!(2020−k)!2020!，进而得出结论．本题考查了二项式系数的性质、导数的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
2020年高考数学(理)终极押题卷(全解全析)
2020年高考数学（理）终极押题卷（全解全析）1．【答案】C 【解析】因为312iz i-=+，所以(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-，所以z ==C ．2．【答案】C【解析】由题得221,1,x y x y ⎧+=⎨+=⎩∴1,0,x y =⎧⎨=⎩或0,1,x y =⎧⎨=⎩则A ∩B ={(1,0),(0,1)}.故选C.3．【答案】B【解析】因为222131331()44244x x x x x -+=-++=-+≥，所以命题p 为真；1122,,22-<-<∴Q 命题q 为假，所以p q ∧⌝为真，故选B.4．【答案】D【解析】由图表可知：2012年我国实际利用外资规模较2011年下降，可知A 错误；2000年以来，我国实际利用外资规模总体呈现上升趋势，可知B 错误； 2008年我国实际利用外资同比增速最大，高于2010年，可知C 错误，D 正确.本题正确选项：D . 5．【答案】A【解析】Q 设等差数列{}n a 的公差为d ，()0d ≠，11a =，且2a ，3a ，6a 成等比数列，2326a a a ∴=⋅，()()()211125a d a d a d ∴+=++，解得2d =-，{}n a ∴前6项的和为616562S a d ⨯=+()65612242⨯=⨯+⨯-=-. 故选：A. 6．【答案】B【解析】由a r ∥b r得3(1)2233y x x y -=-⇒+=，因此3232231491()(12)(128333x y x y x y x y y x ++=+⋅=++≥+=，当且仅当49x y y x=时取等号，所以选B. 7．【答案】C【解析】()()()()555222x y x y x x y y x y +-=-+-，由()52x y -展开式的通项公式()()515C 2rrr r T x y -+=-可得：当3r =时，()52x x y -展开式中33x y 的系数为()3325C 2140⨯⨯-=-； 当2r =时，()52y x y -展开式中33x y 的系数为()2235C 2180⨯⨯-=，则33x y 的系数为804040-=.故选C. 8．【答案】C【解析】如图所示，直角三角形的斜边长为2251213+=， 设内切圆的半径为r ，则51213r r -+-=，解得2r =. 所以内切圆的面积为24r ππ=， 所以豆子落在内切圆外部的概率42P 111155122ππ=-=-⨯⨯，故选C ．9．【答案】C【解析】函数()f x 的图象如图所示，函数是偶函数，1x =时，函数值为0．()()44x x f x x -=+是偶函数，但是()10f ≠， ()()244log x x f x x -=-是奇函数，不满足题意． ()()244log x x f x x -=+是偶函数，()10f =满足题意；()()1244log x x f x x -=+是偶函数，()10f =，()0,1x ∈时，()0f x >，不满足题意．故选C 项． 10．【答案】B【解析】()f x 为[]3,3-上的偶函数，而xy a π=为[]3,3-上的偶函数，故()()sin g x x ωϕ=+为[]3,3-上的偶函数，所以,2k k πϕπ=+∈Z ．因为0ϕπ<<，故2ϕπ=，()()sin cos 2x xx x f x a a πωωππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==． 因()10f =，故cos 0ω=，所以2k πωπ=+，k ∈N ．因()02f =，故0cos 012a a π==，所以12a =． 综上，()21k aωπ=+，k ∈N ，故选B ．11．【答案】A【解析】设BC 的中点是E ，连接DE ，A ′E ， 因为AB ＝AD ＝1，BD， 由勾股定理得：BA ⊥AD ，又因为BD ⊥CD ，即三角形BCD 为直角三角形， 所以DE为球体的半径，2DE =，2432S ππ==， 故选A . 12．【答案】A【解析】由题可知2(31),0()2ln 1,0x m x f x mx x x -+≤++'⎧=⎨>⎩，当0x >时，令()0f x '=，可化为ln 12x m x +-=，令()ln 1x g x x +=，则()2ln xg x x-='，则函数()g x 在()0,1上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，()g x 的图象如图所示，所以当021m <-<，即12m -<<时，()0f x '=有两个不同的解；当0x ≤，令()0f x '=，3102m x +=<，解得13m <-，综上，11,23m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭.13．【答案】22【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，由3z x y =-可得3y x z =-，观察可知，当直线3y x z =-过点B 时，z 取得最大值，由2402x y y --=⎧⎨=⎩，解得82x y =⎧⎨=⎩，即(8,2)B ，所以max 38222z =⨯-=.故答案为：22. 14．【答案】乙【解析】根据甲与团支书的年龄不同，团支书比乙年龄小，得到丙是团支书， 丙的年龄比学委的大，甲与团支书的年龄不同，团支书比乙年龄小， 得到年龄从大到小是乙>丙>学委， 由此得到乙不是学委，故乙是班长． 故答案为乙． 15．【答案】985987【解析】由题1n a +＝n a +n +2，∴12n n a a n +-=+，所以213a a -=，324a a -=，435a a -=，…，()112n n a a n n --=+≥，上式1n -个式子左右两边分别相加得()()1412n n n a a +--=，即()()122nn n a ++=，当n =1时，满足题意，所以111212n a n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，从而12985111111111985 (22334986987987)a a a L +++=-+-++-=. 故答案为985987. 16．【答案】y x =±【解析】设12,PF m PF n == ,可得2m n a -= ,可得22224m mn n a -+=（1）, 在12PF F △中，由余弦定理可得2222242cos3c m n mn m n mn π=+-=+-（2），因为2PO b =，所以在1PFO △，2POF V 中分别利用余弦定理可得， ()2222221144cos ,44cos m c b b POF n c b b POF π=+-∠=+--∠,两式相加可得222228m n c b +=+ ,分别与（1）、（2）联立得22222222222284102,28462mn c b a b a mn c b c b a =+-=-=+-=-，消去mn 可得22a b =，a b = 所以双曲线的渐近线方程为by x a=±，即y x =±，故答案为y x =±.17．（12分）【解析】（1）因为sin sin sin sin sin B C b B c C a A A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，由正弦定理可得：22b c a a ⎫+=⎪⎭，即222b c a +-=，再由余弦定理可得2cos bc A =，即cos A =所以4A π=.（6分）（2）因为3B π=，所以()sin sin C A B =+=由正弦定理sin sin a b A B=，可得b =13sin 24ABC S ab C ∆+==.（12分） 18．（12分）【解析】（1）证明：连接AC ，因为PB PC =，E 为线段BC 的中点， 所以PE BC ⊥.又AB BC =，60ABC ∠=︒，所以ABC ∆为等边三角形，BC AE ⊥. 因为AE PE E ⋂=，所以BC ⊥平面PAE ，又BC ⊂平面BCP ，所以平面PAE ⊥平面BCP .（5分） （2）解：设AB PA a ==，则PB PC ==，因为222PA AB PB +=，所以PA AB ⊥，同理可证PA AC ⊥，所以PA ⊥平面ABCD .如图，设AC BD O ⋂=，以O 为坐标原点，OB uuu v的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -.易知FOA ∠为二面角A BD F --的平面角，所以3cos 5FOA ∠=，从而4tan 3FOA ∠=.由432AFa=，得23AF a=.又由20,,23a a F⎛⎫-⎪⎝⎭，3,0,02B a⎛⎫⎪⎪⎝⎭，知32,,223a a aBF⎛⎫=--⎪⎪⎝⎭u u u v，20,,23a aOF⎛⎫=-⎪⎝⎭u u u v.设平面BDF的法向量为(),,n x y z=v，由n BF⊥u u u vv，n OFu u u vv⊥，得3223223a a ax y za ay z⎧--+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，不妨设3z=，得()0,4,3n=v.又0,,2aP a⎛⎫-⎪⎝⎭，3,0,0D a⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，所以3,,2a aPD a⎛⎫=--⎪⎪⎝⎭u u u v.设PD与平面BDF所成角为θ，则222232sin1031544n PD a an PDa a aθ⋅-===++u u u vvu u u vv.所以PD与平面BDF所成角的正弦值为210.（12分）19．（12分）【解析】（1）依题意得33,2cc aa==⇒=，又2231a b b-=⇒=∴椭圆C的方程为2214xy+=.（4分）（2）设直线l 的方程为()0y kx m m =+≠，()()1122,,,M x y N x y由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()()222148410k x kmx m +++-=， ∴()2121222418,1414m km x x x x k k--+==++. 由题设知()()12212121212kx m kx m y y k k k x x x x ++=== ()212212km x x m k x x ++=+， ∴()2120km x x m ++=，∴22228014k m m k-+=+， ∵0m ≠，∴214k =. 此时()()()222221212224184,211414m km x x m x x m k k --⎛⎫+====- ⎪++⎝⎭则2222222222121122121144x x OM ON x y x y x x +=+++=+-++-()()2221212123322244x x x x x x ⎡⎤=⨯++=+-+⎣⎦()223441254m m ⎡⎤=--+=⎣⎦ 故直线l 的斜率为221,52k OM ON =±+=.（12分）20．（12分）【解析】（1）由频率分布直方图可知一台电脑使用时间在(]4,8上的概率为：()20.140.0620.45p =+⨯==， 设“任选3台电脑，至少有两台使用时间在(]4,8”为事件A ，则 ()23233323244·555125P A C C ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（4分） （2）（ⅰ）由a bxy e +=得ln y a bx =+，即t a bx =+，10110221110ˆ0i i i ii x t xtbx x =-=-=-∑∑279.7510 5.5 1.90.338510 5.5-⨯⨯==--⨯()1.90.3 5.53ˆ.55a=--⨯=，即0.3 3.55t x =-+，所以0.3 3.55ˆx y e -+=.（8分） （ⅱ）根据频率分布直方图对成交的二手折旧电脑使用时间在(]0,2，(]2,4，(]4,6，(]6,8，(]8,10上的频率依次为：0.2，0.36，0.28，0，12，0.04：根据（1）中的回归方程，在区间(]0,2上折旧电脑价格的预测值为 3.550.31 3.2526e e -⨯=≈， 在区间(]2,4上折旧电脑价格的预测值为 3.550.33 2.6514e e -⨯=≈， 在区间(]4,6上折旧电脑价格的预测值为 3.550.35 2.057.8e e -⨯=≈， 在区间(]6,8上折旧电脑价格的预测值为 3.550.37 1.45 4.3e e -⨯=≈， 在区间(]8,10上折旧电脑价格的预测值为 3.550.390.85 2.3e e -⨯=≈， 于是，可以预测该交易市场一台折旧电脑交易的平均价格为：0.2260.36140.287.80.12 4.30.04 2.313.032⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（百元）故该交易市场收购1000台折旧电脑所需的的费用为： 100013.0321303200⨯=（元）（12分） 21．（12分）【解析】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 又221(1)[(1)]()1a a x x a f x x x x '----=-++=， 由()0f x '=，得1x =或1x a =-.当2a >即11a ->时，由()0f x '<得11x a <<-，由()0f x '>得01x <<或1x a >-；当2a =即11a -=时，当0x >时都有()0f x '≥；∴当2a >时，单调减区间是()1,1a -，单调增区间是()0,1，()1,a -+∞；当2a =时，单调增区间是()0,+?，没有单调减区间；（5分） （2）当21a e =+时，由（1）知()f x 在()21,e 单调递减，在()2,e +∞单调递增.从而()f x 在[)1,+∞上的最小值为22()3f e e =--. 对任意[)11,x ∈+∞，存在[)21,x ∈+∞，使()()2212g x f x e ≤+，即存在[)21,x ∈+∞，使的值不超过()22f x e +在区间[)1,+∞上的最小值23e -.由222e 32e e 3xmx --+≥+-得22xmx e e +≤，22xe e m x-∴≤. 令22()xe e h x x-=，则当[)1,x ∈+∞时，max ()m h x ≤. ()()()22223222()x x x x e x e e xxe e e h x x x ---+-'==-Q ，当[1,2]x ∈时()0h x '<；当[2,)x ∈+∞时，()22e 20xxxx xe exee +->-≥，()0h x '<.故()h x 在[1,)+∞上单调递减，从而2max ()(1)h x h e e ==-,从而实数2m e e ≤-得证.（12分） 22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）【解析】（1）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=.（4分）（2）由题意，可设点P的直角坐标为,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即为P 到2C 的距离()d α的最小值，π()sin()2|3d αα==+-.当且仅当π2π()6k k α=+∈Z 时，()d αP 的直角坐标为31(,)22.（10分）23．[选修4−5：不等式选讲]（10分）【解析】（1）由题意， ()2,12,112,1x f x x x x -≤-⎧⎪=-⎨⎪≥⎩＜＜，①当1x ≤-时，()21f x =-＜，不等式()1f x ≥无解； ②当11x -＜＜时，()21f x x =≥，解得12x ≥，所以112x ≤＜． ③当1x ≥时，()21f x =≥恒成立，所以()1f x ≥的解集为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．（5分）（2）当x ∈R 时，()()11112f x x x x x =+--≤++-=； ()()222222g x x a x b x a x b a b =++-≥+--=+．而()()()22222222222a b a b a b a b ab a b ++⎛⎫+=+-≥+-⨯== ⎪⎝⎭， 当且仅当1a b ==时，等号成立，即222a b +≥，因此，当x ∈R 时， ()()222f x a b g x ≤≤+≤，所以，当x R ∈时， ()()f x g x ≤．（10分）。
2020年高考数学临考押题卷(山东专版)(解析版)
2020年高考临考押题卷（六）数学（山东卷）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题1．设集合(){}30S x x x =-≤，1112x T x -⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则S T =U ( )A ．[)0,+∞B ．(]1,3C ．[)3,+∞D ．(](),01,-∞+∞U 【答案】D【解析】Q (){}30S x x x =-≤{|3x x =≥或}0x ≤， 1112x T x -⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭{}|1x x =>，{|0S T x x ∴⋃=≤或}1x >(](),01,=-∞⋃+∞，故选D.2．设312iz i-=+，z 的虚部是（ ） A ．75i B ．75C ．75i -D ．75-【答案】B 【解析】因为()()()()31231717=121212555i i i i z i i i i ----===-++- 所以z 的虚部是75故选：B3．三位女歌手和她们各自的指导老师合影，要求每位歌手与她们的老师站一起，这六人排成一排，则不同的排法数为（ ） A ．24 B ．48C ．60D ．96【答案】B【解析】先将三位女歌手和她们各自的指导老师捆绑在一起，记为三个不同元素进行全排，再将各自女歌手和她的指导老师进行全排，则不同的排法数3222322248N A A A A ==，4．在△ABC 中,AB c AC b ==u u ur r u u u r r ,若点D 满足3,BC BD =-u u u r u u u r 则AD =u u ur （ ）A ．4133c b -r rB ．1334c b -r rC ．4133c b -+r rD ．3143c b -+r r【答案】A【解析】ABC ∆中，点D 满足3BC BD =-u u u r u u u r ，AB c =u u ur r ，AC b =u u u r r ，则1141()33333413AD AB BD AB BC AB AC c A AC b B AB =+=-=--=--=r r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 5．关于函数tan |||tan |y x x =+有下述四个结论：①y 是偶函数；②y 在(,0)2π-上是减函数；③y 在[,]-ππ上有三个零点；④y 的最小值是0.其中所有正确结论编号是（ ）A ．①②④B ．②③C ．①③D ．①④【答案】A【解析】作出函数()tan |||tan |f x x x =+的图象如图，由图可知，()()tan |||tan |tan |||tan |()f x x x x x f x -=-+-=+=，故()f x 是偶函数，故①正确；()f x 在区间(,0)2π-上单调递减，故②正确；y 在[,]-ππ上有无数个零点，故③错误；y 的最小值是0.，故④正确．故选：A ．6．已知函数()422(1)f x x ax a x =-++-为偶函数，则()f x 的导函数()f x '的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】函数()()4221f x x ax a x =-++-为偶函数，则()()f x f x -=，即：()()42422121x ax a x x ax a x -+--=-++-，据此可得：10,1a a -=∴=，函数的解析式为：()422f x x x =-+，其导函数()3'44f x x x =-+，二阶导函数()()22''124431f x x x =-+=--，()'f x 在3,3⎛-∞- ⎝⎭ 递减，在3333⎛- ⎝⎭递增，在3⎫∞⎪⎪⎝⎭递减，所以 函数()'f x 的极大值为：33338'44329f =-=<⎝⎭， 观察所给的函数图象，只有A 选项符合题意.7．已知1F 、2F 分别是双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的上、下焦点，过点2F 的直线与双曲线的上支交于点P ，若过原点O 作直线2PF 的垂线，垂足为M ，OM a =，23PMF M=，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．53y x =±B ．35y x =±C ．43y x =±D ．34y x =?【答案】D【解析】由题意，在直角2OMF ∆中，可得2F M b ==，所以21cos b PF F c∠=， 又因为23PMF M=，所以3PM b =，所以24PF b =，且142PF b a =-， 在12PF F ∆中，由余弦定理可得222212121212cos 2PF F F PF b PF F c PF F F +-∠==⨯⨯()()()2224242242b c b a b c+--=⨯⨯，代入222+=a b c ，解得34a b =， 所以双曲线的渐近线方程为34y x =?. 8．已知k ∈R ，函数()()2322,11,1x x kx k x f x x k e e x ⎧-+≤⎪=⎨--+>⎪⎩，若关于x 的不等式()0f x ≥在x ∈R 上恒成立，则k 的取值范围为（ ）A ．20,e ⎡⎤⎣⎦B ．22,e ⎡⎤⎣⎦C ．[]0,4D ．[]0,3【答案】D【解析】（1）当1x ≤时,()222f x x kx k =-+，∴()f x 的对称轴为x k =,开口向上①当1k <时,()f x 在(),k -∞递减,(),1k 递增 ∴当x k =时,()f x 有最小值,即()0f k ≥,∴01k ≤< ②当1k ³时,()f x 在(),1-∞上递减 ∴当1x =时,()f x 有最小值,即()10f ≥ ∴10≥显然成立,此时1k ³， ∴当1x ≤时, 0k ≥.（2）当1x >时,()()31xf x x k e e =--+,∴()()xf x x k e '=-①当1k ≤时,()f x 在()1,+∞上递增∴()()310f x f ke e >=-+≥,∴2k e ≤,∴此时1k ≤.②当1k >时,()f x 在()1,k 递减,()k +∞递增∴()()30kf x f k e e ≥=-+≥,∴3k ≤,∴此时13k <≤∴当1x >时, 3k ≤. 综上：0k ≤≤3. 二、多选题9．下列判断正确的是（ ） A ．若随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，()40.79P ξ≤=，则()20.21P ξ≤-=；B ．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的充要条件；C ．若随机变量ξ服从二项分布：14,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭:，则()1E ξ=； D ．5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含23x y 项的系数为20. 【答案】AC【解析】对于A ，随机变量ξ服从正态分布2(1,)N σ，所以图象关于1x =对称，根据(4)0.79P ξ=…，可得(4)1(4)0.21P P ξξ=-=厔， 所以(2)(4)0.21P P ξξ-==剠，故A 正确； 对于B ，直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，若//αβ，则l m ⊥是真命题；若l m ⊥，则//αβ是假命题； 所以“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件”， 故B 错误；对于C ，随机变量ξ服从二项分布：1~(4,)4B ξ，则1()414E ξ=⨯=，故C 正确；对于D ，若5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则展开式的通项为()515122rrr r T C x y -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令3r =，则()232334502212T y x y C x ⎪=⎛-⎫=- ⎝⎭，故D 错误． 10．已知0a >，0b >，给出下列四个不等式，其中正确的不等式为（ ）A ．a b++≥ B ．()114a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭；C．124aa+≥-+；D22a b≥+【答案】ABCD【解析】对A，0,0,a b a b>>∴+≥≥= Q，当且仅当a b=⎧⎪⎨=⎪⎩，即a b==时，等号成立.故A正确；对B，()110,0,224b aa b a ba b a b⎛⎫>>∴++=++≥+=⎪⎝⎭Q，当且仅当b aa b=，即a b=时等号成立. 故B正确；对C，10,024a aa>∴+>≥-+Q，故C正确；对D，()()()()()()2222233220,0,0a b a b ab a b a b a b a b a ab b>>∴+-+=--=-++≥Q，()()()()2222222222a ba b ab a b a b a bab+∴+≥+∴≥+≥+，，.故D正确.11．将曲线()23sin sin2y x x xππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭上每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到()g x的图象，则下列说法正确的是（）A．()g x的图象关于直线23xπ=对称B．()g x在[]0,π上的值域为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．()g x的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称D．()g x的图象可由1cos2y x=+的图象向右平移23π个单位长度得到【答案】ABD【解析】()231cos2sin sin cos22xy x x x x xππ-⎛⎫=-+=+⎪⎝⎭1112cos2sin22262x x xπ⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭.()1sin 62g x x π⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭，对于A ，当23x π=时，62x ππ-=，()g x ∴关于直线23x π=对称，A 正确；对于B ，当[]0,x π∈时，7,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，1sin ,162x π⎛⎫⎡⎤∴-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()30,2g x ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，B 正确； 对于C ，当6x π=时，06x π-=，162g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()g x ∴关于点1,62π⎛⎫⎪⎝⎭对称，C 错误； 对于D ，1cos 2y x =+向右平移23π个单位得：21cos 32y x π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭cos 62x ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭()11sin 262x g x π⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，D 正确. 12．如图，已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，2PA AB =，则下列结论中正确的是（ ）A ．PB AE ⊥B ．平面ABC ⊥平面PBC C ．直线//BC 平面PAED ．45PDA ∠=︒【答案】AD【解析】对于A ，PA ⊥Q 平面ABC ，AE ⊂平面ABC ，PA AE ∴⊥， 又底面ABCDEF 为正六边形，AE AB ∴⊥，AB PA A ⋂=Q ，,AB PA ⊂平面PAB ，AE ∴⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ，PB AE ∴⊥，A 正确；对于B ，PA ⊥Q 平面ABC ，PA ⊂平面PAE ，∴平面PAE ⊥平面ABC ， 同理可得：平面PAB ⊥平面ABC ，则在五棱锥P ABCDE -中，只有侧面PAE ､侧面PAB 与底面ABC 垂直，B 错误； 对于C ，//BC AD Q ，AD ⋂平面PAE A =，BC ∴与平面PAE 也相交，C 错误； 对于D ，2PA AB =Q ，底面ABCDEF 为正六边形，22AD BC AB ∴==，∴在Rt PAD V 中，PA AD =，45PDA ∴∠=o ，D 正确.三、填空题13．过原点()0,0作函数()322f x x x =+图象的切线，则切线方程为______．【答案】0y =或0x y +=【解析】()322f x x x =+,则2()34f x x x '=+,设切点为32000(,2)x x x +,则切线的斜率2000()34k f x x x '==+, 故切线方程为:3200(2)y x x -+=2000(34)()x x x x +-, 因为切线过点(0,0),所以3200(2)x x -+=2000(34)()x x x +-, 即320002200x x x +=⇒=或01x =-,故当00x =时,切线方程为0y =, 当01x =-时,切线方程为0x y +=, 14．若二项式（x ﹣）6（a ＞0）的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B ，若B=4A ，则a 的值是 _________ ．【答案】2 【解析】 展开式的通项为令得r=2， 所以A= 令得r=4， 所以B=∵B=4A ，即=4，解得a=215．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius ）在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆. 已知直角坐标系中(20)A -，，0(2)B ，，动点P 满足(0)PA PB λλ=>，若点P 的轨迹为一条直线，则λ=______；若2λ=，则点P 的轨迹方程为_______________；【答案】1 22332040x y x +-+=【解析】设(),P x y ，由222PA PB PA PB λλ=⇒=，()()()2222221141440x yx λλλλ-+-+++-=，1λ=时，轨迹方程为0x =，表示直线，2λ=时，轨迹方程为22332040x y x +-+=，16．函数y=f （x ），x ∈[1，+∞），数列{a n }满足()*n a f n n N ，=∈，①函数f （x ）是增函数； ②数列{a n }是递增数列．写出一个满足①的函数f （x ）的解析式______．写出一个满足②但不满足①的函数f （x ）的解析式______． 【答案】f （x ）=x 2 ()24()3f x x =-【解析】由题意可知：在x ∈[1，+∞）这个区间上是增函数的函数有许多，可写为：f （x ）=x 2．第二个填空是找一个数列是递增数列，而对应的函数不是增函数，可写为：()243f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 则这个函数在[1，43]上单调递减，在[43，+∞）上单调递增， ∴()243f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[1，+∞）上不是增函数，不满足①． 而对应的数列为：243n a n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在n ∈N*上越来越大，属递增数列．四、解答题17．已知a ，b ，c 分别为锐角ABC V 内角A ，B ，C 的对边，2sin a B =. （1）求角A ；（2）若6a =，求ABC V 面积的最大值.【答案】（1）3A π=（2）【解析】（1）由题意，在ABC V 中，因为2sin a B =根据正弦定理，可得2sin sin A B B ，因为ABC V 是锐角三角形，可得sin 0B >，所以2sin A =sin A =， 又由三角形是锐角三角形，则(0,)2A π∈，所以3A π=.（2）由（1）和三角形的面积公式，可得1sin 24ABC S bc A ==△， 由余弦定理得2221236cos 222b c a bc A bc bc+--==≥， 所以036bc <≤（当且仅当6b c ==时等号成立），所以ABC S V 36=18．已知各项均为正数的数列{}n a ，满足()22*1120n n n n a a a a n N++--=∈，且12a=．()1求数列{}n a 的通项公式；()2设12n n n b a log a =⋅，若nb 的前n 项和为n S ，求n S ；()3在()2的条件下，求使1250n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值．【答案】（1）2nn a =； （2）()n 11n 22+-⋅-； （3）5.【解析】()2211120n n n n a a a a Q ++--=，()()1120n n n n a a a a ++∴+-=，Q 数列{}n a 的各项均为正数，10n n a a +∴+>， 120n n a a +∴-=，即()*12n n a a n N+=∈，∴数列{}n a 是以2为公比的等比数列．12a =Q ，∴数列{}n a 的通项公式2n n a =；()2由()1及12n n n b a log a =得，2n nb n =-⋅，n 12n S b b b =++⋯+Q ，23n 22232n 2n S ∴=--⋅-⋅-⋯-⋅ ①()2345n n 1n 2S 2223242n 12n 2+∴=--⋅-⋅-⋅-⋯--⋅-⋅ ②-②①得，2345n n 1n S 222222n 2+=+++++⋯+-⋅()()n n 1n 1212n 21n 2212++-=-⋅=-⋅--；()3要使n 1n S n 250++⋅>成立，只需n 12250+->成立， 即n 1252+>，n 5∴≥．∴使n 1n S n 250++⋅>成立的正整数n 的最小值为5．19．如图 1，在直角梯形ABCD 中， //,AB CD AB AD ⊥，且112AB AD CD ===．现以AD 为一边向外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使ADEF 平面与平面ABCD 垂直， M 为ED 的中点，如图 2．（1）求证： //AM 平面BEC ； （2）求证： BC ⊥平面BDE ； （3）求CD 与平面BEC 所成角的正弦值.【解析】(1)证明：取中点，连结.在中，分别为的中点，所以,且. 由已知,所以四边形为平行四边形.所以. 又因为平面,且平面，所以平面.(2)证明：在正方形中， ,又因为平面平面，且平面ADEF I 平面ABCD AD =, 所以平面.所以在直角梯形中，,可得. 在中，.所以. 所以平面.(3)作于点，连接,则为所求的角由(2)知，所以,又因为平面又.所以，.20．已知椭圆C ：()222210y x a b a b +=>>的短轴长为2，且椭圆C 过点212⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 过定点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，且斜率为1k -，若椭圆C 上存在A ，B 两点关于直线l 对称，求k 的取值范围.【解析】（1）∵椭圆C 的短轴长为2，∴22b =，即1b =.又点212⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭在C 上，∴21112a +=，∴22a =，∴椭圆C 的方程为2212y x +=.（2）由题意设直线AB 的方程为()0y kx mk =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ，由2212y x y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得，()2222220k x kmx m +++-=， ∴>0∆，即222m k -<，① 且1222kmx x k 2+=-+， ∴线段AB 中点的横坐标022km x k =-+，纵坐标00222my kx m k =+=+， 即线段AB 的中点为222,22km m k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭， 将222,22km m k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭代入直线112y x k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭可得，222k m k+=-，② 由①，②可得，223k >，∴,33k ⎛⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U . 21．已知函数()(2)(2)x f x ax e e a =---. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当1x >时，()0f x >，求a 的取值范围.【解析】（1）()()2x f x ax a e =-+'，当0a =时，()20xf x e '=-<，∴()f x 在R 上单调递减.当0a >时，令()0f x '<，得2a x a -<；令()0f x '>，得2ax a->. ∴()f x 的单调递减区间为2,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间为2,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 当0a <时，令()0f x '<，得2a x a ->；令()0f x '>，得2ax a-<. ∴()f x 的单调递减区间为2,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调递增区间为2,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. （2）当0a =时，()f x 在()1,+∞上单调递减，∴()()10f x f <=，不合题意.当0a <时，()()()()22222222220f a e e a a e e e e =---=--+<，不合题意.当1a ≥时，()()20xf x ax a e '=-+>，()f x 在()1,+∞上单调递增，∴()()10f x f >=，故1a ≥满足题意. 当01a <<时，()f x 在21,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，∴()()min 210a f x f f a -⎛⎫=<=⎪⎝⎭，故01a <<不满足题意.综上，a 的取值范围为[)1,+∞.22．有一片产量很大的水果种植园，在临近成熟时随机摘下某品种水果100个，其质量（均在l 至11kg ）频数分布表如下（单位: kg ）：以各组数据的中间值代表这组数据的平均值，将频率视为概率.（1）由种植经验认为，种植园内的水果质量Z 近似服从正态分布()2,N Sμ，其中μ近似为样本平均数2,Z S 近似为样本方差222.1S ≈.请估算该种植园内水果质量在()4,8.2内的百分比；（2）现在从质量为[1,3),[3,5),[5,7) 的三组水果中用分层抽样方法抽取14个水果，再从这14个水果中随机抽取3个．若水果质量[1,3),[3,5),[5,7)的水果每销售一个所获得的的利润分别为2元，4元，6元，记随机抽取的3个水果总利润为ξ元，求ξ的分布列及数学期望. 附：Z ()2,N Sμ~，则()0.6826,(22)0.9544P S Z S P S Z S μμμμ-<<+=-<<+=.【解析】（1）20.140.1560.4580.2100.1 6.1Z =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ，()2,Z N Sμ: ，μ近似为Z ，222.1S ≈，由正态分布P(4Z 8.2)P(μσZ μσ)0.6826<<=-<<+=，所以该种植园内水果质量在()4,8.2内的百分比为68.26%. （2）ξ的可能取值为：8,10,12,14,16，18.()2123314C C 3P ξ8C 364===；()21122923314C C C C 15P ξ10C 364+===；()11132393314C C C C 55P ξ12C 364+===； ()21123929314C C C C 99P ξ14C 364+===； ()1239314C C 108P ξ16C 364===； ()39314C 84P ξ18C 364=== ；分布列为E ξ15364364364364364364364=+++++==.。
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目录2020年高考数学（理）终极押题卷（试卷） (2)2020年高考数学（文）终极押题卷（试卷） (8)2020年高考数学（理）终极押题卷（全解全析） (14)2020年高考数学（文）终极押题卷（全解全析） (24)2020年高考数学（理）终极押题卷（试卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设3i12iz -=+，则z =A ．2B CD ．12．已知集合A ={（x ，y ）|x ，y 为实数，且x 2+y 2=1}，B =|（x ，y ）|x ，y 为实数，且x +y =1}，则A ∩B 的元素个数为 A ．4B ．3C ．2D ．13．已知命题2000:,10p x x x ∃∈-+≥R ；命题:q 若a b <，则11a b>，则下列为真命题的是 A ．p q ∧ B ．p q ∧⌝ C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝4．下图给出的是2000年至2016年我国实际利用外资情况，以下结论正确的是A ．2010年以来我国实际利用外资规模逐年增大B ．2000年以来我国实际利用外资规模与年份呈负相关C ．2010年我国实际利用外资同比增速最大D ．2008年我国实际利用外资同比增速最大5．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0，若2a ，3a ，6a 成等比数列，则数列{}n a 的前6项的和6S 为 A ．24-B ．3-C ．3D ．86．已知向量(3,2)a =-v，(,1)b x y =-v 且a v ∥b v ，若,x y 均为正数，则32x y+的最小值是A ．24B ．8C ．83D ．537．(x +y )(2x −y )5的展开式中x 3y 3的系数为 A ．-80 B ．-40C ．40D ．808．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 A ．215πB ．320π C ．2115π-D ．3120π-9．已知函数()f x 的图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能是A ．()()=44xxf x x -+ B ．()()244log x x f x x -=-C ．()2()44log||x xf x x -=+D ．()12()44log x xf x x -=+ 10．已知函数sin()()xx f x a ωϕπ+=(0,0,)a ωϕπ><<∈R ，在[]3,3-的大致图象如图所示，则aω可取A ．2πB ．πC ．2πD ．4π11．如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，BD =，BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，若四面体A BCD '-的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为A ．3πB．2C ．4πD．412．若函数22(31)3,0()ln ,0x m x x f x mx x x x ⎧-++≤=⎨+>⎩恰有三个极值点，则m 的取值范围是 A ．11,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．11,2⎛⎫--⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知实数,x y 满足24020x y y x y --≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =-的最大值为_______.14．甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是团支书，一位是学习委员，已知丙比学习委员的年龄大，甲与团支书的年龄不同，团支书比乙的年龄小，据此推断班长是_______． 15．数列{}n a 满足13a =，且对于任意的*n N ∈都有111n n a a a n +=++-，则12985111a a a +++=L ______. 16．已知双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，C 上存在一点满足123F PF π∠＝，且P 到坐标原点的距离等于双曲线C 的虚轴长，则双曲线C 的渐近线方程为__________．三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，sin sin sin sin sin B C b B c C a A A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭. （1）求A 的大小； （2）若a =π3B =，求ABC △的面积. 18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，PB PC =，E 为线段BC 的中点，F 为线段PA 上的一点.（1）证明：平面PAE ⊥平面BCP .（2）若2PA AB PB==，二面角A BD F --的余弦值为35，求PD 与平面BDF 所成角的正弦值. 19．（12分）已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的一个焦点与抛物线2y = （1）求椭圆C 的标准方程；（2）不过原点的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，若三直线OM 、l 、ON 的斜率与1k ，k ，2k 点成等比数列，求直线l 的斜率及22||||OM ON +的值.20．（12分）近年来，随着网络的普及，数码产品早已走进千家万户的生活，为了节约资源，促进资源循环利用，折旧产品回收行业得到迅猛发展，电脑使用时间越长，回收价值越低，某二手电脑交易市场对2018年回收的折旧电脑交易前使用的时间进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图，在如图对时间使用的分组中，将使用时间落入各组的频率视为概率.（1）若在该市场随机选取3个2018年成交的二手电脑，求至少有2个使用时间在(4,8]上的概率； （2）根据电脑交易市场往年的数据，得到如图所示的散点图，其中x （单位：年）表示折旧电脑的使用时间，y （单位：百元）表示相应的折旧电脑的平均交易价格.（ⅰ）由散点图判断，可采用a bx y e +=作为该交易市场折旧电脑平均交易价格与使用年限x 的回归方程，若ln i t y =，101110i i t t ==∑，选用如下参考数据，求y 关于x 的回归方程.（ⅰ）根据回归方程和相关数据，并用各时间组的区间中点值代表该组的值，估算该交易市场收购1000台折旧电脑所需的费用附：参考公式：对于一组数据(),(1,2,,)i i u v i n =L ，其回归直线ˆˆˆvu αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1221ni i i ni i u v nuvunu β==-=-∑∑，ˆˆv u αβ=-.参考数据：3.2526e ≈，2.6514e ≈，2.057.8e ≈，1.45 4.3e ≈，0.85 2.3e ≈.21．（12分）已知函数1()ln a f x a x x x-=-++. （1）当2a ≥时，求函数()f x 的单调区间；（2）设()23xg x e mx =+-，当21a e =+时，对任意1[1,)x ∈+∞，存在2[1,)x ∈+∞，使212()2()f x e g x +≥，证明：2m e e ≤-.（二）选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4ρθπ+=. （1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值以及此时P 的直角坐标. 23．[选修4−5：不等式选讲]（10分）已知函数()11f x x x =+--， ()22g x x a x b =++-，其中a ， b 均为正实数，且2a b +=．（1）求不等式()1f x ≥的解集； （2）当x ∈R 时，求证()()f x g x ≤．2020年高考数学（文）终极押题卷（试卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =≤≤，则A B =I A ．{}|12x x -<≤ B ．{}|01x x ≤< C ．{}|12x x <≤D ．{}1|0x x <<2．当1m <时，复数2(1)m i +-在复平面内对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知(1,0)A ，(3,2)B ，向量(3,4)AC =--u u u v，则·AB BC =u u u v u u u vA ．-22B ．22C ．6D ．-64．已知132a -=，21log 3b =，121log 3c =，则 A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>5．某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有1000名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间（30，150]内，其频率分布直方图如图所示，则获得复赛资格的人数为A ．650B ．660C ．680D ．7006．已知命题p ：“[]1,x e ∀∈，ln a x >”，命题q ：“x R ∃∈，240x x a -+=”，若“p q ∧”是真命题，则实数a 的取值范围是 A ．(]1,4B ．(]0,1 C ．[]1,1-D ．()4,+∞7．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A ．1B ．2C ．3D ．48．若函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，||)2πϕ<图象的一个对称中心为(3π，0)，其相邻一条对称轴方程为712x π=，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象 A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度9．函数()21sin 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是 A ． B ．C ．D ．10．我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是A ．20i <，1S S i=-，2i i = B ．20i ≤，1S S i=-，2i i = C ．20i <，2SS =，1i i =+ D ．20i ≤，2SS =，1i i =+ 11．若函数()423x x f x m m =-⋅++有两个不同的零点12,x x ，且1(0,1)x ∈，2(2,)x ∈+∞,则实数m 的取值范围为 A ．(,2)-∞- B ．(,2)(6,)-∞-⋃+∞ C ．(7,)+∞D ．(,3)-∞-12．已知1F ，2F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，直线y =与双曲线C 的一个交点P在以线段12F F 为直径的圆上，则双曲线C 的离心率为A ．4+B ．5+C 1D 2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。