矩形的性质和判定课件ppt
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矩形的性质与判定ppt课件
随堂练习
如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，
AB=6，AO=4，求BD与AD的长. (填空)
A
D
O
知识技能
B
C
1. 一个矩形的对角线长为6，对角线与一边的夹角是45°，求这个
矩形的各边长. (填空)
2. 一个矩形的两条对角线的一个夹角为60°，对角线长为15，求这个 矩形较短边的长. (填空)
O
B
C
(2)图中有哪些等腰三角形？这些等腰三角形中哪些是全等三角形？
解：(2)△AOB，△BOC ，△COD， △DOA
(3)△AOB 、△BOC 、△COD 、△DOA的面积相等么？为什么？ 解：(3)S△AOB=S△BOC =S△COD=S△DOA
议一议:
如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点E，那么BE是Rt△ABC
①对角相等，邻角互补 ②对边平行且相等 ③对角线互相平分 ④对角线相等
⑤每条对角线平分对角 ⑥四条边相等 ⑦四个内角都相等 ⑧对角线垂直
探究二：矩形的性质
想一想 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.
(1)线段OA，OB，OC，OD有什么数量关系？ A
D
解：(1) OA=OB=OC=OD
B
C
证明： (1)∵四边形ABCD是矩形
∴ ∠ABC=∠ADC，∠BCD=∠BAD，
AB∥DC.
∴∠ABC+∠BCD=180°
又∵∠ABC = 90°
∴∠BCD= 90°.
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°
探究二：矩形的性质 证明矩形的性质
已知： 如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与DB
《矩形的性质与判定(2)》课件
有一个角是直角 的平行四 边形是矩形.
对角线相等的平 行四边形 是矩形.
有三个角是直角 的四边形是矩形.
矩形的判定思路
四 边 形
有三个角是直角 平行四边形
矩形 对角线相等 一个角是直角
矩 形
检测反馈
1.下列说法正确的是 ( B ) (1)对角线相等的四边形是矩形;(2)对角线互相平分且相等的 四边形是矩形;(3)有一个角是直角的四边形是矩形;(4)有三个 角是直角的四边形是矩形;(5)四个角都相等的四边形是矩
∟
C
例 如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
△ABO是等边三角形，AB = 4cm，求这个□ABCD
的面积.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，. 又∵△ABO是等边三角形， ∴OA=OB=AB=4，∠BAC=60°. ∴OA=OB=OC=OD=4，
∴AC=BD=2OA=2×4=8.
九年级数学上
新课标 [北师]
第一章 特殊平行四边形
学习新知
检测反馈
生活思考
一天,小丽和小娟到一个商店准备给今天要过生
日的小华买生日礼物,选了半天,她们最后决定买相框 送给她,在里面摆放她们三个人的合影,为了相框摆放 的美观性,她们选择了矩形的相框,那么用什么方法可 以确定她们拿的就是矩形的相框呢?
已知：在□ABCD中,AC,DB是它的两条对角线，AC=BD.
矩形的判定方法2
对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言：
∵在 ABCD中 AC=BD ∴ ABCD是矩形
A
0
D
B
C
探究
有一个角是直角
有两个角是直角 有三个角是直角
1.2矩形的性质与判定课件ppt
【矩形的面积公式】
A D
O
B C
面积：S菱形=长×宽
自学课本P14—P15，完成下列问题
矩形常用的判定方法：
①有一个角是直角的平行四边形是矩形
+一个角是直角=
②对角线相等的平行四边形是矩形
+对角线相等 =
③有三个角是直角的四边形是矩形。
三个角是直角+ =
1.判断下列说法是否正确？为什么？
（1）有一个角是直角的四边形是矩形（ ） （2）四个角都相等的四边形是矩形 （ ） （3）对角线相等的四边形是矩形 （ ） （4）对角线互相平分且相等的四边形是矩（ ） （5）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边 形是矩形（ ） （6）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形 是矩形 ( )
2.下列说法错误的是（ A. 矩形的对角线互相平分。
）
B. 矩形的对角线相等。
C. 有一个角是直角的四边形是矩形。
D. 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
3.矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角 形一共有（ ）
A.2对 B.4对 C.6对 D.8对
4.矩形具有但菱形不一定具有的特征是（ A. 对角线互相平分
C. 对角线相等
）
B. 对边相等
D. 对角线互相垂直
5.如图，矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，∠AOB = 60°，AB = 5，则 AC 的长是（ A. 5 2 ）
B. 5 3
C. 5
D. 10
6.如图，矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，∠AOB = 60°，AB = 5，则 BC 的长是（ A. 5 2 ）
B. 5 3
C. 5
矩形的性质ppt课件
矩形的对称性可以用来解决一些几何问题。
05
矩形的面积和周长计算
矩形的面积计算公式
公式
如果矩形的长为a，宽为b，那么矩形的 面积S=a×b。
VS
解释
矩形的面积是其长和宽的乘积，这是因为 矩形的长和宽代表了平行四边形的底和高 。
矩形的周长计算公式
公式
如果矩形的长为a，宽为b，那么矩形的周 长P=2×(a+b)。
。如果四边形的对角线相等且互相平分，则该四边形为矩形。
02
三个角是直角的四边形是矩形
如果一个四边形的三个角都是直角，则该四边形为矩形。
03
对角线相等的平行四边形是矩形
如果一个平行四边形的对角线相等，则该四边形为矩形。
矩形的证明方法
综合法
利用综合法证明三角形全等、平 行线性质等基本定理，以及利用 这些基本定理推导出其他定理，
矩形的边长关系
总结词
矩形的两边长度相等，相对的两边长度也相等。
详细描述
矩形的定义决定了其具有两边长度相等的特点。相对的两边长度也相等，这是由 于矩形的对称性所决定的。这种边长关系在几何学中有着重要的应用和意义。
04
矩形的判定和证明方法
矩形的判定方法
01
定义法
根据矩形的定义，通过测量四条边的长度来判断一个四边形是否为矩形
解释
矩形的周长是矩形四条边的长度之和，两条 长边各为a，两条短边各为b，所以周长 P=2×(a+b)。
矩形面积和周长的关系
关系
矩形的面积和周长之间没有直接的关系，但是它们都与矩形 的长和宽有关。
解释
矩形的面积和周长是两个不同的属性，面积关注的是矩形的 占据的空间大小，而周长关注的是矩形四条边的长度之和。 虽然它们都受到矩形长和宽的影响，但它们之间并没有直接 的关系。
05
矩形的面积和周长计算
矩形的面积计算公式
公式
如果矩形的长为a，宽为b，那么矩形的 面积S=a×b。
VS
解释
矩形的面积是其长和宽的乘积，这是因为 矩形的长和宽代表了平行四边形的底和高 。
矩形的周长计算公式
公式
如果矩形的长为a，宽为b，那么矩形的周 长P=2×(a+b)。
。如果四边形的对角线相等且互相平分，则该四边形为矩形。
02
三个角是直角的四边形是矩形
如果一个四边形的三个角都是直角，则该四边形为矩形。
03
对角线相等的平行四边形是矩形
如果一个平行四边形的对角线相等，则该四边形为矩形。
矩形的证明方法
综合法
利用综合法证明三角形全等、平 行线性质等基本定理，以及利用 这些基本定理推导出其他定理，
矩形的边长关系
总结词
矩形的两边长度相等，相对的两边长度也相等。
详细描述
矩形的定义决定了其具有两边长度相等的特点。相对的两边长度也相等，这是由 于矩形的对称性所决定的。这种边长关系在几何学中有着重要的应用和意义。
04
矩形的判定和证明方法
矩形的判定方法
01
定义法
根据矩形的定义，通过测量四条边的长度来判断一个四边形是否为矩形
解释
矩形的周长是矩形四条边的长度之和，两条 长边各为a，两条短边各为b，所以周长 P=2×(a+b)。
矩形面积和周长的关系
关系
矩形的面积和周长之间没有直接的关系，但是它们都与矩形 的长和宽有关。
解释
矩形的面积和周长是两个不同的属性，面积关注的是矩形的 占据的空间大小，而周长关注的是矩形四条边的长度之和。 虽然它们都受到矩形长和宽的影响，但它们之间并没有直接 的关系。
矩形的判定ppt课件
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
1
1
∴ OA = OC = AC，OB = OD = BD.
2
2
又∵ OA = OD，
∴ AC = BD.
∴ 四边形 ABCD 是矩形.
∴∠BAD = 90°.
又∵∠OAD = 50°，∴∠OAB = 40°.
C
D
O
A
B
任务二
有三个角是直角的四边形是矩形
想一想 一个四边形至少有几个角是直角时，是矩形？
已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠A =∠B =∠C = 90°.
求证：四边形 ABCD 是矩形.
证明：∵ ∠A =∠B =∠C = 90°，
∴∠A +∠B = 180°，∠B +∠C = 180°.
A
D
B
C
∴ AD∥BC，AB∥CD.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
∴ 四边形 ABCD 是矩形.
1.2 .2 矩形的性质与判定
复习
1.矩形的定义
2.矩形的性质
任务一
对角线相等的平行四边形是矩形
如图，是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平
行四边形的形状会发生变化.
（1）随着∠α 的变化两条对角线的长度将发生怎样的变化？
（2）当两条对角线的长度相等时平行四边形有什么特征？由此你
能得到一个怎样的猜想？
任务一
对角线相等的平行四边形是矩形
已知：如图，在□ ABCD中，AC，DB 是它的两条对角线，且 AC =
DB. 求证：□ ABCD 是矩形.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB = DC，AB∥DC.
矩形的定义及性质课件
矩形的定义及性质
欢迎来到本课件，我们将深入探讨矩形的定义及其有趣的性质。矩形是一个 常见的几何形状，它具有独特的特征和广泛的应用。让我们一起来探索吧！
矩形的定义
四边相等
矩形的四条边都相等，这是矩形最基本的特征 之一。
对角线
矩形具有对角线，它们相等且相互垂直。
直角
矩形的四个角都是直角，这使得矩形在许多应 用中非常实用。
相邻边平行
矩形的两条相邻边平行，这也是矩形的重要特 性之一。
矩形的性质
1 对角线特性
矩形的对角线相等且相互垂直，这Fra bibliotek矩形最 明显的性质。
2 直角角度
矩形的每个角都是直角，这使得矩形在建筑 和设计中非常有用。
3 平行边
矩形的两条相邻边平行，在统计学和计算机 绘图中具有重要应用。
4 对称性
矩形具有对称性，可以以矩形的中心为对称 中心得到一个完全相等的矩形。
5 面积一致
任意一点和矩形的四个顶点组成的四边形的 面积相等，这是一个有趣的性质。
6 面积公式
矩形的面积公式为：S = a × b，其中a和b分别 表示长和宽。
矩形的应用
建筑设计
矩形在简单建筑设计中广泛应用，提供稳定和对称 性。
道路规划
矩形用于道路规划和设计，确保道路直线和方便行 驶。
统计学
矩形在统计学中用来画箱线图，帮助分析数据分布 和异常值。
计算机绘图
矩形在计算机绘图中用来表示方框、文本框等，帮 助构建界面和图形。
欢迎来到本课件，我们将深入探讨矩形的定义及其有趣的性质。矩形是一个 常见的几何形状，它具有独特的特征和广泛的应用。让我们一起来探索吧！
矩形的定义
四边相等
矩形的四条边都相等，这是矩形最基本的特征 之一。
对角线
矩形具有对角线，它们相等且相互垂直。
直角
矩形的四个角都是直角，这使得矩形在许多应 用中非常实用。
相邻边平行
矩形的两条相邻边平行，这也是矩形的重要特 性之一。
矩形的性质
1 对角线特性
矩形的对角线相等且相互垂直，这Fra bibliotek矩形最 明显的性质。
2 直角角度
矩形的每个角都是直角，这使得矩形在建筑 和设计中非常有用。
3 平行边
矩形的两条相邻边平行，在统计学和计算机 绘图中具有重要应用。
4 对称性
矩形具有对称性，可以以矩形的中心为对称 中心得到一个完全相等的矩形。
5 面积一致
任意一点和矩形的四个顶点组成的四边形的 面积相等，这是一个有趣的性质。
6 面积公式
矩形的面积公式为：S = a × b，其中a和b分别 表示长和宽。
矩形的应用
建筑设计
矩形在简单建筑设计中广泛应用，提供稳定和对称 性。
道路规划
矩形用于道路规划和设计，确保道路直线和方便行 驶。
统计学
矩形在统计学中用来画箱线图，帮助分析数据分布 和异常值。
计算机绘图
矩形在计算机绘图中用来表示方框、文本框等，帮 助构建界面和图形。
矩形的性质与判定的结合课件
∴OC = OD，
∴四边形 OCED 是菱形．
E
O
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AC = BD ，OC =
D
A
BD.
B
C
1.2.3 矩形的性质与判定的结合
2. 如图，顺次连接矩形 ABCD 各边中点，得到四边形 EFGH，求证：四
边形 EFGH 是菱形.
证明：连接 AC、BD.
∵四边形 ABCD 是矩形，
1.2.3 矩形的性质与判定的结合
4. 如图所示，在 △ABC 中，D 为 BC 边上的一点，E 是 AD 的中点，过
A 点作 BC 的平行线交 CE 的延长线于点 F，且 AF = BD. 连接 BF.
1.2.3 矩形的性质与判定的结合
(1) BD 与 DC 有什么数量关系？请说明理由；
解： BD = CD. 理由如下：
又∵AE⊥BD，
∴AB = AO，
∴OA = AB = OB，
即 △OAB 是等边三角形，
∴∠ABD = 60°，
∴∠ADE = 90°-∠ABD = 90° - 60° = 30°，
∴AE =
AD =
×6 = 3.
1.2.3 矩形的性质与判定的结合
例2
已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，AD 是 △ABC 的一条角平
分线，AN 是 △ABC 外角∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为点 E．
(1) 求证：四边形 ADCE 为矩形；
M
A
B
D
E
∟
C
N
1.2.3 矩形的性质与判定的结合
证明：∵ AD 平分∠BAD， AN 平分∠CAM，
∴∠CAD =
《矩形的性质与判定》PPT课件 (公开课)2022年北师大版 (5)
3
43
知识加油站：
（1）进行单项式乘法，应先确定结果的符 号，再把同底数幂分别相乘，这时容易出 现的错误是将系数相乘与相同字母指数相 加混淆；
（2）不要遗漏只在一个单项式中出现的字 母，要将其连同它的指数作为积的一个因式；
（3）单项式乘法法则对于三个以上的 单项式相乘同样适用；
（4）单项式乘以单项式，结果仍为单项式。
8
（1） 第一幅画的画面面积是多少平方米？ 第二幅呢？你是怎样做的？
（2） 若把图中的x改为mx,其他不变，则 两幅画的面积又该怎样表示呢？
探索规律：
1、 3a2b ·2ab3 和 (xyz) ·y2z又等于什么？ 你是怎样计算的？
2、如何进行单项式乘单项式的运算？
3、在你探索单项式乘法运算法则的过 程中，运用了哪些运算律和运算法则？
求证:四边形OCMD是矩形.
A
D
O
M
B
C
课堂小结
矩形的判定方法: 有一个角是直角的平行四边形是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形.
堂清作业
课本P16 1,2,3.
第一章 整式的乘除
4 整式的乘法（第1课时）
温故育新：
运用幂的运算性质计算下列各题：
(1)(a5)5
探索规律：
单项式乘法的法则： 单项式与单项式相乘，把它们的系
数、相同字母的幂分别相乘，其余字母 连同它的指数不变，作为积的因式。
例题解析：
例1 计算：
(1)2 xy 2 ( 1 xy ) 3
(2) 2a2b3 (3a)
(3)7xy2z(2xyz)2
(4)(2a2bc3)(3c5)(1ab2c)
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B F G
C
提高训练
如图, 在矩形ABCD中，BE平分∠ABC
交CD于点E，点F在边BC上，
①如果FE⊥AE，求证:FE=AE.
D E C F A B
②如果FE=AE 你能证明FE⊥AE？
D E C F A B
作业题：
习题1.3：
第3题、第11题.
初中数学九年级
(苏科版)
上册
1.3 矩形的性质和判定
矩形定义：
1、_______________的平行四边形是 有一个角是直角 矩形，所以它是特殊的平行四边形， 它具有平行四边形的所有性质.
A D O B C
B O C A D
矩形性质：
2、结合下图说说矩形有哪些平行四边形 不具有的特殊性质？
A D O B C
B O C A D
(1)、角线相等.
A B
D
C
结论：直角三角形斜边上的中线等于斜 边的一半.
A
D
O
你能证明此结论吗？
B
C
推理过程的书写格式： ∵BO是Rt△ABC斜边上的中线 ∴BO=____( )
A O
B
C
例1：如图 ,矩形ABCD的两条对角线相 交于点O ，且AC=2AB，
求证 :△AOB为正三角形．
A O B C D
已知：如图，BD、CE是△ABC的两条 高，M是BC的中点，求证：ME=MD
A E D
B
M
C
矩形的判定： 1、证明：对角线相等的平行四边形 是矩形. 2、证明：四个角都是直角的四边形 是矩形.
例题：
如图，矩形ABCD的对角线相交于点O， 点E、F、G、H分别在OA、OB、OC、 OD上，且AE=BF=CG=DH. 求证：EFGH是矩形. A D E H
C
提高训练
如图, 在矩形ABCD中，BE平分∠ABC
交CD于点E，点F在边BC上，
①如果FE⊥AE，求证:FE=AE.
D E C F A B
②如果FE=AE 你能证明FE⊥AE？
D E C F A B
作业题：
习题1.3：
第3题、第11题.
初中数学九年级
(苏科版)
上册
1.3 矩形的性质和判定
矩形定义：
1、_______________的平行四边形是 有一个角是直角 矩形，所以它是特殊的平行四边形， 它具有平行四边形的所有性质.
A D O B C
B O C A D
矩形性质：
2、结合下图说说矩形有哪些平行四边形 不具有的特殊性质？
A D O B C
B O C A D
(1)、角线相等.
A B
D
C
结论：直角三角形斜边上的中线等于斜 边的一半.
A
D
O
你能证明此结论吗？
B
C
推理过程的书写格式： ∵BO是Rt△ABC斜边上的中线 ∴BO=____( )
A O
B
C
例1：如图 ,矩形ABCD的两条对角线相 交于点O ，且AC=2AB，
求证 :△AOB为正三角形．
A O B C D
已知：如图，BD、CE是△ABC的两条 高，M是BC的中点，求证：ME=MD
A E D
B
M
C
矩形的判定： 1、证明：对角线相等的平行四边形 是矩形. 2、证明：四个角都是直角的四边形 是矩形.
例题：
如图，矩形ABCD的对角线相交于点O， 点E、F、G、H分别在OA、OB、OC、 OD上，且AE=BF=CG=DH. 求证：EFGH是矩形. A D E H