矩形的性质与判定复习课PPT课件
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矩形的性质与判定知识点总结ppt课件.pptx
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形会是直角三角形
知识延伸
(1)“直角三角形斜边中线定理”与“含30°角的直角三角形性质” 及“三角形中位线性质”是解决线段倍分问题的重要依据；
(2)①“三角形中位线性质”适用于任何三角形； ②“直角三角形斜边上的中线性质”适用于任何直角三角形； ③“含30°角的直角三角形性质”仅适用于含30°角的特殊 直角三角形；
(3)直角三角形还具有以下性质： ①两锐角互余；②两直角边的平方和等于斜边平方．
知识点 2 矩形的判定
两组对边分别平行 两组对边分别相等 一组对边平行且相等 两组对角分别相等 对角线互相平分
有一个角是直角 对角线相等
有三个角是直角
知识点 3 矩形的性质与判定的综合运用
本小节知识点常结合上学期《平行四边形》《三角形的 证明》《图形的平移与旋转》等相关内容进行考查。
知识点 1 矩形的定义、性质、推论
矩 形
定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
性质 推论
边 矩形的对边平行且相对称性
矩形的对角线平分且相等；
矩形被两条对角线分成四个面积相等的小等腰三角形
矩形既是中心对称图形， 又是轴对称图形
邻边不相等的矩形有两条对称轴，对称轴在各边的中垂线上
考查角度较广，如线段关系（位置与数量）、角度问题、 确定图形形状、面积问题、坐标点问题、动点问题、折 叠问题等，注意数形结合、分析推理以及转化思想。
上学期知识点若不熟悉请及时复习准备课课件，此节注 意和菱形的性质与判定相区分，相关定理切勿混用
矩形的性质与判定ppt课件
随堂练习
如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，
AB=6，AO=4，求BD与AD的长. (填空)
A
D
O
知识技能
B
C
1. 一个矩形的对角线长为6，对角线与一边的夹角是45°，求这个
矩形的各边长. (填空)
2. 一个矩形的两条对角线的一个夹角为60°，对角线长为15，求这个 矩形较短边的长. (填空)
O
B
C
(2)图中有哪些等腰三角形？这些等腰三角形中哪些是全等三角形？
解：(2)△AOB，△BOC ，△COD， △DOA
(3)△AOB 、△BOC 、△COD 、△DOA的面积相等么？为什么？ 解：(3)S△AOB=S△BOC =S△COD=S△DOA
议一议:
如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点E，那么BE是Rt△ABC
①对角相等，邻角互补 ②对边平行且相等 ③对角线互相平分 ④对角线相等
⑤每条对角线平分对角 ⑥四条边相等 ⑦四个内角都相等 ⑧对角线垂直
探究二：矩形的性质
想一想 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.
(1)线段OA，OB，OC，OD有什么数量关系？ A
D
解：(1) OA=OB=OC=OD
B
C
证明： (1)∵四边形ABCD是矩形
∴ ∠ABC=∠ADC，∠BCD=∠BAD，
AB∥DC.
∴∠ABC+∠BCD=180°
又∵∠ABC = 90°
∴∠BCD= 90°.
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°
探究二：矩形的性质 证明矩形的性质
已知： 如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与DB
矩形的性质及判定复习ppt课件.ppt
C 矩形
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D 不能确定
2024年11月22日星期五
E
AP F
B
D
M
C
N
Q
6
4、如图，矩形ABCD，对角线AC、BD交于点 O，AE⊥BD于点E，∠AOB=45°,
则∠BAE的大小为（ B）.
A. 15° B. 22.5° C. 30° D. 45°
A
D
O
B
E
C
5、如图，矩形ABCD，对角线AC、BD交于点 O，AE⊥BD于点E，AB=2,BE=1 则AC=____4_____
试一试
已知矩形ABCD,请找出所有的直角三角形
和等腰三角形.
D
C
Rt△ADC、 Rt△DCB、 Rt△DAB、 Rt△ABC、
O
A
△ADO、 △DOC、 B △COB、 △AOB、
矩形的问题可以转 化到直角三角形或等 腰三角形来解决．
平行四边形的性质有：
平行四边形的对边相等
AB=CD；AD=BC
2. 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，
且∠AOB=60°，AB=4 cm．求矩形对角线的长．
A
D
O
B
C
3、如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、
CD、AD分别是∠ EAC、 ∠ MCA、 ∠ ACN、 ∠ CAF的角
平分线，则四边形ABCD是（ ）C
A 菱形
B 平行四边形
C
2.已知如图，O是矩形ABCD对角 线的交点，AE平分∠BAD， ∠AOD=1200，求∠EAO的度数和 ∠OEA的度数 。150 300
例：如图， ABCD四个内角的平分线围成四边形
第一章矩形的性质与判定2第一课时ppt课件
课后作业
7. 如图S1-2-17所示，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB⊥AD， BD=BC，∠C=60°，如果△DBC的周长为m，则AD的长为
（ ）B
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
课前预习
3. 矩形具有而菱形不具有的性质是
（ A）
A. 对角线相等
B. 两组对边分别平行
C. 对角线互相平分 D. 两组对角分别相等
4. 如图S1-2-2，矩形的两条对角线的一个交角为60°，
两条对角线的长度的和为20 cm，则这个矩形的一条较短
边的长度为 A. 10 cm
B. 8 cm
（ D）
C. 6 cm
课堂讲练
解:（1）∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ADC=90°，OA=OD=OC=OB. ∵∠ACD=30°，∴∠DAC=90°-30°=60°. 而OA=OD， ∴△AOD为等边三角形. （2）∵△AOD为等边三角形， ∴AO=AD=2. ∴AC=2AO=4.
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
（ A）
A.
B. 4
C.
D. 8
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
课后作业
3. 如图S1-2-13，矩形ABCD的对角线交于点O，若
∠ACB=30°，AB=2，则OC的长为
7. 如图S1-2-17所示，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB⊥AD， BD=BC，∠C=60°，如果△DBC的周长为m，则AD的长为
（ ）B
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
课前预习
3. 矩形具有而菱形不具有的性质是
（ A）
A. 对角线相等
B. 两组对边分别平行
C. 对角线互相平分 D. 两组对角分别相等
4. 如图S1-2-2，矩形的两条对角线的一个交角为60°，
两条对角线的长度的和为20 cm，则这个矩形的一条较短
边的长度为 A. 10 cm
B. 8 cm
（ D）
C. 6 cm
课堂讲练
解:（1）∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ADC=90°，OA=OD=OC=OB. ∵∠ACD=30°，∴∠DAC=90°-30°=60°. 而OA=OD， ∴△AOD为等边三角形. （2）∵△AOD为等边三角形， ∴AO=AD=2. ∴AC=2AO=4.
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
（ A）
A.
B. 4
C.
D. 8
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
课后作业
3. 如图S1-2-13，矩形ABCD的对角线交于点O，若
∠ACB=30°，AB=2，则OC的长为
1.2 第3课时 矩形的性质与判定的综合应用 课件(共22张PPT) 北师版九年级上册
习题解析
(2)若∠ADF∶∠FDC＝3∶2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．
解：∵∠ADC＝90°，∠ADF∶∠FDC＝3∶2，∴∠FDC＝36°.∵DF⊥AC，∴∠DCO＝90°－36°＝54°.∵四边形ABCD是矩形，∴OC＝OD.∴∠ODC＝∠DCO＝54°.∴∠BDF＝∠ODC－∠FDC＝54°－36°＝18°.
习题解析
习题解析
习题2
如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC＋∠ADC＝180°. (1)求证：四边形ABCD是矩形；
证明：∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形．∴∠ABC＝∠ADC.∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADC＝90°.∴四边形ABCD是矩形．
如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，求AE的长.
思考：线段AE和哪条线段有关系？这里用到了直角三角形的哪个性质？
例1
课程讲授
新课推进
分析：在矩形ABCD中，ED=3BE，∴BE：ED=_______，易证得△OAB是_____________，继而求得________的度数，由△OAB是____________，求出________的度数，又由AD=6，即可求得AE的长.
课程讲授
新课推进
习题解析
习题1
如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若AB＝6，AC＝10，求四边形AECF的面积．
习题解析
证明：（1）由题意可得AM＝AB，CN＝CD，∠FNC＝∠D＝90°，∠AME＝∠B＝90°，∴∠ANF＝90°，∠CME＝90°.∴∠ANF＝∠CME.∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AD∥BC.∴AM＝CN，∠FAN＝∠ECM. ∴AM－MN＝CN－MN，即AN＝CM.
(2)若∠ADF∶∠FDC＝3∶2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．
解：∵∠ADC＝90°，∠ADF∶∠FDC＝3∶2，∴∠FDC＝36°.∵DF⊥AC，∴∠DCO＝90°－36°＝54°.∵四边形ABCD是矩形，∴OC＝OD.∴∠ODC＝∠DCO＝54°.∴∠BDF＝∠ODC－∠FDC＝54°－36°＝18°.
习题解析
习题解析
习题2
如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC＋∠ADC＝180°. (1)求证：四边形ABCD是矩形；
证明：∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形．∴∠ABC＝∠ADC.∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADC＝90°.∴四边形ABCD是矩形．
如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，求AE的长.
思考：线段AE和哪条线段有关系？这里用到了直角三角形的哪个性质？
例1
课程讲授
新课推进
分析：在矩形ABCD中，ED=3BE，∴BE：ED=_______，易证得△OAB是_____________，继而求得________的度数，由△OAB是____________，求出________的度数，又由AD=6，即可求得AE的长.
课程讲授
新课推进
习题解析
习题1
如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若AB＝6，AC＝10，求四边形AECF的面积．
习题解析
证明：（1）由题意可得AM＝AB，CN＝CD，∠FNC＝∠D＝90°，∠AME＝∠B＝90°，∴∠ANF＝90°，∠CME＝90°.∴∠ANF＝∠CME.∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AD∥BC.∴AM＝CN，∠FAN＝∠ECM. ∴AM－MN＝CN－MN，即AN＝CM.
矩形的性质与判定复习课ppt
应用一：在几何作图中的应用
利用矩形性质进行精确的几何作图。
在几何作图中，可以利用矩形的性质进行精确的线段和 角度的绘制。例如，可以利用矩形的对角线长度相等且 互相平分这一性质，绘制出一个等腰直角三角形。
利用矩形性质进行实际工程和生活中的设计和操作。
应用二：在工程和生活中的实际应用
在工程和生活中，可以利用矩形的性质进行各种设计和 操作
总结与思考
对矩形性质与判定的总结
矩形的基本性质
矩形的四个角是直角，对角线相等，对边相等。这些性质在判定 矩形时非常重要。
矩形判定的方法
矩形的判定方法有两种，一种是使用定义，另一种是通过平行四 边形的性质进行转化。
矩形性质与判定的应用
矩形的性质和判定在实际生活中有着广泛的应用，如制作门窗、 桌面等。
在物理学中的应用
矩形在物理学中也有着广泛的应用 ，如力学中的刚体、电磁学中的电 磁波等。了解矩形的性质可以帮助 我们更好地理解这些物理现象。
VS
在工程学中，矩形的性质被广泛应 用于各种设计和制造过程中，如建 筑设计、机械制造等。了解矩形的 性质可以帮助工程师更好地进行设 计和制造。
在日常生活中的应用
已知矩形的长为a，宽为b，则矩形的面积S=ab。 当已知矩形的长和宽时，可以直接利用矩形面积公 式求解面积。
技巧二：利用矩形性质证明相似图形
利用矩形性质以及相似图形的判定定理，证明 两个矩形相似。
当两个矩形的对应边成比例，且对应角相等时 ，这两个矩形相似。可以利用矩形的性质证明 两个矩形相似。
矩形性质在实际问题中的应用
矩形是特殊的平行四边形，因为它也满足平行四边形的所有 性质。
矩形的性质
对角线相等
矩形的对角线相等，并且对角 线互相平分。
1.2矩形的性质与判定课件(共22张PPT)
③AC = BD= 2AO = 2OC=2OB =2OD
问：在Rt△ABC中，斜边AC上的中线是OB，它与斜边的
1
关系是OB= 2 AC．
问：是不是所有的三角形都有这样的性质? 关键是是不
是任何一个三角形都可以放进一个矩形里?
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
例题
【例1】已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线,AC,BD 相交于点O,∠AOD=120°,AB=2.5cm.求矩形对角线的长.
∵AC=DB,BC=CB.
∴ △ABC≌△DCB.
∴∠ABC=∠DCB.
B
C
∵∠ABC+∠DCB=180°. ∴∠ABC=90°. ∴四边形ABCD是矩形.
跟踪训练
下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？ （1）对角线相等的四边形是矩形；（ X ） （2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（ √ ） （3）有四个角是直角的四边形是矩形；（ √ ） （4）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；
D
邻角互补可使问题得证.
证明:
B
C
∵ 四边形ABCD是矩形.
∴∠A=90,四边形ABCD是平行四边形.
∴∠C=∠A=90, ∠B=180-∠A=90, ∠D=180-∠A=90.
∴四边形ABCD是矩形.
定理:矩形的两条对角线相等.
已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线.
求证: AC=BD.
的有
（填写序号）.
解析：根据对角线相等的平行四边 A １ 形是矩形；矩形的定义. 答案：① ④
Ｂ
Ｄ
２
Ｃ
2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是底边上的高，E为
矩形的性质和判定整合课课件.ppt
有三个角是直角的四边形是矩形。
A
D
O
B
Cห้องสมุดไป่ตู้
丙同学想了一下，他决定用与他们
不同的方法来判断。他先用刻度尺量得
AB=CD，AD=BC，然后又量得这个四 边形的两条对角线AC=BD，他就判定这 个 四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形。
矩形的判定方法： 1、有一个角是直角的平行四边形是矩形。 2、对角线相等的平行四边形是矩形。 3、有三个角是直角的四边形是矩形。
甲同学先用刻度尺量得AB=CD， AD=BC，然后又用量角器量得其中一 个内角∠DAB=90°，因此甲判定这个 四边形ABCD是矩形。
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
A
D
B
C
乙同学认为甲的方法太复杂，他只
用量角器量得这个四边形的三个内角
∠DAB 、∠ ABC、∠BCD都是90°，他 就判定这个四边形ABCD是矩形。
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
⑶小明将其直立在地面上轻轻推动点D，在推动的过程中他突然想
起工人师傅在做铝合金窗框时，会用一个直角尺靠紧窗框的一个角
如图 ③ 所示，调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝
隙时如图④所示，说明窗框合格，这时窗框是 矩 形，根据的数
学道理是： 有一个角是直角的平行四边形是矩形
.
.
A
B
D E
FC
B、如图,在矩形ABCD中,两条对角线AC、BD相交于O, ∠ACD=30 °,AB=4.
①判断△AODR 形状; ②求对角线AC 、BD的长
A
B
O
D
C
矩形的定义：
A
D
A
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角： 直角三角形两锐边的平方和等于斜边
的平方。
2、斜边中线的性质：直角三角形斜边中线
等于斜边的一半。
边角关系：1、直角三角形中，30°角所对的直角边 等于斜边的一半。
2、直角三角形中，若直角边等于斜边的一半，
那么这条直角边所对. 的角等于30°。
3
1、已知矩形的一条对角线与一边的夹角 是40°，则两条对角线所成的锐角的 度数是（ ） A、100° B、90° C、80° D、70°
① 判断△OBM是什么三角形，并说明理由； ② 试求直线MN的解析式.
y
B C
O
Ax
.
10
课外兴趣题：动一动，想一想
2、如图，P是矩形ABCD内一点，
PA＝3，PD＝4，PC＝5，
则PB＝
。A E
D
提示：过点P作其中一边 的垂线，利用勾股定理 来解。
.
3 P
?
BF
∟
4 5
C
11
再见
.
12
C
E
你能求出线段BE及折痕EF的
长吗？
.
8
3、在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、 OC分别落在x轴，y轴上，且OA=4，0C=3。
（1）求对角线OB所在直线的解析式；
y
B C
O
Ax
.
9
3、在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、 OC分别落在x轴，y轴上，且OA=4，0C=3。 （2）如图，将△OAB沿对角线OB翻折得到△OBN， ON与AB交于点M。
则∠AOD =
，
DE＝
cm。 .
O
E
B
C
第3题图
5
5、已知：如图，在 ABCD 中，E、F分别为边 AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的 延长线于G．
（1）求证：DE＝BF；
（2）若四边形 BEDF是
菱形，则四边形 AGBD是什么特殊
四边形？并证明
你的结论．
.
6
1、如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落 在BC边上的F点处。
2、矩形的一边长为6，各边中点围成的四
边形的周长是20 ，则矩形的对角线长
为
，面积为
。
.
4
3、平行四边形四个内角的平分线，如果能围成
一个四边形，那么这个四边形一定是（ ）
A、矩形
B、菱形
C、正方形
D、等腰梯形
4、如图，矩形ABCD中，O是对角线的交点，
若AE⊥BD于E，且
A
D
OE∶OD＝1∶2，
AE＝ 3 cm，
（1）若∠BAF＝60°，求∠EAF的度数；
（2）若AB＝6cm，
AD＝10cm，
求线段CE的
长及△AEF的
面积.
.
7
2、如图，矩形纸片ABCD中，现将A、C重合，使
纸片折叠压平，设折痕为EF。 （1）连结CF，四边形AECF是什 A 么特殊的四边形？为什么？
G FD
（2）若AB＝4cm，AD＝8cm， B
G
A
FD
BE C
.
1
A
∟
∟D
1、定义：
O
∟
∟
B
C
有一个角是 直角 的 平行四边形 叫矩形。
2、性质和判定：
性质
判定
边
同平行四边形
角 对角线
四个角都是直角
对角线相等且互相平分 .
1、有一个角是直角的平行四边形. 2、有三个角是直角的四边形.
3、对角线相等的平行四边形.
2
A
D
3、直角三角形的性质及判定方法：