论文----浅谈微积分思想在几何中的应用汇编
微积分应用
微积分应用浅谈微积分的应用摘要：微积分是微分学和积分学的合称，产生于17世纪后半期，基本完成于19世纪，它不仅是分析学的基础部分，而且是现代数学的基础部分，在各领域中有着广泛的应用，本论文主要研究微积分在几何、物理方面的应用.关键词:微积分；几何；物理学；应用1.微积分在几何中的应用微积分在几何中对研究函数的图象，面积，体积，近似值等问题提供了极大的帮助，对工程制图以及设计有着不可替代的作用. 1.1求平面图形的面积由定积分的定义和几何意义可知，函数()y f x =在区间[],a b 上的定积分等于由函数(),,y f x x a x b ===和x 轴所围成的图形的面积的代数和。
由此可知通过求函数的定积分就可求出曲边梯形的面积.例如：求曲线y x =2和直线x a =，x b =及x 轴所围成的图形的面积.分析：由定积分的定义和几何意义可知，函数在区间上的定积分等于由曲线、直线及轴所围成的图形的面积. 因此所求曲边梯形的面积为333222112173333x s x dx ===-=?. 1.2求旋转体的体积① 由连续曲线()y f x =与直线x a =、()x b a b =<及x 轴围成的平面图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积为()2ba v f x dx π=?.② 由连续曲线()y g y =与直线y c =、()y d c d =<及y 轴围成的平面图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积为()2dc v g y dy π=?.③ 由连续曲线()()()0y f x f x =≥与直线x a =、()0x b a b =≤<及y 轴围成的平面图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积为()2ba v xf x dx π=?.例如：求椭圆22221x y a b+=所围成的图形分别绕x 轴和y 轴旋转一周而成的旋转体的体积.分析：椭圆绕x 轴旋转时，旋转体可以看作是上半椭圆()22b y x a a x a a=--≤≤与x 轴所围成的图形绕轴旋转一周而成的，因此椭圆22221x y a b+=所围成的图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积为()222222223222433aay a aa ab b v a x dx ax dxa ab x a x ab a ππππ---??=-=- =-=椭圆绕y 轴旋转时，旋转体可看作时右半椭圆()22a x b y b y b b=--≤≤与y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周而成的，因此椭圆22 221x y a b+=所围成的图形绕y 轴旋转一周而成的旋转体的体积为()222222223222433bby b bb b a a v b y dy by dyb b a y b y a b b ππππ---??=-=- =-=1.3求平面曲线的弧长① 设曲线弧由参数方程()(){()x t y t t ?φαβ==≤≤给出，其中()(),t t ?φ''在[],αβ上连续，则该曲线弧的长度为()()22s t t dx βαφ''=+.② 设曲线弧的极坐标方程为()()r r θαθβ=≤≤，其中()r θ'在[],αβ上连续，则该曲线弧的长度为()()22s r r d βαθθθ'=+.例如：求曲线21ln 42x y x =-从1x =到x e =之间一段曲线的弧长.解：122x y x '=- ∴弧长微元2211111222x ds y dx dx x dx x x ??'=+=+-=+ ? ???所以，所求弧长为()22111111ln 12224ee x s x dx x e x =+=+=+ ? ?. 1.4.求曲线的切线的斜率由导数的几何意义可知，曲线()y f x =在点0x 处的导数等于过该点切线的斜率，即()0k f x '=，由此可以求出曲线的切线方程和法线方程. 例如：求曲线2y x =在()1,1点处的切线方程和法线方程. 分析：由导数的定义可知，所求切线的斜率为1122x x k y x=='===，所以，所求切线的方程为()121y x -=-，化简得切线方程为210x y --=，又因为法线的斜率为切线斜率的负倒数，故所求法线方程为()1 112y x -=--，化简得法线方程为230x y +-=.1.5求函数增量的近似值由微分的定义可知，函数的微分是函数值增量的近似值，所以通过求函数的微分可求出函数值增量的近似值. 例如：计算sin 46 的近似值分析：令()sin f x x =，则()cos f x x '=，取045,11180x x π?=?+=，则由微积分的定义可求得()()22sin 46sin 451sin 45450.719418022180f ππ=+≈+=+≈ .2.微积分在物理学中的应用在物理学中会遇到变力对物体做功、物体的变速运动等问题，往往很难直接求出整个过程所做的功，或者物体在某一点的速度，而微积分中的微元思想此时闪现出它的光芒，应用微元思想把变力、非匀速运动看成由一段一段恒力、匀速运动构成，再进行计算，便可快速得出结果。
微积分思想在几何中的应用
微积分思想在几何中的应用第2篇：微积分在几何中的应用1、经过上面对求和平方根、完全平方和、分数指数化分数、绝对值、及其它特殊类型题的探索，使我明白了微积分的一些基本知识与原理。
我认为这是微积分带给我们最大的收获！在高一下学期时，我从别人那里听到了一些有关高中数学知识的信息，看到了微积分知识的重要性，也知道了学好微积分的重要性。
之后，随着课程的深入，我逐渐对微积分产生了兴趣。
所以我选择了微积分。
一开始我的目标并不是微积分，但我觉得既然这个东西和其它数学知识有关联，所以就一起学习吧。
而且微积分又是基础数学，又是计算机等相关专业必须的数学知识，因此我决定一定要学好它。
学好微积分的方法很多，总体来说就是多练、多思考、多做题。
在练习题中，我们应该精做，同时还要仔细分析，反复推敲每一道题的解题过程，力争达到完美。
除了做题外，更多的就是思考。
思考的过程中需要对所学知识进行回顾与巩固，使自己形成较强的记忆能力。
“温故而知新”，如果你真正把这句话吃透了，那么恭喜你已经把微积分学好了。
2、在学习的过程中，我发现微积分和三角函数、解析几何、概率统计之间存在着内在的联系。
比如：如果我们对坐标进行旋转，然后进行适当的变换，就可以得到与直角三角形类似的图形；通过曲线、曲面的切线长或面积与位置来判断一条曲线是否是抛物线或双曲线等等。
5、我们知道，曲线、曲面与X、 Y轴有一一对应的关系，如果把曲线、曲面通过点P画到X轴上，那么根据点P和X轴交于一点Q，就可以得到Q的坐标，进而由点的横坐标和纵坐标来确定点P的位置，再通过相似比来确定Q的位置与X轴的距离。
在具体操作过程中，无论是双曲线还是抛物线，都是先求出其顶点坐标，然后沿着图像画出曲线，最后再按照对应的坐标求出其其它各点的坐标，而每个点的横坐标和纵坐标，都可以用公式(ρ=Rd)来计算，这样就构成了这两种曲线的通用解析表达式。
7、只要懂得了微积分的基本思想，无论遇到什么问题，都会迎刃而解的，这让我增添了无穷的信心。
微积分中的几何应用
微积分中的几何应用微积分是数学中的重要分支，在各个领域都有着广泛的应用。
其中，微积分在几何学中的应用尤其重要。
本文将探讨微积分在几何学中的几个应用。
一、曲线的切线和法线在几何学中，曲线是常常被研究的对象。
微积分的一个基本概念就是导数。
在曲线的研究中，导数扮演着至关重要的角色。
通过求导可以得到曲线上某一点的切线斜率，从而求出该点的切线方程。
例如，考虑求函数 $y = x^2$ 在点 $(2, 4)$ 处的切线。
该点的切线斜率为 $dy/dx = 2x$，因此在点 $(2, 4)$ 处的切线方程为 $y - 4 = 4(x - 2)$。
另一个微积分在几何学中的重要概念是法线。
法线是与曲线在某一点处垂直的直线。
求法线的方法与求切线类似，只需将切线的斜率取相反数，并且将切点替换为待求点即可。
例如，对于函数 $y = x^2$，在点 $(2, 4)$ 处的法线斜率为 $-1/4$，因此在该点处的法线方程为 $y - 4 = (-1/4)(x - 2)$。
二、曲率曲率是度量曲线“弯曲程度”的一个量。
在微积分中，曲率可以用导数和二阶导数来表示。
具体来说，对于平面曲线 $y = f(x)$，它的曲率可以表示为 $k = |y''| / (1 + y'^2)^{3/2}$。
这个公式表明，曲率的大小与曲线的弯曲程度以及曲线在该点处的切线的斜率有关。
曲率在几何学中应用广泛。
通常情况下，曲线的曲率越大，代表该曲线弯曲程度越大。
此外，曲率还可以用于求解物理学中的问题。
例如，通过求解某一物体的曲率，我们可以得到它所受到的离心加速度。
三、最小距离在几何学中，一个重要的问题就是求解两个给定对象之间的最小距离。
通常情况下，这两个对象可以分别表示为函数 $y_1 =f(x)$ 和 $y_2 = g(x)$。
为了求解这个问题，我们需要计算出两个函数之间的距离。
具体来说，假设有两点 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2,y_2)$，那么这两点之间的距离可以表示为 $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 +(y_2 - y_1)^2}$。
微积分与几何应用
微积分与几何应用微积分和几何是数学中最重要的分支之一。
微积分是通过计算变化率和面积来研究函数行为的分支，而几何是研究空间中形状、大小、位置和方向的数学分支。
微积分和几何之间有着紧密的联系，它们常常相互促进，互相应用。
本文将主要探讨微积分和几何的应用。
微积分在几何中的应用很多，特别是在计算曲线的长度、面积和体积方面。
例如，在计算圆的周长时，我们需要使用微积分中的概念来求解。
假设有一条曲线y=f(x)，我们要计算曲线上一段长度L，我们可以将这段长度L分成很多小的线段，每个小线段的长度为ΔL。
根据微积分中的概念，我们可以用函数y=f(x)的导数来求解这段长度的近似值: ΔL≈ √(1+(f'(x))^2) Δx。
通过将这些小线段的长度相加，我们可以得到曲线的长度。
另一个常见的微积分在几何中的应用是计算曲线下方的面积。
假设有一条曲线y=f(x)，在x=a和x=b之间，我们要计算曲线下方的面积。
我们可以将这段区域分成小的长方形，从而近似计算这个面积。
如果我们将这个区域分成无数个微小的长方形，我们就可以通过微积分来求解这个面积。
根据微积分的定义，我们可以用函数y=f(x)在x=a和x=b之间的积分来计算曲线下方的面积。
微积分和几何的应用可以进一步扩展到三维空间中。
在计算曲面的面积和体积时，我们需要使用微积分中的体积和表面积概念。
在三维空间中，我们可以使用三维坐标系(x,y,z)将图形表示出来。
例如，如果我们要计算球的表面积和体积，我们可以使用微积分中的公式来计算。
球的面积为4πr^2，其中r是球的半径。
我们可以通过微积分的方法来计算这个表面积: S=∫∫(1+r^2sin^2θ)dθdφ，其中θ和φ是球的两个坐标轴。
同样的，球的体积为4/3πr^3。
我们可以使用微积分的体积公式来计算它: V=∫∫∫ρdxdydz，其中ρ是球的密度。
除了以上应用，微积分和几何还可以应用在其他很多方面，例如物理学、经济学和生物学中。
基于微积分思想的几何应用
基于微积分思想的几何应用
简介
微分几何是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。
古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面，而现代微分几何已经开始研究更通常的
空间----流形。
微分几何与拓扑学等其他数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响。
爱
因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。
应用领域与影响
近代由于对高维空间的微分几何和对曲线、曲面整体性质的研究，使微分几何和拓扑学、变分学、李群理论等有了密切的关系，这些数学领域和微分几何互相渗透，已成为现
代数学的中心课题之一。
[2]
微分几何在力学和一些工程技术问题方面存有广为的应用领域，比如说，在弹性薄壳
结构方面，在机械的齿轮压板理论应用领域方面，都充份应用领域了微分几何学的理论。
微分几何学的研究对数学其他分支以及力学、物理学、工程学等的影响是不可估量的。
如：伪球面上的几何与非欧几何有密切关系；测地线和力学、变分学、拓扑学等有着深刻
的联系，是内容丰富的研究课题。
这方面有以j.阿达马、h.庞加莱等人为首的优异研究。
极小曲面是和复变函数论、变分学、拓扑学关系极为深刻的研究领域，k.魏尔斯特拉斯、j.道格拉斯等人作出过卓越贡献。
微分几何学的研究工具大部分就是微积分学。
力学、物理学、天文学以及技术和工业
的日益增长的建议则就是微分几何学发展的关键因素。
尽管微分几何学主要研究三维欧几
里得空间中的曲线、曲面的局部性质，但它构成了现代微分几何学的基础则就是毋庸置疑的。
因为依赖图形的直观性及由它展开以此类推的方法，即使在今天也昂然其重要性。
微积分几何意义_范文模板及概述说明
微积分几何意义范文模板及概述说明1. 引言1.1 概述微积分是数学的重要分支，其几何意义在问题求解中起着重要的作用。
微积分几何意义可以理解为将微积分的概念和方法应用于几何学中，通过运用微积分工具来探索和描述各种几何形状、曲线和曲面的性质与特征。
1.2 文章结构本文将从三个方面展开讨论微积分的几何意义。
首先，我们会回顾微积分的起源和发展，了解其在数学发展史上的地位和重要性。
然后，我们会探讨函数图像与几何关系，揭示函数图像与几何形状之间的丰富联系。
最后，我们会介绍面积、体积与微分元素的概念，并探讨它们在几何问题中的应用。
1.3 目的本文旨在帮助读者更好地理解微积分在几何学中的应用和意义。
通过对微积分起源和发展进行回顾，读者可以了解到该领域的历史背景及其对数学发展的推动作用。
通过详细讨论函数图像与几何关系以及面积、体积与微分元素的应用，读者可以深入了解微积分是如何在几何问题中发挥作用的。
最后，通过实际应用案例的介绍，读者可以进一步认识到微积分在解决实际问题中的重要性和广泛应用。
以上是关于文章“1. 引言”部分的详细内容概述。
2. 微积分几何意义:2.1 微积分的起源和发展:微积分是数学中的一个重要分支，起源于17世纪，并由数学家牛顿和莱布尼兹独立发现和发展。
微积分主要研究函数的极限、导数和定积分等概念及其相互关系，在解决实际问题中发挥着重要作用。
2.2 函数图像与几何关系:微积分几何意义的重要体现是通过函数图像与几何之间的关系来理解。
函数图像可以用来描述平面曲线或空间曲面，并通过几何形态来揭示函数性质。
例如，对于一元函数而言，函数图像的斜率表明了曲线在某一点上的切线斜率，而二元函数则能反映出曲面在不同方向上的变化趋势。
2.3 面积、体积与微分元素:微积分中还涉及到面积、体积与微分元素之间的关系。
通过求解定积分，可以计算曲线下区域的面积、曲面下区域的体积以及空间中其他复杂形状区域的体积。
这些概念和计算方法在几何问题中具有重要的应用价值，为求解实际问题提供了数学工具。
积分在几何中应用
积分在几何中应用在数学的广袤领域中，积分犹如一把神奇的钥匙，能够开启几何世界中诸多奥秘的大门。
当我们谈到积分在几何中的应用时，就像是在探索一个充满惊喜和发现的宝藏之地。
积分在几何中的应用范围广泛，从计算简单的图形面积到求解复杂的立体体积，从研究曲线的长度到计算曲面的面积，它都发挥着至关重要的作用。
先来说说面积的计算。
假设我们有一个由函数曲线、坐标轴以及特定的直线所围成的区域。
要确定这个区域的面积，积分就派上了大用场。
通过对函数进行积分，我们可以精确地得出这个区域的大小。
例如，对于一个在区间a, b上连续的函数 f(x)，它与 x 轴之间所围成的面积就可以通过定积分∫a, b f(x) dx 来计算。
以简单的函数 y ＝ x^2 为例。
假设我们想求它在区间0, 1上与 x 轴围成的面积。
通过积分运算，∫0, 1 x^2 dx ＝ x^3 ／ 3 ｜ 0, 1 ＝ 1 ／ 3。
这就意味着该区域的面积为 1 ／ 3 个单位。
再深入一步，积分在计算体积方面也表现出色。
对于旋转体的体积计算，比如将一个平面图形绕着某条轴线旋转一周所得到的立体图形的体积，我们可以运用积分来求解。
以函数 y ＝ x^2 绕 x 轴在区间0, 1上旋转一周得到的旋转体为例。
使用圆盘法，我们将这个旋转体沿着 x 轴切成无数个薄圆盘，每个圆盘的体积近似为π(y^2)dx。
对其进行积分，就可以得到整个旋转体的体积。
除了面积和体积，积分还能用于计算曲线的长度。
对于一条连续可微的曲线 y ＝ f(x)，在区间a, b上的长度可以通过积分公式 L ＝∫a, b √（1 ＋ f'（x)＾2) dx 来计算。
此外，在计算曲面的面积时，积分同样不可或缺。
对于一个由函数z ＝ f(x, y) 所确定的曲面，其在某一区域上的面积可以通过相应的积分公式进行计算。
积分在几何中的应用不仅仅局限于这些具体的计算，它还为我们提供了一种思考和解决几何问题的重要方法和思路。
微积分在几何中的应用
微积分在几何中的应用微积分是数学中重要的分支之一，它不仅仅是一门理论学科，更是一种在自然科学和工程技术中广泛应用的工具。
其中，微积分在几何学中的应用尤为重要。
在几何学中，微积分可以帮助我们理解和解决许多与曲线、曲面、体积等有关的问题。
曲线的长度与微积分在几何学中，我们常常需要计算曲线的长度。
对于一条曲线来说，要计算其长度并不是一件容易的事情。
但是，通过微积分的方法，我们可以简单地求出曲线的长度。
假设有一条曲线y=f(x)，要计算从x=a到x=b的曲线长度，可以使用弧长公式：$$ L = \\int_{a}^{b} \\sqrt{1+\\left(\\frac{dy}{dx}\\right)^2} dx $$其中，$\\frac{dy}{dx}$ 表示曲线的斜率。
通过上述公式，我们可以轻松地计算出曲线的长度。
曲线的曲率与微积分曲率是描述曲线弯曲程度的一个概念，它可以帮助我们理解曲线的形状。
在微积分中，我们可以通过曲线的二阶导数来计算曲线的曲率。
对于一条曲线y=f(x)，其曲率公式为：$$ \\kappa = \\frac{f''(x)}{(1+(f'(x))^2)^{\\frac{3}{2}}} $$曲率可以告诉我们曲线在某一点处的弯曲程度，帮助我们更好地理解曲线的特性。
曲面积分与微积分除了曲线，微积分在处理曲面时也发挥着重要作用。
曲面积分是一种在空间曲面上进行积分的方法，可以帮助我们求解许多与曲面相关的问题。
对于一个曲面z=g(x,y)，其曲面积分计算公式为：$$ \\iint_S f(x,y,z) dS = \\iint_D f(g(x,y))\\sqrt{1+\\left(\\frac{\\partialg}{\\partial x}\\right)^2+\\left(\\frac{\\partial g}{\\partial y}\\right)^2} dxdy $$ 曲面积分可以帮助我们计算曲面上的某种性质，例如曲面的体积、质量等。
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毕业论文题目：浅谈微积分思想在几何问题中的应用学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学毕业年限：2013年学生姓名：***学号：************指导教师：**说明：1.成绩评定均采用五级分制，即优、良、中、及格、不及格。
2. 评语内容包括：学术价值、实际意义、达到水平、学术观点及论证有无错误等。
目录摘要 (2)关键字 (2)Abstract (2)Keywords (2)1微积分介绍 (3)1.1微积分的基本内容 (3)2微分在几何问题中的应用 (5)2.1一元微分的几何应用 (5)2.2多元微分的几何应用 (7)3积分在几何问题中的应用 (9)3.1定积分的几何应用 (9)3.2二重积分的几何应用 (16)3.3三重积分的几何应用 (17)结束语 (20)参考文献 (21)浅谈微积分思想在几何问题中的应用***（西北师范大学数学与统计学院甘肃兰州 730070）摘要：微积分思想在几何问题中的应用主要分为一元微分、多元微分、定积分、二重积分、三重积分分别在几何问题中的应用。
一元微分可以求曲线的长；多元微分可以求曲线的切线、切平面、法线、法平面；定积分可以求曲线的长、图形的面积、立体的体积；二重积分可以求图形的面积、立体的体积；三重积分可以求立体的体积。
关键词：一元微分多元微分定积分二重积分三重积分曲线的长面积体积Application of differential calculus thought ingeometric problems.Lv Danqin(College of mathematics and statistics, Northwest Normal University, Gansu Lanzhou730070)Abstract:Application of differential calculus thought in geometric problemsconsists of a differential, multiple differential, integral, double integral,integral respectively three applications in geometric problems. A differential canfind the length of the curve; tangent, multivariate differential can find the curvetangent plane, normal, normal plane; definite integral can be the length of the curve,the graph area, volume of solid; double integral can be graphics area,three-dimensional volume; three points can be obtained three-dimensional volume. Keywords: A differential multiple differential ntegral double integral three integral curve length area volume1微积分介绍1.1微积分的基本内容1.1.1一元微分定义：设有函数()f x ，若存在常数A ，使得对于自变量x 的改变量x ∆，函数的改变量()()y f x x f x ∆=+∆-可以表示为：()(0)y A x x x ο∆=⋅∆+∆∆→，则称()f x 在点x 处可微，并称A x ⋅∆为()f x 在点x 处的微分，记为dy 或()df x ，即dy =A x ⋅∆或()df x =A x ⋅∆.几何意义：0()dy f x dx '=表示曲线()y f x =在点00(,)M x y 处的切线上的点的纵坐标相应于x ∆的增量。
1.1.2多元微分多元微分又叫全微分，是由两个自变量的偏导数相对应的一元微分的增量表示的。
定义：设有二元函数(,)z f x y =，若存在常数A,B 使得对于自变量x 和y 的改变量x ∆和y ∆，函数z 的改变量z ∆可以表示为(,)(,)()(0)z f x x y y f x y A x B y ορρ∆=+∆+∆-=⋅∆+⋅∆+→则称函数(,)z f x y =在点(,)x y 可微，并称A x B y ⋅∆+⋅∆为(,)f x y 在点(,)x y 处的全微分，记为dz 或(,)df x y ，即dz A x B y =⋅∆+⋅∆或(,)df x y A x B y =⋅∆+⋅∆.1.1.3定积分定义：设函数()f x 在区间[,]a b 上有定义，用分点011...n n a x x x x b -=<<<<=将区间[,]a b 分成n 个小区间，小区间的长度为1(1,2,...,)i i i x x x i n -∆=-=，记{}1max i i nx λ≤≤=∆，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点1()i i i i x x ξξ-≤≤，作乘积()(1,2,...,)i i f x i n ξ⋅∆=和式1()nn i i i S f x ξ==⋅∆∑成为积分和，当0λ→（即n 无限增大）时积分和的极限如果存在，且此极限与[,]a b 的分法及ξ的取法无关，则称函数()f x 在区间[,]a b 上是可积的，并称此极限为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作01()lim ()n b i i a i f x dx f x λξ→==⋅∆∑⎰。
其中符号“⎰”称为积分符号，()f x 称为被积函数，x 称为积分变量，区间[,]a b 称为积分区间，a 称为积分下线，b 称为积分上限。
1.1.4二重积分定义：设(,)f x y 是定义在平面有界闭区域D 上的有界函数对区域D 的任意划分12,,...,n D D D ∆∆∆以及任意属于i D ∆的点(,)i i i P ξη，作和式1(,)ni i ii f ξησ=∆∑（其中i σ∆表示i D ∆的面积）。
当{}1max 0i i nd λ≤≤=→时（i d 为i D ∆的直径），如果不论对D 怎样划分，点i P 怎样选取，上述和式都趋于同一常数，则称函数(,)f x y 在区域D 上是可积的，并称该常数为函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分，记作(,)Df x y d σ⎰⎰，即01(,)lim (,)n i i i i D f x y d f λσξησ→==∆∑⎰⎰。
其中(,)f x y 叫做被积函数，(,)f x y d σ叫做被积表达式，d σ叫做面积元素，x 和y 叫做积分变量，D 叫做积分区域。
1.1.5三重积分定义：设(,,)f x y z 是定义在空间有界闭区域Ω上的有界函数。
对区域Ω的任意划分123,,...,∆Ω∆Ω∆Ω以及(,,)i i i i i P ξηζ∈∆Ω任意取法，作和式1(,,)ni i i i i f v ξηζ=∆∑（其中i v ∆表示i ∆Ω的体积）。
当{}1max 0i i nd λ≤≤=→（i d 为i ∆Ω的直径），如果不论对Ω怎样划分，点i P 怎样选取，上述和式都趋于同一常数，则称函数(,,)f x y z 在区域Ω上是可积的，并称该常数为函数(,,)f x y z 在区域Ω上的三重积分，记为(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰，即01(,,)lim (,,)n i i i ii f x y z dv f v λξηζ→=Ω=∆∑⎰⎰⎰。
其中(,,)f x y z 叫做被积函数，dv 叫做体积元素,z y x ,,叫做积分变量，Ω叫做积分区域。
2微分在几何问题中的应用2.1一元微分的几何应用2.1.1求平面曲线的切线若函数()y f x =在包含x u =的区间上可导，则曲线()y f x =在点(,())A u f u =有切线，切线方程为()()()y f u x u f u '=-+。
例1、写出过点)1,3(-A 而与曲线1xy =相切的直线的方程。
解:将曲线方程1xy =写成函数形式1()y f x x==。
设所求直线与曲线相切于点(,())B u f u ,则直线斜率为()f u '。
根据直线AB 斜率意义可得 1()()(3)f u f u u '-=--。
将1()f u u =和21()f u u'=-代入上式得到关于u 的方程 2111(2)u u u-=---。
整理后得二次方程2230u u --=，解得3u =或1u =-，即切点可能是1(3,)3或(1,1)--； 所以满足要求条件的切线有两条，用两点式直线方程写出 整理后分别为：20x y ++=和960x y --= 如图一图一2.1.2求参数方程曲线的切线设曲线Γ由下列参数方程表示，(),()()x u t y v t t I Γ===∈，))((),(:I t t v y t u x ∈==Γ函数()x u t =和()y v t =都在区间I 上可导，则对于任意0t I ∈，当2200()()0u t v t ''+≠时，对应的Γ上的点00(,)P x y 处有切线L ，其方程为0000()()()()u t y y v t x x ''-=-。
这里0000(),()x u t y v t ==。
也就是说，00((),())u t v t ''是曲线在00(,)P x y 处切线的方向向量。
例2、设曲线Γ的参数方程为{3sin ,2cos }x t y kt ==，求曲线上对应于u t =的点00(,)x y 处的切线方程.解：计算得3cos ,2sin x t y k kt ''=-故曲线上对应于00(,)x y 处的切线的方向向量为(3cos ,2sin )u k ku - 结合003sin ,2cos x u y ku ==，可得点00(,)x y 处的切线方程为3cos (2cos )2sin (3sin )0u y ku k ku x u ⋅-+⋅-=，整理得2sin 3cos 60k ku x u y ⋅+⋅-=2.2多元微分的几何应用2.2.1空间曲线的切线与法平面设曲线L 的参数方程为(),(),()x x t y y t z z t ===，并假设参数方程中三个函数的导数均存在，且在t 的某一个确定值0t 处，三个导数不同时为零。