初中数学 矩形的性质与判定(1)
九年级数学（北师大版）上册教案：1.2矩形的性质与判定（1）
第一章特殊平行四边形1.2 矩形的性质与判定（一）教学目标知识与技能：了解矩形的有关概念，理解并掌握矩形的有关性质．过程与方法：经过探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理意识；掌握几何思维方法．情感态度与价值观：培养严谨的推理能力，以及自主合作精神；体会逻辑推理的思维价值．重难点、关键重点：掌握矩形的性质，并学会应用．难点：理解矩形的特殊性．关键：把握平行四边形的演变过程，迁移到矩形概念与性质上来，明确矩形是特殊的平行四边形．教学准备教师准备：投影仪，收集有关矩形的图片，制作教具．学生准备：复习平行四边形性质，预习矩形这节内容．学法解析1．认知起点：已经学习了三角形、平行四边形、菱形，•积累了一定的经验的基础上学习本节课内容．2．知识线索：情境与操作→平行四边形→矩形→矩形性质．3．学习方式：观察、操作、感知其演变，以合作交流的学习方式突破难点．教学过程一、联系生活，形象感知【显示投影片】教师活动：将收集来的有关长方形图片，播放出来，让学生进行感性认识，然后定义出矩形的概念．矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．（也就是小学学习过的长方形）．教师活动：介绍完矩形概念后，为了加深理解，也为了继续研究矩形的性质，拿出教具．同学生一起探究下面问题：问题1：改变平行四边形活动框架，将框架夹角∠α变为90°，•平行四边形成为一个矩形，这说明平行四边形与矩形具有怎样的从属关系？（教师提问）[来源:21世纪教育网学生活动：观察教师的教具，研究其变化情况，可以发现：矩形是平行四边形的特例，属于平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质．[来源:学*科*网Z*X*问题2：既然它具有平行四边形的所有性质，•那么矩形是否具有它独特的性质呢？（教师提问）学生活动：由平行四边形对边平行以及刚才∠α变为90°，可以得到∠α的补角也是90°，从而得到：矩形的四个角都是直角．评析：实际上，在小学学生已经学过长方形四个角都是90°，这里学生不难理解．教师活动：用橡皮筋做出两条对角线，让学生观察这两条对角线的关系，并要求学生证明（口述）．学生活动：观察发现：矩形的两条对角线相等。
九年级数学上册 1.2 矩形的性质与判定(第1课时)教案(新版)北师大版
九年级数学上册 1.2 矩形的性质与判定（第1课时）教案（新版）北师大版九年级数学上册1.2矩形的性质与判定（第1课时）教案（新版）北师大版矩形的性质及判定教学目标（1）掌握矩形的定义，理解矩形与平行四边形的关系。
(2)理解并掌握矩形的性质定理;会用矩形的性质定理进行推导证明;（3）初步运用矩形的定义和性质解决相关问题，进一步培养学生的分析能力和教学重点矩形性质定理的证明及应用教学难点“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”的推导及性质定理应用的教学过程：一、创设情境，引入新课老师：展示教具（平行四边形）并演示将平行四边形转化为菱形的过程当我们给平行四边形其他特殊条件时，我们会得到其他形状吗？例如，如果平行四边形的内角变成90度，你会发现什么特殊形状？学生：长方形师：原来是大家非常熟悉的图形，他还有个高大上的名字――矩形.板书课题老师：根据前面学习的菱形和平行四边形的过程，你想了解矩形的哪些方面？学生：矩形的定义：矩形的本质生：矩形边、角、对角线的特征.生：矩形的判定.生：……二、目标展示师：出示学习目标.生：默读学习目标.三、自主学习1.自主探究老师：根据以下自学指导，自学课本第11至12页讨论前的内容。
1.定义：有些被称为矩形12.矩形是平行四边形吗？3、如图，四边形abcd是矩形，试从它的边，角，对角线，对称性上写出性质.（小组讨论）侧面：角度：对角线：对称性：4、先写出特有的性质，然后独立思考证明过程，再与课本上的证明相比较.矩形特有的性质是：..处理方法：学生将自学与小组合作相结合，通过自学、猜想和推理三个步骤掌握矩形的性质，在小组学习过程中提问，其他学生讨论并回答【设计意图】本环节知识较为简单，有前面菱形性质的研究经验，又有比较坚实的三角形全等的知识基础，此处自学应该没有障碍，因此，为培养学生的自主学习能力及增大课堂容量，将此处设计为自主学习.定义：直角平行四边形是一个矩形。
矩形的四个角是直角。
初中数学《矩形的性质与判定》PPT课件_【北师大版】1
初 中数学 《矩形 的性质 与判定 》优秀 课件北 师大版1 -精品 课件ppt (实用 版)
结论
由此得到矩形的判定定理： 对角线相等的平行四边形是矩形.
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中考 试题
例
在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相平分，
交点为O，在不添加任何辅助线的前提下，要使四边
形ABCD成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可
以是 AC=BD ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ∠ABC，∠CDA，∠BAD，∠BCD
图2-46
结论
三个角是直角的四边形，容易知道另一个角也 是直角，由此得到：
三个角是直角的四边形是矩形.
四边形中只有两个角 是直角，我想到了下边的图形：
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动脑筋
从“矩形的对角线相等且互相平分”这一性质受 到启发，你能画出对角线长度为4cm的一个矩形吗？ 这样的矩形有多少个？
因此点B和点C关于直线EF对称，点A和点D关于 直线EF对称，从而在关于直线EF的轴反射下，矩形 ABCD的像与它自身重合，因此矩形ABCD是轴对称 图形，直线EF是矩形ABCD的一条对称轴.
类似地，过点O作直线MN⊥AB，且分别与边 AB，DC相交于点M，N，则点M，N分别是边AB，
DC的中点，直线MN是矩形ABCD的一条对称轴.
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矩形的性质与判定(第1课时矩形的定义与性质)
中点，由此可联想到应用“直角三角形斜边上的中线等于斜
边的一半”这一定理．
解：连接EG，DG. ∵BD，CE是△ABC的高， ∴∠BDC＝∠BEC＝90°. ∵点G是BC的中点，
∴EG＝12
BC，DG＝
1 2
BC.
∴EG＝DG.
又∵点F是DE的中点，
∴GF⊥DE.
课堂小结
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形.
在Rt△ABD中， 由勾股定理，得AB2+AD2=BD2 ,
∴ x2 82 x 42
解得x=6，则 AB=6cm. ∵AE×DB= AD×AB,解得 AE= 4.8cm.
“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式 ，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式： AE×DB= AD×AB.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∠C=90°, ∴∠A=∠C=90° ∠B+∠C=180 °, ∴∠B=180－∠C=90°, ∴∠D=∠B=90°, 即∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
几何语言： ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
矩形的对角线相等
A
D
已知：四边形ABCD是矩形,
AC.
在矩形ABCD中，找出相等的线段与相等的角.
A
D
相等的线段：
AB=CD AD=BC
AC=BD
OA=OC=OB=OD
11
=2
AC=
2
BD
B
O
C
相等的角：
∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°
∠AOB=∠DOC ∠AOD=∠BOC
∠OAB=∠OBA=∠ODC=∠OCD
∠OAD=∠ODA=∠OBC=∠OCB
初中数学_矩形的性质与判定(第1课时)教学课件设计
矩形是特殊的平行四边形， 进一步思考它有哪些特殊的性质？
活动要求： 1.运用你手中的矩形纸片， 折一折、画一画、量一量 2.小组长汇总探究结果
探索的结论：（矩形特殊的性质）： 角：四个角都是直角 对角线：对角线相等 对称性：轴对称图形
矩形的性质
1:矩形的四个角都是直角. 2:矩形的对角线相等.
探索的结论：
已知:如图,四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°,
对角线AC与DB相交于点O.
A
D
求证:
O
B
C
(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=900.
(2)AC=DB
练习：
1. 下面性质中，矩形不一定具有的是（ D） A．对角线相等 B．四个角都相等 C．是轴对称图形 D．对角线垂直
2. 已知矩形两邻边长分别为6和8，则矩形的对角 线长为___1_0___
议一议:
设矩形的对角线AC与BD交于点E，那么BE与 AC有什么大小关系?为什么?
A
D
A
E
B
C
E
B
C
BE与AC的大小关系变了吗？现在BE是 Rt△ABC中一条怎样的特殊线段?
由此可得推论:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
例题：在矩形ABCD中，两条对角线相交于
点O，∠AOD=120°，AB=1，求矩形对角线Leabharlann 的长ADO
B
C
我学会了… ； 我解决了……；
必做题：《同步学习》达标测试1-5题 选做题：《同步学习》达标测试6-8题
平行四边形有哪些性质？
1.2矩形的性质与判定 第1课时（教案）
北师大版九年级上第一章《特殊平行四边形》《矩形的性质与判定》(第1课时)教案课题矩形的性质单元第一章学科数学年级九年级学习目标1.知识与技能了解矩形的有关概念，理解并掌握矩形的有关性质．2.过程与方法经过探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理意识；掌握几何思维方法．3.情感态度和价值观培养严谨的推理能力，以及自主合作精神；体会逻辑推理的思维价值．重点掌握矩形的性质，并学会应用．难点理解矩形的特殊性．教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课教师说：“同学们，下面几幅图片中都含有一些平行四边形。
观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？”引导学生发现：是平行四边形，且它们的四个角都相等，且都等于90度. 学生看黑板，观察图片，思考老师提出的问题观察图片，思考相关问题，能够给学生清晰的思考路径讲授新课矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
矩形是特殊的平行四边形教师：同学们，开动脑筋，想一想，矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。
你能列举一些这样的性质吗？点名学生回答教师问：你认为矩形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流。
学生讨论，点名学生回答。
教师：同学们，拿出一张矩形纸片出来，我们来动学生听讲，并思考老师问的问题小组讨论矩形的性质，并举手回答老师问题学生动手跟着老师指导的思增强学生观察，总结能力，小组讨论能力学生自己观察得出结论，能够让学生更好地掌握新知识增强同学间的互动，交流，动手手试试看。
用矩形纸片折一折，回答下列问题：1）矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？教师点名学生回答问题。
得出结论：矩形是轴对称图形，有两条对称轴，分别是两条对边垂直平分线，两条对称轴互相垂直. 也是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。
教师：同学们完成任务的能力很好哦，接下来，老师要提高问题难度了，谁来帮老师和同学们从边、角、对角线方面，观察或度量猜想矩形的特殊性质． ①边：对边平行且相等（与平行四边形相同），邻边互相垂直； ②角：四个角是直角； ③对角线：相等且互相平分．教师带领学生验证猜想结论 验证结论：已知：如图，在矩形ABCD 中，∠A=90°. 求证：（1）∠A=∠B=∠C=∠D=90°路，完成任务。
6.2 矩形的性质与判定(1)
6.2 矩形的性质与判定（1）主备人：贾爱琴 审核人：李卫国 班级：________ 姓名：________ 【学习目标】1.理解矩形的概念，以及它与平行四边形之间的关系.2.探索并证明矩形的性质定理.3.探索并证明性质定理：直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半. 【知识准备】根据平行四边形的性质和判定定理，完成下表【自学提示】1.自学书本12－14页，填空：_________________________的平行四边形叫做______. 注：矩形即我们所熟悉的________，是生活中常见的一种特殊的平行四边形.2.前面我们知道了平行四边形的性质，那矩形会有哪些性质呢？ ⑴矩形是特殊的平行四边形，它具备平行四边形的所有性质. ⑵矩形与平行四边形比较又有其特殊的性质:矩形是轴对称图形，它有____条对称轴.分别是_______________________的两条直线. 特殊在“角”上的性质是_____________________________________________. 特殊在“对角线”上的性质是：_______________________________________. 3.直角三角形的性质定理：__________________________________________________________.练习：如图，在矩形ABCD 中，E ，F 分别是AC ，BC 上的点，在下列三个条件：⑴AE ＝CF⑵BE ∥DF ；⑶∠1＝∠2中，选择其中一个，求证：BE ＝DF. （可用多种方法．．．．．．）21FEDC BA【问题积累】在学习中还存在哪些疑问？ 【共同释疑】(用多媒体出示)预习书本14页例1，完成下列题目已知如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOD=120°，AB=2.5，求矩形对角线的长．对应练习 【当堂测试】1.下列说法错误的是（ ）．A 、矩形的对角线互相平分B 、矩形的对角线相等C 、有一个角是直角的四边形是矩形D 、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 2.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）.A 、 对角线相等B 、 对边相等C 、 对角相等D 、 对角线互相平分 3.在△ABC 中，∠B ＝∠C ，AD ⊥BC ，E 、F 分别是AB 、AC 的中点， 求证：DE ＝DF4.（选做题）已知：如图3，矩形ABCD 中，BD AE ⊥于E求：CAE ∠的度数。
矩形的性质与判定(1)
面积.
A
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC = 2OA，BD = 2OB，
∵△AOB是等边三角形
∴OA = OB，
B
∴AC =BD，
∴□ABCD是矩形.
在Rt△ABC中，
∵AB = 4cm，AC=2AO=8cm,
∴BC=
82 42 4 3(cm),
S ∴ □ABCD=AB·BC = 4×4 3 =16 3(cm2).
D O
C
P16随堂练习
已知：如图，在□ABCD中， M是AD
边的中点，且MB=MC。
求证：四边形ABCD是矩形。
A
M
D
B
C
谈一谈，今天你有何收获？
判定一个四边形是矩形的方法是：
ABCD ∠A=90°
ABCD AC = BD
ABCD 是矩形
∠A= ∠B= ∠C=90°
四边形ABCD 是矩形
1． 有一个内角是直角 的平行四边形是矩形．对角 线 相等 的平行四边形是矩形．有三个角是直角的 四边形是 矩形 形。
6、已知如图四边形ABCD中
AO=BO=CO=DO，
试说明四边形ABCD是矩形。
证明：∵
A
D
A∴OA=OB=OC=OC，O=DO
O
∴四BO边=形DEOFGH是平行四B边形
C
又∵AO+CO=BO+DO
即AC=BD
∴四边形ABCD是矩形
7、已知： 矩形ABCD的对角线AC、BD相交
于O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、
0
2
C
F
1
N D
∴∠2+∠4=90°即∠ECF=90°
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求矩形对角线的长.
A
D
解:∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,且OA OC 1 AC.
OB OD 1 BD.
2
2
OA OD.
O
B
C
你还有其他解法吗？
∵∠AOD=1200,
∴∠ODA=∠OAD= 1800
1200 2
300.
∵∠DAB=900,
∴BD=2AB=2×2.5=5(cm).
1、矩形定义：
∴AC=BD
∴ ABCD是矩形
∴BO=
பைடு நூலகம்
1 2 BD=
1 2 AC
学有所得
A
D
直角三角形的性质:
O
直角三角形斜边上的中线
等于斜边的一半.
B
C
即兴练一练: 已知一直角三角形两直角边分别为6和8,则其 斜边上的中线长为_____5___.
练习
已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角
线,AC,BD相交于点O,∠AOD=1200,AB=2.5，
矩形
对边平行 四个角 对角线互相 中心对称图形 且相等 为直角 平分且相等 轴对称图形
这是矩形所
O
特有的性质
1. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质 是（ ）A . A、对角线相等 B、对边相等 C、对角相等 D、对角线互相平分
2、 矩形的一组邻边长分别是3cm和4cm， 则它的对角线长是 5 cm.
矩形的两组对边分别相等
O
B
C
数学语言
∵四边形ABCD是矩形
A B C D 90 角 矩形的四个角都是直角
∴AO∴∴A=AD∴CDAO=∥CB，B=CCOB，，DDCC=DDO=B∥AABB
0
对角线
矩形 的两条对角线相等 矩形的 两条对角线互相平分
边
角
对角线 对称性
平行四 对边平行 对角相等 对角线互 中心对 边形 且相等 邻角互补 相平分 称图形
有一个角是直角的平行四边形叫矩形
2、矩形
矩形的对边平行且相等 矩形的四个角均为直角 矩形的对角线互相平分且相等
3、直角三角形的一个重要性质：斜边上的中线 等于斜边的一半；
4、在矩形中进行有关计算或证明，常根据矩形的性 质将问题转化到直角三角形或等腰三角形中，利用 直角三角形或等腰三角形的有关性质 进行解题。
作业布置:
P13习题1.4 第2,3题
送给大家的祝福:
忧愁是可减的！ 快乐是可加的！ 在未来趋于正无穷大的日子里， 幸福是连续的！ 对你的祝福是正数的绝对值， 它一定是大于零的！ 祝你每天的快乐和幸福是连续 上升的折线统计图
谢谢！
例1: 如图，矩形ABCD的两条对角线相交
于点O，∠AOD=120°,AB=2.5,求矩形对
探索新知:
矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行 四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？
A
D
B
C
猜想1：矩形的四个角都是直角．
猜想2：矩形的对角线相等．
定命理题： 矩形的四个角都是直角．
已知：如图，四边形ABCD是矩形 求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°
证明： ∵四边形ABCD是矩形
A
D
∴ ∠A=90°
试试：用文字叙述
直角三角形斜边上中线的性质 A┛
D
O
在矩形ABCD中
B
C
AO=CO=BO=DO= 1 AC= 1 BD
2
2
在Rt△ABD中，AO是斜边BD的中线 则有：AO= 1BD
2
直角三角形斜边上中线的性质 ： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
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营中热身
矩形具有而一般平行四边形不
又 ∵ 矩形ABCD是平行四边形
∴ ∠A=∠C ∠B = ∠D
B
C
∠A +∠B = 180°
∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°
即矩形的四个角都是直角
命定题理: 矩形的对角线相等.
已知：如图,四边形ABCD是矩形 A
D
求证：AC = BD
证明：∵四边形ABCD是矩形.
∴∠ABC = ∠DCB = 90°
具有的性质是 ( C )
A.对角相等
B.对边相等 C.对角线相等
D.对角线互相平分
营中寻宝
D
C
O
已知:四边形ABCD是矩形
1.若已知AB=8㎝，AD=6㎝，
A
B
则AC＝___1_0___ ㎝ OB=____5___ ㎝
角线的长？
A
D
解：∵ 四边形ABCD是矩形
o
∴AC与BD相等且互相平分
∴ OA=OB
B
C
∵ ∠AOD=120° ∴ ∠AOB=180°- 120°= 60°
∴ △AOB是等边三角形
∴ OA=AB=2.5
∴ 矩形的对角线长 AC=BD=2OA=5
方法小结: 如果矩形两对角 线的夹角是60°
或120°, 则其中必有等边三角形.
P12
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
已知：在Rt△ABC中，∠ABC=900，BO是AC上的中线.
求证:
1
BO = 2 AC
A
证明: 延长BO至D,使OD=BO,
连接AD、DC.
∵BO是AC上的中线.
∴AO=OC
B
又∵BO=OD
D
O C
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC=900
P12议一议:
设矩形的对角线AC与BD交于点E,那么,BE 是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段?
BE是Rt△ABC中斜边AC上的中线.
它与AC有什么大小关系?为什么?
BE等于AC的一半.
A
D
∵ AC=BD,BE=DE,
BE 1 BD. 2
BE 1 AC. 2
E
B
C
由此可得推论:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
1、是平行四边形
2、有一个角为直角
选择题:下列哪个图形能够反映四边形、平行四边形、
矩形的关系
四边形 矩形 平行四边形
四边形 平行四边形 矩形
A
四边形
B
四边形
平行四边形 矩形
C
矩形 平行四边形
D
矩形的一般性质：
具备平行四边形所有的性质
A
D
O
B
C
边 对边平行且相等 角 对角相等 对角线 对角线互相平分
§1.2 矩形的定义、性质
矩形
平行四边形有哪些性质？
边
角 对角线 对称性
平行四 对边平行 对角相等 对角线互 中心对 边形 且相等 邻角互补 相平分 称图形
细心观察平行四边形内角的变化
矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形是矩形
平行四边形
有一个角 是直角
矩形
矩形是特殊的平行四边形
学习新知
定义：有一个角是直角的平行 四边形叫做矩形．
AB=DC 在△ABC和△DCB中
﹛AB = DC ∠ABC=∠DCB
B
C
还有其他方
法吗？
BC = CB
∴AC = BD
∴△ABC≌△DCB(SAS) 即矩形的对角线相等
矩形特殊的性质
从角上看：
矩形的四个角都是直角． 从对角线上看：
矩形的两条对角线相等．
注：矩形还含有平行四边形的所有性质
A
D
矩形的两组对边分别平行 边