初中 分式的乘除学案

8.4 分式的乘除

学习通道：

一、学习目标：

1、理解并掌握分式的乘除法则，运用法则进行运算，能解决一些与分式有关的实际问题．

2、经历探索分式的乘除运算法则的过程，并能结合具体情境说明其合理性.

二、内容精讲：

1、分式的乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母. 即 b a ·d c =bd

ac . 2、分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘. 即 b a ÷d c =bc

ad . 3、分式的乘方法则：分式乘方是把分子、分母各自乘方.

即 （b

a ）n = n n

b a . 三、例题解析：

例1、 计算：

（1）c ab 22-·（ - b a d c 223）； （2）4ab ÷y

bx a 583-. 精析：可根据分式的乘除法则直接计算，可先考虑处理符号.

解：（1）c ab 22-·（ - b

a d c 223） =bc

a d c a

b 22223 =a

bcd 23.

（2）4ab ÷y

bx a 583- = - 4ab ·bx

a y 385 = - bx

a aby 3820 = -

x a y 225. 例2、计算：

（1）32487a a a a --+·24342+-a a ； （2）42-a a ÷1

4222+-+a a a a 精析：两式须先将分子、分母分解因式再计算.

解：（1）32487a a a a --+·24

342+-a a =

)2)(2()1)(8(a a a a a +--+·)8(3)2)(2(+-+a a a = - a

a 31-. （2）42-a a ÷1

4222+-+a a a a =)

2)(2(+-a a a ·)2()2(2+-a a a =2)

2(2+-a a . 小结：分式的除法运算，需转化为乘法运算；根据乘法法则，应先把分子、分母分别相乘，化成一个分式后再进行约分，但在实际演算时，这样做显得较繁琐，因此，可根据情况先约分，再相乘，这样做有时简单易行，又不易出错.

例3、 计算：

（1）422⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b a ab ； （2）322⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-x yz ·292⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--y xz ·43⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-yz x ； （3）4

2

232⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+ac b a c ab a . 精析：根据分式的乘方运算法则给个分式的分子、分母分别乘方，然后再进行乘除运算；做乘方运算时，可先统一处理符号.

解：（1）422⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛b a ab = 4884b a b a =44

a b ； （2）322⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x yz ·292⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--y xz ·4

3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-yz x = 444

222363818148z

y x y z x x z y •• = - 3

4

32y z x ； （3）42

232⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+ac

b a

c ab a = - 43))(()(⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-+•⎥⎦⎤⎢⎣⎡+b a b a ac c b a a = - 444

4333)

()()(b a b a b a c b a a -+•+ = - )

)((7b a b a c a -+. 小结：对分式进行乘方运算时，可先对分子、分母约分再乘方，也可先对分子、分母分解因式再乘方.

例4、

精析：求分式的值要看分式的形式，较复杂时不宜直接代入，应先化简。

解：

小结：先化简再求值，是求分式的值的常用方法.

例5、已知x 2 + x – 1 = 0，求x 2 + 21x 的值. 精析：由已知x 2 + x – 1 = 0，两边同除以x 可得x -

x 1= - 1. 解：因为x ≠0

所以x 2 + x – 1 = 0两边同除以x

得，x - x

1= - 1 又x 2 + 21x = （x - x

1）2 + 2 = 3 即x 2 +

21x = 3. 小结：利用等式的性质亦可将整式等式转化为分式等式.

例6、已知2x – 3y + z = 0，3x – 2y – 6z = 0，求2222

222z

y x z y x -+++的值. 精析：由条件并不能求得字母x 、y 、z 的值，但若选择x 、y 为未知数，z 为常数，由两个已知等式联立得关于x 、y 的二元一次方程组，即可求得x 、y 关于z 的代数表达式，将此结果代入所求分式，可将原分式转化为只有z 的分式，此时再利用分式的性质可很易化简.

解：由2x – 3y + z = 0，3x – 2y – 6z = 0

得⎩

⎨⎧=--=-z y x z y x 62332 解之得，x=4z, y=3z

将之代入原分式

2222

222z y x z y x -+++= ()()()()22222

234234z z z z z z -+⨯++ = 22

4026z

z = 20

13. 小结：此题中应用到“消元”的思想和方法.

四、探索实践

已知：a+b+c=0，且a,b,c 都不等于0，试说明：03111111=+⎪⎭

⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a c a c b c b a . 精析：本题方法多样，（1）由a+b+c=0得a=-b-c ，代入等式左边，从而减少一个量

（2）因为3=1+1+1=c

c b b a a 111•+•+•，所以，可将左式变形，分解因式. （3）因为0=a 1+（-a 1）=b 1+（-b 1）=c 1+（-c

1），代入左式进行分解因式. 解法一：因为a+b+c=0，所以a=-b-c

所以 左边=（-b-c ）⎪⎭⎫ ⎝⎛+c b 11+b 31111+⎪⎭

⎫ ⎝⎛+--+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+b c b c c b c =-1-1-3_++----++-b

c c b c c b b c b b c c b